Skkn khai thác ứng dụng công thức nhị thức niu tơn trong giải toán

MỤC LỤC TT Nội dung Trang Phần MỞ ĐẦU I Bối cảnh chọn đề tài II Lý chọn đề tài III Đối tượng phạm vi nghiên cứu IV Mục đích, nhiệm vụ phương pháp nghiên cứu V Điểm kết nghiên cứu Phần PHẦN NỘI DUNG I Cở sở lý luận thực tiễn II Thực trạng vấn đề Kết khảo sát Nhật xét kết khảo sát III Các biện pháp tiến hành để giải vấn đề Bài tốn tính tổng biểu thức, chứng minh đẳng thức Tính hệ số x 13 Tìm hệ số lớn x khai triển (a  bx) n 17 IV Thực nghiệm sư phạm – Hiệu của sáng kiến 19 V VI Khả ứng dụng triển khai Ý nghĩa sáng kiến 21 21 Phần 3.KẾT LUẬN I Những học kinh nghiệm 22 II Những kiến nghị, đề xuất 22 TÀI LIỆU THAM KHẢO 23 DANH MỤC CHỮ CÁI VIẾT TẮT THPT QG: trung học phổ thơng quốc gia PPCT: phân phối chương trình HSG: học sinh giỏi SGK: sách giáo khoa CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc BẢN CAM KẾT Kính gửi: Hội đồng sáng kiến cấp Tỉnh - Tỉnh Hà Tĩnh Tên là: …………………………………………………………… Đơn vị: ……………………………………………………………… Sau nhiều năm bồi dưỡng học sinh giỏi Tỉnh ôn thi THPT QG, rút kinh nghiệm khai thác kiến thức sách giáo khoa để đưa biện pháp giải tập thuộc chủ đề tốn học Năm học 2019 – 2020, tơi nghiến cứu, viết sáng kiến kinh nghiệm: “Khai thác ứng dụng công thức nhị thức Niuton giải tốn” Tơi xin cam kết: Sáng kiến tơi viết, giải pháp, biện pháp mà tơi đưa áp dụng thực tế bồi dưỡng HSG ôn thi THPT QG chưa đăng tải mạng internet, chưa công bố sách, báo hay hội đồng sáng kiến cấp cơng nhận Nếu sai, tơi xin hồn toàn chịu trách nhiệm Can Lộc, ngày 20 tháng năm 2020 Xác nhận Hiệu trưởng Người viết cam kết: Phần MỞ ĐẦU I BỐI CẢNH CỦA ĐỀ TÀI Nghị số 29 Ban Chấp hành Trung ương Đảng khóa XI khẳng định: Tiếp tục đổi mạnh mẽ phương pháp dạy học theo hướng đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo vận dụng kiến thức, kỹ người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt chiều, ghi nhớ máy móc Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo sở để người học tự cập nhật đổi tri thức, kỹ năng, phát triển lực Trong thời đại công nghệ 4.0 nay, thấy việc dạy phương pháp học (cách học, cách suy nghĩ) cho học sinh điều quan nhất; học sinh cần phải biết cách học để tự tìm kiếm nguồn thơng tin vơ tận nhân loại, thích ứng với cách mạng 4.0 Do việc dạy học để góp phần rèn luyện tư sáng tạo, tư biện chứng cho học sinh điều nhiều người quan tâm II LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Công thức nhị thức Niu Tơn dạy hai tiết chương trình SGK, giới thiệu cơng thức làm số tập áp dụng, nhiên đề thi HSG 11, 12 năm thường xuất toán có câu ứng dụng cơng thức này, thường mức độ vận dụng để phân loại học sinh, đề thi THPT QG có nội dung Điều cho thấy mức độ quan tâm tính ứng dụng cao công