giải tích hàm một biến và các ứng dụng

Giải tích có các ứng dụng đáng kể trong nhiều lĩnh vực đặc biệt trong kinh tế trên dưới một thế kỉ nay, nhưng chúng không được ứng dụng rộng rãi bởi các nhà kinh tế cổ điển chỉ dùng thí

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ  KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN  

(BỘ MÔN TOÁN – KHOA KHTN)

SINH VIÊN THỰC HIỆN

VÕ NGỌC NỮ_ 1100182 NGÀNH: TOÁN ỨNG DỤNG K36

LỜI CẢM ƠN

- - 

Đầu tiên, em xin gởi lời cảm ơn sâu sắc đến tiến sĩ Nguyễn Hữu Khánh. Thầy đã trực tiếp hướng dẫn, tận tình giúp đỡ em trong suốt quá trình làm luận văn. 

Em xin chân thành cảm ơn quý Thầy, quý Cô trong bộ môn Toán khoa Khoa học 

Tự nhiên trường Đại học Cần Thơ đã truyền kiến thức cho em trong suốt thời gian học tập. Đó là nền tảng cho quá trình nghiên cứu viết luận văn và đó còn là hành trang quí báo để em bước vào đời một cách vững chắc và tự tin. 

DANH MỤC CÁC BẢNG

      Bảng 1. Dân số trung bình của Việt Nam (1976 – 2013)  4       Bảng 2  Cung cầu đối với xe đạp ở một địa phương  22 

Bảng 3  Bảng chuyển động của gia tốc và vận tốc  50  

1

x y x



Hình 10  Đồ thị phương trình ra(1cos ), a0  43 Hình 11. Đồ thị của phương trình tham số 

3 3

cos( 0)sin

MỤC LỤC  

PHẦN MỞ ĐẦU

I. Lý do chọn đề tài   - 1

II.  Mục đích nghiên cứu  - 1

III. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu  - 2

IV.  Phương pháp nghiên cứu  - 2

  PHẦN NỘI DUNG   CHƯƠNG 1 HÀM SỐ – GIỚI HẠN – LIÊN TỤC - 3

1.1  Hàm số  - 3

1.1.1  Các khái niệm cơ bản  - 3

1.1.2 Tổng, hiệu, tích và thương các hàm  - 5

1.1.3  Hàm hợp  - 5

1.1.4  Hàm ngược  - 5

1.1.5 Các hàm sơ cấp cơ bản  - 6

1.1.6  Hàm sơ cấp  - 8

1.1.7 Ứng dụng của hàm số  - 8

1.2  Giới hạn của dãy số và hàm số  - 10

1.2.1 Dãy số và giới hạn của dãy số  - 10

1.4.2 Bài tập ứng dụng  - 19

1.4.3 Lãi đơn và lãi gộp  - 22

CHƯƠNG 2 PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN - 25

2.1  Đạo hàm - 25

2.1.1  Đạo hàm tại một điểm  - 25

2.1.2 Đạo hàm một phía  - 25

2.2  Các phương pháp tính đạo hàm  - 27

2.2.1 Đạo hàm của các hàm sơ cấp cơ bản  - 27

2.2.2 Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương  - 27

2.2.3 Đạo hàm của hàm hợp  - 27

   

