Về phương trình hàm Cauchy và ứng dụng (LV thạc sĩ)

Về phương trình hàm Cauchy và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về phương trình hàm Cauchy và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về phương trình hàm Cauchy và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về phương trình hàm Cauchy và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về phương trình hàm Cauchy và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về phương trình hàm Cauchy và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về phương trình hàm Cauchy và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về phương trình hàm Cauchy và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về phương trình hàm Cauchy và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về phương trình hàm Cauchy và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về phương trình hàm Cauchy và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về phương trình hàm Cauchy và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về phương trình hàm Cauchy và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về phương trình hàm Cauchy và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về phương trình hàm Cauchy và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về phương trình hàm Cauchy và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về phương trình hàm Cauchy và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về phương trình hàm Cauchy và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về phương trình hàm Cauchy và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về phương trình hàm Cauchy và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về phương trình hàm Cauchy và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về phương trình hàm Cauchy và ứng dụng (LV thạc sĩ)

ì Pì ệ ì Pì ệ Pữỡ sỡ số ì ị ử ữỡ Pữỡ tr Pữỡ tr ởt ữỡ tr t Pữỡ tr t tr ổ ự Pữỡ tr ụ Pữỡ tr rt Pữỡ tr t Pữỡ tr Pữỡ tr t Pữỡ tr t ữỡ tr rở ữỡ tr ởt số t ữỡ ởt số ự ữỡ tr ụ tứ số n số tỹ t ữỡ n số tỹ t ụ tứ k n số tỹ t ụ tứ số tr số ố õ t rút r tứ n tỷ ộ ỳ t t Pữỡ tr ởt t tứ t rt ổ ố q ữỡ tr ữủ t q t ữỡ tr ũ ữỡ tr ữủ ự tr ữ õ tỹ sỹ ữủ ự tr ỹ ỵ tt ự t tr t t ỳ õ õ q trồ rt tr ỵ tt ữỡ tr ỵ tt ữỡ tr tr rt q trồ t ữủ t q tú ữ Pr Pr r tt P rs ữỡ tr ữủ rt t t ợ ự õ ỳ õ õ ợ t ỵ tt t ự ữ q ố s rs P r rs sỹ t tr ỵ tt ữỡ tr t q õ ữủ t ự ố tữủ s tr tổ q ý t s ọ qố t ữỡ tr ổ t út q t ỹ t t s ữỡ t sỡ s t tr ợ ữỡ tr