Ứng dụng công thức truy hồi giải toán sơ cấp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRẦN THỊ THU HÀ ỨNG DỤNG CÔNG THỨC TRUY HỒI GIẢI TOÁN SƠ CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC ĐÀ NẴNG - 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRẦN THỊ THU HÀ ỨNG DỤNG CƠNG THỨC TRUY HỒI GIẢI TỐN SƠ CẤP Chun ngành : Phương pháp toán sơ cấp Mã số : 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH TRẦN QUỐC CHIẾN ĐÀ NẴNG - 2015 LỜI CAM ĐOAN Tơi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả luận văn Trần Thị Thu Hà MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục tiêu nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Cấu trúc luận văn CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 TỔNG QUAN VỀ TỔ HỢP 1.1.1 Sơ lược lịch sử 1.1.2 Bài toán tổ hợp 1.1.3 Giới thiệu phần mềm Maple 10 1.2 PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN 11 CHƯƠNG CÔNG THỨC TRUY HỒI 13 2.1 KHÁI NIỆM CÔNG THỨC TRUY HỒI 13 2.2 GIẢI CÔNG THỨC TRUY HỒI 13 2.2.1 Giải công thức truy hồi phương pháp lặp 13 2.2.2 Giải công thức truy hồi tuyến tính hệ số 14 2.2.3 Giải công thức truy hồi hàm sinh 29 2.2.4 Giải công thức truy hồi maple 32 2.2.5 Tuyến tính hóa cơng thức truy hồi 33 CHƯƠNG ỨNG DỤNG CÔNG THỨC TRUY HỒI GIẢI TOÁN SƠ CẤP 36 3.1 ỨNG DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT CÁC BÀI TOÁN TỔ HỢP 36 3.1.1 Phương pháp giải 36 3.1.2 Các toán 36 3.2 ỨNG DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ 42 3.2.1 Tìm cơng thức tổng qt dãy số cho công thức truy hồi 42 3.2.2 Tính tổng dãy số 59 3.3 ỨNG DỤNG TRONG SỐ HỌC 63 3.4 ỨNG DỤNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN 67 3.5 ỨNG DỤNG TÍNH TÍCH PHÂN 69 KẾT LUẬN 73 TÀI LIỆU THAM KHẢO 74 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao) MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Tổ hợp ngành khoa học xuất sớm vào đầu kỷ XVII, áp dụng nhiều lĩnh vực khác lý thuyết số, hình học, đại số, xác suất thống kê, quy hoạch thực nghiệm… Các vấn đề liên quan đến lý thuyết tổ hợp phận quan trọng, hấp dẫn tốn học nói chung tốn rời rạc nói riêng Nó nội dung phong phú áp dụng nhiều thực tế sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp xuất nhiều tốn hay khó Một chủ đề hay lý thuyết tổ hợp công thức truy hồi Đây kỹ thuật đếm cao cấp để giải toán đếm công cụ hữu hiệu để giải tốn khác có liên quan Vì vậy, tơi định chọn đề tài: “Ứng dụng công thức truy hồi giải toán sơ cấp” để làm đề tài luận văn thạc sĩ Mục tiêu nghiên cứu Nghiên cứu ứng dụng công thức truy hồi giải toán sơ cấp Đối tượng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu cơng thức truy hồi tuyến tính hệ số bậc một, bậc hai, bậc k phương pháp giải Nghiên cứu ứng dụng công thức truy hồi chương trình THPT 3.2 Phạm vi nghiên cứu Cơng thức truy hồi, phương pháp giải ứng dụng tốn sơ cấp như: tổ hợp, dãy số, tích phân Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết, phân