2.2.4 Đạo hàm của hàm yu x( )v x( ), ( ( )u x 0)  - 28

2.2.5 Đạo hàm lôgarit  - 28

2.2.6  Đạo hàm của hàm ẩn  - 28

2.3  Vi phân  - 29

2.3.1  Khái niệm vi phân  - 29

2.3.2 Quan hệ giữa đạo hàm và vi phân  - 30

2.3.3 Các qui tắc tính vi phân  - 30

2.3.4 Ý nghĩa hình học  - 30

2.3.5 Ứng dụng của vi phân để tính gần đúng  - 31

2.4  Các định lí giá trị trung bình  - 31

2.4.1 Cực trị địa phương. Định lý Fermat  - 31

2.4.2 Các định lý giá trị trung bình  - 31

2.4.3 Quy tắc L’Hospital  - 34

2.5  Một số ứng dụng của đạo hàm  - 35

2.5.1 Công thức Taylor  - 35

2.5.2 Một số khai triển quan trọng  - 35

2.5.3 Ứng dụng  - 36

2.6  Ứng dụng của đạo hàm  - 37

2.6.1  Tính đơn điệu  - 37

2.6.2  Khảo sát hàm số  - 37

2.6.3 Đường cong trong tọa độ cực  - 42

2.6.8 Đường cong cho bởi phương trình tham số  - 44

2.6.4 Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất  - 46

2.6.9 Tốc độ biến thiên  - 48

2.6.5 Vận tốc và gia tốc  - 49

2.7  Ứng dụng của đạo hàm một biến trong kinh tế  - 51

2.7.1   Đạo hàm và giá trị biên tế trong kinh tế  - 51

2.7.2   Hàm trung bình và hàm chi phí biên  - 52

2.7.3   Doanh thu trung bình và doanh thu biên  - 54

2.7.4   Giảm thiểu chi phí trung bình hoặc tổng chi phí và tối đa hoá tổng doanh   thu, tổng lợi nhuận  - 56

2.7.6   Hàm cầu biểu diễn quan hệ giá p và Q D  f p( )  - 58

2.7.7    Hàm số cung biểu diễn quan hệ giữa giá p và Q s G p( )  - 58

2.7.8    Bài toán tìm kích thước lô hàng tối ưu  - 60

CHƯƠNG 3 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN  - 61

3.1 Nguyên hàm và tích phân bất định  - 61

3.1.1 Nguyên hàm  - 61

3.1.2 Tích phân bất định  - 61

3.3.3 Các phương pháp tính tích phân  - 63

3.2 Tích phân xác định  - 64

3.2.1 Bài toán tính diện tích hình thang cong  - 64

3.2.2 Khái niệm tích phân xác định  - 65

3.2.3 Công thức Newton-Leibnitz  - 67

3.2.4 Các phương pháp tính tích phân xác định - 68

3.3 Tích phân suy rộng  - 69

3.3.1 Tích phân với cận vô hạn (loại 1)  - 70

3.3.2 Tích phân của hàm không bị chặn (loại 2)  - 71

3.4  Ứng dụng của tích phân xác định  - 72

3.4.1  Tính giá trị trung bình của hàm trên một đoạn  - 72

3.4.2 Diện tích hình phẳng  - 72

3.4.3  Tính độ dài đường cong  - 73

3.4.4  Tính thể tích  - 74

3.5 Ứng dụng hình học của tích phân suy rộng  - 76

3.6  Ứng dụng tích phân xác định trong khoa học kĩ thuật  - 76

3.6.1  Tổng thay đổi của đại lượng  - 76

3.6.2  Công của lực sản sinh  - 77

3.7  Ứng dụng trong xác suất – thống kê  - 78

3.7.1 Kỳ vọng  - 78

3.7.2  Phương sai  - 79

3.8 Ứng dụng của tích phân trong kinh tế  - 80

3.8.1   Xác định hàm chi phí  - 80

3.8.2   Xác định hàm tổng doanh thu  - 82

   

