Phương pháp xấp xỉ đạo hàm với độ chính xác bậc cao và ứng dụng (LV thạc sĩ)

Phương pháp xấp xỉ đạo hàm với độ chính xác bậc cao và ứng dụng (LV thạc sĩ)Phương pháp xấp xỉ đạo hàm với độ chính xác bậc cao và ứng dụng (LV thạc sĩ)Phương pháp xấp xỉ đạo hàm với độ chính xác bậc cao và ứng dụng (LV thạc sĩ)Phương pháp xấp xỉ đạo hàm với độ chính xác bậc cao và ứng dụng (LV thạc sĩ)Phương pháp xấp xỉ đạo hàm với độ chính xác bậc cao và ứng dụng (LV thạc sĩ)Phương pháp xấp xỉ đạo hàm với độ chính xác bậc cao và ứng dụng (LV thạc sĩ)Phương pháp xấp xỉ đạo hàm với độ chính xác bậc cao và ứng dụng (LV thạc sĩ)Phương pháp xấp xỉ đạo hàm với độ chính xác bậc cao và ứng dụng (LV thạc sĩ)Phương pháp xấp xỉ đạo hàm với độ chính xác bậc cao và ứng dụng (LV thạc sĩ)Phương pháp xấp xỉ đạo hàm với độ chính xác bậc cao và ứng dụng (LV thạc sĩ)Phương pháp xấp xỉ đạo hàm với độ chính xác bậc cao và ứng dụng (LV thạc sĩ)Phương pháp xấp xỉ đạo hàm với độ chính xác bậc cao và ứng dụng (LV thạc sĩ)Phương pháp xấp xỉ đạo hàm với độ chính xác bậc cao và ứng dụng (LV thạc sĩ)Phương pháp xấp xỉ đạo hàm với độ chính xác bậc cao và ứng dụng (LV thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  LƯƠNG THỊ THANH GIANG PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ ĐẠO HÀM VỚI ĐỘ CHÍNH XÁC BẬC CAO VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  LƯƠNG THỊ THANH GIANG PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ ĐẠO HÀM VỚI ĐỘ CHÍNH XÁC BẬC CAO VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS VŨ VINH QUANG THÁI NGUYÊN - 2017 i Mục lục Lời cảm ơn iii Bảng ký hiệu Danh sách bảng Mở đầu Một số kiến thức 1.1 Công thức khai triển Taylor 1.2 Nội suy xấp xỉ hàm số 1.2.1 Bài toán xấp xỉ hàm số tổng quát 1.2.2 Bài toán nội suy hàm số 1.2.3 Lý thuyết đa thức nội suy 1.2.4 Đa thức nội suy Lagrange 1.2.5 Chọn mốc nội suy tối ưu 1.2.6 Sai phân tính chất 1.2.7 Một số quy tắc nội suy hàm số 1.2.8 Nội suy hàm số lưới không 1.2.9 Bài toán nội suy ngược 1.2.10 Lý thuyết hàm ghép trơn Spline lưới 5 6 11 13 14 20 24 25 Một số phương pháp xấp xỉ đạo hàm với độ xác bậc cao 29 2.1 Trường hợp lưới sử dụng đa thức nội suy 29 2.1.1 Mô tả phương pháp tổng quát 29 2.1.2 Một số kết trường hợp lưới điểm 31 2.2 Phương pháp xấp xỉ đạo hàm trường hợp lưới không dựa thuật toán đại số 36 Một số ứng dụng xây dựng thuật toán số giải phương trình vi phân cấp cao 42 3.1 Hệ truy đuổi đường chéo 42 3.2 Thuật toán số giải toán biên tuyến tính cấp 44 3.2.1 Thuật toán thông thường 44 3.2.2 Thuật toán sai phân với độ xác bậc cao 45 3.3 Thuật toán số giải phương trình vi phân phi tuyến cấp cao 49 3.3.1 Phương trình phi tuyến cấp 49 3.3.2 Phương trình phi tuyến cấp 52 Kết luận 57 Tài