Skkn dạy học chủ đề sử dụng hệ thức truy hồi trong giải bài toán tổ hợp cho học sinh lớp 10 chuyên toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT CHUYÊN LAM SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DẠY HỌC CHỦ ĐỀ SỬ DỤNG HỆ THỨC TRUY HỒI TRONG GIẢI BÀI TOÁN TỔ HỢP CHO HỌC SINH LỚP 10 CHUYÊN TOÁN Người thực hiện: Thịnh Thị Bạch Tuyết Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực: Tốn THANH HỐ NĂM 2022 skkn MỤC LỤC I Mở đầu….……………………………………………………… Lí chọn đề tài……………………………………………… Mục đích đề tài…………………………………………… Đối tượng nghiên cứu………………………………………… Phương pháp nghiên cứu……………………………………… II Nội dung sáng kiến kinh nghiệm…………….…………… Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm…………… …… … Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Giải pháp giải vấn đề…………………………………… Tổ chức thử nghiệm kết đạt được……………………… III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ……………………………… Kết luận…………………………………………… ………… Kiến nghị………………………………………… ………… Tài liệu tham khảo………………………………… ………… skkn 1 1 2 3 23 24 24 24 26 I MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Trong đề án phát triển hệ thống trường THPT Chuyên Thủ tướng Chính phủ, xây dựng số nhiệm vụ, giải pháp, có “Biên soạn tài liệu hướng dẫn, phát triển chương trình môn chuyên, đổi PPDH, đổi kiểm tra đánh giá; dạy học trực tuyến, dạy học theo dự án” [2] Trong thông tư ban hành quy chế tổ chức, hoạt động trường THPT Chuyên, nhiệm vụ trường THPT Chuyên quy định “ giáo dục em thành người có lịng u nước, tinh thần vượt khó, tự hào, tự tơn dân tộc; có khả tự học, nghiên cứu khoa học sáng tạo ” [1] Để thực hiệu nhiệm vụ, mục tiêu trường Chuyên giáo viên dạy chuyên cần chủ động biên soạn khung tài liệu chuyên sâu, hướng phát triển chương trình phù hợp với lực học sinh, chủ động tìm tài liệu thiết kế, tổ chức hoạt động giáo dục nhằm bồi dưỡng khiếu Toán học cho học sinh Toán tổ hợp nội dung tốn học tốn khó có vai trị quan trọng việc rèn luyện kĩ tư duy, kĩ lập luận toán học khả giải vấn đề sáng tạo cho học sinh Các toán tổ hợp ngày chiếm vị trí quan trọng kì thi học sinh giỏi tốn Tổ hợp dạng tốn thường khơng có khn mẫu giải định mà đòi hỏi tư logic cao, tư thuật tốn, khả mơ hình hố tốt, đáp ứng mục tiêu lựa chọn học sinh có khiếu tốn học Tốn tổ hợp ngày đóng vai trị quan trọng thực tế, phù hợp với xu hướng phát triển toán học đại Vấn đề đếm số phần tử tập hợp toán tổ hợp phương pháp truy hồi tốn khó lại gây hứng thú, kích thích say mê dễ tiếp cận cho học sinh, đặc biệt công cụ tốt cho rèn luyện lực giải toán, khả lập luận tư toán học, lực giải vấn đề sáng tạo tạo nguồn động lực kích thích học sinh tích cực, chủ động học tập Xuất phát từ lý trên, lựa chọn đề tài “Dạy học chủ đề sử dụng hệ thức truy hồi giải toán tổ hợp cho học sinh lớp 10 chun tốn” Mục đích nghiên cứu Thiết kế toán đếm truy hồi dạy cho học sinh nhằm phát triển kĩ giải toán đếm số phần tử tập hợp phương pháp truy hồi, rèn luyện tư logic, rèn luyện mềm dẻo tư bước đầu hình thành lực phát giải vấn đề tốn học, lực mơ hình hố tốn học, đồng thời bổ sung tài liệu tham khảo vào chương trình dành cho học sinh chuyên toán Đối tượng nghiên cứu Đề tài tập trung nghiên cứu toán sử dụng hệ thức truy hồi giải toán đếm số phần tử tập hợp dạy cho học sinh lớp 10 chuyên toán Phương pháp nghiên cứu 4.1 Phương pháp nghiên cứu lí thuyết Nghiên cứu tài liệu có liên quan đến tốn đếm bản, tốn tìm cơng thức tổng qt dãy truy hồi, toán tổ hợp đếm truy hồi 4.2 Phương pháp điều tra Điều tra thực trạng dạy học toán đếm số phần tử tập hợp lớp chuyên toán 4.3 Phương pháp thảo luận Trao đổi với đồng nghiệp để có nhìn nhận vấn đề nhiều góc độ khác nhau, từ tìm giải pháp cho vấn đề nghiên cứu skkn 4.4 Phương pháp quan sát Quan sát trình tiếp thu kiến thức học sinh, lắng nghe ý kiến, giải đáp thắc mắc em, để tìm khâu mà em học sinh cịn vướng mắc, từ rút học kinh nghiệm cho thân 4.5 Phương pháp kiểm tra đánh giá Khi thực chuyên đề khảo sát so sánh kết đánh giá học sinh qua giai đoạn để đánh giá hiệu sáng kiến kinh nghiệm II NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm TS Trần Nam Dũng, viết “Vai trò Toán tổ hợp việc rèn luyện tư tốn học kĩ giải tốn” [3] có đưa nhận định “Tốn tổ hợp khơng có khn mẫu định cho việc giải (giống việc giải phương trình, khảo sát hàm số, tính tích phân) nên ln địi hỏi sáng tạo từ phía học Toán tổ hợp thường phát biểu lời văn, địi hỏi học phải có kĩ đọc, hiểu rút trích thơng tin, biết cách phát biểu lại ngơn ngữ tốn học Bài tốn tổ hợp thường mang tính thực tế tính thẩm mỹ cao, khiến học yêu thích, ghi nhớ Từ số nghiên cứu học sinh chuyên toán, cho thấy học sinh: Ham thích học Tốn, có trí nhớ tốt, hiểu nhanh có khả tự học; Có nhận thức sắc bén thông tin định luợng môi trường xung quanh, suy nghĩ theo logic biểu tượng mối quan hệ; Nắm bắt vấn đề cách nhanh chóng, chăm chỉ, có tập trung cao học, tích cực tham gia vào hoạt động học tập, có hứng thú sẵn sàng tiếp nhận, đầu tư nhiều thời gian để giải tập khó Dạng tốn tổ hợp giúp học sinh có phương pháp suy luận tốn học đại từ phát triển khả suy luận, rèn luyện mềm dẻo tư duy, phát triển tư sáng tạo, tư phản biện, tư logic khả mơ hình hóa Nội dung bổ sung vào chương trình dành cho học sinh chuyên Toán THPT nội dung Toán học gắn với thực tiễn, kích thích quan tâm tạo hứng thú cho HS, kích thích say mê nghiên cứu tri thức vận dụng thực tiễn Toán học Đồng thời có tiềm hình thành số lực cho học sinh lực giải vấn đề sáng tạo cho học sinh Những toán chủ đề thường khơng có khn mẫu giải cố định, HS cần tới cách tích cực, sáng tạo, có chuyển hướng tới linh hoạt việc tìm phương án để giải tốn Các nội dung tổ hợp thường xuất phát từ thực tiễn nên HS thấy rõ vai trị ứng dụng Tốn học, đồng thời nâng cao khả vận dụng Toán học vào thực tiễn HS Từ đặc điểm học sinh chuyên toán đặc điểm loại toán tổ hợp, cho thấy chủ đề tổ hợp chủ đề có nhiều điều kiện thuận lợi nhiều tiềm để phát triển lực giải toán, khả tư logic sáng tạo cho học sinh chun tốn Có thể nói tổ hợp chủ đề tiềm để khai thác bồi dưỡng khiếu toán học cho học sinh chuyên Toán Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Thực tế dạy học lớp 10 Tốn 2, tơi nhận thấy đa số học sinh u tốn, có đam mê, ham học hỏi, có học sinh sẵn sàng đưa riêng thể hiểu biết tốn học Đây ưu điểm cần phát skkn huy học sinh Tuy nhiên, kiến thức tảng học sinh không đồng đều, em nắm bắt kiến thức thông qua tập học chưa tổng hợp hệ thống hố đầy đủ Trong q trình giảng dạy chủ đề tổ hợp cho học sinh lớp 10 Tốn 2, cho thấy học sinh cịn gặp khó khăn tiếp cận với dạng toán Các tốn tổ hợp thường tốn khó Trong q trình giảng dạy, giáo viên hướng dẫn học sinh tiếp cận với tài liệu toán tổ hợp, toán tổ hợp với lời giải đầy đủ học sinh chưa thể hiểu đầu đủ cặn kẽ lời giải Có học sinh đọc lời giải không hiểu đưa cách làm theo ý hiểu riêng chưa Có học sinh đọc ghi nhớ cách giải u cầu giải thích khơng thể giải thích Một số học sinh cảm thấy khó hiểu dạng tốn này, thực khơng hào hứng tích cực học dạng tốn Qua quan sát qua vấn trình dạy học sinh, cho thấy có nhiều nguyên nhân dẫn dến em học dạng toán chưa tốt Đầu tiên, phải kể đến kiến thức kiến thức tảng quy tắc đếm học sinh chưa nắm chưa hiểu cách đầy đủ có hệ thống Hai là, kiến thức tìm cơng thức tổng quát dãy truy hồi tuyến tính học sinh chưa trang bị Ba là, toán dạng học sinh phải đánh giá đại lượng liên quan đến yếu tố đề cập, chứng minh quy tắc ln thực được, chứng minh quy luật nghiệm đúng, học sinh chưa biết cách tìm mối liên hệ yếu tố ràng buộc để đưa quy tắc phù hợp biểu diễn đại lượng Xuất phát từ sở lí luận dạy học tổ hợp cho học sinh chuyên toán thực trạng học toán đếm học sinh chun tốn, từ điều tra thực trạng tìm hiểu nguyên nhân đưa ý tưởng viết sáng kiến kinh nghiệm này, nhằm trang bị cho em sở lí thuyết để với mong muốn tháo gỡ phần khó khăn mà em gặp phải học phần tổ hợp Giúp học sinh hứng thú học tập tốn tổ hợp biết cách nhìn nhận, phân tích tìm lời giải cho tốn tổ hợp đếm cách sử dụng công thức truy hồi Giải pháp giải vấn đề 3.1 Trang bị kiến thức phép đếm cách tìm cơng thức truy hồi dãy tuyến tính 3.1.1 Các phép đếm Để giải tốn đếm