Về phương trình hàm Jensen, tính ổn định và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về phương trình hàm Jensen, tính ổn định và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về phương trình hàm Jensen, tính ổn định và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về phương trình hàm Jensen, tính ổn định và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về phương trình hàm Jensen, tính ổn định và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về phương trình hàm Jensen, tính ổn định và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về phương trình hàm Jensen, tính ổn định và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về phương trình hàm Jensen, tính ổn định và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về phương trình hàm Jensen, tính ổn định và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về phương trình hàm Jensen, tính ổn định và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về phương trình hàm Jensen, tính ổn định và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về phương trình hàm Jensen, tính ổn định và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về phương trình hàm Jensen, tính ổn định và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về phương trình hàm Jensen, tính ổn định và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về phương trình hàm Jensen, tính ổn định và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về phương trình hàm Jensen, tính ổn định và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về phương trình hàm Jensen, tính ổn định và ứng dụng (LV thạc sĩ)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - HOÀNG THẾ ANH VỀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM JENSEN, TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - HOÀNG THẾ ANH VỀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM JENSEN, TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS TRẦN XUÂN QUÝ THÁI NGUYÊN - 2017 i Mục lục Bảng ký hiệu ii Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian định chuẩn hội tụ 1.2 Không gian Banach tiêu chuẩn hội tụ Cauchy 1.3 Hàm lồi, hàm cộng tính số kết 3 Chương Phương trình hàm Jensen tính ổn định 10 2.1 Phương trình hàm Jensen 10 2.1.1 Định nghĩa ví dụ 10 2.1.2 Một số phương trình hàm liên quan 15 2.1.3 Một số toán áp dụng 17 2.2 Tính ổn định phương trình hàm Jensen 19 2.2.1 Tính ổn định Hyers-Ulam-Rassias 20 2.2.2 Sự ổn định miền giới hạn 25 2.2.3 Phương pháp điểm bất động 32 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 ii Bảng ký hiệu N Q R R+ C R2 K KN X