Thông tin tài liệu
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN
BỘ MÔN TOÁN
------------
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
GIẢI TÍCH HÀM MỘT BIẾN
VÀ CÁC ỨNG DỤNG
GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN
SINH VIÊN THỰC HIỆN
TS. NGUYỄN HỮU KHÁNH
VÕ NGỌC NỮ_ 1100182
(BỘ MÔN TOÁN – KHOA KHTN)
NGÀNH: TOÁN ỨNG DỤNG K36
CẦN THƠ - 12/2013
LỜI CẢM ƠN
-----------
Đầu tiên, em xin gởi lời cảm ơn sâu sắc đến tiến sĩ Nguyễn Hữu Khánh. Thầy đã
trực tiếp hướng dẫn, tận tình giúp đỡ em trong suốt quá trình làm luận văn.
Em xin chân thành cảm ơn quý Thầy, quý Cô trong bộ môn Toán khoa Khoa học
Tự nhiên trường Đại học Cần Thơ đã truyền kiến thức cho em trong suốt thời gian học
tập. Đó là nền tảng cho quá trình nghiên cứu viết luận văn và đó còn là hành trang quí
báo để em bước vào đời một cách vững chắc và tự tin.
Em cũng không quên gởi lời cảm ơn đến gia đình và bạn bè đã ủng hộ, động viên
và giúp đỡ em về mọi mặt để em có thể hoàn thành tốt luận văn này.
Cuối cùng em kính chúc quý Thầy, Cô dồi dào sức khỏe và thành công trong
công việc và cuộc sống.
Cần Thơ, tháng 12 năm 2013
Sinh viên thực hiện
Võ Ngọc Nữ
ii
DANH MỤC CÁC BẢNG
Trang
Bảng 1. Dân số trung bình của Việt Nam (1976 – 2013)
4
Bảng 2 Cung cầu đối với xe đạp ở một địa phương
22
Bảng 3 Bảng chuyển động của gia tốc và vận tốc
50
DANH MỤC CÁC HÌNH
Trang
Hình 1. Đồ thị hàm trị tuyệt đối
4
Hình 2. Đồ thị điện tâm đồ trong y học
4
Hình 3. Đồ thị hàm lũy thừa y x ( )
6
Hình 4 Đồ thị hàm mũ y a x (0 a 1)
7
Hình 5 Đồ thị hàm logarit y log a x (0 a 1)
7
Hình 6 Đồ thị hàm giới hạn g ( x)
10
Hình 7 Đồ thị thể hiện lợi nhuận công ti
13
Hình 8 Đồ thị tiếp tuyến với đường cong
30
Hình 9 Đồ thị hàm số y
x2 1
x3
41
Hình 10 Đồ thị phương trình r a (1 cos ), a 0
3
x a cos t
(a 0)
3
y a sin t
43
Hình 11. Đồ thị của phương trình tham số
45
Hình 12 Diện tích hình thang cong
64
Hình 13 Diện tích hình thang cong vô hạn
69
iii
MỤC LỤC
PHẦN MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài ---------------------------------------------------------------------------------- 1
II. Mục đích nghiên cứu ------------------------------------------------------------------------ 1
III. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu --------------------------------------------------------- 2
IV. Phương pháp nghiên cứu ------------------------------------------------------------------ 2
PHẦN NỘI DUNG
CHƯƠNG 1
HÀM SỐ – GIỚI HẠN – LIÊN TỤC ----------------------------------- 3
1.1 Hàm số -------------------------------------------------------------------------------------------- 3
1.1.1 Các khái niệm cơ bản --------------------------------------------------------------------- 3
1.1.2 Tổng, hiệu, tích và thương các hàm ---------------------------------------------------- 5
1.1.3 Hàm hợp ------------------------------------------------------------------------------------ 5
1.1.4 Hàm ngược --------------------------------------------------------------------------------- 5
1.1.5 Các hàm sơ cấp cơ bản -------------------------------------------------------------------- 6
1.1.6 Hàm sơ cấp --------------------------------------------------------------------------------- 8
1.1.7 Ứng dụng của hàm số --------------------------------------------------------------------- 8
1.2 Giới hạn của dãy số và hàm số ------------------------------------------------------------- 10
1.2.1 Dãy số và giới hạn của dãy số --------------------------------------------------------- 10
1.4.2 Bài tập ứng dụng ------------------------------------------------------------------------- 19
1.4.3 Lãi đơn và lãi gộp ------------------------------------------------------------------------ 22
CHƯƠNG 2
PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN ------------- 25
2.1 Đạo hàm----------------------------------------------------------------------------------------- 25
2.1.1 Đạo hàm tại một điểm ------------------------------------------------------------------ 25
2.1.2 Đạo hàm một phía ----------------------------------------------------------------------- 25
2.2 Các phương pháp tính đạo hàm ------------------------------------------------------------ 27
2.2.1 Đạo hàm của các hàm sơ cấp cơ bản ------------------------------------------------- 27
2.2.2 Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương ------------------------------------------------ 27
2.2.3 Đạo hàm của hàm hợp ------------------------------------------------------------------ 27
iv
v( x)
2.2.4 Đạo hàm của hàm y u ( x)
, (u ( x ) 0) ----------------------------------------- 28
2.2.5 Đạo hàm lôgarit -------------------------------------------------------------------------- 28
2.2.6 Đạo hàm của hàm ẩn ------------------------------------------------------------------- 28
2.3 Vi phân ------------------------------------------------------------------------------------------ 29
2.3.1 Khái niệm vi phân ----------------------------------------------------------------------- 29
2.3.2 Quan hệ giữa đạo hàm và vi phân ---------------------------------------------------- 30
2.3.3 Các qui tắc tính vi phân ----------------------------------------------------------------- 30
2.3.4 Ý nghĩa hình học ------------------------------------------------------------------------- 30
2.3.5 Ứng dụng của vi phân để tính gần đúng --------------------------------------------- 31
2.4 Các định lí giá trị trung bình ---------------------------------------------------------------- 31
2.4.1 Cực trị địa phương. Định lý Fermat -------------------------------------------------- 31
2.4.2 Các định lý giá trị trung bình ---------------------------------------------------------- 31
2.4.3 Quy tắc L’Hospital ---------------------------------------------------------------------- 34
2.5 Một số ứng dụng của đạo hàm ------------------------------------------------------------- 35
2.5.1 Công thức Taylor ------------------------------------------------------------------------ 35
2.5.2 Một số khai triển quan trọng ----------------------------------------------------------- 35
2.5.3 Ứng dụng ---------------------------------------------------------------------------------- 36
2.6 Ứng dụng của đạo hàm ---------------------------------------------------------------------- 37
2.6.1 Tính đơn điệu ---------------------------------------------------------------------------- 37
2.6.2 Khảo sát hàm số ------------------------------------------------------------------------- 37
2.6.3 Đường cong trong tọa độ cực ---------------------------------------------------------- 42
2.6.8 Đường cong cho bởi phương trình tham số ----------------------------------------- 44
2.6.4 Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất ------------------------------------------------------- 46
2.6.9 Tốc độ biến thiên ------------------------------------------------------------------------- 48
2.6.5 Vận tốc và gia tốc ------------------------------------------------------------------------ 49
2.7 Ứng dụng của đạo hàm một biến trong kinh tế ----------------------------------------- 51
2.7.1 Đạo hàm và giá trị biên tế trong kinh tế ------------------------------------------- 51
2.7.2 Hàm trung bình và hàm chi phí biên ----------------------------------------------- 52
2.7.3 Doanh thu trung bình và doanh thu biên ------------------------------------------- 54
2.7.4 Giảm thiểu chi phí trung bình hoặc tổng chi phí và tối đa hoá tổng doanh
thu, tổng lợi nhuận ------------------------------------------------------------------------------ 56
2.7.5 Độ co dãn của một hàm số------------------------------------------------------------ 58
v
2.7.6 Hàm cầu biểu diễn quan hệ giá p và QD f ( p) -------------------------------- 58
2.7.7 Hàm số cung biểu diễn quan hệ giữa giá p và Qs G ( p) -------------------- 58
2.7.8 Bài toán tìm kích thước lô hàng tối ưu -------------------------------------------- 60
CHƯƠNG 3
PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN ---------------------- 61
3.1 Nguyên hàm và tích phân bất định --------------------------------------------------------- 61
3.1.1 Nguyên hàm ------------------------------------------------------------------------------- 61
3.1.2 Tích phân bất định ----------------------------------------------------------------------- 61
3.3.3 Các phương pháp tính tích phân ------------------------------------------------------ 63
3.2 Tích phân xác định ---------------------------------------------------------------------------- 64
3.2.1 Bài toán tính diện tích hình thang cong --------------------------------------------- 64
3.2.2 Khái niệm tích phân xác định --------------------------------------------------------- 65
3.2.3 Công thức Newton-Leibnitz ----------------------------------------------------------- 67
3.2.4 Các phương pháp tính tích phân xác định------------------------------------------- 68
3.3 Tích phân suy rộng ---------------------------------------------------------------------------- 69
3.3.1 Tích phân với cận vô hạn (loại 1) ----------------------------------------------------- 70
3.3.2 Tích phân của hàm không bị chặn (loại 2) ------------------------------------------ 71
3.4 Ứng dụng của tích phân xác định ---------------------------------------------------------- 72
3.4.1 Tính giá trị trung bình của hàm trên một đoạn ------------------------------------ 72
3.4.2 Diện tích hình phẳng -------------------------------------------------------------------- 72
3.4.3 Tính độ dài đường cong ---------------------------------------------------------------- 73
3.4.4 Tính thể tích ------------------------------------------------------------------------------ 74
3.5 Ứng dụng hình học của tích phân suy rộng ----------------------------------------------- 76
3.6 Ứng dụng tích phân xác định trong khoa học kĩ thuật --------------------------------- 76
3.6.1 Tổng thay đổi của đại lượng ---------------------------------------------------------- 76
3.6.2 Công của lực sản sinh ------------------------------------------------------------------ 77
3.7 Ứng dụng trong xác suất – thống kê ------------------------------------------------------ 78
3.7.1 Kỳ vọng ------------------------------------------------------------------------------------ 78
3.7.2 Phương sai -------------------------------------------------------------------------------- 79
3.8 Ứng dụng của tích phân trong kinh tế ----------------------------------------------------- 80
3.8.1 Xác định hàm chi phí ------------------------------------------------------------------ 80
3.8.2 Xác định hàm tổng doanh thu -------------------------------------------------------- 82
3.8.3 Giá trị tương lai -------------------------------------------------------------------------- 83
vi
3.8.4 Giá trị tích lũy tương lai của dòng thu nhập liên tục ----------------------------- 84
3.8.5 Giá trị hiện tại ---------------------------------------------------------------------------- 84
3.8.6 Giá trị tích lũy hiện tại của dòng thu nhập liên tục ------------------------------ 85
3.8.7 Tiêu thụ tài nguyên thiên nhiên ------------------------------------------------------ 86
3.8.8 Tìm hàm tổng chi phí khi biết chi phí biên ---------------------------------------- 87
3.8.9 Xác định nguồn vốn đầu tư K(t) từ tốc độ thay đổi đầu tư I(t)----------------- 87
3.8.10 Tính giá trị thặng dư của người tiêu dùng ---------------------------------------- 88
3.8.11 Tính giá trị thặng dư của nhà sản xuất -------------------------------------------- 89
CHƯƠNG 4
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT ----------------------- 90
4.1 Phương trình tách biến ----------------------------------------------------------------------- 90
4.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp một ------------------------------------------------ 91
4.3 Phương trình dẳng cấp ------------------------------------------------------------------------ 92
4.4 Phương trình Bernoulli----------------------------------------------------------------------- 94
4. 5 Phương trình vi phân toàn phần ----------------------------------------------------------- 95
KẾT LUẬN ---------------------------------------------------------------------------------------- 97
TÀI LIỆU THAM KHẢO ------------------------------------------------------------------- 98
vii
PHẦN MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài
Từ xưa giải tích đã được con người biết đến. Vì thế ứng dụng của giải tích vào
cuộc sống là điều mà con người luôn quan tâm. Giải tích có các ứng dụng đáng kể
trong nhiều lĩnh vực đặc biệt trong kinh tế trên dưới một thế kỉ nay, nhưng chúng
không được ứng dụng rộng rãi bởi các nhà kinh tế cổ điển chỉ dùng thí dụ minh họa
cho các lý thuyết của mình hay các công thức toán học và đồ thị. Ngày nay Khoa học
kĩ thuật và Kinh tế ngày càng phát triển dựa vào sử dụng rất nhiều công cụ toán học,
đặc biệt là giải tích.
