TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TỐN
NGUYEN THI THUY VAN
UNG DUNG LY THUYET
HAM BIEN PHUC TRONG MOT SO
BAI TOAN VE PHUONG TRINH HAM VA
PHUONG TRINH SAI PHAN KHOA LUAN TOT NGHIEP DAI HOC
Chuyén nganh: Giai tich
Người hướng dẫn khoa học TH.S PHÙNG ĐỨC THẮNG
Trang 2LỜI CẢM ƠN
Đề hồn thành tốt đề tài này, trước tiên em xin bày tơ lịng cảm ơn sâu sắc
tới các thầy, cơ trong khoa Tốn - Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đã động viên
giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập
Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn thầy - Phùng Đức Tì hang da tao
điều kiện tốt nhất và chỉ bảo tận tình dé em cĩ thể hồn thành dé tài luận văn
này
Do thời gian và kiến thức cĩ hạn nên những vấn đề trình bày trong đề tài
khơng tránh khỏi những thiếu sĩt Vì vậy, em rất mong nhận được những ý kiến đĩng gĩp của các thầy, cơ và các bạn trong khoa
Em xin chân thành cảm ơn!
Sinh viên
Trang 3LỜI CAM ĐOAN
Khĩa luận của em được hồn thành dưới sự hướng dẫn của thầy Phùng Đức Thắng cùng vứi sự cỗ gắng của bản thân em trong quá trình
nghiên cứu và thực hiện khĩa luận Em cĩ tham khảo tài liệu của một số tác
giả (đã nêu trong mục tài liệu tham khảo)
Em xin cam đoan những kết quả trong khĩa luận là kết quả nghiên cứu của bán thân em, khơng trùng với kết quả của các tác giả khác
Nêu sai em xin hồn tồn chịu trách nhiệm
Sinh viên
Trang 4MỤC LỤC Lời nĩi đầu Chương 1: Số phức, hàm biến phức 1.1 Số phức 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Các phép tốn trên số phức 1.1.3 Dạng lượng giác của số phức 1.1.4 Dạng mũ của số phức 1.1.5 Phép khai căn của một số phức 1.2 Hàm biến phức 1.2.1 Định nghĩa hàm biến phức 1.2.2 Tính liên tục, liên tục đều 1.2.3 Hàm giải tích 1.2.4 Ánh xạ bảo giác
Chương 2: Phương trình hàm với biến đỗi phân tuyến tính 2.1 Một số tính chất của hàm phân tuyến tính
2.2 Dang cau phân tuyến tính
2.3 Phương trình hàm sinh bởi hàm phân tuyến tính
2.4 Bài tập vận dụng
Chương 3: Số phức và lời giải của phương trình sai phân
3.1 Các kiến thức cơ bản
3.1.1 Các khái niệm cơ bản về sai phân 3.1.2 Phương trình sai phân tuyến tính
Trang 5LỜI NĨI ĐẦU
Số phức đĩng vai trị quan trọng như là một cơng cụ đắc lực nhằm giải quyết hiệu quả nhiều bài tốn trong lĩnh vực tốn học, vật lí học, Ngồi ra, các tính chất cơ bản của số phức, hàm biến phức cịn được sử dụng trong tốn cao cấp, tốn ứng dụng và trong nhiều mơ hình thực tế
Trong các kì thi học sinh giỏi quốc gia, Olympic sinh viên tồn quốc, Olympic khu vực và Olympic quốc tế thì các bài tốn liên quan đến Số phức - biến phức thường được đề cập dưới nhiều dạng qua các đặc trưng và các biến đổi khác nhau của phương pháp giải vừa mang tính tổng hợp cao vừa mang
tính đặc thù sâu sắc
Vì những lí do trên, em mạnh đạn chọn đề tai: “Ung dụng li thuyết hàm biến phức trong một số bài tốn về phương trình hàm và phương trình sai phân”
Nội dung đề tài được chia thành ba chương: Chương 1: Số phức, Hàm số biến số phức
Chương 2: Phương trình hàm với biến đơi phân tuyến tính Chương 3: Số phức và lời giải của phương trình sai phân
Sau phần lí thuyết là một số bài tập vận dụng lí thuyết đã nêu ở trên
Sinh viên
Trang 6Chuong 1: SO PHUC, HAM BIEN PHỨC 1.1 Số phức
1.1.1 Định nghĩa
