Phương trình hàm một biến

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————- PHAN THỊ HỒNG THẮM PHƯƠNG TRÌNH HÀM MỘT BIẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Đà Nẵng - Năm 2020 LỜI CẢM ƠN Lời em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn, TS Phạm Qúy Mười, dành thời gian hướng dẫn, bảo, tận tình giúp đỡ em suốt trình thực luận văn Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất thầy cô giáo tận tình dạy bảo em suốt thời gian học cao học Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng Đồng thời, em xin gửi lời cảm ơn đến anh chị lớp PPTSCK36 nhiệt tình giúp đỡ trình học tập Tác giả Phan Thị Hồng Thắm MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MỘT BIẾN 1.1 Hàm số biến 1.2 Hàm số chẵn, hàm số lẻ hàm số tuần hoàn 1.3 Hàm số đồng biến hàm số nghịch biến 1.4 Hàm số liên tục 1.5 Hàm số khả vi 1.6 Dãy số, giới hạn dãy số 1.7 Đặc trưng hàm số hàm sơ cấp CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH HÀM MỘT BIẾN 2.1 Phương trình hàm giải phương trình hàm 2.2 Một số phương pháp giải phương trình hàm 2.2.1 Phương pháp biến 2.2.2 Phương pháp dùng hàm phụ 13 2.2.3 Phương pháp hệ số bất định 17 2.2.4 Phương pháp tìm nghiệm riêng 22 2.2.5 Phương pháp giải cách lập phương trình 26 CHƯƠNG MỘT SỐ DẠNG ĐẶC BIỆT CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM MỘT BIẾN 31 3.1 Một số họ phương trình hàm 31 MỤC LỤC 3.2 Phương trình Abel 32 3.3 Phương trình Schroder 36 3.4 Phương trình Bottcher 41 3.5 Phương trình giao hốn 43 KẾT LUẬN 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO 50 CÁC KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN ∀, ∃ R R+ R− Q Q+ Q− Z Z+ Z− N N∗ D( f ) [x] x∈M A⊂M ∩, ∪, ⊂, ⊃ : Các ký hiệu logic ( Với mọi, tồn tại) : Tập hợp số thực : Tập hợp số thực dương : Tập hợp số thực âm : Tập hợp số hữu tỉ : Tập hợp số hữu tỉ dương : Tập hợp số hữu tỉ âm : Tập hợp số nguyên : Tập hợp số nguyên dương : Tập hợp số nguyên âm : Tập hợp số tự nhiên : Tập hợp số tự nhiên khác : Tập xác định hàm số f : Phần nguyên số thực x : x phần tử M : A tập hợp M : Các phép toán tập hợp MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phương trình hàm phương trình mà ẩn hàm số Giải phương trình hàm tức tìm hàm số chưa biết thỏa mãn phương trình hàm điều kiện khác (nếu có) Lý thuyết phương trình hàm lĩnh vực nghiên cứu quan trọng chun ngành Đại số Giải tích Tốn học tốn học phổ thơng Các dạng tốn phương trình hàm phong phú đa dạng, bao gồm loại