Phép tính vi phân và tích phân, hai phép tính này đóng vai trò rất quan trọng và là
nền tảng cho sự phát triển của giải tích toán học. Ngoài ra chúng còn được đưa vào
ứng dụng trong nhiều lĩnh vực như: Vật lí, y học, khoa học kĩ thuật, thống kê,... Đặc
biệt trong ứng dụng kinh tế ngày một nhiều. Nó giúp cho kinh tế diễn giải, trình bày
được nhiều vấn đề mà các phương pháp diễn giải bằng lời thông thường không có hiệu
quả. Giải tích dường như rất khô khan về mặt lý thuyết nhưng ứng dụng của chúng
trong một số lĩnh vực cũng như trong các bài toán kinh tế rất thú vị và hấp dẫn. Sử
dụng giải tích để phân tích kinh tế, phân tích tình huống và nghiên cứu kinh tế thị
trường.
Nghiên cứu ứng dụng của giải tích sẽ giúp ta hiểu sâu hơn các kiến thức giải tích
đã học, thấy được lợi ích của toán học và làm quen với việc áp dụng toán học vào đời
sống. Đó là lí do mà em chọn làm nghiên cứu đề tài: “ GIẢI TÍCH HÀM MỘT BIẾN
VÀ CÁC ỨNG DỤNG “ cho luận văn tốt nghiệp.
II. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu ứng dụng giải tích trong một số lĩnh vực
Nhằm vận dụng giải tích vào trong phân tích các mô hình kinh tế để nắm rõ hơn
các nguyên tắc và các quy luật kinh tế.
1
III. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Ứng dụng của Giải tích vào một số hàm kinh tế cơ bản.
Phạm vi nghiên cứu: Đề tài tập trung vào những nội dung cơ bản của hàm một
biến.
IV. Phương pháp nghiên cứu
Tổng hợp, phân tích và trình bày các kiến thức cơ bản của hàm một biến.
Phương pháp thực nghiệm: Vận dụng các kiến thức vào trong các ví dụ cụ thể.
2
CHƯƠNG 1
HÀM SỐ – GIỚI HẠN – LIÊN TỤC
1.1 HÀM SỐ
1.1.1 Các khái niệm cơ bản
a. Hàm số
Định nghĩa 1.1.1 Cho tập X ,X . Hàm số (hay hàm) f xác định trên X là
một quy tắc cho tương ứng mỗi số x X với một số thực xác định duy nhất f ( x ) .
Kí hiệu f : x f x hay y f ( x ) .
X được gọi là miền xác định, kí hiệu là D f hay D ( f ) . Nếu hàm f được cho bởi
biểu thức giải tích y f ( x ) và không chỉ rõ miền xác định thì miền xác định D f là tập
các số thực làm cho biểu thức f ( x ) có nghĩa.
Tập hợp f X f x : x X được gọi là miền giá trị của hàm f .
Ta gọi x là biến độc lập (hay đối số), y là biến phụ thuộc (hay hàm).
Giá trị của hàm f tại x = a được kí hiệu là f (a ) hay f x |x a .
Đồ thị của hàm số
Đồ thị của hàm số y f x với miền xác định X là tập hợp các điểm ( x, f ( x))
trong mặt phẳng tọa độ với x X .
b. Các phương pháp cho hàm
i. Phương pháp giải tích
Hàm được cho dưới dạng một hay nhiều biểu thức giả tích.
Ví dụ 1 Hàm trị tuyệt đối cho bởi
x , x 0
.
y x
x , x 0
Hàm xác định trên D , và có miền giá trị f D 0, ) .
3
Hình 1. Đồ thị hàm trị tuyệt đối
ii. Phương pháp bảng
Hàm được cho bởi một bảng trong đó một hàng (cột) ghi các giá trị của biến số
và một hàng (cột) còn lại ghi các giá trị tương ứng của hàm.
Ví dụ 2 Dân số trung bình của Việt Nam qua các mốc thời gian từ năm 1976 đến
2013 được cho bởi bảng sau (đơn vị tính là triệu người):
Bảng 1. Dân số trung bình của Việt Nam (1976 – 2013)
1976
1980
1985
1990
1995
2000
2005
2009
2011
2013
49.16 53,72 59,87 66,02 71,99 77,63 83,12 85,70 87,84 90,00
Trong bảng trên, năm là biến độc lập, dân số là biến phụ thuộc và bảng biểu diễn
dân số như là hàm của năm.
iii. Phương pháp đồ thị
Hàm được cho bởi đồ thị. Phương pháp này cho ta thấy được dáng điệu của
hàm.
Ví dụ 3 Điện tâm đồ trong y học.
Hình 2. Đồ thị điện tâm đồ trong y học
4
1.1.2 Tổng, hiệu, tích và thương các hàm
Với x D f Dg , các hàm f + g, f - g, fg và
i.
f
cho bởi
g
f g x f x g x
ii. fg x f x .g ( x)
iii.
f
f ( x)
, g ( x ) 0 .
x
g
g ( x)
1.1.3 Hàm hợp
Giả sử y f (u ) là hàm số của biến số u và u g ( x) là hàm số của biến số x .
Khi đó y f u f g ( x) gọi là hàm số hợp của biến độc lập x thông qua biến trung
gian u , kí hiệu f g . Ta có:
f g x
f g x , x Dg
Nhận xét
Hàm hợp f g xác định với mọi x tại đó g ( x) xác định và g ( x) thuộc miền xác
định của f , tức là D f g x : x D g , g ( x ) D( f ) và f g g f .
Ví dụ 4 Cho các hàm f x 2 x 2 1 và g x x 1 . Ta có
f g x
2
f g x 2 g x 1 2 x 1 1 2 x 1
g f x g f x
f x 1
2x
2
1 1 2 x .
Ta thấy g f 0 0 f g 0 1 .
1.1.4 Hàm ngược
Định nghĩa 1.1.2 Giả sử hàm f xác định trên X và có miền giá trị là Y và là hàm
1 1 , tức là nếu x1 x2 thì f ( x1 ) f ( x2 ) . Khi đó với mỗi y Y tồn tại duy nhất x X
sao cho f x y .
Coi x Y là biến độc lập thì với mọi x Y tồn tại duy nhất y f 1 ( x ) X để
f y x . Ta có hàm y f 1 x , x Y , gọi là hàm ngược của hàm y f ( x ) .
5
Chú ý : Chỉ có hàm 1 1 mới có hàm ngược.
Định nghĩa 1.1.3 ( Hàm 1 1 )
Một hàm được gọi là tương ứng 1 1 giữa tập xác định và tập giá trị (gọi tắt là
hàm 1 1 ) nếu nó không lấy một giá trị nào đó của nó hai lần; tức là:
f x1 f x2 khi x1 x2 .
Ví dụ 5
i. Hàm y x3 có hàm ngược x 3 y , cả hai cùng xác định trên .
ii. Hàm y a x (0 a 1) xác định trên và có miền giá trị. Hàm này có hàm
ngược x log a y xác định trong khoảng D (0, ) và có miền giá trị f D .
iii. Hàm y x 2 không có hàm ngược trên vì không là hàm 1 1 .
1.1.5 Các hàm sơ cấp cơ bản
a. Hàm lũy thừa: y x α (α )
Nếu vô tỉ ta quy ước xét: x 0 nếu 0 và x 0 nếu 0 .
Miền xác định của hàm phụ thuộc vào
Đồ thị của tất cả các hàm y x ( ) đều đi qua điểm (1, 1), chúng đi qua gốc O
nếu 0 và không đi qua O nếu 0 .
Hình 3 Đồ thị hàm lũy thừa y x α (α )
b. Hàm mũ: y a x (0 a 1)
Hàm xác định với mọi x và luôn nhận giá trị dương.
Hàm tăng khi a 1 và giảm khi 0 a 1 .
Đồ thị luôn đi qua hai điểm 0,1 , nằm trên trục Ox và tiệm cận với trục Ox .
6
Hình 4 Đồ thị hàm mũ y a x (0 a 1)
c. Hàm logarit: y log a x (0 a 1)
Hàm logarit là hàm ngược của hàm mũ.
Hàm xác định với mọi x 0 .
Hàm tăng khi a 1 và giảm khi 0 a 1 .
Đồ thị đối xứng với đồ thị của hàm y a x qua đường phân giác thứ nhất, luôn đi
qua điểm (1, 0) , nằm bên phải trục Oy và tiệm cận với Oy .
Hình 5 Đồ thị hàm logarit y log a x (0 a 1)
d. Các hàm lượng giác
Các hàm y sin x, y cos x, y tan x, t cot x . Mỗi hàm đều là hàm tuần hoàn.
Hàm y sin x, y cos x là hai hàm có tập xác định là và tập giá trị là [-1, 1].
Hàm y tanx có tập xác định là x | x
k và tập giá trị là ; .
2
Hàm y cotx có tập xác định là x | x k và tập giá trị là ; .
e. Các hàm lượng giác ngược
Hàm y acrsinx
y acrsinx với miền xác định 1, 1 và miền giá trị , .
2 2
7
Hàm y arccosx
y arccosx với miền xác định là 1, 1 , miền giá trị là [0, ] .
Hàm y arctan x
y arctan x có miền xác định là , miền giá trị , .
2 2
Hàm y arc cot x
y arc cot x có miền xác định là , miền giá trị 0, .
1.1.6 Hàm sơ cấp
Định nghĩa 1.1.4 Hàm sơ cấp là hàm được tạo thành bởi một số hữu hạn các phép
lấy tổng, hiệu, tích, thương, hàm hợp đối với các hàm sơ cấp cơ bản và các hằng.
Chẳng hạn f x e cosx lnx 2 x3arcsinx 2 là hàm sơ cấp.
1.1.7 Ứng dụng của hàm số
Phần này giới thiệu ứng dụng của hàm số thông qua các ví dụ.
Ví dụ 6 (Giá tiền đi xe taxi) Giá đi xe taxi trong thành phố được tính như sau: trong
2km đầu tiên trả 20 000đ, 3km kế tiếp phải trả thêm 8 000đ/km, sau km thứ năm phải
trả thêm 5 000đ/km.
Gọi x là số km taxi đã chạy và f ( x ) là giá tiền phải trả ứng với x km đó. Ta có
20 000 , 0 x 2
f x 20 000 8 000 x 2 , 2 x 5
44 000 5 000 x 5 , x 5.
Giá đi 4 km là : f (4) 20000 2.8000 36000 đ
Ví dụ 7 (Liên hệ giữa độ C và độ F) Có hai đơn vị phổ biến để đo nhiệt độ: Celcius
(C) và Fahrenheit (F). Nước đông đặc ở 00 C và 320 F . Nước sôi ở 1000 C và 2120 F .
a. Giả sử nhiệt độ Celcius TC và nhiệt độ Fahrenheit TF liên hệ với nhau
bởi một phương trình tuyến tính. Tìm sự biểu diễn TF như là hàm TC .
b. Nhiệt độ bình thường của người là 37 0 C . Hỏi ở nhiệt độ F nó là bao
nhiêu?
8
Giải
a. Vì TC và TF liên quan với nhau một cách tuyến tính nên ta có thể giả sử
32 0.a b
TF aTC b . Theo giả thiết ta có hệ phương trình
212 100.a b
9
5
9
5
Giải hệ ta được a , b 32 . Do đó TF TC 32
9
5
b. Ta có TF 37 .37 32 98, 6 nên ở nhiệt độ F nhiệt độ trung bình
thường của người là 98, 600 F .
Ví dụ 8 (Giá nguyên liệu). Một container hình hộp chữ nhật không có nắp phía trên
với thể tích là 10m3 . Chiều dài của đáy bằng hai lần chiều rộng. Nguyên liệu để làm
đáy là 10$ một m 2 ; nguyên liệu làm các mặt bên là 6$ trên m 2 . Giá nguyên liệu để
làm chiếc container là một hàm của chiều rộng mặt đáy, hãy biểu thị hàm này bằng
một công thức.
Giải
Đặt w là chiều rộng của mặt đáy, chiều dài mặt đáy là 2w ; h là chiều cao của
container.
Diện tích của mặt đáy là 2w( w) 2w2 nên giá nguyên liệu để làm mặt đáy là:
10(2w2 )$.
Hai mặt bên có diện tích là 2 wh và hai mặt bên còn lại có diện tích wh nên giá
nguyên liệu để làm các mặt bên là:
6 2 wh 2(2 wh) $
Như vậy, giá nguyên liệu tổng cộng là
C 10 2w2 6 2 wh 2 2wh 20 w2 36 wh
Mặt khác, thể tích của nó là 10m3 nên ta có w 2 w h 10 , tức là h
5
w2
Thay vào công thức tính C, ta được:
5
C 20w2 36wh 2
w
180
2
20 w
w
Vậy giá nguyên liệu được biểu thị theo chiều dài cạnh đáy bởi công thức sau:
C 20w2
9
180
, w 0.
w
1.2 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ
1.2.1 Dãy số và giới hạn của dãy số
a. Khái niệm dãy số.
Định nghĩa 1.2.1 Cho hàm f xác định trên tập . Khi đó tập các giá trị
f 1 , f 2 , , f n , lập thành một dãy số (hay dãy).
Đặt xn f (n) , ta được dãy số x1 , x2 , , xn , , kí hiệu là xn n .
xn được gọi là số hạng tổng quát (hay số hạng thứ n) của dãy.
