PHƯƠNG TRÌNH HÀM MỘT BIẾN VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG VÕ THỊ NGUYỆT PHƯƠNG TRÌNH HÀM MỘT BIẾN VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng – Năm 2014 2 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG VÕ THỊ NGUYỆT PHƯƠNG TRÌNH HÀM MỘT BIẾN VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60 46 0013 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS CAO VĂN NUÔI Đà Nẵng – Năm 2014 3 MỞ ĐẦU 1 Lý do chọn đề tài Lý thuyết các phương trình hàm là một trong những lĩnh vực nghiên cứu của Giải tích toán học khá gần gũi với học sinh khối trung học chuyên toán nói chung và đối tượng học sinh năng khiếu toán nói riêng Các dạng toán về phương trình hàm rất phong phú và thường xuất hiện trong các kỳ thi IMO, VMO, Các nhà toán học tiếp cận phương trình hàm theo nhiều mục tiêu nghiên cứu khác nhau Và một trong những vấn đề đáng để nhiều nhà toán học quan tâm trong những thập niên gần đây là sự ổn định của phương trình hàm Lý thuyết phương trình hàm phát triển đến một thời điểm nào đó thì các nhà toán học lại thắc mắc rằng “Có nhất thiết các luận điểm của các định lý chỉ đúng với các giả thiết đã cho hay không?” Hay “Nếu thay đổi một ít giả thiết thì các nghiệm của nó có lệch quá xa so với nghiệm ban đầu không?” Và trong quá trình nghiên cứu lại nảy sinh một vấn đề là “Nếu thay một phương trình hàm bằng một bất phương trình hàm thì các luận điểm, các định lý có còn xấp xỉ đúng hay không? Và nghiệm của chúng sẽ như thế nào?” Đây là vấn đề mở đầu cho việc nghiên cứu về tính ổn định của một phương trình hàm Xuất phát từ những vấn đề mấu chốt này, tôi quyết định chọn đề tài “PHƯƠNG TRÌNH HÀM MỘT BIẾN VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH” để tìm hiểu và nghiên cứu 2 Mục tiêu nghiên cứu của đề tài: Mục tiêu của đề tài nhằm nghiên cứu thế nào là tính ổn định của một phương trình hàm trong lớp hàm một biến và khảo sát tính ổn định của một số phương trình hàm trong lớp hàm một biến như phương trình hàm cộng tính, phương trình hàm nhân tính và phương trình hàm Abel 4 3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu của đề tài là tính ổn định của một số phương trình hàm trong lớp hàm một biến Phạm vi nghiên cứu của đề tài là các phương trình hàm cộng tính, phương trình hàm nhân tính, phương trình hàm Abel và phương trình hàm liên hợp 4 Phương pháp nghiên cứu: Thu thập các bài báo khoa học và các tài liệu của các tác giả nghiên cứu liên quan đến tính ổn định của phương trình hàm trong lớp hàm một biến Nghiên cứu các tài liệu thu thập được và phân tích, tổng hợp, trao đổi với thầy hướng dẫn kết quả đang nghiên cứu 5 Đóng góp của đề tài: Tổng quan các kết quả của các tác giả đã nghiên cứu liên quan đến tính ổn định của phương trình hàm trong lớp hàm một biến nhằm xây dựng một giáo trình đặc biệt dạy cho học sinh giỏi toán 6 Cấu trúc luận văn Luận văn gồm: phần mở đầu, hai chương, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo - Chương 1 Trình