phương trình tuyến tính phi tuyến tính, phương trình hàm với biến số phương trình hàm với hai nhiều biến số, Phương trình hàm biến chuyên đề quan trọng bồi dưỡng học sinh giỏi bậc trung học phổ thông Những năm gần đây, dạng tốn phương trình hàm biến xuất ngày nhiều kỳ thi học sinh giỏi toán quốc gia, Olympic toán khu vực quốc tế Tuy nhiên, việc giảng dạy học tập phương trình hàm biến trường chun nói riêng trường trung học phổ thơng nói chung cịn chưa quan tâm, đầu tư mực, làm cho học sinh giáo viên khó tiếp cận lĩnh vực này, chí cịn lúng túng việc giải phương trình hàm, đơi cịn khơng biết định hướng tiếp cận phương trình hàm biến Hiện nay, tài liệu liên quan đến phương trình hàm tiếng việt có, khơng nhiều Các tài liệu có thường trình bày lí thuyết chung tập trung vào số dạng phương trình đặc biệt Vì thế, sinh viên giáo viên gặp nhiều khó khăn việc nắm bắt, hiểu vận dụng Do đó, để giúp học sinh dễ dàng tiếp cận phương trình hàm biến, tơi chọn đề tài: “Phương trình hàm biến” Nội dung luận văn nhằm trình bày sở lí thuyết, số dạng tốn phương pháp giải phương trình hàm biến Mục tiêu nghiên cứu Luận văn tập trung nghiên cứu lí thuyết chung phương trình hàm biến, số phương trình hàm biến đặc biệt phương pháp giải 45 Đặt f ( 1t ) = g(t) Khi g(t + 12 ) = g 1+2t = f ( 1+2t ) Thay vào (3.64) ta được: 1 = g(t) + (3.65) 2 Đặt: g(t) = t + h(t) Thay vào (3.65) ta được: 1 t + + h(t + ) = t + h(t) + 2 ⇔ h(t + ) = h(t) x Vậy f (x) = g( ) = +h( ) = xh( ) , h(x) hàm số tuần hồn chu kì 12 , bất x x x x kì g t+ Thử lại thấy đúng, thật vậy: 2x 2x 2x x+2 f = = 2x x+2 + ( x+2 ).h( 1x + 21 ) x + + 2xh( 1x ) f (x) = f (x) + 2x 1+xh( 1x ) x +2 1+xh( 1x ) = Tất hàm số thỏa mãn đề f (x) = hồn chu kì 12 , Bài toán 3.5.3 2x x + + 2xh( 1x ) x 1+xh( 1x ) Trong h(x) hàm tuần Tìm tất hàm số f : R\{−2} → R\{−2} Thỏa mãn: −1 −1 f( )= , ∀x = −2 (3.66) x+2 f (x) + Giải Giả sử f (x) hàm số thỏa mãn đề Đặt t = 1x Khi đó: −t −1 −1 = x = −1 + , = = −1 + t x + −1 + + 1t t +1 1+t Thay vào (3.66) ta được: −1 )= , ∀x ∈ / {0, −1} f (−1 + t +1 f (−1 + 1t ) + (3.67) Đặt f (−1 + 1t ) + = g(t) Thay vào (3.67) ta được: −1 g(t + 1) − = , ∀t ∈ / {0, −1}, g(t) + ⇔ g(t + 1).g(t) + g(t + 1) − g(t) = 0, ∀t ∈ / {0, −1}, ⇔ g(t) − g(t + 1) = g(t + 1)g(t), ∀t ∈ / {0, −1} (3.68) 46 Chia hai vế (3.68) cho g(t + 1).g(t) ta 1 − = g(t + 1) g(t) Đặt g(t) = h(t) Thay vào (3.69) ta được: (3.69) h(t + 1) − h(t) = ⇔ h(t + 1) = h(t) + (3.70) Đặt h(t) = t + ϕ(t) Thay vào (3.70) ta được: t + + ϕ(t + 1) = t + ϕ(t) + ⇔ ϕ(t + 1) = ϕ(t) (3.71) Vậy: 1 ) = −1 + x+1 h( x+1 ) = −1 + 1 x+1 + ϕ( x+1 ) x+1 = −1 + 1 + (x + 1)ϕ( x+1 ) f (x) = −1 + g( Thử lại ta thấy đúng, thật vậy, với ϕ hàm số thỏa mãn (3.71) ta có: x+1 −1 x+2 f( ) = −1 + x+2 x+1 x+2 ) + x+2 ϕ( x+1 = −1 + = −1 + = 1+ x+1 x+2 x+1 x+2 ϕ( x+1 ) x+1 x + + (x + 1)ϕ( x+1 ) −1 − (x + 1)ϕ( x+1 ) x + + (x + 1)ϕ( x+1 ) −1 −1 = x+1 f (x) + −1 + 1+(x+1)ϕ( = = = x+1 ) (3.72) +2 −1 x+1 + 1+(x+1)ϕ( x+1 ) −1 x+1 + 1+(x+1)ϕ( x+1 ) −1 − (x + 1)ϕ( x+1 ) x + + (x + 1)ϕ( x+1 ) (3.73) 47 −1 )= Từ (3.72) (3.73) suy ra: f ( x+2 −1 f (x)+2 x+1 Vậy tất hàm số thỏa mãn yêu cầu đề là: f (x) = −1 + 1+(x+1)ϕ( x+1 ) , đó, ϕ hàm số thỏa mãn (3.71) Bài tốn 3.5.4 Tìm tất hàm số xác định R \{−1}, nhận giá trị khác −1 thỏa mãn điều kiện: f (x) − 4x − )= , ∀x = −1 f( x+1 f (x) + (3.74) Giải Giả sử hàm số f (x) thỏa mãn yêu cầu đề Trong (3.74) lấy x = được: f (1) − f (1) = ⇔ [ f (1)]2 − f (1) + = ⇔ f (1) = f (1) = f (1) + f (2) = Tiếp theo ta xét x ∈ / {−1, 1, 2} Tương tự ta được: f (2) = Đặt t = x−1 x−2 , đó: 2t − 1 tx − 2t = x − ⇔ x = ⇔ x = 2+ t −1 t −1 8t−4 4x − t−1 − = 2t−1 x+1 t−1 + 6t − 2 = 2+ 3t − 3t − 2 = + 3t−2 , ∀t ∈ / {0, 1, 23 } Thay vào (3.74) được: = Vậy x = + t−1 , 4x−2 x+1 f (2 + t−1 )−2 2 , ∀t ∈ / {0, 1, f (2 + )= } 3t − )+1 f (2 + t−1 f (2 + t−1 )−2 ⇔ f (2 + − 1) = , ∀t ∈ / {0, 1, } f (2 + t−1 ) + 2t Đặt f (2 + t−1 ) = g(t) Thay vào (3.75) ta được: 4g(t) − 2 g( t) = , ∀t ∈ / {0, 1, } g(t) + Đặt g(t) = h(t) + 1, thay vào (3.76) ta được: 4h(t) + 2 h( t) + = , ∀t ∈ / {0, 1, } h(t) + 3 ⇔ h( t)h(t) + 2h( t) + h(t) + 2 2 = 4h(t) + 2, ∀t ∈ / {0, 1, } (3.75) (3.76) 48 3 ⇔ h( t)h(t) = −2h( t) + 3h(t), ∀t ∈ / {0, 1, } 2 3 Chia hai vế (3.77) cho h( t)h(t) ta được: 1=− + h(t) h( t) Đặt h(t) = k(t) Thay vào (3.78) ta được: k( t) = k(t) + 3 Đặt k(t) = + e(t) Thay vào (3.79) ta được: 1 + e( t) = [1 + e(t)] + 3 ⇔ e( t) = e(t) 3 φ( t) 2φ(t) Đặt e(t) = φ(t) t Thay vào (3.80) được: t = 3t ⇔ φ( t) = φ(t) Vậy: x−1 x−1 f (x) = g( ) = h( )+1 x−2 x−2 = x−1 + k( x−2 ) = +1 + e( x−1 ) x−2 = +1 x−2 ) + x−1 φ( x−1 x−2 x−1 = 1+ x − + (x − 2)φ( x−1 ) x−2 Thử lại thấy thỏa mãn (với φ hàm số thỏa mãn φ( 32 t) = φ(t)) (3.77) (3.78) (3.79) (3.80) 49 KẾT LUẬN Dưới hướng dẫn khoa học TS Phạm Quý Mười với nỗ lực học tập nghiêm túc nghiên cứu thân, kết luận văn "Phương trình hàm biến" trình bày theo hệ thống sau: Hệ thống hóa lại kiến thức hàm số chẵn, hàm số lẽ, hàm số tuần hoàn, hàm số đồng biến, nghịch