Ví dụ 9
n
n
1 2 3
i.
,
, , , ,
n 1
n 1 n 1 2 3 4
ii. 1
1
n n
n
1,1 , 1,1 ,, 1 , .
n
n
1 1
2 3
1, , ,
b. Giới hạn của dãy số thực
Định nghĩa 1.2.2 Số a (hữu hạn) được gọi là giới hạn của dãy số xn khi n dần ra
vô cùng nếu với mọi số 0 bé tùy ý tồn tại số tự nhiên N phụ thuộc vào sao cho
với mọi n N ta có xn a . Kí hiệu
lim xn a hay xn a
n
c. Các phép tính giới hạn
Định lý 1.2.1 Nếu các dãy số xn và yn có giới hạn thì
i. lim xn yn lim xn lim yn
x
x
x
ii. lim xn . yn lim xn .lim yn
x
iii. lim
x
x
x
xn
xn lim
x (lim yn 0) .
x
yn lim yn
x
10
d. Dãy bị chặn, dãy đơn điệu
Dãy xn được gọi là tăng nếu xn xn1 , n 1 , tức là x1 x2 x3 . Nó được
gọi là dãy giảm nếu xn xn 1 , n 1 . Một dãy là tăng hoặc là giảm thì được gọi chung
là dãy đơn điệu.
xn M , n 1
Một dãy xn được gọi là bị chặn dưới nếu có một số m sao cho
xn m, n 1 .
Khi dãy vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới, thì ta nói xn là dãy bị chặn
1.2.2 Giới hạn của hàm số
a. Giới hạn của hàm tại một điểm
Định nghĩa 1.2.3 Giả sử hàm f ( x ) xác định ở lân cận x0 , không nhất thiết phải xác
định tại x0 .
Số L (hữu hạn) được gọi là giới hạn của hàm y f ( x ) khi x dần đến x0 nếu
0, 0 sao cho x X , 0 x x0 ta có f x L .
Kí hiệu lim f x L hay f x L khi x x0 .
x x0
b. Giới hạn một phía
Định nghĩa 1.2.4
Khi x dần về x0 bên trái ( x x0 và x x0 ) thì giới hạn của f ( x ) được gọi là
giới hạn trái của f ( x ) tại x0 , kí hiệu là lim f ( x ) hay f ( x0 0) .
x x0
Khi x dần về x0 bên phải ( x x0 và x x0 ) thì giới hạn của f ( x ) được gọi là
giới hạn phải của f ( x ) tại x0 , kí hiệu là lim f ( x) hay f ( x0 0) .
x x0
Định lý 1.2.2
lim f x L lim f x , lim f x và lim f x lim f x L
x x0
x x0
x x0
x x0
Ví dụ 10 Đồ thị hàm g được cho trong hình dưới đây
11
x x0
Hình 6 Đồ thị hàm giới hạn g ( x)
c. Tính chất
i. Giới hạn của hàm f ( x ) khi x x0 (hay x ) nếu có là duy nhất.
ii. Nếu f x C (const) thì lim f x C .
x x0
iii. Nếu lim f x L và A f x B x X thì A L B .
x x0
Đặc biệt, nếu f x 0 f x 0 x X thì L 0 ( L 0) .
v. Nếu lim f x L thì lim f ( x) L .
x x0
x x0
d. Các phép toán về giới hạn
Định lý 1.2.3 (Giới hạn hữu hạn)
Giả sử: lim f x L , lim g x M hữu hạn. Khi đó:
x x0
x x0
i. lim f x g ( x) L M
xx
0
ii. lim f x .g ( x) L.M
xx
0
iii. lim
x x0
f ( x) L
( M 0)
g ( x) M
Định lý 1.2.4 (Giới hạn của hàm hợp)
Xét hàm hợp f u x . Nếu
i. lim u x u0 .
x x0
ii. f u xác định tại u0 và lân cận u0 và lim f u f (u0 ) thì
x x0
lim f u ( x) f (u0 ) f lim u x .
x x0
x x0
12
1.2.2 Ứng dụng của giới hạn
Dùng giới hạn ta có thể nhận biết dáng điệu của qui luật trong khoảng vô hạn.
Ví dụ 11
Một công ti dự tính rằng khi dùng x triệu USD để quảng cáo sản phẩm thì lợi
nhuận R (theo triệu USD) được cho bởi hàm:
R x 500
1000
x4
a. Tìm lim R( x) và lim R( x )
x0
x
b. Công ti đang chi 30 triệu cho quảng cáo. Hỏi công ti có nên tăng số tiền đó lên
đến 40 triệu USD hay không?
Giải
Hình 7 Đồ thị thể hiện lợi nhuận công ti
a. Ta có
lim R x 500
x0
1000
250
04
lim R x 500 0 500
x
b. Ta thấy R x tăng và R x 500 , x 0 . Khi x 30 thì R x tăng chậm.
Vì R 30 470,59 và R 40 477, 27 nên R 40 R 30 6, 69 triệu USD. Hiệu số
này nhỏ hơn 10 triệu USD chi cho quảng cáo nên việc chi thêm tiền cho quảng cáo là
không có lợi.
13
1.3 HÀM SỐ LIÊN TỤC
1.3.1 Liên tục tại một điểm
Định nghĩa 1.3.1 Cho hàm f ( x ) xác định trong khoảng (a, b) và x0 (a, b) .
f được gọi là liên tục tại x0 nếu lim f x f ( x0 ) .
x x0
f liên tục trong (a, b) nếu f liên tục tại mọi x0 (a, b) .
Tức là 0, n 0, x : x x0 n f x f x0 .
2 1
x sin , x 0
Ví dụ 12 Xét tính liên tục của hàm f ( x )
tại x 0 .
x
0 , x 0
Ta có f 0 0 .
Vì 0 x 2 sin
1
2
x 0 nên lim f x 0
x0
x
Do lim f x f (0) nên f liên tục tại x 0 .
x0
1.3.2. Liên tục tại một phía
Định nghĩa 1.3.2 Cho hàm f ( x ) xác định trong khoảng [a, b] và x0 [a, b] .
Hàm f liên tục bên phải tại điểm x0 nếu lim f x f ( x0 ) .
x x0
Hàm f liên tục bên trái tại điểm x0 nếu lim f x f ( x0 ) .
x x0
Để hàm f liên tục tại x0 điều kiện cần và đủ:
lim f x lim f x f ( x0 )
x x0
x x0
Ví dụ 13 Xét tính liên tục một phía của hàm
x 2 , x 1
tại x 1 .
f ( x)
3
x
1 ,
x
1
Giải
Ta có f 1 1 .
lim f x lim 3 x 1 4 f (1) .
x 1
x 1
Do đó f không liên tục trái tại x 1 .
14
lim f x lim x 2 f (1) .
x 1
x 1
Suy ra f liên tục phải tại x 1 .
1.3.3 Hàm liên tục trong một khoảng
Định nghĩa 1.3.3 Hàm số được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại
mọi điểm thuộc khoảng đó.
Ví dụ 14 Chứng minh hàm f x 1 1 x 2 liên tục trên [-1; 1].
Giải
Nếu 1 a 1 thì sử dụng các định lý về giới hạn tại một điểm ta được:
lim f x lim 1 1 x 2 1 lim
x a
x a
x a
1 x 2 1 1 a 2 f (a ) .
Tức là hàm f liên tục tại mọi điểm thuộc 1;1 .
Nếu a 1 thì lim f x 1 f (1) .
x 1
Nếu a 1 thì lim f x 1 f (1)
x 1
Vậy hàm liên tục phải tại -1 và liên tục trái tại 1.
Nên hàm đã cho liên tục tại [-1; 1].
1.3.4. Điểm gián đoạn. Phân loại điểm gián đoạn
Định nghĩa 1.3.4 Cho hàm f ( x ) xác định trong (a, b) và x0 (a, b) . Nếu f ( x )
không liên tục tại x0 thì ta nói f ( x ) gián đoạn tại x0 .
Phân loại:
Gián đoạn loại 1: Nếu tồn tại lim f x và lim f x hữu hạn.
x x0
x x0
Đặc biệt, khi lim f x lim f x L f ( x0 ) thì ta gọi x0 là điểm gián đoạn bỏ
x x0
x x0
được. Nếu thay L bởi f ( x0 ) thì hàm liên tục tại x0 .
Gián đoạn loại 2: Ít nhất một trong các giới hạn lim f x , lim f x không tồn
x x0
x x0
tại hoặc tồn tại nhưng bằng .
Ví dụ 15 Chứng minh hàm y arctg
1
gián đoạn tại x 4 .
x4
15
Giải
Nếu x 4 thì
1
1
và lim
.
x 4 x 4
x4
2
Nếu x 4 thì
1
1
và lim
.
x 4 x 4
x4
2
Vậy khi x 4 hàm này có giới hạn bên trái và giới hạn bên phải hữu hạn, nhưng
giới hạn này khác nhau nên x 4 là điểm gián đoạn loại 1.
1.3.5 Các phép toán đại số của hàm liên tục
Định lý 1.3.1 Nếu các hàm số f và g liên tục tại điểm x0 , thì các hàm số
f x g x , f x g x , f x .g ( x ) cũng liên tục tại x0 và f ( x ) / g ( x ) cũng liên tục
tại x0 nếu g ( x) 0 .
Định lý 1.3.2 Nếu hàm f ( x ) liên tục tại x0 , hàm g ( y ) xác định trong khoảng chứa
y0 f ( x0 ) và liên tục tại y0 thì hàm hợp g o f ( x ) liên tục tại x0 .
Định lý 1.3.3 Mọi hàm số sơ cấp liên tục tại mọi điểm thuộc miền xác định của nó.
Định lý 1.3.4 (Weierstrass) Hàm số f ( x ) liên tục trên [a, b] thì đạt giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất trên [a, b] , nghĩa là:
xm , xM a, b , x [a, b] có f xm f x f ( xM ) .
Định lý 1.3.5 (Bolzano-Cauchy 1)
Nếu f ( x ) liên tục trên [a, b] khi đó f ( x ) nhận giá trị trung gian giữa f a và
f b , nghĩa là: f a , f b , c a, b , f (c) .
1.3.6 Ứng dụng của hàm liên tục để chỉ ra sự tồn tại nghiệm của phương trình
Ta có thể dùng tính liên tục của hàm để chỉ ra sự tồn tại nghiệm của phương
trình trong khoảng mà không cần thiết giải phương trình.
Định lý 1.3.6 (Bolzano-Cauchy 2)
Nếu f ( x ) liên tục trên [a, b] và f a . f b 0 thì tồn tại điểm c a, b sao cho
f c 0 .
16
Ví dụ 16 Hãy chứng minh rằng 2 x 1 tanx 0 có một nghiệm duy nhất nằm thuộc
0; .
3
Giải
f x 2 x 1 tanx
Ta có:
f 0 1, f 3
3
Và
f 0 . f 3 0
3
Suy ra
x0 0; : f x0 0
3
Với x x0 ta có:
f x f x f x0 2 x x0 tanx tanx0 0
Với x x0
f x f x f x0 2 x x0 tanx tanx0 0
Vãy f x 0 có một nghiệm thuộc 0; .
3
1.4 ỨNG DỤNG HÀM SỐ, GIỚI HẠN, LIÊN TỤC TRONG KINH TẾ
1.4.1 Các hàm cơ bản
a. Hàm chi phí
Tổng chi phí C của sản xuất và đơn vị x của sản phẩm phụ thuộc số lượng các
đơn vị x . Nên hàm liên quan C và x được gọi là hàm chi phí và được viết:
C C ( x)
Tổng chi phí sản xuất đơn vị x của sản phẩm bao gồm 2 phần:
Chi phí cố định: Chi phí cố định là tất cả các loại chi phí mà không thay đổi với
mức sản xuất . Ví dụ: Giá thuê của các cơ sở, bảo hiểm, thuế,…
Chi phí biến đổi: Chi phí biến đổi là tổng tất cả các chi phí phụ thuộc mức độ sản
xuất. Ví dụ: Chi phí vật liệu, chi phí lao động, chi phí bao bì,…
C ( x ) F V
( x)
17
b. Hàm yêu cầu
Một phương trình có liên quan đến một đơn vị giá và số lượng giá được gọi là
hàm yêu cầu.
Nếu p là giá trên một đơn vị của một sản phẩm nhất định và x là số lượng đơn vị
yêu cầu thì ta có thể viết hàm yêu cầu:
x f ( p) hoặc p g ( x) giá p thể hiện như một hàm của x .
c. Hàm doanh thu
Nếu x là số lượng đơn vị của sản phẩm nhất định bán ở mức giá. Giá p trên một
đơn vị, số tiền thu được từ việc bán x đơn vị của một sản phẩm là tổng doanh thu. Do
đó, nếu R đại diện cho tổng doanh thu từ x đơn vị của sản phẩm ở mức giá. Giá p
trên một đơn vị thì
R p.x là tổng doanh thu
Do đó, hàm doanh thu R( x ) p.x x. p( x)
d. Hàm lợi nhuận
Lợi nhuận được tính bằng cách trừ đi tổng chi phí từ tổng doanh thu bằng bán x
đơn vị của sản phẩm. Do đó, nếu P( x ) là hàm lợi nhuận thì
P ( x) R ( x) – C ( x)
e. Điểm hòa vốn
Điểm hòa vốn là gía trị của x (số đơn vị của sản phẩm bán ra) mà chúng không
có lợi nhuận hoặc lỗ.