thức nhị thức Niu Tơn Thực tế nhiều năm bồi dưỡng HSG ôn thi THPT QG thấy học sinh chưa hướng dẫn cách tư vận dụng cơng thức khó khăn chí khơng giải tốn vận dụng cơng thức nhị thức Niu - Tơn Từ thực tế dạy học phân tích từ tích lũy kiến thức cá nhân trình dạy học bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi, ôn thi THPT QG chọn đề tài nghiên cứu là: “Khai thác ứng dụng cơng thức nhị thức Niuton giải tốn” Thơng qua đề tài muốn đưa hệ thống số dạng tốn ứng dụng cơng thức đồng thời nêu cách phân tích tiếp cận tốn để rèn luyện tư sáng tạo, tư biện chứng cho học sinh Tôi hy vọng đề tài sáng kiến tài liệu bổ ích để giúp thân bạn đồng nghiệp áp dụng việc bồi dưỡng học sinh giỏi, góp phần nâng cao chất lượng dạy học thời gian tới III PHẠM VI VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu số đặc điểm dạng tốn có ứng dụng cơng thức nhị thức Niu Tơn bồi dưỡng học sinh giỏi Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu dạng toán sử dụng công thức nhị thức Niu - Tơn IV MỤC ĐÍCH, NHIỆM VỤ VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu đề tài giải mâu thuẫn nội dung chủ đề giới thiệu công thức nhị thức Niu - Tơn hai tiết, không phân dạng tập nên khơng có phương pháp giải cho tập chủ đề với tập vận dụng đề thi HSG Tỉnh, đề thi THPT QG; mâu thuẫn nhu cầu muốn nắm bắt dạng tập phương pháp giải chủ đề công thức nhị thức Niu - Tơn với phần trình bày SGK khơng có Để giải mâu thuẫn giải vấn đề nêu lí chọn đề tài bối cảnh đề tài, thông qua nghiên cứu từ sở lý luận thực tiễn để phân tích đặc trưng dạng tập, đưa cách ứng dụng công thức nhị thức Niu - Tơn cho dạng tập đồng thời đưa hệ thống số dạng tập từ dễ đến khó ứng dụng cơng thức nhị thức Niu -Tơn để nâng cao khả giải toán học sinh, góp phần rèn luyện tư sáng tạo đặc biệt phục vụ cho công tác bồi dưỡng học sinh giỏi, ôn thi THPT QG Thông qua đề tài muốn trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp, nghiên cứu khoa học để tương lai cho giải pháp hay lĩnh vực giáo dục Đóng góp sáng kiến mặt lí luận là: Phân tích, rút số nhận xét quan trọng, dấu hiệu đặc trưng dạng tốn ứng dụng cơng thức nhị thức Niu - Tơn Về mặt thực tiễn: Phân dạng, xếp xây dựng hệ thống ví dụ minh họa tập rèn luyện phong phú, làm tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Đưa phương pháp giải cho dạng V Điểm kết nghiên cứu  Phân tích, rút số nhận xét quan trọng dạng toán ứng dụng công thức nhị thức Niu - Tơn  Phân dạng, xếp xây dựng hệ thống ví dụ minh họa tập rèn luyện phong phú, làm tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Tôi khai thác kiến thức SGK, qua nhiều năm bồi dưỡng HSG ôn thi THPT QG, tham khảo nhiều tài liệu lí luận tài liệu liên quan đến chủ đề để viết sáng kiến Phần NỘI DUNG I CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN Cơ sở lý luận a) Công thức - Công thức nhị thức Niu-Tơn: n (a  b) n  Cnk a n  k b k (1) k o - Trong công thức ta có: +) Số số hạng n+1 +) Tổng số mũ a b số hạng n +) Các hệ số cách số hạng đầu cuối n b) Chú ý: C k n 2n (2) k o n k Cnk 0 (3) Tk 1 Cnk a n  k b k (4)    1 k o - Số hạng tổng quát: Cơ sở thực tiễn - Trong kỳ thi chọn học sinh giỏi Tỉnh toán THPT lớp 11, 12 thường xuất tốn ứng dụng cơng thức nhị thức Niu Tơn hay đề thi THPT QG có chúng thường đặt vào vị trí câu hỏi khó, phân loại học sinh Việc vận dụng công thức nhị thức Niu-Tơn để giải toán điều khơng phải lúc nhìn được; - Trong chương trình dạy THPT có tiết PPCT - Trong sách tham khảo cho học sinh giỏi cấp THPT thường xuất toán ứng dụng công thức nhị thức Niu Tơn - Thực tế thân nhiều năm bồi dưỡng học sinh giỏi II THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ: KHẢO SÁT SỐ LIỆU Do tính chất chuyên đề phục vụ đối tượng học sinh khá, giỏi nên việc khảo sát chủ yếu thực trường THPT N với đối tượng giáo viên dạy bồi dưỡng học sinh giỏi tỉnh, học sinh thuộc đội tuyển học sinh giỏi tỉnh năm học 2016 2017, 2017 – 2018, 2018-2019 Kết khảo sát Về phía giáo viên: có 5/6 giáo viên chiếm tỉ lệ 83% quan tâm đến việc dạy học ứng dụng công thức nhị thức Niu Tơn trọng việc dạy ứng dụng công thức nhị thức Niu-Tơn để bồi dưỡng tư sáng tạo, tư logic cho học sinh, tư biện chứng nhiên có giáo viên chưa quan tâm đến việc tìm hiểu đến ứng dụng cơng thức nhị thức Niu Tơn Về phía học sinh: - Hình thức khảo sát: Hỏi ý kiến trực tiếp cho làm kiểm tra ngắn - Số lượng, đối tượng khảo sát: Thực việc khảo sát 107 học sinh giỏi năm học 2016 – 2017, 2017-2018 2018-2019 mức độ áp dụng việc học công thức nhị thức Niu Tơn thu kết sau: Bảng 1: Thông tin công thức nhị thức Niu - Tơn Số lượng 107 Không quan tâm Số lượng Tỉ lệ 18 16,8% Quan tâm Số lượng Tỉ lệ 89 83,2% Bảng 2: Mức độ áp dụng công thức nhị thức Niu Tơn Số lượng 89 Áp dụng thành thạo Số lượng Tỉ lệ 12 13,5% Áp dụng mức trung bình Số lượng Tỉ lệ 60 67,4% Chưa biết cách áp dụng Số lượng Tỉ lệ 17 19,1% Nhận xét kết khảo sát - Qua số liệu khảo sát thấy rằng: Đa số giáo viên dạy bồi dưỡng học sinh giỏi cấp tỉnh, ôn thi THPT QG quan tâm đến cơng thức nhị thức Niu Tơn dạy học, cịn học sinh cịn tỉ lệ tương đối (16,8%) chưa quan tâm đến công thức - Trong số học sinh biết đến công thức nhị thức Niu - Tơn có gần 20% khơng biết cách vận dụng, đa số học sinh (chiếm 60%) biết cách vận dụng mức độ trung bình Như thấy nhiều học sinh giỏi chưa vận dụng thành thạo công thức, cần thiết phải có tổ chức dạy học ứng dụng công thức nhị thức Niu - Tơn cho học sinh cách từ đầu để em nắm cách áp dụng nhận biết dạng tốn áp dụng cơng thức nhị thức Niu Tơn để giải III