PHƯƠNG TRÌNH HÀM MỘT BIẾN VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH

Lý thuyết phương trình hàm phát triển đến một thời điểm nào đó thì cácnhà toán học lại thắc mắc rằng “Có nhất thiết các luận điểm của các định lý chỉđúng với các giả thiết đã cho hay khô

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS CAO VĂN NUÔI

Đà Nẵng – Năm 2014

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết các phương trình hàm là một trong những lĩnh vực nghiên cứucủa Giải tích toán học khá gần gũi với học sinh khối trung học chuyên toán nóichung và đối tượng học sinh năng khiếu toán nói riêng Các dạng toán vềphương trình hàm rất phong phú và thường xuất hiện trong các kỳ thi IMO,VMO, Các nhà toán học tiếp cận phương trình hàm theo nhiều mục tiêunghiên cứu khác nhau Và một trong những vấn đề đáng để nhiều nhà toán họcquan tâm trong những thập niên gần đây là sự ổn định của phương trình hàm

Lý thuyết phương trình hàm phát triển đến một thời điểm nào đó thì cácnhà toán học lại thắc mắc rằng “Có nhất thiết các luận điểm của các định lý chỉđúng với các giả thiết đã cho hay không?” Hay “Nếu thay đổi một ít giả thiết thìcác nghiệm của nó có lệch quá xa so với nghiệm ban đầu không?” Và trong quátrình nghiên cứu lại nảy sinh một vấn đề là “Nếu thay một phương trình hàmbằng một bất phương trình hàm thì các luận điểm, các định lý có còn xấp xỉ đúnghay không? Và nghiệm của chúng sẽ như thế nào?” Đây là vấn đề mở đầu choviệc nghiên cứu về tính ổn định của một phương trình hàm

Xuất phát từ những vấn đề mấu chốt này, tôi quyết định chọn đề tài

“PHƯƠNG TRÌNH HÀM MỘT BIẾN VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH” để tìm hiểu vànghiên cứu

2 Mục tiêu nghiên cứu của đề tài:

Mục tiêu của đề tài nhằm nghiên cứu thế nào là tính ổn định của mộtphương trình hàm trong lớp hàm một biến và khảo sát tính ổn định của một sốphương trình hàm trong lớp hàm một biến như phương trình hàm cộng tính,phương trình hàm nhân tính và phương trình hàm Abel

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là tính ổn định của một số phương trìnhhàm trong lớp hàm một biến Phạm vi nghiên cứu của đề tài là các phương trìnhhàm cộng tính, phương trình hàm nhân tính, phương trình hàm Abel và phươngtrình hàm liên hợp

4 Phương pháp nghiên cứu:

Thu thập các bài báo khoa học và các tài liệu của các tác giả nghiên cứuliên quan đến tính ổn định của phương trình hàm trong lớp hàm một biến

Nghiên cứu các tài liệu thu thập được và phân tích, tổng hợp, trao đổi vớithầy hướng dẫn kết quả đang nghiên cứu

5 Đóng góp của đề tài:

Tổng quan các kết quả của các tác giả đã nghiên cứu liên quan đến tính ổnđịnh của phương trình hàm trong lớp hàm một biến nhằm xây dựng một giáotrình đặc biệt dạy cho học sinh giỏi toán

6 Cấu trúc luận văn

Luận văn gồm: phần mở đầu, hai chương, kết luận, danh mục tài liệu thamkhảo

- Chương 1 Trình bày về phương trình hàm trong lớp hàm một biến với cácvấn đề như: phương trình hàm Cauchy, phương trình hàm Jensen, phương trìnhhàm D’Alembert, một số họ cơ bản của phương trình, các phương trình liên hợp,thuật toán Lévy cho phương trình Abel và phương trình hàm và mạng các cănthức

- Chương 2 Trình bày về tính ổn định của một số phương trình hàm tronglớp hàm một biến như phương trình hàm cộng tính, phương trình hàm nhân tính

và phương trình hàm Abel

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi.

Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác.

