Các phương trình hàm hai biến và ứng dụng trong giải toán bậc trung học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG PHAN THỊ HỒNG LINH CÁC PHƢƠNG TRÌNH HÀM HAI BIẾN VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TOÁN BẬC TRUNG HỌC Chuyên ngành : Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số : 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS Cao Văn Nuôi Đà Nẵng – Năm 2015 LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan công trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu kết nêu luận văn trung thực chƣa đƣợc cơng bố cơng trình khác Học viên Phan Thị Hoàng Linh MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu đề tài Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Cấu trúc luận văn CHƢƠNG 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ PHƢƠNG TRÌNH HÀM 1.1 VÀI NÉT VỀ LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN PHƢƠNG TRÌNH HÀM 1.1.1 Nicole Oresme (1323 – 1382) 1.1.2 Gregory of Saint – Vincent (1584 – 1667) 1.1.3 Augustin – Louis Cauchy (1789 – 1885) 1.1.4 Jean d’Alembert (1717 – 1783) 1.2 ĐỊNH NGHĨA 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Ví dụ 1.3 SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM 13 CHƢƠNG 2: GIỚI THIỆU CÁC PHƢƠNG TRÌNH HÀM HAI BIẾN 19 2.1 PHƢƠNG TRÌNH CAUCHY 19 2.1.1 Phƣơng trình Cauchy 19 2.1.2 Các tốn phƣơng trình Cauchy 26 2.2 PHƢƠNG TRÌNH JENSEN 30 2.2.1 Phƣơng trình Jensen 30 2.2.2.Các tốn phƣơng trình Jensen 30 2.3 PHƢƠNG TRÌNH PEXIDER 33 2.3.1 Phƣơng trình Pexider 33 2.3.2 Các toán phƣơng trình Pexider 34 2.4 PHƢƠNG TRÌNH VINCZE 37 2.4.1 Phƣơng trình Vincze 37 2.4.2 Các toán phƣơng trình Vincze 39 2.5 PHƢƠNG TRÌNH HÀM HAI BIẾN 45 2.5.1 Phƣơng trình hàm hai biến 45 2.5.2 Các tốn phƣơng trình hàm hai biến 46 2.6 PHƢƠNG TRÌNH EULER 47 2.6.1 Phƣơng trình Euler 47 2.6.2 Các toán phƣơng trình Euler 48 2.7 PHƢƠNG TRÌNH D’ALEMBERT 49 2.7.1 Phƣơng trình D’Alembert 49 2.7.2 Các toán phƣơng trình D’Alembert 51 CHƢƠNG 3: CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNG TRÌNH HÀM TRONG GIẢI TỐN BẬC TRUNG HỌC 54 3.1 PHƢƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HĨA 54 3.2 PHƢƠNG TRÌNH LIÊN HỢP 56 3.3 THUẬT TỐN GIẢI PHƢƠNG TRÌNH BOTTCHER 59 3.4 PHƢƠNG TRÌNH HÀM VỚI HÀM LIÊN TỤC 59 3.4.1 Phƣơng pháp sử dụng tính liên tục hàm số 59 3.4.2 Phƣơng pháp chuyển qua giới hạn 66 3.5 PHƢƠNG TRÌNH HÀM VỚI HÀM KHẢ VI 70 KẾT LUẬN 74 TÀI LIỆU THAM KHẢO QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (Bản sao) MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phƣơng trình hàm lĩnh vực nghiên cứu quan trọng giải tích tốn học Việc giải phƣơng trình hàm có lẽ tốn lâu đời giải tích Nhu cầu giải phƣơng trình hàm xuất bắt đầu