liệu tham khảo 58 Phần phụ lục 59 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy TS Vũ Vinh Quang, người trực tiếp hướng dẫn luận văn, tận tình bảo hướng dẫn tìm hướng nghiên cứu, tìm kiếm tài liệu, giải vấn đề nhờ hoàn thành luận văn cao học Từ tận đáy lòng, xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới Thầy cố gắng để xứng đáng với công lao Thầy Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Đào tạo trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ suốt thời gian học tập trường Tôi xin cảm ơn quý thầy cô Khoa Toán - Tin đặc biệt PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy, trưởng Khoa Toán Tin, quan tâm, động viên, trao đổi đóng góp ý kiến quý báu suốt trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luân văn Cuối cùng, muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới người thân gia đình, đặc biệt bố mẹ - người động viên, chia khó khăn suốt thời gian qua đặc biệt thời gian theo học khóa thạc sỹ trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Thái Nguyên, ngày 27 tháng năm 2017 Tác giả luận văn Lương Thị Thanh Giang Bảng ký hiệu R Rn f (n) ∆n f (x) trường số thực không gian Euclide n-chiều đạo hàm cấp n hàm số f(x) sai phân cấp n hàm số f(x) Danh sách bảng 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 Một số kết kiểm tra sai số thuật toán Một số kết so sánh với nghiệm Một số kết so sánh với nghiệm Một số kết so sánh với nghiệm Hàm nghiệm Hàm nghiệm Hàm nghiệm 48 51 51 52 55 55 56 Mở đầu Khi nghiên cứu toán thực tế môi trường liên tục đại đa số bài, qua mô hình hóa toán học đưa đến dạng toán biên phương trình vi phân hàm biến số phương trình đạo hàm riêng hàm nhiều biến số Đối với toán này, việc nghiên cứu tồn nghiệm toán học lý thuyết giải mô hình chi tiết Đối với toán học ứng dụng, người ta thường quan tâm đến vấn đề xác định nghiệm dạng toán cụ thể mô hình Có thể thấy việc xác định nghiệm xác toán biên thông qua phương pháp giải tích thực số toán dạng đơn giản (vế phải, điều kiện biên, ) đại đa số toán phức tạp tìm nghiệm xấp xỉ Tư tưởng phương pháp xấp xỉ chuyển miền xác định biến số độc lập phương trình không gian vô hạn chiều miền không gian hữu hạn chiều cấu trúc số hữu hạn điểm, từ tìm cách xấp xỉ hàm số đạo hàm tương ứng với toán để chuyển phương trình vi phân phương trình đạo hàm riêng hệ điều kiện biên tương ứng hệ phương trình đại số tuyến tính Từ xây dựng thuật toán giải hệ đại số để thu nghiệm xấp xỉ toán Một phương pháp truyền thống phương pháp lưới Đối với phương pháp lưới, người ta thường quan tâm đến vấn đề quan trọng: Độ xác phương pháp sai số mắc phải trình xấp xỉ hàm đạo hàm Độ phức tạp thuật toán giải hệ đại số tuyến tính Xuất phát từ thực tế đó, mục tiêu