bày về phương trình hàm trong lớp hàm một biến với các vấn đề như: phương trình hàm Cauchy, phương trình hàm Jensen, phương trình hàm D’Alembert, một số họ cơ bản của phương trình, các phương trình liên hợp, thuật toán Lévy cho phương trình Abel và phương trình hàm và mạng các căn thức - Chương 2 Trình bày về tính ổn định của một số phương trình hàm trong lớp hàm một biến như phương trình hàm cộng tính, phương trình hàm nhân tính và phương trình hàm Abel 5 LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác Tác giả luận văn Võ Thị Nguyệt 6 CHƯƠNG 1 PHƯƠNG TRÌNH HÀM MỘT BIẾN 1.1 Phương trình hàm Cauchy 1.1.1 Phương trình hàm Cauchy Phương trình hàm Cauchy có một vai trò quan trọng trong mảng toán học về phương trình hàm Rất nhiều phương trình hàm được giải quyết một cách gọn gàng nhờ các phép biến đổi đưa về phương trình hàm Cauchy Định nghĩa Phương trình hàm Cauchy là phương trình hàm có dạng f ( x  y )  f ( x)  f ( y ) với mọi số thực x và y Hàm f thỏa mãn phương trình f ( x  y )  f ( x )  f ( y ), x, y �� được gọi là hàm cộng tính Bài toán 1.1 (Xem [2]) (Bài toán phương trình hàm Cauchy) Cho hàm f : �� � là hàm số liên tục trên � và thỏa mãn f ( x  y )  f ( x)  f ( y ) với mọi số thực x và y Ta sẽ chỉ ra được tồn tại một số thực a sao cho f ( x)  ax, x �� Lời giải Trong (1.1) cho x  y  0 ta được f (0)  f (0)  f (0) � f (0)  0 Cho y   x , ta có (1.1) 7 f (0)  f ( x)  f (  x) � f (  x)   f ( x), x �� Hay f là hàm số lẻ Tiếp tục cho y  x thì ta được phương trình f (2 x)  2 f ( x), x �� Giả sử với k là một số nguyên dương, ta chứng minh được: f ( kx)  k f ( x), x �� (1.2) Thật vậy, giả sử (1.2) được thỏa mãn, ta có: f  ( k  1) x   f (kx  x)  f (kx)  f ( x)  kf ( x)  f ( x )  ( k  1) f ( x), x ��, k �� Từ đó, theo nguyên lý quy nạp ta có: f (nx)  n f ( x), x ��, n �� Cho x  m t với m, n là các số nguyên dương n Khi đó nx  mt Vì vậy: f ( nx)  f (mt ) � nf ( x )  m f (t ) m � nf ( t)  m f (t ) n hay (1.3) 8 �m � m f � t � f (t ) �n � n với mọi số thực t Ta có thể viết lại như sau: f (q t)  q f (t ) với mọi số thực t và mọi số hữu tỉ q dương Kết hợp các điều kiện: f (0)  0 f (  x)   f ( x), x �� và Ta suy ra: f ( q t)  q f (t ), x ��, q �� (1.4) Bây giờ trong (1.4), cho t  1, giả sử f (1)  a Chúng ta có: f ( q)  aq với mọi số hữu tỉ q Đến đây, do tính chất hàm f liên tục trên � và tính trù mật của � trong � nên ta suy ra: f ( x)  ax, x ��, a �� Nhận xét 1 Trong bài toán trên, ta thấy chỉ cần giả thiết f liên tục tại một điểm x0 �� cho trước là đủ Khi đó hàm f(x) thỏa mãn (1.1) sẽ liên tục trên � Thật vậy, theo giả thiết thì lim f ( x)  f ( x0 ) x � x0 Và với mỗi x1 �� ta đều có f ( x)  f (x  x1  x0 )  f (x1 )  f ( x0 ), x �� Từ đó suy ra: 9 lim f ( x)  lim  f ( x  x1  x0 )  f ( x1 )  f ( x0 )  x �x1 x �x1  f ( x0 )  f ( x1 )  f ( x0 )  f ( x1 ) Điều này chứng tỏ f liên tục tại mọi điểm x1 tùy ý thuộc � Hay f liên tục trên � 2 Kết quả của bài toán 1.1 sẽ không thay đổi nếu ta thay � bằng  ;  � hoặc  �;  tùy ý Chúng ta có thể tổng kết điều đã chứng minh ở trên trong các định lý sau đây Định lý 1.1 (Xem [9]) Cho hàm f : �� � thỏa mãn phương trình hàm Cauchy f ( x  y )  f ( x)  f ( y ) , với mọi số thực x và y Khi đó tồn tại một số thực a sao cho f ( q)  aq với mọi số hữu tỉ q Tất cả những gì chúng ta cần làm là rút ra kết luận khi thay số hữu tỉ q bằng số thực x bất kỳ Để làm được điều này nhanh chóng, bước cuối cùng chúng ta sử dụng giả thiết rằng f là một hàm liên tục Chú ý, định lý 1.1 không cho giả thiết f là hàm liên tục Kết quả sau đây là công cụ đầu tiên cho bước cuối cùng của chứng minh này Định lý 1.2 (Xem [9]) Giả sử rằng f : �� � và g : �� � là các hàm liên tục sao cho f ( q)  g ( q) với mọi số hữu tỉ q Khi đó f ( x)  g ( x) với mọi số thực x Chứng minh Kết quả này bắt nguồn từ cơ sở lí luận rằng bất kỳ số thực nào cũng có thể được xấp xỉ chặt chẽ một cách tùy ý bằng các số hữu tỉ Ví dụ, chúng ta có thể 10 viết x với một sự khai triển số thập phân vô hạn và cho qi là số hữu tỉ thu được bằng cách khai triển số thập phân có kết thúc của x x  lim qi i �� Do f và g là các hàm liên tục nên ta có thể lấy giới hạn qua hàm số Vì vậy f ( x)  f (lim qi )  lim f ( qi ) i �� i �� Một cách tương tự ta cũng có: g ( x)  lim g ( qi ) i �� Hơn nữa, theo giả thiết các hàm f và g thỏa mãn trên toàn bộ tập số hữu tỉ Vì vậy f ( qi )  g (qi ),  i  1, 2 Điều đó kéo theo f ( x)  g ( x) với mọi số thực x Định lý 1.3 (Xem [9]) Cho f : �� � là một hàm liên tục thỏa mãn phương trình hàm Cauchy f ( x  y )  f ( x)  f ( y ) , với mọi số thực x và y Khi đó tồn tại một số thực a sao cho: f ( x)  ax, x �� Chứng minh Từ định lý 1.1, ta thấy rằng tồn tại một số thực a sao cho f ( q)  aq với mọi số hữu tỉ q Nhưng f ( x) và g ( x)  ax là các hàm liên tục Do đó, từ định lý 1.2 ta suy ra f ( x)  g ( x) với mọi số thực x Tức là ta có f ( x)  ax với mọi số thực x 1.1.2 Ứng dụng của phương trình hàm Cauchy Định lý 1.4 (Xem [9]) Giả sử f : �� � thỏa mãn phương trình hàm Cauchy f ( x  y )  f ( x)  f ( y ) với mọi số thực x, y và f là hàm đơn điệu tăng trên �, nghĩa là (1.5) 60 �x  y � f ( x  y )  f (0) f� �, x, y �� � 2 �2 � Ta có: f ( x)  f ( y ) f ( x  y )  f (0) f ( x)  f ( y ) f ( x  y)  �  2 2 2 2 f (x  y) f (x  y)  f(0)  2 2 �2  � f ( x)  f ( y )  f ( x  y )  f (0) �4 Hay f ( x  y )  f (0)  f ( x)  f ( y ) �4 (2.31) Đặt g ( x)  f ( x)  f (0) Thay vào (2.31) ta được g ( x  y )  g ( x)  g ( y ) �4 Theo tính ổn định của hàm cộng tính, tồn tại duy nhất hàm cộng tính A : �� � sao cho: g ( x)  A( x) �4 Suy ra f ( x)  f (0)  A( x) �4 hay f ( x)  A( x)  f (0) �4 Vậy phương trình hàm Jensen có tính ổn định Trước khi vào bài toán tiếp theo để minh họa cho tính ổn định của phương trình hàm cộng tính, ta xét bài toán sau: 61 Bài toán 2.2 Tìm cặp hàm f , g : �� � thỏa mãn phương trình f ( x  y )  g ( x )  g ( y ), x, y �� (2.32) Lời giải Thay y = 0 vào (2.32) ta được f ( x)  g ( x)  g (0), x �� hay f ( x )  g ( x)   với   g (0) Do đó g ( x)  f ( x)   , x�� Thay vào phương trình (2.32) ta được f ( x  y )  f ( x )  f ( y )  2 (2.33) Đặt f ( x)  A( x )  2  Phương trình (2.33) trở thành A( x  y )  2  A( x)  2  A( y )  2  2 hay A( x  y )  A( x)  A( y ),  x, y �� Vậy A là một hàm cộng tính trên � Do đó  f ( x )  A( x )  2  g ( x )  A( x )   Bây giờ ta xét tính ổn định của phương trình (2.32) Bài toán 2.3 Giả sử hàm f , g : �� � thỏa mãn f ( x  y )  g ( x)  g ( y ) � (2.34) với  là số dương tùy ý cho trước và với mọi x, y �� Khi đó tồn tại duy nhất một hàm cộng tính A : �� � sao cho  với mọi x, y �� f ( x )  A( x )  f (0) �4  g ( x )  A( x )  g (0) �2  62 Lời giải: Thay y = 0 vào phương trình (2.35) ta được f ( x)  g ( x)  g (0) �, x �� (2.35) Suy ra f (0)  2 g (0) � (2.36) Trong (2.35) thay x bởi x + y ta được f ( x  y )  g ( x  y )  g (0) �, x, y �� (2.37) Ta lại có: f ( x  y )  g ( x  y )  g (0)  f ( x  y )  g ( x)  g  y )  g ( x  y )  g ( x)  g  y )  g (0) � f ( x  y )  g ( x  y )  g (0)   g ( x  y )  g ( x)  g  y )  g (0)    f ( x  y )  g ( x)  g  y )  � f ( x  y )  g ( x  y )  g (0) �g ( x  y )  g ( x)  g  y )  g (0)  f ( x  y )  g ( x)  g  y ) � g ( x  y )  g ( x )  g  y )  g (0) �f ( x  y )  g ( x)  g  y )  f ( x  y )  g ( x  y )  g (0) � g ( x  y )  g ( x )  g  y )  g (0) �    2 Vậy g ( x  y )  g ( x)  g  y )  g (0) �2 hay  g ( x  y)  g (0)   g ( x)  g (0)   g  y)  g(0) �2 (2.38) với mọi x, y �� Đặt G ( x)  g( x)  g(0) với mọi x, y �� Thay (2.39) vào (2.35) ta được: G ( x  y )  G x )  G( y ) �2, x, y �� (2.39) 63 Theo định lý về tính ổn định của hàm cộng tính, tồn tại duy nhất một hàm cộng tính A : �� � sao cho: G x)  A( x ) �2, x �� (2.40) g  x)  A( x )  g(0) �2, x �� (2.41) Thay (2.39) vào (2.40) ta được: Từ (2.35), (2.36) và (2.41) ta có: f  x)  A( x)  f (0)  f ( x)  g ( x)  g (0)  g(x)  A( x)  g(0)  2 g (0)  f (0) � f ( x)  g ( x)  g (0)  g(x)  A( x)  g(0)  2 g (0)  f (0) �  2    4 hay f  x)  A( x)  f (0) �4 (2.42) Vậy tồn tại duy nhất một hàm cộng tính A : �� � thỏa mãn:  f ( x )  A( x )  f (0) �4  g ( x )  A( x )  g (0) �2  2.3 Tính ổn định của phương trình hàm nhân tính Định nghĩa 2.2 Phương trình hàm có dạng f ( xy )  f ( x) f ( y ), x, y ��\ {0} (2.43) được gọi là phương trình hàm nhân tính Và hàm f(x) liên tục trên �\{0} thỏa mãn (2.43) được gọi là hàm nhân tính Bây giờ ta đi xét tính ổn định của phương trình (2.43) Định lý 2.4 (Xem [13]) Giả sử   0, f : �\{0} � � sao cho f ( xy)  f ( x) f ( y ) �, x, y ��\ {0} Khi đó (2.44) 64 1  1  4 f ( x) �  : , x ��\ {0} 2 (2.45) hoặc f là hàm nhân tính với mọi x, y ��\ {0} Chứng minh Trong (2.45) ta có 1 1 4  : , x ��\ {0} hay  2     và  1 (vì 2   0 và   0) Giả sử (2.45) không xảy ra, tức là tồn tại a �� sao cho f ( x)   hay f ( x)    với  0 nào đó Trong (2.44) chọn x  y  a , ta được f (a 2 )  f (a) 2   Khi đó f (a 2 )  f (a) 2  f (a) 2  f (a 2 ) � f ( a ) 2  f (a ) 2  f ( a 2 ) � f (a)2    (   ) 2     2  2  2   �  2 (vì  =  2   )    2 (vì   1) Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được