N RN (−c, c)N |u| u E1 E, E2 (JE) J J-lõm J-lồi tập hợp số tự nhiên tập hợp số hữu tỉ tập hợp số thực tập hợp số thực dương tập hợp số phức tập hợp cặp (x, y) số thực tập R tập C tập RN tập CN không gian định chuẩn không gian Banach số nguyên dương N tập hợp số thực (x1 , , xN ) tập hợp số (x1 , , xN ) khoảng (−c, c) giá trị tuyệt đối số thực u module số phức u chuẩn u không gian định chuẩn thực không gian Bannach thực phương trình hàm Jensen hàm Jensen hàm Jensen lõm hàm Jensen lồi Mở đầu Phương trình hàm nhánh Toán học đại, từ năm 1747 đến 1750 nhà toán học J D’Alembert công bố báo liên quan phương trình hàm, xem kết phương trình hàm Nhiều nhà toán học (tiêu biểu: N.H Abel, J Bolyai, A.L Cauchy, J D’Alembert, L Euler, M Fréchet, C.F Gauss, J.L.W.V Jensen, A.N Kolmogorov, N.I Lobacevskii, J.V Pexider, S.D Poisson) tiếp cận phương trình hàm theo mục tiêu nghiên cứu khác nhau, nghiên cứu định tính (xác định số đặc trưng hàm số) nghiên cứu định lượng (ước lượng nghiệm, số nghiệm hay dạng cụ thể nghiệm), nghiên cứu nghiệm địa phương nghiệm toàn cục, nghiên cứu nghiệm liên tục hay nghiệm có tính gián đoạn, Dựa vào phương pháp tiếp cận đó, luận văn hoàn thành với tên đề tài là: Về phương trình hàm Jensen, tính ổn định ứng dụng Nội dung luận văn trình bày số kiến thức phương trình hàm Jensen, tính ổn định ứng dụng Các kết trích dẫn từ tài liệu tham khảo [1] số tài liệu liên quan Ngoài mục lục, lời nói đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung luận văn trình bày chương Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương luận văn trình bày số kiến thức không gian định chuẩn hội tụ, không gian Banach tiêu chuẩn hội tụ Cauchy, hàm lồi, hàm cộng tính số kết Chương Phương trình hàm Jensen tính ổn định Ở chương luận văn trình bày phương trình hàm Jensen, cách tìm nghiệm phương trình hàm Jensen xác định trường số thực nghiệm liên tục affine Sau đó, nghiên cứu nghiệm liên tục phương trình hàm Jensen khoảng đóng bị chặn Tiếp theo, nghiên cứu nghiệm phương trình hàm kiểu Jensen liên hệ từ bất đẳng thức Popoviciu số tập áp dụng Và cuối cùng, luận văn trình bày tính ổn định phương trình hàm Jensen có tính ổn định Hyers-UlamRassias, ổn định miền giới hạn phương pháp điểm bất động Luận văn thực trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Tôi xin gửi cảm ơn Ban Giám hiệu, Khoa Toán Tin Phòng Đào tạo trường Trân trọng cảm ơn Thầy, Cô tận tình truyền đạt kiến thức quý báu tạo điều kiện thuận lợi trình học tập Đặc biệt, xin gửi lời biết ơn chân thành đến TS Trần Xuân Quý, người Thầy hướng dẫn hoàn thành luận văn