Phương trình hàm một biến và tính ổn định

Header Page of 145 B GIO DC V O TO I HC NNG Vế TH NGUYT PHNG TRèNH HM MT BIN V TNH N NH Chuyờn ngnh: Phng phỏp toỏn s cp Mó s: 60 46 0113 TểM TT LUN VN THC S KHOA HC Nng Nm 2014 Footer Page of 145 Header Page of 145 Cụng trỡnh c hon thnh ti I HC NNG Ngi hng dn khoa hc: TS CAO VN NUễI Phn bin 1: PGS.TSKH Trn Quc Chin Phn bin 2: GS.TSKH Nguyn Vn Mu Lun ó c bo v trc Hi ng chm Lun tt nghip Thc s Khoa hc hp ti i Hc Nng vo ngy 14 thỏng 06 nm 2014 Cú th tỡm hiu Lun ti: - Trung tõm Thụng tin - Hc liu, i hc Nng - Th vin trng i hc S phm, i hc Nng Footer Page of 145 Header Page of 145 M U Lý chn ti Lý thuyt cỏc phng trỡnh hm l mt nhng lnh vc nghiờn cu ca Gii tớch toỏn hc khỏ gn gi vi hc sinh trung hc chuyờn toỏn núi chung v i tng hc sinh nng khiu toỏn núi riờng Cỏc dng toỏn v phng trỡnh hm rt phong phỳ v thng xut hin cỏc k thi IMO, VMO, Cỏc nh toỏn hc tip cn phng trỡnh hm theo nhiu mc tiờu nghiờn cu khỏc V mt nhng ỏng nhiu nh toỏn hc quan tõm nhng thp niờn gn õy l s n nh ca phng trỡnh hm Lý thuyt phng trỡnh hm phỏt trin n mt thi im no ú thỡ cỏc nh toỏn hc li thc mc rng Cú nht thit cỏc lun im ca cỏc nh lý ch ỳng vi cỏc gi thit ó cho hay khụng? Hay Nu thay i mt ớt gi thit thỡ cỏc nghim ca nú cú lch quỏ xa so vi nghim ban u khụng? V quỏ trỡnh nghiờn cu li ny sinh mt l Nu thay mt phng trỡnh hm bng mt bt phng trỡnh hm thỡ cỏc lun im, cỏc nh lý cú cũn xp x ỳng hay khụng? v nghim ca chỳng s nh th no? õy l m u cho vic nghiờn cu v tớnh n nh ca mt phng trỡnh hm Xut phỏt t nhng mu cht ny, tụi quyt nh chn ti PHNG TRèNH HM MT BIN V TNH N NH tỡm hiu v nghiờn cu Footer Page of 145 Header Page of 145 2 Mc tiờu nghiờn cu ca ti Mc tiờu ca ti nhm nghiờn cu th no l tớnh n nh ca mt phng trỡnh hm mt bin v kho sỏt tớnh n nh ca mt s phng trỡnh hm mt bin nh phng trỡnh hm cng tớnh, phng trỡnh hm nhõn tớnh v phng trỡnh hm Abel i tng v phm vi nghiờn cu i tng nghiờn cu ca ti l tớnh n nh ca mt s phng trỡnh hm mt bin Phm vi nghiờn cu ca ti l cỏc phng trỡnh hm cng tớnh, phng trỡnh hm nhõn tớnh, phng trỡnh hm Abel v phng trỡnh hm liờn hp Phng phỏp nghiờn cu - Thu thp cỏc bi bỏo khoa hc v cỏc ti liu ca cỏc tỏc gi nghiờn cu liờn quan n tớnh n nh ca phng trỡnh hm mt bin - Nghiờn cu cỏc ti liu thu thp c v phõn tớch, tng hp, trao i vi thy hng dn kt qu ang nghiờn cu úng gúp