Ứng dụng công thức viète trong giải toán bậc phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRỊNH THỊ NGỌC HIỀN ỨNG DỤNG CÔNG THỨC VIÈTE TRONG GIẢI TỐN BẬC PHỔ THƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng – Năm 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRỊNH THỊ NGỌC HIỀN ỨNG DỤNG CƠNG THỨC VIÈTE TRONG GIẢI TỐN BẬC PHỔ THƠNG Chun ngành: Phƣơng pháp Tốn sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS NGUYỄN NGỌC CHÂU Đà Nẵng – Năm 2015 LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan công trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Người thực Trịnh Thị Ngọc Hiền MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Cấu trúc luận văn CHƢƠNG CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 ĐA THỨC MỘT ẨN 1.1.1 Xây dựng vành đa thức ẩn 1.1.2 Bậc đa thức ẩn 1.1.3 Phép chia có dư, đồng dư thức 1.1.4 Nghiệm đa thức ẩn 1.2 ĐA THỨC NHIỀU ẨN 1.2.1 Xây dựng vành đa thức n ẩn 1.2.2 Bậc đa thức nhiều ẩn 1.2.3 Đa thức đối xứng 1.2.4 Công thức Viète 11 1.3 ĐA THỨC VỚI CÁC YẾU TỐ GIẢI TÍCH 12 1.4 DÃY TRUY HỒI VÀ ĐA THỨC ĐẶC TRƯNG 13 1.5 MỘT SỐ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC VÀ CÁC BẤT ĐẲNG THỨC QUEN BIẾT 13 1.5.1 Công thức lượng giác 13 1.5.2 Các bất đẳng thức quen biết 15 CHƢƠNG NHỮNG ỨNG DỤNG CỦA CÔNG THỨC VIÈTE 16 2.1 ỨNG DỤNG CÔNG THỨC VIÈTE TRONG ĐẠI SỐ 16 2.1.1 Những vấn đề liên quan đến phương trình đa thức 16 2.1.2 Giải hệ phương trình 37 2.1.3 Các toán đa thức 43 2.1.4 Chứng minh bất đẳng thức liên quan đến đa thức 48 2.1.5 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức đại số 53 2.2 ỨNG DỤNG CÔNG THỨC VIÈTE TRONG SỐ HỌC 58 2.3 ỨNG DỤNG CƠNG THỨC VIÈTE TRONG GIẢI TÍCH 63 2.3.1 Các toán liên quan đến giao điểm đồ thị hàm số với đường thẳng 63 2.3.2 Các toán cực trị hàm số 68 2.3.3 Các toán tiếp tuyến 72 2.4 ỨNG DỤNG CÔNG THỨC VIÈTE TRONG LƯỢNG GIÁC 77 2.5 ỨNG DỤNG CÔNG THỨC VIÈTE TRONG HÌNH HỌC 85 KẾT LUẬN 94 TÀI LIỆU THAM KHẢO 95 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (Bản sao) MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Đa thức khái niệm đại số nói riêng tốn học nói chung Bài tốn tìm nghiệm đa thức, phương trình đại số thức nhà toán học quan tâm nghiên cứu nhiều kỷ Mặc dù lời giải toán tìm đa thức bậc nhỏ 5, nhiều tính chất nghiệm đa thức phát Một tính chất mối liên hệ nghiệm hệ tử đa thức, thể công thức tiếng – Công thức Viète Ứng dụng công thức Viète phong phú hiệu Trong chương trình tốn bậc phổ thơng, học sinh học công thức Viète tam thức bậc hai Với trường chuyên lớp chọn, học sinh cịn học cơng thức Viète đa thức bậc ba, nhiên với thời lượng không nhiều mức độ định Với mục đích tìm hiểu hệ thống hóa ứng dụng cơng thức