Mặc dù bận rộn công việc Thầy dành nhiều thời gian tâm huyết việc hướng dẫn, động viên khuyến khích suốt thời gian thực đề tài Cuối cùng, xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, bạn bè, đồng nghiệp, người không ngừng động viên, hỗ trợ tạo điều kiện tốt cho suốt trình học tập thực luận văn Thái Nguyên, ngày 05 tháng năm 2017 Tác giả luận văn Học viên Hoàng Thế Anh Chương Một số kiến thức chuẩn bị Với mục tiêu tìm hiểu phương trình hàm Jensen, tính ổn định ứng dụng, chương luận văn trình bày số kiến thức không gian định chuẩn hội tụ, không gian Banach tiêu chuẩn hội tụ Cauchy, hàm lồi, hàm cộng tính số kết 1.1 Không gian định chuẩn hội tụ Đặt K := R K := C Định nghĩa 1.1.1 Cho X không gian véc tơ trường K Khi đó, X gọi không gian định chuẩn K tồn chuẩn · X, nghĩa với u, v ∈ X α ∈ K, ta có khẳng định sau: (i) u ≥ (tức u số thực không âm); (ii) u = u = 0; (iii) αu = |α| u ; (iv) u + v = u + v Không gian định chuẩn tương ứng K = R K = C gọi không gian định chuẩn thực phức Số u − v gọi khoảng cách điểm u v Đặc biệt, u khoảng cách điểm u điểm gốc v = Vì −u = (−1)u, nên từ (iii) định nghĩa ta có −u = u với u ∈ X Từ (iv) ta có (u + v) − w ≤ u + v + w ≤ u + v + w N N Tổng quát, quy nạp ta có uj j=1 ≤ uj với j=1 u1 , , uN ∈ X, N = 1, 2, Ví dụ 1.1.2 Cho X := R Ta đặt u := |u| với u ∈ R, với |u| giá trị tuyệt đối u Khi đó, X = R gọi không gian định chuẩn thực Ví dụ 1.1.3 Cho X := C Ta đặt u := |u| với u ∈ C, với |u| module số phức u Khi đó, X gọi không gian định chuẩn phức Mệnh đề 1.1.4 Cho X không gian định chuẩn Khi đó, với u, v ∈ X, ta có bất đẳng thức sau | u − v |≤ u±v ≤ u + v Định nghĩa 1.1.5 Cho (un ) dãy không gian định chuẩn X, tức là, un ∈ X với n Ký hiệu lim un = u n→∞ lim un − u = n→∞ Ta nói giới hạn dãy (un ) hội tụ u Ta ký hiệu un → u n → ∞ Mệnh đề 1.1.6 Cho X không gian định chuẩn K Cho un , , u, v ∈ X αn , α ∈ K với n = 1, 2, Khi ta có khẳng định sau (i) Nếu tồn giới hạn lim un , giới hạn n→∞ (ii) Nếu un → u n → ∞, (un ) bị chặn, nghĩa tồn số r ≥ thỏa mãn un ≤ r với n (iii) Nếu un → u n → ∞, un → u n → ∞ (iv) Nếu un → u → v n → ∞ un + → u + v n → ∞ (v) Nếu un → u αn → α n → ∞ αn un → αu n → ∞ Định nghĩa 1.1.7 Dãy (un ) không gian định chuẩn X gọi dãy Cauchy với ε > 0, tồn số n0 (ε) thỏa mãn un − um < ε với n, m ≥ n0 (ε) Mệnh đề 1.1.8 Trong không gian định chuẩn, dãy hội tụ dãy Cauchy 1.2 Không gian Banach tiêu chuẩn hội tụ Cauchy Định nghĩa 1.2.1 Không gian định chuẩn X gọi không gian Banach dãy Cauchy hội tụ Ví dụ 1.2.2 Không gian X := K không gian Banach K với chuẩn u := |u| với u ∈ K Ví dụ 1.2.3 