có lý thuyết hàm số, nhiều phƣơng trình hàm xuất phát từ nhu cầu thực tế toán học ngành khoa học khác Phƣơng trình hàm chuyên đề quan trọng chƣơng trình tốn trƣờng THPT chun Trong kì thi olympic toán quốc gia quốc tế, olympic khu vực, thƣờng xuất dạng toán khác liên quan đến phƣơng trình hàm Tuy nhiên, nay, học sinh lớp chuyên, lớp chọn biết phƣơng pháp để giải phƣơng trình hàm Đặc biệt, cịn sách chuyên đề phƣơng trình hàm ứng dụng Các tốn phƣơng trình hàm phong phú đa dạng, bao gồm loại phƣơng trình tuyến tính phi tuyến tính, phƣơng trình hàm ẩn hàm phƣơng trình nhiều ẩn hàm, phƣơng trình hàm biến phƣơng trình hàm nhiều biến… Bài tốn phƣơng trình hàm thƣờng xuất thi tốn học Để giải ta khơng cần nắm vững lý thuyết mà cần nhiều kỹ Trong tốn học đại, đóng vai trị quan trọng để giải vấn đề liên quan Phƣơng trình hàm ứng dụng nhiều chƣơng trình phổ thơng, chƣơng trình học sinh giỏi tốn Từ vấn đề trên, định chọn đề tài nghiên cứu: “Các phương trình hàm hai biến ứng dụng giải toán bậc trung học” 2 Mục đích nghiên cứu đề tài Mục tiêu đề tài nhằm nghiên cứu ứng dụng phƣơng trình hàm hai biến giải toán bậc trung học Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Đối tƣợng nghiên cứu luận văn phƣơng trình hàm hai biến Phạm vi nghiên cứu luận văn xây dựng sở lý thuyết hệ thống toán liên quan đến phƣơng trình hàm hai biến vận dụng để giải tốn phƣơng trình hàm chƣơng trình bậc trung học Phƣơng pháp nghiên cứu - Thu thập báo khoa học tài liệu tác giả nghiên cứu liên quan đến phƣơng trình hàm hai biến ứng dụng - Tham gia buổi seminar thầy hƣớng dẫn để trao đổi kết nghiên cứu Trao đổi qua email, blog, forum với chuyên gia ứng dụng phƣơng trình hàm * Đóng góp đề tài - Tổng quan kết tác giả nghiên cứu liên quan đến phƣơng trình hàm hai biến nhằm xây dựng hệ thống lý thuyết phƣơng trình hàm hai biến - Chứng minh chi tiết làm rõ số mệnh đề, nhƣ đƣa số tốn, ví dụ minh hoạ có chọn lọc nhằm làm cho vấn đề đƣợc sáng tỏ Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu kết luận, luận văn gồm chƣơng: - Chƣơng 1: Các khái niệm phƣơng trình hàm - Chƣơng 2: Các phƣơng trình hàm hai biến - Chƣơng 3: Các ứng dụng phƣơng trình hàm giải toán bậc trung học CHƢƠNG CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM 1.1 VÀI NÉT VỀ LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN PHƢƠNG TRÌNH HÀM Trong đại số trƣờng phổ thông trung học, tìm hiểu phƣơng trình đại số liên quan đến nhiều ẩn số thực chƣa biết Phƣơng trình hàm giống nhƣ phƣơng trình đại số, nhiên ẩn nhiều hàm số Bài tốn phƣơng trình hàm xuất thƣờng xun thi tốn Vì vậy, luận văn nghiên cứu giải số vấn đề liên quan đến phƣơng trình hàm bậc phổ thơng trung học Trong chƣơng này, ta tóm lƣợc đơi