Ứng dụng công thức viette vào giải toán thuộc chương trình trung học phổ thông

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRẦN THỊ ÁI HOA ỨNG DỤNG CÔNG THỨC VIETE VÀO GIẢI TỐN THUỘC CHƯƠNG TRÌNH TRUNG HỌC PHỔ THƠNG Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2011 N CHAT LUONG download : add luanvanchat@a Cơng trình hồn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN NGỌC CHÂU Phản biện 1: TS LÊ HẢI TRUNG Phản biện 2: PGS.TS NGUYỄN GIA ĐỊNH Luận văn ñược bảo vệ trước Hội ñồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ khoa học họp Đại học Đà Nẵng vào ngày 26 tháng 11 năm 2011 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư Phạm, Đại học Đà Nẵng N CHAT LUONG download : add luanvanchat@a MỞ ĐẦU Lý chọn ñề tài Đa thức, phương trình khái niệm quan trọng chương trình tốn Trung học phổ thơng Bài tốn tìm nghiệm đa thức, phương trình đại số nhà tốn học quan tâm nghiên cứu nhiều kỷ Mặc dù lời giải tốn tìm đa thức, phương trình đại số có bậc nhỏ 5, nhiều tính chất nghiệm đa thức, phương trình phát Một tính chất mối liên hệ nghiệm hệ số đa thức, phương trình đại số, ñược thể công thức tiếng – Công thức Viète Ứng dụng công thức Viète phong phú hiệu Trong chương trình tốn học phổ thơng, học sinh học cơng thức Viète ñối với tam thức bậc hai, nhiên với thời lượng khơng nhiều mức độ ñịnh, sách giáo khoa không việc định hướng tìm tịi lời giải việc ứng dụng cơng thức Viète chưa trọng đến việc rèn luyện kỹ nên học sinh thường lúng túng vận dụng cơng thức Viète để giải tốn Bên cạnh đó, đề thi tuyển sinh ñại học, thi học sinh giỏi nước thường có tốn mà lời giải chúng tìm thơng qua cơng thức Viète Với mục đích tìm hiểu hệ thống hóa cách ñầy ñủ ứng dụng công thức Viète chương trình tốn bậc phổ thơng, tơi chọn đề tài “ỨNG DỤNG CƠNG THỨC VIÈTE VÀO GIẢI TỐN N CHAT LUONG download : add luanvanchat@a THUỘC CHƯƠNG TRÌNH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG” cho luận văn thạc sĩ Luận văn gồm hai chương Để thuận tiện cho người ñọc, chương nhắc lại số kiến thức ña thức, ñặc biệt ña thức đối xứng cơng thức Viète để làm tiền ñề cho chương sau Chương hai nội dung luận văn: Nghiên cứu, tìm hiểu việc vận dụng cơng thức Viète để giải số lớp tốn lĩnh vực giải tích, đại số, đa thức, hình học, lượng giác thuộc chương trình tốn bậc trung học phổ thơng Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu ứng dụng công thức Viète chương trình tốn phổ thơng - Hệ thống phân loại số tốn ứng dụng cơng thức Viète ñể giải - Nhằm nâng cao lực