Tác giả luận văn

Võ Thị Nguyệt

CHƯƠNG 1

PHƯƠNG TRÌNH HÀM MỘT BIẾN

1.1 Phương trình hàm Cauchy

1.1.1 Phương trình hàm Cauchy

Phương trình hàm Cauchy có một vai trò quan trọng trong mảng toán học

về phương trình hàm Rất nhiều phương trình hàm được giải quyết một cách gọngàng nhờ các phép biến đổi đưa về phương trình hàm Cauchy

Định nghĩa Phương trình hàm Cauchy là phương trình hàm có dạng

f x y f x f y với mọi số thực x và y Hàm f thỏa mãn phương trình

nf m f t n

hay

x cho trước là đủ Khi đó hàm f(x) thỏa mãn (1.1) sẽ liên tục trên .

Thật vậy, theo giả thiết thì

Chúng ta có thể tổng kết điều đã chứng minh ở trên trong các định lý sau đây.

Định lý 1.1 (Xem [9]) Cho hàm f :   thỏa mãn phương trình hàm

Cauchy

f x y f x f y , với mọi số thực x và y Khi đó tồn tại một số thực a sao cho

( ) 

f q aq với mọi số hữu tỉ q.

Tất cả những gì chúng ta cần làm là rút ra kết luận khi thay số hữu tỉ q bằng số thực x bất kỳ Để làm được điều này nhanh chóng, bước cuối cùng chúng ta sử dụng giả thiết rằng f là một hàm liên tục Chú ý, định lý 1.1 không cho giả thiết

f là hàm liên tục Kết quả sau đây là công cụ đầu tiên cho bước cuối cùng của

chứng minh này

Định lý 1.2 (Xem [9]) Giả sử rằng f :   và g :   là các hàm liên

tục sao cho f q( )g q( ) với mọi số hữu tỉ q Khi đó f x( ) g x( ) với mọi số

thực x.

Chứng minh.

Kết quả này bắt nguồn từ cơ sở lí luận rằng bất kỳ số thực nào cũng có thểđược xấp xỉ chặt chẽ một cách tùy ý bằng các số hữu tỉ Ví dụ, chúng ta có thể

viết x với một sự khai triển số thập phân vô hạn và cho q là số hữu tỉ thu được i

bằng cách khai triển số thập phân có kết thúc của x

i i

Hơn nữa, theo giả thiết các hàm f và g thỏa mãn trên toàn bộ tập số hữu tỉ Vì

vậy ( )f q i g q( ),i  i 1, 2 Điều đó kéo theo f x( ) g x( )với mọi số thực x.

trình hàm Cauchy

f x y f x f y , với mọi số thực x và y Khi đó tồn tại một số thực a sao cho:

f x ax   x

Chứng minh.

Từ định lý 1.1, ta thấy rằng tồn tại một số thực a sao cho f q( ) aq với

mọi số hữu tỉ q Nhưng f x( ) và g x( ) ax là các hàm liên tục Do đó, từ định lý1.2 ta suy ra f x( ) g x( ) với mọi số thực x Tức là ta có f x( ) ax với mọi số

thực x.

1.1.2 Ứng dụng của phương trình hàm Cauchy.

Định lý 1.4 (Xem [9]) Giả sử f :   thỏa mãn phương trình hàm Cauchy

f x y f x f y (1.5)

với mọi số thực x, y và f là hàm đơn điệu tăng trên , nghĩa là

( )  ( ),  

f x f y x y . Khi đó

Hệ quả (Xem [9]) Cho hàm f :   xác định, có đạo hàm trên  và thỏa

mãn điều kiện:

f x y f x f y (1.6)với mọi số thực x, y Khi đó ( ) f x ax a,   tùy ý.

( ) 0,

f x  x hoặc f x( )x,x .

trị: a 0 hoặc a 1. Thay các kết quả này vào (1.7) và (1.8) ta có được điềuphải chứng minh.

