ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ————— o0o ————— NGUYỄN ĐÌNH SỰ TÍNH ỔN ĐỊNH HÓA CỦA LỚP HỆ DƯƠNG PHÂN THỨ THÁI NGUYÊN, 10/2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ————— o0o ————— N[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ————— o0o ————— NGUYỄN ĐÌNH SỰ TÍNH ỔN ĐỊNH HĨA CỦA LỚP HỆ DƯƠNG PHÂN THỨ THÁI NGUYÊN, 10/2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ————— o0o ————— NGUYỄN ĐÌNH SỰ TÍNH ỔN ĐỊNH HĨA CỦA LỚP HỆ DƯƠNG PHÂN THỨ Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS MAI VIẾT THUẬN THÁI NGUYÊN, 10/2018 i Mục lục Một số ký hiệu chữ viết tắt ii Lời nói đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Giải tích phân thứ 1.1.1 Tích phân phân thứ 1.1.2 Đạo hàm phân thứ 1.2 Các định lí tồn nghiệm hệ phương trình vi phân phân thứ 1.3 Công thức nghiệm hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo 10 1.4 Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân phân thứ 12 1.5 Một bổ đề bổ trợ 14 Chương Tính ổn định hóa số lớp hệ dương phân thứ Caputo 15 2.1 Tính ổn định hóa lớp hệ tuyến tính dương phân thứ Caputo 15 2.2 Tính ổn định hóa lớp hệ tuyến tính dương khơng chắn phân thứ Caputo 25 ii Một số ký hiệu chữ viết tắt R, R+ tập số thực, số thực không âm tương ứng Rn không gian vectơ Euclide thực n−chiều Rn×r khơng gian ma trận thực cỡ (n × r) C([a, b], Rn ) khơng gian hàm liên tục [a, b], nhận giá trị Rn AT ma trận chuyển vị ma trận A A = (A)ij phần tử Aij ma trận A I ma trận đơn vị A≥0 A ma trận không âm A≥B A−B ≥0 A>0 A ma trận dương α t0 It toán tử tích phân phân thứ Riemann-Liouville cấp α RL α t0 Dt toán tử đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville cấp α C α t0 Dt toán tử đạo hàm phân thứ Caputo cấp α kết thúc chứng minh định lí bổ đề Lời nói đầu Hệ động lực dương nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học ứng dụng nhiều toán kỹ thuật (xem [9] tài liệu tham khảo đó) khoảng ba thập kỷ gần Nói cách hình tượng, hệ động lực gọi hệ dương vectơ trạng thái vectơ đầu hệ không âm điều kiện ban đầu đầu vào khơng âm Tính ổn định ổn định hóa tính chất định tính quan trọng hệ động lực dương Vì vậy, nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học [3, 12, 14, 16, 18] Chẳng hạn, cách tiếp cận sử dụng phương pháp hàm Lyapunov kết hợp với tốn quy hoạch tuyến tính, tác giả [16] nghiên cứu tốn ổn định hóa cho lớp hệ tuyến tính với điều khiển có hạn chế Trong [12], vài tiêu chuẩn cho tính dương tính ổn định tiệm cận cho lớp hệ tuyến tính dương có trễ đưa Mặt khác, nhiều nhà khoa học nhiều hệ thống, chẳng hạn hệ thống điện từ, phân cực điện mơi, hệ thống viscoelastic [8], mô tả cách chi tiết tốt hệ phương trình vi phân phân thứ Vì hệ phương trình vi phân phân thứ nhận nhiều quan tâm nghiên cứu (xem [1, 2, 12, 13, 14, 16, 18] tài liệu tham khảo đó) Đặc biệt, năm gần đây, tốn nghiên cứu tính ổn định ổn định hóa hệ động lực dương phân thứ toán quan trọng, thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học Nhiều kết sâu sắc tốn cơng bố tạp chí quốc tế uy tín (xem [5, 8, 10, 17]) Trong tài liệu [8], tác giả đưa vài tiêu