ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ———————————— NGUYỄN THỊ HIÊN TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ TÍNH CO CỦA CÁC PHƯƠNG PHÁP RUNGE KUTTA Chuyên ngành Toán ứng dụng Mã số 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC[.]
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ———————————— NGUYỄN THỊ HIÊN TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ TÍNH CO CỦA CÁC PHƯƠNG PHÁP RUNGE-KUTTA Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS VŨ HOÀNG LINH Hà Nội-2014 Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung luận văn, tơi xin cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán - Cơ - Tin học tồn thể thầy giáo, giáo khoa Tốn - Cơ - Tin học, phịng Sau đại học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, giảng dạy tận tình tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành tốt luận văn Đặc biệt, tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy giáo PGS.TS Vũ Hoàng Linh, người trực tiếp hướng dẫn tận tình bảo tơi suốt q trình tơi học tập thực luận văn Nhân dịp này, tơi xin cảm ơn gia đình ln ủng hộ động viên suốt thời gian học tập Cuối cùng, xin cảm ơn tất bạn, anh, chị lớp cao học Toán khóa 2011 - 2013, đặc biệt anh chị chun ngành Tốn ứng dụng khóa 2010 - 2012 khóa 2011 - 2013 tận tình giúp đỡ động viên tơi q trình học tập Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 16 tháng 01 năm 2014 Học viên Nguyễn Thị Hiên Mục lục Mở đầu Bảng ký hiệu Các khái niệm 1.1 Các phương pháp Runge-Kutta 1.2 Xây dựng phương pháp Runge-Kutta ẩn 11 1.3 Áp dụng phương pháp Runge-Kutta giải toán cương 18 1.4 Các loại chuẩn 21 Tính co cho tốn tuyến tính 2.1 Chuẩn Euclid (Định lý von Neumann) 2.2 Hàm tăng trưởng sai số với tốn tuyến tính 2.3 Bài tốn với nhiễu phi tuyến nhỏ 2.4 Tính co k.k∞ k.k1 2.5 Hệ số ngưỡng Tính ổn định B tính co 3.1 Điều kiện Lipschitz phía 3.2 Ổn định B ổn định đại số 3.3 Một vài phương pháp Runge-Kutta ẩn ổn định đại số 3.4 Ổn định AN 3.5 Các phương pháp Runge-Kutta khả quy 3.6 Định lý tương đương ổn định B ổn định số với phương pháp S-bất khả quy 3.7 Hàm tăng trưởng sai số 3.8 Tính toán ϕB (x) Kết luận Tài liệu tham khảo đại 26 29 30 33 37 39 42 42 43 46 48 51 53 56 58 63 64 Mở đầu Trong khoa học kĩ thuật ta thường gặp nhiều toán liên quan tới việc giải phương trình vi phân Có nhiều trường hợp nghiệm giải tích tốn khơng thể tìm Chính nhà tốn học tìm kiếm nhiều phương pháp số khác để giải toán Trong phương pháp số, phương pháp Runge-Kutta có nhiều tính chất ưu việt sử dụng rộng rãi Luận văn trình bày tính ổn định tính co phương pháp Runge-Kutta Xuất phát từ điều kiện