CÁC BIỆN PHÁP ĐÃ TIẾN HÀNH ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ: CÁC ỨNG DỤNG CỦA CÔNG THỨC NHỊ THỨC NIU TƠN Dạng 1: Bài tốn tính tổng biểu thức hay chứng minh đẳng thức có chứa Cnk với k n Phương pháp giải: n n k n k k - Dưạ vào công thức (a  b)  Cn a b ta chọn a, b k o n n k k - Nếu biểu thức nghiên cứu có dạng nhị thức Niu tơn: (1  x)  Cn x k o (*) chọn x n k k - Nếu S  Cn a ta chọn x = a k o n k k - Bài tốn phức tạp sử dụng nhiều lần S  Cn a với a khác k o 2018 2019  9C2019  92 C2019   92018 C2019  92019 C2019 102019 Bài tốn CMR: C2019 Phân tích: Biểu thức vế trái có dạng (*) với x = nên: VT (1  9) 2019 102019 Bài tốn Tính biểu thức 2018 C2019  32 C2019   32018 C2019 Phân tích: Biểu thức có dạng (*) mà không chứa Cnk với k lẻ nên ta hướng dẫn học sinh dùng công thức (5) hai lần với x = x = -3 2018 2019  3C2019  32 C2019   32018 C2019  32019 C2019 (1  3)2019 42019 Ta có C2019 (1) 2018 2019 C2019  3C2019  32 C2019   32018 C2019  32019 C2019 (1  3) 2019  22019 (2) Cộng vế theo vế hai đẳng thức ta có 2018 C2019  32 C2019   32018 C2019  2019 2019   2 2018  22019  1  Bài toán 3: CMR: 1 1 4 C  Cn1  Cn2   n  Cnn   n Cnn   3 3 3 n n Phân tích: Biểu thức vế trái có dạng (5) với x  n 1 1  1  4 C  Cn1  Cn2   n  Cnn   n Cnn      3 3  3  3 n n Bài toán 4: CMR: a )C20n  C21n  C22n  C23n   C22nn   C22nn   C22nn   1 2n 22 n 4 n b)C20n  C21n  C22n  C23n   C22nn   C22nn   C22nn   1 2n 0 c)C20n  C22n   C22nn   C22nn C21n  C23n   C22nn   C22nn  Phân tích: Nhìn ý (2) với n 2n ta có đẳng thức a) Nhìn ý (3) với n 2n ta có đẳng thức b) k Từ câu b) chuyển C2 n với k lẻ bên k chẵn bên có đẳng thức c) C20n  C21n  C22n  C23n   C22nn   C22nn   C22nn   1 2n 0 Nhận xét: Qua giáo viên phát triển tư linh hoạt, biện chứng cho học sinh lực toán học phát triển Bài toán 5: Chứng minh : C2nnk Cn0Cnk  Cn1Cnk 1  Cn2Cnk 2   Cnn  k Cnn Phân tích: Giáo viên định hướng cho học sinh:Khi có tích Cnk nghĩ đến tích (a  b) n hay tích (1  x) n Xét khai triển nhị thức Niu tơn hai vế: (1  x) n ( x  1)n (1  x) n ta có : C20n  C21n x  C22n x  C23n x3   C2kn x k   C2nnk x n k   C22nn x n (Cn0 x n  Cn1 x n   Cn2 x n    Cnk x n k   Cnn )(Cn0  Cn1 x  Cn2 x   Cnk x k   Cnn x n ) Khi tìm hệ số x n k hai vế Dẫn đến kết : C2nnk Cn0Cnk  Cn1Cnk 1  Cn2Cnk 2   Cnn k Cnn Phân tích: Bài tốn cho k = n, ta có toán sau: 2 2 Bài toán CMR  Cn0    Cn1    Cn2    Cn3    Cnn  C2nn Giáo viên hướng dẫn học sinh mở rộng toán theo hướng sau : Bài toán Cho k số tự nhiên Chứng minh rằng: k k k1 k C2016 C50C2011  C51C2011   C55C2011 Phân tích: (1  x)5 (1  x) 2011 (1  x) 2016 2 3 4 5 Đặt M (1  x) C5  C5 x  C5 x  C5 x  C5 x  C5 x k 2011 2011 N (1  x) 2011 C2011  C2011 x  C2011 x   C2011 x k   C2011 x 10 k 2016 2011 P (1  x)2016 C2016  C2016 x  