tích, tổng hợp dạng tốn Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Đề tài nghiên cứu tính ứng dụng cơng thức truy hồi Giải toán đặt từ thực tế Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu kết luận, luận văn chia làm ba chương: Chương 1: Cơ sở lý thuyết Chương 2: Công thức truy hồi Chương 3: Ứng dụng công thức truy hồi giải toán sơ cấp CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 TỔNG QUAN VỀ TỔ HỢP 1.1.1 Sơ lược lịch sử Tư tổ hợp đời từ sớm Vào thời Chu Trung Quốc người ta biết đến hình vng thần bí Thời cổ Hi-Lạp, kỷ trước Công nguyên, nhà triết học Kxenokrat biết cách tính số từ khác lập từ bảng chữ cho trước Nhà toán học Pitagor học trị tìm nhiều số có tính chất đặc biệt Chẳng hạn, 36 khơng tổng số chẵn số lẻ mà tổng lập phương số tự nhiên 36 = + + + + + + + = + + Lý thuyết tổ hợp hình thành ngành tốn học vào kỷ 17 loạt công trình nghiên cứu nhà tốn học xuất sắc như: Pascal, Fermat, Euler… Các tốn tổ hợp có đặc trưng bùng nổ tổ hợp với số cấu hình tổ hợp khổng lồ Các toán tổ hợp tiếng lịch sử: Bài toán tháp Hà Nội, toán xếp cặp vợ chồng, toán đường quân ngựa bàn cờ, tốn hình vng la tinh, hình lục giác thần bí 1.1.2 Bài tốn tổ hợp a Cấu hình tổ hợp dạng tốn tổ hợp Cho tập hợp , ,…, , ,…, Giả sử sơ đồ xếp phần tử mô tả quy tắc xếp , , …, điều kiện ràng buộc lên xếp theo sơ đồ Khi xếp phần tử , ,…, thỏa mãn điều kiện , , …, gọi cấu hình tổ hợp tập , ,…, Với cấu hình tổ hợp, ta thường gặp bốn dạng toán sau: toán tồn tại, toán đếm, toán liệt kê, toán tối ưu b Bài toán đếm * Nguyên lý cộng nguyên lý nhân + Nguyên lý cộng Giả sử { , Khi | |=| } phân hoạch tập ,… , |+| | + ⋯+ | | + Nguyên lý nhân Giả sử cấu hình tổ hợp xây dựng qua bước, bước thực cách,…, bước thực cách, bước thực cách Khi đó, số cấu hình tổ hợp * Các cấu hình tổ hợp … + Chỉnh hợp lặp Định nghĩa 1.1 Một chỉnh hợp lặp chập có thứ tự gồm thành phần lấy từ phần tử khác phần tử cho Các thành phần lặp lại Một chỉnh hợp lặp chập tích Đề-các lặp chập , với tập phần tử xem phần tử phần tử Như vậy, số tất chỉnh hợp + Chỉnh hợp không lặp ( , )= Định nghĩa 1.2 Một chỉnh hợp không lặp chập có thứ tự gồm thành phần lấy từ phần tử cho Các thành phần không lặp lại Số tất chỉnh hợp không lặp chập phần tử khác phần tử ( , ) = ( − 1) … ( − + 1) = ! ( − )! + Hoán vị Định nghĩa 1.3 Một hoán vị phần tử khác cách xếp thứ tự phần tử Hốn vị coi trường hợp riêng chỉnh hợp không lặp chập , = Ta có số hốn vị ( ) = ! + Tổ hợp Định nghĩa 1.4 Một tổ hợp chập không kể thứ tự gồm thành phần khác lấy từ cách khác, ta coi tổ hợp chập có phần từ phần tử khác phần tử cho Nói phần tử khác tập phần tử cho Gọi số tổ hợp chập phần tử ( , ), ta có ( , )= * Các cấu hình tổ hợp mở rộng ! ! ( − )! + Hoán vị lặp Định nghĩa 1.5 Hốn vị lặp hốn vị phần tử ấn định số lần lặp cho trước Định lý 1.1 Số hoán vị lặp thứ lặp với = phần tử khác nhau, phần tử lần, phần tử thứ hai lặp + ( ; + ⋯+ Chứng minh , ,…, )= lần, …, phần tử thứ ! ! !