Viète chương trình tốn học phổ thông, chọn đề tài cho luận văn thạc sĩ là: “ Ứng dụng cơng thức Viète giải tốn bậc phổ thơng” Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu, nghiên cứu ứng dụng cơng thức Viète giải tốn - Hệ thống phân loại tốn giải công thức Viète - Định hướng việc ứng dụng cơng thức Viète cho lớp tốn Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu - Đa thức ẩn, đa thức nhiều ẩn, đa thức đối xứng, phương trình, hệ phương trình đối xứng - Cơng thức Viète ứng dụng chương trình tốn bậc phổ thơng - Các dạng tốn phổ thơng giải công thức Viète Phƣơng pháp nghiên cứu - Thu thập, tổng hợp, hệ thống tài liệu có nội dung liên quan đến đề tài luận văn, đặc biệt tài liệu liên quan đến cơng thức Viète - Phân tích, nghiên cứu tài liệu để thực đề tài luận văn - Trao đổi, thảo luận, tham khảo ý kiến giáo viên hướng dẫn, chuyên gia đồng nghiệp Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Cơng thức Viète ứng dụng có vai trị quan trọng, mở hướng giải cho nhiều tốn có liên quan đến nghiệm phương trình đại số cách phong phú đa dạng toán liên quan đến hàm số, số học, giải tích, hình học,… Việc dạy cơng thức Viète ứng dụng chương trình tốn bậc phổ thơng có ý nghĩa đặc biệt làm cho học sinh hiểu sâu sắc nghiệm phương trình đại số Nêu quan hệ định tính, định lượng nghiệm số với hệ số phương trình đại số Giúp học sinh nhìn nhận tốn mối liên hệ sinh động ràng buộc biến số tham số, biến, nhằm góp phần nâng cao chất lượng học tập mơn tốn Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu kết luận nội dung luận văn chia thành hai chương: Chương Các kiến thức chuẩn bị Chương nhắc lại số kiến thức sở đại số, giải tích lượng giác đủ để làm sở cho chương sau Các chi tiết liên quan xem [9], [13], [18] Chương Những ứng dụng công thức Viète Chương nội dung luận văn, trình bày ứng dụng cơng thức Viète giải tốn bậc phổ thơng CHƢƠNG CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương nhắc lại số kiến thức sở đại số, giải tích lượng giác đủ để làm sở cho chương sau Các chi tiết liên quan xem [9], [13], [18] 1.1 ĐA THỨC MỘT ẨN 1.1.1 Xây dựng vành đa thức ẩn Giả sử A vành giao hốn, có đơn vị kí hiệu Ta gọi P tập hợp dãy (a0 , a1 , , an , )  A, với i   tất trừ số hữu hạn Trên P ta định nghĩa hai phép toán cộng nhân sau: (a0 , a1 , , an , )  (b0 , b1 , , bn , )  (a0  b0 , a1  b1 , , an  bn , ) (1.1) (a0 , a1 , , an , )  (b0 , b1 , , bn , )  (c0 , c1 , , cn , ) với ck  a0bk  a1bk   ak b0   ab , i  j k i j (1.2) k  0, 1, 2, Vì bi tất trừ số hữu hạn nên  bi tất trừ số hữu hạn Vậy (1.1) (1.2) xác định hai phép toán P Tập P với hai phép toán cộng nhân vành giao hốn có đơn vị Phần tử không phép cộng dãy (0, 0, ) , phần tử đơn vị phép nhân (1, 