số phần tử tập hợp phương pháp truy hồi học sinh cần trang bị kiến thức tảng sau (các công thức đếm chứng minh trình giảng dạy): 3.1.1.1 Quy tắc cộng Một cơng việc hồn thành hai hành động Khi đó, hành động thứ có m cách thực cịn hành động thứ hai có n cách thực hiện, khơng trùng lặp với cách hành động thứ nhất, cơng việc cho có m+n cách thực Chú ý - Nếu tập hai tập hữu hạn - Nếu hai tập hữu hạn thì: skkn Mở rộng, có tập A1 , A2 , , Ak tương ứng  có số phần tử a1 , a2 , , ak tập A1  A2   Ak có a1  a2   ak phần tử 3.1.1.2 Quy tắc nhân Một cơng việc hồn thành hai hành động liên tiếp Khi đó, hành động thứ có m cách thực ứng với cách thực hành động thứ có n cách thực hành động thứ hai, có tất m.n cách để hồn thành cơng việc Chú ý Nếu tập A có m phần tử, cịn tập B có n phần tử, tập có m.n phần tử Mở rộng, có tập A1 , A2 , , Ak tương ứng có số phần tử a1 , a2 , , ak tập T  ( x1 ; x2 ; ; xk ) x1  A1 , x2  A2 , , xk  Ak  có a1.a2 ak phần tử 3.1.1.3 Hốn vị Định nghĩa: Cho tập hợp A có n ( n  ) phần tử Mỗi cách xếp n phần tử theo thứ tự, ta hoán vị phần tử tập A (gọi tắt hốn vị A) Số hốn vị: Kí hiệu số hốn vị tập hợp có n phần tử Pn Số hoán vị tập hợp có n phần tử Pn  n!  n(n  1)( n  2) 3.1.1.4 Chỉnh hợp Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử (n  ) Kết việc lấy k phần tử từ n phần tử tập hợp A xếp chúng theo thứ tự gọi chỉnh hợp chập k n phần tử cho Số chỉnh hợp: Số chỉnh hợp chập k tập hợp có n phần tử kí hiệu Ank Số chỉnh hợp chập k tập hợp có n phần tử 1  k  n  Ank  n ( n  1)( n  2) (n  k  1) Chú ý: 1) Với quy ước , ta có 2) Mỗi hốn vị n phần tử chỉnh hợp chập n n phần tử Vì Ann  Pn  n! 3.1.1.5 Tổ hợp Định nghĩa: Giả sử tập A có n phần tử Mỗi tập gồm k phần tử A gọi tổ hợp chập k n phần tử cho Chú ý: Tập hợp khơng có phần tử tập rỗng nên ta quy ước gọi tập rỗng tổ hợp chập n phần tử Số tổ hợp: Kí hiệu số tổ hợp chập k n phần tử quy ước ta có Tính chất số tổ hợp 1) Cho số nguyên dương n số nguyên k với  k  n Khi đó: Cnk  Cnn k 2) Cho số nguyên n k với  k  n Khi đó: Cnk1  C nk  Cnk 1 skkn 3.1.1.6 Công thức nhị thức Niu-tơn (quy ước 3.1.1.7 Chỉnh hợp lặp Giả sử thứ tự gồm phần tử Số chỉnh hợp lặp chập 3.1.1.8 Tổ hợp lặp Giả sử với Chỉnh hợp lặp n phần tử chọn , cho phép lấy lặp lại , theo quy tắc nhân, Tổ hợp lặp n phần tử chọn k không thứ tự gồm k phần tử , cho phép lấy lặp lại Nói cách khác, đa tập hợp gồm phần tử lấy từ Số tổ hợp lặp chập phần tử ký hiệu Ta có 3.1.1.9 Hốn vị lặp Xét đa tập hợp có phần tử, phần tử có phiên bản, phần tử có phiên bản, , phần tử có phiên Một cách xếp phần tử theo thứ tự gọi hoán vị lặp phần tử Số hoán vị lặp đa tập hợp 1.1.10 Nguyên lý bù trừ Cho tập hợp hữu hạn khác rỗng Khi đó: hay 1.2 Dãy truy hồi Cần trang bị cho học sinh cách xác định cơng thức tính số hạng tổng qt số dãy truy hồi tuyến tính quen thuộc Dãy truy hồi tuyến tính cấp 1: với a, b số Với cấp số cộng với công sai b, công thức tổng quát Với , ta công thức tổng quát Dãy truy hồi tuyến tính cấp 2: Dãy số xác định cho trước với số thực gọi dãy truy hồi tuyến tính cấp hai hệ số Ta gọi phương trình phương trình đặc trưng dãy số Có trường hợp xảy ra: skkn Trường hợp 1: Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt Khi số hạng tổng quát un là: với số thực xác định từ Trường hợp 2: Phương trình (*) có nghiệm kép x Khi số hạng tổng quát un là: với số thực xác định từ Trường hợp 3: Phương trình (*) có hai nghiệm phức liên hợp Khi ta tính góc mà Số hạng tổng quát với số thực xác định từ Một số dãy truy hồi cho dạng hệ phương trình đưa vận dụng dãy số Ta xét ví dụ tìm số hạng tổng qt dãy xác định cho trước với số Từ hệ ta có: = = hay Hơn ta có nên theo cách tính số hạng tổng qt phương trình tuyến tính cấp hai hệ số ta tính Thay hệ tính Chú ý có cách khác để xác định số hạng tổng quát dãy cho công thức Đó ta xác định số thích hợp để tính số hạng tổng quát dãy Khi ta tính số hạng tổng quát dãy 3.2 Luyện tập cho học sinh dạng toán đếm số phần tử tập hợp truy hồi Sau trang bị hệ thống hoá cho học sinh kiến thức tảng phép đếm dãy truy hồi tuyến tính bản, giáo