Với N = 1, 2, Không gian X := KN không gian Banach K với chuẩn x := |x|∞ , |x|∞ := max |ξj | , 1≤j≤N với x = (ξ1, , ξN ) Xét xn = (ξ1n, , ξN n ) Khi lim |xn − x|∞ = lim ξkn = ξk với k = 1, , N n→∞ n→∞ Ví dụ 1.2.4 Với N = 1, 2, Không gian X := KN không gian Banach với chuẩn Euclide · , với N 21 ξj2 , x := j=1 x = (ξ1, , ξN ) Ngoài lim |xn − x| = lim ξkn = ξk với k = 1, , N n→∞ n→∞ Ví dụ 1.2.5 Với −∞ < a < b < +∞ Khi đó, X := C[a, b] không gian Banach với chuẩn u := max |u(x)| a≤x≤b Sự hội tụ un → x n → ∞ X, hay hiểu un − u = max |un (x) − u(x)| → a≤x≤b n → ∞ Mệnh đề 1.2.6 Cho (un ) dãy Cauchy không gian định chuẩn X Dãy (un ) chứa dãy (unk ) hội tụ tới u Khi dãy (un ) hội tụ tới u 24 Chứng minh Theo giả thiết hàm f hàm số liên tục, hàm số lẻ hàm lồi (0, ∞) Cho x y hai số dương Vì f hàm lồi (0, ∞) nên từ x+y |f (x + y) − f (x) − f (y)| ≤ f (x + y) − 2f (a) ta có + 2x + 2y |f (x + y) − f (x) − f (y)| ≤ (x + y)log2 < |x| + |y| 2+x+y (b) với x, y > Do f hàm lẻ, (b) với x, y < Vì (b) với x = 0, y = 0, x + y = 0, Ta xét trường hợp lại x > y < Không tính tổng quát, giả sử |x| > |y| Bởi tính lẻ lồi f từ (a) ta có |f (x + y) − f (x) − f (y)| = |f (x) − f (x + y) − f (−y)| ≤ f (x) − 2f (x/2) 2x + = xlog2 x+2 < |x| + |y| , Vì x + y, −y > Do đó, bất phương trình (b) với x, y ∈ R Bằng cách x/2 x y/2 y (b), nhân vế với ta x+y 2f ( ) − 2f (x/2) − 2f (y/2) ≤ |x| + |y| (c) với x, y ∈ R Xét x = y (c) ta được: |f (x) − 2f (x/2)| ≤ |x| (d) với x ∈ R Áp dụng (c) ta x+y 2f ( ) − 2f (x/2) − 2f (y/2) x+y = 2f ( ) − f (x) − f (y) + f (x) − 2f (x/2) + f (y) − 2f (y/2) ≤ |x| + |y| 25 với x, y ∈ R Từ kết hợp với (d) ta suy (2.22) Ta biết hàm cộng tính A : R −→ R liên tục điểm A(x) = cx c số thực Hiển nhiên |f (x) − cx| / |x| → ∞ x → ∞ với số thực c tập ảnh |f (x) − A(x)| / |x| với x = không bị chặn với hàm cộng tính A : R −→ R không liên tục đồ thị hàm A trù mật R2 2.2.2 Sự ổn định miền giới hạn Bổ đề 2.2.4 Cho E không gian Banach thực N số nguyên dương cho trước Xét c > 0, f : (−c, c)N → E hàm thỏa mãn 2f x+y − f (x) − f (y) ≤ δ với δ ≥ x, y ∈ (−c, c)N với (1/2)(x, y) ∈ (−c, c)N Khi đó, tồn hàm Jensen J : RN → E thỏa mãn f (x) − J(x) ≤ (25N − 4)δ với x ∈ (−c, c)N tùy ý Chứng minh Xét hàm f1 : (−c, c)N → E với f1 (x) = f (x)−f (0) Ta có, f1 thỏa mãn bất đẳng thức 2f1 x+y − f1 (x) − f1 (y) ≤ δ với (x, y) ∈ (−c, c)N (1/2)(x + y) ∈ (−c, c)N Đặt An = (−2−n+1 c, 2−n+1 c)N \(−2−n c, 2−n c)N với n ∈ N Ta xét hàm g : (−c, c)N → E cho g(x) = 2−n+1 f1 (2n−1 x) (a) 26 với x ∈ An n ∈ N Vì f1 (0) = 0, thay y = vào (a) ta 2f1 (x/2) − f1 (x) ≤ δ Từ bất đẳng thức