3.8.4  Giá trị tích lũy tương lai của dòng thu nhập liên tục  - 84

3.8.5  Giá trị hiện tại  - 84

3.8.6   Giá trị tích lũy hiện tại của dòng thu nhập liên tục  - 85

3.8.7   Tiêu thụ tài nguyên thiên nhiên  - 86

3.8.8   Tìm hàm tổng chi phí khi biết chi phí biên  - 87

3.8.9  Xác định nguồn vốn đầu tư K(t) từ tốc độ thay đổi đầu tư I(t) - 87

3.8.10  Tính giá trị thặng dư của người tiêu dùng  - 88

3.8.11  Tính giá trị thặng dư của nhà sản xuất  - 89

CHƯƠNG 4 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT  - 90

4.1  Phương trình tách biến  - 90

4.2  Phương trình vi phân tuyến tính cấp một  - 91

4.3 Phương trình dẳng cấp  - 92

4.4  Phương trình Bernoulli - 94

4. 5  Phương trình vi phân toàn phần  - 95

KẾT LUẬN    - 97

TÀI LIỆU THAM KHẢO   - 98  

 

   

PHẦN MỞ ĐẦU    

I Lý do chọn đề tài

Từ xưa giải tích đã được con người biết đến. Vì thế ứng dụng của  giải tích vào cuộc  sống  là  điều  mà  con  người  luôn  quan  tâm.  Giải  tích  có  các  ứng  dụng  đáng  kể trong  nhiều  lĩnh  vực  đặc  biệt  trong  kinh  tế  trên  dưới  một  thế  kỉ  nay,  nhưng  chúng không được ứng dụng rộng rãi bởi  các nhà  kinh tế cổ điển chỉ dùng thí dụ  minh họa cho các lý thuyết của mình hay các công thức toán học và đồ thị. Ngày nay Khoa học 

kĩ thuật và Kinh tế ngày càng phát triển dựa vào sử dụng rất nhiều công cụ toán học, đặc biệt là giải tích.  

Phép tính vi phân và tích phân, hai phép tính này đóng vai trò rất quan trọng và là nền  tảng  cho  sự  phát  triển  của  giải  tích  toán  học.  Ngoài  ra  chúng  còn  được  đưa  vào ứng dụng trong nhiều lĩnh vực như: Vật lí, y học, khoa học kĩ thuật, thống kê,  Đặc biệt trong ứng dụng  kinh tế ngày một nhiều. Nó giúp cho  kinh tế diễn giải, trình bày được nhiều vấn đề mà các phương pháp diễn giải bằng lời thông thường không có hiệu quả.  Giải  tích  dường  như  rất  khô  khan  về  mặt  lý  thuyết  nhưng  ứng  dụng  của  chúng trong  một  số  lĩnh  vực  cũng  như  trong  các  bài  toán  kinh  tế  rất  thú  vị  và  hấp  dẫn.  Sử dụng  giải  tích  để  phân  tích  kinh  tế,  phân  tích  tình  huống  và  nghiên  cứu  kinh  tế  thị trường. 

Nghiên cứu ứng dụng của giải tích sẽ giúp ta hiểu sâu hơn các kiến thức giải tích 

đã học, thấy được lợi ích của toán học và làm quen với việc áp dụng toán học vào đời sống.  Đó là lí do mà em chọn làm nghiên cứu đề tài: “ GIẢI TÍCH HÀM MỘT BIẾN 

VÀ CÁC ỨNG DỤNG “ cho luận văn tốt nghiệp. 

II Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu ứng dụng giải tích trong một số lĩnh vực 

Nhằm vận dụng giải tích vào trong phân tích các mô hình kinh tế để nắm rõ hơn các nguyên tắc và các quy luật kinh tế. 

III Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Ứng dụng của Giải tích vào một số hàm kinh tế cơ bản. Phạm  vi nghiên cứu: Đề tài tập trung  vào những nội dung cơ  bản của hàm  một biến. 

IV Phương pháp nghiên cứu

Tổng hợp, phân tích và trình bày các kiến thức cơ bản của hàm một biến. 

Phương pháp thực nghiệm: Vận dụng các  kiến thức  vào trong các  ví dụ cụ thể

Tập hợp  f X f x :xX được gọi là miền giá trị của hàm  f  

Ta gọi x là biến độc lập (hay đối số), y là biến phụ thuộc (hay hàm). 

