Hàm sinh và ứng dụng giải công thức truy hồi

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THỊ KIM HOA HÀM SINH VÀ ỨNG DỤNG GIẢI CƠNG THỨC TRUY HỒI Chun ngành : Phương pháp Tốn sơ cấp Mã số: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH TRẦN QUỐC CHIẾN Đà Nẵng - Năm 2013 LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Những nội dung trình bày luận văn nghiên cứu thực hướng dẫn PGS.TSKH Trần Quốc Chiến Mọi tài liệu tham khảo luận văn trích dẫn rõ ràng, trung thực tên tác giả, tên đề tài, thời gian địa điểm cơng bố Nếu có chép khơng hợp lệ, vi phạm quy chế đào tạo xin chịu hoàn toàn trách nhiệm Tác giả luận văn Nguyễn Thị Kim Hoa MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Cấu trúc luận văn CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 BÀI TOÁN TỔ HỢP VÀ CÁC DẠNG BÀI TOÁN TỔ HỢP 1.1.1.Bài toán tổ hợp 1.1.2 Các dạng toán tổ hợp 1.2 NGUYÊN LÝ CỘNG VÀ NGUYÊN LÝ NHÂN 1.2.1 Nguyên lý nhân 1.2.2 Nguyên lý cộng 1.3 CÁC CẤU HÌNH TỔ HỢP CƠ BẢN 1.3.1 Chỉnh hợp lặp 1.3.2 Chỉnh hợp không lặp 1.3.3 Hoán vị 1.3.4 Tổ hợp 1.4 CÁC CẤU HÌNH TỔ HỢP NÂNG CAO 1.4.1 Hoán vị lặp 1.4.2 Tổ hợp lặp CHƯƠNG HÀM SINH VÀ CÔNG THỨC TRUY HỒI 10 2.1 HÀM SINH THƯỜNG 10 2.1.1 Định nghĩa hàm sinh thường 10 2.1.2.Định lý 11 2.1.3 Các phép toán hàm sinh 13 2.2 HÀM SINH MŨ 17 2.2.1 Định nghĩa hàm sinh mũ 17 2.2.2 Bổ đề 17 2.2.3 Định lý 17 2.2.4 Định lý 18 2.2.5 Phương pháp đếm sử dụng hàm sinh mũ 18 2.3 CÔNG THỨC TRUY HỒI 19 2.3.1 Định nghĩa công thức truy hồi 19 2.3.2 Giải công thức truy hồi 20 2.3.3 Phương pháp tổng quát giải công thức truy hồi 28 2.3.4 Giải công thức truy hồi hàm sinh 29 CHƯƠNG ỨNG DỤNG HÀM SINH GIẢI CÔNG THỨC TRUY HỒI 43 3.1 ỨNG DỤNG HÀM SINH GIẢI CÁC BÀI TỐN ĐẾM ĐIỂN HÌNH 43 3.1.1 Ứng dụng hàm sinh giải toán chia kẹo Euler 43 3.1.2 Bài toán 43 3.1.3.Bài toán 45 3.2 ỨNG DỤNG HÀM SINH GIẢI CÔNG THỨC TRUY HỒI TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT 46 3.2.1 Bài toán (Số Fibonacci) 46 3.2.2 Bài toán 47 3.2.3 Bài toán 48 3.2.4 Bài toán 48 3.2.5 Bài toán (Bài toán lãi kép) 49 3.2.6 Bài toán 50 3.2.7 Bài toán 51 3.2.8 Bài toán 51 3.2.9 Bài toán 52 3.3 ỨNG DỤNG HÀM SINH GIẢI CÔNG THỨC TRUY HỒI TUYẾN TÍNH KHƠNG THUẦN NHẤT 53 3.3.1 Bài toán (Bài toán tháp Hà Nội) 53 3.3.2.Bài toán (Bài toán chia mặt phẳng) 55 3.3.3 Bài toán (Olympic Bungari, 1995) 57 3.3.4 Bài toán 58 3.3.5 Bài toán 59 3.3.6 Bài toán 60 3.3.7 Bài toán 60 3.3.8 Bài toán 61 3.3.9 Bài toán 62 KẾT LUẬN 64 TÀI LIỆU THAM KHẢO 65 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN THẠC SĨ (BẢN SAO) MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Tốn học tổ hợp hình thành vào đầu kỷ XVII phát triển mạnh với bùng nổ công nghệ thông tin, đặc biệt cơng trình