chuẩn cho tính ổn định hóa số lớp hệ tuyến tính dương khơng chắn phân thứ RiemannLiouville Tuy nhiên bình luận số nhà khoa học, việc dùng đạo hàm Riemann-Liouville để mô tả hệ động lực thực tế gặp hạn chế điều kiện ban đầu tốn giá trị đầu khơng có nhiều ý nghĩa vật lí So với đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville, đạo hàm Caputo dễ áp dụng cho tốn thực tế điều kiện ban đầu mơ hình sử dụng đạo hàm Caputo có ý nghĩa vật lí Vì lí đó, cách sử dụng số kỹ thuật tham khảo tài liệu [8] [17] chúng tơi nghiên cứu tốn ổn định hóa cho số lớp hệ tuyến tính dương không chắn phân thứ Caputo Các kết thu đóng góp nhỏ có ý nghĩa khoa học Luận văn chia làm hai chương với nội dung sau: Chương 1, chúng tơi trình bày số khái niệm giải tích phân thứ tích phân đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, tích phân đạo hàm phân thứ Caputo Sau đó, chúng tơi trình bày số định lí tồn nghiệm Cơng thức nghiệm hệ phương trình vi phân tuyến tính phân thứ Caputo khơng chúng tơi trình bày chương Ngoài ra, phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định cho hệ phương trình vi phân phân thứ phi tuyến tổng quát trình bày chương Chương luận văn trình bày điều kiện cần đủ để đảm bảo hệ tuyến tính phân thứ Caputo dương Ngồi ra, chúng tơi trình bày số điều kiện đủ cho tính ổn định hóa số lớp hệ điều khiển tuyến tính phân thứ Caputo với điều khiển khơng có hạn chế có hạn chế Các kết chương đưa cách áp dụng kỹ thuật chứng minh báo [8] [17] danh mục tài liệu tham khảo luận văn Để hoàn thành luận văn này, nỗ lực học hỏi thân, em nhận nhiều quan tâm, giúp đỡ Với tình cảm chân thành em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới TS Mai Viết Thuận - người Thầy tận tình hướng dẫn, bảo, truyền đạt kiến thức kinh nghiệm quý báu cho em suốt trình học tập hoàn thiện luận văn Em xin gửi lời cảm ơn đến thầy cô giáo trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, người trực tiếp tham gia giảng dạy lớp Cao học Toán K10 khóa 2016 - 2018, phịng ban chức năng, Khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên giúp đỡ tạo điều kiện cho em thời gian học tập vừa qua Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám Hiệu trường THPT Hiệp Hòa số 2, tập thể lớp K10, gia đình, bạn bè đồng nghiệp ln động viên, giúp đỡ tơi suốt q trình học tập hồn thành khóa luận Thái Ngun, ngày 02 tháng 10 năm 2018 Tác giả luận văn NGUYỄN ĐÌNH SỰ Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số kiến thức giải tích phân thứ tích phân Riemann-Liouville, đạo hàm phân thứ Caputo, đạo hàm phân thứ RiemannLiouville, mối liên hệ hai loại đạo hàm Caputo Riemann-Liouville Ngồi ra, chúng tơi trình bày phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân phân thứ Các kiến thức trình bày chương tham khảo [1, 13, 15] 1.1 1.1.1 Giải tích phân thứ Tích phân phân thứ Trong mục này, chúng tơi trình bày sơ lược khái niệm tích phân phân thứ Khái niệm tích phân phân thứ mở rộng tự nhiên khái niệm tích phân lặp thông thường Định nghĩa 1.1 Cho α > [a, b] ⊂ R, tích phân phân thứ RiemannLiouville cấp α hàm x : [a, b] −→ R cho bởi: Z t α (t − s)α−1 