Giá trị của hàm  f  tại x = a được kí hiệu là  f a( ) hay  f x |x a  

 Đồ thị của hàm số

Đồ thị của hàm số y f x  với miền xác định  X là tập hợp các điểm ( ,  ( ))x f x  trong mặt phẳng tọa độ với xX  

Trong bảng trên, năm là biến độc lập, dân số là biến phụ thuộc và bảng biểu diễn dân số như là hàm của năm. 

 Định nghĩa 1.1.2  Giả sử hàm  f xác định trên  X  và có miền giá trị là Y và là hàm 

1 1  , tức là nếu x1 x2 thì  f x( )1  f x( )2  Khi đó với mỗi yY tồn tại duy nhất xX  sao cho f x  y. 

Coi xY  là biến độc lập thì với mọi xY tồn tại duy nhất  1

 Chú ý : Chỉ có hàm 1 1   mới có hàm ngược. 

 Định nghĩa 1.1.3 ( Hàm 1 1  ) 

Một hàm được gọi là tương ứng 1 1   giữa tập xác định và tập giá trị (gọi tắt là hàm 1 1  ) nếu nó không lấy một giá trị nào đó của nó hai lần; tức là: 

Các hàm ysin ,x ycos ,x ytan ,x t cotx. Mỗi hàm đều là hàm tuần hoàn.      

Hàm ysin ,x yc s xo  là hai hàm có tập xác định là và tập giá trị là [-1, 1]. 

e Các hàm lượng giác ngược

 Hàm yacrsinx

yacrsinx với miền xác định  1,  1và miền giá trị   ,  



Gọi x là số km taxi đã chạy và  f x( ) là giá tiền phải trả ứng với x km đó. Ta có  

m ; nguyên liệu làm các mặt bên là 6$ trên  2

m  Giá nguyên liệu để làm chiếc container là một hàm của chiều rộng mặt đáy, hãy biểu thị hàm này bằng một công thức. 

Giải

Đặt w là chiều rộng của mặt đáy, chiều dài mặt đáy là  2w; h là chiều cao của container. 

1.2 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ

1.2.1 Dãy số và giới hạn của dãy số

a Khái niệm dãy số

 Định nghĩa 1.2.1 Cho hàm  f  xác định trên tập . Khi đó tập các giá trị 

b Giới hạn của dãy số thực

 Định nghĩa 1.2.2 Số a (hữu hạn) được gọi là giới hạn của dãy số  x n  khi n dần ra 

vô cùng nếu với mọi số   0 bé tùy ý tồn tại số tự nhiên N  phụ thuộc vào    sao cho với mọi nN ta có  x na . Kí hiệu

d Dãy bị chặn, dãy đơn điệu

Dãy  x n  được gọi là tăng nếu x n x n1,  n 1, tức là x1x2 x3  . Nó được gọi là dãy giảm nếu x n x n1,  n 1. Một dãy là tăng hoặc là giảm thì được gọi chung 

là dãy đơn điệu. 

,  1

n

x M  n  Một dãy  x n  được gọi là bị chặn dưới nếu có một số m sao cho 

n

x m  n  Khi dãy vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới, thì ta nói  x n  là dãy bị chặn 

1.2.2 Giới hạn của hàm số

a Giới hạn của hàm tại một điểm

 Định nghĩa 1.2.3 Giả sử hàm  f x( ) xác định ở lân cận x0, không nhất thiết phải xác định tại x0

Số L (hữu hạn) được gọi là giới hạn của hàm  y f x( ) khi x dần đến  x0 nếu 

i.   Giới hạn của hàm  f x( ) khi xx0 (hay x  ) nếu có là duy nhất. 

ii.   Nếu  f x C (const) thì   

1.2.2 Ứng dụng của giới hạn

Dùng giới hạn ta có thể nhận biết dáng điệu của qui luật trong khoảng vô hạn. 