0, 0, ) Xét dãy x  (0, 1, 0, , 0, )  P Theo quy tắc phép nhân P, ta có: x2  (0, 0, 1, 0, , 0, ) x3  (0, 0, 0, 1, 0, , 0, ) x n  (0, , 0, 1, 0, , 0, ) n Ta quy ước x  (1, 0, 0, ) Mặt khác, xét ánh xạ: A  P a (a, 0, 0, ) Dễ dàng kiểm chứng ánh xạ đơn cấu vành, ta đồng phần tử a  A với dãy (a, 0, 0, )  P xem A vành vành P Vì phần tử P dãy (a0 , a1 , , an , )  trừ tất số hữu hạn, nên phần tử P có dạng (a0 , a1 , , an , 0, 0, ) a0 , a1 , , an  A (không thiết khác 0) Việc đồng a với (a, 0, 0, ) việc đưa vào dãy x cho phép ta viết (a0 , a1 , , an ,0,0, )  (a0 ,0,0, )  (0, a1 ,0,0, )   (0, ,0, an ,0, )  (a0 , 0, 0, )  (a1 , 0, 0, )(0, 1, 0, )   (an , 0, 0, )(0, ,0, 1, 0, ) n  a0 x  a1 x  a2 x   an x n Định nghĩa 1.1 Vành P định nghĩa gọi vành đa thức ẩn x lấy hệ tử A, gọi tắt vành đa thức ẩn x A, kí hiệu A[ x] Các phần tử A[ x] gọi đa thức thức ẩn x lấy hệ tử A thường kí hiệu f ( x), g ( x), Trong đa thức f ( x)  a0 x0  a1 x  a2 x   an x n , , i  0, n gọi hệ tử đa thức, xi gọi hạng tử đa thức đặc biệt a0  a0 x0 gọi hạng tử tự đa thức Trên A[ x] lấy g ( x)  b0 x0  b1 x   bn x n ,  bi , i  0, n f ( x)  a0 x0  a1 x   an x n f ( x)  g ( x) và 82 64 z  112 z  56 z   Áp dụng cơng thức Viète ta có: T  sin  2  sin  3 x1 x2  x2 x3  x3 x1 x1 x2 x3 sin  6 56 64 64  1   x1 x2 x3  Bài toán 2.4.5 [8] Tính tổng a) A  tan 200  tan 400  tan 800 b) B  cos50  cos770  cos1490  cos 2210  cos 2930 Giải a) Ta có: 200 , 400 , 800 nghiệm phương trình tan 3x  3tan x  tan x   3tan x Hay  3tan x  tan x  3  1  3tan x   tan x  33tan x  27 tan x   Do tan 200 : t1 , tan 400 : t2 , tan 800 : t3 nghiệm phương trình t  33t  27t   t1  t2  t3  33  Áp dụng công thức Viète ta có: t1 t2  t2 t3  t3 t1  27  t1 t2 t3  Do đó: A  t13  t23  t33  (t1  t2  t3 )3  3(t1  t2  t3 )(t1 t2  t2 t3  t3 t1 )  3t1 t2 t3  33273 83 b) Ta có: cos5a  16cos5 a  20cos3 a  5cos a Với giá trị a  50 , 770 , 1490 , 2210 , 2930  cos5a  cos 250 Do cos50  x1 ; c o s 7 x2 c; o s 10 4 9x3 c ;o s 20  1x4 cos 2930  x5 nghiệm đa thức P( x)  16 x5  20 x3  5x  cos 250 Theo công thức Viète ta có: B  x1  x2  x3  x4  x5  Bài toán 2.4.6 [8] Đặt un  cos n   cos n  16 3 5  cos n ; n  7 a) Tính u1 , u1 , u3 , u4 b) Chứng minh un hữu tỉ với số nguyên dương Lời giải a) Ta có    , 3 5 nghiệm phương trình cos3x   cos x , 7 4cos3 x  3cos x   (8cos4 x  8cos2 x  1) 8cos4 x  4cos3 x  8cos x  3cos x     cos x  1 8cos3 x  8cos3 x  4cos2 x  4cos x    t1 ; cos 3 5  t2 ; cos  t3 nghiệm 7 phương trình 8t  4t  4t   (2.21) Đặt t  cos x cos   4cos x  4cos x  1   t  t  t     Áp dụng cơng thức Viète ta có: t1t2  t2t3  t3t1     t t t     ; 84 u1  t1  t2  t3  Do đó: u2  t12  t22  t32  (t1  t2  t3 )2  2(t1t2  t2t3  t3t1 )  Từ (2.21) ta suy ti3  