Ta biết rằng trong tập hợp số thực, phương trình bậc ø>2 khơng phải bao giờ cũng cĩ nghiệm, ví dụ như phương trình x°+I=0 Vì vậy cần phải đưa vào một loại số mới cĩ bản chất tống quát hơn, mà số thực là một trường hợp đặc biệt Và tất nhiên khi đưa ra loại số mới này ta cần phải trang bị trên nĩ một số phép tốn, mà các phép tốn này phái phủ hợp với phép tốn đã cĩ trên tập hợp số thực Cĩ nhiều phương pháp để xây dựng loại số mới này, ở
đây ta đưa vào số ¡ ( gọi là đơn vị ảo ) là nghiệm của phương trình x?+1=0
trong tập hợp các số mới đưa vào
Định nghĩa Số phức là số cĩ dạng z=x+iy trong đĩ x,ye và ¡ được gọi
la don vi ao (i? +1=0)
x: được gọi là phần thực của số phức z, kí hiệu: Rez; y: được gọi là phần ảo của số phức z, kí hiệu: Imz
Đặc biệt: Nếu y=0 khi đĩ số phức z=x+i.0=x là số thực x Nếu x=0 khi đĩ số phức z=0+iy =iy gọi là số thuần ao
xX, =X,
Hai sé phite z, =x, +iy,, % =x, +iy, gọi là bằng nhau nếu |
Ji = V2
Cho số phức z=x+¡iy, số phức cĩ dạng x—iy được gọi là số phức liên hợp của số phức z Kí hiệu z, nghĩa là
Z=x+iy=x-Ìy
Trang 71.1.2 Các phép tốn trên số phức
Trên tập số phức ta trang bị các phép tốn sau:
Pháp cộng: Ta gọi tống của hai số phức Z=xi TÚI, Z¿=+3;+íy, là số phức z=(x +x;)+i(W + y;)- Ki higu: z=z,+2z, Từ định nghĩa của phép cộng ta cĩ tính chat sau: 1) Kéthop: z, +(z,+z,)=(z,+%)+%,- 2) Giao hodn: z¡+z; =Z; +
Phép trừ: Phép cộng trên cĩ phép tốn ngược
Với hai s6 phite z,=x, +i, z =x, +iy, ta cĩ thể tìm được số phức z sao cho z; +z= z, Số phức này được gọi là hiệu của hai số phức z,, z¿
Kíhiệu: z=z;—⁄¿
Rõ ràng, từ định nghĩa tacĩ z =(x, —x,)+i(y, —y;)
Trang 8ã¡(ã; + 4)= ã-ã; + 8a
Chú ý: z =xŸ +yˆ>0
Pháp chia: Phép tốn nhân cĩ phép tốn ngược nếu ít nhất một trong hai số đĩ khác khơng
Giả sử z„ #0, khi đĩ ta cĩ thể tìm được số phức z=x+iy sao cho z,.2= 2
Theo định nghĩa của phép nhân ta cĩ hệ phương trình sau
fe VX
Y;X + X;Y = ,
Vi z, #0 nghia 1a dinh thirc Crame khác 0, nên hệ phương trình trên luơn cĩ
một nghiệm (x, y) duy nhất Số phức z=x+iy này được gọi là thương của hai số phức z¡, z¿ Giải hệ phương trình này ta được _ Xi; † YIY; x= 2 2 X;¿ +; _ #112 — 34}; 2, 2° 1; +; 71 *A Zz Kihiéu: z=— Ly
Chú ý: Tập hợp các số phức với hai phép tốn cộng và nhân được xây dựng ở
trên tạo thành một trường, được gọi là trường sỐ phức
Lãy thừa bậc n: Tích của nđ số phức z được gọi là lũy thừa bậc n của số phức z
Trang 9Căn bậc n của số phức z: Sơ phức øœ được gọi là căn bậc n của sơ phức z
nêu ø”=z
Kíihiệu: @=4#z
Định lí l.1 1) z=z; z¡ + Z; = Z¡ + Z¿ ; Zj-Z¿ = ấ¡-; -
1.1.3 Dạng lượng giác của số phức
Xét mặt phăng tương ứng với hệ tọa độ Descartes xĨy và ta biểu diễn một số phức z=x+iy bởi một điểm cĩ tọa độ (x.y) Như vậy các số thực sẽ được
biểu diễn bởi các điểm trên trục Ox, nd duoc gọi là trục thực; các số thuần ảo
được biểu diễn bởi các điểm trên trục Øy, nĩ được gọi là trục ảo
Ngược lại, với mỗi điểm của mặt phẳng xĨy cĩ tọa độ (x,y) ta đặt tương
ứng với một số phức z= x+iy
Vậy cĩ sự tương ứng 1-1 giữa tập hợp các số phức — với tập hợp các điểm của mặt phẳng xĨy
Vì mỗi một điểm cĩ tọa độ (x.y) trong mặt phẳng đều tương ứng với một vectơ cĩ bán kính vectơ r=aÍx” + y” và gĩc cực tương ứng ø Do đĩ, mỗi số phức z=x+iy cĩ thể biểu diễn