biến, tính liên tục, tính khả vi hàm số Luận văn trình bày số phương pháp giải phương trình hàm biến Trong phương pháp, tác giả cố gắng chọn lọc, sưu tầm tốn kì thi học sinh giỏi quốc gia, vực, quốc tế toán tạp chí tốn học tuổi trẻ để minh họa cho phương pháp giải Qua giúp học sinh dễ nắm bắt phương pháp, vận dụng thực hành để ứng dụng việc giải phương trình hàm biến Luận văn trình bày vài phương pháp kỹ thuật giải tốn phương trình hàm biến như: Phương trình hàm, phương trình hàm giao hốn, phương trình hàm Schroder, phương trình hàm Abel, phương trình hàm Bottcher Luận văn tài liệu bổ ích cho bạn học sinh, sinh viên tham khảo cho kì thi Olympic, quốc gia, quốc tế Luận văn trình bày rõ ràng, sâu phân tích nhằm giúp người đọc có nhìn tổng quát Tuy nhiên, hạn chế thân chắn khơng tránh khỏi thiếu sót, cịn nhiều vấn đề mà tác giả chưa nghiên cứu mong nhận nhận xét góp ý chân thành từ quý thầy cô đọc giả để đề tài hoàn thiện 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Văn Mậu (1997), Phương trình hàm, NXB Giáo dục [2] Nguyễn Trọng Tấn (2004), Bài toán hàm số qua kỳ thi Olympic, NXB Giáo dục [3] Nguyễn Quý Dy, Nguyễn Sinh Nguyên, Nguyễn Văn Nho, Vũ Văn Thỏa, Vũ Dương Thụy (2006), Tuyển tập 200 thi vơ địch tốn - Tập 8, Phương trình hàm, NXB Giáo dục [4] Ban tổ chức kỳ thi (2012), Tổng hợp đề thi Olympic 30 tháng 4, NXB Đại học sư phạm [5] Nguyễn Tài Chung (2014), Bồi dưỡng học sinh giỏi phương trình hàm, NXB Đại học quốc gia Hà Nội [6] Ngô Thúc Lanh, Đồn Quỳnh, Nguyễn Đình Trí (2000), Từ điển tốn học thông dụng, NXB giáo dục Tiếng Anh [7] Christopher G Small (2000), Functional Equations and How to Solve Them, Department of Statistics and Actuarial Science, University of Waterloo HOC DA NANG TRUONG DAIHOC SVPHAM DAr S6: 155J~QD-DHSP CONG HoA XA HOI cau NGHIA VIET NAM DQc I~p - T., - Hanh phuc Da Ngng, b2/- thang i{ ndm $JiiJ QUYETDJNH V~ vi~c giao d~ tai va trltch nhi~m hU'O'ngdin lu~n van thac sl IDEUTRVONGTRUONGDAIHOCSVPHAM Can cir Nghi dinh s6 32/CP 04/411994 cua Chinh phu v€ viec l~p D~i hoc Da N~ng; Can cu Thong nr s6 08/2014/TT-BGDDT 20/3/2014 cua B9 Giao due va Dao tao v€ viec ban hanh Quy ch~ t6 chirc va hoat d9ng cua dai hoc vung va cac co sa giao due dai hoc vien; Can cir Quyet dinh s6 6950/QD-DHDN 01112/2014 cua Giam d6c Dai hoc Da N~ng ban hanh Quy dinh nhiem vu, quyen han cua Dai hoc Da N~ng, cac co sa giao due dai hoc vien va cac dan vi tIVCthuoc; Can ctr Thong tu s6 15/2014ITT-BGDDT 15/5/2014 