nét lịch sử phát triển phƣơng trình hàm phát triển chung Toán học 1.1.1 Nicole Oresme (1323 – 1382) Nicole Oresme nhà tốn học ngƣời Pháp, ơng nhà khoa học lớn thời Trung cổ, ơng có nghiên cứu quan trọng cho khoa học thời Phục hƣng Năm 1348, Nicole Oresme giành đƣợc học bổng đại học Paris, năm Châu Âu xảy nạn dịch Cái chết đen làm chết 1/3 dân số Châu Âu Năm 1355, ông có thạc sĩ đƣợc bổ nhiệm làm hiệu trƣởng trƣờng Đại học Navarre Pháp Ông nhà khoa học lớn kỉ XIV Ở giai đoạn khó khăn, dịch bệnh nhƣ mà ơng làm điều sức phi thƣờng, thật điều khơng tƣởng Phƣơng trình hàm đƣợc nhà khoa học nghiên cứu từ sớm Ngay từ kỉ XIV, nhà toán học Nicole Oresme xác định hàm số bậc nhƣ nghiệm phƣơng trình hàm Cụ thể là, ơng đặt tốn tìm hàm số f ( x) thỏa mãn với x, y, z  R, đôi phân biệt, phƣơng trình hàm nhƣ sau: y  x f  y  f  x  z  y f  z  f  y (1.1) Và Nicole Oresme tìm đƣợc nghiệm phƣơng trình (1.1) là: f  x   ax  b với a, b số 1.1.2 Gregory of Saint – Vincent (1584 – 1667) Trong vài trăm năm tiếp theo, phƣơng trình hàm đƣợc biết đến nhiều nhƣng lại khơng có lý thuyết chung cho phƣơng trình hàm lúc Trong số nhà tốn học lớn có nhà tốn học Gregory of Saint – Vincent, ngƣời đầu lý thuyết Logarithm tìm đƣợc hàm hypebol phƣơng trình hàm: f ( xy)  f ( x)  f ( y) Ông xét tốn diện tích phần mặt phẳng giới hạn đƣờng y  ; x  1; x  t; x, y  R  ông kí hiệu diện tích f (t ) chứng tỏ x f (t ) thỏa mãn phƣơng trình hàm: f ( xy)  f ( x)  f ( y), x, y  R Ngày ta biết hàm f  x   log a x với a  0, a  Tuy nhiên, việc giải tìm nghiệm phƣơng trình hàm f ( xy)  f ( x)  f ( y), x, y  R phải đến 200 năm sau tìm đƣợc nhờ cơng Augustin – Louis Cauchy (1789 – 1885) 1.1.3 Augustin – Louis Cauchy (1789 – 1885) Augustin – Louis Cauchy đƣợc sinh Paris năm 1789, năm xảy cách mạng Pháp kéo dài đến 10 năm Khi Cauchy đƣợc 10 tuổi bố ơng đem gia đình quê sống ẩn dật năm 1800 Năm 13 tuổi, Cauchy vào học trƣờng trung tâm Parthenon Ở vua Napoleon đặt nhiều giải thƣởng kỳ thi học sinh giỏi cho tất trƣờng nƣớc Pháp thuộc lớp Cauchy đứng đầu lớp đạt nhiều giải môn học tiếng La Tinh, Hy Lạp thơ La Tinh Năm 1805, 16 tuổi Cauchy gặp đƣợc thầy dạy Toán giỏi thi đỗ thứ hai vào trƣờng Đại học Bách Khoa Năm 1807 ông vào học trƣờng Đại học Cầu đƣờng 18 tuổi nhƣng ông vƣợt qua bạn học 20 tuổi, bạn học năm trƣờng Năm 1813, ông dạy toán Trƣờng Bách Khoa thành hội viên Hàn lâm viện Khoa học Pháp Bƣớc vào tuổi 27, ông nhà toán học xuất sắc thời giờ, ông nghiên cứu nhiều lĩnh vực Tuy nhiên, ông chủ yếu đƣợc biết đến lĩnh vực toán học đƣợc công nhận ngƣời sáng lập nên toán học đại Mặc dù định nghĩa Nicole Oresme tuyến tính đƣợc hiểu nhƣ ví dụ phƣơng trình hàm, khơng đại diện cho điểm khởi đầu cho lý thuyết phƣơng