nghiên cứu luận văn tìm hiểu sở số phương pháp xấp xỉ hàm đạo hàm với độ xác bậc cao dựa khai triển Taylor đa thức nội suy, từ áp dụng vào việc xây dựng thuật toán giải số số toán biên cho phương trình vi phân với độ xác bậc cao kiểm tra thuật toán máy tính điện tử Nội dung luận văn chia làm chương Chương 1: Một số kiến thức Chương 2: Một số phương pháp xấp xỉ đạo hàm với độ xác bậc cao Chương 3: Một số ứng dụng Chương Một số kiến thức Trong chương trình bày số kết lý thuyết công thức khai triển Taylor, lý thuyết đa thức nội suy, đa thức nội suy Lagrange, đa thức nội suy Newton lý thuyết hàm ghép trơn Spline Những kết kiến thức bổ trợ cho việc trình bày kết chương chương Nội dung chương tham khảo tài liệu [1],[2],[3] 1.1 Công thức khai triển Taylor 1.1.1 Công thức khai triển Taylor hàm biến số Định lý 1.1.1 Cho n số nguyên dương f hàm khả vi liên tục đến cấp n khoảng đóng [a, x] khả vi cấp (n+1) khoảng mở (a, x) f (a) f (a) f (n) (a) f (x) = f (a)+ (x−a)+ (x − a) + + (x − a)n +Rn (x) 1! 2! n! với Rn (x) phần dư bậc n Dạng Lagrange phần dư công thức là: f (n+1) (ξ) Rn (x) = (x − a)n+1 (n + 1)! với ξ số nằm a x 47 Trong  a00 a01 a a  10 11   a21   0   0  A=         a02 a03 a04 a12 0 a22 a23 a31 a32 a33 0 0 0 an−3n−4 an−3n−3 an−4n−3 0 an−2n−3 an−2n−2 an−2n−1 0 an−1n−2 an−1n−1 an−1n ann−4 ann−3 ann−2 ann−1 ann                    U = (u0 , u1 , , un )T ; F = (F0 , F1 , , Fn )T Nhận xét: • Hệ phương trình sai phân (3.2.8) hệ phương trình sai phân tương ứng với toán biên cho phương trình vi phân (3.2.1) với độ xác cấp • Trong trường hợp điều kiện biên có dạng Dirichlet u(a) = A; u(b) = B ta thu lược đồ sai phân với đội xác cấp • Có thể thấy sử dụng tính chất hệ đại số tuyến tính (Hệ không thay đổi ta nhân phương trình với hệ số cộng vào phương trình khác), ta biến đổi hệ (3.2.9) dạng đường chéo số hữu hạn bước biến đổi sau: Bước 1: sau cộng vào hàng + Nhân hàng với − aa04 33 nn−4 + Nhân hàng n-2 với − aan−3n−4 sau cộng vào hàng n+1 Bước 2: 03 + Nhân hàng với − aa23 sau cộng vào hàng nn−3 sau cộng vào hàng n+1 + Nhân hàng n-1 với − aan−2n−3 Bước 3: 02 + Nhân hàng với − aa12 sau cộng vào hàng nn−2 + Nhân hàng n với − aan−1n−2 sau cộng vào hàng n+1 Kết cuối cùng, có số hang ma trận A sau biến 48 đổi xác định công thức  α1 α1   a00 = α0 + h ; a01 = − h ; ai−1i = 1; aii = −2; aii+1 = 1; i = 1, 2, , n −  a β1 β1 n−1n = h ; ann = β0 + h (3.2.10) Có thể kiểm tra hệ số ma trận A thỏa mãn tính chất chéo trội Kết luận: Hệ giải thuật toán đường chéo với độ phức tạp tính toán O(n) Trong chương trình thực nghiệm để kiểm tra độ xác phương pháp, cho trước nghiệm toán sử dụng thuật toán với độ xác bậc cao tìm nghiệm số toán Từ so sánh sai số nghiệm nghiệm gần Sai số