Phương trình hàm một biến

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————- PHAN THỊ HỒNG THẮM PHƯƠNG TRÌNH HÀM MỘT BIẾN Chuyên ngàn: Phương pháp Tốn sơ cấp Mã số: 8.46.01.13 TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Đà Nẵng - Năm 2020 Cơng trình hồn thành TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Người hướng dẫn khoa học: TS Phạm Quý Mười Phản biện 1: TS Lê Văn Dũng Phản biện 2: TS Nguyễn Thành Chung Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Toán học họp Đại học Đà Nẵng vào ngày 30 tháng năm 2020 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thơng tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học sư phạm, Đại học Đà Nẵng 1 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phương trình hàm phương trình mà ẩn hàm số Giải phương trình hàm tức tìm hàm số chưa biết thỏa mãn phương trình hàm điều kiện khác (nếu có) Lý thuyết phương trình hàm lĩnh vực nghiên cứu quan trọng chun ngành Đại số Giải tích Tốn học tốn học phổ thơng Các dạng tốn phương trình hàm phong phú đa dạng, bao gồm loại phương trình tuyến tính phi tuyến tính, phương trình hàm với biến số phương trình hàm với hai nhiều biến số, Phương trình hàm biến chuyên đề quan trọng bồi dưỡng học sinh giỏi bậc trung học phổ thông Những năm gần đây, dạng tốn phương trình hàm biến xuất ngày nhiều kỳ thi học sinh giỏi toán quốc gia, Olympic toán khu vực quốc tế Tuy nhiên, việc giảng dạy học tập phương trình hàm biến trường chun nói riêng trường trung học phổ thơng nói chung cịn chưa quan tâm, đầu tư mực, làm cho học sinh giáo viên khó tiếp cận lĩnh vực này, chí cịn lúng túng việc giải phương trình hàm, đơi cịn khơng biết định hướng tiếp cận phương trình hàm biến Hiện nay, tài liệu liên quan đến phương trình hàm tiếng việt có, khơng nhiều Các tài liệu có thường trình bày lí thuyết chung tập trung vào số dạng phương trình đặc biệt Vì thế, sinh viên giáo viên gặp nhiều khó khăn việc nắm bắt, hiểu vận dụng Do đó, để giúp học sinh dễ dàng tiếp cận phương trình hàm biến, tơi chọn đề tài: “Phương trình hàm biến” Nội dung luận văn nhằm trình bày sở lí thuyết, số dạng tốn phương pháp giải phương trình hàm biến Mục tiêu nghiên cứu Luận văn tập trung nghiên cứu lí thuyết chung phương trình hàm biến, số phương trình hàm biến đặc biệt phương pháp giải Đối tượng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu luận văn phương trình hàm biến 3.2 Phạm vi nghiên cứu Một số phương trình hàm biến phương pháp giải Phương pháp nghiên cứu Với đề tài: “Phương trình hàm biến” sử dụng phương pháp nghiên cứu sau: + Nghiên cứu, sưu tầm tài liệu tham khảo phương trình hàm biến + Chọn lọc, phân loại, nêu phương pháp giải đề xuất số toán liên quan Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Luận văn tài liệu tham khảo lý thuyết phương trình hàm biến Có thể sử dụng luận văn tài liệu tham khảo dành cho sinh viên ngành toán đối tượng quan tâm đến toán phương trình hàm biến Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo luận văn gồm chương Chương 1: MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MỘT BIẾN Trong chương luận văn nhắc lại số khái niệm, tính chất hàm biến kiến thức liên quan Đây khái niệm, tính chất cần thiết, sử dụng chương sau luận văn Chương 2: PHƯƠNG TRÌNH HÀM MỘT BIẾN Trong chương luận văn trình bày tổng quan phương trình hàm, phương trình hàm biến số phương pháp giải phương trình hàm bản: Phương pháp biến, phương pháp hệ số bất định, phương pháp dùng hàm phụ, phương pháp tìm nghiệm riêng, phương pháp giải cách lập phương trình Chương 3: MỘT SỐ DẠNG CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM MỘT BIẾN Trong chương luận văn trình bày số dạng phương trình hàm biến bản, phương pháp ví dụ minh họa cho phương pháp phương trình Abel, phương trình Schroder, phương trình Bottcher, phuong trình giao hốn 3 CHƯƠNG MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MỘT