Trang 10Trong đĩ r,ø lần lượt là bán kính cực và gĩc cực của sỐ phức z
Bán kính z gọi là mơđun của số phức z Kí hiệu: r =|z|
Gĩc cực ø gọi là argument của số phức z Kí hiệu: ø= Argz Mơđun của số phức z được xác định một cách duy nhất |z|= x+y 20 Va argument cua 86 phức được xác định với sai khác một bội của 2z arctan+2kZ (ke ) * 3 arctan Š +(2k+1)z (keZ) p= Argz= Véi arctan e |-5-5| là giá trị chính của hàm arctan Kí hiệu argz x Từ đĩ ta cĩ cơng thức z=|z|(cosp+ising), p=argz (1.1)
Dạng (1.1) được gọi là dang lượng giác hay dạng cực của số phức z=x+iy Cịn dạng z=x+iy được gọi là dang đại số của số phức z
Từ các cơng thức lượng giác và từ (1.1) ta cĩ
arg 7,2, =arg Zz, † 8EE Z2›
xz
arg— = arg z, — arg z,
2
Bằng qui nạp ta cĩ
Trang 12D) ga e9), 2) = Nelo) (z, #0) 4 4 3) z = ren? Từ đĩ ta cĩ (7p, (E) cosp=s(e" +e 2) sing = —(e" -e"), 2¡
Cơng thức (E) được gọi là cơng thức Euler 1.1.5 Phép khai căn của một số phức
Cho ø là số tự nhiên và ze Ta nĩi ø là căn bậc ø của z nếu w" =z
Trang 13Vc=|d(ess? 2E in extn) k =O -Ip n n 1.2 Hàm biến phức 1.2.1 Định nghĩa hàm biến phức
Định nghĩa Giả sử 2e là một tập tùy ý cho trước Một hàm biến phức
trên D với các giá trị phức là một ánh xạ #:D> Hàm phức như vậy được kí hiệu là w= f(z), zeD Các ví dụ 1 Ánh xạ z->ƒ(z)=4z+b xác định một hàm (gọi là hàm nguyên tuyến tính) trên D _ gz+b " 0 xác định một hàm (gọi là hàm phân tuyên 2 Ánh xạ z-> ƒ(z)
tính) trên tập D= =2} (sau này thường giả thiết là be—ad #0)
Bằng cách viết đ@=u+iv, ¡= Rè, v=Ima, ham f co thé viết dưới dạng
f(z)=u(z)+iv(z)
Hai ham u,v được gọi là hàm phần thực và phần ảo của ƒ
#(z)=Reƒ()=(Reƒ)() v(z)=1mƒ(s)=(Tm/)()
1.2.2 Tính liên tục, liên tục đều
Trang 14z¿ 6D là điểm tụ của D
Số phức ae gọi là giới hạn của hàm ƒ khi z dần đến z„ và viết lim ƒ(z) =a Nếu với mỗi lân cận W của ø tồn tại lân cận U của Z„ sao cho
ƒ(z)<V, VzeU,z#s¿
Diém xa v6 tin a=oe \/{œ} gọi là giới hạn của ƒ(z) khi z—>z,
nếu W# >0 tồn tại lân cận U của z„ sao cho: |ƒ(z)|>, VzeU
Hàm ƒ gọi là liên tục tại z„ nếu một trong hai điều kiện sau thỏa mãn:
C¡ Nếu z„ là điểm cơ lap cua D noi cach khác tồn tại lân cận U cia z,
trong D sao cho UND ={z,}
C2 Nếu z„ khơng là điểm cơ lập của D thi lim f(z)=f(%)-
Viết ƒ(z)=u(z)+iv(z),zeD Khi đĩ, ƒ liên tục tại z, =x, +i, ¢D
khi va chi khi u,v lién tuc tai (x,,y,)-
Hàm f duoc goi 1a lién tuc trén D néu né liên tục tại mọi điểm ze Ð Ham ƒ được gọi là liên tục đều trên D nếu
<8=|ƒ#(s)-#(s,}<«:
Ve >0,46 >0,Vz,,2, #:|z, — Z;
Rõ ràng hàm ƒ liên tục đều trên 7 thì cũng liên tục trên 7 1.2.3 Hàm giải tích
Trang 15Hàm ƒ xác định trên D được gọi là giải tích trên D nếu nĩ giải tích tại mọi
điểm zeD Nhận xét:
1 Hàm ƒ giải tích tại z„ thì khả vi tại điểm đĩ Điều ngược lại khơng
đúng
Ví dụ ƒ(z)=z.z khả vi tại z=0 nhưng khơng giải tích tại đĩ
2 Trên miền D (mở), hàm ƒ giải tích trên D khi và chỉ khi nĩ khả vi trên đĩ
1.2.4 Ánh xạ bảo giác
Định nghĩa Ánh xạ œ= ƒ(z) biến miền D của mặt phẳng phức (z) thành
miền Đ” của mặt phẳng phức (ø) được gọi là ánh xạ bảo giác trong miền D
nêu tại mọi điêm ze D, gĩc giữa các đường cong được bảo tồn (cả vê độ lớn
và hướng) và độ dãn khơng đổi theo mọi hướng
Định lí 1.2 Giả sứ ánh xạ @= ƒ(z) biến miễn D thành miễn D' Nếu ƒ là hàm giải tích trong D và ƒ(s)#0.,VseD thì ƒ là ánh xạ bảo giác trên D