tư cho học sinh cần thiết phải xây dựng chuỗi toán từ toán gốc, xây dựng tốn tổng qt nhằm hướng đến đối tượng học sinh Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Những kiến thức tam giác, cơng thức lượng giác, bất đẳng thức quan trọng, tính chất đa thức, đa thức đối xứng, phương trình đối xứng - Cơng thức Viète ứng dụng chương trình tốn bậc phổ thơng - Các tốn ứng dụng cơng thức Viète N CHAT LUONG download : add luanvanchat@a Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu tài liệu công thức Viète kiến thức liên quan, sách giáo khoa, sách tham khảo, tạp chí tốn học, số tài liệu khác từ Internet - Thông qua thực tế giảng dạy trường trung học phổ thơng để tổng kết rút kết luận cần thiết Kết hợp kiến thức ñã ñạt ñược q trình thu thập thơng tin để hệ thống đưa tốn giải cơng thức Viète - Thảo luận, trao đổi với người hướng dẫn luận văn Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Cơng thức Viète ứng dụng có vai trị quan trọng, mở hướng giải cho nhiều tốn có liên quan đến nghiệm phương trình đại số cách phong phú, đa dạng như: tốn liên quan ñến hàm số, chứng minh hệ thức ñại số, tìm giá trị lớn – giá trị nhỏ biểu thức, giải phương trình hệ phương trình khơng mẫu mực, chứng minh tốn lượng giác, hình học… Việc dạy cơng thức Viète ứng dụng chương trình tốn học phổ thơng có ý nghĩa đặc biệt là: làm cho học sinh hiểu sâu sắc nghiệm phương trình đại số Nêu quan hệ định tính, định lượng nghiệm số với hệ số phương trình đại số Giúp học sinh nhìn nhận tốn mối liên hệ sinh động ràng buộc biến số tham số; biến, phần giúp học sinh nâng cao chất lượng học tập mơn tốn N CHAT LUONG download : add luanvanchat@a Cấu trúc luận văn Ngồi phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo luận văn gồm có chương sau : Chương - ĐA THỨC Chương - MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA CÔNG THỨC VIÈTE Chương ĐA THỨC 1.1 VÀNH ĐA THỨC MỘT ẨN Giả sử A vành giao hốn, có đơn vị ký hiệu Ta gọi P tập hợp dãy ( a0 , a1 , , an , ) ñó ∈ A với i ∈ = tất trừ số hữu hạn Trên P ta định nghĩa hai phép tốn cộng nhân sau ( a0 , a1 , , an , ) + ( b0 , b1 , , bn , ) = ( a0 + b0 , a1 + b1 , , an + bn , ) (1.1) ( a0 , a1 , , an , ) × ( b0 , b1 , , bn , ) = ( c0 , c1 , , cn , ) với ck = a0 bk + a1bk −1 + + ak b0 = ∑ ab i j (1.2) k = 0,1,2, i + j =k Vì bi tất trừ số hữu hạn nên + bi ci tất trừ số hữu hạn, nên (1.1) (1.2) xác ñịnh hai phép toán P N CHAT LUONG download : add luanvanchat@a Tập P với hai phép toán cộng nhân vành giao hốn có đơn vị Phần tử khơng