4ti2  4ti   u3  t13  t23  t33   u4  t14  t24  t34  1   4 ti4  4ti3  4ti2  ti 4(t12  t22  t32 )  4(t1  t2  t3 )  1  4(t13  t23  t33 )  4(t12  t2  t32 )  (t1  t2  t3 ) 13   16 b) cos Ta có: un  cos n   cos n 3 5  cos n ; n  7  3 cos ; cos ; 7 5 nghiệm phương trình (2.21)  8cos3 x  4cos2 x  4cos x   8cosn1 x  4cosn x  4cos1 x  cosn2 x  8un1  4un  4un 1  un 2 , n  Do theo quy nạp , u1 , u1 , u3 hữu tỉ nên u4 hữu tỉ un , un 1 , un 2 hữu tỉ nên un1 hữu tỉ Các toán tương tự Bài [8] Tính tổng S  cos H  cos  10 cos  10  cos 3 9   cos 10 10 3 3 5 5 7 7 9  cos cos  cos cos  cos cos 10 10 10 10 10 10 10 Bài [16] Tính K  sin  24  sin 9 17  sin 24 24 85 Bài [16] Chứng minh tan  18  tan 5 7  tan  433 18 18 2.5 ỨNG DỤNG CƠNG THỨC VIÈTE TRONG HÌNH HỌC Ở phần trước, thấy công thức Viète đại số, lượng giác giải tích Mục trình bày ứng dụng công thức Viète tốn hình học Bài tốn 2.5.1 [2] Cho tam giác ABC cạnh a Gọi (d) đường thẳng dựng từ A vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M điểm (d) khác A, O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, H trực tâm tam giác MBC, N giao điểm OH (d) a) Chứng minh M thay đổi (d) AM.AN khơng đổi b) Tính AM, AN hai trường hợp MN  3a MN có giá trị nhỏ Lời giải a) Gọi I, J trung điểm BC, AC Vậy suy O giao điểm AI BJ MA  BJ Vì (d)  (ABC)    BJ  (MAC)  BJ  MC AC  BJ Lại có: BH  MC 86 MC  BJ  MC  (BHJ)  MC  OH;  MC  BH  OH  (BHJ) Chứng minh tương tự ta có: BM  OH Suy OH  (MBC)  OH  MI  OHI = OAN  90 Xét tam giác OHI tam giác OAN, có   HOI = AON Suy tam giác OHI đồng dạng với tam giác OAN (2.22)  OHI = MAI  90 Xét tam giác OHI tam giác MAI có   HIO = AIM Suy tam giác OHI đồng dạng với tam giác MAI (2.23) Từ (2.22) (2.23) ta suy tam giác OAN đồng dạng với tam giác MAI  AN OA a a   MA.AN  OA.AI mà OA = ; AI = AI MA Vậy MA.AN  a2 không đổi b) Đặt MA  x; NA  y MN  x  y Với MN  3a Bài toán cho trở thành tốn tìm hai số dương x ,  a2 xy   y biết  a x  y   Áp dụng cơng thức Viète x, y hai nghiệm phương trình X2  3a a2 a X   suy X  a X  2 MA  a  NA  a   Vậy  a  a NA  MA    2 87 Với MN có giá trị nhỏ Bài tốn trở thành tìm hai số dương x, y biết tích chúng khơng đổi tổng chúng nhỏ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương x, y ta có: x  y  xy  a Vậy x  y nhỏ x  y  a , lúc x  y  Vậy MA  NA  a a Bài toán 2.5.2 Cho tam giác ABC vng A có đường cao AH  5cm , BC  12cm Tính AB, AC Lời giải Đặt AB  x; AC  y; x, y  Áp dụng Định lý Py - ta - go vào tam giác vng ABC ta có: AB2  AC2  BC2  x2  y  144  ( x  y)2  xy  144 (2.24) Vì tam giác ABC tam giác vuông nên AB.AC  AH.BC  xy  5.12  60 Thay (2.25) vào (2.24) ta có ( x  y)2  2.60  144 (2.25)  x  y  24  xy  60 Suy  theo công thức Viète; x, y hai nghiệm phương  x  y  