Phương trình hàm một biến và tính ổn định

Mục tiêu nghiên cứu của đề tài Mục tiêu của đề tài nhằm nghiên cứu thế nào là tính ổn định của một phương trình hàm một biến và khảo sát tính ổn định của một số phương trình hàm một biến

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS CAO VĂN NUÔI

Phản biện 1: PGS TSKH Trần Quốc Chiến

Phản biện 2: GS TSKH Nguyễn Văn Mậu

Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ Khoa học họp tại Đại Học Đà Nẵng vào ngày 14 tháng 06 năm 2014

Có thể tìm hiểu Luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết các phương trình hàm là một trong những lĩnh vực nghiên cứu của Giải tích toán học khá gần gũi với học sinh khối trung học chuyên toán nói chung và đối tượng học sinh năng khiếu toán nói riêng Các dạng toán về phương trình hàm rất phong phú và thường xuất hiện trong các kỳ thi IMO, VMO, Các nhà toán học tiếp cận phương trình hàm theo nhiều mục tiêu nghiên cứu khác nhau Và một trong những vấn đề đáng để nhiều nhà toán học quan tâm trong những thập niên gần đây là sự ổn định của phương trình hàm

Lý thuyết phương trình hàm phát triển đến một thời điểm nào

đó thì các nhà toán học lại thắc mắc rằng “Có nhất thiết các luận điểm của các định lý chỉ đúng với các giả thiết đã cho hay không?” Hay “Nếu thay đổi một ít giả thiết thì các nghiệm của nó có lệch quá

xa so với nghiệm ban đầu không?” Và trong quá trình nghiên cứu lại nảy sinh một vấn đề là “ Nếu thay một phương trình hàm bằng một bất phương trình hàm thì các luận điểm, các định lý có còn xấp xỉ đúng hay không? và nghiệm của chúng sẽ như thế nào?” Đây là vấn

đề mở đầu cho việc nghiên cứu về tính ổn định của một phương trình hàm

Xuất phát từ những vấn đề mấu chốt này, tôi quyết định chọn

đề tài “PHƯƠNG TRÌNH HÀM MỘT BIẾN VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH”

để tìm hiểu và nghiên cứu

2 Mục tiêu nghiên cứu của đề tài

Mục tiêu của đề tài nhằm nghiên cứu thế nào là tính ổn định của một phương trình hàm một biến và khảo sát tính ổn định của một

số phương trình hàm một biến như phương trình hàm cộng tính, phương trình hàm nhân tính và phương trình hàm Abel

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là tính ổn định của một số phương trình hàm một biến Phạm vi nghiên cứu của đề tài là các phương trình hàm cộng tính, phương trình hàm nhân tính, phương trình hàm Abel và phương trình hàm liên hợp

4 Phương pháp nghiên cứu

- Thu thập các bài báo khoa học và các tài liệu của các tác giả nghiên cứu liên quan đến tính ổn định của phương trình hàm một biến

- Nghiên cứu các tài liệu thu thập được và phân tích, tổng hợp, trao đổi với thầy hướng dẫn kết quả đang nghiên cứu

5 Đóng góp của đề tài

Tổng quan các kết quả của các tác giả đã nghiên cứu liên quan đến tính ổn định của phương trình hàm một biến nhằm xây dựng một giáo trình đặc biệt dạy cho học sinh giỏi toán

6 Cấu trúc luận văn

Luận văn gồm: phần mở đầu, hai chương và kết luận

- Chương 1 Trình bày về phương trình hàm một biến với các vấn đề như: phương trình hàm Cauchy, phương trình hàm Jensen, phương trình hàm D’Alembert, một số họ cơ bản của phương trình,

các phương trình liên hợp, thuật toán Lévy cho phương trình Abel và

phương trình hàm và mạng các căn thức

- Chương 2 Trình bày về tính ổn định của một số phương

trình hàm một biến như phương trình hàm cộng tính, phương trình

hàm nhân tính và phương trình hàm Abel

CHƯƠNG 1 PHƯƠNG TRÌNH HÀM MỘT BIẾN

Bài toán 1.1 (Bài toán phương trình hàm Cauchy)