phép cộng dãy ( 0,0, ) , phần tử ñơn vị phép nhân (1,0,0 ) Xét dãy x = ( 0,1,0, ,0, ) ∈ P Theo quy tắc phép nhân P , ta có   x n =  0,0, ,0,1, ,0,  424 1  n   Ta quy ước x = (1,0,0, ,0, ) Mặt khác, xét ánh xạ : A → P a a ( a,0, ,0, ) Dễ dàng kiểm chứng ñược ánh xạ đơn cấu vành, ta đồng phần tử a ∈ A với dãy ( a,0,0, ) ∈ P xem A vành vành P Vì phần tử P dãy ( a0 , a1 , an , ) = tất trừ số hữu hạn, nên phần tử P có dạng ( a0 , , an ,0, ) a0 , , an ∈ A (không thiết khác ) Việc ñồng a với ( a, 0, 0, ) việc ñưa vào dãy x cho phép ta viết ( a0 , , an ,0, ) = ( a0 ,0, ) + ( 0, a1 ,0, ) + + ( 0, , an ,0, ) = ( a0 ,0, ) + ( a1 ,0, )( 0,1,0, ) + + ( an ,0, )( 0, , 0,1, 0, ) = a0 + a1 x + + an x n = a0 x + a0 x + + an x n N CHAT LUONG download : add luanvanchat@a Định nghĩa 1.1 Vành P ñược ñịnh nghĩa trên, gọi vành ña thức ẩn x lấy hệ tử A , hay vắn tắt vành ña thức ẩn x A , ký hiệu A [ x ] Các phần tử A [ x ] gọi ña thức ẩn x lấy hệ tử A thường ký hiệu f ( x ) , g ( x ) , Trong ña thức f ( x ) = a0 x + a1 x + + an x n , , với i = 0,1, , n gọi hệ tử ña thức, xi gọi hạng tử ña thức, ñặc biệt a0 x = a0 gọi hạng tử tự 1.2 VÀNH ĐA THỨC NHIỀU ẨN Định nghĩa 2.1 Giả sử A vành giao hốn có đơn vị Ta ñặt A1 = A [ x1 ] , A2 = A1 [ x2 ] , … An = An −1 [ xn ] Vành An = An −1 [ xn ] kí hiệu A [ x1 , x2 , , xn ] gọi vành ña thức n ẩn x1 , , xn lấy hệ tử A Mỗi phần tử An gọi ña thức n ẩn x1 , , xn lấy hệ tử A thường kí hiệu f ( x1 , , xn ) hay g ( x1 , , xn ) … Từ ñịnh nghĩa ta có dãy vành: A0 = A ⊂ A1 ⊂ A2 ⊂ ⊂ An Trong Ai −1 vành vành Ai , i =1, 2, Từ tính chất hai phép toán vành quy nạp ta chứng minh ñược ña thức f ( x1 , x2 , , xn ) ∈ A [ x1 , x2 , , xn ] viết dạng f ( x1 , x2 , , xn ) = c1 x1a11 x2 a12 xn a1n + c2 x1a21 x2 a22 xn a2 n + + cm x1am1 x2 am xn amn N CHAT LUONG download : add luanvanchat@a với ci ∈ A , ai1 , , …., ain , i = 1, 2, , m , số tự nhiên ( ai1 , , ain ) ( ≠ a j1 , , a jn ) i ≠ j ; ci gọi hệ tử, ci x1ai1 x2 xn ain gọi hạng tử ña thức f ( x1 , x2 , , xn ) Đa thức f ( x1 , x2 , , xn ) = hệ tử khơng tất 1.3 ĐA THỨC ĐỐI XỨNG VÀ CÔNG THỨC VIÈTE 1.3.1 Đa thức ñối xứng Định nghĩa 3.1 Giả sử A vành giao hốn có đơn vị, A [ x1 , , xn ] f ( x1 , , xn ) ña thức vành f ( x1 , , xn ) ña thức ( ñối xứng n Ta nói ẩn ) f ( x1 , x2 , , xn ) = f xτ (1) , xτ (2) , , xτ ( n ) , với phép τ n     τ (1) τ ( ) τ ( n )  τ = ( ) ñó f xτ (1) , xτ (2) , , xτ ( n ) có từ f ( x1 , x2 , , xn ) cách f ( x1 , x2 , , xn ) thay xi xτ ( i ) , i = 1, 2, , n Định lý 3.1 Tập gồm ña thức