nghiên cứu nhà toán học tiếng Pascal, Fermat, Leibnitz, Euler,… Các vấn đề liên quan đến lý thuyết tổ hợp phận quan trọng, hấp dẫn lí thú Tốn học nói chung tốn rời rạc nói riêng Nó có nội dung phong phú ứng dụng nhiều đời sống, đặc biệt từ tin học đời Hàm sinh công thức truy hồi nội dung hay lý thuyết tổ hợp, giải tốn có cơng thức truy hồi mà ta giải theo cách thông thường Trong năm gần đây, tổ hợp đưa vào giảng dạy chương trình học phổ thơng, đại học, sau đại học mơn tương đối khó học sinh, sinh viên khái niệm trừu tượng nhiều dạng tốn khó thời lượng dành cho mơn cịn hạn chế bậc trung học phổ thông Trong nhiều kì thi học sinh giỏi quốc gia, thi Olympic toán quốc tế, thi Olympic sinh viên trường đại học, cao đẳng toán liên quan đến tổ hợp hay đề cập thường thuộc loại khó nên học sinh đa số cịn lúng túng giải toán loại Các sách viết tổ hợp tương đối nhiều chưa có nhiều sách viết hàm sinh công thức truy hời tổ hợp Chính lý nêu trên, định chọn đề tài “Hàm sinh ứng dụng giải cơng thức truy hồi ” để tìm hiểu, nghiên cứu nhằm phục vụ cho công tác giảng dạy tơi nói chung luyện thi học sinh giỏi nói riêng sau Nội dung luận văn có kế thừa hệ thống lý thuyết cấu hình tổ hợp, hệ thống lý thuyết hàm sinh công thức truy hồi ứng dụng hàm sinh giải tốn có cơng thức truy hời Mục đích nghiên cứu Đề tài nghiên cứu kiến thức mở rộng lý thuyết tổ hợp, nghiên cứu sâu hàm sinh ứng dụng hàm sinh để giải tốn có cơng thức truy hời Qua đó, hình thành số dạng thường gặp để học sinh dễ nghiên cứu, học tập tìm cách giải hay Đối tượng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu hàm sinh công thức truy hồi - Phạm vi nghiên cứu hàm sinh ứng dụng hàm sinh giải tốn có cơng thức truy hời Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu lý thuyết tổ hợp, đặc biệt hàm sinh, cơng thức truy hời - Tìm hiểu xây dựng ứng dụng hàm sinh công thức truy hồi Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý thuyết thông qua việc siêu tầm loại tài liệu sách, báo, tạp chí, mạng internet, thầy cơ, bạn bè Trình bày cách có hệ thống nội dung lý thuyết nghiên cứu tìm hiểu Mỗi nội dung ta phải chứng minh cụ thể, rõ ràng lấy ví dụ minh họa xác thực, dễ hiểu - Phân loại hệ thống dạng toán Tìm phương pháp đặc trưng để giải dạng toán cụ thể Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài - Đề tài góp phần nghiên cứu ứng dụng hàm sinh vào giải toán tổ hợp phù hợp với chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp - Sau cho phép bảo vệ, góp ý thầy hội đờng, luận văn dùng làm tài liệu tham khảo cho sinh viên, giáo viên, học sinh phổ thông quan tâm đến lĩnh vực - Thời gian nghiên cứu khơng nhiều nên số nội dung hay mà luận văn chưa đề cập đến Tôi tiếp tục nghiên cứu bổ sung