… ! ; lặp lần 60 … = 2, =1 +2 = = + +2 , , ∀ ≥ Từ ta công thức truy hồi = + Giải công thức truy hồi (3.19) , (3.19) = 1, ∀ ≥ Phương trình tương ứng có nghiệm đơn nên nghiệm tổng quát phương trình ℎ = Ta có Thế ( )= Vì nghiệm đặc trưng nên nghiệm riêng có dạng = ( vào (3.19) so sánh hệ số hai vế phương trình ta ⇒ Mà Vậy + ) + (1) = nên = , = ⇒ = = = Bài toán 3.2.17 1 = , = + + 2 = +2 + +⋯+ Tính tổng Lời giải Ta có = 1, … + = 2, = = = 1, =1 +2 = + + + + + , với + = 9, ∈ N, ≥ 61 Từ ta có cơng thức truy hồi = + ; (3.20) = 1, ∀ ≥ Giải cơng thức truy hồi (3.20) Phương trình tương ứng có nghiệm đơn nên nghiệm tổng quát phương trình ℎ = Ta có ( ) = Thế Vì nghiệm đặc trưng nên nghiệm riêng có dạng = ( ⇒ Vậy + ) + vào (3.20) so sánh hệ số hai vế phương trình ta được: ⇒ Mà + (1) = nên 1 = , = , =0 1 + + = 4 1 = + + + 4 = , = = Bài tốn 3.2.18 Tính tổng + + = 1.2.3 + 2.3.4 + ⋯ + ( + 1) ( + 2), Lời giải ∈ N, ≥ Ta có = 1.2.3 = 6, … = 1.2.3 + 2.3.4 = + 2.3.4, = + ( + 1)( + 2) = + ( + 1)( + 2), Từ ta có cơng thức truy hồi = 6, ∀ ≥ (3.21) 62 Giải công thức truy hồi (3.21) Phương trình có nghiệm tổng qt ℎ = Ta có ( ) = ( + 1)( + 2) Vì nghiệm đặc trưng nên nghiệm riêng Thế = ( Vậy + 11 = , = , = 11 = + + + 4 11 = + + + + 4 = , ⇒ = nên ta tìm = Bài tốn 3.2.19 Cho dãy ( = = + = 11 + + ) thỏa mãn: 2(2 − 1) +1 Tính tổng 2001 số hạng dãy ( Lời giải Ta có Đặt + ) vào (3.21) so sánh hệ số hai vế phương trình ta được: ⇒ Mà + có dạng = ∀ ≥ ) + − = 63 = ⇒ = (3.22) + − Nghiệm tổng quát phương trình ℎ = Nghiệm riêng Thế = ( có dạng + ) vào (3.22) so sánh hệ số hai vế ta ⇒ =2 ⇒ = +2 Sử dụng điều kiện ban đầu ta tìm =− Vậy ⇒ = 1 − +2 = = 2, = = − +2 2 1 = = − (2 − 1) (2 + 1) − + 1 4002 − =1− = 4003 4003 −1 +1 3.3 ỨNG DỤNG TRONG SỐ HỌC Bài toán 3.3.1 Cho dãy số ( với ≥ ) xác định bởi: Chứng minh rằng: ∀ , Lời giải = 1, = 2, =2 số hạng dãy số Ta có Thay =2 − − ta =2 − + 2, = 1, − = 2, + = + 64 Trừ hai đẳng thức vế theo vế ta −3 +3 − = Phương trình đặc trưng có nghiệm bội nên nghiệm tổng quát có dạng Mà = 1, Suy Do Vậy = = 2, = nên + + =1 +2 + =2 +3 + =5 = = [( + =1 = −2 =2 ⟺ − + = ( − 1) + − 1) + 1] ( + 1) = ( số hạng dãy Bài toán 3.3.2 Cho dãy số ( Chứng minh + = 1, = 0, =2 − ) thỏa mãn =2 số phương − − + 2, ∀ ≥ = 1, = 0, + 1) + Lời giải Ta có Thay − ta + 2, =2 − + 2, Trừ hai đẳng thức vế theo vế ta −3 +3 =1 − = 0, Phương trình đặc trưng có nghiệm bội nên nghiệm tổng quát có dạng Mà Suy = = 1, = + = 0, + = nên ta tìm − + = ( − 1) = 1, = −2, = 65 Vậy số phương Bài toán 3.3.3 Cho dãy số ( = a Chứng minh + √3 ) xác định sau: − − √3 ; √3 = 0, 1, … số nguyên, ∀ = 0, 1, … b Tìm tất số hạng dãy chia hết cho Lời giải a Với =0 ⇒ Đặt =1 ⇒ ⇒ , = 0, = = − √3 Ta có = + √3; nghiệm phương trình số hạng tổng quát dãy số cho cơng thức = 0, =4 Từ suy b Ta có Do =3 =1 − ∈ Z, ∀ = 0, 1, … ∈ Z nên +( ≡ − − Ta thấy số hạng dãy số dư tương ứng 0, 1, 1, 0, 2, 2, 0, Suy ≡ + − + = Do (mod 3) , ,…, Vậy dãy số nói trên, số hạng có dạng chia hết cho a Tính = 2, ) thỏa mãn = b Tìm phần nguyên tổng sau: ) (mod3) Bài toán 3.3.4 Cho dãy số ( =4 = 1, +1 +2 chia cho có với = 0, 1, … 66 = Lời giải a ⇔ ⇔ Đặt = −1= =1+ −1 =1 =3 ⇒ +1 +2 −1 +2 −1 = −1 + 1, ∀ ≥ Giải công thức truy hồi ta Do ⇒ 3 = − = 2 =1+ −1 = b Ta có 3 = 2000 + ⇒ 2000 < < 2000 + −1 +1 −1 3 −1 < 2001 67 Vậy [ ] = 2000 Bài toán 3.3.5 Cho dãy số ( = 0, i ii Với = ( = 1, ) thỏa mãn điều kiện sau: = 0, ≥ 3, − + 7)( − 2) −3 Chứng minh +( − + 7) ≥ số phương với Lời giải Xét dãy ( ) định nghĩa sau: Khi đó, = 0, = 1, = ( − 3) = ( − 2) − ( − 3) = Từ suy = ( − 2) Khử = ( , = + + , − 2( − 3) +( + − + 7) − Như vậy, dãy ( ) thỏa mãn điều kiện truy hồi dãy ( = = Do = phương ∀ ≥ = , ∀ ≥ Mà , ∀ ≥ từ hai phương trình ta nhận được: − + 7)( − 2) −3 −2 +3 + 2( − 2) + ( − 3) − = 0, , −2 +3 ) Hơn nữa, = 1, = nguyên, ∀ ≥ nên số 3.4 ỨNG DỤNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN Việc giải phương trình sai phân thực chất giải cơng thức truy hồi Bài tốn 3.4.1 Giải phương trình sai phân 68 = 17 =2 − Lời giải Thay = 17, + + + − ta − ( − 1) + 2( − 1) + + =2 =2 − + − + (3.23) Đây công thức truy hồi tuyến tính khơng hệ số bậc Phương trình tương ứng có nghiệm nên nghiệm tổng quát phương trình ℎ( ) = Ta có ( )=− ( ) = + − 2, =2 Đối với phương trình − + − 2, + + (3.24) khơng phải nghiệm đặc trưng nên nghiệm riêng ( )= Thế vào (3.24) so sánh hệ số hai vế ta Đối với phương trình ⇒ =2 ( )= (3.25) so sánh hệ số hai vế ta ( ) = Thế =3 ( ) = Do nghiệm tổng quát (3.23) Mà = ℎ( ) + = 17 nên ( )+ = 17 ( ) = + +3 Vậy phương trình sai phân có nghiệm = 17 + + Bài toán 3.4.2 Giải phương trình sai phân = 1; =1 −5 + = =0 (3.25) + , nghiệm đặc trưng nên nghiệm riêng ⇒ = 1, = − + ( ) vào 69 Lời giải Thay ⇒ − ta −5 = + − = ( − 2) − 2( − 2) + + 11 , −3 + = 1, Nghiệm tổng quát phương trình có dạng ℎ( ) = + =1 (3.26) Vì khơng nghiệm đặc trưng nên nghiệm riêng ( ) có dạng ( )= + + Thay ( ) vào (3.26) so sánh hệ số hai vế ta = −1, ( )=− ⇒ Mà = 1, = 4, = −10 + − 10 ( ) = + ⇒ = nên ta tìm Vậy phương trình sai phân có nghiệm = + − 3.5 ỨNG DỤNG TÍNH TÍCH PHÂN − = 3, + − 10 = + − 10 Những tốn tích phân truy hồi bậc THPT thường yêu cầu biểu diễn tích phân theo cơng thức truy hồi tuyến tính Giải cơng thức truy hồi ta tìm Bài tốn 3.5.1 Cho Chứng minh = cos( ) − 4cos ( ∈ N, ≥ 3) 70 Tính = với = Lời giải Ta có + cos( = =− =− ⇒ ⇔ 24 − , = 48 ) + cos( − 2) − 4cos = 2cos( − 1) cos − 4cos cos( − 1) [(−4cos + 5) − 5] − 4cos 2 cos( − 1) + = = − − + cos( − 1) − 4cos sin( − 1) 2( − 1) + Đây cơng thức truy hồi tuyến tính hệ số bậc Vì phương trình đặc trưng có nghiệm đơn λ = ,λ = 2 nên nghiệm tổng quát công thức truy hồi = + , = .2 Sử dụng điều kiện ban đầu ta tìm Vậy = 71 = Bài tốn 3.5.2 Tính tích phân = Lời giải cos ) cos( , = ( ∈ N ∗ ) Đặt = = cos = cos( sin( =0− =− =− =− ⇒ ) ) cos + ) sin cos sin( [cos( + 1) − cos( − 1) ]cos cos( + 