trình hàm Các chủ đề phƣơng trình hàm đƣợc đánh dấu cách xác từ cơng việc Augustin – Louis Cauchy Một phƣơng trình hàm tiếng mà ta hay gọi phƣơng trình Cauchy có dạng: f ( x  y)  f ( x)  f ( y), x, y  R (1.2) Nghiệm phƣơng trình (1.2) có dạng: f  x   ax Phƣơng trình (1.2) đƣợc Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855) Legandre nghiên cứu tìm định lí hình học xạ ảnh nghiên cứu phân phối Gauss phân bố xác suất G Darbour nghiên cứu phƣơng trình (1.2) cần f  x  liên tục điểm, bị chặn (hoặc dƣới) khoảng đủ nhỏ nghiệm phƣơng trình (1.2) f  x   kx Sau nhà tốn học cịn đƣa nhiều hạn chế nữa, nhƣng việc hàm số không liên tục thỏa điều kiện (1.2) đến năm 1905 đƣợc thực nhà toán học ngƣời Đức Georg Hamel (1877 – 1954) với việc đƣa hệ cở sở Hamel tập số thực R Thật bất ngờ phƣơng trình hàm lại có liên quan chặt chẽ đến nhị thức Newton Từ hàng kỷ trƣớc Newton, nhà tốn học biết đến cơng thức (1  x)n   Cn1 x  Cn2 x   Cnn1x n1  x n (1.3) với n  R với x  R, tổ hợp x  R đƣợc xác định từ tam giác Pascal đƣợc tính theo cơng thức: Ci  n n(n  1)(n  2) (n  i  1) i! (với i số tự nhiên) 1.1.4 Jean d’Alembert (1717 – 1783) Jean d'Alembert sinh năm 1717 Paris, ơng ngồi giá thú sĩ quan quân đội nhà văn Ơng đƣợc sinh cha ơng nƣớc ngồi, sợ ảnh hƣởng đến tiếng tăm mình, mẹ ơng để ơng bậc thang lối vào nhà thờ Saint – Jean – leRond Theo tục lệ, ông đƣợc đặt tên Jean le Rond, sau nhà thờ gởi ơng vào trại trẻ mồ cơi trông nom nhƣng sớm đƣợc nhận nuôi vợ ngƣời thợ làm kính Mặc dù, Destouches - cha ông hỗ trợ tài lo cho trai ăn học, ơng khơng cơng khai thừa nhận Jean d'Alembert trai Năm 1738, Jean le Rond vào trƣờng luật, ông lấy tên Daremberg Sau ơng đổi thành d'Alembert Năm 1741, nhờ nỗ lực mình, d'Alembert vào Viện Hàn lâm Khoa học Pháp nhƣ trợ lý thiên văn học, hai năm tiếp theo, ông thực nhiều nghiên cứu học xuất nhiều báo nhiều sách, năm 1746, d'Alembert đƣợc thăng chức Phó Uỷ viên Hội đồng toán học 61 Bài toán 21: Tìm hàm hàm số f : R  R liên tục R thỏa mãn điều kiện: f  x   f  x   f  x  , x  R Lời giải: a) Đƣa dạng để sử dụng tính liên tục: t Đặt t  x  x  Ta có: 2  f  t 3  3 f   t  f  t  , t  R  2 2  f  t   f t   f t   3  hay 2  g  t   g  t  với g  t   f  t   3  3  f  t  2  b) Sử dụng tính liên tục: Bằng quy nạp dễ dàng chứng minh đƣợc:   n  g  t   g    t  , t  R, n  N       Do f  x  liên tục suy g  x  liên tục, cho n   ta đƣợc:   n  g  t   lim g    t   g    f    f     x       3  2  Từ f  t   f  t  , t  R hay f  x   f  x  , x  R 2  3  Tƣơng tự ta có:   n  f  x   f    x   f   n         Vậy f  x   C , với C số thỏa mãn đề 3  f  t 2  62 Bài toán 22: Tìm tất hàm hàm số f : R  R liên tục thỏa mãn điều kiện: f  x   f  x   x  x, x  R Lời giải: a) Đƣa dạng