24 trình X  24 X  60   X  12  21 88  x  12  21; Vậy   x  12  21; y  12  21 y  12  21  AB  12  21;   AB  12  21;  AC  12  21 AC  12  21 Bài tốn 2.5.3 [26] Tìm diện tích bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC, cho biết cạnh tam giác ABC nghiệm thực phương trình x3  ax2  bx  c  Lời giải Gọi độ dài cạnh tam giác x, y, z; x, y, z  với x, y, z ba nghiệm phương trình x3  ax2  bx  c  , áp dụng công thức Viète ta x  y  z  a  có:  xy  yz  zx  b  xyz  c  Chu vi tam giác ABC p  x  y  z  a Ta có diện tích tam giác ABC là: S    S2  p( p  x)( p  y)( p  z)  p( p  x)( p  y)( p  z ) a( a  x)( a  y)( a  z) 16  a  a3  a (2 x  y  z )  a(4 xy  yz  zx)  xyz  16  a  a3  2a  4ab  8c  16 S  a(a3  2a  4ab  8c) 89  R  x xyz   sin A 2S 2a a(a  4ab  8c) Vậy ta có diện tích bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Bài toán 2.5.4 [16] Giả sử tam giác ABC có góc nhọn tanA, tanB, tanC nghiệm phương trình x3  px  qx  p  0, q  Chứng minh p   3, q  Lời giải Tam giác ABC nhọn nên tanA, tanB, tanC > Lại có: tanA, tanB, tanC nghiệm phương trình x3  px  qx  p  0, áp dụng cơng thức Viète ta có:  tanA + tanB + tanC   p   tanA.tanB + tanB.tanC + tanC.tanA  q   tanA.tanB.tanC   p Do p  0; q  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: tanA + tanB + tanC  3 tanA.tanB.tanC   p  p Mà p  nên p  27   p3  27 p p  3 Lại có: q  tanA.tanB + tanB.tanC + tanC.tanA  3 tanA.tanB.tanC  3 p  3 27  Bài toán 2.5.5 [2] Trên mặt phẳng tọa độ xét ba điểm A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) , C ( x3 , y3 ) với x1 , x2 , x3 ba nghiệm thực phân biệt phương trình x3  3x   yi  xi4  xi2  xi  6; i  1, Chứng 90 minh gốc tọa độ O trọng tâm tam giác ABC Lời giải Gọi G ( x0 ; y0 ) trọng tâm tam giác ABC, đó:  x1  x2  x3  x0    y  y1  y2  y3  ba nghiệm phân biệt phương trình x3  3x   x1 , x2 , x3  x1  x2  x3   nên áp dụng cơng thức Viète ta có  x1 x2  x2 x3  x3 x1     x1 x2 x3    y Ta có: i i 1 y x i 1 i    3x i i 1      xi    i  xi  6 x  4 xi  18 i i 1 xi3  3xi    Mà i 1 x1  x2  x3   3 x0  xi3  3xi     6 x i 1 i 1 i xi4  xi2  xi , i  1, 3  4 xi  18   3 x  3 xi  18 i 1 i 1 i i 1    2 xi x j   3 xi  18   3.6  18  i j i 1  y  y2  y3 y0   Do G (0;0)  O Chứng minh Định lý Morley Định lý Morley định lý thu hút quan tâm nhiều nhà nghiên cứu tam giác không vẻ đẹp mà cịn tam giác Morley dựng thước kẻ compa Định lý tìm năm 1899 nhà toán học người Mỹ, gốc Anh Frank Morley Đây coi 91 tốn hình học kỷ Định lý Morley: [23] Cho tam giác ABC Các đường chia góc ABC , ACB , CAB làm góc cắt D, E, F hình vẽ Chứng minh tam giác DEF tam giác Chứng minh Khơng tính tổng qt, giả sử bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (đơn vị độ dài) Thế AB  2sin 3 , BC  2sin 