tính toán sử dụng công thức ε = ud − u ud kí hiệu nghiệm đúng, u nghiệm gần Kết chương trình đưa bảng 3.1 Bảng 3.1: Một số kết kiểm tra sai số thuật toán Lưới chia sinx + cos x e−x ex + x4 + cos x 10 1.3e-5 1.1e-5 1.0e-5 50 2.6e-8 2.2e-8 1.4e-8 100 1.6e-9 1.4e-9 8.0e-10 200 1.0e-10 8.9e-11 5.4e-11 500 3.1e-12 1.9e-12 2.2e-12 1000 8.0e-13 9.6e-13 2.2e-13 Các kết độ xác phương pháp tương 49 đương với O(h4 ) Khi lựa chọn α1 = β1 = độ xác tương đương với O(h6 ) 3.3 Thuật toán số giải phương trình vi phân phi tuyến cấp cao 3.3.1 Phương trình phi tuyến cấp Chúng ta xét mô hình toán phi tuyến cấp với hệ điều kiện biên đầy đủ    u(4) = f (x, u, u , u , u ), x ∈ [a, b]       a u(a) − a1 u (a) = A,   b0 u(b) + b1 u (b) = B,      c0 u (a) − c1 u (a) = C,      d u (b) + d u (b) = D (3.3.1) Đặt v = u ,ϕ = f (x, u, u , u , u ) Khi qua phương pháp phân rã, toán cấp đưa toán cấp sau    v (2) = ϕ, x ∈ [a, b]   c0 v(a) − c1 v (a) = C,     d v(b) + d v (b) = D    u(2) = v, x ∈ [a, b]   a0 u(a) − a1 u (a) = A,     b u(b) + b u (b) = B (3.3.2) (3.3.3) Hiển nhiên toán (3.3.2)-(3.3.3) giải lược đồ tính toán bậc cao đưa toán cấp hai Điểm mấu chốt cần xác định giá trị hàm Sử dụng lý thuyết sơ đồ lặp, xây dựng sơ đồ lặp xác định hàm sau: 50 Sơ đồ lặp Bước 0: Cho xấp xỉ ban đầu ϕ0 = f (x, 0, 0, 0, 0) Bước 1: Với ∀k = 0.1.2, giải toán vi phân cấp hai vk    v = ϕk , a < x < b,   k c0 vk (a) − c1 v k (a) = C,     d v (a) + d v (a) = D k k Bước 2: Với ∀k = 0.1.2, giải toán vi phân cấp hai uk    u = vk , a < x < b,   k a0 uk (a) − a1 u k (a) = A,     b u (a) + b u (a) = B k k Bước 4: Hiệu chỉnh giá trị ϕk+1 ϕk+1 (x) = f (x, uk (x), u k (x), vk (x), v k (x)) Nhận xét: + Việc chứng minh hội tụ phương pháp toán khó, nhiên kiểm tra tính hội tụ thông qua kết thực nghiệm + Việc tính xấp xỉ giá trị ϕk+1 (x) = f (x, uk (x), uk (x), vk (x), vk (x)) sử dụng công thức xấp xỉ đạo hàm u (x), v (x) với độ xác bậc theo công thức đưa chương Các toán vi phân cấp hai giải thuật toán sai phân với độ xác cấp khẳng định nghiệm thu đạt với độ xác cấp Trong kết thực nghiệm, kí hiệu ud (x) nghiệm đúng, k số bước lặp, n số điểm chia lưới 51 Bảng 3.2: Một số kết so sánh với nghiệm ud = sin(πx)/π , ≤ x ≤ 1; a0 = 1; a1 = 10; b0 = 6; b1 = 8; c0 = 10; c1 = 1; d0 = 1; d1 = 8; n=100 ε n=1000 n=10000 ε k ε 5.7x10−7 5.0x10−7 5.0x10−7 7.4x10−8 2.1x10−9 2.1x10−9 k k 7.2x10−8 1.8x10−11 1.0x10−11 7.2x10−8 7.3x10−12 1.4x10−12 Bảng 3.3: Một số kết so sánh với nghiệm ud = sin x + x4 , ≤ x ≤ 1; a0 = 1; a1 = 10; b0 = 6; b1 = 8; c0 = 10; c1 = 1; d0 = 1; d1 = 8; n=100 n=10000 ε k ε 0.0674 0.0674 0.0674 4x10−4 4x10−4 4x10−4 2x10−6 2x10−6 2x10−6 9x10−9 1x10−8 1x10−8 k ε n=1000 k 2x10−9 4x10−11 5x10−10 52 Bảng 3.4: Một số