ca ti Tng quan cỏc kt qu ca cỏc tỏc gi ó nghiờn cu liờn quan n tớnh n nh ca phng trỡnh hm mt bin nhm xõy dng mt giỏo trỡnh c bit dy cho hc sinh gii toỏn Cu trỳc lun Lun gm: phn m u, hai chng v kt lun - Chng Trỡnh by v phng trỡnh hm mt bin vi cỏc nh: phng trỡnh hm Cauchy, phng trỡnh hm Jensen, phng trỡnh hm DAlembert, mt s h c bn ca phng trỡnh, Footer Page of 145 Header Page of 145 cỏc phng trỡnh liờn hp, thut toỏn Lộvy cho phng trỡnh Abel v phng trỡnh hm v mng cỏc cn thc - Chng Trỡnh by v tớnh n nh ca mt s phng trỡnh hm mt bin nh phng trỡnh hm cng tớnh, phng trỡnh hm nhõn tớnh v phng trỡnh hm Abel Footer Page of 145 Header Page of 145 CHNG PHNG TRèNH HM MT BIN 1.1 PHNG TRèNH HM CAUCHY 1.1.1 Phng trỡnh hm Cauchy nh ngha Phng trỡnh hm Cauchy l phng trỡnh hm cú dng f ( x + y ) = f ( x) + f ( y ) vi mi s thc x v y Hm f tha phng trỡnh f ( x + y) = f ( x ) + f ( y), " x,y ẻ Ă c gi l hm cng tớnh Bi toỏn 1.1 (Bi toỏn phng trỡnh hm Cauchy) Cho hm f : Ă đ Ă l hm s liờn tc trờn f ( x + y ) = f ( x) + f ( y ) Ă v tha (1.1) vi mi s thc x, y Ta s ch c tn ti mt s thc a cho f ( x) = ax, " x ẻ Ă Nhn xột Trong bi toỏn trờn, ta thy ch cn gi thit f liờn tc ti mt im x0 ẻ Ă cho trc l Khi ú hm f(x) tha (1.1) s liờn tc trờn Ă Tht vy, theo gi thit thỡ Footer Page of 145 Header Page of 145 lim f ( x) = f ( x0 ) x đ x0 V vi mi x1 ẻ Ă ta u cú f ( x) = f (x - x1 + x0 ) + f (x1 ) - f ( x0 ), "x ẻ Ă T ú suy ra: lim f ( x) = lim [ f ( x - x1 + x0 ) + f ( x1 ) - f ( x0 )] x đ x1 x đ x1 = f ( x0 ) + f ( x1 ) - f ( x0 ) = f ( x1 ) tựy ý thuc Ă Kt qu ca bi toỏn 1.1 s khụng thay i nu ta thay Ă iu ny chng t f liờn tc ti mi im x1 Hay f liờn tc trờn Ă bng [ a; + Ơ ) hoc ( -Ơ; b] tựy ý nh lý 1.1 Cho hm f : Ă đ Ă tha phng trỡnh hm Cauchy f ( x + y ) = f ( x) + f ( y ) vi mi s thc x v y Khi ú tn ti mt s thc a cho f (q) = aq vi mi s hu t q Tt c nhng gỡ chỳng ta cn lm l rỳt kt lun thay s hu t q bng s thc x bt k lm c iu ny nhanh chúng, bc cui cựng chỳng ta s dng gi thit rng f l mt hm liờn tc Chỳ ý, nh lý 1.1 khụng cho gi thit f l hm liờn tc Kt qu sau õy l cụng c u tiờn cho bc cui cựng ca chng minh ny Footer Page of 145 Header Page of 145 nh lý 1.2 Gi s rng f : Ă đ Ă v g : Ă đ Ă l cỏc hm liờn tc cho f (q) = g (q) vi mi s hu t q Khi ú f ( x) = g ( x) vi mi s thc x Chng minh Kt qu ny bt ngun t c s lớ lun rng bt k