 Ví dụ 11

Một công ti dự tính rằng khi dùng x triệu USD để quảng cáo sản phẩm thì lợi  nhuận R (theo triệu USD) được cho bởi hàm: 

1.3 HÀM SỐ LIÊN TỤC 

1.3.1 Liên tục tại một điểm

 Định nghĩa 1.3.1  Cho hàm  f x( ) xác định trong khoảng ( ,  )a b  và x0( ,  )a b  

 Định nghĩa 1.3.2  Cho hàm  f x( ) xác định trong khoảng [ ,  ]a b  và x0[ ,  ]a b  Hàm  f  liên tục bên phải tại điểm x0 nếu   

Ta có f  1  1.  

   

1 1

  2

1 1

 Ví dụ 14  Chứng minh hàm    2

f x   x   liên tục trên [-1; 1]. 

Giải Nếu   1 a 1 thì sử dụng các định lý về giới hạn tại một điểm ta được: 

1.3.4 Điểm gián đoạn Phân loại điểm gián đoạn

 Định nghĩa 1.3.4  Cho hàm  f x( ) xác định trong ( ,  )a b  và x0( ,  )a b  Nếu  f x( ) không liên tục tại x0 thì ta nói  f x( ) gián đoạn tại x0. 

Gián đoạn loại 2: Ít nhất một trong các giới hạn     

1.3.5 Các phép toán đại số của hàm liên tục

 Định lý 1.3.1 Nếu các hàm số f và gliên tục tại điểm x0, thì các hàm số 

   , 

f x g x f x g x , f x g x  ( ) cũng liên tục tại x0 và  f x( ) / ( )g x  cũng liên tục tại x0 nếu g x ( ) 0. 

 Định lý 1.3.2 Nếu hàm  f x( ) liên tục tại x0, hàm g y( ) xác định trong khoảng chứa 

 Định lý 1.3.6 (Bolzano-Cauchy 2) 

Nếu  f x( ) liên tục trên [ ,  ]a b  và  f a f b     0 thì tồn tại điểm ca b,   sao cho 

  0

f c   

 Ví dụ 16  Hãy chứng minh rằng 2x  1 tanx 0 có một nghiệm duy nhất nằm thuộc 

Chi phí cố định: Chi phí cố định là tất cả các loại chi phí mà không thay đổi với  mức sản xuất  Ví dụ: Giá thuê của các cơ sở, bảo hiểm, thuế,… 

Chi phí biến đổi: Chi phí biến đổi là tổng tất cả các chi phí phụ thuộc mức độ sản  xuất. Ví dụ: Chi phí vật liệu, chi phí lao động, chi phí bao bì,… 

 ( )         ( )

C x F V x  

b Hàm yêu cầu

Một phương trình có liên quan đến một đơn vị giá và số lượng giá được gọi là hàm yêu cầu. 

Nếu p là giá trên một đơn vị của một sản phẩm nhất định và x là số lượng đơn vị yêu cầu thì ta có thể viết hàm yêu cầu: 

 x f p( ) hoặc p g x ( ) giá p thể hiện như một hàm của x. 

c Hàm doanh thu

Nếu x là số lượng đơn vị của sản phẩm nhất định bán ở mức giá. Giá p trên một đơn vị, số tiền thu được từ việc bán x đơn vị của một sản phẩm là tổng doanh thu. Do 

đó, nếu  R đại diện cho tổng doanh thu từ  x đơn vị của sản phẩm ở mức giá. Giá  p trên một đơn vị thì  

       R p x  là tổng doanh thu 

Do đó, hàm doanh thu   R x( ) p x x p x ( ) 

d Hàm lợi nhuận

Lợi nhuận được tính bằng cách trừ đi tổng chi phí từ tổng doanh thu bằng bán x đơn vị của sản phẩm. Do đó, nếu P x( ) là hàm lợi nhuận thì 

Trong đó: Q D là số cầu của người tiêu dùng đối với một loại hàng hóa nào đó, P 

là giá của hàng hóa đó và a b,  là các hằng số. 