ñối xứng vành A [ x1 , , xn ] vành vành A [ x1 , , xn ] Các ña thức σ = x1 + x2 + + xn σ = x1 x2 + x1 x3 + + xn −1 xn σ = x1 x2 x3 + x1 x2 x4 + + xn− xn −1 xn N CHAT LUONG download : add luanvanchat@a … σk = ∑ i1 < i2 < < ik xi1 xi2 xik , k = 1,2, , n … σ n −1 = x1 x2 xn −1 + x1 x2 xn − xn + + x2 x3 xn σ n = x1 x2 xn ña thức ñối xứng gọi ña thức ñối xứng ñối với n ẩn x1 , x2 , , xn Giả sử g ( x1 , , xn ) ña thức A [ x1 , , xn ] , phần tử A [ x1 , , xn ] có cách g ( x1 , , xn ) thay x1 σ , x2 σ , …, xn σ n gọi ña thức đa thức đối xứng bản, kí hiệu g (σ , σ , , σ n ) Vì σ , σ , , σ n ña thức ñối xứng nên g (σ , σ , , σ n ) ña thức ñối xứng theo ñịnh lý 3.1 1.3.2 Cơng thức Viète Cho đa thức bậc n: f ( x ) = a0 x n + a1 x n −1 + + ak x n − k + + an (1.3) lấy hệ tử trường T Giả sử f ( x ) có T mở rộng T , tức trường chứa T làm trường con, n nghiệm α1 , α , , α n f ( x ) = a0 ( x − α1 )( x − α ) ( x − α n ) Khi ta có : (1.4) Khai triển vế phải so sánh hệ tử lũy thừa giống N CHAT LUONG download : add luanvanchat@a 10 G ( xG ; yG ) trọng tâm tam giác M1M M x1 + x2 + x3   xG = ⇔   y = y1 + y2 + y3  G xi nghiệm phương trình bậc ba: y ' = x3 − x + = Áp dụng công thức Viète, ta có:  x1 + x2 + x3 =   x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 = − x x x = −1  ⇒ xG = Tính yi : y 'i ( xi ) = y = ( y' x − x2 − x − ) ( (chia y cho y’) ⇒ yi = y ( xi ) = − xi2 − xi − ( ) ) yG = −  x12 + x22 + x32 − ( x1 + x2 + x3 ) −    = − ( x1 + x2 + x3 ) − ( x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 ) −  =   Vậy G ( 0;0 ) ⇔ G ≡ O gốc tọa ñộ 2.2 ỨNG DỤNG CƠNG THỨC VIÈTE TRONG CÁC BÀI TỐN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Bài toán: [Đề tuyển sinh ĐH – CĐ khối A, năm 2006] Cho hai số thực thay ñổi ( x + y ) xy x ≠ 0, y ≠ thỏa mãn : = x + y − xy N CHAT LUONG download : add luanvanchat@a 11 Tìm giá trị lớn biểu thức A = 1 + 3 x y Giải Đặt 1 + = m x y Với x ≠ 0, y ≠ , xét hệ phương trình:  ( x + y ) xy = x + y − xy   1  x3 + y = m  ( x + y ) xy = x + y − xy  ⇔  ( x + y ) ( x + y − xy ) = m  ( xy )   ( x + y ) xy = x + y − xy  ⇔  xy ( x + y )2 =m   ( xy )   ⇔   ( x + y ) xy = ( x + y )  x+ y   =m  xy  − xy ( 2.1) S = x + y Đặt   P = xy Theo cơng thức Viète để x, y hai nghiệm thực phương trình t − St + P = S, P phải thỏa mãn điều kiện S ≥ 4P N CHAT LUONG download : add luanvanchat@a 12  SP = S − 3P  ⇔   S 2  P  = m   ( 2.1) Hệ ( 2.1) ( 2.2 ) có nghiệm x ≠ 0, y ≠ ⇔ hệ ( 2.2 ) có nghiệm ( S ; P ) thỏa mãn: S ≥ P   Do SP = x + y − xy =  x − y  + y > 