BIẾN Trong chương luận văn trình bày khái niệm hàm số biến như: Hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn, hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến, hàm số liên tục, hàm số khả vi, dãy số giới hạn dãy số 1.1 Hàm số biến Định nghĩa 1.1.1 Cho X tập khác rỗng R Ta gọi ánh xạ f : X → R, x → y = f (x), hàm số biến số tập hợp X Khi đó, x biến số độc lập, y đại lượng phụ thuộc hay hàm số x Tập hợp X gọi miền xác định hàm số f Tập hợp f (X) = {y ∈ R, y = f (x) : x ∈ X} gọi miền giá trị f Nếu hàm số biến số cho dạng biểu thức: y = f (x) mà khơng nói thêm ta hiểu miền xác định hàm số tập hợp giá trị thực biến số x làm cho biểu thức có nghĩa 1.2 Hàm số chẵn, hàm số lẻ hàm số tuần hoàn Xét hàm số f (x) với tập xác định D( f ) ⊂ R tập giá trị R( f ) ⊂ R Định nghĩa 1.2.1 a) Hàm số f (x) gọi hàm số chẵn M, M ⊂ D( f ) (gọi tắt hàm chẵn M) ∀x ∈ M ⇒ −x ∈ M f (−x) = f (x), ∀x ∈ M b) Hàm số f (x) gọi hàm số lẻ M, M ⊂ D( f ) (gọi tắt hàm số lẻ M) ∀x ∈ M ⇒ −x ∈ M f (−x) = − f (x), ∀x ∈ M Định nghĩa 1.2.2 a) Hàm số f (x) gọi hàm tuần hồn (nhân tính) chu kỳ a (a ∈ / {0, 1, −1}) M M ⊂ D( f ) ∀x ∈ M ⇒ a±1 x ∈ M, f (x + a) = f (x), ∀x ∈ M b) Hàm số f (x) gọi hàm tuần hồn (cộng tính) chu kỳ a (a > 0) M, M ⊂ D( f ), ∀x ∈ M ⇒ x ± a ∈ M, f (x + a) = f (x), ∀x ∈ M Cho f (x) hàm số tuần hồn M Khi đó, T (T > 0) gọi chu kỳ sở f (x) f (x) tuần hoàn với chu kỳ T mà khơng hàm tuần hồn với chu kỳ bé T 1.3 Hàm số đồng biến hàm số nghịch biến Định nghĩa 1.3.1 (Tính đơn điệu) Giả sử tập K khoảng (a, b), (a, b] , [a, b), [a, b] f hàm số xác định K * Hàm số f gọi đồng biến (tăng) K với x1 , x2 ∈ K, x1 f (x1 ) f (x2 ) * Hàm số f gọi nghịch biến (giảm) K với x1 , x2 ∈ K, x1 f (x1 ) x2 ta có: x2 , ta có: f (x2 ) Định lý 1.3.1 Giả sử tập K khoảng (a, b), (a, b] , [a, b), [a, b] f hàm số xác định, có đạo hàm K * Nếu f (x) > 0, ∀x ∈ K, hàm số y = f (x) đồng biến K * Nếu f (x) < 0, ∀x ∈ K, hàm số y = f (x) nghịch biến K Định lý mở rộng: * Nếu f (x) ≥ 0, ∀x ∈ K, f (x) = số hữu hạn điểm hàm số đồng biến K * Nếu f (x) ≤ 0, ∀x ∈ K, f (x) = số hữu hạn điểm hàm số đồng biến K 1.4 Hàm số liên tục Định nghĩa 1.4.1 (Tính liên tục điểm) Cho hàm số y = f (x) xác định trong lân cận mở điểm x0 (lân cận phải, lân cận trái tương ứng với trường hợp hàm liên tục phải, liên tục trái) * Hàm số f gọi liên tục x0 lim f (x) = f (x0 ) x→x0 * Hàm số f gọi liên tục phải x0 lim+ f (x) = f (x0 ) x→x0 * Hàm số f gọi liên tục trái x0 lim− f (x) = f (x0 ) x→x0 Định nghĩa 1.4.2 (Hàm số liên tục khoảng, đoạn) * Hàm số f gọi liên tục khoảng (a, b) liên tục điểm x0 ∈ (a, b) * Hàm số f gọi liên tục đoạn [a, b] f liên tục khoảng (a, b) , liên tục phải a liên tục trái b 5 1.5 Hàm số khả vi Định nghĩa 1.5.1 (Đạo hàm hàm số) Cho hàm số f xác định lân cận (lân cận phải, lân cận trái ứng với đạo hàm phải, đạo hàm trái) điểm x0 * Hàm số f gọi có đạo hàm (khả vi) điểm x0 f (x) − f (x0 ) A = lim x→x0 x − x0 tồn hữu hạn giới hạn gọi đạo hàm f x0 , kí hiệu f (x0 ) = A * Hàm số f gọi có đạo hàm (khả vi) phải điểm x0 f (x) − f (x0 ) B = lim+ x − x0 x→x0 tồn hữu hạn giới hạn gọi đạo hàm phải f x0 , kí hiệu f (x0+ ) = B * Hàm số f gọi có đạo hàm (khả vi) trái điểm x0 f (x) − f (x0 ) C = lim− x − x0 x→x0 tồn hữu hạn giới hạn gọi đạo hàm phải f x0 , kí hiệu f (x0− ) = C Định nghĩa 1.5.2 (Tính khả vi khoảng, đoạn) * Một hàm số gọi khả vi khoảng (a, b) hàm số có đạo hàm điểm điểm thuộc khoảng (a, b) * Một hàm số gọi khả vi khoảng [a, b] hàm số có đạo hàm điểm điểm thuộc khoảng (a, b), có đạo hàm phải a có đạo hàm trái b 1.6 Dãy số, giới hạn dãy số Định nghĩa 1.6.1 Dãy số hàm số từ N∗ vào tập hợp số (N, R, Q) hay tập tập hợp Các số hạng dãy thường kí hiệu un , , xn , yn thay u(n), v(n), x(n), y(n) Bản thân dãy số kí hiệu {xn } Định nghĩa 1.6.2 (Giới hạn hữu hạn) * Ta nói dãy số (un ) có giới hạn n dần tới dương vô cùng, |un | nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở Kí hiệu: lim un = hay un → n → +∞ n→+∞ * Ta nói dãy số (vn ) có giới hạn a (hay dần tới a) n → +∞, lim (vn − a) = n→+∞ Ký hiệu: lim = a hay → a n → +∞ n→+∞ Định nghĩa 1.6.3 (Dãy tuần hoàn) Dãy xn gọi dãy tuần hoàn tồn số nguyên dương k cho xn+k = xn , ∀n ∈ N∗ (1.1) Số nguyên dương k nhỏ để dãy xn thỏa mãn (1.1) gọi chu kì sở (cịn gọi tắt chu kì) dãy 1.7 Đặc trưng hàm số hàm sơ cấp Để mơ tả tranh mang tính định hướng, gợi ý dự đốn cơng thức nghiệm tốn liên quan đến phương trình hàm, xét vài tính chất hàm tiêu biểu số dạng hàm số quen thuộc sau: 1) Hàm tuyến tính: f (x) = ax, (a = 0) có tính chất: f (x + y) = f (x) + f (y) với x, y ∈ R 2) Hàm bậc nhất: f (x) = ax + b, (a = 0, b = 0) có tính chất: f (x) + f (y) x+y = , ∀x, y ∈ R f 2 3) Hàm mũ: f (x) = ax , (a > 0, a = 1) có tính chất: f (x + y) = f (x) f (y), ∀x, y ∈ R 4) Hàm logarit: f (x) = loga |x| , (a > 0, a = 1) có tính chất: f (xy) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R 5) Hàm lũy thừa: f (x) = |x|a , có tính chất: f (xy) = f (x) f (y), ∀x, y ∈ R 6) Hàm f (x) = sin x có tính chất: f (−x) = − f (x) f (3x) = f (x) − 4[ f (x)]3 7) Hàm f (x) = cos x có tính chất: f (−x) = f (x) , f (2x) = 2[ f (x)]2 − f (x + y) + f (x − y) = f (x) f (y) , ∀x, y ∈ R 8) Cặp hàm: f (x) = sin x g (x) = cos x có tính chất: f (x + y) = f (x) g (y) + f (y) g (x) , ∀x, y ∈ R, g (x + y) = g (x) g (y) − f (x) f (y) , ∀x, y ∈ R 9) Hàm f (x) = tan x có tính chất: f (−x) = − f (x) f (x + y) = f (x) + f (y) , − f (x) f (y) với x = π2 + kπ, (k ∈ Z), x + y = π2 + kπ, (k ∈ Z) 10) Hàm f (x) = cot x có tính chất: f (−x) = − f (x) f (x + y) = với x = kπ, (k ∈ Z), x + y = kπ, (k ∈ Z) f (x) f (y) − , f (x) + f (y) CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH HÀM MỘT BIẾN Trong chương này, luận văn tập trung nghiên cứu phương trình hàm biến số phương pháp để giải phương trình hàm biến Ở luận văn tập trung vào phương pháp giải cụ thể sau: phương pháp biến, dùng hàm phụ, hệ số bất định, tìm nghiệm riêng, giải cách lập phương trình 2.1 Phương trình hàm giải phương trình hàm Phương trình hàm phương trình mà ẩn nhiều hàm số Giải phương trình hàm tìm hàm số thỏa mãn phương trình Cấu trúc phương trình hàm gồm ba phần chính: * Miền xác định miền giá trị; * Phương trình hệ phương trình hàm; * Một số điều kiện bổ sung (tính tăng, giảm, bị chặn, liên tục, khả vi, hàm số) Người ta thường phân loại phương trình hàm theo hai yếu tố chính: Miền giá trị số biến tự Trong luận văn này, phân loại phương trình hàm dựa vào số biến tự có mặt phương trình hàm giới hạn nghiên cứu phương trình hàm biến 2.2 Một số phương pháp giải phương trình hàm 2.2.1 Phương pháp biến Ý tưởng phương pháp: Đối với phương trình dạng f (A) = B với A, B biểu thức chứa x, A có hàm ngược, ta thường sử dụng cách đặt: Đặt A = t, suy biểu thức x theo t Tiếp theo, thay giá trị vào biểu thức A, B Đối với phương trình dạng hàm hợp f (g(x)) = h(x), g(x) có hàm ngược, người ta thường đặt ẩn phụ g(x) = t, để xác định hàm số f (t) Bài tốn 2.2.1 Tìm hàm số f(x) biết x+1 ) = x + 3, x = f( x−1 Giải Đặt t = x+1 x−1 ⇒ x = t+1 t−1 , ∀x = (2.1) t+1 +3 = Từ (2.1) ta suy f (t) = t−1 4t−2 t−1 ⇒ f (x) = 4x−2 x−1 Thử lại ta thấy f (x) thỏa mãn yêu cầu tốn Vậy hàm số cần tìm f (x) = Bài toán 2.2.2 4x−2 x−1 , x = Tìm hàm số f (x) biết 1 f (x − ) = x3 − , ∀x = x x (2.2) Giải Đặt u = x − 1x ⇒ u3 = x3 − 3x2 1x + 3x x12 − x13 ⇒ x3 − x13 = u3 + 3x − 3x = u3 + 3(x − 1x ) = u3 + 3u Ta có (2.2) ⇔ f (u) = u3 + 3u Vậy hàm số cần tìm f (x) = x3 + 3x, ∀x = Nhận xét 2.2.3 Phương pháp biến có lẽ phương pháp sử dụng nhiều giải phương trình hàm Từ ví dụ trên, ta thấy phương pháp biến thực sau: * Thay biến, phận chứa biến phương trình hàm cho chữ biểu thức * Hoặc biến biểu thức để làm xuất số biểu thức cần thiết * Hoặc xây dựng hàm số phụ 2.2.2 Phương pháp dùng hàm phụ Ý tưởng phương pháp: Đối với phương