thường xuyên để nội dung luận văn phong phú, dùng làm tài liệu ơn thi học sinh giỏi bậc trung học phổ thông Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở kết luận, luận văn chia làm ba chương: - Chương 1: Cơ sở lý thuyết, - Chương 2: Hàm sinh công thức truy hồi, - Chương 3: Ứng dụng hàm sinh giải công thức truy hồi CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 BÀI TOÁN TỔ HỢP VÀ CÁC DẠNG BÀI TỐN TỔ HỢP 1.1.1.Bài tốn tổ hợp Có thể nói tốn tổ hợp đa dạng phong phú, liên quan đến nhiều lĩnh vực khoa học đời sống khác Một cách tổng quát lí thuyết tổ hợp nghiên cứu việc phân bố, xếp phần tử nhiều tập hợp, thỏa mãn số điều kiện Mỗi cách phân bố xếp gọi cấu hình tổ hợp Cấu hình tổ hợp Cho tập hợp A1, A2,…,An, giả sử S sơ đồ xếp phần tử A1, A2,…,An, mô tả quy tắc xếp R1, R2,…,Rm điều kiện ràng buộc lên xếp theo sơ đờ S Khi cách xếp phần tử A1, A2,…,An, thảo mãn điều kiện R1, R2,…,Rm gọi cấu hình tổ hợp tập A1, A2,…,An 1.1.2 Các dạng toán tổ hợp Ta thường gặp bốn dạng toán sau: tốn tờn tại, tốn đếm, tốn liệt kê, toán tối ưu 1.2 NGUYÊN LÝ CỘNG VÀ NGUYÊN LÝ NHÂN 1.2.1 Nguyên lý nhân Giả sử cấu hình tổ hợp xây dựng qua k bước, bước thực n1 cách, bước thực n2 cách, …, bước k thực nk cách Khi số cấu hình tổ hợp là: n1.n2 … nk 1.2.2 Nguyên lý cộng Giả sử { X1, X2, …, Xn } phân hoạch tập S Khi |S| = | X1| + | X2| + … + | Xn| 1.3 CÁC CẤU HÌNH TỔ HỢP CƠ BẢN 1.3.1 Chỉnh hợp lặp Định nghĩa Một chỉnh hợp lặp chập k n phần tử khác có thứ tự gờm k thành phần lấy từ n thành phần cho Các thành phần lặp lại Định lý Gọi số chỉnh hợp lặp chập k n phần tử AR(n,k) AR(n,k) = nk Chứng minh Một chỉnh hợp lặp chập k n xây dựng qua k bước nhau: - Chọn thành phần đầu : có n cách, - Chọn thành phần thứ hai: có n cách, … - Chọn thành phần thứ k: có n cách Như vậy, theo nguyên lý nhân, số tất chỉnh hợp lặp chập k n phần tử AR(n,k) = nk 1.3.2 Chỉnh hợp không lặp Định nghĩa Một chỉnh hợp không lặp chập k n phần tử khác có thứ tự gồm k thành phần lấy từ n phần tử cho Trong thành phần khơng lặp lại Định lý Gọi số chỉnh hợp không lặp chập k n phần tử A(n,k) A(n, k )  n! (n  k )! 51 3.2.7 Bài tốn Giải cơng thức truy hời an = 5an-1 – 6an-2, a0 = 6, a1 = 30 Giải Xét hàm sinh G(x) = a x n0 n (1) n Khi G(x) = a0 +a1x + a x n2 = a0 +a1x + n n  (5a n 1 n 1  6an2 ) x n = a0 +a1x +  an1 x n –  an2 x n n2 n2 = +30x + 5x ( an x n  a0 ) – 6x2  an x n n0 n0 = + 30x + 5xG(x) – 30x – 6x2  an x n n0 = + 5xG(x) + 6x2G(x) Như G(x) =  5x  x2 = 36  7(1  x) 7(1  x) = 36 (1)n x n   (6 x) n  n0 n0 n0 =  ((1)n  6n1 ) x n (2) Đồng hệ số (1) (2) ta an = ((1)n  6n1 ) 3.2.8 Bài toán Giải công thức truy hồi an = 6an-1 – 11an-2 + 6an-3 & a0 = 0, a1 = a2 = Giải Giả sử F(x) hàm sinh dãy {an}, tức F(x) =  a n 0 n xn 52 Ta có  F(x) =  an x n = a0 + a1x + a2x2 + n 0 = x + x2 + 6x  a n 3 n 1   (6an-1 – 11an-2 + 6an-3).xn n 3 x n 1 – 11x2  a n 3 n2 x n  + 6x3  a n 3 n 3 x n 3 = x + x2 + 6x.