ổn định tuyệt đối |yn | ≤ |yn−1 | toán y = λy , ta mở rộng đến khái niệm "tính co" xét tốn tuyến tính y = Ay , tiếp đến khái niệm tính ổn định B ổn định đại số xét tốn phi tuyến Trên sở ta lựa chọn phương pháp hữu hiệu phù hợp để giải toán nảy sinh thực tế Nội dung luận văn tham khảo từ tài liệu [2] [3] Bố cục luận văn bao gồm chương: • Chương 1: Các khái niệm Luận văn trình bày khái niệm phương pháp Runge-Kutta, cách xây dựng phương pháp Runge-Kutta ẩn, với kiến thức bổ trợ cho Chương Chương • Chương 2: Tính co tốn tuyến tính Luận văn trình bày khái niệm định lý liên quan đến tính co xét tốn tuyến tính • Chương 3: Tính ổn định B tính co Luận văn trình bày khái niệm ổn định B, ổn định đại số, ổn định AN mối quan hệ khái niệm ổn định phương pháp Runge-Kutta xét toán phi tuyến Do thời gian thực luận văn không nhiều nên luận văn không tránh khỏi hạn chế sai sót Tác giả mong nhận góp ý ý kiến phản biện quý thầy cô bạn đọc Bảng ký hiệu A⊗I Tích tensor B (p), C (η), D (ζ) Bộ điều kiện cấp xác C Tập số phức Cn Không gian vectơ phức n chiều I Ma trận đơn vị K (Z) Hàm ổn định với toán y = λ (x) y Pk (x) Đa thức trực giao Legendre Pkj (z) Xấp xỉ Padé R (z) Hàm ổn định phương pháp R Tập số thực Rn Không gian vectơ thực n chiều S Miền ổn định µ (A) Chuẩn logarit ma trận A ν Hằng số Lipschitz phía ϕB (x) Hàm tăng trưởng sai số xét toán phi tuyến ϕR (x) Hàm tăng trưởng sai số xét toán tuyến tính % Hệ số ngưỡng bT = (b1 , , bs ) Chuyển vị vectơ b = b1 bs T = (1, , 1) Vectơ cột với tất thành phần Chương Các khái niệm Chương trình bày khái niệm phương pháp RungeKutta, tồn lời giải số phương pháp, cách xây dựng phương pháp Runge-Kutta ẩn với kiến thức bổ trợ cho Chương Chương Nội dung chương phát biểu khái niệm kết phục vụ cho chương sau Chứng minh chi tiết kết chương tham khảo [2], [3] [5] 1.1 Các phương pháp Runge-Kutta Phương pháp Runge-Kutta tổng quát Phương pháp Runge-Kutta thuộc lớp phương pháp số bước, đưa hai nhà toán học người Đức Carl Runge (1856 - 1927) Wilhelm Kutta (1867 - 1944) Trước hết ta xét tốn Cauchy phương trình vi phân cấp có dạng y = f (t, y) , y ∈ Rn , f : R × Rn → Rn , y (t0 ) = y0 (1.1) Định nghĩa 1.1 (xem [5]) Phương pháp Runge-Kutta s nấc cho hệ phương trình vi phân (1.1) viết dạng: Yi = yn−1 + h yn = yn−1 + h s P j=1 s P aij f (tn−1 + cj h, Yj ) i = 1, , s (1.2) bi f (tn−1 + ci h, Yi ) i=1 Trong Y1 , , Ys giá trị nấc xấp xỉ y ti = tn−1 + ci h (ti điểm s P nấc) Bộ hệ số: {ci }si=1 ; {aij }si,j=1 ; {bi }si=1 thỏa mãn bi = Thơng thường, ta chọn để có ci = s P i=1 aij (i = 1, , s) j=1 • Nếu aij = với i ≤ j phương pháp phương pháp Runge-Kutta hiển (ERK) • Nếu