viên hướng dẫn cho học sinh luyện tập toán đếm số phần tử tập hợp cách sử dụng công thức truy hồi Thông qua tập luyện theo hệ thống tập thiết kế học sinh hình thành cách thức tìm mối liên hệ truy hồi đại lượng tốn, từ hình thành phương pháp lực giải tốn Hình thành cho học sinh phương pháp tiếp cận toán theo bước sau: Bước Chọn ẩn để mô tả yếu tố đầu thành phương trình, bất phương trình, hệ hỗn hợp ẩn chọn Việc chọn ẩn, đặt thêm ẩn phụ, kết nối yếu tố đề cách phù hợp thể sáng tạo, độc đáo lời giải skkn Bước Xử lý điều vừa mô tả theo yêu cầu toán cách giải nghiệm biến đổi thành kết giúp cho việc hình thành quy tắc hay quy luật thoả mãn u cầu tốn Hồn thành bước thành công mà học sinh làm tốt, quan trọng xử lí thành cơng bước Trong bước thường nảy sinh vấn đề kết thu thường phép biến đổi hệ Việc khảo sát ngược lại cần thiết, giải vấn đề tồn tình Hướng dẫn học sinh tập luyện theo tập thiết kế sau: 3.2.1 Thiết lập hệ thức truy hồi toán số Ví dụ Cho số nguyên dương Tìm số tập (kể tập rỗng) mà không chứa hai số nguyên dương liên tiếp Lời giải Gọi số phải tìm Dễ thấy Chẳng hạn với có tập thoả ; ; ; ; Gọi họ tập có tính chất nêu Mỗi tập gồm hai loại: Loại gồm tập chứa phần tử Loại gồm tập không chứa phần tử Nếu tập loại khơng chứa Do đó, bỏ khỏi phần tử ta tập Ngược lại với tập tập tập loại Như số tập loại Mỗi tập loại tập ngược lại Như tập loại Do ta có hệ thức sau: Dãy Fibonaci có Với Suy Vậy , Ví dụ (Romani 2003) Cho số nguyên dương Có số tự nhiên có chữ số lập từ chữ số {2; 3; 7; 9} chia hết cho Lời giải Gọi tập hợp gồm tất số có chữ số lập từ chữ số {2; 3; 7; 9} Gọi tập hợp gồm tất số có chữ số mà chia hết cho 3, chia dư 1, chia dư Khi ta có Lấy phần tử thuộc vào thuộc Với ta có: , bỏ phần tử cuối ta phần tử skkn - Nếu hay cách thêm vào chữ số cuối để phần tử thuộc , có cách thêm vào chữ số cuối để phần tử thuộc , có cách thêm vào chữ số cuối để phần tử thuộc - Nếu hay cách thêm vào chữ số cuối để phần tử thuộc , có cách thêm vào chữ số cuối để phần tử thuộc , có cách thêm vào chữ số cuối để phần tử - Nếu hay cách thêm vào chữ số cuối để phần tử thuộc , có cách để thêm vào chữ số cuối để phần tử , có cách thêm vào chữ số cuối để phần tử Vậy ta có hệ Ta có: Có Ví dụ (THTT 5/2010) Các số 1, 2, 3, 4, lập số tự nhiên có chữ số cho số chứa số lẻ chữ số số chẵn chữ số ( số nguyên dương cho trước)? Lời giải Với số nguyên dương , ký hiệu tập tất số tự nhiên có chữ số lập từ số 1, 2, 3, 4, tập số tự nhiên có chữ số lập từ cac số 1, 2, 3, 4, theo thứ tự chứa số lẻ chữ số chẵn chữ số 2, chứa số lẻ chữ số lẻ chữ số 2, chứa số chẵn chữ số chẵn chữ số 2, chứa số chẵn chữ số lẻ chữ số Dễ thấy đôi rời Lấy phần tử , bỏ phần tử cuối ta phần tử , ngược lại lấy phần tử - Nếu có cách thêm vào chữ số cuối để tạo phần tử - Nếu có cách thêm vào chữ số cuối để tạo phần tử - Nếu có cách thêm vào chữ số cuối để tạo ta phần tử skkn Ví dụ Xác định số hoán vị với cho có số thỏa mãn Lời giải Ta gọi Sn số hoán vị thỏa mãn tốn Chia hốn vị thành hai nhóm: Nhóm 1: ta thấy số hốn vị nhóm hốn vị nhóm hốn vị tốn số ghép thêm số cuối Nhóm 2: với với số hốn vị thỏa mãn điều kiện toán số chọn số, tức Do số hốn vị cần tìm nhóm là: Ta có hệ thức truy hồi: với Từ ta co thể viết: ……………… Cộng lại ta có: (vì ) Vậy ta có với Ví dụ Tìm số dãy n phần tử cho số phần tử dãy bội số Lời giải Ta gọi dãy có phần tử với n- dãy gọi số - dãy mà có số phần tử chia cho tương ứng số dư 0; 1; Với xét - dãy có số phần tử chia hết cho + Nếu dãy có số phần tử chia hết cho + Nếu dãy có số phần tử chia cho dư Từ ta có Hồn tồn tương tự ta có: Một mặt khác, số lượng n- dãy là: Từ (4) suy thay vào (3) được: Khi từ (1) ta có: nên: 11 skkn Hay Từ đây, đặt ta được: Phương trình đặc trưng dãy có hai nghiệm phức Theo dạng lượng giác dãy nên nghiệm tổng quát với ta có Hơn từ tính Vì ta có với hay kết cần tìm Ví dụ Cho tập hợp Tìm số cách chia thành tập khác rỗng cho tập không chứa hai số nguyên liên tiếp Lời giải Ký hiệu số cách chia tập thành tập không chứa rỗng mà tập không chứa phần tử liên tiếp Ta tìm cách tính theo Giả sử ta chia