(F(x) – a0 – a1x) – 11x2 (F(x) – a0) + 6x3.F(x) = x – 5x2 + 6x.F(x) – 11x2.F(x) + 6x3.F(X) Suy F(x) = 5x  x 5x  x = x  12 x  13x  1 x  11x  x  =    x  x  3x    n 0 n 0 n 0 =  2 x n  3 n.x n   3n.x n Vậy an = 3.2n – 3n – 3.2.9 Bài toán ( Bài tốn tính số xâu nhị phân) Tính số xâu nhị phân độ dài n hai bit liên tiếp Giải Gọi an số xâu nhị phân độ dài n hai bit liên tiếp Trước hết ta tìm vài giá trị đầu an Ta có - a1 = 2, có hai xâu thỏa mãn - a2 = 3, có ba xâu thỏa mãn 01, 10, 11 Bây ta tìm cơng thức tổng qt để tính an Với n  theo quy tắc cộng, số xâu nhị phân độ dài n khơng có hai bit liên tiếp số xâu kết thúc bit cộng với số xâu kết thúc bit Các xâu nhị phân độ dài n, khơng có hai bit liên tiếp kết thúc bit xâu có độ dài n – thêm bit vào cuối chúng Vậy chúng có tất an-1 xâu 53 Các xâu nhị phân độ dài n, khơng có hai bit liên tiếp kết thúc bit 0, cần phải có bit thứ n – 1, khơng chúng có hai bit hai bit cuối Từ suy xâu nhị phân độ dài n, khơng có hai bit liên tiếp kết thúc bit xâu nhị phân khơng có hai bit liên tiếp có độ dài n – thêm 10 vào cuối chúng Do vậy, số xâu an-2 Vì vậy, ta có cơng thức truy hời an =an-1 + an-2 & a1= 2, a2 = Vì a1= = F3, a2 = = F4 nên phương pháp quy nạp ta suy an = Fn+2 Vậy an  Fn2          n 1      n     3.3 ỨNG DỤNG HÀM SINH GIẢI CÔNG THỨC TRUY HỒI TUYẾN TÍNH KHƠNG THUẦN NHẤT * Phương pháp tổng quát: Bước Để tìm dãy số {an}  Ta xét hàm sinh sinh dãy {an} F(x) = a x n 0 n n Bước Dựa vào đặc điểm dãy {an} ta tìm F(x) Bước Đồng thức ta thu dãy {an} 3.3.1 Bài toán ( Bài toán tháp Hà Nội) Có ba cọc 1, 2, Ở cọc có n đĩa, kích thước khác nhau, xếp chờng lên cho đĩa nằm lớn đĩa nằm Hãy chuyển tất đĩa từ cọc sang cọc với điều kiện lần chuyển đĩa từ cọc sang 54 cọc khác đảm bảo đĩa nằm lớn đĩa nằm Hãy tính số lần di chuyển đĩa Giải Gọi s(n) số lần di chuyển đĩa Ta thử tìm vài giá trị s(n) n = 1, rõ ràng ta cần lần chuyển Do s(1)=1 n = 2, ta chuyển sau : - Chuyển đĩa bé sang cọc - Chuyển đĩa lớn sang cọc 3, - Chuyển đĩa bé cọc Như vậy, ta phải cần ba lần di chuyển đĩa Do s(2)=3 n = 3, ta chuyển sau : - Chuyển hai đĩa phía sang cọc Như thấy trường hợp n = 2, ta cần lần di chuyển, - Chuyển đĩa lớn sang cọc 3, - Chuyển hai đĩa cọc sang cọc Như thấy trường hợp n =2, ta cần lần di chuyển Như vậy, ta cần lần di chuyển đĩa Do s(3)=7 Bây ta tìm cơng thức tổng qt để tính s(n) Với n đĩa, ta chuyển sau : - Chuyển n -1 đĩa phía từ cọc sang cọc 2, - Chuyển đĩa lớn từ cọc sang cọc 3, - Cuối chuyển n – đĩa từ cọc sang cọc Như vậy, ta cần s(n – ) + + s(n – 1) = s(n – ) + lần di