để sử dụng tính liên tục: Đặt g  x   f  x   x chứng minh g hàm Thật vậy, g  x  hàm   liên tục R g x  g  x   0, x  R Thay x  ta đƣợc g    Thay x  ta đƣợc g 1  Thay x –z g   z    g   z    g   z    g  x   g  x    Do g hàm chẵn nên ta cần xét miền x  Từ quan hệ hàm ta     suy g  x    g x  g x  14  hay với x  g  x   g  x    b) Sử dụng tính liên tục: Lấy   tùy ý, xét dãy số  xn  đƣợc xác định nhƣ sau: x0   , xn1  xn4 , n  0,1,2, Khi lim xn  ta có: x  14  g  xn1   g  xn   g  xn   g  xn1    g  x0   g     Vậy g hàm dãy  xn  Theo tính liên tục hàm g thì:   g    lim g  xn   g lim xn  g 1  x x Vậy g  x   0, x  R Nhƣ f  x   x, x  R thỏa mãn đề 63  1  1 Bài tốn 23: Tìm hàm f : 0;   0;  thỏa mãn:  2  2  1 a) f ( x) liên tục 0,   2 1   1 b) f ( x)  f  x   , x  0;  4   2  1 Lời giải: Với a  0;  , xét dãy số:  2  x0  a   xn1  xn2  , n  N   (3.25) Dễ dàng chứng minh đƣợc {xn } khơng âm Ta có: x0  1  x1  x02   Dùng phƣơng pháp quy nạp ta suy ra: xn  (3.26) Do đó, ta có: xn1  xn  ( xn  )2   xn1  xn , n  N (3.27) Từ (3.25), (3.26) (3.27) ta suy ra: xn  [0; ] {xn } có giới hạn hữu hạn là: lim xn  Vậy với a  [0; ] , ta có: f (a)  f ( x1 )  f ( x2 )   lim f ( xn )  f (lim xn )  f ( )  C 64 Thử lại, ta thấy hàm vừa tìm thỏa mãn yêu cầu tốn Vậy nghiệm phƣơng trình là: f ( x)  C , ( C số) Bài tốn 24: Tìm hàm f : R  R thỏa mãn: a) f ( x) liên tục R; b) f (1)  2; c) f ( xy)  f ( x) f ( y)  f ( x  y)  1, x, y  R Lời giải: Cho x  y  ta đƣợc f (0)  Cho x  ta đƣợc: f ( y  1)  f ( y)  (3.28) Từ f (0)  1, f (1)  (3.28) sử dụng phƣơng pháp quy nạp ta có đƣợc: f (n)  n  1, n  N Với n  N , từ (3.28), ta suy ra: f (n)  f (n  1)   f (n  2)    f (0)  n  n  Vậy f ( z )  z  1, z  R Với n  N * , ta có:  1 1  f (1)  f  n   f (n) f     n n 1  f  n    n  (3.29) Mặt khác, từ (3.28) ta có: 1  f  n   1 n  1  f  n 1    n  1  f  n      n  n  1 Thay kết vào (3.29) ta đƣợc: f     n n Với q  Q , q  m , m  Z , n  N * ta có: n 1 f   n 65 m f (q)  f    n  1 1 f  m   f (m) f     n n 1   (m  1)   1  n  1  f  m   1 n  1  f  m    n  1  Từ (3.28) ta dễ dàng chứng minh đƣợc: f  m    m  n  (3.30) 1 f   n Thay vào (3.30) ta đƣợc: f (q)  q  1, q  Q Với r  R , tồn dãy {rn } với rn  Q thỏa mãn lim rn  r Mà f ( x) liên tục nên ta có: f (r )  f (lim rn )  lim f (rn )  lim(rn  1)  lim rn   r  Vậy f ( x)  x  1, x  R Thử lại ta ta có f ( x) thỏa mãn điều kiện toán Vậy nghiệm toán là: f ( x)  x  Bài toán 25: (Đề dự tuyển IMO-1982) Tìm tất hàm f : R  R liên tục thỏa mãn điều kiện: f ( x2 )  f ( x)  x  x, x  R (3.31) Lời giải: Đặt g ( x)  f ( x)  x Do f ( x) liên tục R nên g ( x) liên tục R thỏa mãn điều kiện: g  x   g ( x)  0, x  R (3.32) Từ (3.32) cho x   g (0)  0, cho x   g (1)   g (1)    Mặt khác: g ( x)   g   