3 , CA  2sin 3 , với 3  CAB , 3  ABC , 3  ACB Áp dụng Định lý hàm sin cho tam giác ABF ta có: AF AB  sin ABF  AF  sin AFB Mặt khác xét phương trình Ta có: (2.26)  AB.sin  2sin  sin 3   sin(     ) sin(   ) sin 3x  sin 3 ,    ,  ,   3x  3  k  (2.26) x    k Lần lượt cho k  0, 1, , ta giá trị tương ứng x x1   , x2     , x3     Đặt t  sin x xem (2.26) phương trình đại số theo t 3t  4t  sin 3  4t  3t  sin 3  (2.26) 92     Do t1  sin  , t2  sin     , t3  sin     nghiệm phương 3 3   trình (2.27) nên theo cơng thức Viète ta có: t1t2t3  sin 3     4sin  sin     sin      sin 3 3  3      Thay   : sin 3  4sin  sin     sin     3  3  Từ suy ra:     2sin  4sin  sin     sin     2sin  sin 3 3  3  AF       sin     sin     3  3     8sin  sin  sin     3    Lý luận tương tự ta có: AE  8sin  sin  sin     3  Áp dụng Định lý hàm cosin cho tam giác AEF, ta có: EF2  AF2  AE  2AE.AF.cosEAF      64sin  sin  sin      64sin  sin  sin     3  3       2.8sin  sin  sin     8sin  sin  sin     cos  3  3        64sin  sin  sin      sin     3  3        (2.28) 2sin     sin     cos   3  3                      nên     , 3  3  3   Mặt khác, ý       ,  số đo góc tam giác Trong họ tam giác có số 3  93     đo góc     ,     ,  , xét tam giác có bán kính đường trịn ngoại 3  3  tiếp (đơn vị độ dài), theo Định lý hàm cosin         4sin   4sin      4sin      2.2.sin     2.sin     cos  3  3  3  3       sin   sin      sin     3  3       2.sin     sin     cos  3  3  (2.29) Thay (2.29) vào (2.28) ta có: EF2  64sin b sin c sin a Lý luận tương tự ta  EF  8sin a sin b sin c có ED  8sin a.sin b.sin c; FD  8sin a.sin b.sin c Vậy tam giác DEF tam giác Các toán tương tự Bài [27] Tìm diện tích tam giác mà đường cao nghiệm phương trình y3  ay  by  c  Bài [25] Tam giác ABC có cạnh a, b, c Gọi r , , rb , rc bán kính đường trịn nội tiếp đường tròn bàng tiếp ứng với cạnh a, b, c R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác, p nửa chu vi tam giác Chứng minh , rb , rc nghiệm phương trình x3  (4R  r ) x2  p x  p 2r  94 KẾT LUẬN Luận văn: “Ứng dụng công thức Viète giải tốn bậc phổ thơng” đạt mục đích nhiệm vụ đề ra, cụ thể luận văn thực vấn đề sau: Hệ thống phân loại số lớp toán sơ cấp giải cơng thức Viète Ứng dụng cơng thức Viète để giải lớp tốn đại số, số học, giải tích, hình học thuộc chương trình tốn bậc phổ thơng Đối với lớp tốn có đề xuất phương pháp giải nhiều ví dụ minh họa Hy vọng thời gian tới, nội dụng luận văn tiếp tục bổ sung hoàn thiện nhằm chứng tỏ ứng dụng đa dạng hiệu công thức Viète toán học 95 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Thị Vân Anh (2010), Hướng dẫn giải dạng tập từ đề thi quốc gia, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội [2] Phan Đức