Phương pháp xấp xỉ đạo hàm với độ chính xác bậc cao và ứng dụng (LV thạc sĩ)

Phương pháp xấp xỉ đạo hàm với độ chính xác bậc cao và ứng dụng (LV thạc sĩ)Phương pháp xấp xỉ đạo hàm với độ chính xác bậc cao và ứng dụng (LV thạc sĩ)Phương pháp xấp xỉ đạo hàm với độ chính xác bậc cao và ứng dụng (LV thạc sĩ)Phương pháp xấp xỉ đạo hàm với độ chính xác bậc cao và ứng dụng (LV thạc sĩ)Phương pháp xấp xỉ đạo hàm với độ chính xác bậc cao và ứng dụng (LV thạc sĩ)Phương pháp xấp xỉ đạo hàm với độ chính xác bậc cao và ứng dụng (LV thạc sĩ)Phương pháp xấp xỉ đạo hàm với độ chính xác bậc cao và ứng dụng (LV thạc sĩ)Phương pháp xấp xỉ đạo hàm với độ chính xác bậc cao và ứng dụng (LV thạc sĩ)Phương pháp xấp xỉ đạo hàm với độ chính xác bậc cao và ứng dụng (LV thạc sĩ)Phương pháp xấp xỉ đạo hàm với độ chính xác bậc cao và ứng dụng (LV thạc sĩ)Phương pháp xấp xỉ đạo hàm với độ chính xác bậc cao và ứng dụng (LV thạc sĩ)Phương pháp xấp xỉ đạo hàm với độ chính xác bậc cao và ứng dụng (LV thạc sĩ)Phương pháp xấp xỉ đạo hàm với độ chính xác bậc cao và ứng dụng (LV thạc sĩ)Phương pháp xấp xỉ đạo hàm với độ chính xác bậc cao và ứng dụng (LV thạc sĩ)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - -

LƯƠNG THỊ THANH GIANG

PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ ĐẠO HÀM VỚI ĐỘ CHÍNH XÁC BẬC CAO VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2017

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - -

LƯƠNG THỊ THANH GIANG

PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ ĐẠO HÀM VỚI ĐỘ CHÍNH XÁC BẬC CAO VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 60.46.01.12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS VŨ VINH QUANG

THÁI NGUYÊN - 2017

Mục lục

1.1 Công thức khai triển Taylor 5

1.2 Nội suy và xấp xỉ hàm số 6

1.2.1 Bài toán xấp xỉ hàm số tổng quát 6

1.2.2 Bài toán nội suy hàm số 6

1.2.3 Lý thuyết về đa thức nội suy 7

1.2.4 Đa thức nội suy Lagrange 8

1.2.5 Chọn mốc nội suy tối ưu 11

1.2.6 Sai phân và các tính chất 13

1.2.7 Một số quy tắc nội suy hàm số trên lưới đều 14

1.2.8 Nội suy hàm số trên lưới không đều 20

1.2.9 Bài toán nội suy ngược 24

1.2.10 Lý thuyết về hàm ghép trơn Spline 25

2 Một số phương pháp xấp xỉ đạo hàm với độ chính xác bậc cao 29 2.1 Trường hợp lưới đều sử dụng đa thức nội suy 29

2.1.1 Mô tả phương pháp tổng quát 29

2.1.2 Một số kết quả trong trường hợp lưới 5 điểm 31

2.2 Phương pháp xấp xỉ đạo hàm trong trường hợp lưới không đều dựa trên thuật toán đại số 36

vi phân cấp cao 423.1 Hệ truy đuổi 3 đường chéo 423.2 Thuật toán số giải bài toán biên tuyến tính cấp 2 443.2.1 Thuật toán thông thường 443.2.2 Thuật toán sai phân với độ chính xác bậc cao 453.3 Thuật toán số giải phương trình vi phân phi tuyến cấp cao 493.3.1 Phương trình phi tuyến cấp 4 493.3.2 Phương trình phi tuyến cấp 6 52

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy tôi TS Vũ Vinh Quang,người đã trực tiếp hướng dẫn luận văn, đã tận tình chỉ bảo và hướng dẫntôi tìm ra hướng nghiên cứu, tìm kiếm tài liệu, giải quyết vấn đề nhờ đótôi mới có thể hoàn thành luận văn cao học của mình Từ tận đáy lòng,tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới Thầy của tôi vàtôi sẽ cố gắng hơn nữa để xứng đáng với công lao của Thầy