x    g  x   g ( x), x  R  g ( x) hàm chẵn     Lại có: g ( x)   g x  g x Vì g ( x) hàm chẵn g (0)  nên cần tìm hàm g ( x) với x  Đặt t  x với x  ta suy x  t (t  0) 66  14  Từ (3.32) ta có: g (t )  g  t  hay    14  g ( x)  g  x  , x    (3.33) Cố định x  0, xét dãy {xn } xác định bởi: x1  x, x2  x1, , xn1  g ( xn ), n N , đó: g ( x)  x * Bằng cách quy nạp ta thu đƣợc: 4n xn  x  lim xn  lim x x 4n x  Từ (3.33) từ cách xác định dãy, ta có đƣợc: g ( x)  g ( x1 )  g ( x )  g ( x2 )   g ( xn ) Lấy giới hạn hai vế sử dụng tính liên tục hàm g ( x) ta thu đƣợc: g ( x)  g (1)  0, x  Kết hợp với g (0)  g ( x) chẵn ta có đƣợc: g ( x)  0, x  R Từ đó, ta suy ra: f ( x)  C , x  (1;1) f ( x)  x, x  R  x2 Thử lại ta thấy hàm f ( x) vừa tìm thỏa mãn điều kiện toán Vậy nghiệm toán là: f ( x)  C , x  (1;1)  x2 3.4.2 Phƣơng pháp chuyển qua giới hạn Nội dung phƣơng pháp: 67 Đối với số phƣơng trình hàm có kèm theo giả thiết hàm số liên tục, nhiều trƣờng hợp cách xây dựng dãy số hợp lí sử dụng phƣơng pháp chuyển qua giới hạn, ta tìm đƣợc hàm f ( x) Phƣơng pháp đƣợc thực theo bƣớc: Bƣớc 1: Lấy a giá trị thuộc tập xác định hàm số Xây dựng dãy số {xn } thích hợp với x1  a thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: i) Hàm f không đổi dãy {xn } Nghĩa là: f (a)  f ( x1 )  f ( x2 )   f ( xn ) ii) Dãy {xn } hội tụ b, nghĩa lim xn  b x Bƣớc 2: Sử dụng tính liên tục f ( x) ta có: f  a   lim f ( xn )  f (lim xn )  f (b) x x Do a tùy ý nên suy ra: f ( x)  f (b) Bài toán: Bài tốn 26: Tìm hàm số f : R  R liên tục, thỏa mãn:  x  3x f ( x)  f    , x  R   Lời giải: Đặt x1  Đặt x2  2x Từ (3.34)  f ( x)  f ( x1 )  x x1 Từ (3.34)  f ( x1 )  f ( x2 )  x1 Đặt xn1  xn , n  N Từ (3.34)  f ( xn )  f ( xn1 )  xn (3.34) 68  f ( x )  f ( x )  x    f ( x )  f ( x )  x Do đó, ta có hệ:     f (x )  f (x )  x n n 1 n  (1) (2) (n  1) Nhân dòng phƣơng trình thứ (i ) với (i )i 1 cộng lại ta đƣợc: f ( x)   1 Xét lim  1  n n 2 n  2  2  f  xn1   x 1                 (3.35) f  xn1   lim  f  xn1   f  lim xn1   f (0) (vì f ( x) liên  tục) Mặt khác, từ (3.34) suy ra: f (0)  nên lim(1)n2 f ( xn1 )  Lấy giới hạn hai vế (3.35) ta đƣợc: 9x f ( x)  x   25 1 Thử lại ta thấy thỏa mãn Vậy hàm số cần tìm là: f ( x)  9x 25 Bài tốn 27: Tìm hàm f ( x) số liên tục x0  thỏa mãn: f : R  R f (2 x)  f ( x)  x, x  R (3.36) Lời giải: Đặt t  x ta đƣợc: t t f (t )  f ( )  , t  R 2 (3.37) 69  * tn1  tn , n  N Xét dãy:  t  t  Thay dãy {tn } vào (3.37) ta đƣợc: 1  f ( t )  f ( t )  t    f (t )  f (t )  t 2     f (t )  f (t )  t n n 1  n1 (1) (2) ( n) Thế (n) vào (n  1)  (n  2)  ta đƣợc: f (t )  1 1 f (tn )  n1 f (tn1 )  n f (tn2 )   t n 2 2 (3.38) Thay tn  ( )n t vào (3.38) ta đƣợc: f (t )  1 1 f ( t )  t (    ) n 