ỡ õ ữỡ tr ự ữủ tr tr ữỡ ữỡ Pữỡ tr ữỡ tr ỵ ự ữỡ tr õ ữỡ tr t ữỡ tr t ữỡ tr ụ ữỡ tr rt r rở ữỡ tr ữ r ởt số t ữỡ tr t qt ởt số t t s ọ ữợ ữủ tr tứ t t t rs r r ữỡ ởt số ự ữỡ tr ữỡ tr ự ữỡ tr tr t tờ ụ tứ số tờ n số tỹ t tờ ữỡ n số tỹ t tờ ụ tứ k n số tỹ t t tờ ụ tứ số tr số t số õ t rút r tứ n tỷ ỹ ữủ ởt t ủ tờ ộ ỳ t trữợ t tổ ỷ ỡ s s tợ r ỵ tớ ữợ t t ú ù tr q tr ỹ t t tổ ụ ỷ ỡ t tợ tt t ổ rữớ t ú ù tr sốt q tr t õ ổ ữủ sỹ õ ỵ t ổ t ữỡ Pữỡ tr ự t õ tứ tớ r ữớ t ố t ữỡ tr f (x + y) = f (x) + f (y) ợ x, y R ự tố ữỡ tr t ữủ ữợ tr ố s ổ rs s ởt ữỡ tr ỗ ởt ữ t ởt õ ữủ ữỡ tr ữ f (x) + mx = f (x) + f (x) + sin(x) = ữỡ tr ỗ t số ữ t ữủ ữỡ tr t ởt ữỡ tr t x f (x) = ex ext f (t) dt, [1 xcos(xt)]f (t)dt, f (x) = sin(x) + x [tf (t) 1]dt f (x) = Pữỡ tr ữỡ tr tr õ số ữỡ tr f (x + y) = f (x) + f (y), f (x + y) = f (x)f (y), f (xy) = f (x)f (y), f (xy) = f (x) + f (y), f (x + y) = f (x)g(y) + g(x)f (y), f (x + y) + f (x y) = 2f (x)f (y), f (x + y) + f (x y) = 2f (x) + 2f (y), f (x + y) = f (x) + f (y) + f (x)f (y), f (x + y) = g(xy) + h(x y), f (x) f (y) = (x y)h(x + y), f (pr, qs) + f (ps, qr) = 2f (p, q) + 2f (r, s), g(f (x)) = g(x) + , g(f (x)) = g(x), = f (t) = f (2t) + f (2t 1) P ữỡ tr ỗ ữỡ tr ữỡ tr s ữỡ tr t ữỡ tr ởt ỹ t tr tờ ỡ ữủ ổ ố tr ỹ ố ợ t s tổ t tr ự ữỡ tr ởt số ự õ rt ổ ố tr õ tự t ữỡ tr Pữỡ tr ữủ ự rt r Pss r t rt t tr sỹ ố t ợ ổ ỵ ữỡ ữỡ tr tr õ tt ổ t t t rt ự ữỡ tr t ợ ữỡ tr ổ õ ởt t tt ỹ ộ ỹ õ t tr ỵ ữỡ tr ỵ tt q t t ữỡ tr t tr õ ố t ữỡ tr t tt số tọ ữỡ tr t ữủ ởt số ợ ởt t trữ r ữ t tử ỗ ữủ ỡ Pữỡ tr ởt ữỡ tr t P ợ t ữỡ tr t õ ữủ tr tứ t f : R R tr õ R t số tỹ f số tọ ữỡ tr f (x + y) = f (x) + f (y) ợ x, y R Pữỡ tr ữủ t ữỡ tr Pữỡ tr ữủ ự t r ss ữ ữớ t t r tr ợ tử Pữỡ tr õ tr q trồ tr t õ ữủ tợ tr t t số f : R R ữủ t õ tọ ữỡ tr f (x + y) = f (x) + f (y) ợ x, y R số f : R R ữủ t t õ õ f (x) = cx (x R), tr õ ởt số tũ ỵ ỗ t t t f (x) = cx ởt ữớ ổ t q ố õ õ ữủ t t số t t tọ ữỡ tr ọ ữủ ữ r õ tọ ữỡ tr ổ t r õ tử ữỡ tr t t t q ữủ ự ỵ f : R R tử tọ ữỡ tr t õ f t t f (x) = cx tr õ c ởt số tũ ỵ ự rữợ t t ố x rỗ t ữỡ tr t y t ữủ f (x) = f (x)dy [f (x + y) f (y)]dy = 1+x f (u)du = x f (y)dy, u = x + y số f tử s r f (x) = f (1 + x) f (x) ứ t t f t õ f (1 + x) = f (1) + f (x) t õ f (x) = f (1) = c r f (x) = cx + d t s r d = r ỵ t sỷ t tử f t r f t t f t f ữỡ tr t t t õ ộ t ữỡ tr t ụ t t ởt f : R R ữủ t ữỡ õ t tr ỳ tr ộ t ữỡ ữỡ tr t ụ t t ữ r ởt ự ữủ ữ r r sỷ f ởt t ữỡ ữỡ tr t õ f (x + y) = f (x) + f (y) ú ợ x, y R ứ õ sỷ t t ữỡ f t ữủ y f (x)dz yf (x) = y [f (x + z) f (z)]dz = x+y y f (u)du = x x+y f (z)dz f (u)du = y x f (u)du f (u)du tự tr t t t trỏ x y tứ õ s r yf (x) = xf (y) ợ x, y R õ ợ x = t ữủ f (x) = c, x ợ c ởt t ý s r f (x) = cx ợ x R \ {0} x = y = t ữủ f (0) = ữ f ởt t t tr R ũ ự ỵ ỗ t t ữ õ ổ q õ tự t s tr ởt ự s ú t ỡ ữỡ tr t t s rữớ ủ sỷ s + t tở [0, ) t m n +s + +t 2 = A (m + n) + s + t = (m + n)f + f (s + t ) 1 + nf + f (s ) + f (t ) = mf 2 1 = mf + f (s ) + nf + f (t ) 2 = A(s) + A(t) A(s + t) = A rữớ ủ sỷ s + t tở [ , 1) t s +t = t õ z 0, m n + s + + t = A (m + n) + s + t 2 1 A (m + n) + + z = A (m + n + 1) + z 2 1 (m + n + 1)f + f (z ) = (m + n)f +f + f (z ) 2 1 +f + z = (m + n)f + f (s + t ) (m + n)f 2 (m + n)f + f (s ) + f (t ) 1 + f (s ) + nf + f (t ) mf 2 m n A +s +A +t 2 A(s) + A(t) A(s + t) = A = = = = = = = +z A t tr R ởt số t r t ữ r ởt số t ữỡ tr t qt ởt số t t s ọ ữợ ữủ tr tứ t t t rs r r t tt số f : R R tọ f (x2 + y + f (y)) = 2y + f (x) ợ số tỹ x, y R t tt số f, g, h : R R s f (x + y) = f (x)g(y) + h(y) ợ số tỹ x, y R t ự r t f tr R+ ữợ tr tr ởt R+ õ f (x) = f (1)x ợ x R+ t tt số f : R+ R tọ 1 1 f (x + ) + f (y + ) = f (x + ) + f (y + ) x y y x ợ x, y R+ t tPtrsr số f : R R tọ f (f (x + y)) = f (x) + f (y) ợ số tỹ x, y R t tt số f, g : R R tọ f (x) + f (y) = g(x + y) t tt số f : N N tọ f (m2 + f (n)) = f (m)2 + n ợ số tỹ m, n N t tt sốf : R R tọ f (f (x) + yz) = x + f (y)f (z) ợ số tỹ x, y, z R t tt số f : R R s f (f (x)2 + y) = x2 + f (y) t r tt số f : R R tọ (f (x) f (y))f x+y xy = f (x) + f (y) ợ số tỹ x, y R x = y t tt số f : R R tọ f (x + y) + f (x)f (y) = f (x) + f (y) + f (xy) ợ số tỹ x, y R ữỡ ởt số ự ữỡ tr r t tr ởt ự ữỡ tr ữủ tr tứ t ỷ ữỡ tr t tờ ụ tứ k n số tỹ t ợ k = 1, 2, ự r số õ t tr số n tỷ õ t ữủ sỷ ữỡ tr t ỡ ỳ t sỷ ữỡ tr t t tờ ộ ỳ ụ tứ số t fk (n) = 1k + 2k + + nk ợ n số ữỡ k số ổ fk (n) ỵ tờ ụ tứ tự k n số tỹ t ổ tự fk (n) t út sỹ q t t tớ ỡ t tứ tớ s r õ ữỡ ữủ sỷ t tờ fk (n) r t s ữỡ tr t tờ fk (n) ợ k = 1, 2, ợ k tũ ỵ ú ỵ r fk : N N số tr õ k = 0, 1, 2, n số tỹ t f1 tọ f1 (m + n) = + + + + m + (m + 1) + + (m + n) = f1 (m) + (m + 1) + (m + 2) + + (m + n) = f1 (m) + f1 (n) + mn ợ m, n N t số g1 : N R g1 (x) = f1 (x) x2 ợ x N õ tứ t õ g1 (m + n) = g1 (m) + g1 (n), ợ m, n N ữỡ tr t tr N ữủ g1 (n) = cn, tr õ c ởt số ứ t õ f1 (n) = cn + n2 f1 (1) = t õ 1=c+ tr õ c=1 õ 1 = 2 n n2 f1 (n) = + 2 n(n + 1) = f1 (n) = + + + + n = n(n + 1) ữỡ n số