Định lí 1.3 Giả sử ánh xạ @= ƒ(z) biến miền D thành miền D' Nếu ƒ là
Trang 16Chương 2: PHƯƠNG TRÌNH HÀM VỚI BIEN DOI PHAN TUYEN TINH
Ta khảo sát các phương trình hàm với acgumen biến đối sinh bởi hàm phân tuyến tính thực dạng f(@(x))=af(x)+b, o(x)= axt+p trong do 5 x+⁄z ,#7—8#z0
2.1 Một số tính chất của hàm phân tuyến tính
Trước hết, ta khảo sát phương trình đại số với hệ số thực dạng: m x†+# =x,m#0 (2.1) Phương trình (2.1) tương đương với phương trình bậc 2 x +y¥x—-m=0,m40 (2.2)
Trang 182.2 Đẳng cấu phân tuyến tính
Ánh xạ phân tuyến tính đã được đề cập ở phần trên Ở đây, ta sẽ trình bày những tính chất cơ bản của ánh xạ đĩ Ánh xạ phân tuyến tính được xác định bởi hệ thức _aztb — =a bc #0, (2.6) trong d6 a,b,c,d là các số phức Với điều kiện ađ—bc #—>@#const =0 Trong cơng thức (2.6) nêu oe thì d#0 4, b_F 45 @= 11 aztb Đĩ là một hàm nguyên Dinh li 2.1 Ánh xạ phân tuyến tính (2.6) là một phép đơng phơi từ _ lên - Chứng mình
1 Trường hợp c=0 là hiển nhiên
2 Ta xét rường hợp c0 Giải phương trình (2.6) đối với z ta cĩ dao-b Z= vad —be #0 (2.7) —cor+a Đĩ là hàm ngược của (2.6) Anh xa (2.7) don trị trong mặt phẳng và là ánh xạ phân tuyến tính
Do đĩ (2.6) đơn trị I-1 trên
Trang 19Bằng cách đặt
- _# |_
@() =-, of œ
ta thấy rằng (2.6) liên tục trên _ Định lí được chứng minh Định lí 2.2 Ánh xạ phân tuyến tính bảo giác khắp nơi trên cĩ Ching minh Đối với trường hợp z 22 tính bảo giác suy ra từ nhận xét rằng tại các điểm đĩ cĩ do ad-bc ——=——-#z0 dz (cz+d)
Bay gio gia sir hai dwong cong y,,7, di qua diém z 4 va a la goc gitta y, va 7; tại điểm ấy Suy ra rằng gĩc giữa các ảnh 7,7; của 7,,7„ tương ứng qua ánh xạ (2.6) tại điểm œ= of = -4) là bằng ø vì
| = lim —“— +0
lim az+b d 4Ìaz+b
4) cz+d (: * 4) 4) “
Trường hợp z=œ cũng chứng minh tương tự
Định nghĩa 2.1 Ánh xạ phân tuyến tính biến miền D lên miền Đ' được gọi là đẳng cấu phân tuyến tính cịn DĐ," được gọi là những miền đắng cấu phân tuyến tính với nhau
Trang 201) Hợp (tích) các đẳng cầu phân tuyến tính là đẳng cấu phân tuyến tính 2) Ảnh xạ ngược của đẳng cầu phân tuyến tính là đẳng cấu phân tuyến tính Chứng mình Khẳng định (2) là hiển nhiên Ta chứng minh (1) Giả sử _aztb, ,ad,—be, #0, cz+d, o= a6 +b, , ad, —b,c, #0 c,6 +d, ` Khi đĩ aztb, ys +b Peztd, 7 (a,a, +b,c,)z + (a,b, +b,d,) _aztb ot ga, (ac, +¢d,)z+(bc,+dd,) czt+d’ “qzt+d, a
trong dé ad —bc = (ad, —b,c,)(a,d, —b,c;) +0
Nhận xét 2.1 Hiển nhiên rằng nhĩm các đẳng cấu phân tuyến tính là nhĩm
khơng giao hốn Thật vậy, giả sử Ø(z)=<: Øø(z)=z+l Khi đĩ
Dođĩ _ ø2(ø(z))z@(ø(s))
Trang 21hay đường trịn trên mặt phẳng phức đều là “đường trịn” trên (ta xem đường thẳng trên là đường trịn trên đi qua điểm œ) và gọi hình trịn, phần ngồi hình trịn và nửa mặt phẳng ( hình trịn với bán kính vơ cùng ) đều
là “hình trịn” trên _
S(a,R)={|z-a|<R} -hinh tron
S"(a,R)={|z—a|> R} -phan ngoai hinh tron P(R,)={ze :Re(e*z)> RI 1a nira mat phing Thật vậy, đặt e” =cosp+ising, z=x+iy, tacd
P(R,ø)= {(x.y) € ”:xcosø+ ysinø> R} Đĩ là nửa mặt phẳng
Định lí 2.4 Đăng cấu phân tuyến tính bắt kì biến “hình trịn” (“đường trịn”)
thành “hình trịn ” (tương ứng thành “đường trịn”)
Nĩi cách khác: “hình trịn” và “đường trịn” đều là bất biến của nhĩm các đẳng cầu phân tuyến tỉnh