chuyển đĩa Vậy ta có cơng thức truy hồi s(n) = s(n – ) + & s(1) = 1, Hay an = 2an-1 +1 , a1 = 1, 55 Giả sử F(x) hàm sinh dãy {an}, tức F(x) =  a n 0 n xn Ta có   F(x) = a n 0 n n x = a0 +a1x +  (2a n 1 n2   n2 n2  1)x n = x +  an1 x n +  x n   n2 n2 = x + 2x  an1 x n1 + x  x n2 x2 = x + 2x(F(x) – a0) + 1 x x2 = x + 2xF(x) + 1 x x x2 Suy F(x)(1 – 2x) = x + = 1 x 1 x Hay x 1   (1  x)(1  x)  x  x F(x) = =   n 0 n 0  2n x n   x n  =  (2 n  1) x n n 0 Vậy an = 2n – 3.3.2.Bài toán ( Bài toán chia mặt phẳng) Trên mặt phẳng kẻ n đường thẳng cho ba đường thẳng đờng quy khơng có hai đường song song Hỏi mặt phẳng chia làm phần? 56 Giải Gọi số phần mặt phẳng chia n đường thẳng s(n) Giả sử kẻ n – đường thẳng Bây kẻ thêm đường thứ n số mặt phẳng thêm số giao điểm thêm cộng với Số giao điểm thêm số giao điểm mà đường thẳng vừa kẻ cắt n – đường thẳng cũ, nghĩa n – Suy số phần mặt phẳng thêm n – + = n Vì ta có cơng thức truy hồi s(n) = s(n – ) + n & s(0) = Hay an = an-1 + n & a0 = Giả sử F(x) hàm sinh dãy {an}, tức F(x) =  a n 0 Ta có   F(x) = a n 0 n n x =1+  (a n 1  =1+  n)x n n 1  nx  + x  am x m n n 1 m 0 = + G(x) + x.F(x)    m  n m x ( m nx  1) x = = x   x  n 1 m 0  m1   G(x) = (1  x)  x x  x  x = x = =  (1  x) (1  x)2 1 x  Suy F(x) = + Hay F(x) = x 1 1 + = – + (1  x)3  x (1  x)  x (1  x)  = x + x.F(x) (1  x)  (n  1)(n  2) n x n 0   x   (n  1) x   n n 0 n n 0 n xn 57  =   1  (n  1)  n 0  =   1  n 0 Vậy an = 1+ (n  1)(n  2)  n x n(n  1)  n x  n(n  1) 3.3.3 Bài toán ( Olympic Bungari, 1995) Cho số nguyên n  Hãy tìm số hoán vị ( a1, a2, …, an) 1, 2, …, n cho tồn số i  { 1, 2, …, n – } thỏa mãn > ai+1 Giải Gọi s(n) số hoán vị thỏa mãn điều kiện toán Ta tìm vài giá trị đầu s(n) Với n = 2, ta có hốn vị (2,1 ) Suy s(2) =1 Với n = 3, ta có hốn vị (2, 1, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (3, 1, 2) Suy s(3) = Với n = 4, ta có 11 hốn vị (2, 1, 3, 4),(1, 3, 2, 4), (2, 3, 1, 4), (3, 1, 2, 4),(4, 1, 2, 3), (1, 4, 2, 3), (2, 4, 1, 3), (3, 4, 1, 2), (1, 2, 4, 3), (1, 3, 4, 2), (2, 3, 4, 1) Suy s(4) = 11 Bây ta tìm cơng thức tổng qt để tính s(n) Vì s(n) số hốn vị thỏa mãn điều kiện toán, nên - Số hoán vị mà an = n s( n – ), - Số hoán vị ( a1, a2, …, an) mà = n (1  i  n  1) Cni 11 Do s(n) = s(n – ) + n 1 C i 1 i 1 n 1 = s(n – ) + 2n – – Vậy ta có cơng thức truy hồi s(n) = s(n – ) + 2n – – & s(2) = Hay an = an-1 + 2n-1 – & s(2) = 58 Giả sử F(x) hàm sinh dãy {an}, tức F(x) =  a n 0 Ta có F(x) =  a n 0 x = a0  a1 x  a2 x  n n   (a n 1 n 3 n xn  2n1  1) x n    n 3 n 3 n 3 = x   an1 x n  21. 