C2016 x   C2016 x k   C2016 x mà P = M.N nên phần tử thứ k + P có dạng: k k k1 k1 k k C2016 x k C50C2011 x k  C51 xC2011 x   C55 x 5C2011 x k k k k k C50C2011 x k  C51C2011 x   C55C2011 x Chọn x=1 ta có điều phải chứng minh Bài toán : HSG Hà Tĩnh lớp 11 năm 2018 – 2019 Cho n số nguyên dương thỏa mãn Cn1 , Cn2 , Cn3 số hạng thứ nhất, thứ 5, thứ 15 cấp số cộng Chứng minh 2 n 1 2 n 1 n 1 C  C  C     C22nn1   C4623 Phân tích: Đây tốn tương đối khó đề thi học sinh giỏi 11 năm 2018 – 2019, toán để phân loại học sinh Nếu học sinh tiếp cận cách hệ thống tốn trình bày việc giải tốn đề thi khơng phải khó Theo giả thiết ta có Cn2 Cn1  4d ; Cn3 Cn1  14d  Cn2  Cn1 Cn3  Cn1  14  7(Cn2  Cn1 ) 2(Cn3  Cn1 )  2Cn3  7Cn2  5Cn1 0 Cn2  Cn1 Cn3  Cn1  Theo giả thiết ta có C C  4d ; C C  14d  14 n n n n  7(Cn2  Cn1 ) 2(Cn3  Cn1 )  2Cn3  7Cn2  5Cn1 0 Với n 11 , thử lại thỏa mãn cấp số cộng 2 2 Ta cần chứng minh  C230    C232    C234     C2322   C4623 (1) 2 2 Ta chứng minh toán tổng quát  Cn0    Cn2    Cn4     Cnn    C2nn với n lẻ 2 2 Ta có:  Cn0    Cn1    Cn2    Cn3    Cnn  C2nn n (bài toán 6) n 1 Do n lẻ Cn0 Cnn ; Cn1 Cnn  ; Cn Cn ; 2 2  2 2 n n nên  Cn    Cn    Cn    Cn    Cn  2  Cn    Cn    Cn     Cn  2 2 Thay vào (1) ta có  Cn0    Cn2    Cn4     Cnn    C2nn (đpcm) Bài toán : HSG HT lớp 11 năm 2012 - 2013 a) Cho khai triển: 11  1 x  x  x   x10  11 a0  a1 x  a2 x  a3 x   a110 x110 Chứng minh đẳng thức sau: 11 C110 a0  C11 a1  C112 a2  C113 a3   C1110 a10  C11 a11 11 b) Tính tổng: n S   1 nCnn  Cn1 2Cn2 3Cn3     2.3 3.4 4.5  n 1  n   Phân tích: Xét x 1 từ khai triển nhân hai vế với  x  1 x 11 11 11  1  x  1 VT (2)  C11k x11k   1 11 k 11 a 11 ta có:  a1 x  a2 x   a110 x110   Hệ số x11 vế trái C111 11 k 0  11 k  VP (2)   C11k x11 k   1   a0  a1 x  a2 x   a110 x110   k 0   Hệ số x11 vế phải 10 C110 a0  C11 a1  C112 a2  C113 a3   C11 a10  C1111a11 Từ suy đẳng thức cần chứng minh n  1 ! Cnk  Cnk11 n!    b) Ta có (**) k  k ! k 1  n  k  ! n   k  1 !   n 1   k  1  ! n  k k   1 kCnk    1 kCnk22 Áp dụng lần công thức (**) ta được:  k  1  k    n 1  n   Cho k chạy từ đến n cộng vế đẳng thức ta có  n  1  n   S  Cn32  2Cn42  3Cn52     1 n nCnn22 n   Cn21  Cn31    Cn31  Cn41    Cn41  Cn51      1 nCnn11 n  Cn21  Cn31  Cn41     1 Cnn11  Cn01  Cn11  Cn01  Cn11  Cn21  Cn31  Cn41  Cn51     1   n  1    1 n n 1  Cnn11   n n Vậy S  n  n     Nhận xét: Nếu biết khai thác cách hệ thống hợp lí, sáng tạo giáo viên tốn hay vận dụng cơng thức nhị thức Niu Tơn học sinh 12 bồi dưỡng theo phương pháp sáng tạo tốn giải tốn khó biết quy tốn cho toán quen thuộc Bài toán 10 sau ví dụ Bài tốn 10: Tính T  2018 C2018 C2 C4 C6 C2018  20181  20182  20183   1.1 3.4 5.4 7.4 2019.41009 Phân tích: Chuyển biểu thức tốn dạng quen thuộc dựa vào