+  Hàm cung là hàm số biểu diễn mối tương quan giữa lượng cung và các nhân tố ảnh hưởng đến lượng cung. 

s

Q a bP  Trong đó: Q D là hàm cung, P là giá, b là các hằng số dương, a là hằng số. 1.4.2 Bài tập ứng dụng

1.  Cho một sảm phẩm mới, nhà sản xuất dành 100000 USD cho cơ sở hạ tầng và cho phí biến đổi được ước tính là 150 USD trên một đơn vị của sản phẩm. Giá bán trên một đơn vị đã được cố định tại 200 USD. Tìm 

2.   Chi phí cố định của một sản phẩm là 18000 USD và chi phí biến đổi trên một đơn vị là 550 USD. Nếu hàm yêu cầu là  p x( )4000 150 x . Tìm điểm hòa vốn. 

Giải Giá của mỗi đơn vị p 20 USD 

Tổng doanh thu R x ( )    p x20  ,x  trong đó x là số lượng của đơn vị bán. 

4.   Một công ty sản xuất thấy rằng chi phí hàng ngày của sản xuất mặt hàng x của một sản phẩm được cho bởi C x( )210x7000 

i. Nếu mỗi mặt hàng được bán với giá 350 USD, tìm số lượng tối thiểu phải được sản xuất và bán hàng ngày để đảm bảo không bị lỗ. 

ii. Nếu giá bán tăng 35 USD cho mỗi đơn vị, đâu sẽ là điểm hòa vốn? 

iii. Để công ty sản xuất và bán ra sản phẩm mới ở mức chịu lỗ thì hàm lợi nhuận phải nhỏ hơn 0 

P ( đơn vị tiền )  Q D ( 1.000 chiếc/ năm )  Q s ( 1.000 chiếc/ năm ) 

1.4.3 Lãi đơn và lãi gộp

 Bài toán lãi đơn: Nếu ta cho vay một số tiền là  v0 với lãi suất mỗi kì là r. Cuối 

mỗi kì lãi được rút ra, chỉ để lại vốn cho kì sau (gọi là lãi đơn). Hỏi sau n kì số tiền có 

được là bao nhiêu? 

Giải Sau kì đầu thì số tiền lãi là  v r0  nên số tiền có được là: v0v0r   

Sau kì thứ 2 thì số tiền lãi là 2v r0  nên số tiền có được là:  v02v0r   

Tổng quát, sau n kì số tiền lãi thu được là  nv r0   nên số tiền có được là:  

v n r v   . 

 Nhận xét: Số tiền có được sau n kì là  a n v0n r v0 , trong đó v0và r đã biết nên ta 

được một dãy số, dãy này có đặc điểm là mỗi số hạng đứng sau bằng số hạng đứng trước cộng với một số cố định v r0  Các dãy như thế gọi là cấp số cộng. 

Bài toán lãi gộp:  Nếu ta cho vay một số tiền là  v0 (gọi là vốn) với lãi suất mỗi kì 

là r. Cuối mỗi kì lãi được nhập vào vốn để tạo thành vốn mới và tính lãi cho lì sau      

( gọi là lãi gộp hoặc lãi kép). Hổi sau n kì số tiền có được là bao nhiêu? 