Điểm hòa vốn
Hoặc
P( x) 0
R( x ) C ( x ) 0 hoặc R ( x) C ( x)
f. Hàm cung và hàm cầu
+ Hàm số biểu diễn mối quan hệ giữa số cầu đối với một hàng hóa nào đó ( QD )
và giá của nó ( P ) được gọi là hàm số cầu.
QD a bP
18
Trong đó: QD là số cầu của người tiêu dùng đối với một loại hàng hóa nào đó, P
là giá của hàng hóa đó và a, b là các hằng số.
+ Hàm cung là hàm số biểu diễn mối tương quan giữa lượng cung và các nhân tố
ảnh hưởng đến lượng cung.
Qs a bP
Trong đó: QD là hàm cung, P là giá, b là các hằng số dương, a là hằng số.
1.4.2 Bài tập ứng dụng
1. Cho một sảm phẩm mới, nhà sản xuất dành 100000 USD cho cơ sở hạ tầng và
cho phí biến đổi được ước tính là 150 USD trên một đơn vị của sản phẩm. Giá bán trên
một đơn vị đã được cố định tại 200 USD. Tìm
i. Hàm chi phí.
ii. Hàm doanh thu.
iii. Hàm lợi nhuận.
iv. Điểm hòa vốn.
Giải
Cho x là số lượng của đơn vị sản xuất và bán
i. Hàm chi phí: C ( x ) = chi phí cố định + chi phí biến đổi
100000 150x
ii. Hàm doanh thu: R( x ) p.x 200 x
iii. Hàm lợi nhuận: P( x) R( x ) C ( x)
200 x – (100000 1 50 x ) 50 x –1 00000
iv. Điểm hòa vốn: P( x ) 0
50 x 100000 0 x 2000
Vậy x 2000 là điểm hòa vốn.
=> Khi 2000 đơn vị của sản phẩm được sản xuất hoặc bán, nhà sản xuất sẽ
không có lợi nhuận hoặc lỗ.
2. Chi phí cố định của một sản phẩm là 18000 USD và chi phí biến đổi trên một
đơn vị là 550 USD. Nếu hàm yêu cầu là p( x) 4000 150 x . Tìm điểm hòa vốn.
19
Giải
Ta có:
Chi phí cố định:
F 18000
Chi phí biến đổi:
V ( x ) 550 x
Hàm chi phí:
C ( x) 18000 550 x
Hàm yêu cầu:
p( x) 4000 150 x
Hàm doanh thu:
R( x) 4000 x 150 x 2
P( x ) R( x) C ( x) 4000 x 150 x 2 18000 550 x 150 x 2 3450 x 18000
Ở điểm hòa vốn
P( x) 0
150 x 2 3450 x 18000 0
x 15 và x 8
Vậy x 15 và x 8 thì sản phẩm công ty làm ra và bán đi sẽ không có lợi nhuận
và bị lỗ.
3. Một công ty sản xuất một sản phẩm với 18000 USD như chi phí cố định. Chi
phí biến đổi được ước tính là 30% của tổng doanh thu khi nó được bán ở mức 20 USD
cho mỗi đơn vị. Tìm tổng doanh thu, tổng chi phí và hàm lợi nhuận.
Giải
Giá của mỗi đơn vị p 20 USD
Tổng doanh thu R ( x) p.x 20 x, trong đó x là số lượng của đơn vị bán.
Hàm chi phí: C ( x ) 1 8000
30
30
R( x ) 1 8000
20 x 1 8000 6 x
100
100
Hàm lợi nhuận P ( x) R ( x ) C ( x) 20 x (18000 6 x) 1 4 x –1 8000.
4. Một công ty sản xuất thấy rằng chi phí hàng ngày của sản xuất mặt hàng x của
một sản phẩm được cho bởi C ( x) 210 x 7000
i. Nếu mỗi mặt hàng được bán với giá 350 USD, tìm số lượng tối thiểu phải được
sản xuất và bán hàng ngày để đảm bảo không bị lỗ.
ii. Nếu giá bán tăng 35 USD cho mỗi đơn vị, đâu sẽ là điểm hòa vốn?
20
Giải
i. Ta có: R( x ) 350 x và C ( x) 210 x 7000
P( x) 350 x 210 x 7000 140 x 7000
Cho
P( x) 0
Suy ra 140 x 7000 0 hoặc x 50
Do đó để đảm bảo không lỗ, công ty phải sản xuất và bán ít nhất 50 mặt hàng
mỗi ngày.
ii. Khi giá bán được tăng 35 USD cho mỗi đơn vị, ta có:
R( x) (350 35) x 385 x
P( x) 385 x (210 x 7000) 175 x 7000
Điểm hòa vốn
Suy ra
P( x) 0
175 x 7000 0 hoặc x 40 .
5. Một công ty làm ăn có lãi muốn giới thiệu một sản phẩm mới. Với chi phí cố
định của sản phẩm mới là 35000 USD và chi phí biến đổi trên đơn vị là 500 USD.
Hàm doanh thu để bán ra x đơn vị được cho bởi R( x) 5000 x 100 x 2 . Tìm
i. Hàm lợi nhuận
ii. Giá trị hòa vốn
iii. Giá trị nào của x để kết quả là lỗ.
Giải
i. Ta có hàm chi phí: C ( x) 35000 500 x
Hàm lợi nhuận P( x) R( x ) C ( x) 5000 x 100 x 2 35000 500 x
100 x 2 4500 x 35000
ii. Điểm hòa vốn P( x ) 0 100 x 2 4500 x 35000 0
x 10, x 35
Vậy khi 10 hoặc 35 đơn vị được sản xuất và bán ra thì công ty sẽ không có lợi
nhuận hoặc bị lỗ.
iii. Để công ty sản xuất và bán ra sản phẩm mới ở mức chịu lỗ thì hàm lợi nhuận
phải nhỏ hơn 0
21
P( x ) 0 100 x 2 4500 x 35000 0
x 10, x 35
Bảng 2 Cung cầu đối với xe đạp ở một địa phương
P ( đơn vị tiền )
QD ( 1.000 chiếc/ năm )
Qs ( 1.000 chiếc/ năm )
8
16
24
32
40
70
60
50
40
30
10
30
50
70
90
6. Dựa vào bảng số liệu trên hãy xây dựng hàm cầu và hàm cung đối với xe đạp.
Giải
70 a 8b
(1)
60 a 16b
Ta có hệ phương trình hàm cầu là:
a 80
. Vậy hàm cầu là QD 1, 25 P 80 .
b 1, 25
Giải (1) ta được
10 a 8b
(2)
30 a 16b
Ta có hệ phương trình hàm cung là:
a 10
. Vậy hàm cung là Qs 2,5 P 10 .
b 2,5
Giải (2) ta được
1.4.3 Lãi đơn và lãi gộp
Bài toán lãi đơn: Nếu ta cho vay một số tiền là v0 với lãi suất mỗi kì là r . Cuối
mỗi kì lãi được rút ra, chỉ để lại vốn cho kì sau (gọi là lãi đơn). Hỏi sau n kì số tiền có
được là bao nhiêu?
Giải
Sau kì đầu thì số tiền lãi là v0 r nên số tiền có được là: v0 v0 r
Sau kì thứ 2 thì số tiền lãi là 2v0 r nên số tiền có được là: v0 2v0 r
Tổng quát, sau n kì số tiền lãi thu được là nv0 r nên số tiền có được là:
v0 nv0 r .
22
Nhận xét: Số tiền có được sau n kì là an v0 nv0 r , trong đó v0 và r đã biết nên ta
được một dãy số, dãy này có đặc điểm là mỗi số hạng đứng sau bằng số hạng đứng
trước cộng với một số cố định v0 r . Các dãy như thế gọi là cấp số cộng.
Bài toán lãi gộp: Nếu ta cho vay một số tiền là v0 (gọi là vốn) với lãi suất mỗi kì
là r . Cuối mỗi kì lãi được nhập vào vốn để tạo thành vốn mới và tính lãi cho lì sau
( gọi là lãi gộp hoặc lãi kép). Hổi sau n kì số tiền có được là bao nhiêu?
Giải
Sau một kì thì số tiền lãi là v0 r nên số tiền có được là:
v1 v0 v0 r v0 (1 r ) .
Sau hai kì thì số có được là:
2
v2 v1 v1r v0 1 r rv0 1 r v0 1 r
Sau ba kì thì số tiền có được là:
2
2
3
v3 v2 v2 r v0 1 r rv0 1 r v0 1 r
Tổng quát: Sau n kì thì số tiền thu được là:
vn vn 1 vn1r v0 1 r
n 1
rv0 1 r
n 1
n
v0 1 r
Nhận xét: Số tiền sau n kì là một dãy số với đặc điểm số đứng sau bằng số
đứng liền trước nhân với số cố định (1 r ) . Những dãy số như vậy được gọi là cấp số
nhân.
7. Cho i 18% năm, tính tiền lãi của vốn đầu tư 20 triệu đồng trong các trường hợp
sau:
i. 20 ngày
ii. 3 tháng
iii. 5 năm
Giải
i. Lãi của vốn đầu tư 20 ngày là: I n v0 ni 10 20
ii. Lãi của vốn đầu tư 3 tháng là: I n v0 ni 10 3
18%
0,1 triệu.
360
18%
0, 45 triệu.
12
iii. Lãi của vốn đầu tư 5 năm là: I n v0 ni 10 5 18% 9 triệu.
23
8. Một khoảng vốn là 100 triệu được gửi vào ngân hàng theo lãi suất là 5% một
năm.
i. Tính số tiền thu được từ khoảng vốn 8 năm.
ii. Cứ 6 tháng lãi gộp vào vốn một lần. Tính số tiền thu được sau 8 năm.
Giải
i. vn v0 (1 i )n 100 (1 5%)8 147, 75 triệu.
12
5%
8 16 kì, i
6 2,5%
6
12
ii. n
Ta có : v16 100(1 2,5%)16 148 triệu.
9. Nếu một người cho vay số tiền là 1000 USD với lãi gộp 8% trên năm tính theo
quý thì sau 5 năm số tiền người này có được là bao nhiêu?
Giải
Ta có v0 1000, r 2% và sau 5 năm, tức là sau số kỳ là:
n (4).(5) 20 .
Vậy, số tiền có được là v20 1000(1 0, 02) 20 1485,95 USD.
24
CHƯƠNG 2
PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN
2.1 ĐẠO HÀM
2.1.1 Đạo hàm tại một điểm
Định nghĩa 2.1.1 Giả sử hàm y f ( x ) xác định trong khoảng a, b và x0 a, b .
Cho x0 số gia x sao cho x0 x a, b . Lập tỉ số
f ( x0 x) f ( x0 )
f
.
x
x
Nếu tồn tại lim
x 0
f
(hữu hạn) thì ta nói hàm f ( x ) có đạo hàm tại x0 và giới hạn
x
được gọi là đạo hàm của f ( x ) tại x0 . Kí hiệu f ' ( x0 ) hay y ' ( x0 ) .
Ta có
f ' ( x0 ) lim
x 0
f ( x0 x ) f ( x0 )
x
Chú ý : Đặt x x0 x thì x x x0 và x 0 khi và chỉ khi x x0 . Do đó
f ' ( x0 ) lim
x x0
f ( x) f ( x0 )
x x0
Ý nghĩa hình học
f ( x0 ) tan là hệ số gốc của tiếp tuyến của đường cong y f ( x ) tại điểm có
hoành độ x0 và tiếp tuyến có phương trình
y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
2.1.2 Đạo hàm một phía
Định nghĩa 2.1.2 Các giới hạn hữu hạn
f ' ( x0 ) lim
x 0
f
f
, f ' ( x0 ) lim
x 0 x
x
theo thứ tự được gọi là đạo hàm bên trái, đạo hàm bên phải của hàm f ( x ) tại x0 .
25
Định lý 2.1.1 Hàm số có đạo hàm tại x0 khi và chỉ khi nó có đạo hàm trái và đạo
hàm phải tại x0 và hai đạo hàm đó bằng nhau.
Ví dụ 1 Xét hàm f ( x) x tại x 0 .
Giải
0 x 0 x 1, x 0
f
x
x
x 1, x 0
Ta có
Do đó f (0) lim
x 0
f
f
1 , f (0) lim
1 , f (0) f (0) .
x 0 x
x
Vậy hàm f ( x) x có đạo hàm trái và đạo hàm phải tại x 0 nhưng không có
đạo hàm tại x 0 .
Ý nghĩa hình học
f ( x0 ) , f ( x0 ) tương ứng là hệ số gốc của tiếp tuyến trái, phải của đường cong
y f ( x ) tại điểm ( x0 , f ( x0 )) .
Định lý 2.1.2 Nếu hàm f (x) có đạo hàm tại x0 thì f (x) liên tục tại x0 .
f
.
x 0 x
Chứng minh Giả sử f (x) có đạo hàm tại x0 , tức là tồn tại f ( x0 ) lim
Ta có
f
f ( x0 ) , 0 khi x 0 .
x
Khi đó
lim f lim ( f ( x0 )x .x) 0 .
x 0
x 0
Vậy f (x) liên tục tại x0 .
Chú ý Chiều ngược lại của Định lý 2.1.2 không đúng.
Ý nghĩa hình học
Nếu hàm f (x) có đạo hàm vô tận tại x0 thì đường cong y f ( x ) có tiếp tuyến
thẳng đứng tại ( x0 , f ( x0 )) .
1
3
Ví dụ 2 Xét hàm f ( x) x tại x 0 . Ta có:
1
f
(0 x) 3 0
1
lim
lim
lim
x 0 x
x 0
x 0 ( x ) 2/3
x
Vậy f (x) có đạo hàm vô hạn tại x 0 .
26
2.2 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐẠO HÀM
2.2.1 Đạo hàm của các hàm sơ cấp cơ bản
(C ) 0 (C là hằng số)
1
1
x 2 1 x .
( x ) x 1
Đặt biệt: 2 ,
x
x
(a x ) a x ln a
Đặt biệt (e x ) e x .
(sin x) cos x
(cos x) sin x
1
cos 2 x
(cot x)
(arccos x)
(arc cot x)
(chx) shx
(tan x )
1
(arcsin x)
1 x
(arctan x )
1
1 x2
( shx) chx
(log a x )
2
1
sin 2 x
1
1 x2
1
1 x2
1
1
Đặt biệt: (ln x ) .
x ln a
x
2.2.2 Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương
Định lý 2.2.1 Nếu f ( x ) và g ( x) có đạo hàm tại x, thì
f ( x) g ( x) f ( x ) g ( x )
f ( x).g ( x ) f ( x ).g ( x) f ( x ) g ( x )
f ( x ) f ( x).g ( x) f ( x) g ( x)
g 2 ( x)
g ( x)
2.2.3 Đạo hàm của hàm hợp
Định lý 2.2.2 Nếu hàm y y (u ) có đạo hàm đối với u và hàm u u ( x ) có đạo hàm
đối với x thì hàm hợp y y u ( x) có đạo hàm đối với x và có
y ( x) y (u ).u( x )
27
v( x)
2.2.4 Đạo hàm của hàm y u ( x)
, (u ( x ) 0)
Phương pháp
u
u
v
Ta có y u v e ln u ev ln u nên y ev ln u (v ln u v ) .
u
u
Do đó y u v (v ln u v ) .
Ví dụ 3 Tính đạo hàm của hàm y x sin x .
Giải
sin x
Ta có
y eln x
esin x.ln x .
Do đó
s inx
y esinx.lnx (sin x.ln x) x sinx cos x ln x
.
x
2.2.5 Đạo hàm lôgarit
Ví dụ 4 Tính đạo hàm của hàm
x 2 3 7 x 14
(1 x 2 )4
Giải
Lấy ln hai vế ta có:
1
ln y 2 ln x ln(7 x 14) 4 ln(1 x 2 )
3
Đạo hàm hai vế theo x ta được
7
1
2
8x
y 3
y
x 7 x 14 1 x 2
7
8
x 7 x 14 2
x
3
y
2 4
2
(1 x ) x 7 x 14 1 x
23
Vậy
Chú ý : Ta thấy ln y chỉ xác định khi y 0 .
2.2.6 Đạo hàm của hàm ẩn
Định nghĩa 2.2.1 Hàm y f ( x ) được gọi là hàm ẩn xác định bởi phương trình
F ( x, y ) 0 nếu F ( x, f ( x )) 0, x .
28
Ví dụ 5 Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong x 3 y 3 6 xy tại điểm (3, 3).
Giải
Đạo hàm hai vế theo x ta được
3 x 2 3 y 2 y 6 y 6 xy hay x 2 y 2 y 2 y 2 xy
( y 2 2 x) y 2 y x 2 hay y
2 y x2
y2 2x
Đối với y :
Khi x y 3 thì y 1 . Do đó tiếp tuyến với đường cong tại (3, 3) có phương
trình : y 3 ( x 3) hay y 6 x .
2.3 VI PHÂN
2.3.1 Khái niệm vi phân
Định nghĩa 2.3.1 Cho hàm f ( x ) xác định trong (a, b) và x0 (a, b) . Cho x0 một số
gia x sao cho x0 x (a, b) . Nếu có thể biểu diễn f A.x O (x ) , trong đó A là
hằng số, O (x ) là vô cùng bé cấp cao hơn x khi x 0 thì hàm f ( x ) được gọi là
khả vi tại x0 và biểu thức A.x được gọi là vi phân của f ( x ) tại x0 , kí hiệu df ,
df ( x0 ) . Ta có df A.x .
Nhận xét: Từ định nghĩa vi phân ta có f df O(x) . Khi A 0 thì
lim
x 0
f
1 O ( x )
lim 1 .
1
x
0
df
A x
Do đó df là vô cùng bé tương đương với f nhưng đơn giản hơn f .
Ví dụ 6 Chứng minh rằng hàm f ( x) x 3 khả vi tại x 1 . Tìm vi phân df (1) .
Giải
Ta có f (1) f (1 x ) f (1) 1 3(x ) 3(x) 2 (x)3 1
3.x 3(x) 2 (x )3
3.x o(x )
Theo định nghĩa hàm đã cho khả vi tại 1 và df (1) 3.x .
29
2.3.2 Quan hệ giữa đạo hàm và vi phân
Định lý 2.3.1
i. Nếu hàm f ( x ) khả vi tại x0 thì nó có đạo hàm tại x0 và A f ( x0 ) .
ii. Ngược lại, nếu f ( x ) có đạo hàm tại x0 thì nó khả vi tại x0 và df ( x0 ) f ( x0 ).x .
Nhận xét Khi f ( x ) x thì f ( x ) 1 nên df ( x) dx 1.x .
Như vậy, df f ( x)dx suy ra f ( x)
df
.
dx
2.3.3 Các qui tắc tính vi phân
Giả sử f và g là các hàm khả vi. Ta có
d ( f g ) df dg
d ( fg ) gdf fdg
f
g
d
gdf fdg
g2
2.3.4 Ý nghĩa hình học
Giả sử hàm y f ( x ) khả vi tại x 0 . Gọi là góc tạo bởi tiếp tuyến M 0T với
đường cong tại M 0 ( x0 , f ( x o )) và chiều dương trục Ox. Ta có
df ( x0 ) f ( x0 ).x tan .M 0 M MT .
Vậy vi phân của hàm y f ( x ) ứng với x 0 và x cho trước bằng số gia tung độ
của tiếp tuyến với đường cong y f ( x ) .
Hình 8 Đồ thị tiếp tuyến với đường cong
30
2.3.5 Ứng dụng của vi phân để tính gần đúng
Ta có f ( x0 x) f ( x0 ) A.x f ( x0 ).x , tức là
f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 ).x
Ví dụ 7 Tính gần đúng n 1, 0001 , n là số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng 2.
Giải
Xét hàm f ( x) n x , chọn a 1, x 0, 0001 . Ta có x 0, f ( x )
1
n
n x n1
1
n
Nên f (1) . Mặt khác f (1) 1 .
1
n
Theo công thức tính gần đứng : n 1, 0001 1 .0,0001
2.4 CÁC ĐỊNH LÍ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH
2.4.1 Cực trị địa phương. Định lý Fermat
Định lý 2.4.1 (Fermat) Cho hàm số y f ( x ) xác định trên khoảng (a, b) . Nếu f ( x )
đạt cực trị tại điểm x0 (a, b) và tồn tại f ( x0 ) thì f ( x0 ) 0 .
Ý nghĩa hình học
Nếu hàm y f ( x ) khả vi tại cực trị của nó thì tiếp tuyến với đường cong
y f ( x ) tại điểm đó song song với trục Ox.
2.4.2 Các định lý giá trị trung bình
Định lý 2.4.2 (Rolle) Nếu hàm f ( x ) liên tục trên đoạn [a, b] , khả vi trong (a, b) và
f (a) f (b) thì tồn tại c (a, b) sao cho f (c) 0 .
Ý nghĩa hình học: Nếu các giả thiết của định lý được thỏa mãn, thì tồn tại một điểm
c trong (a, b) sao cho tiếp tuyến tại (c, f (c)) song song với trục hoành.
Định lí 2.4.3 (Cauchy) Nếu các hàm f ( x ) và g ( x) liên tục trên đoạn [a, b], khả vi
trong khoảng (a, b) và g ( x ) 0 , x (a, b) thì tồn tại c (a, b) sao cho
31
f (b) f (a ) f (c)
g (b) g (a ) g (c)
Định lí 2.4.4 (Lagrange) Nếu hàm f ( x ) liên tục trên đoạn [a, b], khả vi trong
khoảng (a, b) thì tồn tại c (a, b) sao cho
f (b) f (a)
f (c)
b a
Ứng dụng của định lí Lagrange
Định lí Lagrange có nhiều ứng dụng trong thực tế. Nó thường được dùng để
chứng minh bất đẳng thức
Ví dụ 8. Chứng minh với mọi số thực a, b ta luôn có
| sin a sin b | | a b | .
Giải
Không mất tính tổng quát, ta giả sử a > b. Xét hàm f (t) = sint trên đoạn [b, a]
Ta có f (t) liên tục trên [b, a] và f '(t) = cost. Theo định lí Lagrange, tồn tại số
c (b, a) sao cho
f (a ) f (b)
sin a sin b
f '(c) hay
cos c .
a b
a b
Suy ra
sin a sin b
| cos c | 1 .
a b
Từ đó ta có | sin a sin b | | a b | .
Ý nghĩa hình học
Nếu các điều kiện của Định lí 2.4.4 được thỏa mãn thì trên đường cong y f ( x )
luôn tìm được điểm M (c, f (c)) sao cho tiếp tuyến tại đó song song với dây cung AB,
trong đó A(a, f (a)) , B(b, f (b) .
Ví dụ 9 Giả sử f (0) 3 và f ( x ) 5 , x . Giá trị f (2) nhỏ hơn hoặc bằng bao
nhiêu?
Giải
32
Vì hàm f có đạo hàm tại mọi số thực nên liên tục trên tập số thực. Như vậy, ta có
thể áp dụng định lí Giá trị trung bình trên [0, 2]. Tồn tại một số c sao cho
f (2) f (0) f (c )(2 0)
Suy ra f (2) f (0) 2 f (c)
Theo giả thiết f (c) 5 nên f (2) 3 2.5 7
Vậy giá trị lớn nhất mà f (2) có thể nhận là 7.
Công thức số gia giới nội
Xét định lí Lagrange, đặt a x0 , b x0 x thì b a x . Vì x0 c x0 x nên
c x0 x với 0 1 . Khi đó theo công thức Lagrange ta được :
f ( x0 x) f ( x0 )
f ( x0 x)
x
Do đó ta có công thức số gia giới nội :
f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 x)x
Cho 0 (0,1) ta được công thức gần đúng :
f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 x)x
1
2
Ví dụ 10 Tính gần đúng arctan 1,1 bằng công thức số gia giới nội với 0 .
Giải
Áp dụng công thức tính gần đúng cho hàm f ( x ) = arctan x. Ta có:
arctan( x0 x ) = arctan x0 +
x
1 ( x0 0 x )2
Chọn x0 1, x 0,1 , ta có
arctan(1,1) arctan 1 +
0,1
0,1.0, 475 0,8329
0,1 2
4
1 (1 2 )
33
2.4.3 Quy tắc L’Hospital
Qui tắc L'Hospital là công cụ mạnh để tìm giới hạn thông qua việc lấy đạo hàm.
Định lí 2.4.5 Giả sử các hàm f ( x ) và g ( x) khả vi tại lân cận x0 trừ x0 và g ( x ) 0 ,
tồn tại lim
x x0
f ( x )
f ( x )
hoặc lim
là cô cực.
x x0 g ( x )
g ( x )
Nếu lim f ( x ) 0 và lim g ( x ) 0
x x0
x x0
Hoặc lim f ( x) và lim g ( x)
x x0
x x0
f ( x)
f ( x )
lim
g ( x ) x x0 g ( x)
Thì lim
x x0
ln x
x 1
Ví dụ 11 Tìm giới hạn lim
x 1
Giải
Ta tính :
1
(ln x )
ln x
1
lim
lim x 1 . Theo quy tắc ta được lim
x 1 x 1
x 1 ( x 1)
x 1 1
ex
x x 2
Ví dụ 12 Tìm giới hạn lim
Giải
Ta có
(e x )
ex
lim
( )
2
x ( x )
x 2 x
lim
Ta tiếp tục tính
Vậy
(e x )
x (2 x)
lim
ex
(e x )
(e x )
lim
lim
x x 2
x ( x 2 )
x (2 x)
lim
Các dạng khử vô định
0
0
Các dạng vô định khác đều có thể chuyển qua dạng hoặc
đổi biểu thức dưới dấu giới hạn.