x(s)ds, t ∈ (a, b], t0 It x(t) := Γ(α) t0 Γ(.) hàm Gamma xác định Γ(α) = +∞ R tα−1 e−t dt, α > 0 Trong Định nghĩa 1.1 α = quy ước α t It := I với I toán tử đồng Sự tồn tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α với < α < cho định lí sau: Định lí 1.1 Giả sử x : [a, b] −→ R hàm khả tích [a, b] Khi đó, tích phân α t0 It x(t) tồn với hầu hết t ∈ [a, b] Hơn nữa, α t0 It x hàm khả tích Ví dụ sau cho ta tích phân phân thứ số hàm Ví dụ 1.1 (i) Cho x(t) = (t − a)β , β > −1 t > a Với α > 0, có: α t0 It x(t) = Γ(β + 1) (t − a)α+β , t > a Γ(α + β + 1) (ii) Cho x(t) = eλt , λ > Với α > 0, có: α t0 It x(t) =λ −α +∞ X j=0 1.1.2 (λt)α+j , t > Γ(α + j + 1) Đạo hàm phân thứ Định nghĩa 1.2 Cho trước số thực dương α khoảng [a, b] ⊂ R Đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α hàm x : [a, b] −→ R cho bởi: Z dn t dn n−α (t − s)n−α−1 x(s)ds, := n t0 It x(t) = n dt Γ(n − α) dt t0 n = [α] + số nguyên nhỏ lớn α RL α t0 Dt x(t) dn dtn đạo hàm thơng thường cấp n Ví dụ 1.2 Cho hàm bước đơn vị (unit-step function): t ≥ 0; f (t) = t < Bằng cách sử dụng Định nghĩa 1.2, ta tính đạo hàm phân thứ Riemann– Liouville cấp α hàm f (t) là: RL α Dt f (t) = t−α Γ(1 − α) Trước trình bày điều kiện cho tồn đạo hàm phân thứ Riemann– Liouville, nhắc lại số kết sau: Cho [a, b] khoảng hữu hạn R AC[a, b] không gian hàm tuyệt đối liên tục [a, b] Kolmogorov Fomin mối liên hệ hàm tuyệt đối liên tục hàm khả tích Lebesgue sau: Z t f (t) ∈ AC[a, b] ⇔ f (t) = c + ϕ(s)ds (ϕ(s) ∈ L(a, b)) a Do hàm tuyệt đối liên tục f (t) có đạo hàm f (t) = ϕ(t) hầu khắp nơi [a, b] Với n ∈ N, ta định nghĩa lớp hàm AC n [a, b] sau: AC n [a, b] = {f : [a, b] −→ R, (Dn−1 f )(t) ∈ AC[a, b] (D = d )} dt Mệnh đề sau cho ta số đặc tính lớp hàm AC n [a, b] Mệnh đề 1.1 Không gian AC n [a, b] chứa tất hàm f (t) có dạng sau: f (t) = α t0 It ϕ(t) + n−1 X ck (t − t0 )k , k=0 ϕ(t) ∈ L(a, b), ck (k = 0, 1, , n − 1) số tùy ý Z t α (t − s)n−1 ϕ(s)ds t0 It ϕ(t) = (n − 1)! t0 Ngoài ra, từ điều kiện ta có: f (k) (t0 ) (k = 0, 1, , n − 1) k! Định lí sau cho ta tiêu chuẩn cho tồn đạo hàm phân thứ ϕ(s) = f (n) (s), ck = Riemann–Liouville Định lí 1.2 Cho α ≥ 0, n = [α] + Nếu f (t) ∈ AC n [a, b], đạo hàm phân thứ RL α t0 Dt f (t) tồn hầu khắp nơi [a, b] biểu diễn dạng sau: RL α t0 Dt f (t) = n−1 X k=0 f (k) (t0 ) (t − t0 )k−α + Γ(1 + k − α) Γ(n − α) Z t t0 f (n) (s)ds (t − s)α−n+1 Kết sau suy trực tiếp từ Định lí 1.2 Hệ 1.1 Nếu < α < f (t) ∈ AC[a, b] Z t f (t0 ) f (s)ds RL α [ + ] t0 Dt f (t) = α Γ(1 − α) (t − t0 )α t0 (t − s) ... Chương Tính ổn định hóa số lớp hệ dương phân thứ Caputo 15 2.1 Tính ổn định hóa lớp hệ tuyến tính dương phân thứ Caputo 15 2.2 Tính ổn định hóa lớp hệ tuyến tính dương khơng chắn phân thứ Caputo...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ————— o0o ————— NGUYỄN ĐÌNH SỰ TÍNH ỔN ĐỊNH HĨA CỦA LỚP HỆ DƯƠNG PHÂN THỨ Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI... Chương luận văn trình bày điều kiện cần đủ để đảm bảo hệ tuyến tính phân thứ Caputo dương Ngồi ra, chúng tơi trình bày số điều kiện đủ cho tính ổn định hóa số lớp hệ điều khiển tuyến tính phân thứ