1) cos (cos( 2 = − sin = sin( ) cos( + ) cos − sin( ) sin ) cos ) cos 1 [cos( + 1) − cos( − 1) ]cos + − 2 =− + + = Vậy ta có cơng thức truy hồi + + 72 = Nghiệm tổng quát công thức truy hồi Với Vậy = ⇒ = = cos( ) = cos = 73 KẾT LUẬN Đề tài: “Ứng dụng công thức truy hồi giải toán sơ cấp” tổng hợp lý thuyết công thức truy hồi đưa ứng dụng cơng thức truy hồi việc giải tốn sơ cấp tương đối đầy đủ Đề tài nêu phương pháp giải công thức truy hồi như: phương pháp lặp, phương pháp hàm sinh, dùng phương trình đặc trưng, tuyến tính hóa cơng thức truy hồi phi tuyến sử dụng phần mềm tin học Maple Đề tài nghiên cứu ứng dụng cơng thức truy hồi giải tốn sơ cấp như: tìm số hạng tổng qt tính tổng dãy số, giải số phương trình sai phân tuyến tính Ứng dụng số tốn số học tích phân truy hồi Tuy nhiên, thời gian khả hạn chế nên đề tài chưa nghiên cứu sâu rộng phương pháp khác giải công thức truy hồi Đề tài chưa nghiên cứu ứng dụng công thức truy hồi việc giải toán phức tạp toán tin học Đây chủ đề hay, hướng mở để tiếp tục phát triển 74 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Hữu Anh (2001), Toán rời rạc, Nhà xuất đại học quốc gia thành phố Hồ Chí Minh [2] PGS TSKH Trần Quốc Chiến (2010), Giáo trình lý thyết tổ hợp, Đại học Đà Nẵng [3] Nguyễn Gia Định (2008), Bài tập toán rời rạc, Đại học Huế [4] Nguyễn Văn Mậu, Các toán rời rạc tổ hợp, Nhà xuất đại học quốc gia Hà Nội [5] Phan Huy Khải (2009), Số học dãy số, Nhà xuất giáo dục [6] Phan Huy Khải (2007), Các tốn hình học, Nhà xuất giáo dục [7] Phan Huy Khải (2007), Các toán dãy số, Nhà xuất giáo dục [8] Nguyễn Văn Mậu (2008), Chuyên đề chọn lọc dãy số áp dụng, Nhà xuất giáo dục [9] Nguyễn Đức Nghĩa, Nguyễn Tơ Thành (2003), Tốn rời rạc, Nhà xuất đại học quốc gia Hà Nội [10] Trần Phương, Lê Hồng Đức (2002), Chuyên đề luyện thi đại học tổ hợp, NXB Đại học Sư Phạm [11] Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên), Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đặng Hùng Thắng (2014), Đại số Giải tích 11 nâng cao, NXB Giáo Dục Việt Nam [12] Đoàn Quỳnh (Chủ biên), Trần Nam Dũng, Nguyễn Vũ Lương, Đặng Hùng Thắng (2013), Tài liệu chuyên Toán Đại số Giải tích 1, NXB Giáo dục Việt Nam [13] Lê Đình Thịnh (Chủ biên), Đặng Đình Châu, Phan Văn Hạp (2001), Phương trình sai phân số ứng dụng, NXB Giáo Dục [14] Tập san Toán học tuổi trẻ năm [15] Tuyển tập đề thi Olimpic năm ... CÔNG THỨC TRUY HỒI 13 2.2 GIẢI CÔNG THỨC TRUY HỒI 13 2.2.1 Giải công thức truy hồi phương pháp lặp 13 2.2.2 Giải cơng thức truy hồi tuyến tính hệ số 14 2.2.3 Giải công thức truy. .. truy hồi hàm sinh 29 2.2.4 Giải công thức truy hồi maple 32 2.2.5 Tuyến tính hóa công thức truy hồi 33 CHƯƠNG ỨNG DỤNG CÔNG THỨC TRUY HỒI GIẢI TOÁN SƠ CẤP 36 3.1 ỨNG. .. tơi định chọn đề tài: ? ?Ứng dụng cơng thức truy hồi giải tốn sơ cấp? ?? để làm đề tài luận văn thạc sĩ Mục tiêu nghiên cứu Nghiên cứu ứng dụng cơng thức truy hồi giải tốn sơ cấp Đối tượng phạm vi