s thc no cng cú th c xp x cht ch mt cỏch tựy ý bng cỏc s hu t Vớ d, chỳng ta cú th vit x vi mt s khai trin s thp phõn vụ hn v cho qi l s hu t thu c bng cỏch khai trin s thp phõn cú kt thỳc ca x x = lim qi i đƠ nh lý 1.3 Cho f : Ă đ Ă l mt hm liờn tc tha phng trỡnh hm Cauchy f ( x + y ) = f ( x) + f ( y ) vi mi s thc x v y Khi ú tn ti mt s thc a cho: f ( x) = ax, "x ẻ Ă Chng minh T nh lý 1.1, ta thy rng tn ti mt s thc a cho f (q) = aq vi mi s hu t q Nhng f ( x) v g ( x) = ax l cỏc hm liờn tc Do ú, t nh lý 1.2 ta suy f ( x) = g ( x) vi mi s thc x Tc l ta cú f ( x) = ax vi mi s thc x Footer Page of 145 Header Page of 145 1.1.2 ng dng ca phng trỡnh hm Cauchy nh lý 1.4 Gi s f : Ă đ Ă tha phng trỡnh hm Cauchy f ( x + y ) = f ( x) + f ( y ) (1.5) vi mi s thc x, y v f l hm n iu tng trờn Ă , ngha l f ( x) Ê f ( y ), " x Ê y Khi ú f ( x) = ax, vi a 0, "x ẻ Ă H qu Cho hm f : Ă đ Ă xỏc nh, cú o hm trờn Ă v tha iu kin f ( x + y ) = f ( x) + f ( y ) (1.6) vi mi s thc x, y Khi ú f ( x) = ax, a ẻ Ă tựy ý nh lý 1.5 Gi s f : Ă đ Ă tha ng thi hai phng trỡnh f ( x + y ) = f ( x) + f ( y ) (1.7) f ( x y ) = f ( x) f ( y ) (1.8) vi mi s thc x, y Khi ú f ( x) = 0, "x hoc f ( x) = x, "x ng dng ca phng trỡnh hm Cauchy s c minh c th qua mt s bi toỏn sau: Bi toỏn 1.2 Xỏc nh cỏc hm f liờn tc trờn Ă \ {0} tha iu kin: f ( xy ) = f ( x) + f ( y ), "x, y ẻ Ă \{0} Footer Page of 145 (1.10) Header Page 10 of 145 Bi toỏn 1.3 Xỏc nh cỏc hm f(x) liờn tc trờn Ă v tha iu kin f ( x + y ) = f ( x) f ( y ), "x, y ẻ Ă (1.12) 1.2 PHNG TRèNH HM JENSEN Phng trỡnh hm Jensen l phng trỡnh hm cú dng f ( x) + f ( y ) ổx+ yử fỗ , "x, y ẻ Ă ữ= ố ứ (1.13) v c xột nh mt phiờn bn ca phng trỡnh hm Cauchy dựng trung bỡnh Mt ln na hm f luụn c gi thit l hm liờn tc n gin, ta gi s rng xỏc nh ca hm f l ton b trc s thc Nghim ca phng trỡnh d dng thu c t kt qu ca phn trc 1.3 PHNG TRèNH HM DALEMBERT Phng trỡnh hm DAlembert l phng trỡnh hm cú dng f ( x + y ) + f ( x - y ) = f ( x) f ( y ), "x, y ẻ Ă (1.18) nh lý 1.6: (nh lý nghim ca phng trỡnh hm DAlembert) Gi s f : Ă đ Ă, liờn tc v tha iu kin f ( x + y ) + f ( x - y ) = f ( x) f ( y ), "x, y ẻ Ă Khi ú f l mt cỏc hm sau: f ( x) = 0, "x ẻ Ă f ( x) = 1, "x ẻ Ă f ( x) = cos(ax), "x ẻ Ă f ( x) = cosh(bx), "x ẻ Ă ú a, b l cỏc hng s thc khỏc Footer Page 10 of 145 Header Page 12 of 145 10 