+ Dạng 0. biến đổi thành
1
0
34
bằng cách biến
1
1
0
g ( x ) f ( x)
+ Dạng : f ( x) g ( x)
thành dạng .
1
0
f ( x) g ( x)
+ Dạng 1 , 0 , 00 : f ( x) g ( x ) e g ( x ) ln f ( x ) thành dạng 0. .
2.5 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
2.5.1 Công thức Taylor
Định lí 2.5.1 Nếu hàm f ( x ) liên tục trên đoạn [a, b] , có đạo hàm hữu hạn đến cấp
n 1 trong khoảng (a, b) và x0 (a, b) thì với mọi x0 [a, b] ta có
f ( x) f ( x0 )
f ( x0 )
f ( x0 )
f n ( x0 )
f ( n1) (c)
( x x0 )
( x x0 ) 2 ...
( x x0 )n
( x x0 )n 1
1!
2!
n!
(n 1)!
với c nằm giữa x0 và x .
n
i. Đa thức Pn ( x)
k 0
Rn ( x )
f k ( x0 )
( x x0 )k gọi là đa thức Taylor
k!
f ( n1) (c)
( x x0 )( n 1) gọi là phần dư bậc n của f ( x )
(n 1)!
Ta có f ( x) Pn ( x) Rn ( x) . Ta có thể xấp xỉ f ( x ) bởi Pn ( x) khi x ở khá gần x0 bằng
cách ngắt bỏ Rn ( x) với sai số
Rn ( x )
M n 1
n 1
x x0 ,
(n 1)!
trong đó M n 1 f ( n1) ( x ) , x [a, b] .
ii. Trong công thức Taylor cho x0 0 ta được công thức MacLaurin với c nằm
giữa 0 và x.
n
f ( x)
k 0
f ( k ) (0) k f ( n1) (c) ( n 1)
x
x
k!
(n 1)!
Nhận xét. Trong công thức Taylor cho n 0 ta được công thức số gia giới nội
f ( x) f ( x0 ) f (c )( x x0 ).
2.5.2 Một số khai triển quan trọng
Khai triển Maclaurin của một số hàm thường gặp:
i. Hàm y e x , ta có f k ( x ) e x nên f k (0) 1 , k . Ta có
35
ex 1
x x2
xn
ec
...
x n 1
n ! (n 1)!
1! 2!
với c nằm giữa 0 và x.
Với x 1 , ta có
Rn ( x )
ec
e
3
(n 1)! (n 1)! (n 1)!
ii. Hàm y sin x . Ta có
x3 x5 x7
x 2 k 1
sin(c k ) 2 k
... (1)k 1
x
3! 5! 7!
(2k 1)!
(2k )!
sin x x
với c nằm giữa 0 và x.
R2 k 1 ( x )
x
2k
(2k )!
iii. Hàm y cos x . Ta có
cos c k
2 2 k 1
x
x
x
x
cosx 1 ... (1) k
x
2! 4! 6!
(2k )!
(2k 1)!
2
4
2k
6
với c nằm giữa 0 và x.
iv. Hàm y (1 x)m , m nguyên dương
(1 x )m 1 mx
m(m 1) 2
m(m 1)(m 2)...(m k 1) k
x ...
x ... x m .
2!
k!
v. Hàm y ln(1 x ) . Ta có:
ln(1 x) x
x 2 x3 x4
xn
(1) n
... (1)n 1
x n 1
n 1
2 3 4
n (n 1)(1 c)
với c nằm giữa 0 và x.
2.5.3 Ứng dụng
a. Tính gần đúng
Ví dụ 13 Tính gần đúng số e khi cho n 8 và đánh giá sai số.
Giải
Khi n 8 ta có e e1 1
1 1
1
... 2, 71827
1! 2!
8!
36
Sai số
3
0, 00001 .
9!
b. Tính giới hạn
sin x x
x0
x3
Ví dụ 14 Tính lim
Giải
Vì
sin x x x
Nên
lim
x0
x3
x3
o( x 3 ) x o( x 3 )
6
6
x3
o( x 3 )
1
6
3
x
6
2.6 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
2.6.1 Tính đơn điệu
Khi xác định tính đơn điệu của hàm số ta thường phải chứng minh các bất đẳng
thức. Công việc này thường không dễ dàng. Đạo hàm cho ta một phương pháp đơn
giản để chứng minh tính đơn điệu.
Định lí 2.6.1 Giả sử hàm f ( x ) liên tục trên đoạn [a, b] và có đạo hàm hữu hạn
trong khoảng (a, b) .
i. Nếu f ( x ) tăng (giảm) trên [a, b] thì f ( x ) 0 ( f ( x ) 0 ), x (a, b) (điều kiện
cần).
ii. Nếu f ( x ) 0 ( f ( x ) 0 ), x (a, b) thì f ( x ) tăng (giảm) trong [a, b] (điều
kiện đủ).
Ví dụ 15 Hàm y x3 thỏa y 3x 2 0 , x 0 . Vậy hàm y x3 luôn luôn tăng.
2.6.2 Khảo sát hàm số
Đạo hàm cung cấp cho ta công cụ khảo sát hàm số một cách hiệu quả.
Các bước tiến hành khảo sát hàm số
i. Tìm miền xác định, các điểm gián đoạn của hàm. Xét tính chẵn, lẻ, tuần hoàn.
ii. Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị, khoảng lồi, lõm, điểm uốn của đồ
thị.
37
iii. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị
iv. Vẽ đồ thị: Xác định giao điểm của đồ thị với các trục và tiếp tuyến với đồ thị tại
các điểm đặc biệt.
Để chuẩn bị tiến hành khảo sát hàm số ta nghiên cứu một số kiến thức chuẩn bị
sau đây:
a. Cực trị
i) Điều kiện cần
Định nghĩa 2.6.1
x0 được gọi là điểm dừng của hàm f ( x ) nếu f ( x ) 0 .
x0 được gọi là điểm kì dị của hàm f ( x ) nếu f ( x ) không tồn tại.
Điểm dừng và điểm kì dị gọi chung là điểm tới hạn.
ii) Điều kiện đủ
Định lí 2.6.2 (Điều kiện đủ thứ nhất) Giả sử hàm f ( x ) liên tục trong khoảng (a, b) ,
có đạo hàm ở lân cận x0 (có thể trừ x0 ) và x0 là điểm tới hạn của hàm f ( x ) .
i. Nếu x đi qua x0 mà f ( x ) đổi dấu từ () sang () (từ () sang () ) thì
f ( x ) đạt cực tiểu (cực đại) tại x0 .
ii. Nếu x đi qua x0 mà f ( x ) không đổi dấu thì f ( x ) không đạt cực trị tại x0 .
Định lí 2.6.3 Giả sử hàm f ( x ) có đạo hàm liên tục đến cấp n ở lân cận x0 và
f ( x0 ) f ( x0 ) ... f ( n1) ( x0 ) 0, f n ( x0 ) 0 . Khi đó
i. Nếu n chẵn thì f ( x ) đạt cực trị tại x0 :
Nếu f n ( x0 ) 0 thì x0 là điểm cực tiểu.
Nếu f n ( x0 ) 0 thì x0 là điểm cực đại.
ii. Nếu n lẻ thì f ( x ) không đạt cực trị tại x0
Ví dụ 16
Xét hàm f ( x) x 3 tại 0. Ta có f (0) f (0) 0, f (3) (0) 6 nên x 0 không phải là
điểm cực trị.
38
Xét hàm f ( x ) sin x, tại . Ta có f 0, f 1 . Vậy là điểm cực
2
2
2
2
đại.
b. Tính lồi lõm. Điểm uốn
i) Tính lồi, lõm của đườn cong
Định nghĩa 2.6.2
Đường cong C : y f ( x) gọi là lồi (lõm) tại x0 nếu trong một lân cận của x0 mọi
điểm của C đều nằm dưới (trên) tiếp tuyến với C tại x0 .
Đường cong lồi (lõm) trong khoảng (a, b) nếu nó lồi (lõm) tại mọi điểm trong
khoảng này.
Định lí 2.6.4 Cho hàm f ( x ) xác định trong (a, b) .
Nếu f ( x ) 0 ( f ( x) 0) với mọi x (a, b) thì đường cong C : y f ( x) lồi (lõm)
trong (a, b) .
ii. Điểm uốn
Định nghĩa 2.6.3 Điểm phân cách cung lồi và cung lõm của đường cong được gọi
là điểm uốn của đường cong.
Định lí 2.6.5 Giả sử hàm f ( x ) liên tục tại x0 , khả vi đến cấp hai ở lân cận x0 (có
thể trừ x0 ). Nếu f ( x ) đổi dấu khi x đi qua x0 thì ( x0 , f ( x0 )) là điểm uốn của đường
cong C : y f ( x) .
2
Ví dụ 17 Xét tính lồi, lõm và điểm uốn của đường cong y e x .
Giải
2
2
2
2
Ta có y 2 xe x , y 4 x 2 e x 2e x 2(2 x 2 1)e x 0 khi x
x
y
1
1
2
2
+ 0 - 0 +
1
.
2
39
Vậy đường cong lõm trong khoảng ,
1 1
, , lồi trong khoảng
,
2 2
1 1
1 1 1 1
,
,
,
,
là các điểm uốn.
. Hai điểm
2 2
2 e 2 e
c. Tiệm cận
Định nghĩa 2.6.5 Đường thẳng gọi là đường tiệm cận của đương cong y f ( x )
nếu khoảng cách từ điểm M trên đường cong đến dần đến 0 khi M đi ra vô tận
dọc theo đương cong.
i) Tiệm cận đứng
Nếu lim f ( x) thì đường thẳng x a là tiệm cận đứng của đường cong
x a
y f ( x ) .
1
x
Ví dụ 18 Đường y x 2
1
có hai tiệm cận đứng x 0 và x 1
x 1
ii) Tiệm cận ngang
Nếu lim f ( x ) b thì đường thẳng y b là tiệm cận ngang của đường cong
x
y f ( x ) .
Ví dụ 19 Đường y arctan x có tiệm cận ngang phía trái là y
ngang phía phải là y
2
2
và tiệm cận
.
iii) Tiệm cận xiên.
Đường thẳng : y ax b là tiệm cận xiên của đường cong y f ( x ) nếu
lim[f ( x) (ax b)] 0 . Ta có a lim
x
Ví dụ 20 Đường cong y
x
f ( x)
, b lim[f ( x) ax ] .
x
x
1
x2
x
e
có tiệm cận xiên y x vì
x2
2
1
lim[y x] lim 2 e x 0 .
x
x x
40
Ví dụ 21 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y
x2 1
.
x3
Giải
Hàm xác định x 0 .
y
3 x2
, y 0 khi x 3 và y không tồn tại khi x 0
x4
y
2( x 2 6)
6
, y 0 khi x 6 và y 6 5
,y
5
x
36
Vì lim
x 0
6 5 366 ,
x2 1
x2 1
nên đồ thị có tiệm cận đứng x 0 ở hai nhánh.
lim
và
x 0
x3
x3
x2 1
0 nên đồ thị có tiệm cận ngang y 0 ở hai nhánh.
x
x3
Vì lim
x2 - 1
Hình 9 Đồ thị hàm số y = 3
x
41
2.6.3 Đường cong trong tọa độ cực
a. Hệ tọa độ cực
Định nghĩa 2.6.6
Trong mặt phẳng chọn một điểm O làm gốc gọi là cực, trục Ox gọi là trục cực,
lấy M là một điểm bất kỳ trong mặt phẳng, gọi r OM là bán kính cực,
Ox ; OM là góc cực.
Cặp (r; ) là toạ độ cực của điểm M. Nếu M trùng với O ta có toạ độ cực là ( 0; )
Một điểm M có thể có nhiều toạ độ cực, chẳng hạn (r; ) và (r; k 2 ) , với
k Z . Để biểu diễn các điểm trong mặt phẳng ta chỉ cần hạn chế r 0 và 0 0
2.6.8 Đường cong cho bởi phương trình tham số
a. Phương trình tham số của đường cong
Xét hệ hai hàm :
x (t )
y (t )
Ứng với mỗi giá trị của t ta có một cặp ( x, y ) . Khi t biến thiên thì điểm
M ( (t ), (t )) vạch nên một đường cong C trong mặt phẳng tọa độ. Ta gọi đó là
phương trình tham số của C.
b. Đạo hàm theo tham số
y ( x)
(t )
(t )
c. Khảo sát đường cong có phương trình tham số
Tìm miền xác định, xét tính chẵn, lẽ, tuần hoàn.