tập tổng số phần tử chúng Bổ sung thêm phần tử Sẽ có khả xảy ra: - Khả 1: không tạo thành tập (tức tập chứa có phần tử khác) Khi đó, rõ ràng ta có cách bổ sung (vào tập không chứa ) Vậy số cách xây dựng tập trường hợp - Khả 2: tạo thành tập Khi đó, số từ đến phải nằm tập hợp cịn lại Có thể thấy có cách chia thỏa mãn (tập chứa số chẵn tập lại chứa số lẻ) Do đó, số cách trường hợp cách Vậy ta thu công thức truy hồi Mặt khác, kiểm tra trực tiếp ta có , nên: Như vậy, số cách chia tập hợp thỏa mãn đề 3.2.2 Thiết lập hệ thức truy hồi toán liên quan đến xếp, phân chia Ví dụ Có n người ngồi thành hàng ngang vào n ghế Hỏi có cách lập hàng cho n người mà cách lập hàng mới: Mỗi người 12 skkn giữ ngun vị trí đổi chỗ cho người liền bên trái, đổi chỗ người người liền bên phải Lời giải Gọi tập tất cách lập hàng thỏa mãn điều kiện toán Suy (hai người đổi chỗ cho nhau) Đặt Xét người ngồi vị trí đầu tiên: Nếu người ngồi n chỗ xếp người cịn lại, có cách Nếu người đổi chỗ cho người thứ người có cách xếp, ta xếp cho người cịn lại có cách giữ ngun người cịn lại, có cách, áp dụng quy tắc nhân cộng trường hợp có cách Áp dụng quy tắc cộng cho hai trường hợp ta được: Ta có cơng thức truy hồi cho dãy: Xét dãy , ta Đây dãy số Phibonaxi, tùy tính dãy xuất phát từ 1, toán dãy xuất phát từ 0, ta có cách xây dựng dạng tổng quát dãy Phương trình đặc trưng Dạng tổng quát Thay giá trị đầu dãy, ta hệ: Do đó: hay Vậy giá trị cần tìm 13 skkn Ví dụ Trong mặt phẳng cho đường thẳng hai đường thẳng cắt khơng có ba đường đồng quy Tính số phần mặt phẳng mà đường thẳng chia Lời giải Gọi số phần mặt phẳng mà đường thẳng có tính chất chia Ta có Với số phần mặt phẳng mà đường thẳng chia Xét đường thẳng thứ Đường thẳng bị đường thẳng cắt theo giao điểm bị chia thành phần Mỗi phần chia đơi phần mặt phẳng mà qua, thêm phần Vậy ta có cơng thức truy hồi với Đến ta có: Vậy ta có với Ví dụ (IMO 1979) Giả sử hai đỉnh đối diện bát giác Một ếch bắt đầu nhảy từ đỉnh Tại đỉnh bát giác (trừ đỉnh ), cú nhẩy ếch nhảy tới hai đỉnh kề với đỉnh Khi ếch nhảy vào đỉnh bị kẹt vĩnh viễn Cho trước số nguyên dương Hỏi với cú nhảy, có cách để ếch nhảy vào đỉnh Lời giải Gọi số cách để ếch nhảy vào A đỉnh Dễ thấy Giả sử B H từ theo chiều kim đồng hồ đỉnh Từ ếch đến phải qua C số lẻ bước; Từ ếch đến phải G qua số lẻ bước Từ ếch đến phải qua số số lẻ bước Vậy số bước D đến dứt khoát phải số chẵn Nói F cách khác lẻ khơng có cách E nhảy vào Vậy Ta cần tính Xuất phát từ , với hai bước nhảy ếch có cách sau: 1) 2) 3) 4) Nếu theo cách 1) số cách tới Nếu theo cách 2) số cách tới 14 skkn Gọi số cách để ếch, xuất phát tương ứng từ , nhảy vào đỉnh với cú nhảy Vì lý đối xứng ta có Vậy theo cách 3) số cách tới ; Nếu theo cách 4) số cách tới Theo quy tắc cộng ta có (5) Xuất phát từ , với hai bước nhảy ếch có cách sau: 1c) 2c) 3c) 4c) Nếu theo cách 1c) số cách tới Nếu theo cách 2c) số cách tới Nếu theo cách 3c) số cách tới Nếu theo cách 4c) số cách tới Theo quy tắc cộng ta có: (6) Từ (5) (6) rút Thay vào (5) ta Đặt ta có , Bằng cách giải phương trình đặc trưng ta đến cơng thức sau: Ví dụ Cho điểm với theo thứ tự nằm đường thẳng Người ta tơ màu tất điểm màu: xanh, đỏ, vàng, cam tím thỏa mãn hai điều kiện: + Mỗi điểm tơ màu + Hai điểm tô màu hai điểm tơ màu xanh Hỏi có cách tô vậy? Lời giải Gọi số cách tơ thỏa mãn điều kiện có điểm cuối tơ màu xanh, số cách tô thỏa mãn điều kiện có điểm cuối khơng tơ màu xanh Ta tính trực tiếp Xét Rõ ràng tô màu xanh tơ xanh khơng xanh nên Nếu khơng tơ xanh tơ màu lại phải tô màu xanh màu với (khác màu xanh) Từ suy Kết hợp (1), (2) với ta có: Và 15 skkn Giải hệ ta với Vậy số cách tơ màu cần tìm là: với Ví dụ Cho tứ giác có cạnh mét Một bọ xuất phát từ đỉnh , di chuyển theo quy tắc: đỉnh đến chọn cạnh đỉnh để di chuyển theo cạnh đến đỉnh khác Tìm số cách để bọ trở lại đỉnh mét với Lời giải Gọi số cách để sau n mét bọ tương ứng đến Với i) Do tính đối xứng đỉnh nên ii) Muốn đến phải từ thêm mét nên iii) Tương tự: Từ (1) (2) ta có: Kết hợp với (3) ta được: Hay với Dãy số có phương trình đặc trưng số hạng tổng qt