này, thay x x/2, ta 22 f1 (2−2 x) − 2f1 (x/2) ≤ 2δ Tương tự, ta có 2k f1 (2−k x) − 2k−1 f1 (2−k+1 x) ≤ 2k−1 δ (b) với x ∈ (−c, c)N k ∈ N Vì vậy, sử dụng bất đẳng thức tam giác tổng bất đẳng thức (b) tương ứng với k ∈ {1, , n − 1}, ta có 2n−1 f1 (2−n+1 x) − f1 (x) ≤ (2n−1 − 1)δ Thay x 2n−1 x chia kết bất đẳng thức cho 2n−1 ta f1 (x) − g(x) ≤ δ (c) với x ∈ An Hơn nữa, ta có g(x) = 2g(x/2) với x ∈ (−c, c)N Thật vậy, kết hợp với (a),(c), ta suy x+y ||g(x + y) − g(x) − g(y)|| = 2g − g(x) − g(y) x+y x+y ≤ 2g − f1 + f1 (x) − g(x) 2 x+y + f1 (y) − g(y) + 2f1 − f1 (x) − f1 (y) ≤ 5δ, với x, y ∈ (−c, c)N thỏa mãn (1/2)(x + y) ∈ (−c, c)N Theo Bổ đề 1.3.3, tồn hàm cộng tính A : RN → E thỏa mãn g(x) − A(x) ≤ (5N − 1)5δ (d) 27 với x ∈ (−c, c)N Xét hàm J : RN → E cho J(x) = A(x) + f (0) Khi đó, J hàm Jensen Từ (c) (d), ta có f (x) − J(x) = f1 (x) − A(x) ≤ f1 (x) − g(x) = g(x) − A(x) ≤ (25N − 4)δ với x ∈ (−c, c)N Sử dụng Bổ đề 2.2.4, Kominek chứng minh kết tổng quát tính ổn định Hyers-Ulam phương trình Jensen miền giới hạn Định lý 2.2.5 [Kominek] Cho E không gian Banach thực N số nguyên dương Cho D1 tập bị chặn RN Giả sử tồn x0 điểm D1 cho tập D = D1 − x0 thỏa mãn điều kiện sau: (i) (1/2)D ⊂ D, (ii) (−c, c)N ⊂ D với c > 0, (iii) D ⊂ (−2n c, 2n c)N với n số nguyên không âm Nếu hàm f : D1 → E thỏa mãn bất đẳng thức 2f ( x+y ) − f (x) − f (y) ≤ δ cho vài δ ≥ cho x, y ∈ D1 với (1/2)(x + y) ∈ D1 , tồn hàm Jensen J : RN → E cho f (x) − J(x) ≤ (2n (25N − 3) − 1)δ với x ∈ D1 Chứng minh Nếu ta xét hàm f0 : D → E cho f0 (x) = f (x + x0 ) với x ∈ D, f0 thỏa mãn bất đẳng thức 2f0 ( x+y ) − f0 (x) − f0 (y) ≤ δ 28 với x, y ∈ D với (1/2)(x + y) ∈ D Tương tự, chứng minh Bổ đề 2.2.4, ta xét hàm f1 g sau f1 (x) = f0 (x) − f0 (0) với x ∈ D g(x) = 2−k+1 f1 (2k−1 x) với x ∈ Ak (k ∈ N), Ak = (−2−k+1 c, 2−k+1 c)N \ (−2−k c, 2−k c)N Ta có f1 (x) − 2n f1 (2−n x) ≤ (2n − 1)δ (a) với x ∈ D, f1 (x) − g(x) ≤ δ (b) với x ∈ (−c, c)N Xét A : RN −→ E hàm tuyến tính cho g(x) − A(x) ≤ (5N − 1)5δ (c) với x ∈ (−c, c)N (như (d) chứng minh Bổ đề 2.2.4) Xét x ∈ D, từ (a), (b), (c), ta f1 (x) − A(x) ≤ f1 (x) − 2n f1 (2−n x) +2n ≤ f1 (x) − 2n f1 (2−n x) +2n + 2n g(2−n x) − A(2−n x) ≤ (2n (25N − 3) − 1)δ f1 (2−n x) − A(2−n x) f1 (2−n x) − g(2−n x) Tiếp theo, ta đặt J(x) = A(x − x0 ) + f0 (0) với x ∈ RN Khi đó, J hàm Jensen Ta thu f (x) − J(x) = f0 (x − x0 ) − A(x − x0 ) − f0 (0) = f1 (x − x0 ) − A(x − x0 ) ≤ (2n (25N − 3) − 1)δ 29 với x ∈ D1 Xét tập D mở, lồi RN Hàm f : D → R gọi J-lồi, thỏa mãn bất đẳng thức 2f x+y ≤ f (x) + f (y) với x, y ∈ D Nếu dấu bất đẳng thức ” ≤ ” thay ” ≥ ” bất đẳng thức trên, f gọi hàm J- lõm Ta nói tập T RN thuộc vào lớp A hàm J-lồi xác định tập mở lồi D ⊃ T bị chặn T liên tục D Kết đưa Kominek sau: Định lý 2.2.6 Cho D tập mở,lồi RN cho T ⊂ D thuộc lớp A Nếu f : D → R hàm J-lồi g : D → R hàm J-lõm và, f (x) ≤ g(x) với x ∈ T , tồn hàm cộng tính A : RN → R, hàm lồi F : D → R hàm lõm G : D → R thỏa mãn f (x) = A(x) + F (x) g(x) = A(x) + G(x) với x ∈ D Chứng minh Đặt ϕ(x) = f (x) − g(x) với x ∈ D Rõ ràng ϕ hàm J-lồi bị chặn T Vì vậy, ϕ liên tục D Xét D1 tập mở, lồi bị chặn D, tức tồn số M > cho | ϕ(x) |≤ M (a) 30 với x ∈ D1 Từ định nghĩa ϕ, tính J-lõm g, tính J-lồi f , (a) suy x+y − g(x) − g(y) x+y x+y = 2f − f (x) − f (y) − 2ϕ − ϕ(x) − ϕ(y) 2 ≤ 4M ≤ 2g với x, y ∈ D1 Đặc biệt, | 2g x+y − g(x) − g(y) |≤ 4M với x, y ∈ D1 Theo Định lí 2.2.5 tồn hàm Jensen J : RN → R, số nguyên không âm n thỏa mãn |g(x) − J(x)| ≤ (2n (25N − 3) − 1)4M (b) với x ∈ D1 Tiếp theo, ta xét hàm A, F, G sau A(x) = J(x) − J(0), (x ∈ RN ), G(x) = g(x) − A(x), (x ∈ D), F (x) = ϕ(x) + G(x), (x ∈ D) Khi A hàm cộng tính Theo (b), hàm G hàm J-lõm, bị chặn D1 , hàm lõm D Hàm F hàm lồi liên tục J-lồi Hơn nữa, f (x) = A(x) + F (x) g(x) = A(x) + G(x) x ∈ D S.-M.Jung chứng minh tính ổn định phương trình hàm Jensen miền bị giới hạn không bị chặn, áp dụng kết để nghiên cứu hình dáng đường tiệm cận hàm cộng tính 31 Định lý 2.2.7 (Jung) Cho E1 E2 tương ứng không gian định chuẩn thực không gian Banach thực Giả sử cho d > δ ≥ Nếu hàm f : E1 → E2 thỏa mãn bất đẳng thức 2f x+y − f (x) − f (y) ≤ δ (2.23) với x, y ∈ E1 x + y ≥ d, tồn hàm cộng tính A : E1 → E2 cho f (x) − A(x) ≤ 5δ + f (0) (2.24) với x ∈ E1 Chứng minh Giả sử x + y < d Nếu x = y = 0, chọn z ∈ E1 cho z = d Ngược lại, xét z = (1+d/ x )x với x ≥ y z = (1 + d/ y )y với x < y Khi x − z + y + z ≥ d, 2z + x − z ≥ d, y + 2z ≥ d, (a) y + z + z ≥ d, x + z ≥ d Từ (2.23), (a), x+y 2f − f (x) − f (y) x+y = 2f − f (x − z) − f (y + z) x+z y + 2z − f (2z) − f (x − z) +2f −f (y)−f (2z) − 2f 2 y + 2z x+z − 2f − f (y + z) − f (z) +2f −f (x)−f (z), 2 ta có x+y − f (x) − f (y) ≤ 5δ (b) Từ (2.23) (b), hàm f thỏa mãn bất đẳng thức (b) với x, y ∈ E1 Do đó, từ (b) Định lý (2.20) suy tồn hàm 2f 32 cộng tính A : E1 → E2 thỏa mãn bất đẳng thức (2.24) với x ∈ E1 Từ kết Định lý 2.2.7, Jung chứng minh dáng điệu tiệm cận hàm cộng tính Hệ 2.2.8 Giả sử hàm f : E1 → E2 thỏa mãn điều kiện f (0) = E1 E2 tương ứng không gian định chuẩn thực không gian Banach thực Hàm f cộng tính x+y 2f − f (x) − f (y) → x + y → ∞ (2.25) Chứng minh Từ (2.25), tồn tạo dãy đơn điệu {δn } giảm tới cho x+y 2f − f (x) − f (y) ≤ δn (a) với x, y ∈ E1 thỏa mãn x + y ≥ n Theo (a) Định lý 2.2.7 tồn hàm cộng tính An : E1 → E2 cho f (x) − An x ≤ 5δn (b) với x ∈ E1 Xét l, m ∈ N cho m ≥ n Từ (b) f (x) − Am x ≤ 5δm ≤ 5δl với x ∈ E1 , {δn } dãy đơn điệu giảm Từ tính An suy Am = Al Do đó, cho n → ∞ (b), suy f hàm cộng tính Khẳng định ngược lại hiển nhiên 2.2.3 Phương pháp điểm bất động Sử dụng phương pháp điểm bất động (Định lý 1.3.4) L Cădariu Radu chứng minh tính ổn định Hyers-Ulam-Rasias phương trình hàm Jensen Kết trích dẫn từ tài liệu [10] 33 Định lý 2.2.9 (Cădariu Radu) Cho E1 E2 tương ứng không gian véctơ không gian Banach (thực phức) Giả sử hàm f : E1 → E2 thỏa mãn f (0) = bất đẳng thức 2f x+y − f (x) − f (y) ≤ ϕ(x, y) (2.26) với x, y ∈ E1 , ϕ : E12 → [0, ∞) hàm số cho trước Hơn nữa, giả sử tồn số dương L < thỏa mãn ϕ(x, 0) ≤ Lqi ϕ(x/qi , 0) (2.27) với x ∈ E1 q0 = q1 = 1/2 Nếu ϕ thỏa mãn lim qi−n ϕ(qin x, qin y) = n→∞ (2.28) với x, y ∈ E1 , tồn hàm cộng tính A : E1 → E2 cho L1−i f (x) − A(x) ≤ ϕ(x, 0) 1−L với x ∈ E1 Chứng minh Trước hết ta xét tập hợp X = {g : E1 → E2 | g(0) = 0} metric d xác định X sau: d(g, h) = inf{C ∈ [0, ∞] : g(x) − h(x) ≤ Cϕ(x, 0) với x ∈ E1 Khi đó, (X, d) không gian metric đầy đủ Tiếp theo ta xét toán tử Λ : X → X xác định (Λg)(x) = (1/qi )g(qi x) Với g, h ∈ X, d(g, h) ≤ C suy g(x) − h(x) ≤ Cϕ(x, 0) (2.29) 34 hay (1/qi )g(qi x) − (1/qi )h(qi x) ≤ (1/qi )Cϕ(qi x, 0) với x ∈ E1 Theo (2.27) ta có (1/qi )g(qi x) − (1/qi )h(qi x) ≤ LCϕ(x, 0) với x ∈ E1 Nghĩa là, d(g, h) ≤ C, ta có d(Λg, Λh) ≤ LC Vì vậy, ta thu d(Λg, Λh) ≤ Ld(g, h) với g, h ∈ X Thật vậy, Λ toán tử co X với số Lipschitz L Giả sử i = Nếu đặt x = 2t y = (2.26), thi theo (2.27) ta có f (t) − (1/2)f (2t) ≤ (1/2)ϕ(2t, 0) ≤ Lϕ(t, 0) với t ∈ E1 , nghĩa , d(f, Λf ) ≤ L = L1 < ∞ Với i = 1, đặt y = (2.26) thu 2f (x/2) − f (x) ≤ ϕ(x, 0) với x ∈ E1 Vì vậy, d(f, Λf ) ≤ = L0 < ∞ Cả hai trường hợp ứng dụng Định lý 1.3.4 tồn hàm A : E1 → E2 với A(0) = cho A(2x) = 2A(x) (a) với x ∈ E1 A hàm thỏa mãn (a) tập X ∗ = {f ∈ X | d(f, g) < ∞}, nghĩa là, tồn số C > cho A(x) − f (x) ≤ Cϕ(x, 0) (b) Với x ∈ E1 Ngoài ra, theo Định lý 1.3.4(i), ta có d(Λn f, A) → n → ∞ nghĩa A(x) = lim q −n f (qin x) (c) n→∞ 35 với x ∈ E1 Cũng từ Định lý 1.3.4(iii) thu L1−i d(f, A) ≤ d(f, Λf ) d(f, A) ≤ , 1−L 1−L điều suy (2.29) Nếu ta tương ứng đổi x y (2.26) với 2qin x 2qin y thu qi−n f (qin (x + y)) − (1/2)qi−n f (2qin x)(1/2)qi−n f (2qin y) ≤ (1/2)qi−n ϕ(2qin x, 2qin y) với x, y ∈ E1 Từ (2.28), cho n → ∞ bất đẳng thức cuối cùng, ta thu A(x + y) = A(x) + A(y) với x, y ∈ E1 36 Kết luận Luận