Giải Sau một kì thì số tiền lãi là v r0 nên số tiền có được là: 

v v v rv r  Sau hai kì thì số có được là:  

     2

v v v rv r rv r v r  Sau ba kì thì số tiền có được là: 

7  Cho i 18%năm, tính tiền lãi của vốn đầu tư 20 triệu đồng trong các trường hợp sau: 

8 Một khoảng vốn là 100 triệu được gửi vào ngân hàng theo lãi suất là 5% một năm.  

CHƯƠNG 2  

PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN

2.1 ĐẠO HÀM

2.1.1 Đạo hàm tại một điểm

 Định nghĩa 2.1.1 Giả sử hàm y f x( ) xác định trong khoảng a b,  và x0 a b, . Cho x0 số gia x sao cho x0   x a b, . Lập tỉ số



  (hữu hạn) thì ta nói hàm  f x( ) có đạo hàm tại x0và giới hạn được gọi là đạo hàm của  f x( ) tại x0. Kí hiệu  '

0 ( )

y f x  f x xx  2.1.2 Đạo hàm một phía

 Định nghĩa 2.1.2  Các giới hạn hữu hạn

' 0

 Định lý 2.1.1 Hàm số có đạo hàm tại x0 khi và chỉ khi nó có đạo hàm trái và đạo hàm phải tại x0 và hai đạo hàm đó bằng nhau. 

 Ý nghĩa hình học

0

( )

f x , f x( )0  tương ứng là hệ số gốc của tiếp tuyến trái, phải của đường cong ( )

y f x  tại điểm ( , ( ))x0 f x0  

 Định lý 2.1.2 Nếu hàm  f x( ) có đạo hàm tại x0 thì f x( ) liên tục tại x0. 

Chứng minh  Giả sử  f x( ) có đạo hàm tại x0, tức là tồn tại  0

f x x  tại x 0. Ta có: 

1 3

2 1

F x y   nếu F x f x( , ( ))0,x. 

 Ví dụ 5 Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong  3 3

6

x y  xy tại điểm (3, 3). Giải

22

y x y

2.3.1 Khái niệm vi phân

 Định nghĩa 2.3.1  Cho hàm  f x( ) xác định trong ( , )a b  và x0( , )a b  Cho x0 một số gia x sao cho x0  x ( , )a b  Nếu có thể biểu diễn   f A x O.  (x), trong đó A là hằng số, O(x)là vô cùng bé cấp cao hơn x khi  x 0 thì hàm  f x( ) được gọi là khả vi tại x0 và biểu thức A x   được gọi là vi phân của  f x( ) tại x0, kí hiệu df , 

Do đó df là vô cùng bé tương đương với f nhưng đơn giản hơn f  

 Ví dụ 6 Chứng minh rằng hàm  f x( )x3 khả vi tại x 1. Tìm vi phân df(1). 

2.3.2 Quan hệ giữa đạo hàm và vi phân

 Định lý 2.3.1

i Nếu hàm  f x( ) khả vi tại x0 thì nó có đạo hàm tại x0và A f x( )0  

ii Ngược lại, nếu  f x( ) có đạo hàm tại x0 thì nó khả vi tại x0và df x( )0  f x( ).0 x. 

2.4.1 Cực trị địa phương Định lý Fermat

 Định lý 2.4.1 (Fermat) Cho hàm số  y f x( ) xác định trên khoảng ( , )a b  Nếu  f x( ) đạt cực trị tại điểm x0( , )a b  và tồn tại  f x( )0  thì  f x( )0 0. 

 Ví dụ 8 Chứng minh với mọi số thực a, b ta luôn có 

| sinasin |b |a b |. 

Giải   Không mất tính tổng quát, ta giả sử a > b. Xét hàm  f (t) = sint  trên đoạn [b, a] 

trong đó A a f a( , ( )), B b f b( , ( ). 

 Ví dụ 9 Giả sử  f(0) 3 và  f x( )5, x. Giá trị  f(2) nhỏ hơn hoặc bằng bao 

nhiêu?

Giải

Vì hàm  f  có đạo hàm tại mọi số thực nên liên tục trên tập số thực. Như vậy, ta có  thể áp dụng định lí Giá trị trung bình trên [0, 2]. Tồn tại một số c sao cho  

(2) (0) ( )(2 0)

f  f  f c   Suy ra  f(2) f(0) 2 f c( )