Phương trình hàm cauchy và ứng dụng

-1- Lời cảm ơn Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo ThS Tôn Thất Tú việc định hướng đề tài ln có ý kiến đóng góp quý báu kịp thời để luận văn em hoàn thiện Đồng thời em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy Ban chủ nhiệm khoa Tốn, trường Đại học sư phạm Đà Nẵng tạo điều kiện cho em thực luân văn Đà nẵng, tháng năm 2012 Sinh viên Hoàng Thị Mận -2- MỤC LỤC Lời cảm ơn Mở đầu Một số kí hiệu Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Hàm số 1.2 Đơn ánh, toàn ánh, song ánh 1.3 Hàm số liên tục 1.4 Đạo hàm hàm số 1.5 Hàm số chẵn hàm số lẻ 10 1.6 Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến 11 1.7 Hàm số tuần hoàn phản tuần hồn cộng tính 12 1.8 Hàm tuần hồn phản tuần hồn nhân tính 15 Chương PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY VÀ ỨNG DỤNG 19 2.1 Phương trình hàm Cauchy 19 2.1.1 Phương trình hàm Cauchy 19 2.1.2 Phương trình hàm Cauchy số lớp hàm 22 2.1.3 Một vài lời giải khác cho tốn phương trình hàm Cauchy 24 2.2 Một số ứng dụng phương trình hàm Cauchy 25 2.2.1 Ứng dụng phương trình hàm Cauchy lớp hàm sơ cấp 25 2.2.2 Ứng dụng phương trình hàm Cauchy toán thực tế37 2.3 Một số mở rộng phương trình hàm Cauchy 39 2.3.1 Dạng f (ax + by ) = Af ( x) + Bf ( y ) + C 39 2.3.2 Phương trình Pexider 41 2.3.3 Phương trình Vienze 41 2.3.4 Phương trình Cauchy cho hàm hai biến 43 2.3.5 Điều kiện tương đương hàm cộng tính 44 Kết luận 50 Tài liệu tham khảo 51 -3- Mở đầu I Lý mục đích chọn đề tài Như biết, phương trình hàm chuyên đề quan trọng thuộc chương trình đào tạo trường THPT chun Các tốn liên quan đến phương trình hàm tập thường gặp kì thi học sinh giỏi mơn Tốn cấp quốc gia, khu vực quốc tế… Vì vậy, trường phổ thông phần lớn học sinh tiếp cận với phương trình hàm học sinh lớp chun tốn, cịn học sinh đại trà lĩnh vực cịn xa lạ, khó tiếp cận Đa số học sinh tìm hiểu phương trình hàm cảm thấy khó dạng tốn địi hỏi người học phải vận dụng nhiều kiến thức đòi hỏi khả tư tốt, khả khái qt hóa, phán đốn vấn đề, … Khi giải tốn phương trình hàm, lượng lớn tốn vận dụng kết phương trình hàm bản, số phương trình hàm phương trình hàm Cauchy Được động viên gợi ý giáo viên hướng dẫn tự thân nhận thấy ứng dụng hay, bổ ích việc vận dụng phương trình hàm Cauchy để giải tốn lớp hàm sơ cấp, giải toán thực tế, với mong muốn nghiên cứu số vấn đề mở rộng liên quan đến phương trình hàm Cauchy, đồng thời mong góp phần thêm chút tài liệu cho sinh viên học sinh có quan tâm đến phương trình hàm, em chọn đề tài nghiên cứu: “Phương trình hàm Cauchy ứng dụng” II Đối tượng phương pháp nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu phương trình hàm Cauchy số ứng dụng phương trình hàm Cauchy Từ đưa số vấn đề mở rộng phương trình hàm Cauchy Phương pháp nghiên cứu tham khảo sách giáo khoa, sách tham khảo, wesite Nghiên cứu lý thuyết tập, kết hợp phân tích, tổng hợp, đánh giá III Cấu trúc luận văn Chương 1: Kiến thức