aij = với i < j có aii 6= phương pháp phương pháp Runge-Kutta ẩn đường chéo (DIRK) • Nếu aij = với i < j aii = γ với i = 1, , s phương pháp phương pháp ẩn đường chéo đơn (SDIRK) • Các trường hợp lại gọi phương pháp Runge-Kutta ẩn (IRK) Để dễ dàng hình dung phương pháp Runge-Kutta, Butcher đưa hệ số phương pháp vào bảng sau: c1 c2 a11 a21 a12 a22 ··· ··· a1s a2s cs as1 b1 as2 b2 ··· ··· ass bs Bảng 1.1: Bảng Butcher Ví dụ 1.1 Một số cơng thức ERK (a) Euler hiển 0 (b) Hình thang hiển 1 (c) Trung điểm hiển 0 2 0 Bảng 1.2: Một số công thức ERK Ví dụ 1.2 Một số cơng thức IRK (a) Euler ẩn 1 (b) Hình thang ẩn 1 2 2 Bảng 1.3: Một số công thức IRK (c) Trung điểm ẩn 2 Sự tồn lời giải số phương pháp Xét công thức (1.2) trường hợp n = 1, ta đặt ki = f (t0 + ci h, Yi ) với i = 1, 2, , s ta thu s P ki = f (t0 + ci h, y0 + h aij kj ) j=1 y1 = y0 + s P (1.3) bi k i i=1 Để xác định lời giải số y1 phương pháp, trước hết ta cần xác định giá trị ki từ hệ phương trình chứa ki cho (1.3) Nói chung, hệ phương trình phi tuyến nên nhiều trường hợp ki tồn khơng Do đó, khơng tồn lời giải số phương pháp Định lý sau cho ta điều kiện để tồn lời giải số phương pháp Runge-Kutta ẩn (1.3) Định lý 1.1 (xem [2]) Cho hàm f : R × Rn → Rn hàm liên tục thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến y với số L Nếu h< P , L max ti |aij | j lời giải số phương pháp (1.3) tồn với giá trị ki xác định từ hệ phương trình cho (1.3), giá trị thu phương pháp lặp Newton Hơn nữa, f (t, y) hàm khả vi, liên tục tới cấp p ki (là hàm theo biến h) khả vi, liên tục cấp p Ổn định tuyệt đối ổn định A Bằng phương pháp khác ta tìm nghiệm số phương trình vi phân Tuy nhiên, nghiệm số ta tìm liệu có tốt khơng, làm để đánh giá nghiệm Để giải vấn đề này, ta cần nghiệm số phải có tính chất tốt cho lớp tốn Xét phương trình vi phân thử y = λy, λ số, λ ∈ C, y(t0 ) = y0 (1.4) Ở phần sau, xét phương trình thử (1.4) ta ln giả sử Re (λ) ≤ Trong trường hợp Re (λ) ≤ ta điều kiện ổn định tuyệt đối |yn | ≤ |yn−1 | , n = 1, 2, (1.5) Giả sử y(t), ye(t) hai lời giải (1.1) Từ ta có định nghĩa ổn định ổn định tiệm cận với nghiệm phương trình vi phân( 1.1) Định nghĩa 1.2 Nghiệm y (t) phương trình vi phân( 1.1) gọi ổn định với ε > 0, ∃δ > cho |y (to ) − ye (to )| ≤ δ |y (t) − ye (t)| < ε với t ≥ t0 Định nghĩa 1.3 Nghiệm y (t) phương trình vi phân( 1.1) gọi ổn định tiệm cận ổn định thỏa mãn điều kiện lim |y (t) − ye (t)| = t→+∞ Nhận xét 1.1 Đối với hệ tuyến tính, nghiệm tầm thường ổn định (ổn định tiệm cận) nghiệm ổn định (ổn định tiệm cận) Trong trường hợp này, nói hệ ổn định (ổn định tiệm cận) Xét toán tuyến tính y = Ay , A ∈ Cm×m (1.6) Định lý 1.2 (xem [5]) Nếu giá trị riêng λ ma trận A thỏa mãn Re (λ) ≤ giá trị riêng có phần thực giá trị riêng đơn hệ y = Ay ổn định Định lý 1.3 (Điều kiện cần đủ (xem [5])) Nếu Re (λ) < với giá trị riêng λ A hệ ổn định tiệm cận Để đến khái niệm hàm ổn định phương pháp Runge-Kutta, ta áp dụng phương pháp Runge-Kutta với công thức (1.2) cho phương trình thử (1.4) lời giải số yn = R (z) yn−1 với z = λh (1.7) Khi đó, để điều kiện ổn định tuyệt đối (1.5) thỏa mãn |R (z)| ≤ (1.8) Định nghĩa 1.4 Hàm R (z) xác định (1.7) gọi hàm ổn định phương pháp Runge-Kutta Tập S = {z ∈ C : |R (z)| ≤ 1} gọi miền ổn định tuyệt đối phương pháp Runge-Kutta Ví dụ 1.3 • Phương pháp Euler hiển có hàm ổn định R (z) = + z • Phương pháp Euler hiển có miền ổn định tuyệt đối hình trịn có bán kính 1, tâm −1 Mệnh đề 1.1 (xem [3]) Phương pháp Runge-Kutta ẩn s nấc với s X gi = y + h aij f (t0 + cj h, gj ), j=1 s X y1 = y0 + h i = 1, 2, , s, (1.9a) (1.9b) bj f (t0 + cj h, gj ), j=1 áp dụng cho phương trình thử y = λy có y1 = R (hλ) y0 với R (z) = + zbT (I − zA)−11 , bT = (b1 , , bs ) , A = (aij )si,j=1 , (1.10) = (1, 1, , 1)T Mệnh đề 1.2 (xem [3]) Hàm ổn định (1.9) thỏa mãn T R (z) = STT Phương pháp Euler ẩn Phương pháp θ Trung điểm ẩn Hình thang ẩn det I − zA + z11b det (I − zA) SDIRK cấp (1.11) R (z) 1−z + z (1 − θ) − zθ + z/2 − z/2 + z (1 − 2γ) + z 1/2 − 2γ + γ 2 (1 − γz) Bảng 1.4: Hàm ổn định số phương pháp Runge-Kutta ẩn Miền ổn định tuyệt đối phương pháp cho Bảng 1.4 xem [3] Từ kết ta thấy phương pháp Runge-Kutta ẩn có hàm ổn định R (z) hàm hữu tỉ với tử số mẫu số có bậc ≤ s R (z) = P (z) , Q (z) deg P = k, deg Q = j (1.12) Định nghĩa 1.5 Một phương pháp mà miền ổn định tuyệt đối thỏa mãn S ⊃ C− = {z ∈ C : Re (z) ≤ 0} , phương pháp gọi phương pháp ổn định A (hay A-ổn định) Phương pháp Runge-Kutta với hàm ổn định (1.12) ổn định A |R (iy)| ≤ với y ∈ R (1.13) R (z) giải tích với Re (z) < (1.14) Xấp xỉ Padé ez Cho hàm f (z) giải tích lân cận điểm 0, hai số nguyên không âm k j Khi đó, ta xấp xỉ hàm f (z) hàm hữu tỉ f (z) ≈ Pk (z) Qj (z) (1.15) P đa thức bậc k , Q đa thức bậc j sai số xấp xỉ tới O z k+j+1 Trong trường hợp j = xấp xỉ khai triển Taylor hàm f (z) điểm Khi k = Q (z)/P (z) khai triển Taylor hàm 1/f (z) Tuy nhiên, với hàm k, j khơng phải lúc tồn xấp xỉ Khi xấp xỉ f (z) = Pkj (z) + O z k+j+1 Qkj (z) tồn tại, số (k , j ) gọi xấp xỉ Padé hàm f Xấp xỉ Padé hàm mũ trường hợp đặc biệt cần nghiên cứu, vài xấp xỉ Padé xấp xỉ hàm hữu tỉ phương pháp quan trọng phương pháp Gauss, phương pháp Radau, phương pháp Lobatto Ta tồn xấp xỉ Padé cho hàm ổn định phương pháp với k , j Định lý 1.4 (xem [3]) Bộ số (k , j ) xấp xỉ Padé ez cho Rkj (z) = Pkj (z) , Qkj (z) (1.16) k k (k − 1) z2 k (k − 1) z k z + + + j+k (j + k) (j + k − 1) 2! (j + k) (j + 1) k! j (j − 1) z2 (−1)j j (j − 1) z j j =1− z + + + = Pjk (−z) k+j (k + j) (k + j − 1) 2! (k + j) (k + 1) j! Pkj = + Qkj Đặt Ckj = (−1)j k!j! , (k + j)! (k + j + 1)! Pkj − ez Qkj + Ckj z k+j+1 + j+1 Ckj z k+j+2 = O z k+j+3 k+j+2 10 Sao cấp xác Khái niệm cấp xác đưa nghiên cứu tính ổn định xấp xỉ Padé hàm ez (Wanner, Hairer Norsett 1978) Định nghĩa 1.6 Cho tập hợp A = {z ∈ C : |R (z)| > |ez |} = {z ∈ C : |q (z)| > 1} , q (z) = (1.17) R (z) Tập A gọi cấp xác R (z) ez Sao cấp xác khơng so sánh |R (z)| với xét tính ổn định, mà so sánh |R (z)| với nghiệm xác phương trình thử |ez | = ex (z = x + iy) hi vọng nhận nhiều thông tin Chúng ta giả sử hệ số hàm R (z) số thực cấp xác đối xứng qua trục thực Hơn nữa, với z = iy ta có |ez | = 1, tập A phần bù miền ổn định tuyệt đối S trục ảo Hình 1.1 Hình 1.2 thể tập cấp xác xấp xỉ Padé Bổ đề 1.1 (xem [3]) Nếu R (z) xấp xỉ cấp p ez , tức z p+1 p+2 e − R (z) = Cz +O z với C 6= z → 0, A có dáng điệu hình ngơi với p + cánh có góc quét 1.2 π p+1 Xây dựng phương pháp Runge-Kutta ẩn Phần đề cập đến lớp phương pháp Runge-Kutta ẩn sở hữu tính ổn định tốt Việc xây dựng phương pháp chủ yếu dựa vào điều kiện s P B (p) : bi cq−1 = q = 1, , p; i q i=1 s P cqi q−1 i = 1, , s, q = 1, , η; C (η) : aij cj = (1.18) q j=1 s P bj q bi cq−1 a = − c j = 1, , s, q = 1, , ζ D (ζ) : ij i j i=1 q Điều kiện B (p) có nghĩa cơng thức cầu phương (bi , ci ) có cấp p Sự quan trọng hai điều kiện lại thể Định lý 1.5 (xem [2] trang 208) 11 Hình 1.1: Tập cấp xác xấp xỉ Padé với k = 1, j = Hình 1.2: Tập cấp xác xấp xỉ Padé với k = 2, j = 21 Định lý 1.5 (Butcher 1964) Nếu hệ số bi , ci , aij phương pháp RungeKutta thỏa mãn B (p) , C (η) , D (ζ) với p ≤ η + ζ + p ≤ 2η + phương pháp có cấp p 12 Các phương pháp Gauss Các phương pháp Gauss hay gọi "các phương pháp Kuntzmann-Butcher" phương pháp trùng khớp dựa sở công thức cầu phương Gauss với hệ số c1 , , cs nghiệm đa thức trực giao Legendre bậc s ds s s dxs x (x − 1) Một số phương pháp Gauss thể Bảng 1.5 (a) p = 2 √ − √6 + (b) p = √ − 4√ + Bảng 1.5: Các phương pháp Gauss cấp cấp Định lý 1.6 (Butcher 1964, Ehle 1968) Phương pháp Gauss s nấc có cấp xác p = 2s Hàm ổn định xấp xỉ Padé (s, s) phương pháp ổn định A Chứng minh Chi tiết xem [2] [3] Các phương pháp Radau IA Radau IIA Butcher (1964) giới thiệu phương pháp Runge-Kutta dựa sở cơng thức cầu phương Radau Lobatto Ơng gọi chúng theo ba loại I, II III tùy thuộc vào c1 , c2 , , cs nghiệm I: II : III : ds−1 xs (x − 1)s−1 , s−1 dx