Ứng dụng của phương trình hàm Cauchy sẽ được minh họa cụ thể qua một

số bài toán sau:

Bài toán 1.2 Xác định các hàm f liên tục trên \{0} thỏa mãn điều kiện

Bài toán 1.3 Xác định các hàm f(x) liên tục trên  và thỏa mãn điều kiện

f x y f x f y x y (1.12)

Lời giải.

Nhận xét rằng f 0 là một nghiệm của (1.12) Xét trường hợp f 0 Khi

đó tồn tại x0  sao cho f(x ) 00  Theo (1.12) thì

Đây là phương trình hàm Cauchy do đó g( )x bx b,  tùy ý.

Vậy ( ) f x e bx a với x a0 tùy ý.

và được xét như một phiên bản của phương trình hàm Cauchy dùng trung bình

Một lần nữa hàm f luôn được giả thiết là hàm liên tục Để đơn giản, ta giả sử rằng miền xác định của hàm f là toàn bộ trục số thực

Nghiệm của phương trình dễ dàng thu được từ kết quả của phần trước

vì (1.15) đúng với mọi x nên ta có thể thay x  y cho x, khi đó ta thu được

với mọi số thực x và a là hằng số Đặt f(0)b, ta thấy rằng nghiệm của phương

trình ban đầu cho hàm f phải là ( ) f x ax b a b ( ,  )

1.3 Phương trình hàm D’Alembert

Phương trình hàm D’Alembert là phương trình hàm có dạng

g x y  g x y  g x g y x y  (1.18)Cho y  0, ta có:

2 ( ) 2 ( ) (0)g x  g x g

 g x( ) 1  g(0) 0 (1.19)Cho x  0, ta có:

g y  g y  g  g y (1.20)Nếu g  0, thì phương trình hàm D’Alembert được thỏa mãn, nó là một

g

s cos 

Vậy (1.22) được chứng minh

Thay x bởi ny vào phương trình hàm D’Alembert (1.18) ta có:

Nếu n 0 thì phương trình (1.24) là hiển nhiên

Nếu n 1 thì phương trình (1.24) được thỏa mãn do phương trình (1.22).

Do t dương nên tồn tại a   sao cho s at , phương trình (1.24) trởthành

 được gọi là số hữu tỉ dyadic Tập các số hữu tỉ dyadic trù mật trong

, nên suy ra:

Định lý 1.6 (Xem [4]) (Định lý nghiệm của phương trình hàm D’Alembert).

Giả sử : f  , liên tục và thỏa mãn điều kiện

f x y  f x y  f x f y x y 

Khi đó f là một trong các hàm sau:

( ) 0,( ) 1,

Điều này có nghĩa f(x) là hàm tuần hoàn (Chu kỳ T =2a).

Thay xbởi x a , y bởi y a vào phương trình (1.26) ta được:

Trường hợp 2 Nếu ( ) g x 1,  x ,suy ra ( ) 1,f x    x Hàm nàythỏa mãn các yêu cầu của bài toán Vậy ( ) 1,f x   x là nghiệm.

Trường hợp 3 Nếu ( ) g x cosh kx( ),  x

Suy ra f x( )cosh k x a (  ) ,   x Hàm này không thỏa mãn vì hàm

 ( )

cosh k x a không phải là hàm tuần hoàn

Trường hợp 4 Nếu ( ) g x cos( ),kx   x , suy ra

Vậy nghiệm của bài toán là:

1) 0

f f

Dễ kiểm tra f 0 thỏa mãn các yêu cầu bài toán

Bây giờ ta xét f 0. Khi đó thay y bởi  y vào (1.32) ta được:

Điều này chứng tỏ f là hàm tuần hoàn với chu kỳ 4a.

Thay xbởi x a , y bởi y a vào phương trình (1.32) ta được:

Trường hợp 2 Nếu ( ) g x 1,  x ,suy ra ( ) 1,f x    x Hàm nàykhông thỏa mãn (1.32) Vậy ( ) 1,f x   x không là nghiệm.