cơng thức (**) tốn 9, ta có: T 2019 C3 C2019 C2019 1 (C2019  2019    ) 2019 41 42 41009 T 2019 C3 C2019 C2019 C2019 (  2019    ) 2019 23 25 21009 T 1 2019 ( C2019  C2019  C2019   1009 C2019 ) 2019 2 2 Ta có: 1 1  1 2018 2019  C2019  C2019   2018 C2019  2019 C2019    2  2 2019 3   2 2019 2019 1 1  1 2018 2019  C2019  C2019   2018 C2019  2019 C2019    2  2 2019 1   2 2019 2019 C C Trừ vế theo vế hai đẳng thức ta có:   T   2019    2019  1    2 2019    Tìm hệ số x khai triển (a  b) n Phương pháp giải: Học sinh phải dựa vào số hạng tổng quát: Tk 1 Cnk a n  k b k Theo công thức nhị thức Niu tơn ta biến đổi n n k o k 0 (a  b) n  Cnk a n  k b k  A(k ) x B ( k ) Số hạng chứa x thỏa mãn B(k )  Giải ta k k0 Vậy hệ số x A(k ) Bài tốn 1: Tìm hệ số x 40 khai triển nhị thức Niu tơn (1  x) 2019 13 2019 2019 k o k 0 2019 k k k k k Phân tích: Ta có (1  x)   C2019 (2 x)  C2019 x 40 240 Từ suy hệ số x 40 khai triển C2019 Bài tốn 2: Tìm hệ số x5 khai triển nhị thức Niu tơn P  x(1  x)5  x (1  3x)10 Phân tích: Theo công thức khai triển nhị thức Niu tơn ta có: 10 k 0 k 0 P  x  C5k (  x)5 k  x  C10k (3x)10 k Số hạng chứa x5 P  x( x) C51  x 2C107 (3 x)3 Vậy hệ số x5 ( 2) C51  C107 33 3320 Bài tốn 3: Tìm hệ số x5 khai triển nhị thức Niu tơn P (2 x  1)  (2 x  1)5  (2 x  1)  (2 x  1)7 Phân tích: Tương tự lối tư tốn Ta có: i 0 j 0 k 0 P (2 x  1)   C5i (2 x) i   C5j (2 x) j   C5k (2 x) k Hệ số x5 ứng với i = j = k = C55 25  C65 25  C75 25 896 Bài tốn 4: Tìm hệ số x5 khai triển nhị thức Niu tơn P (2 x  1)1  (2 x  1)  (2 x  1)   (2 x  1) 2019 25 Phân tích: Hệ số x5  C55 25  C65 25  C75 25   C2019 Đến phải tính  nào?  25 (C55  C65  C75   C2019 ) Ta lại hướng cho học sinh áp dụng công thức Cnk  Cnk 1 Cnk11  Cnk Cnk11  Cnk 1 Ta có : 6 C2019 C2020  C2019 6 C2018 C2019  C2018 6 C2017 C2018  C2017 C65 C76  C66 C55 C66 ) 25 C2020 Cộng vế với vế ta  25 (C55  C65  C75   C2019 14 Tổng quát toán 4: Bài tốn 5: Tìm hệ số x (  n ) khai triển: P( x) (1  ax)1  (1  ax)  (1  ax)3   (1  ax) n Phân tích: Hệ số x k C a  C1a  C2 a   Cn a Áp dụng công thức Cnk  Cnk 1 Cnk11  Cnk Cnk11  Cnk 1 Ta có : Cn Cn11  Cn 1 Cn Cn 1  Cn11 Cn Cn11  Cn21 C1 C21  C11 C C11 Cộng vế với vế ta k C a  C1a  C a   Cn a a Cn11 2016  32 C2017   32016 C2017 2 n (2n 1  1) Bài toán Cho n số tự nhiên thỏa mãn C2017 Tìm hệ số số hạng chứa x 2016 khai triển ( x  2) n ( x  x  4) (HSG lớp 11 Hà Tĩnh 2017-2018) Phân tích 2016 2017  3C2017  32 C2017   32016 C2017  32017 C2017 (1  3) 2017 42017 Ta có C2017 (1) 2016 2017 C2017  3C2017  32 C2017   32016 C2017  32017 C2017 (1  3) 2017  22017 (2) Cộng vế theo vế hai đẳng thức ta có 2016 C2017  32 C2017   32016 C2017  2017   22017  22016  22017  1 2 2016  32 C2017   32016 C2017 2n (2n 1  1) Từ giả thiết suy C2017 2n (2n1  