0, ∀x ≠ 0, y ≠   Từ : - Nếu m ≤ hệ ( 2.1) vơ nghiệm - Nếu m > từ phương trình S S = m ⇒ S = m P   = m ⇔ P P   Thay vào phương trình đầu hệ ( 2.2 ) Ta được: ( ) m.P = m.P − 3P ⇔ m − m P = ( SP > 0, P ≠ ) Để có P từ phương trình thì: m − m ≠ ⇔ m ≠ ( m > 0) Vậy P = m ( ) m −1 Hệ ( 2.2 ) có nghiệm :     ≥  m −1  m ( ⇒S= m −1 ( S ; P ) thỏa mãn S ≥ P 12 ) m −1 N CHAT LUONG download : add luanvanchat@a 13 ⇔ 3≥ ( m ( ⇔3 m ≥ ⇔ ) m −1 ( ) m −1 ) m −1 m ≤ ⇔ < m ≤ 16 ( m ≠ 1) Vậy giá trị lớn maxA = 16 2.3 ỨNG DỤNG CƠNG THỨC VIÈTE TRONG CÁC BÀI TỐN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Bài tốn: Giải phương trình sau : ( 2.3) x + − x − x − + x − x −1 = Giải Đặt Đặt u = x +1, v = − x − x − , w = x − x −1  a = u + v+ w   b = uv + vw + wu  c = uvw  Theo giả thiết, ta có : u + v + w = ⇒ a= u + v3 + w3 = Mặt khác (u + v + w ) = a3 ⇔ u + v3 + w3 + 3u v + 3u w+ 3v 2u + 3v w + 3w2u + 3w2v + 6uvw = a ( ⇔ u + v3 + w3 = a − 3u v + 3u w+ 3v 2u + 3v w + 3w2u + 3w2v + 9uvw ) + 3uvw N CHAT LUONG download : add luanvanchat@a 14 ⇔ u + v3 + w3 = a3 − 3uv ( u + v + w ) − 3vw ( u + v + w ) − 3wu ( u + v + w ) + 3uvw ⇔ u + v + w = a − ( u + v + w )( uv + vw + wu ) + 3uvw 3 3 ⇔ u + v3 + w3 = a − 3ab + 3c ⇒ a − 3ab + 3c = ⇒ c = 2b Theo công thức Viète u, v, w ba nghiệm phương trình X − X + bX − 2b = : ⇔ ( X − 2) ( X + b) ( 2.4 ) = Ta nhận thấy phương trình ( 2.4 ) có nghiệm X = Do tính chất đối xứng nên u, v, w nhận giá trị i, Trường hợp u = Ta có : x +1 = ⇔ x = Thay giá trị x = vào phương trình đầu ta thấy giá trị x = nghiệm phương trình cho ii, Trường hợp v = x = Ta có : − x + x + = ⇔ x ( x −1) = ⇔  x = Thay giá trị x = vào phương trình đầu ta thấy giá trị x = nghiệm ñúng phương trình ñã cho iii, Trường hợp w =  x = −1 Ta có: x − x −1 = ⇔ x − x − = ⇔   x=9 N CHAT LUONG download : add luanvanchat@a 15 Thay giá trị x = − x = vào phương trình đầu ta thấy giá trị x = − x = nghiệm phương trình cho Vậy phương trình ( 2.3) có nghiệm : S = {−1; 0; 1; } 2.4 ỨNG DỤNG CƠNG THỨC VIÈTE TRONG CÁC BÀI TỐN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Bài tốn : Giải hệ phương trình :   x + y − 3z =   xy − yz − xz = 27 1 1  + − =1  x y 3z ( 2.5) Giải Hệ phương trình ( 2.5 ) khơng phải hệ đối xứng theo x , y , z Tuy nhiên ñặt u = x, v = y , w = − 3z , ta có hệ đối xứng        u+v+w =9 uv + vw + wu = 27 1 + + =1 u v w ( 2.6 ) Đặt a = u + v + w , b = uv + vw + wu , c = uvw    Khi hệ ( 2.6 ) trở thành     a = a =  b = 27 ⇔ b = 27 c = 27 b  =1 c N CHAT LUONG download : add luanvanchat@a 