trình dạng f (A) + f (B) = CB với A, B,C biểu thức chứa x, ta thường sử giả sử miền xác định hàm số cần tìm D f , với x ∈ D f ta xét dãy xác định biểu thức x1 = x; xn+1 = g(xn ), n ∈ N∗ Nếu dãy xn xác định tuần hồn với chu kì k, ta đưa xn+k = xn , ∀n ∈ N∗ hệ k phương trình với k ẩn hàm Giải hệ ta tìm f (x) Bài tốn 2.2.4 (Philippine 2010) Tìm tất hàm số f : R\{1} → R thỏa mãn x + 2009 ) = 2010 x + f (x) + f ( x−1 Giải Với x = 1, xét dãy x1 = x; xn+1 = g(n), g(x) = Ta có x1 = x; x2 = x+2009 x−1 ; x3 x+2009 x−1 = x Bằng phép thay x x1 , x2 ta x1 + f (x1 ) + f (x2 ) = 2010, x2 + f (x2 ) + f (x1 ) = 2010 10 Giải hệ trên, với ẩn f (x1 ), ta f (x1 ) = Vậy f (x) = x +2007x−6028 , 3(x−1) Bài toán 2.2.5 x12 +2007x1 −6028 , 3(x1 −1) với x1 = ∀x ∈ R\{1} (Croatia 1996) Cho t ∈ (0; 1) Tìm tất hàm số f : R → R liên tục thỏa mãn điều kiện f (x) − f (tx) + f (t x) = x2 , ∀x ∈ R Giải Giả sử tồn hàm số f (x) thỏa mãn yêu cầu toán Đặt g(x) := f (x) − f (tx) Dễ thấy g(x) liên tục x = g(0) = Ngoài ra, với ∀x ∈ R, ta có g(x) − g(tx) = x2 Như vậy, ta có g(x) − g(tx) = x2 , g(tx) − g(t x) = t x2 , g(t n−1 ) − g(t n x) = t 2(n−1) x2 Cộng vế đẳng thức trên, rút gọn số hạng đồng dạng nhớ t = ta − t 2n (2.3) g(x) − g(t n x) = x2 (1 + t + t + + t 2(n−1) ) = x2 − t2 Từ (2.3) cho n → +∞, t ∈ (0; 1) nên t n → 0, t 2n → lim = g(0) = 0, ta x→0 1−0 x2 ∀x ∈ R : g(x) − g(0) = x ⇒ g(x) = − t2 − t2 Nhưng g(x) = f (x) − f (tx), nên làm tương tự ta 2n x2 2(n+1) 1−t [1 + t + t + + t ] = x f (x) − f (t n x) = − t2 (1 − t )2 Với x cố định, cho n → +∞ ta được: x2 f (x) − f (0) = (1 − t )2 x2 ⇒ f (x) = +C, (C := f (0)) (1 − t )2 Dễ thấy, hàm số thỏa mãn yêu cầu toán Vậy f (x) = x2 (1−t )2 +C hàm số cần tìm Bài tốn 2.2.6 Tìm tất hàm số f (x) Nếu biết với ∀x = −1 Ta có: x−1 x f (x) + f ( ) = x+1 Giải Đặt Mỗi x = 1, xét dãy x1 = xn ; xn+1 = g(xn ), g(x) = x−1 x+1 (2.4) 11 Ta có: x−1 x+1 ; x3 = − ; x4 = ; x5 = x x+1 x 1−x Suy ra, dãy xn tuần hoàn với chu kỳ x1 = x; x2 = Bằng phép thay x  x1 , x2 , x3 , x4 , xta−1đưa (2.4) hệ sau:  x1 f (x1 ) + f ( x11 +1 ) =   x f (x ) + f ( x2 −1 ) = 2 x2 +1 x3 −1 x f (x ) + f (  3  x +1 ) =  x f (x ) + f ( x13 −1 ) = 4 x1 +1 Giải hệ trên, với ẩn f (x1 ) ta được: 4x12 − x1 + f (x1 ) = (x1 ∈ / {−1; 0; 1}) 5x1 (x1 − 1) Cho x = từ (2.4), suy f (−1) = hay f (−1) = 12 Cho x = từ (2.4), suy f (1) + f (0) = Kết luận: f (x)  4x2 −x+1    5x(x−1) nếu nếu  a   − 2a x∈ / {0; 1; −1}, x = −1, x = 0, x = 1; a số cho trước Thử lại, ta thấy hàm số vừa tìm thỏa mãn điều kiện toán 2.2.3 Phương pháp hệ số bất định Ý tưởng phương pháp: Đối với phương trình dạng f (A f (B))) + f (C) = D với A, B,C, D biểu thức chứa x, ta thường dựa vào điều kiện toán, dự đoán dạng f (x), thường f (x) = ax + b f (x) = ax2 + bx + c * Đồng hệ số để tìm f (x) * Chứng minh hệ số khác f (x) không thỏa mãn điều kiện tốn Bài tốn 2.2.7 Tìm f , g : R → R thỏa mãn: f (x) − g(x) = f (y) − y,∀x, y ∈ R (2.5) f (x)g(x) ≥ x + 1,∀x, y ∈ R (2.6) Giải Thay x = y ∈ R vào (2.5), ta có f (x) = g(x) − x Thay lại (2.5) ta được: g(x) = 2x + a, f (x) = x + a Thế hàm f vào (2.5),  (2.6) ta được: 2x + a = 2x + a,  (x + a)(2x + a) ≥ x + (∀x ∈ R) 12 ⇔ 2x2 + (3a − 1)x + a2 − ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ (a − 3)2 ≤ ⇔ a = Vậy f (x) = x + 3; g(x) = 2x + Bài toán 2.2.8 Cho đa thức f (x) xác định với ∀x ∈ R thỏa mãn điều kiện: f (x) + f (1 − x) = x2 , ∀x ∈ R Tìm f (x) (2.7) Giải Nhận thấy vế trái biểu thức dấu f bậc nhất: x, − x vế phải bậc hai x2 Vậy f (x) phải có dạng: f (x) = ax2 + bx + c Khi (2.7) trở thành: 2(ax2 + bx + c) + a(1 − x)2 + b(1 − x) + c = x2 ∀x ∈ R Do đó: 3ax2 + (b − 2a)x + a + b + 3c = x2 , ∀x ∈ R   a = 13 3a = ⇔ b = 23 Đồng hệ số, ta thu được: b − 2a =   a + b + 3c = c = − 13 Vậy: f (x) = 13 (x2 + 2x − 1) Thử lại ta thấy hiển nhiên f (x) thỏa mãn điều kiện toán Ta phải chứng minh hàm số khác f (x) không thỏa mãn điều kiện tốn