Khảo sát sự biến thiên với chú ý y x
yt
.
xt
Tìm các đường tiệm cận:
Nếu lim x(t ) a, lim y (t ) thì x a là tiệm cận đứng.
t t0
t t0
Nếu lim x(t ) , lim y (t ) b thì y b là tiệm cận ngang.
t t0
Nếu lim
t t0
t t0
y (t )
, lim y (t ) a.x(t ) b thì y ax b là tiệm cận xiên.
t t0
x (t )
Ví dụ 23 Khảo sát và vẽ đường cong cho bởi phương trình tham số
44
x a cos3 t
(a 0)
3
y a sin t
Ta thấy x, y xác định t [ a, a ] . Ngoài ra x, y là các hàm tuần hoàn với chu kì
2 nên ta chỉ cần khảo sát đường cong trên đoạn [0, 2 ] .
x(t ) 3acos 2t sin t 0 khi t 0, t
y (t ) 3a sin 2 tcost 0 khi t 0, t
2
2
, ,
, ,
3
, 2
2
3
, 2
2
Ta có bảng biến thiên sau:
Ta có y ( x)
y (t ) 3a sin 2 t cos t
tan t .
x(t ) 3acos2t sin t
Ta thấy:
y ( x) 0 tại t 0, , 2 và tại các điểm này tiếp tuyến nằm ngang
y ( x) tại t
3
2
,
2
và tại các điểm này tiếp tuyến thẳng đứng.
x = acos 3t
Hình 11. Đồ thị của phương trình tham số
(a > 0)
3
y = asin t
45
2.6.4 Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất
Định nghĩa 2.6.4 Hàm f ( x ) được gọi là đạt giá trị nhỏ nhất (giá trị lớn nhất) tại
x0 trong khoảng I nếu f ( x) f ( x0 ) ( f ( x) f ( x0 ) ), x I .
Định lí 2.6.6 Nếu hàm f ( x ) liên tục trên đoạn [a, b] thì f ( x ) đạt giá trị nhỏ nhất và
giá trị lớn nhất trên đoạn này.
a. Cách tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số
Bước 1: Tính y
Bước 2: Giải phương trình y 0 tìm các nghiệm xi [a, b]
Bước 3: Tính f (a), f (b), f ( xi )
Khi đó:
max f ( x) max f (a ), f (b), f ( xi )
x[a ,b ]
min f ( x ) min f (a), f (b), f ( xi )
x[a ,b ]
Ví dụ 24 Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm f ( x ) x1 3 (1 x) 2 3 trên
đoạn [ 1,1] .
Giải
Ta có:
f ( x)
1
(1 x) 2 3
2 x1 3
1 3x
23
23
13
3x
3(1 x )
3 x (1 x)1 3
1
3
4
Cho f ( x ) 0 tại x và f
.
3
3 3
f ( x ) không tồn tại tại x 0, x 1 và f (0) f (1) 0
Tại đầu mút x 1 ta có f (1) 3 4 .
Vậy
3
f min 3 4 tại x 1 và f m ax
4
1
tại x .
3
3
Ví dụ 25 Một người nông dân có 2400 m dây để rào hàng rào miếng đất hình chữ
nhật tiếp giáp với bờ sông. Ông ta không rào cạnh dọc bờ sông. Tìm kích thước của
hình chữ nhật sao cho hình có diện tích lớn nhất.
Giải
46
River
x
y
Gọi x là độ dài cạnh vuông góc bờ sông và y là độ dài cạnh song song bờ sông.
Ta có
2x + y = 2400. Suy ra y = 2400 - 2x.
Miếng đất có diện tích
S(x) = xy = x(2400 - 2x) = 2x2 + 2400x (0 x 1200).
Ta tìm x để S(x) đạt giá trị lớn nhất trên đoạn [0, 1200].
S'(x) = 4(600 - x).
S'(x) = 0 khi x = 600 và S(600) = 720000
Tại hai đầu mút S(0) = S(1200) = 0.
Do đó S đạt giá trị lớn nhất tại x = 600 và y = 1200.
b. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trong khoảng
Định lí 2.6.7 Giả sử hàm f ( x ) liên tục trong khoảng (a, b) và
lim f ( x ) L, lim f ( x) M
x a
x b
Khi đó:
i. Nếu f (u ) L và f (u ) M với u nào đó thuộc (a, b) thì f ( x ) đạt giá trị lớn
nhất trên (a, b) .
ii.
f (u ) L và f (u ) M với u nào đó thuộc (a, b) thì f ( x ) đạt giá trị nhỏ nhất
trên (a, b) .
Ví dụ 26 Người ta muốn làm một cái can hình trụ có thể tích 1 lít (1000 cm3 ) để
chứa chất lỏng. Tìm kích thước của can sao cho để làm can này ta tốn ít nhiên liệu
nhất.
47
Giải
Gọi r là bán kính và h là chiều cao của can. Diện tích toàn phần của can là:
S 2 r 2 2 rh
Can có thể tích 1000 cm3 nên r 2 h 1000 . Suy ra h 1000 ( r 2 )
Ta được:
S 2 r 2 2 r
1000
2000
2 r 2
.
2
r
r
Để tốn ít nhiên liệu nhất, ta tìm giá trị nhỏ nhất của hàm
S (r ) 2 r 2
2000
(0 r )
r
Ta thấy S là hàm liên tục trong khoảng (0, ) , lim S (r ) và lim S (r )
r 0
r
nên S (r ) có giá trị nhỏ nhât trong khoảng (0, ) và giá trị nhỏ nhất này phải đạt tới
một điểm tới hạn của S (r ) . Ta có
S (r ) 4 r
2000 4( r 3 500)
r2
r2
Cho S (r ) 0 khi r 3 500 . Ta có điểm tới hạn r 3 500 .
Vì S (r ) chỉ có duy nhất điểm tới hạn trong khoảng (0, ) nên giá trị nhỏ nhất
phải đạt tại r 3 500 . Giá trị tương ứng của h là
h
1000
1000
2 3 500 2r
2
r
(500 )2 3
Vậy để tốn ít nhiên liệu nhất thì bán kính của can là r 3 500 và chiều cao gấp
đôi bán kính.
2.6.9 Tốc độ biến thiên
Bài toán tìm tốc độ biến thiên dựa vào ý nghĩa của đạo hàm:
f '(t0) biểu thị tốc độ biến thiên của hàm f(t) tại thời điểm t0
Các bước giải quyết bài toán
Kí hiệu các đại lượng biến thiên và xem chúng như hàm theo thời gian t.
Xác định các đại lượng đã biết và các đại lượng chưa biết.
Lập phương trình liên quan giữa các đại lượng.
Tính đạo hàm hai vế của phương trình theo t và giải ra đối với đạo hàm của
đại lượng cần biết.
48
Tính giá trị đạo hàm của đại lượng cần biết tại thời điểm đang xét và kết luận
về tốc độ biến thiên.
Ví dụ 27 Diện tích của hình chữ nhật thay đổi như thế nào nếu chiều dài là 10 cm
đang tăng với tốc độ 2cm/s và chiều rộng là 8cm đang giảm với tốc độ 3cm/s?
Giải
Gọi x(t ) , y (t ) lần lược là chiều dài, chiều rộng của hình chữ nhật tại thời điểm t
(đơn vị cm).
Diện tích của hình chữ nhật tại thời điểm t là S (t ) x (t ) y (t )
Ta có S (t ) x(t ) y (t ) x(t ) y(t )
Tại thời điểm t0 đang xét thì x(t0 ) 10 và y (t0 ) 8 với x(t0 ) 2 và y (t0 ) 3 nên
S (t0 ) x(t0 ) y (t0 ) x(t0 ) y(t0 ) 2.8 10.(3) 14
Vậy diện tích của hình chữ nhật đang giảm ở tốc độ 14cm2 / s .
2.6.5 Vận tốc và gia tốc
a. Vận tốc
Giả sử một vật chuyển động dọc theo trục Ox , có vị trí theo thời gian là x x(t ) .
Vận tốc trung bình của vật:
vtb
x x (t t ) x(t )
t
t
Vận tốc tức thời của vật:
v(t ) lim
t 0
x
x(t )
t
Nếu v(t ) 0 thì x(t ) tăng: vật đang chuyển động về bên phải
Nếu v(t ) 0 thì x(t ) giảm: vật đang chuyển động về bên trái
Nếu v(t ) 0 thì t t0 thì tại thời điểm này vật ở trạng thái dừng.
Ví dụ 28 Một chất điểm chuyển động dọc theo trục Ox có phương trình
x t 2 4t 2
a. Xác định vận tốc của chất điểm khi t 3, t 4 và vận tốc trung bình của chất
điểm giữa thời điểm t 3, t 4 .
49
b. Xác định khoảng thời gian mà chất điểm chuyển động về bên trái, bên phải.
Giải
Vận tốc của chất điểm tại thời điểm t là v(t ) x(t ) 2t 4 .
a. Ta có v(3) 2, v(4) 4 và vận tốc trung bình của chất điểm giữa thời điểm
t 3, t 4 là
x (4) x(3) 2 (1)
3 .
43
1
b. Ta có v(t ) 0 khi t 2 .
Khi 0 t 2 thì v(t ) 0 nên chất điểm chuyển động về phía bên trái.
Khi t 2 thì v(t ) 0 nên chất điểm chuyển động về phía bên phải.
b. Gia tốc
Tốc độ biến thiên của vận tốc theo thời gian của vật chuyển động thẳng gọi là gia
tốc của vật. kí hiệu a(t ) .
Ta có a(t ) v(t ) x(t ) .
Nếu a(t ) 0 thì vận tốc tăng.
Bảng 3 Bảng chuyển động của gia tốc và vận tốc
Vận tốc
+
+
-
-
Gia tốc
+
-
+
-
Hướng chuyển động
Về bên phải
Về bên phải
Về bên trái
Về bên trái
Tốc độ
Tăng
Giảm
Giảm
Tăng
Ví dụ 29 Một chất điểm chuyển động dọc theo trục Ox có phương trình
x ( t ) t 3 6t 1
a. Xác định gia tốc của chất điểm tại thời điểm mà vận tốc bằng 0.
b. Tìm khoảng thời gian mà chất điểm đang tăng tốc về phía bên phải.
Giải
a. Ta có
x(t ) 3t 2 6 3(t 2 2)
v(t ) x(t ) 0 t 2
a(t ) v(t ) 6t
50
Gia tốc của chất điểm tại thời điểm t 2 là a( 2) 6 2 .
b. Để chất điểm dang tăng tốc về phía bên phải thì v(t ) 0, a (t ) 0
suy ra t 2 .
2.7 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM CỦA HÀM MỘT BIẾN TRONG KINH TẾ
2.7.1 Đạo hàm và giá trị biên tế trong kinh tế
Cho mô hình hàm số y f ( x ) , x và y là các biến kinh tế
x : biến độc lập hay biến đầu vào
y : biến phụ thuộc hay biến đầu ra
Với định nghĩa đạo hàm trong toán cơ bản, ta có:
y
khi x đủ nhỏ, ta có thể viết:
x 0 x
f ( x0 ) lim
y f ( x0 x) f ( x0 )
f ' ( x0 )
x
x
y f ( x0 x) f ( x0 ) f ' ( x0 ).x
Khi
x 1 y f ' ( x0 )
Vậy đạo hàm biểu diễn xấp xỉ lượng thay đổi của biến số y khi biến số x tăng
thêm một đơn vị
Với quan hệ hàm y f ( x ) để mô tả sự thay đổi của biến kinh tế y , khi biến kinh
tế x thay đổi, ta gọi f ' ( x0 ) là giá trị biên tế y tại x0 (còn gọi là biên tế)
Với hàm doanh thu: R p.Q thì
dR
được gọi là doanh thu biên tế
dQ
Với hàm chi phí: C f ( x), x : sản lượng thì
dC df
: chi phí biên tế
dx dx
Với hàm sản xuất: Q f ( L), L : lao động thì
dQ df
sản lượng biên tế
dL dL
Ví dụ 30 Giả sử hàm sản xuất của một doang nghiệp là:
Q f ( L) 5 L
L : số công nhân
Ở mức L 1 00 đơn vị lao động là 100 công nhân thì Q = 5 100 = 50 đơn vị sản
phẩm.
51
Sản phẩm biên tế của lao động tại L = 100 là:
5
5
dQ
0, 25 khi L 1 00
f ( L)
dL
2 L 2 100
Điều này có nghĩa là: Khi tăng mức sử dụng lao đông từ 100 101 thì sản lượng
sẽ tăng thêm 0.25 đơn vị sản phẩm.
Nhận xét: MQ là một hàm số giảm dần, đến một số lượng công nhân nhất định nào
đó, việc tuyển thêm công nhân không còn hiệu quả, chỉ tăng thêm chi phí.
Ví dụ 31 Giả sử hàm sản xuất của một doanh nghiệp may mặc:
Q f ( L) 5 7 L L: số công nhân
Ở mức L 2500 đơn vị lao động là 2500 công nhân thì Q 355 đơn vị sản phẩm.