Cho hàm :f ¡ ¡ là hàm số liên tục trên ® ¡ và thỏa mãn (f x y+ ) = f x( )+ f y( ) (1.1)

với mọi số thực x, y Ta sẽ chỉ ra được tồn tại một số thực a

sao cho

f x =ax " Ρ

Nhận xét

1 Trong bài toán trên, ta thấy chỉ cần giả thiết f liên tục tại một

điểm x0Ρ cho trước là đủ Khi đó hàm f(x) thỏa mãn (1.1) sẽ

liên tục trên ¡

Thật vậy, theo giả thiết thì

Điều này chứng tỏ f liên tục tại mọi điểm x1 tùy ý thuộc ¡

Hay f liên tục trên ¡

2 Kết quả của bài toán 1.1 sẽ không thay đổi nếu ta thay ¡

với mọi số hữu tỉ q

Tất cả những gì chúng ta cần làm là rút ra kết luận khi thay số

hữu tỉ q bằng số thực x bất kỳ Để làm được điều này nhanh chóng, bước cuối cùng chúng ta sử dụng giả thiết rằng f là một hàm liên tục Chú ý, định lý 1.1 không cho giả thiết f là hàm liên tục Kết quả

sau đây là công cụ đầu tiên cho bước cuối cùng của chứng minh này

Định lý 1.2 Giả sử rằng :f ¡ ¡ và :® g ¡ ¡ là các hàm ®liên tục sao cho f q( )= g q( ) với mọi số hữu tỉ q Khi đó

Ví dụ, chúng ta có thể viết x với một sự khai triển số thập phân vô

hạn và cho qi là số hữu tỉ thu được bằng cách khai triển số thập

phân có kết thúc của x

i i

1.1.2 Ứng dụng của phương trình hàm Cauchy

Định lý 1.4 Giả sử f :¡ ¡ thỏa mãn phương trình hàm ®Cauchy

với mọi số thực x, y Khi đó ( ) f x = ax a, Î ¡ tùy ý

Định lý 1.5 Giả sử :f ¡ ¡ thỏa mãn đồng thời hai ®

phương trình

f x y+ = f x +f y (1.7) (f x y) = f x f y( ) ( ) (1.8) với mọi số thực x, y Khi đó ( ) 0,f x = " x

Bài toán 1.3 Xác định các hàm f(x) liên tục trên ¡ và thỏa mãn điều kiện

và được xét như một phiên bản của phương trình hàm Cauchy dùng

trung bình Một lần nữa hàm f luôn được giả thiết là hàm liên tục

Để đơn giản, ta giả sử rằng miền xác định của hàm f là toàn bộ trục

số thực Nghiệm của phương trình dễ dàng thu được từ kết quả của phần trước

1.3 PHƯƠNG TRÌNH HÀM D’ALEMBERT

Phương trình hàm D’Alembert là phương trình hàm có dạng (f x y+ )+ f x y( - )= 2 ( ) ( ),f x f y "x y, Ρ (1.18)

Định lý 1.6: (Định lý nghiệm của phương trình hàm

D’Alembert) Giả sử :f ¡ ¡ liên tục và thỏa mãn điều kiện ® ,

f x y+ + f x y- = f x f y "x yΡ

Khi đó f là một trong các hàm sau:

( ) 0,( ) 1,

Bây giờ ta xét một bài toán ứng dụng định lý nghiệm của phương trình hàm D’Alembert như sau

Bài toán 1.4 Cho aΡ (a¹0), tìm các hàm f(x) liên tục

trên ¡ và thỏa mãn điều kiện

(f x y a+ + +) f x( - +y a)=2 ( ) ( ),f x f y "x y, Ρ (1.26)