Thật giả sử cịn hàm số g(x) khác f (x) thỏa mãn điều kiện toán Do f (x) không trùng với g(x) nên ∃x0 ∈ R : g(x0 ) = f (x0 ) Do g(x) thỏa mãn điều kiện toán nên: 2g(x) + g(1 − x) = x2 , ∀x ∈ R Thay x x0 ta được: 2g(x0 ) + g(1 − x) = x02 Thay x − x0 ta được: 2g(1 − x0 ) + g(x0 ) = (1 − x0 )2 Từ hai hệ thức ta được: g(x0 ) = 13 (x02 + 2x0 − 1) = f (x0 ) Điều mâu thuẫn với g(x0 ) = f (x0 ) Vậy phương trình có nghiệm : f (x) = 13 (x2 + 2x − 1) Nhận xét 2.2.9 Nếu ta dự đốn f (x) có dạng phải chứng minh hàm số tìm Bài toán 2.2.10 Hàm số y = f (x) xác định, liên tục với ∀x ∈ R thỏa mãn điều kiện: f ( f (x)) = f (x) + x, ∀x ∈ R Hãy tìm hai hàm số Giải Ta viết phương trình cho dạng: f ( f (x)) − f (x) = x (2.8) Vế phải phương trình hàm tuyến tính ta nên giả sử hàm số cần tìm có 13 dạng: f (x) = ax + b Khi (2.8) trở thành: a(ax + b) + b − (ax − b) = x, ∀x ∈ R Hay (a2 − a)x + ab = x, ∀x ∈ R a2 − a = Đồng hệ số ta được: ab = √ a = 1+2 ⇔ b=0 √ a = 1−2 ∨ b=0 √ 1± ⇒ f (x) = x Hiển nhiên, hai hàm số thỏa mãn điều kiện toán Bài toán 2.2.11 Hàm số f : Z → Z thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: a) f ( f (n)) = n, ∀n ∈ Z (2.9) b) f ( f (n + 2) + 2) = n, ∀n ∈ Z (2.10) c) f ( f (n + 2) + 2) = n, ∀n ∈ Z (2.11) Tìm giá trị f (1995), f (−2007) Giải Cũng nhận xét lý luận ví dụ trước, ta đưa đến f (n) phải có dạng: f (n) = an + b Khi điều kiện (2.9) trở thành: a2 n + ab + b = n, ∀n ∈ Z Đồng hệ số ta được: a2 = a=1 a = −1 ⇔ ∨ ab + b = b=0 b = a=1 Với ta f (n) = n Trường hợp loại khơng thỏa mãn (2.10) b=0 a = −1 Với ta f (n) = −n + b Từ (2.11) cho n = ta b = b=0 Vậy f (n) = −n + Hiển nhiên hàm số thỏa mãn điều kiện toán Ta phải chứng minh f (n) = −n + hàm thỏa mãn điều kiên toán Thật vậy, giả sử tồn hàm g(x) khác f (n) thỏa mãn điều kiện toán Từ (2.11) suy f (0) = g(0) = 1, f (1) = g(1) = Sử dụng điều kiện (2.9) (2.10) ta nhận được: g(g(n)) = g(g(n + 2) + 2), ∀n ∈ Z 14 Do đó: g(g(g(n))) = g(g(g(n + 2) + 2)), ∀n ∈ Z Hay g(n) = g(n + 2) + 2, ∀n ∈ Z (2.12) Giả sử n0 số tự nhiên bé làm cho: f (n0 ) = g(n0 ) Do f (n) thỏa mãn (2.12) nên ta có: g(n0 − 2) = g(n0 ) + = f (n0 ) + = f (n0 − 2) ⇔ g(n0 − 2) = f (n0 − 2) (2.13) Mâu thuẫn với điều kiện n0 số tự nhiên bé thỏa mãn (2.13) Vậy f (n) = g(n), ∀n ∈ N Chứng minh tương tự ta f (n) = g(n) với n nguyên âm Vậy f (n) = − n nghiệm Từ tính f (1995) = − 1995 = −1994 f (−2007) = − (−2007) = 2008 2.2.4 Phương pháp tìm nghiệm riêng Ý tưởng phương pháp: Tìm nghiệm riêng phương trình hàm cho, nghiên cứu tính chất nghiệm riêng Hiển nhiên, nghiệm cần tìm phải có tính chất Từ đó, ta có hướng giải phương trình hàm cho trước hết, nên tìm nghiệm riêng lớp hàm hằng, hàm số bậc nhất, hàm số đa thức Nói chung, nên tìm nghiệm riêng lớp hàm số sơ cấp, hàm đơn giản Nên ý đến đặc trung của hàm số sơ cấp Sau tìm nghiệm riêng dạng f0 (x) ta thường xét đến hàm số phụ g(x) = f (x) − f0 (x) xét phương trình hàm thu g(x) Khi tìm nghiệm riêng, nên ý đến số nhận xét sau: Nhận xét 2.2.12 (Điều kiện để hàm số có đạo hàm khơng hàm hằng) Cho hàm số f (x) liên tục [a; b], có đạo hàm f (x) khoảng (a; b) Khi f (x) = C, ∀x ∈ [a; b] ⇔ f (x) = 0, ∀x ∈ (a; b) , C = f (x0 ), với x0 số ∈ [a; b] Nhận xét 2.2.13 (Điều kiện để đa thức hàm hằng) Cho đa thức P(x) có bậc ≤ n Khi đó, Nếu P(x) có nhiều n nghiệm P(x) = 0, ∀x ∈ R Nếu ∃a ∈ R, a = cho P(x + a) = P(x), ∀x ∈ R P(x) = C với ∀x ∈ R ý: f ≡ C thay cho f (x) = C, ∀x ∈ D f 15 Bài toán 2.2.14 Cho a số a ∈ R∗ , b ∈ R Tìm hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện f (x + a) = f (x) + b, ∀x ∈ R (2.14) Giải Nghiệm riêng có dạng f0 (x) = kx Để thỏa mãn (2.14) ta phải có: k(x + a) = kx + b b ⇔k= a Đặt f (x) := kx + g(x) Thay vào (2.14) ta k(x + a) + g(x + a) = kx + g(x) + b ⇔ g(x + a) = g(x), ∀x ∈ R Suy ra, g(x) hàm tuần hồn cộng tính chu kì |a| Dễ thấy, hàm số dạng f (x) = g(x) + ba x, g(x) hàm tuần hồn cộng tính chu kì |a|, thỏa mãn yêu