16 Áp dụng cơng thức Viète u, v, w ba nghiệm phương trình : t − 9t + 27t − 27 = ⇔ ( t − 3) =0 Vậy ta có t1 = t2 = t3 = nên u = v = w = Từ ta tìm nghiệm ( x ; y ; z ) hệ ( 2.5 ) là:   3  3     −1; ;  ,  −1; 3;  ,  ; − 1;  ,  ; ; −  ,   2  2      3   3; ; − 1  ; − ;  2     2.5 ỨNG DỤNG CÔNG THỨC VIÈTE TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Bài toán: Cho phương trình ax + bx + cx + d = ( a ≠ ) có ba nghiệm dương x1 , x2 , x3 Chứng minh x17 + x27 + x37 ≥ − b3c 81a Giải Theo cơng thức Viète ta có : b   x1 + x2 + x3 = − a >   xx + x x +x x = c >0 3  a Bất ñẳng thức Bunyakovski cho ta : x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 ≤ x12 + x22 + x32 ⇔ < ( x1 + x2 + x3 ) ≤ ( x12 + x22 + x32 ) ⇔ < c ≤ x12 + x22 + x32 a ( 2.7 ) b2 ≤ x12 + x22 + x32 3a ( 2.8 ) N CHAT LUONG download : add luanvanchat@a 17 Từ ( 2.7 ) ( 2.8 ) ta suy ra: < b2 c ≤ ( x12 + x22 + x32 ) 3a Áp dụng bất ñẳng thức Bunyakovski ta lại có : (x + x22 + x32 ) ≤ (1 + + 1) ( x14 + x24 + x34 ) b2c ≤ x14 + x24 + x34 9a ⇒ < ( 2.9 ) Vì x1 , x2 , x3 > nên suy : (x ) +x +x 7   =  x12 x12 + x22 x22 + x32 x32    ≤ ( x1 + x2 + x3 ) ( x17 + x27 + x37 ) Từ ( 2.9 ) ( 2.10 ) ( 2.10 ) ta ñược : b4 c b ≤ − ( x17 + x27 + x37 ) 81a a ⇔ − b3c ≤ x17 + x27 + x37 81a Vậy ta có : x17 + x27 + x37 ≥ − b3c 81a Dấu “=” xảy x1 = x2 = x3 = − b 3a 2.6 ỨNG DỤNG CÔNG THỨC VIÈTE TRONG ĐA THỨC Bài toán: Giả sử nghiệm ña thức P ( x ) = x3 + ax + bx + c (với a, b, c ∈ Z ) tích hai nghiệm Chứng minh P ( −1) chia hết cho P (1) + P ( −1) − (1 + P ( ) ) N CHAT LUONG download : add luanvanchat@a 18 Giải Gọi x1 , x2 , x3 ba nghiệm ña thức P ( x ) = x3 + ax + bx + c Theo giả thiết toán nghiệm tích hai nghiệm kia, giả sử x3 = x1 x2 Áp dụng công thức Viète ta có :  x1 + x2 + x1 x2 = − a  x1 + x2 + x1 x2 = − a    x1 x2 + x2 x1 x2 + x1 x2 x1 = b ⇔  x1 x2 (1 + x1 + x2 ) = b   2  x1 x2 x1 x2 = − c  x1 x2 = − c Từ b − c = x1 x2 (1+ x1 + x2 + x1 x2 ) = x1 x2 (1 − a ) b−c số hữu tỉ 1− a i, Với a ≠ x1 x2 = Mà x12 x22 = − c số ngun x1 x2 số nguyên Ta có P (1) + P ( −1) − (1 + P ( ) ) = (1 + a + b + c ) + ( −1 + a − b + c ) − (1 + c ) = − + 2a = − (1 − a ) = −2 (1 + x1 + x2 + x1 x2 ) = − (1 + x1 )(1 + x2 ) ≠ ( 2.11) Mặt khác P ( −1) = ( −1 + a − b + c ) = −  −1 − x1 − x2 − x1 x2 − x1 x2 (1 + x1 + x2 ) − x12 x22  = − (1 + x1 x2 )(1 + x1 )(1 + x2 ) Từ ( 2.11) ( 2.12 ) ta có: ( 2.12 ) P ( −1) = (1 + x1 x2 )  P (1) + P ( −1) − (1 + P ( ) )  N CHAT LUONG download : add luanvanchat@a 19 ⇒ P ( −1) P (1) + P ( −1) − (1 + P ( ) ) = + x1 x2 Vì x1 x2 số nguyên nên + x1 x2 số ngun Do P ( −1) chia hết cho P (1) + P ( −1) − (1 + P ( ) ) ii, Với a = x1 + x2 + x1 x2 = − ⇔ + x1 + x2 + x1 x2 =  x1 = −1 ⇔ (1 + x1 )(1 + x2 ) ⇔   x2 = −1 Suy P ( x ) có nghiệm -1 Hay P ( −1) = ⇒ P ( −1) = Do P ( −1) chia hết cho P (1) + P ( −1) − (1 + P ( ) ) Vậy số P ( −1) chia hết cho số P (1) + P ( −1) − (1 + P ( ) ) với a, b, c ∈ Z 2.7 ỨNG DỤNG CƠNG THỨC VIÈTE TRONG HÌNH HỌC Bài tốn: Cho Parabol ( P ) : y = x Một ñường thẳng ñi qua tiêu ñiểm Parabol ñã cho cắt Parabol hai ñiểm phân biệt A B Chứng minh tích khoảng cách từ A B đến trục hồnh đại lượng khơng đổi Giải Parabol ( P ) : y = 2.2 x có tham số tiêu p = tiêu ñiểm F (1; ) Gọi ñường thẳng ñi qua tiêu ñiểm F (1; ) Parabol ( d ) N CHAT LUONG download : add luanvanchat@a 20 i, Đường thẳng ( d ) song song với trục Oy ⇒ ( d ) : x = Lúc ( d ) cắt ( P ) hai ñiểm A (1; − ) B (1; ) ⇒ AF BF = 2.2 = ii, Đường thẳng (d ) không song song với trục Oy , đường thẳng ( d ) có phương trình y = k ( x − 1) , với k ≠ (vì ( d ) cắt ( P ) hai điểm phân biệt) Phương trình hồnh độ giao ñiểm (d ) với (P) : k ( x − 1) = x ⇔ k x − ( k + ) x + k = Ta có ∆ ' = 4k + > 0, ∀k ≠ Do ( d ) ln cắt (P) hai ñiểm phân biệt Gọi x1 , x2 hồnh độ A B  y1 = k ( x1 − 1) Như A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) , với   y2 = k ( x2 − 1) Ta có d ( A ; Ox ) d ( B ; Ox ) = y1 y2 = k ( x1 − 1)( x2 − 1) = k  x1 x2 + − ( x1 + x2 )   x1 x2 =  Theo cơng thức Viète , ta có :  ( k + 2)  x1 + x2 = k2   2( k + 2)    = −4 = Nên y1 y2 = k +1 − k2   N CHAT LUONG download : add luanvanchat@a 21 Vậy tích khoảng cách từ A B đến trục hồnh đại lượng khơng đổi 2.8 ỨNG DỤNG CƠNG THỨC VIÈTE TRONG CÁC BÀI TỐN LƯỢNG GIÁC Bài tốn: Cho p, r , R nửa chu vi, bán kính đường trịn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh : p ≥ 3r + 12r.R Dấu xảy nào? B Giải P M r r I r A Xét ∆AMI vng M , ta có cot ⇒ AM = IM cot Và p − a = C N A AM = IM A A = r.cot 2 b+c−a AN + CN + AM + BM − CP − BP = 2 Mà AM = AN , BM = BP, CN = CP nên p − a = AM = r.cot ⇒ r = ( p −a) A cot = ( p − a ) tan A A N CHAT LUONG download : add luanvanchat@a 22 A tan a = Ta có sin A = A 2R + tan 2 A r Thay tan = vào p−a ⇔ ( 2.13) ( 2.13) : a = 2R 2r p−a r2 1+ ( p − a )2 2r ( p − a ) a = 2R ( p − a )2 + r ⇔ a ( p − pa + a ) + ar = 4rRp − 4rRa ⇔ a − pa + ( p + r + 4rR ) a − 4rRp = Tương tự với b, c ta có a, b, c trình : nghiệm phương x3 − px + ( p + r + 4rR ) x − 4rRp =  a + b + c = 2p Theo công thức Viète :  2  ab + bc + ca = p + r + 4rR Mặt khác, áp dụng bất ñẳng thức Bunyakovski: ( a + b2 + c ) ≥ ( ab + bc + ca ) ⇔ ( a + b + c ) ≥ ( ab + bc + ca ) ⇒ p ≥ ( p + r + 4rR ) ⇒ p ≥ 3r + 12rR Dấu xảy a b c = = b c a ⇒ a = b = c hay ABC tam giác ñều N CHAT LUONG download : add luanvanchat@a 23 Các toán tương tự Cho hàm số y = x3 − 3ax + 4a Xác ñịnh ñể ñường thẳng a y = x cắt ñồ thị hàm số ba ñiểm A, B, C với AB = BC x+ Cho hai số thực khơng âm x, y thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị Q= x +1 + nhỏ nhất, giá trị lớn y = biểu thức y+9 Giải phương trình: + x + − x + (1 + x )(8 − x ) = x+ y + + =  x y Giải hệ phương trình   x2 + y + + =  x2 y2 Gọi m , n, p ba nghiệm phương trình bậc ba ax + bx + cx − a = Chứng minh : m2 + n2 + p ≥ + + m n Cho ba số nguyên a, b, c , biết ax + bx + c 2+ p a > , cịn đa thức có hai nghiệm khác khoảng ( 0; 1) Chứng minh a ≥ Tìm cặp số b, c để a = Chứng minh rằng: tan 200 + tan 400 + tan 800 = 33273 N CHAT LUONG download : add luanvanchat@a 24 KẾT LUẬN Luận văn “ỨNG DỤNG CƠNG THỨC VIÈTE VÀO GIẢI TỐN THUỘC CHƯƠNG TRÌNH TRUNG HỌC PHỔ THƠNG” thực vấn ñề sau: Xây dựng vành ña thức ẩn, nhiều ẩn lấy hệ tử trường Đặc biệt vành ña thức ñối xứng, từ giới thiệu cơng thức Viète tổng qt Trên sở tài liệu tốn học, đặc biệt tài liệu cơng thức Viète, đa thức đa thức ñối xứng, luận văn ñã sưu tầm, hệ thống phân loại số lớp tốn giải cơng thức Viète Cụ thể là: tốn liên quan đến hàm số, tốn tìm giá trị lớn – giá trị nhỏ nhất, toán giải phương trình, hệ phương trình, chứng minh bất đẳng thức, tốn đa thức, tốn hình học, lượng giác Đối với lớp toán, ngồi ví dụ minh họa nhằm làm sáng tỏ khả ứng dụng phong phú linh hoạt cơng thức Viète, cịn có tốn tương tự từ dễ đến khó dành cho học sinh lớp chọn, lớp chuyên Hy vọng nội dung luận văn cịn tiếp tục hồn thiện mở rộng nhằm thể ứng dụng ña dạng hiệu công thức Viète N CHAT LUONG download : add luanvanchat@a ... đa thức, hình học, lượng giác thuộc chương trình tốn bậc trung học phổ thơng Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu ứng dụng công thức Viète chương trình tốn phổ thơng - Hệ thống phân loại số tốn ứng. .. thức tam giác, cơng thức lượng giác, bất đẳng thức quan trọng, tính chất đa thức, đa thức đối xứng, phương trình đối xứng - Cơng thức Viète ứng dụng chương trình tốn bậc phổ thơng - Các tốn ứng. .. Luận văn ? ?ỨNG DỤNG CƠNG THỨC VIÈTE VÀO GIẢI TỐN THUỘC CHƯƠNG TRÌNH TRUNG HỌC PHỔ THƠNG” thực vấn ñề sau: Xây dựng vành ña thức ẩn, nhiều ẩn lấy hệ tử trường Đặc biệt vành đa thức đối xứng, từ giới