dãy có dạng: với Kêt hợp với có nghiệm ta tính kết với Ví dụ Cho số tự nhiên có cặp vợ chồng tham gia lễ hội hóa trang Có cách ghép họ thành cặp nhảy cho khơng có cặp vợ chồng ? Lời giải Ký hiệu cặp vợ chồng số cách xếp cặp nhảy cho khơng có cặp vợ chồng Với có cách xếp với nên ta xét hai trường hợp: Trường hợp 1: Ghép với ghép với loại cặp Trường hợp có cách ghép với Khi cách có cách ghép cặp lại 16 skkn Trường hợp 2: Ghép với khơng ghép với Khi có cách ghép với loại hai người đó, ghép tùy ý người cịn lại có cách Trường hợp có cách Do vậy, kết hợp hai trường hợp ta có hệ thức truy hồi: với Đây dãy truy hồi cấp hai hệ số ta làm theo cách sau đây: Biến đổi Tính trực tiếp thay vào ta có: Từ suy Vậy cuối ta có: với 3.2.3 Thiết lập hệ thức truy hồi thông qua xây dựng mơ hình giải tốn tổ hợp Việc xây dựng mơ hình giúp học sinh hình dung vấn đề cách tường minh việc đếm, tính tốn kiểm nghiệm cách trực quan Với cách dùng bảng để giải tốn tổ hợp, ta tiếp cận vấn đề cách trực quan hơn, vấn đề khó xử lí cách tương đối nhẹ nhàng Ta tìm hiểu số tốn với ý tưởng dùng bảng để giải Ví dụ (VMO 2009) Cho số nguyên dương Ký hiệu tập hợp số nguyên dương Hỏi có tập thỏa mãn tính chất: S khơng tồn hai số mà Lời giải Ứng với số nguyên dương , đặt số nguyên dương vào bảng sau: … Ta xác định tổng số cách chọn số ô vuông từ bảng (có thể khơng chọn số nào) thoả mãn hai điều kiện đây: (i) Hai ô vuông kề (tức hai ô chứa hai số liền hai số cách n đơn vị) không chọn đồng thời (ii) Hai ô chứa số không chọn đồng thời Rõ ràng số cách chọn số tập tập cần tìm Đặt số cách chọn Ta xét thêm số cách chọn số ô vuông từ bảng thoả mãn điều kiện (i) có số thay đổi sau: 17 skkn : Bảng chứa đầy đủ số từ đến hai vng chứa chọn đồng thời : Bảng khơng có chứa vng góc bảng, chẳng hạn vng chứa số : Bảng khơng tính hai vng góc bảng chứa hai số liên tiếp Ta chứng minh quan hệ sau: Thật vậy: Để tính số cách chọn vng từ bảng ta chia làm trường hợp: - Các ô chứa khơng chọn đồng thời Số cách chọn - Các ô chứa chọn đồng thời Khi chứa số khơng chọn, bảng có dạng sau: … Bảng chứa nên xem tương ứng với bảng: … Rõ ràng, số cách chọn ô vuông từ bảng thỏa điều kiện Do trường hợp rời nên Cũng để tính số cách chọn vng từ bảng ta chia làm trường hợp: - Các ô vuông chứa không chọn bảng có dạng: … Ta thấy bảng chứa ô nên xem xét tương ứng với bảng sau … 18 skkn Số cách chọn ô vuông từ bảng thỏa man điều kiện - Chọn vng chứa số Khi vng chứa chọn, bảng có dạng không … Ta thấy bảng xem tương ứng bảng sau: … Số cách chọn ô vuông từ bảng thỏa mãn điều kiện - Các trường hợp rời nên Các kết chứng minh tương tự Từ đó, ta chứng cơng thức truy hồi Thật vậy, Từ ta suy Thay vào ta có: hay Từ suy Hay tương đương với Thay vào ta có: Mặt khác dễ thấy Từ ta xác định cơng thức tổng qt Dãy có phương trình đặc trưng Từ ta suy số tập cần tìm là: 19 skkn Ví dụ Cho Một tập gọi tốt có hai phần tử Tìm số tập hợp thỏa mãn điều kiện tập tốt với Lời giải Từ giả thiết, ta viết lại tốn sau: “Cho hình chữ nhật kích thước chia thành vng đơn vị Đánh số ô từ trái qua phải (hàng 1) (hàng 2) Lát chúng quân domino cho chúng phủ kín hình chữ nhật khơng có qn đè lên Ngồi ra, với lẻ ta bổ sung thêm quân domino “đặc biệt” phủ kín Đếm số cách lát thỏa mãn đề bài” Với toán này, xét số cách lát thỏa mãn đề với hình chữ nhật kích thước Ta tìm cách xây dựng công thưc truy hồi cho Giả sử ta lát hình chữ nhật quân domino Xét quân domino phủ lên ô vuông Có khả xảy ra: Khả 1: Quân domino phủ lên Rõ ràng phần cịn lại hình chữ nhật kích thước , số cách lát tình Khả 2: Qn domino phủ lên Như vậy, buộc phải có quân domino phủ lên thước đó, phần cịn lại hình chữ nhật kích Tức số cách lát tình Khả 3: Quân domino phủ lên (với lẻ) Khi đó, phần cịn lại lát quân domino nằm ngang (nếu có qn domino nằm dọc chia hình chữ nhật thành phần, phần có số lẻ chưa lát (do quân domino “đặc biệt” gây ra)) Tức trường hợp có cách lát Như vậy, ta xây dựng công thức truy hồi sau: (lưu ý n chẵn khơng có qn domino “đặc biệt” nên phải bớt cách ) (lập luận tương tự với quân domino “đặc biệt”) Bằng