Chứng mình
Ánh xạ phân tuyến tính cĩ thể biểu diễn dưới dạng hợp của các ánh xạ:
_ 4 bem a6, #= se" a+,
trong đĩ, cĩ hai ánh xa tuyến tinh và ánh xạ £ = i
ẹ
Trang 22Ta chỉ cần xét phép nghịch đảo ø=L Zz 1 Ta xét trường hợp hình tron S(a,R) Ảnh của nĩ sẽ là 2 <R, > 1~àÏ <Ƒ? @ 1—à|< R|ø| 1 —-a o 2
=1-2Re(à)+ lal’ |ol? <? Qo
Trang 231 1
Re(aa) >s=Rc(e °ø) > Di
Đĩ là nửa mặt phẳng
2 Đối với phần ngồi hình tron S° (a,R), định lí được xét tương tự 3 Bây giờ, ta xét ánh xạ nửa mặt phẳng Re(e ”z) >—K, R>0 Anh của nĩ sẽ là Re(ew 4) >-R=> Ree” |> R= Re(e”w) > -R\o ° la 2 > và do đĩ 2 2Rof +2Re( eo) >0- of +2Re{ So 2R 4R? 4R? ly I —ip 2 -ip @+—— 2R 1 >— 2R 1 e >—,, |o+— 2R > 4R? , Đĩ là phần ngồi hình trịn
Phép ánh xạ nửa mặt phẳng Re(e *z) > R>0 được xét tương tự
Nhận xét 2.2 Trong mọi trường hợp, điểm a được ánh xạ thành điểm =
điểm này thuộc ảnh hình trịn Š(ø,R) cùng với một lân cận nào đĩ của nĩ
Định lí 2.5 Ánh xạ phân tuyến tính biến miễn thành miễn Chứng mình
Trang 24Với mọi ứy tồn tại duy nhất điểm 2) €B sao cho ø( Zy) =Q
Giả sử U(z,)C B là lân cận của điểm z, (hình trịn voi tam z, néu z, #00,
hoặc phần ngồi hình trịn nếu Zạ=®)
Khi đĩ, theo định lí 2.4 ta cĩ ø(U (<,)) là “hình trịn” chứa điểm ø, cùng với một lân cận nào đĩ của nĩ
Như vậy, ø; là điểm trong của D va do dé D là tập hợp mở 2 Chứng minh DÐ là tập hợp liên thơng
Vì B là tập hợp liên thơng nên từ định lí 2.1 suy ra rằng Ð là tập hợp liên thơng
Nhu vay, D là tập hợp mở và liên thơng, nghĩa là D là miền
Định lí 2.1, 2.2, 2.4 là những tính chất đặc trưng của ánh xạ phân tuyến tính Ngồi tính bảo giác và bảo tồn đường trịn, nhĩm các đăng cấu phân tuyến tính cịn cĩ những bắt biến khác nữa
Đăng cấu phân tuyến tính (2.6) chứa ba tham số phức là tỉ số của ba trong bốn hệ số ø,b,c,đ với hệ số thứ tư khác 0 Các tham số này được xác định đơn trị
bởi điều kiện: ba điểm cho trước z¡,z„,z¿ của mặt phẳng phức (z) biến thành
ba điểm ø„øœ,,œø, của mặt phẳng phức (ø) Điều đĩ được suy ra từ định lí
sau đây
Định lí 2.6 Tơn tại duy nhất đẳng cầu phân tuyến tính biến ba điểm khác nhau 2525523 c_ thành ba điểm khác nhau (0), 60; 60; c~ tương ứng Đẳng
cầu đĩ được xác định theo cơng thức
@—@) @; —@, _ &— ẤT 23 T— 52 (2.8)
Trang 25Chứng mình
1 Tính duy nhất Giả sử cĩ hai đẳng cấu a, (z), @,(z) thỏa mãn các điều
kiện của định lí Giả sử é, (ø) là ánh xạ ngược của ø,(z)
Ta xét ánh xạ é; [a, (<)| „ đĩ là một đẳng cấu tuyến tính Dang cau nay cĩ ba diém bat dong z,,z,,z, vi a,(z,)=@,,k =1,2,3 6,(@,)=%,k =1,2,3 Do do néu dat &[a()]=S= thì sa k i hay 1a cz, +(d—a)z, —b=0, k =1,2,3
Da thức bậc hai ở về trái chi cĩ thê cĩ ba nghiệm khác nhau (z, #2, #23)
khi mọi hệ số của nĩ đều bằng 0, tức là a=đ,b=c =0 và é; lỗ ()] =z hay
là ø, (z)= a,(z)
2 Sw ton tại Đăng câu phân tuyến tính thỏa mãn điều kiện của định lí
được xác định theo cơng thức (2.8)
Thật vậy, giải phương trình (2.8) đối với œ ta thu được hàm phân tuyến tính Ngồi ra, khi thế cap z=z,,@=@, vào cơng thức (2.8) thì cả hai về của (2.8) đều bằng 0
Trang 26Trong hình học, biểu thức
Ane BH
L-h 4 T—5; được gọi là tỉ số phi điều hịa của bốn điểm z,z¡,z;,z¿
Nếu bốn điểm z, 24> 29923 nằm trên một đường trịn (hoặc đường thẳng) thì tỉ