Bài toán 1.5: Cho aΡ (a¹0), tìm các hàm f(x) liên tục

trên ¡ và thỏa mãn điều kiện:

(f x y a- + -) f x( + +y a)=2 ( ) ( ),f x f y "x y, Ρ (1.32)

Nhận xét Từ cách giải và kết quả của bài toán 1.4 và bài toán

1.5 thì ta có các bài toán khi cho a các giá trị cụ thể khác nhau

1.4 TUYẾN TÍNH HÓA

Đôi khi những bài toán phức tạp có thể được giải quyết một cách khá đơn giản Ví dụ, giả sử rằng chúng ta được yêu cầu tìm một nghiệm của phương trình

thay đổi bài toán với một hàm tăng nhanh hơn Đặt ( ) ( ), (x 0)

F x = f a a > Tương đương với F(log )a x = f x( ) Sau

-hay (2 )F x -F x( ) 1,= " > (1.40) x 0Phương trình này nhắc ta tính chất của logarit Hàm

Phương pháp riêng được biết đến ở đây là tuyến tính hóa Nó

có thể được dùng để chuyển đổi một số phương trình phức tạp thành một phương trình đơn giản hơn

Trong ví dụ ở trên, tính chất phi tuyến tính là trên miền xác định của hàm số Tuy nhiên phương trình sau đây phi tuyến tính trên

miền giá trị của f

f x+ = f x (1.42) Chúng ta giả sử rằng ( )f x ¹0," Chúng ta có thể đưa về x

phương trình tuyến tính này bằng cách đặt ( )F x =log f x a a ( ), > 0

Chú ý rằng nếu phương trình nghiệm đúng với mọi x thì f phải tuyệt

đối chặt chẽ Sau đó phương trình trở thành (F x+ =1) 2 ( )F x và ta

có thể dễ dàng tìm thấy một đáp án ( )F x =2x Như vậy, chúng ta có thể kết luận rằng một nghiệm của phương trình ban đầu là

f x( )=a2x (1.43) Nói chung, chúng ta tìm đến một phương trình tuyến tính bằng

Bài toán 1.6 Có tồn tại hay không các hàm f :¡®¡ và :

với mọi số thực x và :a ¡ ¡ là một hàm cho trước ®

Nếu không có giả thiết rằng f là một hàm liên tục thì lời giải

đầy đủ sẽ dễ dàng và được viết như dưới đây Trước hết, ta viết:

a1( )x = a( )x và an+ 1( )x = a a( n( ))x (1.58) với nÎ¥ Để thuận lợi, ta định nghĩa * a là hàm số xác định 0

bởi

Khi đó f là hàm hằng theo biến x

Bài toán 1.7 (1996, Putnam): Cho a là một số thực bất kỳ

Tìm (có chứng minh) tất cả các hàm liên tục :f ¡® ¡ sao cho

Nếu f là một nghiệm của phương trình (1.63) và giả sử f có

một hàm ngược g = f-1, thì g f = -1 là nghiệm của phương trình

g sy( )= a[g y( )] (1.64) Phương trình (1.64) được gọi là phương trình Poincare

Phương trình hàm dạng

f [ a ( ) x ] = f x ( ) + a (1.65) trong đó a là hàm cho trước được gọi là phương trình hàm Abel

Phương trình

f[a( )x ] [= f x( )]p (1.66) trong đó p¹1 được gọi là phương trình BottCher Với

phương trình này ta quan tâm tới lớp hàm không âm f(x)

Một dạng phương trình nữa được chú ý là phương trình giao hoán Phương trình giao hoán được xác định bởi:

f [ a( )x ]= a f x( ) (1.67) Tất cả các phương trình mà ta đã xét ở trên là các trường hợp đặc biệt của một họ các phương trình được gọi là phương trình liên hợp sau đây:

f[a( )x ]=b[f x( )] (1.68) Trong đó ,a b là các hàm cho trước Rõ ràng khi a = b, chúng ta nhận được một phương trình giao hoán, khi b( )x =s x ta nhận được phương trình Schroder ,v.v