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Đào tạo trường Đạihọc Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ tôi trongsuốt thời gian học tập tại trường Tôi xin cảm ơn quý thầy cô Khoa Toán

Tin và đặc biệt là PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy, trưởng Khoa Toán Tin, đã luôn quan tâm, động viên, trao đổi và đóng góp những ý kiến quýbáu trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luân văn.Cuối cùng, tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới những người thântrong gia đình, đặc biệt là bố mẹ - những người luôn động viên, chia sẽmọi khó khăn cùng tôi trong suốt thời gian qua và đặc biệt là trong thờigian tôi theo học khóa thạc sỹ tại trường Đại học Khoa học - Đại học TháiNguyên

-Thái Nguyên, ngày 27 tháng 6 năm 2017

Tác giả luận văn

Lương Thị Thanh Giang

Danh sách bảng

3.1 Một số kết quả kiểm tra sai số đối với thuật toán 48

3.2 Một số kết quả so sánh với nghiệm đúng 51

3.3 Một số kết quả so sánh với nghiệm đúng 51

3.4 Một số kết quả so sánh với nghiệm đúng 52

3.5 Hàm nghiệm đúng 55

3.6 Hàm nghiệm đúng 55

3.7 Hàm nghiệm đúng 56

Mở đầu

Khi nghiên cứu về các bài toán thực tế trong các môi trường liên tụcthì đại đa số các bài, qua mô hình hóa toán học đều đưa đến các dạngbài toán biên đối với phương trình vi phân đối với hàm một biến số hoặcphương trình đạo hàm riêng đối với hàm nhiều biến số Đối với các bàitoán này, việc nghiên cứu về sự tồn tại duy nhất nghiệm đã được toánhọc lý thuyết giải quyết đối với từng mô hình chi tiết Đối với toán họcứng dụng, người ta thường quan tâm đến vấn đề xác định nghiệm của cácdạng bài toán cụ thể đối với từng mô hình Có thể thấy rằng việc xác địnhnghiệm chính xác của các bài toán biên thông qua các phương pháp giảitích chỉ có thể thực hiện được đối với một số bài toán dạng rất đơn giản(vế phải, điều kiện biên, ) còn đại đa số các bài toán phức tạp chỉ có thểtìm được nghiệm xấp xỉ của nó

Tư tưởng chính của các phương pháp xấp xỉ là chuyển miền xác địnhđối với các biến số độc lập của phương trình trong không gian vô hạn chiều

về miền trong không gian hữu hạn chiều được cấu trúc bởi một số hữuhạn điểm, từ đó tìm cách xấp xỉ các hàm số cùng các đạo hàm tương ứngvới các bài toán để chuyển các phương trình vi phân hoặc phương trìnhđạo hàm riêng cùng các hệ điều kiện biên tương ứng về các hệ phươngtrình đại số tuyến tính Từ đó xây dựng các thuật toán giải hệ đại số đểthu được nghiệm xấp xỉ của bài toán Một trong các phương pháp truyềnthống hiện nay là phương pháp lưới

Đối với phương pháp lưới, người ta thường quan tâm đến 2 vấn đề quantrọng:

1 Độ chính xác của phương pháp hay là sai số mắc phải trong quá trìnhxấp xỉ hàm và đạo hàm

2 Độ phức tạp của thuật toán giải các hệ đại số tuyến tính

Xuất phát từ thực tế đó, mục tiêu nghiên cứu chính của luận văn làtìm hiểu về cơ sở của một số phương pháp xấp xỉ hàm và đạo hàm với độchính xác bậc cao dựa trên khai triển Taylor và đa thức nội suy, từ đó ápdụng vào việc xây dựng các thuật toán giải số đối với một số bài toán biêncho phương trình vi phân với độ chính xác bậc cao và kiểm tra các thuậttoán trên máy tính điện tử.