số phi điều hịa là một số thực Thật vậy
a) Nếu các điểm z, 219 29523 nam trén duong thang
6 =O, tte, -w<t<+o00
Tacé z,=6,+te,% =6, +e" 2=6, +e”, 2 =6, +e” va ti dé 2-4 37-% & -4 14,71 ZsZ›.ZZ4}=———: ——~=-——:-—e (4¡:Z;›<::) 2-2) Z4 —% lạ=lb lạ—l b) Nếu các điểm z, 21929523 nam trén duong tron 6=6,+re’,r>0,0<ps<2z
‘acd z= re”, z= re? z= rez, = re"" và từ đĩ ta cĩ
T 1 =O tre, 2 =O) tre” o tre” ,z,=C,+re™ va th do t
e*% _=e” e*% —=e“”
Trang 27Từ định lí 2.6 ta rút ra một tinh chất quan trọng nữa của đẳng cấu phân tuyến tính Hệ quả 2.1 7ï số phi điều hịa là một bắt biến của nhĩm các đẳng cấu phân tuyến tính Định nghĩa 2.2 1 Hai điểm z,z” được gọi là đối xứng với nhau qua đường trịn T= {\z — Z| = R} c_ nếu chúng cĩ các tính chất sau: a) z và z' cùng nằm trên một tia đi từ 293 b) |z—zạ[|# — 2|=#Ẻ
2 Mọi điểm trên đường trịn T' được xem là đối xứng với chính nĩ qua T Từ định nghĩa 2.2 suy ra rằng các điểm đối xứng qua đường TL liên hệ với nhau bởi hệ thức @=zạ+——— Z—Zạ Thật vậy, từ biểu thức vừa viết suy ra |ø— za||£— za|= RẺ arg(đ@— zạ) = arg( — ãạ)
Trong hình học sơ cấp, ta biết rằng hai điểm z và z' đối xứng với nhau qua đường trịn I' khi và chỉ khi mọi đường trịn yc đi qua z, z` đều trực giao
Trang 28Định lí 2.7 Tính đối xứng tương hỗ giữa các điểm là một bất biến của nhĩm các đẳng cầu phân tuyến tính
Chứng mình
Kết luận của định lí được suy ra từ định lí 2.2 và 2.5
Từ sự bất biến của tính đối xứng giữa các điểm suy ra rằng trong trường hợp khi đường trịn biến thành đường thắng, tính đối xứng trùng với khái niệm đối xứng thơng thường
Ta minh họa việc áp dụng tính bất biến của các điểm đối xứng qua đẳng cấu phân tuyến tính bằng các định lí sau đây
Dinh li 2.8 Dang cdu phan tuyén tính bất kì biến nửa mặt phẳng trên lên hình trịn đơn vị đễu cĩ dạng @œ=e2.*“—Š , Imz>0, (2.9) Z-a trongdd Ae là số thực tùy ÿ Chứng mình
Giả sử đẳng cấu phân tuyến tính œ@=ø(z) ánh xạ nửa mặt phẳng trên
Imz >0 lên hình trịn {|ø@|<1} sao cho ø(#) =0(Imz >0)
Trang 29Vì các điểm của trục thực cĩ ảnh nằm trên đường trịn đơn vị, tức là |ø|=1
khi z=xe , cho nên a € =l và a=c.2 a nh Cc x-a Như vậy: o=e"~ ^ | SỊ
Ta chứng minh đĩ là đẳng cấu cần tìm Thật vậy
Nếu z=xe_ thì hiển nhiên |ø|=l
Nếu Imz>0 thì z gần @ hon so voi @ (tte là z=ø|<|z=a|) và do đĩ |ø|<1 Nhận xét 2.3 Trong ánh xạ (2.9) gĩc quay của các đường cong tại điểm ø là z A-Š vì từ (2.9) ta cĩ argý(đ)=Â~5- Dinh li 2.9 Moi dang cấu phân tuyến tính biến hình trịn {|z|<1} lên hình trịn {|@|<1\ đều cĩ dang o=ze" L£-a , (2.10) a.z-1 trong do |a\<1,Ae la số thực tùy ý Chứng mình
Giá sử đẳng cầu phân tuyến tính ø= ø(z) biến hình trịn {Íz|<1!} lên hình
trịn {|ø|<1} sao cho @(a)=0 (|a|<1)
Theo tính chất bảo tồn điểm đối xứng, các điểm @=0, @=0 tuong ứng với các điểm liên hợp z=ø, z= Ị (lz|<1)
Trang 30, bd d_ 1 Do do -==a,-—==, |a|<1, va a c pet ind ad ta _ ad 2a m1 c az-l c 1-a@.z a
Vì các điểm của đường trịn đơn vị phải biến thành các điểm của đường trịn đơn vị nên |ø|=1 khi |z|=1 Vì zz=|z[Ì nên z.<=l khi |z|=1 Vì số I—ø.z và I—ø.z liên hợp với nhau nên nếu |z|=1 thì I = =lI=zllzl =|z~ø.zz|=|z~a| Do do khi |z|=1 thi ta cĩ: l-a.z —_- (=1 Những khi đĩ dỡ — j =l,—= A aa |o|=1=> c
Như vậy ta thu được (2.10)