F (2 x) - F ( x) = 1, "x > hay (1.40) Phng trỡnh ny nhc ta tớnh cht ca logarit Hm F ( x) = log x tha phng trỡnh (1.40) vỡ f ( x) = F (log a x ) = log 2log a x (1.41) Xột phng trỡnh (1.41) ta cú f ( x ) - f ( x) = log 2log a x - log 2log a x = log (2log a x) - log 2log a x = log 2 + log 2log a x - log 2log a x = Vy phng trỡnh (1.41) tha phng trỡnh (1.39) vi mi a > Phng phỏp riờng c bit n õy l tuyn tớnh húa Nú cú th c dựng chuyn i mt s phng trỡnh phc thnh mt phng trỡnh n gin hn Trong vớ d trờn, tớnh cht phi tuyn tớnh l trờn xỏc nh ca hm s Tuy nhiờn phng trỡnh sau õy phi tuyn tớnh trờn giỏ tr ca f f ( x + 1) = [ f ( x) ] (1.42) Chỳng ta gi s rng f ( x) 0, " x Chỳng ta cú th a v phng trỡnh tuyn tớnh ny bng cỏch t F ( x) = log a f ( x), a > Chỳ ý rng nu phng trỡnh nghim ỳng vi mi x thỡ f phi tuyt i cht ch Sau ú phng trỡnh tr thnh F ( x + 1) = F ( x) v ta cú th d dng tỡm thy mt ỏp ỏn F ( x) = x Nh vy, chỳng ta cú th kt lun rng mt nghim ca phng trỡnh ban u l Footer Page 12 of 145 Header Page 13 of 145 11 f ( x) = a x (1.43) Núi chung, chỳng ta tỡm n mt phng trỡnh tuyn tớnh bng cỏch thay th mt hm f bng mt hm F r [ F ( j ( x))] = f ( x) (1.44) ú cỏc hm r v j c chn tựy vo s tuyn tớnh i vi tng phng trỡnh c th Khụng may, mt s phng trỡnh hm khụng th n gin húa bi k thut tuyn tớnh húa Tuy nhiờn, nú ỏnh giỏ xem xột mt cỏch thn trng hon thnh a v mt phng trỡnh m nú cú th n gin bi cỏc phộp bin i Bi toỏn 1.6 Cú tn ti hay khụng cỏc hm f : Ă đ Ă v g : Ă đ Ă cho: f [ g ( x) ] = x v g [ f ( x) ] = x (1.45) vi mi s thc x 1.5 MT S H PHNG TRèNH HM C BN Mt nhng h phng trỡnh hm mt bin n gin nht f ( x) = f [ a( x)] cú dng: (1.57) vi mi s thc x v a : Ă đ Ă l mt hm cho trc Nu khụng cú gi thit rng f l mt hm liờn tc thỡ li gii y s d dng v c vit nh di õy Trc ht, ta vit: a1 ( x) = a( x) v a n +1 ( x) = a (a n ( x)) (1.58) vi n ẻ Ơ* thun li, ta nh ngha a l hm s xỏc nh bi Footer Page 13 of 145 Header Page 14 of 145 12 a0 ( x) = x (1.59) Ta gi dóy: a( x ), a ( x), a ( x) l chu trỡnh ca x p dng liờn tip (1.57) n ln ta cú f ( x) = f ộở a n ( x) ựỷ (1.60) Khi ú f l hm hng theo bin x Bi toỏn 1.7 (1996, Putnam): Cho a l mt s thc bt k Tỡm (cú chng minh) tt c cỏc hm liờn tc f : Ă đ Ă cho f ( x) = f ( x + a ) vi mi s thc x Bi toỏn 1.8 Tỡm cỏc hm tha phng trỡnh f ( x ) + f ( x -1 ) = x, x (1.61) 1.6 PHNG TRèNH HM