quy nạp ta thu Fibonacci thứ dãy Fibonacci xác định công thức Cuối ta công thức tổng quát: 20 skkn số 3.2.4 Bài tập luyện tập Bài Trong mặt phẳng cho đường trịn hai đường tròn cắt hai điểm phân biệt khơng có ba đường có điểm chung Tính số phần mặt phẳng mà đường trịn chia Bài Có xâu gồm ký tự với ký tự cho khơng có hai ký tự đứng cạnh ? Bài Có học sinh tham gia kỳ thi trắc nghiệm bố trí ngồi bàn trịn Đề thi trắc nghiệm có mã đề Hỏi có cách phát đề cho thí sinh cho hai thí sinh gần nhận hai đề có mã khác Bài (Trung Quốc 1989) Có thể chia 1989 điểm thành 30 nhóm có cỡ nhóm khơng để số tập hợp gồm điểm mà điểm chọn từ nhóm khác lớn Bài (Dự tuyển IMO lần thứ 38) Trong thành phố có gái chàng trai cô gái quen biết chàng trai Trong thành phố có gái chàng trai Các cô gái gi quen chàng trai mà không quen biết chàng trai khác Ký hiệu số cách thức khác để cô gái từ thành phố thành phố khiêu vũ với chàng trai từ thành phố họ tạo thành cặp, cô gái với chàng trai mà cô không quen biết Chứng minh Bài (IMO 1967) Trong đấu thể thao tổng số huy chương phát n ngày thi đấu Trong ngày thứ người ta phát huy chương phần bảy số huy chương lại Trong ngày thi thứ hai người ta phát hai huy chương phần bảy số huy chương lại Trong ngày o tiếp tục phát tương tự Ngày sau cịn lại huy chương để phát Hỏi có huy chương thưởng phát ngày? Bài (VMO 1990) Các em nhỏ lớp đứng thành vòng tròn chơi trò chia kẹo Cô giáo cho em số chẵn kẹo Một em đưa nửa số kẹo cho bạn bên tay phải Tiếp em vừa nhận kẹo bạn xong làm số kẹo số chẵn, cịn số lẻ nhận kẹo cô trước đưa cho bạn Các em đưa kẹo theo vòng tròn Chứng minh dẫn đến trường hợp có em đưa nửa số kẹo khơng phải cho bạn mà giáo số kẹo em Bài (VMO 2002) Cho tập gồm tất số nguyên đoạn Gọi tập hợp gồm tất tập không rỗng Với tập thuộc ký hiệu trung bình cộng tất số thuộc Đặt tổng lấy theo tất tập hợp thuộc Tìm Bài 10 Xếp học sinh ngồi quanh bàn trịn Ngăn hàng để có tất loại đề thi Hỏi có cách phát đề cho học sinh cho khơng có học sinh ngồi cạnh có đề thi ? 21 skkn Bài 11 (IMO 2011) Giả sử số nguyên Cho đĩa cân có trọng lượng Ta muốn đặt lên cân cân, theo cách để đảm bảo đĩa cân bên phải không nặng đĩa cân bên trái Ở bước ta chọn cân chưa đặt lên đặt lên đĩa bên phải đĩa bên trái, tất cân đặt lên đĩa Hỏi có cách để thực việc đặt cân theo mục đích đề ra? Bài 12 (VMO 1997) n đường tròn chia mặt phẳng làm phần cặp đường trịn có hai điểm chung khơng có đường trịn có điểm chung Bài 13 (Estonia 2007) Xét lưới ô vuông Với nước ta tơ màu hình vng đơn vị nằm giao hàng cột Một nước hợp lên hình vng trước khơng tơ Hỏi số nước lớn để tơ tồn lưới ô vuông bao nhiêu? Bài 14 Cho số Cho đa giác lồi Hỏi có tất cách tô màu đỉnh đa giác lồi đo màu cho cách tô hai đỉnh liền kề tơ màu Bài 15 Có cách chia kẹo cho em bé ( ) cho em bé có kẹo Bài 16 Các số ( ) viết liên tiếp vòng trịn Hai số khơng kề gọi liên thông hai cung tạo chúng chứa tồn số bé chúng Tìm số cặp liên thơng Tổ chức thử nghiệm kết đạt 4.1 Tổ chức thử nghiệm Mục đích thử nghiệm: Khẳng định tính hiệu tính khả thi việc dạy toán đếm số phần tử tập hợp phương pháp truy hồi với việc rèn luyện kĩ giải tốn cho học sinh đầu hình thành lực giải vấn đề toán học, lực mơ hình hố tốn học cho học sinh Tổ chức thử nghiệm: Đề tài tiến hành giảng dạy lớp 10 Toán năm học 2021 – 2022 Quy trình thực hiện: Bước Khảo sát kiến thức tảng, đánh giá thực trạng việc học chủ đề tổ hợp học sinh lớp 10 toán Bước Hệ thống hoá kiến thức phép đếm dãy truy hồi tuyến tính Bước Trang bị kiến thức tảng cho học sinh thông qua dạy học giải vấn đề Bước Tập luyện hệ thống tập thiết kế cho học sinh thông Bước Tổ chức cho học sinh viết chuyên đề thu hoạch kết đạt Bước Đánh giá hiệu bước đầu sáng kiến 4.2 Kết đạt Để đánh giá kết đạt đề tài, tơi so sánh khả giải tốn đếm số phần tử tập hợp truy hồi so sánh thái độ, tích cực chủ động học tập học sinh thời điểm trước sau thực nghiệm 22 skkn Ở thời điểm trước tiến hành dạy thử nghiệm, qua việc tiến hành dạy học trực tiếp lớp, cho thấy học sinh cịn nhiều hạn chế học tốn tổ hợp Học sinh chưa nắm kiến thức phép