ds−1 xs−1 (x − 1)s , s−1 dx ds−2 xs−1 (x − 1)s−1 s−2 dx Radau trái Radau phải (Lobatto) (1.19) (1.20) (1.21) Các trọng số bi chọn để công thức cầu phương thỏa mãn B (s), B (2s − 1) sở Radau, B (2s − 2) sở Lobatto Ehle (1969) theo đuổi ý tưởng Butcher xây dựng phương pháp loại I, II III với tính chất ổn định vượt trội Một cách độc lập, Axelsson (1969) tìm phương pháp Radau IIA chứng minh tính ổn định A chúng Phương pháp Radau IA s nấc thuộc loại I hệ số aij (i, j = 1, , s) định nghĩa điều kiện D (s) Đây cách ci phân biệt 13 (a) p = (b) p = 1 4 (c) p = − 12 √ −1 − 18 √ 88 + 360 √ 88 + 43 360 √ 16 + 36 9 9 √ 6− 10 √ 6+ 10 √ −1 + 18 √ 88 − 43 360 √ 88 − 360 √ 16 − 36 Bảng 1.6: Một số phương pháp Radau IA bi 6= Bảng 1.6 trình bày phương pháp có đặc điểm Cơng thức loại II Ehle thu cách áp dụng điều kiện C (s) Theo Định lý II.7.7 [2], hệ số phương pháp loại II xây dựng dựa sở nghiệm (1.20) Ta gọi chúng phương pháp Radau IIA Với s = thu công thức Euler ẩn (xem Bảng 1.3) Các ví dụ phương pháp Radau IIA đưa Bảng 1.7 (a) p = 3 12 4 −1 12 4 √ 4− 10√ 4+ 10 (b) p = √ 88 − 360 √ 269 + 169 1800 √ 16 − 36√ 16 − 36 √ 269 − 169 1800√ 88 + 360√ 16 + 36√ 16 + 36 √ −2 + 225 √ −2 − 225 9 Bảng 1.7: Các phương pháp Radau IIA cấp cấp Định lý 1.7 Phương pháp Radau IA s nấc phương pháp Radau IIA s nấc có cấp xác p = 2s − Hàm xấp xỉ chúng xấp xỉ Padé (s − 1, s) Cả hai phương pháp ổn định A Chứng minh Chi tiết xem [3] Các phương pháp Lobatto IIIA, IIIB IIIC Với tất công thức loại III ci nghiệm đa thức cho (1.21) trọng số bi thỏa mãn B (2s − 2) Các hệ số aij định nghĩa C (s) cho ta công thức Lobatto IIIA Do phương pháp trùng khớp Với phương pháp Lobatto IIIB áp dụng D (s) Cuối cùng, để có cơng thức Lobatto IIIC đặt ai1 = b1 i = 1, 2, , s 14 (1.22) xác định aij lại C (s − 1) Ehle (1969) giới thiệu hai lớp phương pháp đầu tiên, trình bày phương pháp IIIC với s ≤ Định nghĩa chung phương pháp IIIC đưa Chipman (1971) Axelsson (1972) Các ví dụ đưa Bảng 1.8 - 1.10 Định lý 1.8 Các phương pháp Lobatto IIIA, IIIB IIIC có cấp xác p = 2s − Hàm ổn định phương pháp Lobatto IIIA Lobatto IIIB xấp xỉ Padé (s − 1, s − 1) Với phương pháp Lobatto IIIC, hàm ổn định xấp xỉ Padé (s − 2, s) Và tất chúng ổn định A Chứng minh Chi tiết xem Phần IV.5 [3] (a) p = 0 2 (b) p = 2 1 24 6 3 −1 24 6 Bảng 1.8: Các phương pháp Lobatto IIIA cấp cấp (a) p = 1 2 (b) p = 0 2 1 6 6 −1 6 0 Bảng 1.9: Các phương pháp Lobatto IIIB cấp cấp (a) p = 1 2 (b) p = −1 2 2 1 6 6 −1 12 3 −1 12 6 Bảng 1.10: Các phương pháp Lobatto IIIC cấp cấp Tóm tắt việc xây dựng phương pháp Runge-Kutta ẩn thể Bảng 1.11 15 Phương pháp Bộ điều kiện đơn giản hóa