LIấN HP V GII PHNG TRèNH HM LIấN HP 1.6.1 Phng trỡnh hm liờn hp Ta gi phng trỡnh hm dng f [ a( x) ] =b [ f ( x) ] , ú a, b l cỏc hm ó cho trc, l phng trỡnh hm liờn hp Vi b( x) = s.x Ta cú phng trỡnh hm: f [ a( x) ] = s f ( x) (1.63) Phng trỡnh (1.63) c gi l phng trỡnh hm Schroder Footer Page 14 of 145 Header Page 15 of 145 13 Nu f l mt nghim ca phng trỡnh (1.63) v gi s f cú mt hm ngc -1 g = f -1 , thỡ g = f l nghim ca phng trỡnh g ( sy ) = a [ g ( y ) ] (1.64) Phng trỡnh (1.64) c gi l phng trỡnh Poincare Phng trỡnh hm dng f [ a( x) ] = f ( x) + a (1.65) ú a l hm cho trc c gi l phng trỡnh hm Abel Phng trỡnh f [ a ( x ) ] = [ f ( x) ] p (1.66) ú p c gi l phng trỡnh BottCher Vi phng trỡnh ny ta quan tõm ti lp hm khụng õm f(x) Mt dng phng trỡnh na c chỳ ý l phng trỡnh giao hoỏn Phng trỡnh giao hoỏn c xỏc nh bi: f [a ( x) ] = a f ( x ) (1.67) Tt c cỏc phng trỡnh m ta ó xột trờn l cỏc trng hp c bit ca mt h cỏc phng trỡnh c gi l phng trỡnh liờn hp sau õy: f [a ( x)] = b [ f ( x) ] (1.68) Trong ú a , b l cỏc hm cho trc Rừ rng a = b , chỳng ta nhn c mt phng trỡnh giao hoỏn, b ( x) = s.x ta nhn c phng trỡnh Schroder ,v.v Footer Page 15 of 145 Header Page 16 of 145 14 1.6.2 Thut toỏn Lộvy cho phng trỡnh Abel Chỳng ta xột trng hp c bit ca phng trỡnh Abel a = , ngha l f [a( x)] = f ( x) + Chỳ ý rng, nu f(x) l mt li gii bt k cho phng trỡnh Abel (1.65) thỡ f ( x ) + c (vi c l hng s tựy ý) cng l nghim ca phng trỡnh Abel Nu hm a n ( x) l mt xp x nhõn, ngi ta cú th bin i phng trỡnh Abel v phng trỡnh S v tỡm nghim nh mc trc Ngc li ngi ta cú th bin i hm a n ( x) bng cỏch dựng x đ x + a Trong trng hp ny a s cỏc cụng thc tng minh ca phng trỡnh hm cú dng phng trỡnh hm Abel Gi s $ x0 cho: a n +1 ( x0 ) - a n ( x0 ) = 1, "x n đƠ a n +1 ( x ) - a n ( x ) lim (1.69) Thỡ nu gii hn: a n ( x) - a n ( x0 ) n đƠ a n +1 ( x ) - a n ( x ) f ( x) = lim (1.70) tn ti, nú l mt li gii ca phng trỡnh Abel f [a ( x)] = f ( x) + 1.6.3 Thut toỏn Koenigs cho phng trỡnh Schroder Ta chỳ ý rng nu f(x) l mt li gii bt k cho phng trỡnh Schroder f [a ( x)] = s f ( x) thỡ ta nhõn nú vi mt hng s bt k (tc l k f ( x ), k ẻ Ă ) cng l li gii cho phng trỡnh Schroder Nu dóy a n l mt cp s nhõn thỡ ta cú tỡm thy li gii cho Footer Page 16 of 145 Header Page 17 of 145 15 phng trỡnh Schroder Hm a n ( x) c gi l xp x hỡnh hc nu tn ti