đếm Học sinh chưa biết tìm mối liên hệ đại lượng không thiết lập hệ thức liên hệ đại lượng Đặc biệt đưa toán thiết lập hệ thức truy hồi thơng qua mơ hình học sinh khơng thể hiểu nhiều học sinh thể khơng có ý Nhiều em khơng hứng thú có hứng thú với tổ hợp Ở thời điểm thực nghiệm, tiến hành trang bị kiến thức quy tắc đếm công thức truy hồi học sinh dần nhận mối liên hệ hiểu mối liên hệ, hiểu công thức Các em dần nắm kiến thức đặc biệt hiểu mối liên hệ Các tiết học trở nên sôi học sinh học tập tích cực Các em sẵn sàng trình bày ý tưởng mình, thảo luận sơi vấn đề đặt Qua thảo luận em khám phá tính chất mối liên hệ Học sinh thiết lập hệ thức truy hồi để giải tốn Tơi nhận thấy tích cực, hứng thú học sinh tiếp nhận toán thiết lập hệ thức truy hồi Khi giáo viên đưa toán dạng này, học sinh thực bị lôi cuốn, em sẵn sàng nhận nhiệm vụ, tìm tịi mối liên hệ, thảo luận bình luận hệ thức cách thiết lập hệ thức Học sinh có thay đổi, tiếp nhận tốn lí sau: - Học sinh học tập hứng thú em trang bị kiến thức tảng vững, điều giúp em hiểu ý nghĩa đại lượng tự tìm tịi, khám phá, nhận mối liên hệ - Học sinh ý tích cực học tập em nhận thấy thú vị thiết lập hệ thức đẹp thể mối liên hệ đại lượng toán tổ hợp thực tế, em có nhu cầu kiểm chứng kết thiết lập - Học sinh tham gia học tập sôi mạnh dạn hơn, học sinh cảm thấy tự tin vấn đề trình bày vấn đề, định hướng lời giải từ có nhu cầu trao đổi để đưa lập luận có Qua kết thực nghiệm khẳng định tính hiệu tính phù hợp tốn đếm truy hồi với việc bồi dưỡng học sinh có khiếu toán III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận - Sáng kiến kinh nghiệm lí giải phù hợp dạy chủ đền đếm truy hồi cho học sinh chuyên toán - Sáng kiến kinh nghiệm thiết kế tập phù hợp với mục tiêu bời dưỡng học sinh có khiếu toán - Sáng kiến kinh nghiệm bước đầu khẳng định tính hiệu tốn đếm số phần tử tập hợp truy hồi rèn luyện kĩ giải toán cho học sinh mang lại hứng thú học toán cho học sinh - Sáng kiến kinh nghiệm bổ sung tài liệu tham khảo vào chương trình dành cho học sinh chun tốn Kiến nghị Các dạng toán tổ hợp dạng tốn gần với đời sống thực tiễn Vì vậy, cần tiếp tục sâu nghiên cứu dạng toán này, cách giải dạng 23 skkn tốn để giúp học sinh nhìn thấy ứng dụng thú vị toán học thực tiễn Thơng qua tốn tổ hợp tốn học đến gần với thực tiễn sống học sinh lan truyền cảm hứng tình u tốn học cho học sinh Vì thời gian có hạn, với phạm vi sáng kiến kinh nghiệm đề tài mà tơi nghiên cứu cịn hạn chế, chắn khơng tránh khỏi sai xót, mong độc giả góp ý kiến để đề tài hồn thiện Cuối xin chân thành cảm ơn đồng nghiệp tổ chuyên môn em học sinh giúp đỡ tơi hồn thành sáng kiến kinh nghiệm XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày tháng 05 năm 2022 Tơi xin cam đoan sáng kiến kinh viết, khơng chép nội dung người khác Thịnh Thị Bạch Tuyết 24 skkn Tài liệu tham khảo [1] Bộ Giáo dục Đào tạo (2012), Thông tư ban hành quy chế tổ chức hoạt động trường trung học phổ thông chuyên [2] Quyết định phê duyệt Đề án phát triển hệ thống trường trung học phổ thông chuyên giai đoạn 2010-2020 (Số: 959/QĐ-TTg) (2010), Hà Nội [3] Trần Nam Dũng (2011), Vai trị tốn tổ hợp việc rèn luyện tới toán học kĩ giải toán, website: dien dantoanhoc.net [4] Các thi Olympic Tốn trung học phổ thơng Việt Nam (1990 – 2006) (2007), Nhà xuất Giáo dục [5] Trần Nam Dũng (2017), Các kì thi tốn VMO lời giải bình luận, Nhà xuất giới [6] Nguyễn Văn Mậu (2008), Chuyên đề chọn lọc Tổ hợp Toán rời rạc, Nhà xuất Giáo dục 25 skkn ... chọn đề tài ? ?Dạy học chủ đề sử dụng hệ thức truy hồi giải toán tổ hợp cho học sinh lớp 10 chun tốn” Mục đích nghiên cứu Thiết kế toán đếm truy hồi dạy cho học sinh nhằm phát triển kĩ giải toán. .. trình dành cho học sinh chuyên toán Đối tượng nghiên cứu Đề tài tập trung nghiên cứu toán sử dụng hệ thức truy hồi giải toán đếm số phần tử tập hợp dạy cho học sinh lớp 10 chuyên toán Phương... giảng dạy chủ đề tổ hợp cho học sinh lớp 10 Toán 2, cho thấy học sinh cịn gặp khó khăn tiếp cận với dạng toán Các toán tổ hợp thường tốn khó Trong q trình giảng dạy, giáo viên hướng dẫn học sinh