Tôi xin chân thành bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới T.S Nguyễn Văn Hùng, người thầy đã chỉ ra hướng nghiên cứu, chỉ bảo tận tình, chu đáo, động viên và giúp đỡ tôi trong quá trình thực hiện luận văn
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu, các thầy giáo, cô giáo Phòng Sau Đại học, Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, bạn bè và người thân đã tạo điều kiện, động viên, khuyến khích, giúp đỡ tơi hồn thành luận văn nàỵ
Hà Nội, tháng 6 năm 2012 Tác giả
Trang 2Luận văn này là kết quả của quá trình học tập, nghiên cứu của bản thân dưới sự chỉ bảo, dìu dắt của các thầy giáo, cô giáo, đặc biệt là sự hướng dẫn nhiệt tình và chu đáo của T.S Nguyễn Văn Hùng
Trong khi nghiên cứu, tôi đã kế thừa những thành quả nghiên cứu của các nhà khoa học, nhà nghiên cứu với sự trân trọng và biết ơn
Luận văn với đề tài “Ứng dụng lí thuyết ỗn định vào giải một số bài tốn kinh tế" khơng có sự trùng lặp
Người cam đoan
Trang 3
LOD CAM OD 1 ỐẮằ ạ 1
Loi cam doan 2
MUC LUC 1Ð: 3
LY (0 5).\ 0 - H.HAHH 4
Chương 1: GIGI THIEU VE Li THUYET ON DINH VA MOT SO MO HINH KINH TE CO DIEN
1.1 Tóm tắt về lí thuyết ôn định 2 e++++2xe+trxsrrxerreeee 6 1.2 Sơ lược về các hệ thống kinh tế 2-22©+©rxz+Exzsrrserrre 12 1.3 Một số mô hình kinh tế cố điển 2¿22¿©22zz+2zszzczzvz 13
Chương 2: VAI TRÒ CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ
SAI PHAN TRONG PHAN TICH KINH TẸ
2.1 Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 - 19 2.2 Hệ phương trình sai phân tuyến tính cấp Ị - 21
Chương 3: ỨNG DỤNG LÍ THUYÉT ÓN ĐỊNH VÀO GIẢI MỘT SO BAI TOAN KINH TẸ
3.1 Giới thiệu và xây đựng mô hình kinh tế - 2 se e¿ 25 3.2 Mô hình có hệ số khuếch tán lao động bằng không 32 3.2.1 Vấn đề tồn tại điểm cân bằng dương -¿¿c5c+¿ 32 3.2.2 Tính hút về điểm biên của nghiệm -2- ¿s22 33 3.3 Mô hình có hệ số khuếch tán lao động dương 4I 3.3.1 Sự tồn tại và ôn định điểm cân bằng dương -.- 4I 3.3.2 Tính hút toàn cục của điểm cân bằng dương 43 3.4 Bài toán áp dụng - - «kg HH HH HH rệt 51 KET LUAN i oiceecccecccecsseessesssesssscsssecssecsssesssscssecssvesssesseesssessseesssessseess 64
Trang 4Trong lĩnh vực toán học ứng dụng thường gặp rất nhiều bài toán liên quan tới lí thuyết ồn định Vì vậy việc nghiên cứu lí thuyết ồn định đóng vai trò quan trọng trong lí thuyết toán học và toán học ứng dụng
Chúng ta biết rằng hệ thống kinh tế là một hệ thống phức tạp, chịu tác động của nhiều yếu tố Thông thường để giải quyết một số các vấn đề kinh tế ta phải mô hình hóa bằng mô hình tốn học Các mơ hình này thường được mô tả bởi các phương trình sai phân hoặc vi phân Trong mô hình này điều được quan tâm là tính ổn định của mô hình và để khảo sát tính ốn định của mô hình ta sử dụng lí thuyết 6n định
Luận văn được nghiên cứu theo hướng này, đầu tiên đi xây dựng mô hình kinh tế sau đó khảo sát tính ồn định của mô hình nàỵ Đây là mô hình có nhiều điểm mang tính thời sự, chưa được tìm hiểu nhiềụ