clla B9 Giao dl,lC va Dao t~o v~ vi~c ban hanh Quy ch~ Dao t~o trinh d9 th~c sl; Can Cll' Quy~t dinh 1060/QD-DHSP 01/11/2016 clla Hi~u tnrang TruOng D~i hQc Su ph~m - DHDN v€ vi~c ban hanh Quy dinh dao t~o trinh d9 th~c sl; Xet d~ nghi clla Ban Chll nhi~m Khoa Toan v~ vi~c Quy€t dinh giao d~ tai va tnlch nhi~m hu6ng d~n lu~n van th~c sl; X6t d~ nght clla ong Truang Phong Dao t~o, QUYtTDJNH: Di~u 1: Giao cho hQcvien Phan Thi HAng Th~m, ngfmh PhU'ong phap toan sO'tip d~t t~i dan vi ph6i hqp dao t~o Truong D~i hQc Quang Binh, khoa 36, th\l'c hi~n d~ tai lu~n van PhU'O'ng trlnh ham mQt biin, duO; Sl! hU'O'ng d~n clla TS Ph~m Quy MUcYi, Truong D~i hQc Su ph~m - D~i hQc Da Ning Di~u 2: HQc vien cao hQCva nguoi hu6ng d~n co ten a Di~u duqc huang cac quy~n lqi va thl!C hi~n nhi~m VI} dung thea Quy ch€ dao t~o trinh d9 th~c sl B9 Giao dl}c va Dao t~o ban hanh va Quy dinh v~ dao t~o trinh d9 th~c sl clla Truong D~i hQc Su ph~m D~i hQc Da N~ng Di~u 3: Cac ong (ba) Truang Phong T6 chuc - Himh chinh, Dao t~o, K€ ho~ch Tai chin~1l'Khoa Toan, nguoi huang d~ lu~n van va hQCvien co ten tren can ClrQuy€t dinh thi hanh.'I:-~ /.Yo \) ;:; Nai nh~n: - Nhu f)i~u 3; - Luu: VT, Dao o HIEU TRVONG C \I' "":, -'i ',', ';'~v 1\10 PGS.TS, LUU TRANG \ ugl cuu Ncni,l vrTT NAM ceNG HoA xA DAI HQC OA NANC rnUoNc DAr HQC sU rn4.vr EQc lflp - TE - H4nh phtic BIEN BAN VAN THAC SI HOP - DONG CHAM LUAN - HOI TOn de tdi Phuong trinh hdm mQt bitin Ngdnh: Phuong ph5p toan scr cdp Theo Quytit dinh thdnh lap Hoi d6n-s cham ludn vdn th4c si s6 thfng Ngay hgp H6i dong: rigal rhang /QD-DHSP ndm 2020 ndm 2020 Danh s6ch c6c viOn HQi d6ng: cr.IoNG vI TRONG HQr \A HO VA TEN STT uoNc I Chir tich TS Luong Qu6c Tuyi5n TS L0 H6i Trung J TS L0 VIn Dflng PhAn TS NguySn Thdnh Chung Phin biOn TS TrAn Dric Thdnh a Thdnh vi0n c6 mdt: Thu biqn IIv vi6n of b Thdnh vi6n v6ng mflt o ki HOi d6ng b6o c6o qu6 trinh hgc tflp, nghiCn cr?u c[ra hgc vi6n cao hgc vd dgc ly lich khoa hqc (c6 vdn bin kdm theo) Hgc vi6n cao hgc trinh bdy lu4n vdn C6c phin biQn dgc nhpn x6t vd n6u c6u hoi (c6 vdn bin kdm theo) Hqc vi6n cao hoc trA ldi c6c c6u hoi cira thdnh vi6n HQi d6ng 10 I Thu ky Hqi d6ng hgp ri€ng ee Canfr gia 11 Truong ban kiOm phi6u c6ng bti ki5t qui I tZ.f}tluAn c[ra HQi d6ng a) K6t lu6n chung: -0;- AtL, &r4 ),,.- h L t*- ln; rh cZi fLu t b) YCu cAu chinh" suqtQ Ahar^ - ,hx J,* er- h"L a- uJ.* ( ;; 2la^- 71.* L/rt: J >la't-' nQi4qg ^ #{ dA ,},^- Lr^ /;k />":> /rD" ,)v1 e- il-, g-