2n x n   x n    = x  x an1 x n1  23 x3  2n3 x n3  x3  x n3 n 3 n 3 n 3 = x  x( F ( x)  a0  a1 x)  x = x  xF ( x)  Suy 1  x3  2x 1 x x3 x3   2x  x x2 1   F(x) = (1  x)(1  x)  x (1  x)  = 2  x   (n  1) x n n n n 0 n 0  =  (2 n  n  1) x n n 0 Vậy an  2n  n  3.3.4 Bài tốn Giải cơng thức truy hời an = an-1 +2n-1 – & a0 = Giải Giả sử F(x) hàm sinh dãy {an}, tức F(x) =  a n 0 Ta có  F(x) =  an x n = a0 + n 0  = + x a n 1 n 1  a  n 1 n 1   n 1  x n   n 1 n 1 x n 1 + 2-1  n x n   x n n xn 59 = + x.F(x) + 2-1 2x x   2x  x Suy F(x) = = = x x   1  x 1  x  1  x   x 1    x  x 1  x 2      n 0 n 0 n 0 n 0   n.x n   x n   n  1.x n   n  n x n Vậy an = 2n – n 3.3.5 Bài toán Giải công thức truy hồi an = 2an-1 – an-2 + n.2n-1 & a0 = 0, a1 = Giải Giả sử F(x) hàm sinh dãy {an}, tức F(x) =  a n 0 n xn Ta có  F(x) =  an x n = a0 + a1x + n 0  = x +2x a n2  2a  n2 n 1  x2 n 1 x  n 1 a n2   a n 2  n.2 n1 x n   n 1  n2   n.2 x    + x x  n2 n 1    = x + 2x.(F(x) – a0) – x2.F(x) + x       1  x   Suy F(x) = x 1  x  1  x  2  6     x  x 1  x  1  x 2     n 0 n 0 n 0 n 0 =  6 n.x n  3 x n   n  1.x n  2 n  1.2 n.x n   6.2  = n 0 n    (n  1)  2(n  1).2 n x n 60  2n  4.2 = n   n  x n Vậy an = (2n – 4).2n + n + 3.3.6 Bài tốn Giải cơng thức truy hồi an = 3an-1 + 2, a0 = Giải Xét hàm sinh dãy (an), n  là: G(x) = a x n0 Khi đó: G(x) = a0 +  an x n n 1 =1+  (3a n 1 n 1  2) x n = 1+  an1 x n +  x n n 1 n 1 = + 3x  an x n +2  x n - n0 n0 = 3xG(x) + 1 1 x = 3xG(x) + 1 x 1 1 x G(x) = = 1 x (1  x)(1  3x)   3x  x =  (3x)n   x n n0 = n0  (2.3 n  1) x n (2) n0 Đồng hệ số (1) (2) ta an = 2.3n – 3.3.7 Bài tốn Giải cơng thức truy hời an = 3an-1 + 4n-1, a0 = Giải Xét hàm sinh G(x) = a x n0 n n (1) n n (1) 61 Khi G(x) = a0 +  an x n n 1 =1+  (3a n 1 n 1  4n1 ) x n 4 = 1+  an1 x n + n 1 xn n 1 n 1 = + 3x  an x n +x  (4 x)n n0 n0 = 3xG(x) + x 1 4x = 3xG(x) +  3x 1 4x  G ( x)    4n x n  x n1 (2) Đồng hệ số (1) (2) ta an = 4n 3.3.8 Bài tốn Giải cơng thức truy hời an = an-1 + 2an-2 + 2n, a0 = 4, a1 = 12 Giải Xét hàm sinh G(x) = a x n0 n n (1) Khi G(x) = a0 +a1x + a x n2 = a0 +a1x +  (a n 1 n = a0 +a1x + n n a n2 n 1  2an2  2n ) x n x n +2  an 2 x n +  (2 x) n n2 n2 = a0 +a1x + x ( an x n  a0 ) + 2x2  an x n +  (2 x)n – 2x – n 0 n0 = + 12x + x(G(x) – 4) + 2x2G(x) + = xG(x) + 2x2G(x) + + 6x + 1  2x n0  2x 1 1 2x 62 Như vậy, G(x) (1 – x – 2x2) = + 6x + 1  2x 1  2x G(x) = (1  x  x )(1  x)  6x  12 x  G(x) = (2 x  x  1)(1  x) = 8 171 369   9(1  x) 8(1  x) 8(1  x)2 = 8 171 369 (1)n x n  (2 x)n  (n  1)(2 x) n    n0 n0 n0 8 171 n n 369 (1)n x n  x  (n  1)2n x n 8 n0 = Đồng hệ số (1) (2) ta an = 8 171 n 369 (1)n   (n  1)2n 8 3.3.9 Bài tốn Tìm số hạng tổng quát dãy {xn} thỏa mãn:  x0  x1   n  xn2  xn1  xn   n Giải Đặt {xn}  f(x) ta có phương trình: f ( x)   0.x f ( x) x 6  f ( x)   x x  x 1  x 2 x2  f ( x)  (1  3x) Viết f(x) dạng  x   1  x (1  x)    (2) 63 x2  x  a b c d e f ( x)        (1  3x)2 1  