cầu Vậy f (x) = g(x) + ba x, g(x) hàm tuần hồn cộng tính chu kì |a|, hàm số cần tìm Bài toán 2.2.15 Cho a, b, m ∈ R, m = 1, am = Tìm tất hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện f (x + a) = m f (x) + b, ∀x ∈ R (2.15) Giải: Ta tìm nghiệm riêng dạng f0 (x) = c Thay vào (2.15) C = b 1−m Đặt f (x) = C + g(x), ta (2.15) ⇔ C + g(x + a) = mC + mg(x) + b, ⇔ g(x + a) = mg(x) (2.16) Nhận xét rằng: Hàm g có tính chất biến đổi "tổng thành tích" nên ta chọn nghiệm riêng dạng hàm số mũ Để khử hệ số m ta tìm nghiệm riêng dạng g0(x) = d x Thay vào ta d x+a = md x ⇔ d a = m ⇔ d = m a x Đặt g(x) = m a ϕ(x) ta (2.16) ⇔ m x+a a x ϕ(x + a) = m.m a ϕ(x) ⇔ ϕ(x + a) = ϕ(x), ∀x ∈ R Từ ta có ϕ(x) có hàm tuần hồn cộng tính chu kì |a| Vậy x b f (x) = + m a ϕ(x), 1−m với ϕ(x) hàm tuần hồn cộng tính chu kì |a|, hàm số cần tìm 16 2.2.5 Phương pháp giải cách lập phương trình Ý tưởng phương pháp: Giải tốn cách lập phương trình phương pháp thơng dụng tốn đại số Ý tưởng để tìm ẩn số đó, ta đưa vào ẩn số phụ, sử dụng kiện cho tạo mối liên hện ẩn số (các phương trình), tìm giá trị ẩn số cần tìm Phương pháp tương tự áp dụng cho tốn hình học tính tốn, tốn đếm Bài tốn 2.2.16 Tìm tất hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện i f (−x) = − f (x) với x ∈ R ii f (x + 1) = f (x) + với x ∈ R iii f ( 1x ) = f (x) x2 với x = Giải Tất điều kiện biến x Trong trường hợp này, ta dùng chút khái niệm đồ thị để hiểu đường đến lời giải Ta xem số thực đỉnh đồ thị Đỉnh x nối với đỉnh x + 1, −x, 1x Các điều kiện đề cho mối liên hệ giá trị hàm số đỉnh nối cạnh Nếu tìm chu trình cách tự nhiên, có phương trình hàm (để tránh hàm số có hai giá trị khác nhau) Ta thử tìm chu trình x → x+1 → x+1 1 → − x+1 → − x+1 = x x+1 → x+1 x = + 1x → 1x → x Đặt y = f (x) từ chu trình trên, ta có y+1 y+1 = ,f − =− f (x + 1) = y + 1, f x+1 (x + 1) x+1 (x + 1)2 y+1 − (x+1) x+1 x2 + 2x − y f = x = x ( x+1 ) x2 f 2x − y = , f (x) = 2x − y x x2 Từ suy y = x Vậy f (x) = x Trong lý luận trên, ta cần đến điều kiện x khác -1 Tuy nhiên từ hai điều kiện f (−x) = − f (x), f (x + 1) = f (x) + ta dễ dàng suy f (0) = f (−1) = Vậy f (x) = x tất nghiệm toán 17 CHƯƠNG MỘT SỐ DẠNG ĐẶC BIỆT CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM MỘT BIẾN Trong chương này, xét phương trình hàm biến bản, ta nghiên cứu chi tiết số toán phương pháp giải đơn giản loại Bắt đầu việc xét kỹ thuật hữu ích gọi tuyến tính Sau ta xem xét số ví dụ phương trình Abel,phương trình Schroder, phương trình Bottch, phương trình giao hốn 3.1 Một số họ phương trình hàm Một họ phương trình hàm biến đơn giản có dạng f (x) = f [α(x)] (3.1) với số thực x α : R → R hàm cho trước Trường hợp f hàm khơng liên tục lời giải đầy đủ viết Trước hết ta viết α1 (x) = α(x) αn+1 (x) = α[αn (x)] (3.2) với n = 1, 2, Để thuận lợi, ta định nghĩa α0 hàm số xác định α0 (x) = x Ta gọi dãy α(x), α2 (x), α3 (x), (3.3) chu trình x Áp dụng liên tiếp (3.1) n lần ta có f (x) = f [αn (x)], ∀(n) (3.4) Khi đó, f hàm theo biến x Bài tốn 3.1.1 Tìm tất hàm số f liên tục thỏa mãn: f (x) = f (2017x), ∀x ∈ R (3.5) Giải Đặt f (0) = a Trong (3.5) thay x x 2017 ta được: x f (x) = f ( ), ∀x ∈ R 2017 Với x1 ∈ R, ta xây dựng dãy số {xn } sau: xn+1 = cấp số nhân với số hạng đầu x1 , công bội q = 2017 (3.6) xn 2017 , ∀n = 1, 2, Khi {xn } Vậy số hạng tổng quát dãy số n−1 xn = ( 2017 ) x1 , ∀n = 1, Do đó: lim xn = lim ( n→+∞ n→+∞ n−1 ) = 2017 Hơn nữa, từ (3.6) ta có: f (x1 ) = f ( x1 xn−1 ) = f (x2 ) = = f ( ) = f (xn ), ∀n = 1, 2017 2017 18 Vì f liên tục nên: f (x1 ) = lim f (x1 ) = lim f (xn ) = f ( lim f (xn )) = f (0) = a n→+∞ n→+∞ n→+∞ Vậy f (x1 ) = a, ∀x1 ∈ R Hay f hàm R Thử lại thấy thỏa mãn 3.2 Phương trình Abel Định nghĩa 3.2.1 Phương trình hàm dạng f [α(x)] = f (x) + a, (3.7) đó, α hàm cho trước gọi phương trình hàm Abel Chúng ta thường xét trường hợp đặc biệt phương trình Abel a = 1, nghĩa f [α(x)] = f (x) + Chú