2n 22 24 22 n (3.39) 1  Vì f ( x) liên tục x0 nên lim  n f (tn )   Lấy giới hạn hai vế (3.39), 2  t ta có đƣợc: f (t )  Thử lại ta thấy x Vậy hàm số cần tìm là: f ( x)  70 3.5 PHƢƠNG TRÌNH HÀM VỚI HÀM KHẢ VI Nội dung phƣơng pháp: Phƣơng pháp sử dụng tính chất đạo hàm thƣờng đƣợc sử dụng hàm khả vi liên tục Khi kỹ thuật biến đổi, ta quy phƣơng trình hàm cho dạng thích hợp Khi nhờ tính chất đạo hàm ta tìm đƣợc hàm số cần tìm Chúng ta xem số tốn sau đề thấy rõ phƣơng pháp Bài toán: Bài tốn 28: Tìm hàm số khả vi f : R  R thỏa mãn đồng thức:  x  y  f  x  f  y f , x, y  R, x  y    Lời giải:Lần lƣợt lấy đạo hàm hai vế biểu thức cho theo x y ta có:  x  y  f ' x  f ' , x  R     x  y  f ' y  f ' , y  R    Suy ra: f '  x   f '  y  , x, y  R  f '  x   C (hằng số) Do f ( x)  ax  b hàm rõ ràng thỏa mãn điều kiện toán Vậy f ( x)  ax  b với a, b  R Bài tốn 29: Tìm hàm số f : R  R xác định khả vi thỏa mãn điều kiện: f  x  y   f  x  f  y  , x, y  R Lời giải: Để ý f  x   nghiệm phƣơng trình cho Ta xét trƣờng hợp f  x   Khi tồn x0  R để f  x0   Theo giả thiết: f  x0   f  x   x0  x    f  x  f  x0  x   0, x  R Suy ra: f  x   0, x  R 71  x  Mặt khác, từ giả thiết ta có: f  x    f     0, x  R    Lần lƣợt lấy đạo hàm hai vế hệ thức đề ta đƣợc: f '  x  y   f '  x  f  y  , x, y  R f '  x  y   f  x  f '  y  , x, y  R Từ suy f ' x  f ' y   , x, y  R   ln f  x   '  a  f  x   e axb f  x f  y Vậy f  x   x hay f  x   eaxb Bài tốn 30: Tìm hàm số f ( x) khả vi thỏa mãn với x  3x2 f '  x   x3 f " x   1 Và f 1  1; f  2   1 Lời giải: Vế trái  x3 f '  x  , cho nên, từ giả thiết: ' ' 1 C  x3 f '  x   1  x3 f '  x    x  C1  f '  x    31 x x  f  x  C1   C2 x x2 C1  C  0  Cho x  1; x  1, đƣợc:  C  C1     C1  4 2 C2  3 Nhƣ f  x   2   x 3x Bài toán 31: Hàm số f  x  xác định khả vi R thỏa mãn:  x  y  f  x  y    x  y  f  x  y   4xy  x  y  , x, y  R 72 Hãy xác định hàm số Lời giải: Từ đề suy ra: f  x  y f  x  y   xy, x  y x y x y Đặt g  x   (3.40) f  x , thay vào (3.40), ta có: x g  x  y   g  x  y   xy (3.41) h h Sau đó, đặt x  a  , y  , (3.41) trở thành: 2 g a  h  g a hh  g  a  b  g a   4 a     2a  h 22 h  Cho h  0, đƣợc g '  a   2a Nhƣ g  x   x  C , với C số Vậy: f  x   x3  Cx Bài toán 32: Xác định tất hàm f : R  R khả vi vô hạn thỏa mãn điều kiện: f ( x  y)  f ( x)  f ( y)  xy, x, y  R (3.42) Lời giải: Từ (3.42) lấy đạo hàm hai vế lần lƣợt theo x y ta đƣợc: f ' ( x  y)  f ' ( x)  y (3.43) f ' ( x  y)  f ' ( y)  x (3.44) Từ (3.43) (3.44) ta đƣợc: f ' ( x)  y  f ' ( y)  x  f ' ( x)  x  f ' ( y)  y, x, y  R Từ suy ra: f ' ( x)  x  C  f ' ( x)  x  C, x  R Vậy f ( x)   (2 x  C )dx  x  Cx  C ' Vì f (0)  nên suy C '  73 Do đó: f ( x)  x  Cx, C  R hàm số cần tìm 74 KẾT LUẬN Luận văn trình