n f ( a 2 ) �  ( n  1) , n  1,2 Theo (2.44) với mọi x, y, z ��\ {0}, ta có f ( xyz )  f ( xy ) f ( z )   và f ( xyz )  f ( x) f ( yz )   (2.46) 65 Ta lại có f ( xy ) f ( z )  f ( x) f ( yz ) � f ( xy) f ( z )  f ( xyz )  f ( xyz )  f ( x) f ( yz ) hay f ( xy ) f ( z )  f ( x) f (yz) � f ( xyz )  f ( xy ) f ( z )  f ( xyz )  f ( x) f ( yz ) �2 và f ( xy ) f ( z )  f ( x) f ( y ) f ( z ) �f ( xy ) f ( z )  f ( x) f ( yz )  f ( x) f ( yz )  f ( x ) f ( y ) f ( z ) �2  f ( x)  Suy ra f ( xy)  f ( x).f( y ) f ( z ) �2  f ( x)  n Chọn z  a 2 , ta được n f ( xy )  f ( x) f ( y ) f (a 2 ) �2  f ( x)  � f ( xy )  f ( x) f ( y ) � 2  f ( x)  n f (a 2 ) hay f ( xy )  f ( x ) f ( y ) � 2  f ( x)    (n 1)  với mọi x, y ��, n  1,2 Cho n � �, ta được f ( xy )  f ( x) f ( y ), x, y ��\{0} Vậy f là một hàm nhân tính Định lý 2.4 được chứng minh 66 Định lý 2.5 (Xem [15]) Giả sử  : �� � là một hàm thực bất kỳ Cho f : �� � là một hàm thỏa mãn f ( xy )  f ( x) f ( y ) �( x) (2.47) với mọi x, y �� Khi đó, f là một hàm bị chặn hoặc f là một hàm nhân tính Chứng minh Giả sử f không bị chặn Khi đó ta có thể chọn một dãy  xn : n �� trong � sao cho 0 � f ( xn ) � � khi n � � Thay y bởi xn vào (2.47), ta thu được f ( x.xn ) ( x)  f ( x) � f ( xn ) f ( xn ) (2.48) Vì f ( xn ) � � khi n � � nên từ (2.48) ta thu được f ( x.xn ) n �� f ( x ) n f ( x)  lim (2.49) với mọi x �� Trong (2.47), thay y bởi xn y , ta có: f ( xxn y )  f ( x) f ( xn y ) �( x) (2.50) với mọi x �� Từ (2.50), ta thấy f ( xxn y)  f ( x) f ( xn y)  0 n�� f ( xn ) lim Như vậy, từ (2.49) và (2.51), với mỗi x, y �� ta thu được: f ( x.xn y) n�� f ( x ) n f ( xy )  lim f ( xxn y )  f ( x) f ( xn y ) f ( xn y)  f ( x)lim n�� n �� f ( x ) f ( xn ) n  lim  f ( x) f ( y ) Vậy định lý được chứng minh (2.51) 67 2.4 Tính ổn định của phương trình hàm Abel Trong phần này, ta xét phương trình hàm Abel dưới dạng: f ( x  y )  g ( xy )  h( x  y ) (2.52) với f , g , h là các hàm thực và x, y �� Định lý 2.6 (Xem [15]) Nếu các hàm số f , g , h : �� � thỏa mãn bất phương trình hàm f ( x  y )  g ( xy )  h( x  y ) � (2.53) với  �0 nào đó và  x, y ��, thì tồn tại duy nhất một hàm cộng tính A : �� � sao cho: �x 2 � f ( x )  A � � f (0) �22, �4 � g ( x)  A( x)  f (0)  h(0) �21, � x2 � h( x )  A �  � h(0) �22 � 4� với mọi x �� Chứng minh Trong (2.53) cho y  0 ta được: f ( x)  g (0)  h( x) � (2.54) với mọi x �� Đặt x  y  0 vào (2.53), ta có: f (0)  g (0)  h(0) � Tiếp theo, trong (2.53) cho x  y  (2.55) t , ta thu được: 2 t2 f (t )  g ( )  h(0) � 4 (2.56) 68 với mọi t �� Cuối cùng, trong (2.53) thế x   y  t , ta có: 2 t2 f (0)  g ( )  h(t ) � 4 (2.57) với mọi t �� Kết hợp (2.53), (2.56) và (2.57) ta thấy rằng: �( x  y ) 2 � g� � g ( xy )  h(0)  f (0)  � 4 � � ( x  y)2 � g�  � � 4 � �( x  y ) 2 �  f ( x  y)  g ( xy)  h( x  y )  g �  f ( x  y)  h(0) � 4 � � � ( x  y )2 �  g�  � h( x  y )  f (0) 4 � � �( x  y ) 2 � � f ( x  y)  g ( xy)  h( x  y )  g �  f ( x  y )  h(0) � � 4 � � ( x  y )2 �  g�  � h( x  y )  f (0) � 4 � �3 Do đó, ta có: �( x  y ) 2 � g� � g ( xy )  h(0)  f (0)  4 � � � ( x  y )2 � g�  ��3 4 � � với mọi x, y �� Nếu ta cho: 2 xy  u và ( x  y )  v 4 thì ( x  y )2 , uv 4 (2.58) 69 ( x  y)2 và do đó u  v �0 Bây giờ ta thay xy bởi u và bởi v vào (2.58) ta thu 4 được: g (u  v)  g (u )  h(0)  f (0)  g (v ) �3 (2.59) với mọi u , v �� và u  v �0 Ta định nghĩa G (u )  g (u )  h(0)  f (0) (2.60) với mọi u �� Khi đó bất phương trình (2.59) trở thành G (u  v)  G (u )  G (v) �3 (2.61) với mọi u , v �� và u  v �0 Trong (2.61) ta chọn u  0 Khi đó ta thu được bất phương trình: G (v)  G (0)  G ( v) �3 (2.62) với mọi số thực v Từ đó, kết hợp (2.61), (2.62), (2.60) và (2.55) ta thấy rằng: G (u  v)  G (u )  G(v)  G (u  v)  G (u )  G ( v)  G ( v)  G (v)  G (0)  G 0) �G (u  v)  G (u )  G ( v)  G (v)  G (v)  G 0)  G (0) �7 Vì vậy: G (u  v)  G (u )  G (v) �7 (2.63) với mọi u , v �� và u  v �0 Chọn u , v �� sao cho u  v  0 Khi đó, tồn tại một số thực x �0 sao cho u  x �0 và u  x  v �0 Từ (2.63) ta có: G ( x  u  v)  G ( x)  G (u  v) �7 (2.64) G ( x  u  v )  G ( x  u )  G (v) �7 (2.65) G ( x  u )  G (u )  G ( x) �7 (2.66) 70 Vì thế ta có: G (u  v)  G (u )  G (v )  G (u  v)  G ( x)  G ( x  u  v)  G ( x  u  v)  G ( x  u )  G (v) G ( x  u )  G ( x)  G (u ) �G ( x  u  v)  G ( x)  G (u  v)  G ( x  u  v)  G ( x  u )  G (v)  G ( x  u )  G (u )  G ( x) �21 Suy ra: G (u  v)  G (u )  G (v) �21 (2.67) với mọi u , v �� và u  v  0 Từ (2.63) và (2.67) ta thấy rằng G (u  v)  G (u )  G(v) �21, u, v �� (2.68) Áp dụng định lý 2.1 về tính ổn định của phương trình hàm cộng tính, ta được: G (u )  A(u ) �21, (2.69) với mọi số thực u và A : �� � là một hàm cộng tính tồn tại duy nhất Từ (2.69) và (2.60) ta có: g ( x)  A( x)  f (0)  h(0) �21, x �� Từ (2.70) và (2.56) ta suy ra được: �x 2 � f ( x)  A � � f (0) �4 � �x 2 � �x 2 � �x 2 �  f ( x)  g � � h(0)  g � � A � � f (0)  h(0) �4 � �4 � �4 � �x 2 � �x 2 � �x 2 � � f ( x)  g � � h(0)  g � � A � � f (0)  h(0) �4 � �4 � �4 � �22 (2.70) 71 Vì vậy: � x2 � f ( x)  A �  � f (0) �22 � 4� Tương tự, từ (2.70) và (2.57) ta có: � x2 � h( x )  A �  � h(0) � 4� � x2 � � x 2 � � x2 � �h( x)  g �  � f (0)  g �  � A �  � f (0)  h(0) � 4� � 4� � 4� �22 Vì vậy: � x2 � h( x )  A �  � h(0) �22 � 4� Vậy định lý được chứng minh (2.71) 72 KẾT LUẬN Luận văn trình bày hệ thống các kiến thức về một số phương trình hàm một biến và tính ổn định của các phương trình hàm một biến, cụ thể: - Trình bày các định lí, các bài tập liên quan đến phương trình hàm Cauchy, phương trình hàm Jensen, phương trình hàm D’Alembert - Trình bày cách tuyến tính hóa một phương trình, nêu ra một số họ cơ bản của phương trình hàm - Nêu ra các phương trình hàm liên hợp và cách giải các phương trình hàm liên hợp - Trình bày mối liên hệ giữa phương trình hàm và mạng các căn thức - Định nghĩa được thế nào là tính ổn định của một phương trình hàm một biến và qua đó đã xét tính ổn định của phương trình hàm cộng