ý rằng, f (x) nghiệm cho phương trình Abel (3.7) f (x) + c (với c số tùy ý) nghiệm phương trình Abel Nếu hàm αn (x) xấp xỉ nhân, người ta biến đổi phương trình Abel phương trình Schroder tìm nghiệm mục trước Ngược lại người ta biến đổi hàm αn (x) cách dùng x → X + a Trong trường hợp đa số công thức tường minh phương trình hàm có dạng phương trình hàm Abel Giả sử ∃x0 cho: αn+1 (x0 ) − αn (x0 ) = 1, ∀x lim n+1 n→∞ α (x) − αn (x) (3.8) Thì giới hạn: αn (x) − αn (x0 ) f (x) = lim n+1 , ∀x n→∞ α (x) − αn (x) (3.9) tồn tại, lời giải phương trình Abel f [α(x)] = f (x) + Bài toán 3.2.2 Hãy xác định hàm số f : R → R cho f (x + 2012) = f (x) − 5, ∀x ∈ R (3.10) Giải Giả sử f hàm số thỏa mãn tốn, ta có (3.10) Đặt: −1 x + g(x), ∀x ∈ R f (x) = 503 Khi thay vào (3.10), ta −1 −1 (x + 2012) + g(x + 2012) = x + g(x) − 4, ∀x ∈ R 503 503 −x −1 ⇔ − + g(x + 2012) + g(x + 2012) = x + g(x) − 4, ∀x ∈ R 503 503 ⇔ g(x + 2012) = g(x), ∀x ∈ R −1 Vậy f (x) = 503 x + g(x), ∀x ∈ R, với g hàm số tuần hoàn chu kì 2012 R Sau thử lại kết luận: Hàm số cần tìm f (x) = −1 503 x + g(x), ∀x ∈ R Trong đó, g hàm số tuần hồn chu kì 2012 R, tùy ý 19 3.3 Phương trình Schroder Định nghĩa 3.3.1 Ta có phương trình hàm: f [α(x)] = s f (x) (3.11) Phương trình (3.11) gọi phương trình hàm Schroder Ta ý f (x) lời giải cho phương trình Schroder f [α(x)] = s f (x) ta nhân với số (tức k f (x), k ∈ R) lời giải cho phương trình Schroder Nếu dãy αn cấp số nhân ta có tìm thấy lời giải cho phương trình Schroder Hàm αn (x) gọi xấp xỉ hình học tồn số s ∈ (0; 1) cho αn (x) (3.12) lim n→∞ sn tồn hữu hạn khác Trong trường hợp này, ta nói hàm αn (x) xấp xỉ hình học với độ biến đổi s độc lập với x, nghiệm phương trình Schroder cho αn (x) f (x) = lim n (3.13) n→∞ s Với cách chọn đặc biệt s mà có tính chất (3.12) Điều dễ dàng kiểm tra cách trực tiếp với phương trình Schroder Thật vậy, αn [α(x)] αn+1 (x) f [α(x)] = lim = s lim n+1 = s f (x) n→∞ n→∞ s sn Phương pháp đặc biệt cho phương trình (3.13) đưa tới lời giải mà người ta thường gọi thuật toán Koenigs Bài toán 3.3.2 Hãy xác định hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện f (2x) = f (x) − 4, ∀x ∈ R+ (3.14) Giải Đặt f (x) = + g(x) Thế vào (3.14) ta được: + g(2x) = 3(2 + g(x)) − 4, ⇔ g(2x) = 3g(x), ∀x ∈ R+ (3.15) Đặt g(x) = xlog23 h(x) Thế vào (3.15), ta được: (2x)log23 h(2x) = 3.xlog23 h(x) ⇔ h(2x) = h(x), ∀x ∈ R+ Do x > nên đặt x = 2t (3.16) có dạng: h(2t+1 ) = h(2t ) (3.16) 20 Hay ϕ(t + 1) = ϕ(t), ∀t ∈ R Trong ϕ(t) = h(2t ) Điều chứng tỏ hàm ϕ hàm tuần hồn cộng tính chu kì Kết luận: Vậy f (x) = + xlog2 ϕ log2 x, ϕ(t) hàm số tuần hồn chu kì tùy ý 3.4 Phương trình Bottcher Phương trình f [α(x)] = [ f (x)] p (3.17) Trong p = 1, gọi phương trình Bottcher Với phương trình ta quan tâm tới lớp hàm khơng âm f (x) Nếu f (x) nghiệm phương trình Bottcher (3.17), [ f (x)]q nghiệm với số mũ q Phương trình Bottcher theo cách tự nhiên để đưa phương trình tuyến tính hóa hàm αn (x) xấp xỉ hàm lũy thừa Một nghiệm phương trình Bottcher thu giới hạn f (x) = lim [αn (x)] p−n n→∞ Bài tốn 3.4.1 (3.18) Tìm hàm liên tục f : R → R thỏa mãn: f (x2 f (x) + f (y)) = ( f (x))3 + y Giải Giả sử tồn y1 , y2 cho f (y1 ) = f (y2 ) Khi ta có f (x2 f (x) + f (y1 )) = f (x2 f (x) + f (y2 )) ⇒ f (x3 ) + y1 = f (x3 ) = y2 ⇒ f đơn ánh Ta có: x = 0, y = − f (0)3 ⇒ f ( f (− f (0)3 )) = Đặt a = f (− f (0)3 ) ⇒ f (0) = Thay x = a ta có: f (0) = a = f (− f (0)3 ) Dễ thấy f đơn ánh ⇒ f (0) = Từ dễ thấy: f (x + y) = f (x) + f (y) ⇒ f (x) = ax ⇒ f (x) = x Thử lại f (x) = x thỏa mãn yêu cầu toán Vậy f (x) = x 3.5 Phương trình giao hốn Phương trình giao hoán xác định bởi: f [α(x)] = α[ f (x)] (3.19) Dễ thấy hàm fn (x) = αn (x), thỏa mãn phương trình giao hốn f [α(x)] = α[ f (x)] với n ∈ N Một cách giải phương trình giao hốn thơng qua lời giải phương trình Schroder, Abel hay Bottcher tương ứng Chẳng hạn, giả sử g thỏa mãn phương trình