mt s sẻ (0; 1) cho lim n đƠ a n ( x) sn (1.71) tn ti hu hn v khỏc Trong trng hp ny, ta núi rng hm a n ( x) cú bin i s trờn xỏc nh cỏc giỏ tr x Trong ú, a n ( x) xp x hỡnh hc vi bin i s c lp vi x, mt nghim ca phng trỡnh Schroder c cho bi f ( x) = lim n đƠ a n ( x) sn (1.72) Vi cỏch chn c bit ca s m nú cú tớnh cht (1.71) iu ny l d dng kim tra bng cỏch th trc tip vi phng trỡnh Schroder Tht vy f [ a ( x)] = lim n đƠ a n [ a( x)] sn = s lim n đƠ a n +1 ( x) = s f ( x) s n +1 Phng phỏp c bit cho phng trỡnh (1.72) a ti mt li gii m ngi ta thng gi l thut toỏn Koenigs 1.6.4 Mt thut toỏn cho phng trỡnh Bottcher Nu f(x) l mt nghim bt k ca phng trỡnh Bottcher (1.66), thỡ [ f ( x) ] cng l nghim vi s m q bt k Phng trỡnh q Bottcher cú th theo cỏch t nhiờn a v mt phng trỡnh tuyn Footer Page 17 of 145 Header Page 18 of 145 16 tớnh húa hm a n ( x ) c xp x nh mt hm ly tha Mt nghim ca phng trỡnh Bottcher cú th thu c nu gii hn f ( x) = lim ộởa n ( x) ựỷ n đƠ p -n (1.73) tn ti 1.6.5 Gii phng trỡnh giao hoỏn D thy rng cỏc hm f n ( x) = a n (x) tha phng trỡnh giao hoỏn f [a ( x)] = a [ f ( x) ] vi n ẻ Ơ Mt nhng cỏch gii phng trỡnh giao hoỏn l thụng qua mt li gii ca phng trỡnh Schroder, Abel hay Bottcher tng ng Chng hn, gi s g tha phng trỡnh Schroder, g [a ( x)] = s g( x) , hn na gi s g l n ỏnh vi hm ngc g -1 ú vi bt k hng s c, cho f ( x) = g -1 [ c.g ] ( x) (1.74) tha phng trỡnh giao hoỏn iu ny c suy d dng bng cỏch dựng s kin g -1 tha phng trỡnh Poincare Ta cú: f [a ( x) ] = g -1 ộởc.g (a ( x) ) ựỷ = a ộởg -1 ( c.g ( x) ) ựỷ = a [ f ( x)] Nu g tha phng trỡnh Abel g [a ( x)] = g ( x) + a thỡ vi mi hng s c, hm f ( x) = g -1 [ g ( x) + c] tha phng Footer Page 18 of 145 Header Page 19 of 145 17 trỡnh giao hoỏn Cui cựng, nu g [ a ( x)] = [ g( x)] { Bottcher) thỡ hm f ( x) = g -1 [ g ( x)] c } p (phng trỡnh tha phng trỡnh giao hoỏn vi mi c 1.7 PHNG TRèNH HM V MNG CC CN THC Lý thuyt mng cn thc hay cũn gi l lý thuyt cỏc cn lng cú quan h mt thit vi lý thuyt v quy Vỡ vy s chng cú gỡ ngc nhiờn thy rng mt s bi toỏn v mng cỏc cn thc c nghiờn cu bng cỏch s dng phng phỏp ca phng trỡnh hm nh lý 1.7 Cho f ( x) tha phng trỡnh hm [ f ( x)] = 1+ x f ( x +1) (1.84) x +1 Ê f ( x) Ê 2( x +1) (1.85) v tha bt phng trỡnh vi mi x Khi ú f ( x) = x +1 Footer Page 19 of 145 Header Page 20 of 145 18 CHNG TNH N NH CA PHNG