Cấp xác Hàm ổn định Gauss B (2s) C (s) D (s) 2s (s, s) Padé Radau IA B (2s − 1) C (s − 1) D (s) 2s − (s − 1, s) Padé Radau IIA B (2s − 1) C (s) D (s − 1) 2s − (s − 1, s) Padé Lobatto IIIA B (2s − 2) C (s) D (s − 2) 2s − (s − 1, s − 1) Padé Lobatto IIIB B (2s − 2) C (s − 2) D (s) 2s − (s − 1, s − 1) Padé Lobatto IIIC B (2s − 2) C (s − 1) D (s − 1) 2s − (s − 2, s) Padé Bảng 1.11: Thể đầy đủ phương pháp Runge-Kutta ẩn W -biến đổi Ta kí hiệu √ Pk (x) = k k k 2k + d x (x − 1) dxk k! k X √ (−1)j+k = 2k + k j j+k j xj j=0 (1.23) đa thức Legendre chuẩn hóa Z1 Pk2 (x) dx = (1.24) Các đa thức thỏa mãn Zx P0 (t) dt = ξ1 P1 (x) + P0 (x) ; (1.25a) Zx Pk (t) dt = ξk+1 Pk+1 (x) − ξk Pk−1 (x) k = 1, (1.25b) với ξk = √ 4k − (1.26) Định lý 1.9 (xem [3]) Cho W định nghĩa wij = Pj−1 (ci ) i = 1, , s j = 1, , s, (1.27) A ma trận hệ số phương pháp Gauss có cấp p = 2s 1/2 −ξ1 −ξ2 ξ1 W−1 AW = ξ2 16 −ξs−1 ξs−1 := XG (1.28) Bổ đề 1.2 (xem [3]) Cho A ma trận hệ số phương pháp Runge-Kutta ẩn W ma trận không suy biến với wij = Pj−1 (ci ) i = 1, , s j = 1, , η + Khi điều kiện C (η) (với η ≤ s − 1) tương đương với điều kiện η cột W−1 AW giống với η cột XG (1.28) Bổ đề 1.3 (xem [3]) Cho W ma trận không suy biến với wij = Pj−1 (ci ) i = 1, , s j = 1, , ζ + 1, B = diag (b1 , , bs ) với bi 6= Khi điều kiện D (ζ) (với ζ ≤ s − 1) tương −1 đương với điều kiện ζ hàng ma trận WT B A WT B giống với ζ hàng XG (1.28) (Nếu B suy biến ta có (1.29) bên dưới) 1/2 −ξ ξ1 T T −ξζ−1 (1.29) W BA = W B ξ −ξ ζ−1 ζ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ Hai ma trận biến đổi Bổ đề 1.2 Bổ đề 1.3 nhau, tức WT B = W−1 WT BW = I (1.30) Bổ đề 1.4 (xem [3]) Với cơng thức cầu phương mà có cấp p ≥ 2s − ma trận W = (Pj−1 (ci ))i,j=1, ,s (1.31) thỏa mãn (1.30) Định nghĩa 1.7 Với η , ζ số nguyên từ đến s − Ta nói ma trận W cấp s × s thỏa mãn T (η, ζ) với cơng thức cầu phương có hệ số (bi , ci )si=1 a) W ma trận không suy biến b) wij = Pj−1 (ci ) i = 1, , s, j = 1, , max (η, ζ) + T (η, ζ) I T c) W BW = R 17 I ma trận đơn vị cấp (ζ + 1) × (ζ + 1), R ma trận tùy ý cấp (s − ζ − 1) × (s − ζ − 1) Định lý 1.10 (xem [3]) Với W thỏa mãn T (η, ζ) cho cơng thức cầu phương (bi , ci )si=1 phương pháp Runge-Kutta dựa (bi , ci )si=1 , với ma trận X = W−1 AW ta có a) η cột X XG ⇔ C (η); b) ζ hàng X XG ⇔ D (ζ) Bổ đề 1.5 (xem [3]) Nếu cơng thức cầu phương có nút ci , tất trọng số bi > có cấp xác p thỏa mãn p ≥ 2η + 1, p ≥ 2ζ + ma trận W = (pj−1 (ci ))i,j=1, ,s (1.32) có tính chất T (η, ζ) thỏa mãn (1.30) Ở đây, pj (x) đa thức trực giao bậc j với tích vơ hướng s X hp, ri = bi p (ci ) r (ci ) i=1 Nhận xét 1.2 (xem [3]) Chúng ta biểu diễn