Trường hợp 3 Nếu ( ) g x cosh kx( ),  x

Suy ra f x( )cosh k x a (  ) ,   x Hàm này không thỏa mãn vì hàm

 ( )

cosh k x a không phải là hàm tuần hoàn

Trường hợp 4 Nếu ( ) g x cos( ),kx   x , suy ra:

Vậy nghiệm của bài toán là:

Nhận xét Từ cách giải và kết quả của bài toán 1.4 và bài toán 1.5 thì ta có các

bài toán khi cho a các giá trị cụ thể khác nhau.

1.4 Tuyến tính hóa.

Đôi khi những bài toán phức tạp có thể được giải quyết một cách khá đơngiản Ví dụ, giả sử rằng chúng ta được yêu cầu tìm một nghiệm của phương trình

f x f x log log x log log x

log log x log log x log log log x log log x

Vậy phương trình (1.41) thỏa mãn phương trình (1.39) với mọi a > 0.

Phương pháp riêng được biết đến ở đây là tuyến tính hóa Nó có thể đượcdùng để chuyển đổi một số phương trình phức tạp thành một phương trình đơngiản hơn Trong ví dụ ở trên, tính chất phi tuyến tính là trên miền xác định của

hàm số Tuy nhiên phương trình sau đây phi tuyến tính trên miền giá trị của f

Bài toán sau đây là trong kỳ thi IMO năm 1997 sẽ minh họa cho điều đó.

Bài toán 1.6 Có tồn tại hay không các hàm : f   và g:  sao cho

 ( ) 2

f g x x và g f x ( ) x4 (1.45) với mọi số thực x.

Ta có thể tuyến tính hóa phương trình f x( )4  f x( )2 bằng cách xây dựng

2 F(y)

x

b x

(4log ) 4

với x 1 là một lời giải cho hàm g Theo thứ tự, để kiểm tra tính chất chúng ta

đi lui với những hàm f và g trong (1.51) và (1.55).

2

( ) 16 ( )

với mọi số thực x và :  là một hàm cho trước.

Nếu không có giả thiết rằng f là một hàm liên tục thì lời giải đầy đủ sẽ dễ dàng

và được viết như dưới đây Trước hết, ta viết:

Khi đó f là hàm hằng theo biến x.

Ta định nghĩa một quan hệ tương đương  như sau:

Hai số thực x và y được gọi là tương đương với nhau trong phép lặp của hàm số

 nếu tồn tại ,m n   sao cho ( )n x m( )y Ký hiệu x y

Tập ( )x là lớp tương đương của x theo quan hệ  và còn được gọi là quỹ đạocủa  Từ (1.60) suy ra rằng hàm f phải là hàm hằng trên các phần tử của

(1.57) Giả thiết hàm liên tục đủ mạnh để các nghiệm của (1.57) là hàm hằng

Chẳng hạn, ta giả sử rằng tồn tại số thực x 0 sao cho:

với mọi số thực x Điều này chứng tỏ f phải là hàm hằng

Để minh họa cho ý tưởng này, ta xét bài toán sau:

Bài toán 1.7 (1996, Putnam): Cho a là một số thực bất kỳ Tìm (có chứng

minh) tất cả các hàm liên tục f :  sao cho

x   x 

Vì thế trong trường hợp này dãy n( )x  là dãy tăng và bị chặn trên bởi x Vì0

vậy nó có một giới hạn Khi đó x là điểm bất động của 0  (tức là ( )x0 x0) và

Vậy f là hàm hằng trên đoạn 0; 1

 là dãy giảm và bị chặn dưới bởi x 0 Lý luận

tương tự như trường hợp trước, dãy này phải hội tụ tới x0 Vì thế ta có thể kết

luận rằng bao đóng của A x( ) chứa 0 1

Trong trường hợp này  không có điểm bất động Dãy n( )x tăng nghiêm

ngặt mà không bị chặn trên Hơn nữa, hàm 1( )x x a

Ta xác định hàm f theo cách như sau: f(x) = g(y) Chúng ta mở rộng f tới các số

âm bằng định nghĩa f(x) = f(-x) nếu x < 0 Khi đó hàm f thỏa mãn phương trình

hàm cơ bản ở trên

Để tiếp tục làm sáng tỏ vấn đề, ta xét bài toán sau:

Bài toán 1.8 Tìm các hàm thỏa mãn phương trình

Phương trình (1.63) được gọi là phương trình hàm Schroder

Nếu f là một nghiệm của phương trình (1.63) và giả sử f có một hàm ngược

Vậy f là nghiệm của phương trình (1.63) thì g f 1

 là nghiệm của phương trình

khảo sát miền xác định của hàm f thỏa mãn phương trình hàm Abel

Giả sử x là điểm bất động của  , nghĩa là 0 ( )x0 x0

Lấy x x0, phương trình hàm Abel trở thành:

trong đó p 1 được gọi là phương trình BottCher Với phương trình này ta

quan tâm tới lớp hàm không âm f(x) Một dạng phương trình nữa được chú ý là

phương trình giao hoán Phương trình giao hoán được xác định bởi:

Schroder ,v.v Khi phương trình (1.68) được thỏa với một hàm f đơn ánh nào

đó chúng ta nói rằng α và β là một liên hợp với nhau Khi các phương trìnhSchroder hay Abel được giải theo cách này thì hàm α tìm được chỉ là liên hợpvới một hàm tuyến tính Các hàm tuyến tính thì dễ dàng nghiên cứu hơn các hàmphi tuyến tính Vì vậy một điều rất quan trọng trong Toán là có thể thiết lập mộthàm phi tuyến liên hợp với một hàm tuyến tính Khi đó, đây là trường hợp chúng

ta có thể tuyến tính hóa các hệ thức toán học phức tạp và nghiên cứu chúng bằngcác phương pháp tuyến tính Chẳng hạn, phương trình Abel f( )x  x a

Ta dùng một hàm f để thiết lập một liên hợp giữa một phép biến đổi đã cho

( )

x   x và một hàm tịnh tiến x  x  a Khi phép biến đổi sau là đơn giản,chúng ta có thể giải các bài toán với các phép tịnh tiến và sau đó dùng liên hợp

để chuyển lời giải trở về với  Nếu  là một phép biến đổi phi tuyến thì

phương trình Abel và nghiệm f của nó có hiệu lực cho tuyến tính hóa x  ( )x

bằng cách thiết lập một liên hợp giữa phép biến đổi này và phép đổi biến số

( )



x f x Các cách tuyến tính hóa nói trên được tiếp cận nhiều hơn nếu hàm 

có các đặc trưng đặc biệt riêng của nó Trong phần sau ta sẽ nghiên cứu việc tìmlời giải cho các phương trình liên hợp

1.6.2 Thuật toán Lévy cho phương trình Abel

Chúng ta xét trường hợp đặc biệt của phương trình Abel khi a 1, nghĩa là

f  x  f x  Chú ý rằng, nếu f(x) là một lời giải bất kỳ cho phương trình

Abel (1.65) thì ( )f x c (với c là hằng số tùy ý) cũng là nghiệm của phươngtrình Abel Nếu hàm n( )x là một xấp xỉ nhân người ta có thể biến đổi phươngtrình Abel về phương trình Schroder và tìm nghiệm như trong mục trước Ngượclại người ta có thể biến đổi hàm n( )x bằng cách dùng x  x  a Trongtrường hợp này đa số các công thức tường minh của phương trình hàm có dạngphương trình hàm Abel Giả sử x0 sao cho:

f  x  f x Thật vậy, ta có

1.6.3 Thuật toán Koenigs cho phương trình Schroder

Trước hết ta chú ý rằng nếu f(x) là một lời giải bất kỳ cho phương trình

lim ( )

n n n

x s



tồn tại hữu hạn và khác 0 Trong trường hợp này, ta nói rằng hàm n( )x có độ

biến đổi s trên miền xác định các giá trị x Trong đó, n( )x xấp xỉ hình học với

độ biến đổi s độc lập với x, một nghiệm của phương trình Schroder được cho bởi

( )( ) lim

n n n