TRèNH HM MT BIN 2.1 NH NGHA TNH N NH CA PHNG TRèNH HM MT BIN nh ngha: Cho phng trỡnh hm G ( f ) = , vi G l hm cho trc, f : Df đ Ă cú xỏc nh l D f v G ( f ) : D 2f è Ă đ Ă Nu vi mi e > cho trc tựy ý, tn ti d > cho G ( f ) Ê e, "x, y ẻ D f thỡ tn ti nht hm g : D f đ Ă tha G ( g ) = v f ( x) - g ( x) Ê d Khi ú hm G ( f ) = c gi l n nh Vớ d: Gi s hm f tha ổ x + y f ( x) + f( y ) fỗ Êe ữ2 ố ứ vi e l mt s dng tựy ý cho trc v vi mi x, y ẻ Ă Khi ú, tn ti nht mt hm cng tớnh g: Ă đ Ă cho f ( x) - g ( x) - f (0) Ê e, "x ẻ Ă v phng trỡnh hm Jensen c gi l n nh 2.2 TNH N NH CA PHNG TRèNH HM CNG TNH nh lý 2.1 (nh lý Hyers) Nu hm f : Ă đ Ă l mt hm thc tha Footer Page 20 of 145 Header Page 21 of 145 19 f ( x + y ) - f ( x) - f ( y ) Ê d, "x, y ẻ Ă vi d dng no ú, thỡ tn ti nht mt hm cng tớnh A: Ă đ Ă cho f ( x) - A( x) Ê d, " xẻĂ chng minh nh lý ny, ta phi chng t rng: Ơ ỡ f (2n x) ỹ (i) ý l mt dóy Cauchy vi mi giỏ tr c nh n ợ ỵn =1 xẻĂ (ii) Nu A( x) = lim n đƠ f (2n x) 2n thỡ A l mt hm cng tớnh trờn Ă (iii) Hn na, A tha A( x) - f ( x) Ê d, "xẻ Ă (iv) A l nht nh lý 2.2 (nh lý Hyers m rng) Nu f : Ă đ Ă l mt hm thc tha ( p f ( x + y ) - f ( x) - f ( y ) Ê d x + y p ) (2.12) vi d dng no ú, p ẻ [ 0;1) v vi mi x, y ẻ Ă thỡ tn ti nht mt hm cng tớnh A: Ă đ Ă cho: f ( x) - A( x) Ê Footer Page 21 of 145 2d p x , "x ẻ Ă - 2p Header Page 22 of 145 20 Chỳ ý: nh lý 2.1 l h qu ca nh lý 2.2 trng hp p = nh lý 2.2 ỳng vi mi p ẻ Ă \ {1} Nu p < ta cú A( x) = lim n đƠ f (2n x) 2n ổ x Nu p > ta cú A( x) = lim 2n f ỗ n ữ n đƠ ố2 ứ Nm 1991, Gajda ó ch mt vớ d chng t rng nh lý 2.2 khụng ỳng nu p = Gajda ó xõy dng mt vớ d v mt hm liờn tc b chn g : Ă đ Ă tha món: g ( x + y ) - g ( x) - g ( y ) Ê x + y vi bt k x, y ẻ Ă , vi g ( x) =Ơ x đ0 x lim Hm g ca Gajda tin rt gn v Gajda ó xõy dng hm g nh sau Cho mt s q > c nh, g : Ă đ Ă c nh ngha bi: Ơ g ( x) = 2- n f(2n x), "x ẻ Ă n =0 ú f : Ă đ Ă l hm cho bi: Footer Page 22 of 145 Header Page 23 of 145 21 ỡ1 ,1 Ê x < Ơ ù6 q ù ù1 f( x) = qx , - < x < ù6 ù ù- q , - Ơ < x Ê -1 ợ iu ny chng t nh lý 2.2 khụng cũn ỳng p = nh lý 2.3: Tn ti mt hm liờn tc f : Ă đ Ă tha f ( x + y ) - f ( x) - f ( y ) Ê x + y vi bt k x, y ẻ Ă , v vi lim x đƠ (2.24) f ( x) =Ơ x Bi toỏn 2.1: ( Xột tớnh n nh ca phng trỡnh hm Jensen ó a vớ d mc 2.1) Gi s hm f tha f ( x) + f ( y ) ổx+ yử fỗ Êe ữ2 ố ứ (2.29) vi e l s dng tựy ý cho trc v vi mi x, y ẻ Ă Khi ú tn ti nht mt hm cng tớnh A : Ă đ Ă cho f ( x) - A( x) - f (0) < 4e, "x ẻ Ă Bi toỏn 2.2 Tỡm cp hm f , g : Ă đ Ă tha f ( x + y ) = g ( x) + g ( y ), "x, y ẻ Ă (2.32) Bi toỏn 2.3 Gi s hm f , g : Ă đ Ă tha f ( x + y ) - g ( x) - g ( y ) Ê e Footer Page 23 of 145 (2.34) Header Page 24 of 145 22 vi e l s dng tựy ý cho trc v vi mi x, y ẻ Ă Khi ú tn ti nht mt hm cng tớnh A : Ă đ Ă cho { f ( x ) - A( x ) - f (0) Ê e g ( x ) - A( x ) - g (0) Ê e vi mi x, y ẻ Ă 2.3 TNH N NH CA PHNG TRèNH HM NHN TNH nh ngha 2.2 Phng trỡnh hm cú dng f ( xy ) = f ( x) f ( y ), "x, y ẻ Ă \ {0} (2.43) c gi l phng trỡnh hm nhõn tớnh Hm f(x) liờn tc trờn Ă \{0} v tha (2.43) c gi l hm nhõn tớnh Bõy gi ta i xột tớnh n nh ca phng trỡnh (2.43) nh lý 2.4: Gi s d > 0, f : Ă \{0} đ Ă cho f ( xy ) - f ( x) f ( y ) Ê d, "x, y ẻ Ă \ {0} (2.44) Khi ú, hoc f ( x) Ê + + 4d = : e, "x ẻ Ă \ {0} (2.45) hoc f l hm nhõn tớnh vi mi x, y ẻ Ă \ {0} nh lý 2.5 Gi s j : Ă đ Ă l mt hm thc bt k Cho f : Ă đ Ă l mt hm tha f ( xy ) - f ( x) f ( y ) Ê j( x) (2.47) vi mi x, y ẻ Ă Khi ú, f l mt hm b chn hoc f l mt hm nhõn tớnh Footer Page 24 of 145 Header Page 25 of 145 23 2.4 TNH N NH CA PHNG TRèNH HM ABEL Trong phn ny, ta xột phng trỡnh hm Abel di dng: f ( x + y ) = g ( xy ) + h( x - y ) (2.52) vi f , g , h l cỏc hm thc v "x, y ẻ Ă nh lý 2.6 Nu hm s f , g , h : Ă đ Ă tha bt phng trỡnh hm f ( x + y ) - g ( xy ) - h( x - y ) Ê e (2.53) vi e no ú v " x, y ẻ Ă , thỡ tn ti nht mt hm cng tớnh A : Ă đ Ă cho: ổ x2 f ( x) - A ỗ ữ - f (0) Ê 22e, ố 4ứ g ( x) - A( x) - f (0) + h(0) Ê 21e, ổ x2 h( x) - A ỗ - ữ - h(0) Ê 22e ố ứ vi mi x ẻ Ă Footer Page 25 of 145 Header Page 26 of 145 24 KT LUN Lun trỡnh by h thng cỏc kin thc v mt s phng trỡnh hm mt bin v tớnh n nh ca cỏc phng trỡnh hm mt bin, c th: - Trỡnh by cỏc nh lớ, cỏc bi liờn quan n phng trỡnh hm Cauchy, phng trỡnh hm Jensen, phng trỡnh hm DAlembert - Nờu cỏc phng trỡnh hm liờn hp v cỏch gii cỏc phng trỡnh hm liờn hp - nh ngha c th no l tớnh n nh ca mt phng trỡnh hm mt bin v qua ú ó xột tớnh n nh ca phng trỡnh hm cng tớnh, phng trỡnh hm nhõn tớnh v mt dng ca phng trỡnh hm Abel Tụi mong mun lun s gúp phn phc v cho vic ging dy v phng trỡnh hm cho i tng hc sinh chuyờn toỏn núi chung v hc sinh nng khiu toỏn núi riờng Footer Page 26 of 145