tính, phương trình hàm nhân tính và một dạng của phương trình hàm Abel Tôi mong muốn luận văn sẽ góp phần phục vụ cho việc giảng dạy về phương trình hàm cho đối tượng học sinh chuyên toán nói chung và học sinh năng khiếu toán nói riêng 73 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Bộ Giáo dục và Đào tạo – Hội Toán học Việt Nam (2004), Tuyển tập 30 năm tạp chí Toán học và Tuổi trẻ, NXB Giáo dục [2] Bộ Giáo dục và Đào tạo – Vụ Giáo dục trung học (2012), Tài liệu tập huấn phát triển chuyên môn giáo viên trường THPT chuyên, 22 – 64 [3] Nguyễn Văn Mậu (1997), Phương trình hàm, NXB Giáo dục [4] Nguyễn Văn Mậu (2004), Bất đẳng thức, định lý và áp dụng, NXB Giáo dục Tiếng Anh [5] M Alimohammady and A Sadeghi (July 2012), On the Superstability and Stability of the Pexiderized Exponential Equation Article 2, Volume 1, Number 2, Page 61 – 74 [6] Baker, J.A (1980), The stability of the cosine Equation, Proceeding of the American Mathematical Society, 80 (3), 411 – 416 [7] M Bean and J.A Baker (1990), The stability of a functional analogue of the wave equation, Can Math Buul., 33, 376 – 385 [8] P.W Cholewa (1983), The stability of the sine Equation, Proceeding of the American Mathematical Society, 84 (4), 631 – 634 [9] Christopher G.Small (2007), Functional Equations and How to solve them, springer [10] Chung (2010), Stability of a Jensen type logarithmic functional equation on restricted domains and its asympytotic behaviors Adv Diff Equ 2010 74 [11] S.Czerwik (1992), On the stability of the quadratic mappings in normed spaces, Abh Math Semin Univ Hamb, 59 – 64 [12] D.H Hyers (1983), The stability of homomorphisms and ralated topics, in Global Analysis – Analysis on Manifolds, (ed Th.M Rassias), Band 57, Teste zur Mathematik, Teubner, Leipzig, 140 – 153 [13] Pl Kannappan (2000), Functional Equations and Inequalities with Applications, Springer Monogaphs in Mathematics, 2000 [14] John M Rassias (2010), Hyers – Ulam stability of Polynomial Equations [15] Prasanna K.Sahoo, (2011) Palaniappan Kannappan, Introduction to Functional Equations [16] F Skof (1983), Proprietas locali e approssimazionedi operatotori, Rend Semin Mat Fis Milano, 53, 113 – 129 [17] L Sze’ Kelyhidi (1982), The stability of d’Alembert - type functional equation, Acta Sci Math, 44, 313 - 320 ... Lévy cho phương trình Abel phương trình hàm mạng thức - Chương Trình bày tính ổn định số phương trình hàm lớp hàm biến phương trình hàm cộng tính, phương trình hàm nhân tính phương trình hàm Abel... CHƯƠNG TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM MỘT BIẾN 2.1 Định nghĩa tính ổn định phương trình hàm biến Định nghĩa 2.1: Cho phương trình hàm G ( f )  ,với G hàm cho trước, f : D f � � có miền xác định. .. tài “PHƯƠNG TRÌNH HÀM MỘT BIẾN VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH” để tìm hiểu nghiên cứu Mục tiêu nghiên cứu đề tài: Mục tiêu đề tài nhằm nghiên cứu tính ổn định phương trình hàm lớp hàm biến khảo sát tính ổn định