1) = 2016 2 2017  1 hay n 2016 ( x  2) n ( x  x  4) ( x  2) n 2  x( x  2) n ( x  2) 2018  x( x  2) 2016 22 x 2016 Xét khai triển ( x  2) 2018 , số hạng chứa x 2016 C2018 x 2015 Xét khai triển ( x  2) 2016 , số hạng chứa x 2015 C2016 15 22 x 2016 - C2016 x 2016 Số hạng chứa x 2016 khai triển ( x  2) n ( x  x  4) C2018  6C2016 Do hệ số cần tìm 4C2018 Bài tốn 7: Tìm hệ số x16 khai triển nhị thức Niu tơn 1 x 1 x    2 Phân tích:  x   x   16 16 16 16 k  C16k   x (1  x )   C16k ( 1) k x k (1  x ) k k 0 k 0 16 k  C16k ( 1) k x k  Cki ( 1)i x 2i k 0 16 i 0 k   ( 1)i k C16k Cki x 2(i k ) k 0 i 0  i 0, k 8  0 i k 16  i 1, k 7    i 2, k 6 thỏa mãn k  i 8  k , i  N   i 3, k 5  i 4, k 4 Các số hạng chứa x16 Vậy hệ số x16 khai triển C168 C80  C167 C71  C166 C62  C165 C53  C164 C44 258570 Bài tốn 8: Tìm hệ số x khai triển nhị thức Niu tơn P (1  x)10 ( x  x  1) Phân tích: Ta có: x  x   (2 x  1)  4 Khi đó: P (1  x)10 ( x  x  1)  (1  x)14  (1  x)12  (1  x)10 16 16 Vậy hệ số x 6 6 6 C14  C12  C10 41748 16 16 Bài toán 9: Cho khai triển sau  x2  x     x 1   2019 a2019 x 2019  a2018 x 2018   a1 x  a0  với x  Hãy tính hệ số a0 Phân tích: 16 b1 b2 b2019    2019 x   x  1  x  1  x2  2x   Đặt f ( x )   x 1     f ( x)  x    x 1   2019 2019 f (0) a0   b1  b2   b2019  22019 2019  C k 2019  x  1 2019 k k 0 1009  C k 2019  x  1 2019 k 2019  k 0  k 1010 k C2019  x  1 k  2019 1010 1011 2018 2019 b2 b4  b2018 0; b1  b3   b2019 C2019  C2019   C2019  C2019 1010 1011 2018 2019  a0 22019   b1  b3   b2019  22019  C2019  C2019   C2019  C2019 1 1009 1010 1011 2018 2019 C2019  C2019   C2019  C2019  C2019   C2019  C2019 22019  22019 22018 22019    Dạng 3: Tìm hệ số lớn x khai triển (a  bx) n Phương pháp giải: n n k o k 0 n k n k k k k Xét khai triển (a  bx)  Cn a b x  uk x với uk Cnk a n  k b k Ta tìm số hạng lớn dãy uk với k n - Giải bất phương trình uk  uk 1 ta k k0 (Hoặc k k0 ) Ta được: u0  u1  u2   uk 1 - Giải bất phương trình uk  uk 1 ta k k0  (Hoặc k k0  ) Ta được: uk0 1  uk0 2  uk0 3   un Kết luận: Hệ số lớn khai triển uk 1 Bài toán 1: Xét khai triển nhị thức Niu tơn P (1  x) 2019 Tìm hệ số lớn khai triển 2019 2019 k   ak x k Trong ak C2019 2k Phân tích: Ta có P (1  x) k 0 Khi : k k 1 k 1 ak  ak 1  C2019 2k  C2019  k 4037  k 1345 Tức : a0  a1  a2   a1346 (1) - Tương tự : 17  2019  k k  k k 1 k 1 ak  ak 1  C2019 2k  C2019  k  2019  k k  4037  k  1345.7  k 1346 Tức là: a1346  a1347  a1348   a2019 (2) 1346 1346 Từ (2), (3) ta có hệ số lớn a1346 C2019 Bài toán 2: (HSG TỈNH HÀ TĨNH NĂM 2014 – 2015) Cho khai triển (1  x) n a0  a1 x   an x n , với n số tự nhiên thỏa mãn Cn1  Cn2 Cn3 Cnn    n 78 Tìm số lớn số Cn1 Cn2 Cnn  a0 , a1 , , an Phân tích: Ta có: Cn1  Cn2 Cn3 Cnn    n 78 Cn1 Cn2 Cnn   n  (n  1)  ( n  2)   78  n( n  