x (1  x)  (1  3x)  3x  x (1  x)  x Quy đồng mẫu số rồi đồng hệ số ta thu a 5 , b   , c  0, d  , e  12 Vậy 5  x x   f ( x)    12     (1  3x) 1  x (1  x)  (1  3x)  3x (1  x)  x Ta có   n  {3 }    {3n1 (n  1)}   3x (1  3x) 1  3x     {1}    {n  1} 1 x (1  x)2 1  x   {2n }  2x Vậy xn  5 2n2  n   5(n  3)3n (n  1)3n  3n  (n  1)  2n  12 4 Nhận xét: Trong trình tìm cơng thức tường minh cho số hạng dãy số trên, ta thấy F(x) có chứa hàm phân thức với tử mẫu đa thức Để đến kết cuối cùng, ta phải phân tích phân thức thành phân thức sơ cấp Sau sử dụng phương pháp hệ số bất định để tìm hệ số phân thức sơ cấp Cuối cùng, khai triển F(x) theo lũy thừa x, ta tìm an 64 KẾT LUẬN Luận văn Hàm sinh ứng dụng giải công thức truy hồi hướng dẫn PGS.TSKH Trần Quốc Chiến giải vấn đề sau: Trình bày hệ thống lý thuyết tổ hợp, cấu hình tổ hợp nâng cao Nêu định nghĩa định lý hàm sinh, công thức truy hồi Đưa số phương pháp giải công thức truy hồi, đặc biệt phương pháp dùng hàm sinh Luận văn xây dựng số công thức truy hồi giải phương pháp hàm sinh Đề tài nêu lên mối quan hệ hàm sinh công thức truy hồi Tuy nhiên, hạn chế thời gian khả nên đề tài không sâu vào nghiên cứu hàm sinh khác mà ứng dụng hàm sinh thường hàm sinh mũ Đề tài chưa nghiên cứu đến lĩnh vực ứng dụng hàm sinh cơng thức truy hời giải tốn tin học toán phức tạp Đây chủ đề hay, hướng mở để tiếp tục nghiên cứu 65 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Trần Quốc Chiến (2010), Giáo trình Lý thuyết tổ hợp, Đại học Đà Nẵng [2] Đỗ Đức Giáo (2004), Toán rời rạc, NXB Đại học quốc gia Hà Nội [3] Vũ Đình Hịa (2002), Lý thuyết tổ hợp tập ứng dụng, NXB Giáo dục Đà Nẵng [4] Ngô Đắc Tân (2003), Lý thuyết tổ hợp đồ thị, NXB Đại học quốc gia Hà Nội [5] Phan Văn Tuyển (2011), Công thức truy hồi ứng dụng, Luận văn thạc sỹ khoa học, Đại học Đà Nẵng Tiếng Anh [6] V.K Balakishnan (1995), Theory and problems of combinatorics, McGraw-Hill Book company, New York Internet [7] http://en.wikipedia.org/wiki/M%C3%B6bius_function [8] http://mathworld.wolfram.com/MultiplicativeFunction.html [9] http://planetmath.org/encyclopedia/MultiplicativeFunction.html ... CHƯƠNG ỨNG DỤNG HÀM SINH GIẢI CÔNG THỨC TRUY HỒI 3.1 ỨNG DỤNG HÀM SINH GIẢI CÁC BÀI TỐN ĐẾM ĐIỂN HÌNH 3.1.1 Ứng dụng hàm sinh giải toán chia kẹo Euler Ý tưởng chung phương pháp sử dụng hàm sinh giải. .. cứu hàm sinh công thức truy hồi - Phạm vi nghiên cứu hàm sinh ứng dụng hàm sinh giải tốn có cơng thức truy hời Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu lý thuyết tổ hợp, đặc biệt hàm sinh, công thức truy. .. nghĩa công thức truy hồi 19 2.3.2 Giải công thức truy hồi 20 2.3.3 Phương pháp tổng quát giải công thức truy hồi 28 2.3.4 Giải công thức truy hồi hàm sinh 29 CHƯƠNG ỨNG