2 Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu lí thuyết ôn định và ứng dụng của lí thuyết ổn định trong giải một
số bài toán kinh tế
3 Nhiệm vụ nghiên cứu
Các cách giải phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân Dựa vào lí thuyết ôn định để xét tính ồn định của mô hình kinh tế 4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứụ
Nghiên cứu về lí thuyết ôn định, các phương pháp nghiên cứu tính ổn định và ứng dụng vào một số mô hình kinh tế
5 Phương pháp nghiên cứụ
Trang 6MOT SO MO HINH KINH TE CO DIEN
1.1 Tom tat vé li thuyét 6n dinh 1.1.1 Khai niém Xét hệ phương trình vi phân thường x=/0,x) (1.1) trong đó ;>0, xe X (+ nói chung là không gian Banach, đôi khi lay v= Rr’), #:R'xD> X(Dc Y)
7 đủ tốt để thoả mãn điều kiện về tồn tại và đuy nhất nghiệm trên ä' x 0 Định nghĩa 1.1 Giả sử x=x'() là một nghiệm của hệ (1.1) Nói nghiệm này ổn định nếu: V¿„ >0, Ve>0, 3ổ=ở(z,,) sao cho mọi nghiệm
x(t) cia hệ (1.1) thoả mãn: |x,)— x'œ,)|< ở thì [x#)- x'@)|< e, Ví >4,
Nếu x=x' () 6n định và có tính hút, nghĩa là tồn tại ổ, >0, sao cho:
xe) x° CO) <1 => [xứ,)—x 0)|—>0 khi ¿ ¬ s thì nghiệm nói trên (và bản
thân hệ) được gọi là ồn định tiệm cận
Nếu ở ,Ổ, CÓ thể chọn không phụ thuộc vào ¿„ thì các nghĩa ổn định trên được
gọi là ôn định đềụ
Để bài toán được đơn giản, người ta thường cho thêm giả thiết
ƒ0.0)=0 V/>0
Trang 7thì nói hệ là ồn định mũ
1.1.2 Các phương pháp nghiên cứu tính ốn định
Khi số chiều của không gian không quá lớn hoặc dạng của hệ đơn giản,
có thể tìm được công thức nghiệm tổng quát thì có thể khảo sát trực tiếp
(được trình bày trong chương 3 của luận văn) Ngoài ra có thể khảo sát tính ôn định bằng phương pháp thứ nhất, phương pháp thứ hai của Liapunov hoặc các bất đẳng thức vi phân, tích phân (bất đẳng thức Gronwall-Belman và các bất đăng thức mở rộng)
ạ Phương pháp thứ nhất Liapunov
Trang 8Định lí 1.1 Nếu mọi phần tử của phổ ơ(® đều có phần thực âm thì hệ
(1.2) la 6n định tiệm cận (hay trạng thái cân bằng tầm thường x=0 là ôn định tiệm cận)
- Nếu mọi phần tử của phổ ø (4) đều có phần thực không dương và các
phần tử có phần thực bằng 0 là nghiệm đơn thì hệ (1.2) là ôn định - Nếu ø(4) có phần tử với phần thực đương thì hệ không ôn định Tiêu chuẩn Hurwitz Với 4 là mà trận hằng cỡ ø¡ xø, việc tìm phố ø (4) là khó, trong nhiều trường hợp người ta sử đụng đấu hiệu sau (định lí 1.2) để xét
tính 6n định của hệ (1.2)
Dinh lí 1.2 Giả sử phương trình đặc trưng det(4- 27)=0 của hệ (1.2) la: fA) =a, +a AtaV + 4a,,A"'+4,2"
cé dang chuan, nghia la a, > 0 và ø, #0 Khi đó mọi phần tử của phố o(A) (hay mọi nghiệm của phương trình đặc trưng) có phần thực âm nếu ma trận sau xác định dương (các định thức con chính đều đương)
a, a, a, ay 0
=|a a a a a
A= 5 4 3 2 1 ›
Qua Frn-2 đạn rng Frys An trong đó z; = 0 khi s<0 hoặc s>n
Hệ tuyến tính thuần nhất không dừng
Hệ tuyến tính thuần nhất không đừng là hệ có dạng
Trang 9Định nghĩa 1.2 Giả sử x = x¿) là một nghiệm của hé (1.3), ta goi gidi hạn
zixÌ= lim “ino