văn trình bày phương trình hàm Jensen, tính ổn định ứng dụng Cụ thể luận văn, tác giả trình bày vấn đề sau: • Trình bày số kiến thức không gian định chuẩn hội tụ, không gian Banach tiêu chuẩn hội tụ Cauchy cuối hàm lồi, hàm cộng tính số kết • Trình bày phương trình hàm Jensen Tìm nghiệm phương trình hàm Jensen xác định trường số thực nghiệm liên tục affine Nghiên cứu nghiệm liên tục phương trình hàm Jensen khoảng đóng bị chặn Nghiên cứu nghiệm phương trình hàm kiểu Jensen liên hệ từ bất đẳng thức Popoviciu số tập áp dụng • Trình bày tính ổn định phương trình hàm Jensen có tính ổn định Hyers-Ulam-Rassias, ổn định miền giới hạn phương pháp điểm bất động 37 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Văn Mậu (1997), Phương trình hàm, NXB Giáo dục [2] Nguyễn Văn Nho, Lê Hoành Phò (2013), Tuyển tập Olympic toán học nước Châu Á- Thái Bình Dương, NXB Đại học Quốc gia HN [3] Vũ Dương Thụy, Nguyễn Văn Nho (2001), Tuyển tập 40 năm Olympic Toán học quốc tế, NXB Giáo dục Tiếng Anh [4] J Aczél (1966), Lectures on Functional Equations and their applications [5] Christopher G Small (2007), Functional Equations and How to solve them, Springer [6] P K Sahoo, P Kannappan (2011), Introduction to Functional Equations, Chapman & Hall/CRC [7] S M Jung (2010), Hyers–Ulam–Rassias Stability of Functional Equations in Nonlinear Analysis, Springer [8] S M Jung, B Kim (2003), Local stability of the additive functional equation and its applications, IJMMS, Issue 1, pp 15–26 38 [9] Titu Andreescu, Iurie Boreico (2007), Functional Equations, Electronic Edition [10] Liviu Cadariu, Viorel Radu (2003), "Fixed points and the stability of Jensen’s Functional Equation", J Inequal Pure and Appl Math., 4(1) Art [11] S M Jung (1998), "Hyers-Ulam-Rassias stability of Jensen’s equation and its application", Proc Amer Math Soc , 126(11) , pp.3137–3143 [12] J C Parnami and H L Vasudeva (1992), "On Jensen’s functional equation", Aequationes Math 43, pp.211–218 ... phương trình hàm Jensen Có nhiều biến thể phương trình hàm Cauchy cộng tính, ví dụ phương trình Cauchy cộng tính dạng tổng quát, phương trình Hosszú, phương trình nhất, phương trình hàm tuyến tính, ... nhiên, phương trình hàm Jensen phương trình đơn giản quan trọng số Những vấn đề tính ổn định Hyers-Ulam-Rassias phương trình Jensen chứng minh mục 2.2.1 đây, vấn đề tính ổn định Hyers-Ulam phương trình. .. tính ổn định phương trình hàm Jensen cụ thể tính ổn định Hyers-Ulam-Rassias, ổn định miền giới hạn phương pháp điểm bất động Các kết trích dẫn từ tài liệu [7, 10, 11] 2.1 2.1.1 Phương trình hàm