Nội dung luận văn chia làm 3 chương

Chương 1: Một số kiến thức cơ bản

Chương 2: Một số phương pháp xấp xỉ đạo hàm với độ chính xác bậccao

Chương 3: Một số ứng dụng

Chương 1

Một số kiến thức cơ bản

Trong chương này chúng tôi trình bày một số kết quả lý thuyết vềcông thức khai triển Taylor, lý thuyết về đa thức nội suy, đa thức nội suyLagrange, đa thức nội suy Newton và lý thuyết về hàm ghép trơn Spline.Những kết quả này là những kiến thức bổ trợ cho việc trình bày các kếtquả chính trong chương 2 và chương 3 Nội dung của chương 1 được thamkhảo trong các tài liệu [1],[2],[3]

1.1 Công thức khai triển Taylor

1.1.1 Công thức khai triển Taylor đối với hàm một biến số

Định lý 1.1.1 Cho n là số nguyên dương và f là hàm khả vi liên tụcđến cấp n trên khoảng đóng [a, x] và khả vi cấp (n+1) trên khoảng mở(a, x) thì

f (x) = f (a)+f

0(a)1! (x−a)+

f00(a)2! (x − a)

2+ +f

(n)(a)n! (x − a)

n+1

với ξ là số nằm giữa a và x

Ngoài ra còn có dạng tích phân của phần dư:

n

dt

với f(n) là hàm liên tục tuyệt đối trên [a, x]

1.1.2 Công thức khai triển Taylor đối với hàm nhiều biến số

Định lý 1.1.2 Giả sử Ω là một tập hợp mở trong không gian Rp và

f : Ω → R là một hàm số thuộc lớp Cn trên Ω , a ∈ Ω, b = a + h ∈

Ω, h = (h1, h2, , hp) ∈ Rp và [a, b] ∈ Ω Khi đó tồn tại một điểm

c ∈ (a, b) sao cho

f (a + h) = f (a) + 1

1!df (a)(h) +

12!d

1.2.1 Bài toán xấp xỉ hàm số tổng quát

Cho hàm số f ∈ [a, b] Gọi Pn là tập hợp các đa thức có bậc không quá

n trên [a, b] Ta phải tìm đa thức P ∈ Pn có ”độ lệch” nhỏ nhất so với ftrên [a, b] , tức là:

Một trong các bài toán cơ bản của giải tích số là nội suy hàm số Bàitoán này thường gặp trong các trường hợp sau :

i) Cần phục hồi hàm số f (x) đối với mọi điểm x thuộc khoảng [a, b] nếuchỉ biết giá trị của nó tại một số điểm x0, x1, , xn ∈ [a, b] Những giá trị

này thường là các giá trị quan sát, hoặc đo đạc được.

ii) Khi hàm f (x) cho bởi công thức quá phức tạp chẳng hạn f (x) =

iii) Ngoài ra, nội suy hàm số còn được sử dụng để xây dựng các công thứctính đạo hàm, tính tích phân số hoặc tìm gần đúng nghiệm của phươngtrình

Bài toán nội suy hàm một biến số được phát biểu như sau: Trên đoạn [a, b]cho tập các điểm nút a ≤ x0, x1, , xn ≤ b và tại các điểm này cho các giátrị của hàm f (x) Cần xây dựng hàm g(x) dễ tính và trùng với hàm f (x)tại các điểm nút trên tức là g(xi) = f (xi) (i = 0, n)

Một số dạng hàm thường được dùng để nội suy hàm số là:

- Đa thức đại số

- Hàm hữu tỉ tức là phân thức đại số

- Đa thức lượng giác

- Hàm ghép trơn (spline) tức là hàm đa thức từng mẩu

Trong phạm vi chương này chúng ta chỉ tập trung vào nội suy bởi đa thứcđại số - một công cụ nội suy kinh điển và một phần vào nội suy bởi hàmghép trơn - công cụ nội suy hiện đại Các dạng nội suy khác sẽ chỉ đượcgiới thiệu qua

1.2.3 Lý thuyết về đa thức nội suy

Trong thực tế, nhiều khi ta phải tìm hàm y = f (x), chỉ biết giá trị yi tạicác điểm xi ∈ [a, b] i = 0, n
Cũng có trường hợp biểu thức giải tích f (x)

đã cho nhưng quá cồng kềnh Khi đó dùng phép nội suy ta có thể đễ dàngtính được f tại bất kì x ∈ [a, b] mà độ chính xác không kém bao nhiêu.Mục tiêu của phép nội suy khá nhiều, nhưng chủ yếu là tìm thuậttoán đơn giản tính giá trị f (x) cho những x không nằm trong bảng

xi, yi i = 0, n
Một bộ số liệu xi, yi i = 0, n
và một chương trình ngắngọn có thể thay thế một bảng rất dài các giá trị xi, f (xi) Ngoài ra, sửdụng kết quả của phép nội suy có thể tìm đạo hàm f0(x) hoặc tích phâncủa f (x) trên đoạn [a, b]