tỹ t t f2 tọ f2 (m + n) = 12 + 22 + + m2 + (m + 1)2 + + (m + n)2 = f2 (m) + [12 + 22 + + n2 ] + 2m[1 + + + n] + m2 n = f2 (m) + f2 (n) + 2mf1 (n) + m2 n = f2 (m) + f2 (n) + mn2 + m2 n + mn ợ m, n N g2 : N R n2 n3 g2 (n) = f2 (n) , ợ n N ứ ữỡ tr t õ g2 (m + n) = g2 (m) + g2 (n) ợ m, n N r g2 (n) = cn n2 n3 + f2 (n) = cn + t ủ ợ f2 (1) = t õ 1=c+ 1 = c = r t õ tờ t n n2 n3 n + 3n2 + 2n3 n(n + 1)(2n + 1) f2 (n) = + + = = 6 ụ tứ k n số tỹ t ợ k tũ ỵ sỷ tr tự t tt q tr ỗ t fk ữ s fk (n + m) = 1k + 2k + + nk + (n + 1)k + + (n + m)k k k Cki ni 1ki = fk (n) + Cki ni mki + + i=0 k i=0 Cki ni [1ki + + mki ] = fk (n) + i=0 k Cki ni fki (m) = fk (n) + i=0 k Cki ni fki (m) ợ m, n, k N = fk (n) + fk (m) + i=1 õ t õ k Cki ni fki (m) ợ m, n, k N fk (m + n) fk (m) fk (n) = i=1 t ữủ ổ tự tr ỗ s t ởt trữớ ủ t ố ợ k ú ỵ r fk (1) = ợ k N f0 (m) = m ứ ổ tự t n = õ k Cki fki (m), fk (m + 1) fk (m) fk (1) = i=1 k Cki fki (m) ợ m N, k (m + 1) = i=1 ợ k = t ữủ m2 + 2m = 2f1 (m) + f0 (m) = 2f1 (m) + m f1 (m) = m(m + 1) ợ k = t ữủ m3 + 3m2 + 3m = 3f2 (m) + 3f1 (m) + f0 (m) 3m(m + 1) = 3f2 (m) + +m f2 (m) = m(m + 1)(2m + 1) rữớ ủ tờ qt ố ự ợ tữỡ ự m n õ t t ữủ k k Cki ni fki (m) Cki mi fki (n) ợ m, n N = i=1 i=1 t ợ m = sỷ fk (1) = t õ k k Cki ni fki (1) Cki ni fki (n), = i=1 i=1 k Cki fki (n) = (1 + n)k i=1 ứ õ t õ k Cki fki (n) ợ n N k kfk1 (n) = (1 + n) i=2 fk1 (n) = k i i i=2 Ck n fki (n) (1 + n)k k ợ k, n N ỷ f0 (n) = n t õ t ữủ fk n ợ k = tr t õ n2 + 2n f0 (n) n(n + 1) f1 (n) = = 2 ữỡ tỹ k = tr n3 + 3n2 + 3n 3f1 (n) f0 (n) f2 (n) = 3 n n + n + 2 = n(n + 1)(2n + 1) = ụ tứ số tr số ợ số ữỡ n, k N h R sk (n, h) = 1k + (1 + h)k + + (1 + (n 1)h)k ), tờ số tỹ k tr số ố ữ trữợ õ t ởt q tr t sk (m + n; h) = 1k + (1 + h)k + ã ã ã + (1 + (n 1)h)k +(1 + nh)k + ã ã ã + (1 + (m + n 1)h)k = sk (n; h) + (1 + nh)k + (1 + h + nh)k + ã ã ã +(1 + (m 1)h + nh)k k Cki ski (m; h)(nh)i ; = sk (n; h) + sk (m; h) + i=1 sk (n, h) tọ ữỡ tr k Cki ski (m; h)(nh)i ; sk (m + 1; h) sk (n; h) + sk (m; h) + i=1 ợ k N, h R, m, n = 1, 2, ú ỵ r s0 (n, h) = n, sk (1, h) = t s1 (n, h) s2 (n, h) t n = tr t t ữủ k Cki ski (m; h)(h)i sk (m + 1; h) sk (m; h) = sk (1; h) + i=1 õ k k Cki ski (m; h)(h)i (1 + mh) = + i=1 ợ m = 1, 2, , h R, k N ữỡ tỹ k = tr m2 h2 + 2mh = 2s1 (m; h)h + s0 (m; h)h2 ; õ s1 (m; h) = h h m + m2 2 k = tr t õ m3 h3 + 3m2 h2 + 3mh = 3s2 (m; h)h + 3s1 (m; h)h2 + s0 (m; h)h3 ; õ s2 (m; h) = h2 1h+ h h2 m+h m + m ố õ t rút r tứ n tỷ f2 (n) số õ t rút r tứ n tỷ t t ợ n m tữỡ ự õ số õ t rút r m + n tỷ số tr t A ợ số tr t B ợ ởt tứ ộ t õ t õ f2 (m + n) = f2 (m) + f2 (n) + mn õ ố g2 (m + n) = g2 (m) + g2 (n), tr õ õ n2 g2 (n) = f2 (n) n2 f2 (n) = cn + f2 (2) = 1, t õ = 2c + c= õ n(n 1) = Cn2 f3 (n) số õ t rút r tứ n tỷ õ t s ự r f3 (n) = Cn3 t t t ợ n m tữỡ ự f3 (m + n) s số t A ợ số t B ợ ởt số t ủ số ợ tỷ ộ t f2 (n) = f3 (m + n) = f3 (m) + f3 (n) + mf2 (n) + nf2 (m) = f3 (m) + f3 (n) + (mn2 + nm2 ) mn g3 : N R n3 n g3 (n) = f3 (n) + ợ n N, t õ g3 (m + n) = g3 (m) + g3 (n) õ f3 (n) = cn n2 n3 + f3 (3) = 1, t õ c= f3 (n) = n(n 1)(n 2) = Cn3 ộ ỳ S(n) = 1.2 + 2.3 + + n(n + 1) ợ n N, tr õ S : N N õ S(m + n) = S(n) + S(m) + mn2 + nm2 + 2mn õ f (m + n) = f (m) + f (n), tr õ n3 f (n) = S(n) n ợ n N f : N R õ f t f (n) = cn S(n) = cn + n2 + n3 õ S(1) = t õ S(n) = n(n + 1)(n + 2) t(n) = 1.3 + 2.5 + + n(n + 2) ợ n N, tr õ t : N N ú ỵ r t(1) = t(m + n) = t(n) + t(m) + mn2 + nm2 + 3nm ợ m, n N f : N R f (n) = t(n) n3 n2 ợ n N tr t tr tr t f (m + n) = f (m) + f (n) ợ m, n N õ f t f (n) = cn ợ n N t(1) = t õ t(n) = n(n + 1)(2n + 1) ợ n N t ộ t s(n) = 1.2.3 + 2.3.4 + + n(n + 1)(n + 2), ợ n N, ợ s : N N ú ỵ r s(1) = t m, n t õ s(n + m 1) = s(n 1) + n(n + 1)(n + 2) + {(n + 1)(n + 2)(n + 3) + ã ã ã + (n + m 1)(n + m)(n + m + 1)} = s(n 1) + (n3 + 3n2 + 2n) + (m 1)n3 +n2 (6 + ã ã ã + 3m) + ã ã ã + n{[1 ã + ã ã ã + (m 1)m] +[1 ã + ã ã ã + (m 1)(m + 1)] +[2 ã + m(m + 1)]} + s(m 1) = s(n 1) + s(m 1) + mn3 + 3n2 (1 + + ã ã ã + m) +n{[1 ã + ã ã ã + (m 1)m] +[1 ã + ã ã ã + (m 1)(m + 1)][1 ã + ã ã ã + m(m + 1)]} m(m + 1) = s(n 1) + s(m 1) + mn3 + 3n2 (m 1)m(m + 1) m(m 1)(2m + 5) +n +n + m(m 1)(2m + 5) (m 1)m(m + 1) +n n m(m + 1)(m + 2) +n sỷ tự 3 = s(n 1) + s(m 1) + mn3 + m2 n2 + m3 n 3 + n m + nm2 mn 2 ữ trữợ f : N R ữ s f (n) = s(n 1) n4 n + n ợ n N 4 f (m+n) = f (m)+f (n) t f (n) = cn ỷ s(1) = t õ s(n 1) = [n4 + 2n3 n2 2n]; s(n) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) ợ n N t Pữỡ tr ởt q tợ t ợ s ữỡ sỡ tổ t tr tr Pữỡ tr ự õ ỳ s r tự ữỡ tr t ữỡ tr ụ ữỡ tr rt ữỡ tr t ữỡ tr rở ữỡ tr r ữỡ tr õ tr t số tỹ số ự r tử õ t t tờ qt số ụ ổ q ữ tử ự ữỡ tr r ự ữỡ tr tr t tờ ụ tứ số tờ n số tỹ t tờ ữỡ n số tỹ t tờ ụ tứ k n số tỹ t t tờ ụ tứ số tr số t số õ t rút r tứ n tỷ ỹ ữủ ởt t ủ tờ ộ ỳ t t r ự ố tr t t ố Pữỡ tr Pỏ t t t ữợ ữỡ ố trs t qts r ts rstr t qts t rr P t s qt trs ts tr & t t PP P P trt t t qts & rssss tt t qts r ss rr t rs r r t qts tr t