1.6.2 Thuật toán Lévy cho phương trình Abel

Chúng ta xét trường hợp đặc biệt của phương trình Abel khi 1

a = , nghĩa là f[a( )x ]= f x( ) 1+ Chú ý rằng, nếu f(x) là một lời

giải bất kỳ cho phương trình Abel (1.65)thì f x( )+c (với c là hằng

số tùy ý) cũng là nghiệm của phương trình Abel Nếu hàm a n( )x là một xấp xỉ nhân, người ta có thể biến đổi phương trình Abel về

phương trình S và tìm nghiệm như trong mục trước Ngược lại người

ta có thể biến đổi hàm a n( )x bằng cách dùng x® +x a Trong trường hợp này đa số các công thức tường minh của phương trình hàm có dạng phương trình hàm Abel Giả sử $ sao cho: x0

1.6.3 Thuật toán Koenigs cho phương trình Schroder

Ta chú ý rằng nếu f(x) là một lời giải bất kỳ cho phương trình

Schroder f[a( )x ]= s f x ( ) thì ta nhân nó với một hằng số bất kỳ (tức là k f x k ( ), Ρ) cũng là lời giải cho phương trình Schroder Nếu dãy a là một cấp số nhân thì ta có tìm thấy lời giải cho n

phương trình Schroder Hàm a n( )x được gọi là xấp xỉ hình học nếu tồn tại một số sÎ (0; 1) sao cho

lim n( )n

n

x s

a xấp xỉ hình học với độ biến đổi s độc lập với x, một nghiệm

của phương trình Schroder được cho bởi

( )( ) lim

n n n

Với cách chọn đặc biệt của s mà nó có tính chất (1.71).Điều này là

dễ dàng kiểm tra bằng cách thế trực tiếp với phương trình Schroder Thật vậy

1.6.4 Một thuật toán cho phương trình Bottcher

Nếu f(x) là một nghiệm bất kỳ của phương trình Bottcher

(1.66),thì [f x( )]q cũng là nghiệm với số mũ q bất kỳ Phương trình

Bottcher có thể theo cách tự nhiên để đưa về một phương trình tuyến

tính hóa khi hàm a n( )x được xấp xỉ như một hàm lũy thừa Một

nghiệm của phương trình Bottcher có thể thu được nếu giới hạn ( ) lim n( ) p n

n

-®¥é ù

= ë û (1.73) tồn tại

1.6.5 Giải phương trình giao hoán

Dễ thấy rằng các hàm ( ) n(x)

n

f x =a thỏa mãn phương trình giao hoán

g a x =s x , hơn nữa giả sử g là đơn ánh với hàm ngược g- 1

khi đó với bất kỳ hằng số c, sao cho

[ ]

1

f x = g- c g x (1.74) thỏa mãn phương trình giao hoán Điều này được suy ra dễ dàng bằng cách dùng sự kiện g-1

thỏa mãn phương trình Poincare Ta có:

1 1

g ( )( )

c g x

f x

-

Nếu g thỏa mãn phương trình Abel g[a( )x ] =g x( )+ a thì

với mỗi hằng số c, hàm f x( )= g- 1[g x( )+c] thỏa mãn phương

trình giao hoán Cuối cùng, nếu g[a( )x ] [= g( )x ]p (phương trình Bottcher) thì hàm f x( )=g-1{ [g x( )]c} thỏa mãn phương trình giao

hoán với mọi c

Định lý 1.7 Cho ( )f x thỏa mãn phương trình hàm

CHƯƠNG 2 TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM MỘT BIẾN

2.1 ĐỊNH NGHĨA TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM MỘT BIẾN

Định nghĩa: Cho phương trình hàm ( ) 0G f = , với G là hàm cho trước, f D: f ® ¡ có miền xác định là D và f