kết so sánh với nghiệm ud = ex + x4 , ≤ x ≤ 1; a0 = 1; a1 = 10; b0 = 6; b1 = 8; c0 = 10; c1 = 1; d0 = 1; d1 = 8; n=100 n=1000 n=10000 k ε k ε k ε 0.071 0.071 0.071 5x10−4 5x10−4 4x10−4 2x10−6 2x10−6 2x10−6 1x10−8 1x10−8 8x10−8 1x10−9 6x10−11 5x10−10 3.3.2 Phương trình phi tuyến cấp Chúng ta xét mô hình toán phi tuyến cấp với hệ điều kiện biên đầy đủ    u(6) = f (x, u, u , u , u , u , u ), x ∈ [a, b]      a0 u(a) − a1 u (a) = A,         b0 u(b) + b1 u (b) = B, c0 u (a) − c1 u (a) = C,     d0 u (b) + d1 u (b) = D       e0 u (a) − e1 u (a) = E,      f0 u (b) + f1 u (b) = F 53 Đặt w = u , v = u ,ϕ = f (x, u, u , u , u , u , u ) Khi qua phương pháp phân rã, toán cấp đưa toán cấp sau  (2)    w = ϕ, x ∈ [a, b] (3.3.4) e0 w(a) − e1 w (a) = E,    f0 w(b) + f1 w (b) = F  (2)    v = w, x ∈ [a, b] c0 v(a) − c1 v (a) = C,    (3.3.5) d0 v(b) + d1 v (b) = D  (2)    u = v, x ∈ [a, b] a0 u(a) − a1 u (a) = A,    b0 u(b) + b1 u (b) = B (3.3.6) Hiển nhiên toán (3.3.4)-(3.3.6) giải lược đồ tính toán bậc cao đưa toán cấp hai Điểm mấu chốt cần xác định giá trị hàm ϕ Sử dụng lý thuyết sơ đồ lặp, xây dựng sơ đồ lặp xác định hàm ϕ sau: Khi ϕ xác định sơ đồ lặp sau đây: Bước 0: Cho xấp xỉ ban đầu ϕ0 = f (x, 0, 0, 0, 0, 0, 0) Bước 1: Với ∀k = 0.1.2, giải toán vi phân cấp hai wk     w k = ϕk , a < x < b, e0 wk (a) − e1 w k (a) = E,    f0 wk (a) + f1 w k (a) = F 54 Bước 2: Với ∀k = 0.1.2, giải toán vi phân cấp hai vk     v k = wk , a < x < b, c0 vk (a) − c1 v k (a) = C,    d0 vk (a) + d1 v k (a) = D Bước 3: Với ∀k = 0.1.2, giải toán vi phân cấp hai uk     u k = vk , a < x < b, a0 uk (a) − a1 u k (a) = A,    b0 uk (a) + b1 u k (a) = B Bước 4: Hiệu chỉnh giá trị ϕk+1 ϕk+1 (x) = f (x, uk (x), uk (x), vk (x), vk (x), wk (x), w k (x)) Nhận xét: + Việc chứng minh hội tụ phương pháp toán khó, nhiên kiểm tra tính hội tụ thông qua kết thực nghiệm + Việc tính xấp xỉ giá trị ϕk+1 (x) = f (x, uk , uk , vk , vk , wk , w k ) sử dụng công thức xấp xỉ đạo hàm u (x), v (x), w (x) với độ xác bậc theo công thức đưa chương Các toán vi phân cấp hai giải thuật toán sai phân với độ xác cấp khẳng định nghiệm thu đạt với độ xác cấp Một số kết thực nghiệm kiểm tra độ xác thuật toán 55 Bảng 3.5: Hàm nghiệm ud = sin(πx)/π , ≤ x ≤ 1; a0 = 1; a1 = 10; b0 = 6; b1 = 8; c0 = 10; c1 = 1; d0 = 1; d1 = 8; n=100 k ε n=1000 k 6x10−7 n=10000 ε k ε 8x10−7 8x10−7 2x10−7 4x10−10 4x10−10 2x10−7 2x10−11 8x10−12 2x10−7 2x10−11 9x10−12 Bảng 3.6: Hàm nghiệm ud = sin x + x4 , ≤ x ≤ 1; a0 = 1; a1 = 10; b0 = 6; b1 = 8; c0 = 10; c1 = 1; d0 = 1; d1 = 8; n=100 n=10000 ε k ε 0.0522 0.0522 0.0522 1x10−5 1x10−5 1x10−5 2x10−8 2x10−8 2x10−8 k ε n=1000 k 1x10−9 2x10−11 3x10−10 1x10−9 4x10−12 3x10−10 56 Bảng 3.7: Hàm nghiệm ud = ex + x4 , ≤ x ≤ 1; a0 = 1; a1 = 10; b0 = 6; b1 = 8; c0 = 10; c1 = 1; d0 = 1; d1 = 8; n=100 n=10000 ε k ε 0.0649 0.0649 0.0649 2x10−5 2x10−5 2x10−5 3x10−8 3x10−8 3x10−6 k ε n=1000 k 1x10−9 2x10−11 6x10−10 1x10−9 6x10−12 7x10−10 57 Kết luận Nội dung luận văn đề cập đến việc nghiên cứu phương pháp xấp xỉ đạo hàm bậc cao dựa vào đa thức nội suy thuật toán đại số ứng dụng chúng việc xây dựng thuật toán số giải phương trình vi phân cấp cao Các kết luận văn gồm có: + Trình bày kiến thức công thức khai triển Taylor, đa thức nội suy Lagrange, Newton, hàm ghép trơn Spline đánh giá sai số phép nội suy + Nghiên cứu phương pháp xấp xỉ đạo hàm lưới đa thức nội suy đưa kết xấp xỉ đạo hàm bậc một, bậc hai với độ xác cao trường hợp lưới 5-điểm + Nghiên cứu phương pháp xấp xỉ đạo hàm trường hợp lưới sử dụng thuật toán đại số + Xây dựng thuật toán số giải toán biên tuyến tính cấp với độ xác cấp cao dựa thuật toán truy đuổi ba đường chéo kết hợp với công thức sai phân đạo hàm bậc cao + Xây dựng thuật toán số giải phương trình phi tuyến cấp phương trình phi tuyến cấp + Tiến hành tính toán thử nghiệm cho sơ đồ lặp trường hợp cụ thể đưa số bảng kết thực nghiệm Hướng phát triển luận văn thời gian tới tiếp tục phát triển sơ đồ tính toán sơ đồ lặp cho toán xấp xỉ đạo hàm phức tạp 58 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh (1990), Giải tích số, NXB Khoa học Kỹ thuật [2] Đặng Quang Á (2010), Phương pháp số, NXB Khoa học Kỹ thuật [3] Tạ Văn Đĩnh (2010), Phương pháp sai phân phương pháp phần tử hữu hạn, NXB Khoa học Kỹ thuật [4] Vũ Vinh Quang Nguyễn Thanh Hường (2017), Lược đồ sai phân giải toán biên cho phương trình vi phân tuyến tính phi tuyến cấp cao, Hội nghị Quốc gia FAIR’10 năm 2017 (Gửi đăng) Tiếng Anh [5] Jianping LI (2005), General explicit difference formulas for numerical differentiation, Journal of Computational and Applied Mathematical 188, 29-52 [6] Khan I.R., Ohba R (2001), New finite difference formulas for numerical differentiation, Journal of Computational and Applied Mathematical 126, 269-276 [7] Samarskij A and Nikolaev E (1989), Numerical methods for Grid Equations, vol 2, Birkhauser, Basel [8] Marchuk G.I (1982), Methods of Numerical Mathematics, Springer, New York 59 Phần phụ lục Một số chương trình nguồn Chương trình giải số toán biên cấp f unctionqh2 = qh2 (e, g, f, ga, gb, alpha0, alpha1, beta0, beta1, n) h = (g − e)/n; hh = 12 ∗ h; F (1) = hh ∗ ga; F (n + 1) = hh ∗ gb; f or i = : n − F (i) = h2 ∗f (i)+h2 ∗(−f (i−2)+16∗f (i−1)−30∗f (i)+16∗f (i+1)−f (i+ 2))/144 + h2 ∗ (f (i − 2) − ∗ f (i − 1) + ∗ f (i) − ∗ f (i + 1) + f (i + 2))/360; end; F (2) = h2 ∗f (2)+h2 ∗(11∗f (1)−20∗f (2)+6∗f (3)+4∗f (4)−f (5))/144+ h2 ∗ (f (1) − ∗ f (2) + ∗ f (3) − ∗ f (4) + f (5))/360; F (n) = h2 ∗f (n)+h2 ∗(11∗f (n+1)−20∗f (n)+6∗f (n−1)+4∗f (n−2)−f (n− 3))/144+h2 ∗(f (n+1)−4∗f (n)+6∗f (n−1)−4∗f (n−2)+f (n−3))/360; F (1) = F (1) + alpha1 ∗ (−3 ∗ F (4) + 10 ∗ F (3) − 13 ∗ F (2)); F (n + 1) = F (n + 1) + beta1 ∗ (−3 ∗ F (n − 2) + 10 ∗ F (n − 1) − 13 ∗ F (n)); c(1) = hh ∗ (alpha0 + alpha1/h); b(1) = hh ∗ (−alpha1/h); a(1) = 0; f or i = : n c(i) = −2; a(i) = 1; b(i) = 1; end; c(n + 1) = hh ∗ (beta0 + beta1/h); a(n + 1) = hh ∗ (−beta1/h); qh4 = truyduoi(a, b, c, F, n + 1); 60 Chương trình kiểm tra sơ đồ lặp giải phương trinh cấp bốn f unctionqh4 = qh4 (a, b, n, k) clc; h = (b − a)/n; X = linspace(a, b, n + 1); ud = u(X); phi = f (X, 0, 0, 0, 0); s = 10; count = 0; saiso = 10− 18; whileand(s > saiso, count < k) count = count + 1; c0 = 10; c1 = 1; d0 = 1; d1 = 8; C = c0 ∗ dh2(a) − c1 ∗ dh3(a); D = d0 ∗ dh2(b) + d1 ∗ dh3(b); v = qh4(a, b, phi, C, D, c0, c1, d0, d1, n); a0 = 1; a1 = 10; b0 = 6; b1 = 8; A = a0 ∗ u(a) − a1 ∗ dh1(a); B = b0 ∗ u(b) + b1 ∗ dh1(b); uu = qh4(a, b, v, A, B, a0, a1, b0, b1, n); s = chuan1(ud − uu, n) d1u = dhx (uu, h, n); d2u = v; d3u = dhx (v, h, n); phi = f (X, uu, d1u, d2u, d3u); end; count Chương trình kiểm tra sơ đồ lặp giải phương trình cấp sáu f unctionqhb t5 = qhb t5(a, b, n, k) clc; h = (b − a)/n; X = linspace(a, b, n+1); ud = u(X); phi = f (X, 0, 0, 0, 0, 0, 0); v = zeros(1, n+ 1); w = zeros(1, n + 1); 61 s = 10; count = 0; saiso = 10− 18; whileand(s > saiso, count < k) count = count + 1; e0 = 10; e1 = 1; f = 1; f = 1; E = e0 ∗ dh4(a) − e1 ∗ dh5(a); F = f ∗ dh4(b) + f ∗ dh5(b); w = qh4(a, b, phi, E, F, e0, e1, f 0, f 1, n); c0 = 10; c1 = 1; d0 = 1; d1 = 8; C = c0 ∗ dh2(a) − c1 ∗ dh3(a); D = d0 ∗ dh2(b) + d1 ∗ dh3(b); v = qh4(a, b, w, C, D, c0, c1, d0, d1, n); a0 = 1; a1 = 10; b0 = 6; b1 = 8; A = a0 ∗ u(a) − a1 ∗ dh1(a); B = b0 ∗ u(b) + b1 ∗ dh1(b); uu = qh4(a, b, v, A, B, a0, a1, b0, b1, n); s = chuan1(ud − uu, n) uluu = uu; d1u = dhx (uu, h, n); d2u = v; d3u = dhx (v, h, n); d4u = w; d5u = dhx (w, h, n); phi = f (X, uu, d1u, d2u, d3u, d4u, d5u); end; count plot(uu) title( Dothinghiepxapxi ) xlabel( x ); ylabel( u ); ...  LƯƠNG THỊ THANH GIANG PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ ĐẠO HÀM VỚI ĐỘ CHÍNH XÁC BẬC CAO VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA... nghiệm xấp xỉ toán Một phương pháp truyền thống phương pháp lưới Đối với phương pháp lưới, người ta thường quan tâm đến vấn đề quan trọng: Độ xác phương pháp sai số mắc phải trình xấp xỉ hàm đạo hàm. .. kể đến số phương pháp xấp xỉ hàm số sau: Phương pháp nội suy, phương pháp xấp xỉ đều, phương pháp xấp xỉ trung bình phương 1.2.2 Bài toán nội suy hàm số Một toán giải tích số nội suy hàm số Bài