Trang 31Nhận xét 2.4 Vì (2) "“ z=ữ I-|z 4 >> a| <1 cho nên về mặt hình học A Z bằng gĩc quay của ánh xạ (2.10) tại điểm ø: da Từ cơng thức (2.10) ta cịn rút ra hệ thức (a Zz =-—_ Và do đĩ độ z=œ I-|a|
dãn dần đến œ khi điểm ø dần đến biên của hình trịn đơn vị
Nhận xét 2.5 Phép dang cấu biến hình trịn {|z|< R} lên hình trịn {|ø|< R'}
Z-a
codang w=R.R'e” >>
al<R, Ae
az—
Ví dụ 2.1 Giả sử U, ={|z|<1}.U, ={|s—I|<1l, D=U,U, Tìm đẳng cấu
biến miền D lên nửa mặt phẳng trên Lời giải
Giao điểm của các cung trịn giới hạn miền Ð là các điểm sau:
1,43 1 3 a=a.rtrz,d 2 2~
Giả sử cung trịn đi qua điểm z=l được kí hiệu là ổ, và cung trịn đi qua điểm z=0 là ở, Ta áp dụng các ánh xạ trung gian sau
2 2 \
1 Ánh xạ z= vã biên miên đã cho D thành một gĩc trong
a
Trang 32Vì gĩc giữa hai cung trịn ổ, ổ, tại các điểm z cũng như a” đều bằng = nên độ mở của gĩc vừa thu được bằng = Dễ đàng nhận thấy rằng z(0)=—}-¡33 Và do đĩ gĩc ảnh thu được cĩ cạnh đi qua điểm z,(1) và z, (0) Ta kí hiệu gĩc đĩ là D(s,) 2Zi 2 Ánh xạ quay z; =e 3.z, biến gĩc D(z,) thành gĩc cĩ một cạnh trùng với phần đương của trục thực, cịn cạnh kia đi qua điểm ~5 +ỉ `,
3 Anh xa cần tim c6 dang @= 23” ( gĩc cĩ độ mở = =n),
22-1+iN3 27 -1-iN3
một trong các hàm thê hiện ánh xạ cần tìm
3/2
Hợp nhất 1)-3) ta thu được @= { và hiển nhiên đĩ chỉ là
2.3 Phương trình hàm sinh bởi hàm phân tuyến tính
Bài tốn tống quát 2.1 Xác định các hàm số ƒ (x) thỏa mán điều kiện
(SEP a(x) x+⁄z .Wxe M7}, (2.11)
trong đĩ a, B,y,a,b(a #0,ay-—B# 0) là các hằng số thực
Ta khảo sát bài tốn tổng quát (2.1 1) trong ba trường hợp điển hình sau đây: Gi) — Phương trình ø(x) = x cĩ hai nghiệm thực phân biệt
Trang 33(iii) Phuong trinh @(x)= x khơng cĩ nghiệm thực
Nhận xét rằng, phương trình trong trường hợp (iii) tương đương với phương
trình œ(x)=x cĩ hai nghiệm phức là hai số phức liên hợp
Ta chuyển bài tốn tổng quát 3.1 về bài tốn tổng quát sinh bởi hàm bậc nhất
quen biết mà ta đã biết cách giải
Bài tốn tống quát 2.2 Xác định các hàm số ƒ (x) thảo mãn điều kiện
ƒ(œx+Ø)=aƒ(x)+b, Vxe , (2.12)
trong đĩ z,/,a,b(a #0,ø #0) là các hằng số thực
hoặc về dạng bài tốn tống quát sinh bởi phép đối hợp bậc ø dạng sau đây Bài tốn tổng quát 2.3 Xác định các hàm số ƒ (x) thỏa mãn điều kiện
| SE) =ars)xb Vre \{-y} x+y (2.13)
trong do a, B,y,a,b(a#0,ay—B #0) la cac hằng số thực và o,(x)=x, = oa, (x) œ(x)=x
Tiếp theo ta minh họa cách giải tương ứng với các trường hợp qua các bài tốn cụ thể sau đây
Từ kết quả khảo sát của phần trước ta chỉ cần xét các phương trình hàm sinh
a , _
bởi w(x) co dang Oy m#0
Ví dụ 2.2 Xác định hàm số ƒ (x) thỏa mãn điều kiện sau
Trang 34Lời giải
Nhận xét rằng phương trình =+z cĩ một nghiệm kép (thực) x=l
x2
Thay x =1 vao (2.14) ta duoc #()=1
Trang 36trong đĩ ø(?)=3+/'h(£) với A(t) 1a ham tùy ý thỏa mãn 1 š)=n6) vi #{2,1,0)
Ví dụ 2.4 Xác định các hàm số ƒ thỏa mãn điều kiện sau
f[gˆ;)=2/0)+5 Vxe \2) (2.16)
Lời giải
Đây là trường hợp phương trình hàm với nghiệm đặc trưng của phương trình
sinh bởi @(x) = x khơng cĩ nghiệm thực Phương trình sinh =x cĩ nghiệm z¡; =l+ỉ —#* Sử dụng phép đối biến x—1=¿, ta thu được x=lth CC = tr —X -t
Viết phương trình (2.16) duéi dang
(tsi) -ap(i4i)es, Vre \Í{, 1-t
hay e(F4)-26(9)+5, vie \{Ih, (2.17)
trongđĩ ø(?)=ƒ/(I+?) (2.18)
Trang 371 I+r.tan?
tk +t 4 r ous À x ak: x
Ta viết w(t) =—— =————,, do đĩ ø(¡) cĩ tính tuân hồn đơi hợp bậc
1-t I—r.tan? a .tan
4, nghĩa là ø(ø(ø(ø(7)))) =r Vi vay phương trình hàm (2.17)-(2.18) đưa về
Trang 38Bài 2.5 Cho hàm số ð(x)= SẺ, c#0,ad—bc #0 sao cho phương trình
œ(x)=x cĩ hai nghiệm phân biệt x,x, Tim tất cả các hàm số
Trang 39Chương3: SĨ PHỨC VÀ LỜI GIẢI CUA PHUONG TRINH SAI PHAN
3.1 Các kiến thức cơ bản
3.1.1 Các khái niệm cơ bản về sai phân a) Định nghĩa
Định nghĩa 3.1 Ta gọi sai phân hữu hạn cấp 1 của hàm số
x(n)=x,,ne :{n} ={0,+l, +n, } (hoặc ne *jne ) là hiệu
Ax =x n m1 x
Từ đây về sau ta gọi tắt sai phân hữu han là sai phân
Định nghĩa 3.2 Ta gọi sai phân cấp 2 của hàm +, là sai phân của sai phân cấp | cua x„ và nĩi chung sai phân cấp k của x„ là sai phân của sai phân cấp
(k — 1) của hàm số đĩ
Như vậy, sai phân cấp 2 của hàm x, là
A*x, = A(Ax, ) = Ax,,, — Ax, = (x„¿ — ) — (Xa — x, ) =X — 2X4, +X, -
Sai phân cấp 3 là
Ax, = A(A’x, ) = AX, — AX, He = X35 — 3X yyy + 3% yy Hs
Nĩi chung, sai phân cấp k của hàm x, là
A‘y, =A(A‘ tx, =A‘ tx, — Ah 'x, = Sy CX is is (3.1)
, i k!
Trang 40b) Tính chất của sai phân
TCI Sai phân các cấp đều cĩ thé biểu diễn qua các giá trị của hàm số TC2 Sai phân mọi cấp của hàm số là một tốn tử tuyến tính
TC3 Sai phân cấp k của một đa thức bậc m là 1 Một đa thức bậc (m—k) nếu k<m 2 Hang sé néu k=m 3 Bang 0 néu k>m ShA£ kl kl k ° TC4 3A x,=A” xy„,—A“” x„ ke ` (nêu k=l:),Ay,=xy,—x, ) k=a
3.1.2 Phương trình sai phân tuyến tính
Định nghĩa 3.3 Phương trình sai phân tuyến tính là một hệ thức tuyến tính giữa các sai phân các cấp
F(x,,Ax,A*x,, Atx,) =0,
trong do x, hiểu là sai phân cấp 0 của hàm X„› cấp lớn nhất của các sai phân (ở đây bằng k ) là cấp của phương trình sai phân tuyến tính
Định nghĩa 3.4 Phương trình sai phân tuyến tính của hàm x„ là một biểu thức tuyến tính giữa các giá trị của hàm x, tại các điểm khác nhau
AX nak FAX 4 bo FAX, = Sh (3.2)
trong d6 dy,d,, ,4, (dy #0,a, #0) là các hằng số hoặc các hàm số của ø x„: là giá trị cân tìm được gọi là ân
Phương trình (3.2) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính cấp k vì để tính được tất cả các giá trị của x, ta phai biết k giá trị liên tiếp của Xs