Định lý 2.1 (Định lý Hyers) Nếu hàm :f ¡®¡ là một hàm thực thỏa mãn

( ) ( ) ( ) , ,

f x y+ - f x - f y £ d "x yΡ với d dương nào đó, thì tồn tại duy nhất một hàm cộng tính :

2

n n n

2

2 2

p p

f x - A x £ d x " Îx

g x x

® = ¥

Hàm g của Gajda tiến rất gần về 0

Gajda đã xây dựng hàm g như sau Cho một số q > cố định, 0:

g ¡ ¡ được định nghĩa bởi: ®

0

( ) 2 n (2 ),n n

=

=å f " Ρ trong đó :f ¡ ¡ là hàm cho bởi: ®

,16

1

61

ïï

f = í q - < <

ï

ï q ¥ < £ ïî

-Điều này chứng tỏ định lý 2.2 không còn đúng khi p = 1

Định lý 2.3: Tồn tại một hàm liên tục :f ¡®¡ thỏa mãn (f x y+ )- f x( ) - f y( ) £ x+ y (2.24)

với bất kỳ ,x yΡ , và với lim ( )

x

f x x

®¥ = ¥

Bài toán 2.1: ( Xét tính ổn định của phương trình hàm Jensen

đã đưa ra ở ví dụ mục 2.1) Giả sử hàm f thỏa mãn

với e là số dương tùy ý cho trước và với mọi ,x yΡ Khi

đó tồn tại duy nhất một hàm cộng tính A : ¡®¡ sao cho

với e là số dương tùy ý cho trước và với mọi ,x yΡ Khi đó tồn tại duy nhất một hàm cộng tính A : ¡®¡ sao cho

được gọi là phương trình hàm nhân tính Hàm f(x) liên tục

trên \{0}¡ và thỏa mãn (2.43) được gọi là hàm nhân tính

Bây giờ ta đi xét tính ổn định của phương trình (2.43)

Định lý 2.4: Giả sử d >0, :f ¡\{0}®¡ sao cho

( )f xy - f x f y( ) ( ) £ d ", x y, Ρ\ {0} (2.44) Khi đó, hoặc

f ¡ ¡ là một hàm thỏa mãn ®

( )f xy -f x f y( ) ( ) £ j( )x (2.47) với mọi ,x yΡ Khi đó, f là một hàm bị chặn hoặc f là một hàm nhân tính

2.4 TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM ABEL

Trong phần này, ta xét phương trình hàm Abel dưới dạng:

f x y+ = g xy +h x- y (2.52) với , ,f g h là các hàm thực và "x y, Ρ

Định lý 2.6 Nếu hàm số f g h, , :¡ ¡ thỏa mãn bất ®phương trình hàm

(f x y+ )- g xy( )-h x( - y) £ e (2.53) với e ³ nào đó và 0 "x y, Ρ , thì tồn tại duy nhất một hàm cộng tính :A ¡ ¡ sao cho: ®

2

4( ) ( ) (0) (0) 21 ,

KẾT LUẬN

Luận văn trình bày hệ thống các kiến thức về một số phương trình hàm một biến và tính ổn định của các phương trình hàm một biến, cụ thể:

- Trình bày các định lí, các bài tập liên quan đến phương trình hàm Cauchy, phương trình hàm Jensen, phương trình hàm D’Alembert

- Nêu ra các phương trình hàm liên hợp và cách giải các phương trình hàm liên hợp

- Định nghĩa được thế nào là tính ổn định của một phương trình hàm một biến và qua đó đã xét tính ổn định của phương trình hàm cộng tính, phương trình hàm nhân tính và một dạng của phương trình hàm Abel

Tôi mong muốn luận văn sẽ góp phần phục vụ cho việc giảng dạy về phương trình hàm cho đối tượng học sinh chuyên toán nói chung và học sinh năng khiếu toán nói riêng