Chính (1978), Tuyển tập tốn sơ cấp tập – Hình học, Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp Hà Nội [3] Doãn Minh Cường (1998), Giới thiệu đề thi tuyển sinh năm học 1998 – 1999 vào Đại học Cao đẳng tồn quốc mơn Tốn, Nhà xuất Giáo dục [4] Lương Mậu Dũng (2006), Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi tốn, Nhà xuất Hải Phịng [5] Nguyễn Hữu Điển (2006), Đa thức Ứng dụng, Nhà xuất giáo dục [6] Phạm Văn Điều (1997), Một số phương pháp chọn lọc giải toán sơ cấp, Nhà xuất Giáo dục [7] Lê Hồng Đức (2004), Phương pháp giải toán Đại số, Nhà xuất Đại học Sư phạm [8] Lê Hồng Đức (2006), Các phương pháp giải hàm số lượng giác, hệ thức lượng giác, Nhà xuất Hà Nội [9] Nguyễn Thế Hùng (1994), Bất đẳng thức bất phương trình đại số, Nhà xuất Giáo dục [10] Phan Huy Khải (2013), Phương trình bất phương trình, Nhà xuất Giáo dục [11] Nguyễn Phú Khánh (2013), Phương pháp giải toán chuyên đề phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức, Nhà xuất Đại học Sư phạm [12] Lê Quý Mậu (1996), Phương pháp giải toán đại số, Nhà xuất Đà 96 Nẵng [13] Nguyễn Văn Mậu (2002), Đa thức đối xứng phân thức hữu tỉ, Nhà xuất giáo dục [14] Nguyễn Văn Mậu (2006), Bất đẳng thức Định lý áp dụng, Nhà xuất Giáo dục [15] Lê Hồnh Phị (2006), Chun đề bồi dưỡng bất đẳng thức đa thức, Nhà xuất Đà Nẵng [16] Lê Hồnh Phị (2013), Chun khảo Đa thức bồi dưỡng học sinh giỏi, chuyên toán, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội [17] Trần Phương (2011), Những viên kim cương bất đẳng thức tốn học, Nhà xuất Tri thức [18] Hồng Xn Sính (1998), Đại số đại cương, Nhà xuất Giáo dục [19] Vũ Dương Thụy (2006), 40 năm Olympic toán học quốc tế (1959 - 2000), Nhà xuất Giáo dục [20] Nguyễn Đình trí (chủ biên) (2008), Tốn học cao cấp – tập 2, nhà xuất Giáo dục [21] Dương Quốc Việt (2012), Cơ sở Lí thuyết số Đa thức, Nhà xuất Đại học Sư phạm [22] www.bentre.edu.vn [23] http://diendantoanhoc.net [24] http://dethi.violet.vn [25] https://julielltv.wordpress.com [26] https://toanhoc77.wordpress.com [27] www.vnmath.com [28] http://vuihoctoanlp.blogspot.com ... đa thức phát Một tính chất mối liên hệ nghiệm hệ tử đa thức, thể công thức tiếng – Công thức Viète Ứng dụng công thức Viète phong phú hiệu Trong chương trình tốn bậc phổ thông, học sinh học công. .. cứu ứng dụng công thức Viète giải toán - Hệ thống phân loại tốn giải cơng thức Viète - Định hướng việc ứng dụng công thức Viète cho lớp toán Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu - Đa thức ẩn, đa thức nhiều... ỨNG DỤNG CỦA CÔNG THỨC VIÈTE Chương nội dung luận văn, trình bày ứng dụng cơng thức Viète giải tốn bậc phổ thơng Các chi tiết liên quan xem tài liệu [7], [5], [16], [18],… 2.1 ỨNG DỤNG CÔNG THỨC