hàm ổn định phương pháp Runge-Kutta ẩn dạng ma trận Runge-Kutta chuyển vị X = W−1 AW Từ (b) (c) tính chất T (η, ζ), ta suy We1 = , WT B11 = e1 , e1 = (1, 0, , 0)T (1.33) Do công thức (1.10) (1.11)trở thành R (z) = + zeT1 (I − zX)−1 e1 , (1.34) T R (z) = 1.3 det I − zX + ze1 e1 det (I − zX) (1.35) Áp dụng phương pháp Runge-Kutta giải toán cương Để minh họa cho phương pháp Runge-Kutta xây dựng phần trên, ta áp dụng phương pháp Runge-Kutta giải số tốn cương Trước hết ta tìm hiểu xem tốn cương gì? Có nhiều cách định nghĩa khác toán cương Tuy nhiên, quan điểm có tính thực tiễn 18 quan điểm lịch sử toán cương Curtiss Hirschfelder đưa Theo đó, tốn cương toán mà phương pháp Runge-Kutta hiển khơng giải Đối với tốn cương, phương pháp Runge-Kutta ẩn giải tốt nhiều so với phương pháp Runge-Kutta hiển Định nghĩa 1.8 Bài toán giá trị ban đầu gọi toán cương điều kiện ổn định tuyệt đối xác định bước h nhỏ nhiều so với u cầu độ xác Ngồi ra, ta nhận dạng tốn cương vài trường hợp đặc biệt Với tốn (1.6) ta có định nghĩa sau Định nghĩa 1.9 Đối với toán y = Ay, A ∈ Cm×m Re (λi ) ≤ (với λi max |Reλi | giá trị riêng A) với i = 1, , m i |Reλi | toán gọi i toán cương Bài toán 1.1 Bài toán Van der Pol y1 = y2 y20 = − y12 y2 − y1 /ε ≤ x ≤ (1.36) y1 (0) = 2, y2 (0) = Ta xét tốn với ε = 10−3 Ta lập trình chương trình thử nghiệm số để giải tốn Van der Pol phương pháp Gauss cấp cấp (xem Bảng 1.5) mơi trường Matlab Sau đó, ta so sánh kết lời giải số chương trình với lời giải số chương trình ode23s Chương trình ode23s xây dựng dựa cặp cơng thức Rosenbrock cấp cấp (xem [6]) Kết lời giải số y1 thể Hình 1.3 Sau 2000 bước với bước h = 0.0015, phương pháp Gauss cấp cho ta lời giải xác, cịn lời giải phương pháp Gauss cấp có nhiều sai số Trong đó, ta sử dụng chương trình ode23s cần 450 bước với hmin ≈ 1.4629 × 10−6 , hmax ≈ 0.0431 ta có lời giải xác Bài toán 1.2 Bài toán cương Robertson y1 = −0.04y1 + 104 y2 y3 y = 0.04y − 104 y y − 3.107 y 2 y0 = 3 3.107 y22 y1 (0) = 1; y2 (0) = 0; y3 (0) = 0, ≤ x ≤ 40 19 (1.37) ... 3: Tính ổn định B tính co Luận văn trình bày khái niệm ổn định B, ổn định đại số, ổn định AN mối quan hệ khái niệm ổn định phương pháp Runge- Kutta xét toán phi tuyến Do thời gian thực luận văn. .. giải toán Trong phương pháp số, phương pháp Runge- Kutta có nhiều tính chất ưu việt sử dụng rộng rãi Luận văn trình bày tính ổn định tính co phương pháp Runge- Kutta Xuất phát từ điều kiện ổn định. .. [5] 1.1 Các phương pháp Runge- Kutta Phương pháp Runge- Kutta tổng quát Phương pháp Runge- Kutta thuộc lớp phương pháp số bước, đưa hai nhà toán học người Đức Carl Runge (1856 - 1927) Wilhelm Kutta