Schroder, g[α(x)] = s.g(x), giả sử g đơn ánh với hàm ngược g−1 với 21 số c, cho f (x) = g−1 [c.g(x)] (3.20) thỏa mãn phương trình giao hốn Điều suy dễ dàng cách dùng kiện g−1 thỏa mãn phương trình Poincare Ta có: f [α(x)] = g−1 [c.g(α(x)), = g−1 [c.s.g(x)], = α[g−1 (c.g(x))], = α[ f (x)] Nếu g thỏa mãn phương trình Able g[α(x)] = g(x) + a với số c, hàm f (x) = g−1 [g(x) + c] (3.21) thỏa mãn phương trình giao hốn Cuối cùng, g[α(x)] = [g(x)] p (phương trình Bottcher) hàm f (x) = g−1 {[g(x)]c } (3.22) thỏa mãn phương trình giao hốn với c Bài tốn 3.5.1 Tìm tất hàm số f : R → R có đạo hàm thỏa mãn: f (2x) = 2( f (x)), ∀x ∈ R (3.23) Giải Giả sử hàm số f thỏa mãn yêu cầu đề Từ (3.23) cho x = f (0) = Xét hàm số g : R → R sau: g(x) = f (x) x x = f (0) x = Với x = 0, theo (3.23) ta có: f (2x) f (x) = ⇔ g(2x) = g(x) 2x x Mặt khác: f (x) f (x) − f (0) lim g(x) = lim = lim (do f (0) = 0) = f (0) = g(0) x→0 x→0 x x→0 x Vậy hàm g liên tục Từ (3.24) ta có: x x g(x) = g( ) = = g( n ), ∀x = 0, ∀n = 1, 2, 2 x Do hàm g liên tục lim 2n = 0, ∀x = nên từ (3.25) suy ra: n→+∞ x x g(x) = lim g(x) = lim g( n ) = g( lim n ) = g(0), ∀x = n→+∞ n→+∞ n→+∞ 2 Vì g(x) = f (0), ∀x ∈ R, hay g hàm Do f (x) = cx, ∀x = Lại f (0) = nên f (x) = cx, ∀x ∈ R (c số) Thử lại thấy thỏa mãn (3.24) (3.25) 22 Bài toán 3.5.2 Tìm tất hàm số f : R\{−2} → R\{−2} Thỏa mãn: 2x f (x) f( )= x+2 f (x) + (3.26) Giải Giả sử f (x) hàm số thỏa mãn đề Đặt t = 1x , đó: 1 2x = t = = 0+ x = 0+ ; t x+2 + 2t + + t t Thay vào (3.26): f ( 1t ) = f(t )+2 f + 2t ⇔ Đặt f ( 1t ) = g(t) Khi g(t + 12 ) = g f ( 1+2t ) 1+2t = = 1 + f(t ) ) f ( 1+2t (3.27) Thay vào (3.27) ta được: 1 = g(t) + 2 Đặt: g(t) = t + h(t) Thay vào (3.28) ta được: 1 t + + h(t + ) = t + h(t) + 2 ⇔ h(t + ) = h(t) x Vậy f (x) = g(11 ) = +h( , h(x) hàm số tuần hồn chu kì 12 , = xh( ) ) g t+ x x x x Thử lại thấy đúng, thật vậy: 2x f x+2 = 2x x+2 = 2x 2x + ( x+2 ).h( 1x + 12 ) x + + 2xh( 1x ) 2x f (x) 2x 1+xh( 1x ) = = x f (x) + 1+xh( x + + 2xh( 1x ) +2 ) x Tất hàm số thỏa mãn đề f (x) = 2, (3.28) x 1+xh( 1x ) Trong h(x) hàm tuần hồn chu kì 23 KẾT LUẬN Dưới hướng dẫn khoa học TS Phạm Quý Mười với nỗ lực học tập nghiêm túc nghiên cứu thân, kết luận văn "Phương trình hàm biến" trình bày theo hệ thống sau: Hệ thống hóa lại kiến thức hàm số chẵn, hàm số lẽ, hàm số tuần hồn, hàm số đồng biến, nghịch biến, tính liên tục, tính khả vi hàm số Luận văn trình bày số phương pháp giải phương trình hàm biến Trong phương pháp, tác giả cố gắng chọn lọc, sưu tầm toán kì thi học sinh giỏi quốc gia, vực, quốc tế tốn tạp chí tốn học tuổi trẻ để minh họa cho phương pháp giải Qua giúp học sinh dễ nắm bắt phương pháp, vận dụng thực hành để ứng dụng việc giải phương trình hàm biến Luận văn trình bày vài phương pháp kỹ thuật giải tốn phương trình hàm biến như: Phương trình hàm, phương trình hàm giao hốn, phươn trình hàm Schroder, phương trình hàm Abel, phương trình hàm Bottcher Luận văn tài liệu bổ ích cho bạn học sinh, sinh viên tham khảo cho kì thi Olympic, quốc gia, quốc tế Luận văn trình bày rõ ràng, sâu phân tích nhằm giúp người đọc có nhìn tổng qt Tuy nhiên, hạn chế thân chắn không tránh khỏi thiếu sót, cịn nhiều vấn đề mà tác giả chưa nghiên cứu mong nhận nhận xét góp ý chân thành từ quý thầy cô đọc giả để đề tài hoàn thiện  ... lập phương trình 2.1 Phương trình hàm giải phương trình hàm Phương trình hàm phương trình mà ẩn nhiều hàm số Giải phương trình hàm tìm hàm số thỏa mãn phương trình Cấu trúc phương trình hàm gồm... dạng tốn phương trình hàm phong phú đa dạng, bao gồm loại phương trình tuyến tính phi tuyến tính, phương trình hàm với biến số phương trình hàm với hai nhiều biến số, Phương trình hàm biến chuyên... trị số biến tự Trong luận văn này, phân loại phương trình hàm dựa vào số biến tự có mặt phương trình hàm giới hạn nghiên cứu phương trình hàm biến 2.2 Một số phương pháp giải phương trình hàm 2.2.1