Hệ thống lại số kiến thức hàm số tính chất hàm sơ cấp hàm số tuần hoàn, phản tuần hoàn, hàm số chẵn, hàm số lẻ… -4Chương 2: Phương trình hàm Cauchy ứng dụng Giới thiệu vấn đề phương trình hàm Cauchy số ứng dụng nó; đưa số mở rộng phương trình hàm Cauchy -5- MỘT SỐ KÍ HIỆU ∀, ∃ - kí hiệu logic ℝ - Tập hợp số thực ℝ+ - Tập hợp số thực dương ℝ− - Tập hợp số thực âm ℝ* - Tập hợp số thực khác không ℚ - Tập hợp số hữu tỷ ℚ+ - Tập hợp số hữu tỷ dương ℚ− - Tập hợp số hữu tỷ âm ℤ - Tập hợp số nguyên ℤ+ - Tập hợp số nguyên dương ℤ− - Tập hợp số nguyên âm ℤ* ℕ - Tập hợp số nguyên khác không - Tập hợp số tự nhiên ℕ* - Tập hợp số tự nhiên dương Df - Tập xác định hàm số f ( x) Rf - Tập giá trị hàm số f ( x) x∈M - x phần tử M { x} [ x] - phần lẻ x - phần nguyên x -6- Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Hàm số Định nghĩa 1.1 Cho ∅ ≠ D ⊆ ℝ Hàm số f xác định D quy tắc đặt tương ứng với số x ∈ D với số thực, kí hiệu f ( x) , số f ( x) gọi giá trị hàm số f x Tập D gọi tập xác định (miền xác định) hàm số f , kí hiệu D f Tập giá trị hàm số f , kí hiệu R f x gọi biến số hay đối số hàm số f Kí hiệu f :D→ℝ x ֏ y = f ( x) 1.2 Đơn ánh, toàn ánh, song ánh Giả sử hàm số f : D → Y Định nghĩa 1.2 Hàm số f gọi đơn ánh từ D lên Y với hai phần tử khác x1 x2 thuộc D f ( x1 ) ≠ f ( x2 ) Nghĩa hàm số f đơn ánh khi: ∀x1 , x2 ∈ D , x1 ≠ x2 ⇒ f ( x1 ) ≠ f ( x2 ) Định nghĩa 1.3 Hàm số f gọi toàn ánh từ D lên Y x ∈ D có ảnh Y y ∈ Y ảnh số x D Nghĩa là, hàm số f toàn ánh khi: ∀y ∈ Y , ∃x ∈ D : y = f ( x) , hay f ( D ) = Y Định nghĩa 1.4 Một hàm số vừa đơn ánh vừa toàn ánh gọi song ánh -7- Đơn ánh khơng phải tồn ánh Tồn ánh khơng phải đơn ánh Vừa đơn ánh vừa tồn ánh Ví dụ 1.1 (IMO 1988) Xác định hàm số f : ℕ → ℕ thỏa mãn điều kiện: f [ f (n) + f (m) ] = n + m, ∀m, n ∈ ℕ Lời giải Giả sử tồn hàm số f ( x) thỏa mãn yêu cầu Trước hết ta nhận xét f đơn ánh Thật vậy, với m, n ∈ ℕ f (n) = f (m) , ta có: n + m = f [ f ( n) + f ( m) ] = f [ f ( n) + f ( n) ] = n + n ⇒ n = m Với n ∈ ℕ* , ta có: f [ f (n) + f (n)] = 2n = (n − 1) + (n + 1) = f [ f (n − 1) + f (n + 1) ] ⇒ f (n) + f (n) = f (n − 1) + f (n + 1) (do f đơn ánh) Hay nói cách khác: f (k + 1) − f (k ) = f (k ) − f (k − 1), ∀k ∈ ℕ* n −1 n −1 k =1 k =1 ⇒ ∑ [ f (k + 1) − f (k ) ] = ∑ [ f (k ) − f (k − 1) ] ⇒ f (n) − f (1) = f (n − 1) − f (0), ∀n ∈ ℕ* ⇒ f (n) − f (n − 1) = f (1) − f (0), ∀n ∈ ℕ* Đặt f (1) − f (0) = a , với a số Suy : f (n) − f (n − 1) = a , ∀n ∈ ℕ* Từ ta có: f (n) = f (n) − f (n − 1) + f (n − 1) − f (n − 2) + + f (1) − f (0) + f (0) = a + a + + a + f (0) = n.a + b , (b = f (0)) Vậy f có dạng f (n) = an + b -8Thử lại: a [ (an + b) + (am + b)] + b = n + m, ∀m, n ∈ ℕ Từ ta a = 1, b = Vậy f (n) = n hàm cần tìm Ví dụ 1.2 (Roumanie 1986) Cho f : ℕ → ℕ toàn ánh g : ℕ → ℕ đơn ánh Biết f (n) ≥ g (n) với n ∈ ℕ Chứng minh f ≡ g Lời giải Giả sử tồn a ∈ ℕ cho f (a ) ≠ g (a ) Khi g (a ) < f (a ) Tập A := {n ∈ ℕ f (n) > g (n)} tập khác rỗng ℕ Do tập B := { g (n) n ∈ A} tập khác rỗng ℕ Trong B tồn phần tử nhỏ nhất, kí hiệu g (b) với b ∈ A Nhớ g (b) < f (b) Vì f tồn ánh nên tồn c cho f (c) = g (b) < f (b) Từ ta có c ≠ b Mà g đơn ánh nên g (c) ≠ g (b) = f (c) Từ có c ∈ A suy g (c) < f (c) = g (b) điều vô lý (trái với giả thiết g (b) phần tử nhỏ B) Vậy f (a ) = g (a ), ∀a ∈ ℕ suy f ≡ g 1.3 Hàm số liên tục Định nghĩa 1.5 Giả sử hàm số y = f ( x) xác định điểm x = x0 Ta nói hàm số f ( x) liên tục điểm x = x0 lim f ( x) = f ( x0 ) x→ x0 Nếu đẳng thức khơng xảy ta nói hàm số bị gián đoạn điểm x = x0 Ví dụ 1.3 Tìm tất hàm liên tục ℝ thỏa mãn điều kiện: f ( x) = f (3 x), ∀x ∈ ℝ Lời giải  x Điều kiện (1.1) viết lại: f ( x) = f   , ∀x ∈ ℝ 3 (1.1) -9 x Từ ta được: f ( x) = f  n  , ∀x ∈ ℝ, ∀n ≥ 3  Do tính liên tục hàm f nên với x cố định, ta có  x f ( x) = lim f  n  = n →∞ 3   x  f lim n  = f (0)    n→∞  Đặt f (0) = a , với a số Vậy f ( x) hàm 1.4 Đạo hàm hàm số Định nghĩa 1.6 Cho hàm số y = f ( x), x0 ∈ D f Nếu lim ∆x →0 f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) ∆x tồn hữu hạn giới hạn ký hiệu f ' ( x0 ) gọi đạo hàm hàm số f ( x) điểm x0 Ví dụ 1.4 Tìm hàm f, g có đạo hàm ℝ + thỏa mãn điều kiện : g ( x) f ( x) g '( x) = − với x ∈ ℝ + x x f '( x) = − Lời giải Giả sử tồn f ( x) , g ( x) thỏa mãn yêu cầu Ta có: [ x( f ( x) + g ( x))] = x [ f '( x) + g '( x)] + f ( x) + g ( x) '  g ( x ) f ( x)  = x − − + f ( x) + g ( x) = 0, ∀x ∈ ℝ +  x   x (1.2) (1.3) ⇒ x [ f ( x) + g ( x) ] = a , ∀x ∈ ℝ + , với a số a ⇒ f ( x) + g ( x) = , ∀x ∈ ℝ + x Tương tự ta có:  f ( x) − g ( x)  = 0, ∀x > ⇒ f ( x) − g ( x) = bx, ∀x ∈ ℝ +   x  (1.4) ' Từ (1.4) (1.5) suy ra: 1 a 1 a   f ( x) =  + bx  ; g ( x) =  − bx  , ∀x ∈ ℝ + , 2 x 2 x   a, b số tùy ý thuộc ℝ (1.5) - 10 Thử lại, hàm số thỏa mãn phương trình cho Ta đáp số: 1 a 1 a   f ( x) =  + bx  ; g ( x) =  − bx  2 x 2 x   1.5 Hàm số chẵn hàm số lẻ Xét hàm số f ( x) với tập xác định D f ⊂ ℝ tập giá trị R f ⊂ ℝ Định nghĩa 1.7 Hàm số f ( x) gọi hàm số chẵn (gọi tắt hàm chẵn) ∀x ∈ M ⇒ − x ∈ M , M , M ⊂ D f nếu:   f (− x) = f ( x), ∀x ∈ M Định nghĩa 1.8 Hàm số f ( x) gọi hàm số lẻ (gọi tắt hàm lẻ) ∀x ∈ M ⇒ − x ∈ M , M , M ⊂ D f nếu:   f (− x) = − f ( x), ∀x ∈ M Ví dụ 1.5 Chứng minh hàm số xác định ℝ viết dạng tổng hàm số chẵn hàm số lẻ Lời giải Ta có: 1 [ f ( x ) + f ( − x ) ] + [ f ( x) − f ( − x) ] 2 Ta chứng minh hàm số f1 ( x) = [ f ( x) + f (− x)] hàm số chẵn hàm số f ( x) = [ f ( x) − f (− x)] hàm số lẻ Vì hàm số có tập xác định ℝ nên ∀x ∈ ℝ ⇒ − x ∈ ℝ , ta có: f ( x) = [ f (− x) + f ( x)] = f1 ( x) Suy f1 ( x) hàm số chẵn ℝ f1 (− x) = Chứng minh tương tự cho hàm số f ( x) hàm số lẻ ℝ Ví dụ 1.6 Cho x0 ∈ ℝ xác định tất hàm số f ( x) cho: f ( x0 − x) = f ( x), ∀x ∈ ℝ Lời giải (1.6) - 37 f ( x) = lim f ( xn ) = lim  a xn − xn b xn  = a x  n →∞ n→∞  2 −x b x = a x −x a x loga b = a x + cx , c = log a b − 2 a2x a2 x = x2 −cx = a x +cx Khi x < , ta có: f ( x) = f (− x) a Kết luận:  f ( x) ≡ 0,  x +cx f ( x ) = a , ∀x ∈ ℝ, a, c = const  Nhận xét: Bằng cách đặt g ( x) = a x f ( x), ∀x ∈ ℝ ta dễ dàng đưa (2.25) phương trình hàm hàm mũ: g ( x + y ) = g ( x).g ( y ), ∀x, y ∈ ℝ 2.2.2 Ứng dụng phương trình hàm Cauchy tốn thực tế A Bài tốn tính diện tích hình chữ nhật Xét tốn tìm diện tích hình chữ nhật với chiều dài x chiều rộng y Giả sử diện tích hình chữ nhật cần tìm hàm phụ thuộc vào x y, tức f ( x, y ) x1 x2 y y2 Dễ thấy f ( x, y ) có tính chất sau: f ( x1 + x2 ; y ) = f ( x1; y ) + f ( x2 ; y ), ∀x1 , x2 , y ≥ 0, f ( x; y1 + y2 ) = f ( x; y1 ) + f ( x; y2 ), ∀x, y1 , y2 ≥ 0, f ( x, y ) ≥ 0, ∀x, y ≥ Theo kết phương trình hàm Cauchy cho hàm hai biến (bài toán 2.21) ta f ( x, y ) = axy , a số thực khơng âm Vậy diện tích hình chữ nhật tỉ lệ với tích chiều dài chiều rộng Hằng số a giải thích tham số điều chỉnh đơn vị đo x y - 38 B Tính tổng S (n) = 12 + 22 + + n Ta có: S (n + m) = 12 + 22 + + n + (n + 1) + (n + 2) + + (n + m)  = S (n) +  m.n + 2n.(1 + + + m) + S (m)  = S (n) + S (m) + mn(m + n) + mn, hay S (m + n) = S (m) + S (n) + mn(m + n) + mn , ∀m, n ∈ ℕ Từ suy ra: 1 1   1   S ( m + n) − ( m + n)3 − ( m + n) =  S ( m) − m3 − m  +  S ( n) − n − n  3     1 Đặt T (n) = S (n) − n3 − n ta được: T (m + n) = T (m) + T (n), ∀m, n ∈ ℕ Do T (n) = an , a số 1 Vì S (n) = n3 + n + an Vì S (1) = nên suy a = 1 n(n + 1)(2n + 1) , n∈ℕ Vậy S (n) = n3 + n + n = 6 C Bài tốn tính lãi suất ngân hàng Xét tốn tính lãi suất ngân hàng, giả sử ban đầu có số vốn x gửi tiết kiệm vào ngân hàng Khi F ( x, t ) số vốn có sau khoảng thời gian t ban đầu có x (đồng) Dễ thấy hàm F ( x, t ) có tính chất sau: F ( x1 + x2 , t ) = F ( x1 , t ) + F ( x2 , t ) , (2.26) F ( x, t1 + t2 ) = F ( F ( x, t1 ), t2 ) (2.27) Từ (2.26) coi t tham số cố định Ta viết (2.26) dạng: ft ( x1 + x2 ) = f t ( x1 ) + f t ( x2 ) Suy ra: ft ( x ) = ct x ct liên tục cịn phụ thuộc vào giá trị tham số t, vậy: F ( x, t ) = c(t ) x - 39 Thay phương trình cuối vào (2.27) ta được: c(t1 + t2 ) x = F ( x, t1 ).c(t2 ) = c(t1 ) x.c(t2 ) , hay c(t1 + t2 ) = c(t1 ).c(t2 ) Đây phương trình hàm hàm mũ nên tồn q cho: c (t ) = q t , q > Vì hàm F ( x, t ) tăng theo t nên q > Từ đặt q = + α , α > Vậy nghiệm toán là: F ( x, t ) = x.(1 + α )t , ∀x ∈ ℝ 2.3 Một số mở rộng phương trình hàm Cauchy 2.3.1 Dạng f (ax + by ) = Af ( x) + Bf ( y ) + C Bài toán 2.18 Tìm hàm f liên tục ℝ thỏa mãn điều kiện: f (ax + by ) = Af ( x) + Bf ( y ) + C , ∀x, y ∈ ℝ, (abAB ≠ 0) (2.28) Lời giải Giả sử tồn f ( x) thỏa mãn yêu cầu Xét trường hợp sau: Trường hợp f ( x) ≡ k , ∀x ∈ ℝ , với k số Từ phương trình (2.28) ta có: k = ( A + B)k + C ⇔ ( A + B − 1)k = −C (2.29) + Nếu A + B − ≠ C C ⇒ f ( x) = − , ∀x ∈ ℝ A + B −1 A + B −1 + Nếu A + B − = C = (2.29) thỏa mãn với k ∈ ℝ nên (2.29) ⇔ k = − ∀k ∈ ℝ , f ( x) = k nghiệm (2.28) + Nếu A + B − = C ≠ (2.29) khơng có nghiệm k ∈ ℝ nên (2.28) khơng có nghiệm hàm Trường hợp f ( x) hàm ℝ Đặt g ( x) = f ( x) − f (0) suy g ( x) liên tục Trong (2.28) cho: - 40 u v  x = ; y = ,  a b   x = u ; y = 0, với u , v ∈ ℝ a   v  x = 0; y = , b   x = 0; y = Ta thu phương trình tương ứng:  u v f ( u + v ) = Af + Bf     + C,  a   b   u = Af   + Bf (0) + C ,  f (u ) a   v  f (v ) = Af (0) + Bf   + C ,  b  f (0) = Af (0) + Bf (0) + C  Suy f (u + v) = f (u ) + f (v) − f (0), ∀u , v ∈ ℝ ⇔ f (u + v) − f (0) = f (u ) − f (0) + f (v) − f (0), ∀u , v ∈ ℝ ⇔ g (u + v) = g (u ) + g (v), ∀u , v ∈ ℝ ⇒ g ( x) = α x, ∀x ∈ ℝ ⇒ f ( x) = α x + β , ∀x ∈ ℝ , với α , β số thực, α ≠ Thay f ( x) = α x + β vào (2.28) ta được: aα x + bα y + β = Aα x + Bα y + C + ( A + B) β , ∀x, y ∈ ℝ aα = Aα ,  A = a,   ⇔ bα = Bα , ⇔  B = b,  β = C + ( A + B) β −C = ( A + B − 1) β   Như f ( x) có nghiệm A = a B = b Khi nghiệm (2.28) f ( x) = α x + β với α , β xác định sau: + Nếu A + B − ≠ α ∈ ℝ* , β = −C A + B −1 + Nếu A + B − = C = α ∈ ℝ* , β số thực tùy ý - 41 - 2.3.2 Phương trình Pexider Bài tốn 2.19 Xác định tất hàm f , g , h : ℝ → ℝ liên tục thỏa mãn điều kiện: f ( x + y ) = g ( x) + h( y ), ∀x, y ∈ ℝ Lời giải Đặt a = g (0), b = h(0) Lần lượt cho x = y = ta được: h( y ) = f ( y ) − a g ( x) = f ( x) − b Thay vào phương trình ban đầu ta f ( x + y ) = f ( x) + f ( y ) − a − b Đặt ϕ ( x) = f ( x) − a − b ϕ ( x) liên tục ℝ thỏa mãn điều kiện: ϕ ( x + y ) = ϕ ( x) + ϕ ( y ), ∀x, y ∈ ℝ Đây phương trình hàm Cauchy nên ta ϕ ( x) = cx với c số Từ ta nghiệm tốn:  f ( x) = cx + a + b,   g ( x) = cx + a, h( x) = cx + b,  a, b, c số tùy ý 2.3.3 Phương trình Vienze Bài tốn 2.20 Tìm hàm f, g, h, k xác định liên tục ℝ thỏa mãn điều kiện f ( x + y ) = g ( x)k ( y ) + h( y ), ∀x, y ∈ ℝ (2.30) Lời giải Đặt a = k (0); b = h(0) Nếu a = ta thấy f ( x) = b , với b số Ta bỏ qua trường hợp tầm thường coi a ≠ Cho y = ta thu được: f ( x) − b a Vì ta viết lại (2.30) dạng: g ( x) = f ( x + y ) = ϕ ( y ) f ( x) + ψ ( y ), ∀x, y ∈ ℝ , ϕ ( y ) = k ( y) bk ( y ) ψ ( y ) = h( y ) − a a (2.31) - 42 Với cách đặt vậy, ta có ϕ (0) = ψ (0) = Đặt χ ( y ) = f ( y ) − f (0) , (2.31) viết lại dạng: χ ( x + y ) = ϕ ( y ) χ ( x) + χ ( y ) (2.32) Do vế trái (2.32) đối xứng x, y nên ta có: ϕ ( y ) χ ( x ) + χ ( y ) = χ ( x + y ) = χ ( y + x) = ϕ ( x) χ ( y ) + χ ( x) từ thu được: (ϕ ( y ) − 1) χ ( x) = (ϕ ( x) − 1) χ ( y ) (2.33) Phương trình giải cách xét hai trường hợp sau: Trường hợp ϕ ( y ) = với y Khi đó, từ (2.32) ta thấy hàm số χ ( x) thỏa mãn phương trình hàm Cauchy χ ( x + y ) = χ ( x) + χ ( y ) nên χ ( x) = dx , suy ra: f ( x) = dx + c , c = f (0) Thay vào (2.31) sử dụng ϕ ( y ) = với y, ta ψ ( y ) = dy Từ ta nghiệm toán trường hợp là:  f ( x) = dx + c,  dx + c − b  g ( x) = , a  h( y ) = dy + b,  k ( y ) = a, ∀y ∈ ℝ, a, b, c, d số thực a ≠ Trường hợp Tồn y0 : ϕ ( y0 ) ≠ Thay y = y0 vào (2.33) đặt: χ ( y0 ) ϕ ( y0 ) − = s Phương trình (2.33) trở thành: χ ( x) = s [ϕ ( x) − 1] (2.34) Ta giả thiết f ( x) hàm ℝ nên χ không đồng Từ suy s ≠ Thay (2.34) vào (2.32) thu được: s [ϕ ( x + y ) − 1] = sϕ ( y ) [ϕ ( x) − 1] + s [ϕ ( y ) − 1] - 43 Chia hai vế cho s ≠ rút gọn ta được: ϕ ( x + y ) = ϕ ( x)ϕ ( y ), ∀x, y ∈ ℝ Đây phương trình hàm hàm mũ nên tồn số dương t cho: ϕ ( y) = t y , từ ta thu được:  f ( x) = st x + c,  x  g ( x) = st + c − b , a  k ( y ) = at x ,  h( y ) = c + (b − c)t x 2.3.4 Phương trình Cauchy cho hàm hai biến Bài tốn 2.21 Tìm tất hàm hai biến f : ℝ → ℝ liên tục theo biến thỏa mãn điều kiện: f ( x1 + x2 ; y ) = f ( x1; y ) + f ( x2 ; y ) , f ( x; y1 + y2 ) = f ( x; y1 ) + f ( x; y2 ) , với x1 , x2 , y1 , y2 , x, y ∈ ℝ Lời giải Cố định y từ phương trình: f ( x1 + x2 ; y ) = f ( x1; y ) + f ( x2 ; y ) , suy ra: f ( x, y ) = c ( y ) x Từ phương trình: f ( x; y1 + y2 ) = f ( x; y1 ) + f ( x; y2 ) , ta được: c( y1 + y2 ) x = c( y1 ) x + c( y2 ) x hay c( y1 + y2 ) = c( y1 ) + c( y2 ) Từ ∃c0 : c( y ) = c0 y Vậy nghiệm toán là: f ( x, y ) = c0 xy, ∀x, y ∈ ℝ Bài tốn 2.22 Tìm hàm f : ℝ → ℝ liên tục thỏa mãn điều kiện: f ( x1 + x2 , y1 + y2 ) = f ( x1 , y1 ) + f ( x2 , y2 ), ∀x1 , x2 , y1 , y2 ∈ ℝ - 44 Lời giải Ta có: f ( x, y ) = f ( x,0) + f (0, y ), ∀x, y ∈ ℝ Mặt khác, f ( x,0), f (0, y ) hàm liên tục thỏa mãn điều kiện: f ( x1 + x2 ,0) = f ( x1 ,0) + f ( x2 ,0), ∀x1 , x2 ∈ ℝ , f (0, y1 + y2 ) = f (0, y1 ) + f (0, y2 ), ∀y1 , y2 ∈ ℝ Do f ( x1 ,0) = a1 x1 , a1 số thực, f (0, x2 ) = a2 x2 , a2 số thực Vậy f ( x1 , x2 ) = a1 x1 + a2 x2 , ∀x1 , x2 ∈ ℝ , a1 , a2 số Nhận xét: Trong trường hợp tổng quát, hàm f : ℝ n → ℝ liên tục thỏa điều kiện: f ( x1 + y1 , , xn + yn ) = f ( x1 , y1 ) + + f ( xn , yn ), ∀xi , yi ∈ ℝ, i = 1, n Lúc đó: n f ( x1 , x2 , , xn ) = ∑ xi , số, i = 1, n i =1 2.3.5 Điều kiện tương đương hàm cộng tính Bài toán 2.23 Chứng minh hàm f : ℝ → ℝ thỏa mãn điều kiện: f ( x + y ) = f ( x) + f ( y ) , ∀x, y ∈ ℝ f ( x + y ) = f ( x) + f ( y ), ∀x, y ∈ ℝ Lời giải Điều kiện cần: Giả sử f ( x + y ) = f ( x) + f ( y ) , ∀x, y ∈ ℝ Cho x = y = ta f (0) = Cho y = − x ta f (− x) = − f ( x), ∀x ∈ ℝ Suy f hàm lẻ ℝ Do đó: f ( x + y ) − f ( x) = f ( x + y ) + f (− x) = f ( y ) , ∀x, y ∈ ℝ Mặt khác ta có dẳng thức: a + b + a − b = 2a + 2b , ∀a, b ∈ ℝ 2 - 45 Cho a = f ( x + y ), b = f ( x) − f ( y ) ta được: f ( x + y ) + f ( x ) − f ( y ) + f ( x + y ) − f ( x) + f ( y ) = f ( x + y ) + f ( x) − f ( y ) 2 ( ) = f ( x ) + f ( y ) + f ( x) − f ( y ) = f ( x) + f ( y ) 2 2 Tương tự cho a = f ( x + y ) − f ( x), b = f ( y ) ta được: f ( x + y ) − f ( x ) + f ( y ) + f ( x + y ) − f ( x) − f ( y ) = f ( x + y ) − f ( x) + f ( y ) 2 = f ( y) + f ( y) = f ( y) 2 Thay đổi vai trò x, y đẳng thức ta được: f ( x + y ) − f ( y ) + f ( x) + f ( x + y ) − f ( x ) − f ( y ) = f ( x) 2 Từ đó: f ( x + y ) − f ( x) − f ( y ) = 0, ∀x, y ∈ ℝ ⇒ f ( x + y ) = f ( x) + f ( y ), ∀x, y ∈ ℝ Điều kiện đủ: hiển nhiên Bài toán 2.24 (Shortlist IMO 1979) Chứng minh hàm f : ℝ → ℝ thỏa mãn điều kiện: f ( xy + x + y ) = f ( xy ) + f ( x) + f ( y ), ∀x, y ∈ ℝ (2.35) f ( x + y ) = f ( x) + f ( y ), ∀x, y ∈ ℝ Lời giải Điều kiện cần: Giả sử f ( xy + x + y ) = f ( xy ) + f ( x) + f ( y ), ∀x, y ∈ ℝ Cho x = y = ta f (0) = Cho y = −1 ta được: f ( − x) = − f ( x ) Cho y = ta được: f (2 x + 1) = f ( x) + f (1) Từ có với u , v ∈ ℝ : f [ 2(u + v + uv) + 1] = f (uv + u + v) + f (1) = f (uv) + f (u ) + f (v) + f (1) (2.36) - 46 Mặt khác, cho x = u , y = 2v + ta viết vế trái (2.35): f ( xy + x + y ) = f [u + (2v + 1) + u (2v + 1)] = f (uv) + f (u ) + f (v) + f (1) (2.37) Từ (2.36) (2.37), có f (uv) + f (u ) + f (v) + f (1) = f (u ) + f (v) + f (1) + f (2uv + u ) ⇔ f (2uv + u ) = f (uv) + f (u ) Cho v = − (2.38) ta được:  u u = f  −  + f (u ) = −2 f   + f (u )  2 2 Từ có: u f (u ) = f   2 u ta f (2 x) = f ( x), ∀x ∈ ℝ Trong (2.38) thay x = 2uv, y = u sử dụng (2.39) ta được: Thay x = (2.39) f ( x) + f ( y ) = f ( x + y ), ∀x, y ∈ ℝ* Nhưng f (0) = nên kết hai số x, y Tóm lại ta f ( x) + f ( y ) = f ( x + y ), ∀x, y ∈ ℝ Điều kiện đủ: hiển nhiên Ví dụ 2.4 Tìm hàm số f : ℝ → ℝ thỏa mãn đồng thời điều kiện f ( x + y ) = f ( x) + f ( y ) , ∀x, y ∈ ℝ , f ( xy ) = f ( x) f ( y ) , với x, y ∈ ℝ Lời giải Theo kết tốn 2.23 ta có: f ( x + y ) = f ( x) + f ( y ) , ∀x, y ∈ ℝ ⇔ f ( x + y ) = f ( x) + f ( y ) Nhận xét với z ≥ , tồn w ≥ cho z = w2 (2.40) (2.41) - 47 Trong (2.41) cho x = y = w ta được: f ( z ) = [ f ( w)] ≥ Vậy f ( z ) ≥ với z ≥ Theo (2.40), với x ≥ y , ta có: f ( x) = f ( x − y + y ) = f ( y ) + f ( x − y ) ≥ f ( y ) (do x − y ≥ suy f ( x − y ) ≥ ) Vậy f ( x) hàm đồng biến nên f ( x) = ax (theo kết toán 2.3) Thay f ( x) vào (2.41) cho x = y = ta có: a = a ⇔ a = ∨ a = Ta hai hàm số f ≡ f ( x) = x Hai hàm số hiển nhiên thỏa mãn (2.40) (2.41) nên hai hàm số cần tìm Ví dụ 2.5 Tìm hàm số f : ℝ → ℝ thỏa mãn điều kiện:   f (1) = 1,   f ( xy + x + y ) = f ( xy ) + f ( x) + f ( y ), ∀x, y ∈ ℝ,   f ( x) f   = 1, ∀x ≠  x  (2.42) Lời giải Theo kết tốn 2.24 ta có: f ( xy + x + y ) = f ( xy ) + f ( x) + f ( y ), ∀x, y ∈ ℝ ⇔ f ( x + y ) = f ( x) + f ( y ) Dễ thấy f (0) = Ta chứng minh hàm số liên tục x = 1 Thật vậy, từ điều kiện (2.42) ta có f ( x) f   dấu Ngoài ra, với y x thỏa mãn y ≥ , tồn x để y = x + Ta có: x 1  f  x +  = f ( x) + x  1 f  x 1 = f ( x) + f   ≥  x 1 f ( x) f   = x ⇒ f ( y ) ≥ 2, ∀y thỏa mãn điều kiện y ≥ - 48 Với y thỏa mãn < y ≤ 1 ta có ≥ Theo trên: y 1 1 = f ( y ) f   ≥ f ( y ) ⇒ f ( y ) ≤  y 1 nên với y thỏa mãn điều kiện y ≤ ta có f ( y ) ≤ 2 1 Với y ≤ suy y ≤ ta có: 2 1 ≥ f (2 y ) = f ( y ) ⇒ f ( y ) ≤ 2 Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được: Mà f (0) = ≤ f ( y) ≤ 1 v i m ọ i y th ỏ a mãn y ≤ 2n 2n Do đó, y → f ( y ) → = f ( ) Nói cách khác, hàm số f ( x) liên tục x = Khi phương trình cho phương trình hàm Cauchy, ta có f ( x) = f (1) x = x , ∀x ∈ ℝ Bài tập tham khảo Bài Tìm hàm f : ℝ → ℝ liên tục, thỏa mãn f (−8) = f ( x + y ) = f ( x) + f ( y ) + 3xy ( x + y − 6) − 8, ∀x, y ∈ ℝ Bài Tìm hàm f liên tục ℝ* thỏa mãn điều kiện:  x+ y * ( x + y) f   = xf ( x) + yf ( y ), ∀x, y ∈ ℝ   Bài Tìm hàm f ( x) xác định khả vi [ 0,1] thỏa mãn điều kiện: f ( x + y ) = f ( x) + f ( y ), ∀x, y ∈ ℝ Bài Tìm hàm f : ℝ → [ 0; + ∞ ) liên tục thỏa mãn: f ( x + y ) = f ( x − y ) + f (2 xy ), ∀x, y ∈ ℝ Bài Xác định hàm f ( x) liên tục ℝ thỏa mãn điều kiện: f ( x + y ) = f ( x) f ( y ) − f ( x) − f ( y ), ∀x, y ∈ ℝ Bài Xác định hàm f ( x) liên tục [ 0,1] thỏa mãn điều kiện: f ( x + y ) = f ( x) + f ( y ), ∀x, y, x + y ∈ [ 0,1] - 49 Bài Xác định hàm f ( x) liên tục ℝ thỏa mãn điều kiện:  x + y + z  f ( x) + f ( y ) + f ( z ) f , ∀x, y, z ∈ ℝ = 3   Bài Tìm tất hàm số f : ℝ → ℝ thỏa mãn điều kiện: f ( x + y − xy ) = f ( x) + f ( y ), ∀x, y ∈ ℝ Bài Cho hàm số f : ℝ → ℝ thỏa mãn: f ( x + xy ) = f ( x) + f ( xy ), ∀x, y ∈ ℝ Biết f (1991) = a , tính f (1992) Bài 10 Áp dụng phương trình hàm Cauchy tính tổng sau: a Sn = + + + n , n ∈ ℕ* b Sn = 1.2 + 2.3 + + (n − 1)n , n ∈ ℕ* Bài 11 Tìm phương trình đường cong liên tục (C ) cho với hai điểm thuộc (C ) , tổng tích hồnh độ điểm với tung độ điểm tung độ điểm thuộc (C ) mà có hồnh độ tích hồnh độ hai điểm cho - 50 - Kết luận Đề tài “Phương trình hàm Cauchy ứng dụng” đạt kết sau: Hệ thống lại số khái niệm mơn giải tích cần thiết cho giải tốn phương trình hàm Đồng thời thơng qua ví dụ giúp hiểu sâu khái niệm, dạng toán Nghiên cứu vấn đề phương trình hàm Cauchy, việc giải phương trình hàm Cauchy nhiều lớp hàm : liên tục, đơn điệu, bị chặn, khả vi Nghiên cứu ứng dụng việc giải toán lớp hàm sơ cấp toán thực tế Đưa số mở rộng phương trình hàm Cauchy Đề tài có ý nghĩa thực tiễn làm tài liệu tham khảo cho sinh viên ngành Toán, sinh viên sư phạm Toán – Tin, cho học sinh giáo viên trường THPT chuyên Do vấn đề thời gian tài liệu hạn chế nên trình làm luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót, em mong q thầy bạn đóng góp ý kiến để luận văn hồn chỉnh Nếu có hội em hi vọng học tập nghiên cứu sâu sắc đề tài - 51 - Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Mậu Phương trình hàm NXBGD 2000 (tái lần thứ 5) [2] Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Văn Tiến Một số chuyên đề giải tích bồi dưỡng học sinh giỏi THPT NXBGDVN 2009 [3] Lectures on Functional Equations and their Applications J.Aczel University of Waterloo 1966 [4] Functional Equations and How to Solve Them Christopher G Small, Springer 2007 ... 2.1.1 Phương trình hàm Cauchy 19 2.1.2 Phương trình hàm Cauchy số lớp hàm 22 2.1.3 Một vài lời giải khác cho tốn phương trình hàm Cauchy 24 2.2 Một số ứng dụng phương trình hàm Cauchy. .. phương trình hàm, em chọn đề tài nghiên cứu: ? ?Phương trình hàm Cauchy ứng dụng? ?? II Đối tượng phương pháp nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu phương trình hàm Cauchy số ứng dụng phương trình hàm Cauchy. .. x) = ax, ∀x ∈ ℝ 2.2 Một số ứng dụng phương trình hàm Cauchy 2.2.1 Ứng dụng phương trình hàm Cauchy lớp hàm sơ cấp A Phương trình hàm hàm mũ Bài tốn 2.6 Xác định hàm f liên tục ℝ thỏa mãn điều