Đa thức đại số thường được dùng trong phép nội suy vì lý do đơn giảnsau: các phép toán cộng, trừ, nhân, đạo hàm tích phân dễ dàng thực hiệntrên đa thức Hơn nữa, nếu P(x) là đa thức, còn c là hằng số thì P(cx) vàP(x+c) cũng là đa thức Bài toán nội suy đặt ra như sau: Cho các mốcnội suy

a ≤ x0 < x1 < < xn ≤ bHãy tìm đa thức bậc m, Pm(x) =

Ý nghĩa hình học của bài toán nội suy là: Hãy xây dựng đường cong đại

số y = Pm(x) đi qua các điểm cho trước (xi, yi)(i =0, n) Như vậy ta cầnxác định (m+1) hệ số ai(i =0, m) từ hệ phương trình tuyến tính sau:

1 x0 x20 xn0

1 x1 x21 xn1

1 xn x2n xnn

0≤i<j≤n

(xi − xj) 6= 0

Suy ra phương trình (1.2.1) có nghiệm duy nhất

1.2.4 Đa thức nội suy Lagrange

* Thiết lập đa thức nội suy

Ta sẽ trình bày cách xây dựng đa thức nội suy mà không cần giải hệ(1.2.1)

Trước hết ta tìm đa thức Pi(x) có bậc n, sao cho Pi(xj) = δij, (i, j = 0, n)

Dễ thấy Pi(x) = Ai(x − x0) (x − xi−1)(x − xi+1) (x − xn)

Vì 1 = Pi(xi) = Ai(xi − x0) (xi− xi−1)(xi− xi+1) (xi − xn) nên

Như vậy P(x) là đa thức nội suy (duy nhất) cần tìm

Nếu các mốc nội suy cách đều, tức là xi+1 − xi = h(i = 0, n − 1) thì đặt

Trong công thức (1.2.2), các hệ số (−1)n−1Cni không phụ thuộc vào hàm

số f (x), mốc nội suy và bước h Do đó chúng được tính sẵn, lập bảng và

lí sau đây cho ta đánh giá đó

Định lý 1.2.1 Giả sử hàm số f (x) ∈ C(n+1)[a, b] , tức là có đạo hàm liêntục đến cấp n+1 trên [a, b] chứa tất cả các nút nội suy xi(i = 0, n) Khi đósai số nội suy Rn(x) = f (x) − Ln(x) có dạng

Rn(x) = f

(n+1)(ξ)(n + 1)! ωn+1(x), (1.2.3)trong đó ξ là một diểm phụ thuộc x và thuộc [a, b]

Chứng minh Khi x trùng với một trong các nút nội suy thì Rn(x) = 0.

Vì thế ta sẽ chỉ xét sai số Rn(x) khi x 6= xi(i = 0, n) Khi đó ωn+1(x) 6= 0.Đặt

n điểm Tiếp tục lập luận như trên, thì ϕ(n+1)(z) = 0 tại ít nhất 1 điểm.Giả sử điểm này là ξ Rõ ràng, ξ = ξ(x) và nằm trong [a, b] Như vậy

là khi hàm f (x) không có đủ độ trơn cần thiết thì ta không thể nói gì vềsai số nội suy cả Trong trường hợp này cần phải xem xét bài toán cụ thể

* Gợi ý lập trình

Bài toán: Cho bảng các giá trị (xi, yi)(i = 0, n) Tính giá trị của đa thức

nội suy Lagrange Ln(x) tại điểm x cho trước theo công thức:

1.2.5 Chọn mốc nội suy tối ưu

Nếu hàm f(x) đã cho thì M = sup

a≤x≤b

... thuộc vào hàm

số f (x), mốc nội suy bước h Do chúng tính sẵn, lập bảng

lí sau cho ta đánh giá

Định lý 1.2.1 Giả sử hàm số f (x) ∈ C(n+1)[a, b] , tức có đạo hàm liêntục... ghép trơn Spline

Phương pháp nội suy đa thức có nhược điểm nhiềumốc nội suy bậc đa thức nội suy lớn, điều không thuậntiện tính tốn

Ta thực phép nội suy nhờ hàm ghép trơn (Spline)... class="page_container" data-page="25">

1.2.8 Nội suy hàm số lưới không đều

k

Q

j=0

(x − xj)Chứng minh Với k = 1, ta có

f (x0,