1) 78  n  n  156 0  n 12 Với n 12 kết hợp với giả thiết ta được: ak C12k k với k = 0,1, ,12 Xét ak 1  ak  k  23  k 7  a0  a1   a7  a8 (1) Tương tự ta có: a8  a9   a11  a12 (2) 8 Từ (1) (2) ta được: max  a0 , a1 , , a12  a8 2 C12 Bài toán 3: Xét khai triển (3 x  2)9 a0  a1 x   a9 x9 Tìm số lớn số a0 , a1 , , a9 Phân tích: Tương tự 1,2 Ta có ak C9k 29 k 3k ak 1  ak  k  ak 1  ak  k  ak 1 ak  k 5 Vậy a0  a1   a5 a6  a7  a8  a9 Kết luận: max  a0 , a1 , , a12  a5 a6 2C9 18 Nhận xét: Giáo viên tốn ngược lại Ví dụ tốn sau Bài toán 4: Cho khai triển ( x  2)n a0  a1 x   an x n Tìm n để max  a0 , a1 , , an  a10 Phân tích: Từ giả thiết ta có: a0  a1   a10  a11  a12   an Vậy ta có hệ:  a10  a11   a10  a9 Mà ak C9k 2n k Kết hợp với hệ ta có 29 < n < 32 Vậy n = 30 n = 31 Hệ thống tập đề nghị yêu cầu học sinh tự làm sau ôn tập:   Bài tập 1: Tìm số hạng khơng chứa x khai triển   x   x  Bài tập 2: Tìm số hạng hữu tỉ khai triển  Bài tập 3: Tìm hệ số x8 khai triển 1 x 33 2   x3  17 Bài tập 4: Tìm hệ số x y z khai triển  x  y  z    Bài tập 5: Tìm hệ số lớn khai triển   x    17 15 10 Bài tập 6: Tìm hệ số x9 khai triển P ( x  1)9  ( x  1)10  ( x  1)11  ( x  1)12  ( x  1)13  ( x  1)14 Bài tập 7: Tìm hệ số x15 khai triển P ( x  1)  2( x  1)  3( x  1)3   20( x  1) 20 Bài tập 8: Tìm hệ số x50 khai triển P ( x  1)2019  x( x  1)2018  x ( x  1) 2017   x 2019 2 2019 Bài tập 9: Tính tổng S  C2019    C2019     C2019  2 2019  32 C2019  33 C2019   32020 C2019 Bài tập 10: Tính 3C2019 IV THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM – HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN Mục đích thực nghiệm Kiểm tra tính khả thi hiệu đề tài 19 Nội dung thực nghiệm Triển khai đề tài “Khai thác ứng dụng cơng thức Nhị thức Niu tơn giải tốn” Dạy thử nghiệm dạng chủ đề cho 20 em Đội dự tuyển HSG học sinh lớp 11 năm học 2018-2019 với thời gian buổi (9 tiết) Khuyến khích học sinh tìm tịi tốn hay, sáng tác tốn có nội dung tương tự với toán đưa Kết thực nghiệm Các em học sinh giỏi đội tuyển hứng thú học tốn tốn hay khó Dưới dẫn động viên giáo viên em mạnh dạn việc giải toán, sưu tầm tập có thói quen sáng tạo để xây dựng toán mới, toán tương tự Kết thúc chuyên đề, cho học sinh làm kiểm tra với thời gian 60 phút, cụ thể sau: - Đề kiểm tra: Bài Tìm hệ số x8 khai triển P ( x  1)6  ( x  1)7  ( x  1)8  ( x  1)9  ( x  1)10 23 1  Bài CMR khai triển    tổng hệ số lũy thừa bậc x  nguyên dương x số phương Bài Cho khai triển (1  x) n a0  a1 x   an x n , với n số tự nhiên a1 a2 an thỏa mãn a0     n 212 Tìm số lớn số 2 a0 , a1 , , an - Thang điểm Bài 1: điểm; Bài 2: điểm; Bài 3: điểm - Kết làm học sinh khả quan Sau chấm phân loại, kết thu sau:  Khơng có học sinh có điểm  Có bạn (chiếm tỷ lệ 30%) có điểm từ đến 7,5 điểm 20