bày cách khái quát lịch sử phát triển phƣơng trình hàm nói riêng phát triển chung Tốn học Luận văn khảo sát phƣơng trình hàm hai biến, phƣơng trình hàm có tầm quan trọng thi Toán học Việc khảo sát phƣơng trình hàm dựa việc nghiên cứu phƣơng trình Cauchy, phƣơng trình Pexider, phƣơng trình Vincze, phƣơng trình hàm hai biến, phƣơng trình Euler phƣơng trình D’Alambert Luận văn cho ta thấy đƣợc liên kết phƣơng trình hàm hai biến Những kết luận văn dựa sở lý thuyết phƣơng trình hàm, đƣa tốn mang tính chất vận dụng lý thuyết phù hợp Ngồi ra, luận văn cịn cung cấp số phƣơng pháp giải phƣơng trình hai biến ứng dụng nhiều bồi dƣỡng học sinh giỏi toán Trong điều kiện thời gian có hạn khả hạn chế, chƣa nghiên cứu sâu phƣơng pháp giải phƣơng trình hàm hai biến mà dựa vào lý thuyết có để vận dụng giải số dạng tốn Luận văn khơng tránh khỏi sai sót, mong nhận đƣợc ý kiến đóng góp quý thầy cô bạn 75 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] Ngô Quang Dũng (2006), Phương trình hàm, Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn, Trƣờng THPT Phạm Thành Trung, Tiền Giang [2] Nguyễn Xuân Liêm (1997), Giải tích hàm, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội [3] Nguyễn Trọng Tuấn (2005), Bài toán hàm số qua kì thi Olympic, Nhà xuất Giáo dục, Nam Định [4] Nguyễn Văn Mậu (1997), Phương trình hàm, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội [5] Nguyễn Văn Mậu, Bùi Cơng Huấn (2004), Một số chun đề tốn học chọn lọc bồi dưỡng học sinh giỏi, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội [6] Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Văn Tiến (2009), Một số chuyên đề giải tích bồi dưỡng học sinh giỏi, Nhà xuất Giáo dục, Vĩnh Phúc TIẾNG ANH [7] A Gardiner (1997), The Mathematical Olympiad Hanbook, Oxford [8] Chiristopher G.Small (2000), Funtional Equations and How to Solve Them, Springer Science Business Media, LLC, 233Spring Street, New York,NY 10013,USA [9 Herbert S.Wilf (1994), Generating functionology, Academic Press, Inc [10] Balakrishnan, V.K (1995), Theory and Problems of Combinatorics, Mc Graw – Hill, Inc ... cứu: ? ?Các phương trình hàm hai biến ứng dụng giải tốn bậc trung học? ?? 2 Mục đích nghiên cứu đề tài Mục tiêu đề tài nhằm nghiên cứu ứng dụng phƣơng trình hàm hai biến giải toán bậc trung học Đối... 1: Các khái niệm phƣơng trình hàm - Chƣơng 2: Các phƣơng trình hàm hai biến - Chƣơng 3: Các ứng dụng phƣơng trình hàm giải tốn bậc trung học 3 CHƢƠNG CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM... phƣơng trình hàm hai biến Phạm vi nghiên cứu luận văn xây dựng sở lý thuyết hệ thống toán liên quan đến phƣơng trình hàm hai biến vận dụng để giải tốn phƣơng trình hàm chƣơng trình bậc trung học