Phương trình hàm hai biến

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– DƯƠNG THỊ NỮ PHƯƠNG TRÌNH HÀM HAI BIẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC ĐÀ NẴNG - NĂM 2020 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– DƯƠNG THỊ NỮ PHƯƠNG TRÌNH HÀM HAI BIẾN Ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS PHẠM QUÝ MƯỜI ĐÀ NẴNG - 2020 MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM VÀ MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ 1.1 PHƯƠNG TRÌNH HÀM HAI BIẾN 1.2 MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ 1.2.1 Ánh xạ 1.2.2 Đơn ánh, toàn ánh, song ánh 1.2.3 Hàm số 1.2.4 Một số tính chất hàm số 1.2.5 Đặc trưng hàm số hàm số sơ cấp CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY VÀ ỨNG DỤNG 11 2.1 PHƯƠNG TRÌNH CAUCHY 11 2.2 MỘT SỐ KẾT QUẢ SUY RA TỪ PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY 13 2.3 ỨNG DỤNG PHƯƠNG TRÌNH CAUCHY 14 2.4 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH KHÁC 19 CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM HAI BIẾN 25 3.1 PHƯƠNG PHÁP THẾ BIẾN 25 MỤC LỤC 3.2 PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG GIỮA CÁC BIẾN 32 3.3 PHƯƠNG PHÁP DỰA VÀO GIÁ TRỊ CỦA ĐỐI SỐ VÀ GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ 37 3.4 PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 42 3.5 PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT ĐƠN ÁNH, TỒN ÁNH, SONG ÁNH CỦA HÀM SỐ 45 KẾT LUẬN 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO 50 NHỮNG KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN ∀, ∃ R R+ R− Q Q+ Q− Z Z+ Z− N N∗ D (f ) x∈M A⊂M ∩, ∪, ⊂, ⊃ : : : : : : : : : : : : : : : : Các ký hiệu logic ( Với mọi, tồn tại) Tập hợp số thực Tập hợp số thực dương Tập hợp số thực âm Tập hợp số hữu tỉ Tập hợp số hữu tỉ dương Tập hợp số hữu tỉ âm Tập hợp số nguyên Tập hợp số nguyên dương Tập hợp số nguyên âm Tập hợp số tự nhiên Tập hợp số tự nhiên khác Tập xác định hàm số f x phần tử M A tập hợp M Là phép toán tập hợp MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Lý thuyết phương trình hàm lĩnh vực nghiên cứu quan trọng Giải tích tốn học Các dạng tốn phương trình hàm phong phú bao gồm loại phương trình tuyến tính phương trình phi tuyến, phương trình ẩn hàm phương trình nhiều ẩn hàm Trong kỳ thi olympic toán, thường xuất dạng tốn khác có liên quan đến phương trình hàm hai biến Tuy nhiên, học sinh khó khăn việc tìm phương pháp để giải phương trình hàm hai biến ứng dụng chúng Với mong muốn nâng cao kiến thức, kỹ giải sáng tạo từ dạng toán bản, điển hình phương trình hàm mà nghiệm dễ dàng tìm lớp hàm số sơ cấp quen thuộc, định chọn đề tài: “Phương trình hàm hai biến” cho luận văn thạc sỹ Luận văn tập trung vào việc hệ thống lại kiến thức liên quan đến phương trình hàm nói chung phương trình hàm hai biến nói riêng, dạng tốn số phương pháp thường gặp để giải phương trình hàm hai biến Luận văn làm bậc số ứng dụng phương trình hàm Cauchy việc giải tốn phương trình hàm hai biến Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Trên sở hệ thống lại kiến thức liên quan đến phương trình hàm, luận văn trình bày tổng hợp, xếp lại lý thuyết phương trình hàm hai biến, dạng phương trình trình hàm Luận văn tập trung vào nghiên cứu ứng dụng phương trình hàm Cauchy số phương pháp khác thường gặp để giải tốn phương trình hàm hai biến Đối tượng nghiên cứu - Phương trình hàm hai biến; 45 3.5 PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT ĐƠN ÁNH, TỒN ÁNH, SONG ÁNH CỦA HÀM SỐ Đơn ánh, toàn ánh, song ánh tính chất hàm số, ánh xạ Sau số lưu ý: -Nếu vế có chứa f (x) vế cịn lại có chứa biến x bên ngồi thơng thường f đơn ánh -Nếu phương trình hàm có chứa f (f (x) + ϕ (x, y)) f (f (y) + ϕ (x, y)) , ϕ (x, y) biểu thức đối xứng x y ta thường chứng minh f đơn ánh -Nếu f : R → R đơn ánh từ f (x) = f (y) suy x = y -Nếu f : R → R toàn ánh với ∀y ∈ R ln tồn x ∈ R f (x) = y , tức phương trình (ẩn x) y = f (x) ln có nghiệm -Nếu f hàm số mà đơn ánh ta hay dùng thủ thuật tác động f vào hai vế tạo f (ϕ (x)) = f (φ (x)) , đó: ϕ (x) = φ (x) - Nếu f tồn ánh ta hay dùng: Tồn số b cho f (b) = 0, sau tìm b Nếu quan hệ hàm hàm bậc biến vế phải nghĩ đến tính đơn ánh, tồn ánh -Nếu f : R → R toàn ánh f (x) = ψ (x) , ∀x ∈ T , T tập giá trị hàm f f (x) = ψ (x) , ∀x ∈ R - Nếu hàm f : R → R thỏa mãn f (f (x)) = ax + b, ∀x ∈ R, (a = 0) f song ánh Ví dụ 3.5.1 Tìm tất hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện: f (af (y) + bx) = cx + dy + e, ∀x, y ∈ R, (a, b, c, d = 0, b = −ac) (3.80) Giải Ta chứng minh f đơn ánh, tức f (x) = f (y) ⇔ x = y Thật vậy, giả sử f (x) = f (y) Khi đó: cx + dy + e = f (af (y) + bx) = cx + dx + e ⇔ x = y Trong (3.80) cho x = y = 0, ta được: e = f (af (0)) Cho x = − dy c , ta 46 được: f af (y) − bdy c = e = f (af (0)) Mà f đơn ánh nên: bdy bdy = af (0) ⇒ f (y) = + f (0) , ∀y ∈ R af (y) − c ac Trong (3.80) cho y = 0, x = − afb(0) , ta f (0) = − acfb(0) + e Nghĩa là: f (0) = (3.81) be b+ac Thay vào (3.81) ta được: f (x) = bdx ac + be b+ac , ∀x ∈ R Thử lại hàm số thỏa đề Vậy nghiệm phương trình (3.80) be là: f (x) = bdx ac + b+ac , ∀x ∈ R Ví dụ 3.5.2 [Đề thi thức Olimpic 30/4/2006)] Tìm tất hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện: f (x + f (y) + xf (y)) = x + xy + y, ∀x, y ∈ R (3.82) Giải Ta chứng minh f đơn ánh Thật vậy: Giả sử f (y1 ) = f (y2 ) Trong (3.82) lấy x = 1, ta được: f (1 + 2f (y)) = + 2y, ∀y ∈ R (3.83) Vì f (y1 ) = f (y2 ) nên f (1 + 2f (y1 )) = f (1 + 2f (y2 )) Do từ (3.83) suy ra: + 2y1 = + 2y2 hay y1 = y2 Do f đơn ánh Trong (3.82) lấy x = ta được: f (f (y)) = y, ∀y ∈ R Trong (3.82) lấy y = ta : f (x + f (0) + xf (0)) = x = f (f (x)) ⇒ x + f (0) + xf (0) = f (x) (Do f đơn ánh) Đặt f (0) = a Ta có: f (x) = (a + 1) x + a, ∀x ∈ R (3.84) Thay (3.84) vào (3.82) ta được: (a + 1) [x + f (y) + xf (y)] + a = x + xy + y, ∀x, y ∈ R Suy ra: (a + 1) [x + (a + 1) y + a + x (a + 1) y + ax] + a = x + xy + y, ∀x, y ∈ R a=0 Chọn x = y = ta được: (a + 1) a + a = ⇔ a = −2 47 Khi a = ta được: f (x) = x Khi a = −2 ta được: f (x) = −x − Thử lại hai hàm số thỏa mãn đề Vậy nghiệm phương trình (3.82) là: f (x) = x, ∀x ∈ R f (x) = −x − 2, ∀x ∈ R Ví dụ 3.5.3 [Đề nghị thi Olimpic 30/4/2011] Tìm tất hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện: f ([1 + f (x)] f (y)) = y + xf (y) , ∀x, y ∈ R (3.85) Giải Từ (3.85) cho x = ta được: f ([1 + f (0)] f (y)) = y, ∀y ∈ R Giả sử f (y1 ) = f (y2 ) Khi đó, y1 = f ([1 + f (0)] f (y1 )) = f ([1 + f (0)] f (y2 )) = y2 Do đó, f đơn ánh Với y ∈ R, tồn x = [1 + f (0)] f (y) ∈ R cho f (x) = y Do f tồn ánh Vậy f song ánh Khi tồn c ∈ R cho f (c) = Từ (3.85) cho y = c ta f (0) = c Từ (3.85) cho x = y = ta được: f ([1 + c] c) = Vậy f ([1 + c] c) = f (c) Mà f đơn ánh nên (1 + c) c = c ⇔ c = ⇒ f (0) = Từ (3.85) cho x = ta được: f (f (y)) = y, ∀y ∈ R (3.86) f (y [1 + x]) = f (y) + yf (x) , ∀x, y ∈ R (3.87) Từ (3.85) thay x f (x), thay y f (y) sử dụng (3.86) ta được: Từ (3.87) thay x = −1, f (0) = đặt a = −f (−1)ta có: f (y) = ay, ∀y ∈ R Thay vào (3.85) ta được: a (1 + ax) ay = y + axy, ∀x, y ∈ R Từ (3.88) cho x = y = ta được: a2 (1 + a) = + a ⇔ (3.88) a=1 a = −1 48 Vậy f (x) = x, f (x) = −x Thử lại ta thấy hai hàm thỏa mãn đề Vậy f (x) = x, f (x) = −x nghiệm phương trình (3.85) Ví dụ 3.5.4 [European Girls’ MO- 2012] Tìm tất hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện: f (yf (x + y) + f (x)) = 4x + 2yf (x + y) , ∀x, y ∈ R (3.89) Giải Từ (3.89) cho y = ta được: f (f (x)) = 4x, ∀x ∈ R (3.90) Từ (3.90) kết hợp hàm số f xác định R thỏa mãn f (f (x)) = ax + b, ∀x ∈ R ta chứng minh f song ánh Do đó, tồn a, b cho f (a) = f (b) = 4a Từ (3.89) thay y = −x + a, ta được: f (2 (−x + a) + f (x)) = 4x + (−x + a) = 4a = f (b) , ∀x ∈ R (3.91) Do f đơn ánh nên ta có: −2x + 2a + f (x) = b, ∀x ∈ R Suy ra: f (x) = 2x + c, ∀x ∈ R Thay vào (3.90) ta được: (2x + c) + c = 4x, ∀x ∈ R Lấy x = ta c = Vậy f (x) = 2x, ∀ ∈ R Thử lại ta thấy hàm số: f (x) = 2x, ∀x∈ R thỏa mãn đề 49 KẾT LUẬN Luận văn tổng quan làm rõ số vấn đề sau: Hệ thống hóa lại kiến thức phương trình hàm, cách phân loại phương trình hàm phương trình hàm hai biến, Luận văn nhắc lại kiến thức hàm biến ánh xạ; tính đơn ánh, tồn ánh, song ánh; khái niệm tính chất hàm số Nghiên cứu phương trình hàm hai biến Cauchy số ứng dụng phương trình để giải tốn khác Ý tưởng thông qua phép biến đổi đặt hàm phụ, biến đổi phương trình hàm cần giải phương trình Cauchy phương trình giải dựa kết biết từ phương trình Cauchy Trình bày số phương pháp thường sử dụng giải phương trình hàm hai biến như: Phương pháp biến, phương pháp dựa vào giá trị biến số giá trị hàm số, phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số, phương pháp sử dụng tính đơn ánh, tồn ánh song ánh hàm số Luận văn có giá trị mặt lý thuyết thực tiễn Có thể sử dụng luận văn tài liệu tham khảo dành cho sinh viên ngành toán, bồi dưỡng học sinh giỏi toán đối tượng quan tâm đến phương trình hàm nói chung phương trình hàm hai biến nói riêng Luận văn trình bày rõ ràng, sâu phân tích tốt nhằm giúp người đọc có nhìn tổng quát vấn đề nghiên cứu Tuy nhiên, hạn chế thân thời gian có hạn, chắn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận nhận xét góp ý chân thành từ q thầy độc giả để đề tài hoàn thiện 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Ban tổ chức kỳ thi (2012), Tổng hợp đề thi olympic 30 tháng 4, NXB Đại học sư phạm [2] Nguyễn Văn Mậu (1997), Phương trình hàm, NXB Giáo dục [3] Nguyễn Trọng Tấn (2004), Bài toán hàm số qua kỳ thi olympic, NXB Giáo dục [4] Nguyễn Quý Dy, Nguyễn Sinh Nguyên, Nguyễn Văn Nho, Vũ Văn Thỏa, Vũ Dương Thụy (2006), Tuyển tập 200 thi vô địch tốn Tập 8, phương trình hàm, NXB Giáo dục [5] Nguyễn Tài Chung (2014), Bồi dưỡng học sinh giỏi phương trình hàm, NXB Đại học quốc gia Hà Nội [6] Ngơ Thúc Lanh, Đồn Quỳnh, Nguyễn Đình Trí (2000), Từ điển tốn học thơng dụng, NXB Giáo dục [7] Trần Văn Hạo (2010), Đại số Giải tích 11, NXB Giáo dục [8] Trần Văn Hạo (2010), Đại số Giải tích 12, NXB Giáo dục [9] Trần Văn Nam (2017), Tạp chí Tốn học tuổi trẻ, NXB Giáo dục Tiếng Anh [10] Christopher G Small (2000), Functional Equations and How to Solve Them, Department of Statistics and Actuarial Science, University of Waterloo ... để giải tốn phương trình hàm hai biến Đối tượng nghiên cứu - Phương trình hàm hai biến; - Một số dạng phương trình hàm hai biến ứng dụng; - Phương pháp để giải phương trình hàm hai biến Phạm vi... cứu Phương trình hàm; Các dạng phương trình hàm hai biến ứng dụng; Một số phương pháp thường gặp để giải phương trình hàm hai biến Phương pháp nghiên cứu Với đề tài: ? ?Phương trình hàm hai biến? ??... ánh xạ hàm biến, luận văn tham khảo tài liệu [2, 3, 5, 7, 8] 1.1 PHƯƠNG TRÌNH HÀM HAI BIẾN Phương trình hàm phương trình mà ẩn nhiều hàm số Giải phương trình hàm tìm hàm số thỏa mãn phương trình