Sản phẩm biên tế của lao động tại L 2500 là:
dQ
7
7
f ( L)
0, 07 khi L 2500
dL
2 L 2 2500
Điều này có nghĩa là: Khi tăng mức sử dụng lao động từ 2500 đến 2501 thì sản
lượng tăng 0.07 đơn vị sản phẩm.
2.7.2 Hàm trung bình và hàm chi phí biên
Nếu hai đại lượng x và y liên quan với nhau như y f ( x ) , thì hàm trung bình sẽ
được định nghĩa như
Hàm chi phí biên là
f ( x)
và hàm chi phí biên là tốc độ tức thời của sự thay y theo x .
x
dy
d
hoặc ( f ( x))
dx
dx
Chi phí trung bình: Cho C C ( x ) là tổng chi phí sản xuất và bán x đơn vị của
một sản phẩm, chi phí trung bình ( AC ) được định nghĩa là AC
C
x
Do đó, chi phí trung bình đại diện cho mỗi đơn vị chi phí.
Chi phí biên: Cho C C ( x ) là tổng chi phí sản xuất x đơn vị của một sản phẩm,
chi phí biên (MC) được định nghĩa là tốc độ thay đổi của C ( x ) đối với x .
MC
dC
d
hoặc MC (C ( x))
dx
dx
Chi phí biên được hiểu là khoảng chi phí khi tăng sản lượng lên một đơn vị.
52
Ví dụ 32 Hàm chi phí của một công ty được cho bởi :
C 2 x 2 x 5 .
Tìm:
i. Hàm trung bình
ii. Hàm chi phí biên, khi x 4
Giải
i. Hàm trung bình
AC
Khi x 4 ,
C 2x2 x 5
5
= 2x 1
x
x
x
5
4
AC 2.(4) 1 7, 75
ii. Hàm chi phí biên
MC
Khi x 4 ,
d
(C ) 4 x 1
dx
MC 17
Ví dụ 33 Hàm chi phí một sản phẩm được cho là:
C 0.0001Q 3 0.02Q 2 5Q 100
Tìm MC và MC là bao nhiêu khi Q 50 đơn vị sản lượng ?
dC
d
=
(0.0001Q 3 0.02Q 2 5Q 100) 0.0003Q 2 0.04Q 5
dQ dQ
Khi Q 50 , thì MC 3.75
Điều này có nghĩa là: Khi sản xuất tăng thêm 1 đơn vị sản lượng (từ 50 lên 51)
thì chi phí tăng thêm 3.75 đơn vị tiền tệ.
Q
MC
30
4.07
40
3.88
50
3.75
60
3.68
70
3.67
80
3.72
90
3.83
Q
100
120
150
180
200
300
500
MC
4
4.52
5.75
7.52
9
20
60
Nhận xét: Chi phí biên là một hàm tăng
Sản lượng sản xuất càng lớn thì chi phí biên càng lớn.
53
Ví dụ 34 Cho hàm chi phí C C (Q ) .Giá trị biên của chi phí MC (Q ) là đại lượng
đo sự thay đổi của chi phí C khi Q tăng lên một đơn vị.
Cho hàm chi phí trung bình để sản xuất ra một chiếc máy tính là:
C 0.0003Q 2 0.001Q 3
200
Q
Tìm giá trị cận biên của chi phí đối với mức sản xuất Q . Giá trị cận biên của chi
phí là bao nhiêu nếu mức sản xuất Q 70 .
Giải
Hàm tổng chi phí sản xuất Q đơn vị sản phẩm là:
C Q.C 0.0003Q3 0.001Q 2 3Q 200
Giá trị cận biên của chi phí là:
MC (Q)
dC
0.0009Q 2 0.002Q 3
dQ
Khi Q 70 thì MC (70) 7.72 .Như vậy, nếu tăng Q lên một đơn vị từ 70 lên 71
thì chi phí tăng lên khoảng 7.72 đơn vị..
2.7.3 Doanh thu trung bình và doanh thu biên.
Doanh thu trung bình: Nếu R là doanh thu thu được bằng việc bán x đơn vị của
sản phẩm tại p giá trên một đơn vị, doanh thu trung bình hạn có nghĩa là doanh thu
trên mỗi đơn vị, và được viết như AR
AR
R p.x
R
x
d dR dC
0
dQ dQ dQ
AR
p.x
p
x
Do đó, doanh thu trung bình giống như một đơn vị giá.
Doanh thu biên: Doanh thu biên (MR) được định nghĩa như tốc độ của sự thay
đổi tổng doanh thu đối với số lượng yêu cầu.
MR
d
dR
( R) hoặc
dx
dx
54
Doanh thu biên là doanh thu tăng thêm khi làm ra và bán thêm một sản phẩm.
Ví dụ 35 Một sản phẩm có hàm cầu là Q 1000 14 P , Q là sản lương, P là giá bán.
Tìm doanh thu biên khi P 10.50 .
Giải
Ta có hàm doanh thu: R(Q) P 1000 14P 1000P – 14P 2
MR 1000 – 28P
Với P 10 , ta có MR 720 nghĩa là khi tăng giá bán lên từ 10 đến 11 (tăng một
đơn vị tiền tệ) thì doanh thu sẽ tăng 720 đơn vị tiền tệ.
Với P 50 , ta có MR 400 nghĩa là khi tăng giá bán lên mức từ 50 đến 51 thì
doanh thu sẽ giảm một mức 400 đơn vị tiền tệ.
Ví dụ 36 Một sản phẩm trên thị trường có hàm cầu là:
Q 1000 14 P , Q là sản lượng, P là giá bán.
Tìm MR khi P 40 và P 30
Giải
Hàm doanh thu là: R(Q) P(1000 14 P) 1000 P 14 P 2
MR 1000 28P
Khi
P 40, MR 1000 28(40) 120
Nghĩa là khi doanh nghiệp tăng giá từ 40 lên 41 (tăng 1 đơn vị tiền tệ), thì
doanh thu sẽ giảm 120 đơn vị tiền tệ.
Khi
P 30, MR 1000 28(30) 160
Nghĩa là khi doanh nghiệp tăng giá từ 30 lên 31 (tăng 1 đơn vị tiền tệ), thì
doanh thu sẽ tăng 160 đơn vị tiền tệ.
P
30
32
34
35
35.5
36
38
40
MR
120
104
48
20
6
-8
-64
-120
Nhận xét: MR là một hàm số giảm, có một mức giá MR 0 .
55
2.7.4 Giảm thiểu chi phí trung bình hoặc tổng chi phí và tối đa hoá tổng doanh
thu, tổng lợi nhuận
Chúng ta biết rằng nếu C C ( x ) là hàm tổng chi phí của x đối với một sản phẩm,
thì chi phí trung bình AC được cho bởi: AC
C ( x)
.
x
Trong kinh tế và thương mại, nó là rất quan trọng để tìm ra mức sản lượng mà chi
phí trung bình là tối thiểu. Ta có thể tính bằng công thức
thỏa
d ( AC )
0 và giá trị của x
dx
d 2 ( AC )
0
dx 2
Khi chúng ta tìm mức sản lượng mà tổng doanh thu đạt mức tối đa. Ta tính bằng
công thức
d2
d
[R( x)] 0 và tìm giá trị của x thỏa 2 [R( x )][...]... có miền xác định là , miền giá trị 0, 1.1.6 Hàm sơ cấp Định nghĩa 1.1.4 Hàm sơ cấp là hàm được tạo thành bởi một số hữu hạn các phép lấy tổng, hiệu, tích, thương, hàm hợp đối với các hàm sơ cấp cơ bản và các hằng. Chẳng hạn f x e cosx lnx 2 x3arcsinx 2 là hàm sơ cấp. 1.1.7 Ứng dụng của hàm số Phần này giới thiệu ứng dụng của hàm số thông qua các ví dụ. Ví dụ 6 (Giá tiền đi xe taxi) Giá đi xe taxi trong thành phố được tính như sau: trong ... x) C ( x) f Hàm cung và hàm cầu + Hàm số biểu diễn mối quan hệ giữa số cầu đối với một hàng hóa nào đó ( QD ) và giá của nó ( P ) được gọi là hàm số cầu. QD a bP 18 Trong đó: QD là số cầu của người tiêu dùng đối với một loại hàng hóa nào đó, P là giá của hàng hóa đó và a, b là các hằng số. + Hàm cung là hàm số biểu diễn mối tương quan giữa lượng cung và các nhân tố ảnh hưởng đến lượng cung. ... x0 và tiếp tuyến có phương trình y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) 2.1.2 Đạo hàm một phía Định nghĩa 2.1.2 Các giới hạn hữu hạn f ' ( x0 ) lim x 0 f f , f ' ( x0 ) lim x 0 x x theo thứ tự được gọi là đạo hàm bên trái, đạo hàm bên phải của hàm f ( x ) tại x0 25 Định lý 2.1.1 Hàm số có đạo hàm tại x0 khi và chỉ khi nó có đạo hàm trái và đạo hàm phải tại x0 và hai đạo hàm đó bằng nhau. ... nằm trên trục Ox và tiệm cận với trục Ox 6 Hình 4 Đồ thị hàm mũ y a x (0 a 1) c Hàm logarit: y log a x (0 a 1) Hàm logarit là hàm ngược của hàm mũ. Hàm xác định với mọi x 0 Hàm tăng khi a 1 và giảm khi 0 a 1 Đồ thị đối xứng với đồ thị của hàm y a x qua đường phân giác thứ nhất, luôn đi qua điểm (1, 0) , nằm bên phải trục Oy và tiệm cận với Oy Hình 5 Đồ thị hàm logarit... (0 a 1) d Các hàm lượng giác Các hàm y sin x, y cos x, y tan x, t cot x Mỗi hàm đều là hàm tuần hoàn. Hàm y sin x, y cos x là hai hàm có tập xác định là và tập giá trị là [-1, 1]. Hàm y tanx có tập xác định là x | x k và tập giá trị là ; 2 Hàm y cotx có tập xác định là x | x k và tập giá trị là ... Trong bảng trên, năm là biến độc lập, dân số là biến phụ thuộc và bảng biểu diễn dân số như là hàm của năm. iii Phương pháp đồ thị Hàm được cho bởi đồ thị. Phương pháp này cho ta thấy được dáng điệu của hàm. Ví dụ 3 Điện tâm đồ trong y học. Hình 2 Đồ thị điện tâm đồ trong y học 4 1.1.2 Tổng, hiệu, tích và thương các hàm Với x D f Dg , các hàm f + g, f - g, fg và i f cho bởi ... Coi x Y là biến độc lập thì với mọi x Y tồn tại duy nhất y f 1 ( x ) X để f y x Ta có hàm y f 1 x , x Y , gọi là hàm ngược của hàm y f ( x ) 5 Chú ý : Chỉ có hàm 1 1 mới có hàm ngược. Định nghĩa 1.1.3 ( Hàm 1 1 ) Một hàm được gọi là tương ứng 1 1 giữa tập xác định và tập giá trị (gọi tắt là hàm 1 1 ) nếu nó không lấy một giá trị nào đó của nó hai lần; tức là: ... Trong đó: QD là hàm cung, P là giá, b là các hằng số dương, a là hằng số. 1.4.2 Bài tập ứng dụng 1. Cho một sảm phẩm mới, nhà sản xuất dành 100000 USD cho cơ sở hạ tầng và cho phí biến đổi được ước tính là 150 USD trên một đơn vị của sản phẩm. Giá bán trên một đơn vị đã được cố định tại 200 USD. Tìm i Hàm chi phí. ii Hàm doanh thu. iii Hàm lợi nhuận. iv Điểm hòa vốn. Giải Cho x là số lượng của đơn vị sản xuất và bán ... khi x1 x2 Ví dụ 5 i Hàm y x3 có hàm ngược x 3 y , cả hai cùng xác định trên ii Hàm y a x (0 a 1) xác định trên và có miền giá trị. Hàm này có hàm ngược x log a y xác định trong khoảng D (0, ) và có miền giá trị f D iii Hàm y x 2 không có hàm ngược trên vì không là hàm 1 1 1.1.5 Các hàm sơ cấp cơ bản a Hàm lũy thừa: y x α (α ) Nếu ... vô tỉ ta quy ước xét: x 0 nếu 0 và x 0 nếu 0 Miền xác định của hàm phụ thuộc vào Đồ thị của tất cả các hàm y x ( ) đều đi qua điểm (1, 1), chúng đi qua gốc O nếu 0 và không đi qua O nếu 0 Hình 3 Đồ thị hàm lũy thừa y x α (α ) b Hàm mũ: y a x (0 a 1) Hàm xác định với mọi x và luôn nhận giá trị dương. Hàm tăng khi a 1 và giảm khi 0 a 1 Đồ thị luôn đi qua hai điểm
Ngày đăng: 12/10/2015, 19:27
Xem thêm: giải tích hàm một biến và các ứng dụng, giải tích hàm một biến và các ứng dụng