là số mũ Liapunov của nghiệm nàỵ Tập hợp các số mũ Liapunov khác +œ
của tất cả các nghiệm của hệ (1.3) được gọi là phô Liapunov của hệ nàỵ Định lí 1.3 Nếu Ăt) la một ma trận hàm liên tục và bị chặn trên R”
|4@|<€ vi>0 (0<CK< ø)
thì mọi nghiệm không tầm thường của hệ (1.3) đều có số mũ đặc trưng hữu hạn Trong trường hợp này, hệ (1.3) có đúng ø số mũ đặc trưng (không nhất thiết khác nhau)
Định lí 1.4 Hệ (1.3) là n định tiệm cận nếu số mũ đặc trưng cực đại âm
Jag =max (4,)<0 (4, là phần tử phổ của 4/)) Hệ tuyến tính
Hệ tuyến tính là hệ có dạng
x= A0)x+ /0) (1.4)
Néu f() là một hàm liên tục, giới nội trên #` thì tính ôn định của hệ (1.4)
được suy trực tiếp từ tính ổn định của hệ (1.3)
Hệ tựa tuyến tính
Hệ tựa tuyến tính là hệ có dạng
Trang 10Giá sử 40) là ma trận ôn định tiệm cận và tồn tại lân cận đủ nhỏ của điểm gốc oex sao cho với mọi x thuộc lân cận có L/.x)|< zœJt| trong đó z() là một hàm dương nào đó trên R” và z(/) —>0 khi t > +00 thi hé (1.5) ổn định Có thê thay điều kiện ø@) —› 0 khi z -› + bởi điều kiện Íza <Sc<+z, 0 Hệ phi tuyến Hệ phi tuyến là hệ có dạng x= f(t,x) (1.6) f(t,0) =0 Vt>0 Gia str ham f(¢,x) đủ tốt về khả vi theo x Phan tich Taylor f(¢,x) tai x=0 ta CÓ: ; +) - 0:0) Zữ.x)= ox x+g(.,x)x, trong đó zứ,x) = 0(|x|) Đặt 4¿) = 0) ta dua hé (1.6) vé dang x= Ăt)x+ g(t,x) Vậy nếu mọi số mũ Liapunov của ma trận 69) đều âm (hay số mũ cực đại Ox
am) thi hé (1.6) la ồn định tiệm cận b Phương pháp thứ hai Liapunov
Trang 11x= fx) (1.7) Z.0)=0 vr>0 trong đó x e X (hoặc x e &") và / đủ tốt Ta kí hiệu K là lớp các hàm số ặ): Re OR’,
trong đó ặ) là hàm liên tục đơn điệu tăng trên R* va ă0)=0
Định nghĩa 1.3 Một hàm (,x) khả vi liên tục theo ¿ và theo x trên một lân cận R' x D c8' nhận giá trị trong R' V:R'xD>R`,VeC,`(R'`xPÐ) được gọi là một hàm Liapunov của hệ (1.7) nếu: _ Vự,0)=0 V¿>0 ii) Tén tai ham a e K sao cho ă|x|) <V (x) V(x) R' xD
11) d,Y(,x)= + Hex) <0,VŒ,x)eR'xD
Trường hợp Œ,x) là hàm Liapunov và tồn tai b,eeK sao cho V(t,x) < b(x|) V(,x) R` xÐ,
d,V(.,x) <~c(|x|) Vx e R`,Vxc D\{0}
thì 7, x) được gọi là hàm Liapunov chặt của hệ (1.7)
Định lí 1.5 Nếu hệ (1.7) là hàm Liapunov thì nó ổn định, có hàm
Liapunov chặt thì nó ôn định tiệm cận đềụ
Trang 12hệ Người ta còn dùng hàm bố trợ (hàm Liapunov) để khảo sát các định tính
khác như tính giới nội, giới nội đều, dao động tuần hoàn của nghiệm 1.2 Sơ lược về các hệ thống kinh tế
Trong thực tiễn, các hoạt động kinh tế hết sức đa dạng, phức tạp và chịu tác động của nhiều yếu tố mang tính ngẫu nhiên Chúng ta có thể sử dụng
nhiều phương pháp, nhiều công cụ khác nhau để tiếp cận, phân tích và giải
quyết chúng ở cả tầm vi mô và vĩ mô Phương pháp mô hình là một trong những phương pháp hiệu quả kết hợp được nhiều cách tiếp cận hiện đại, đồng
thời cũng kế thừa được nhiều mặt mạnh của các phương pháp truyền thống
trong nghiên cứu kinh tế - xã hộị Trong phần này chỉ giới thiệu chung về một số thuật ngữ, khái niệm thường sử dụng trong các mô hình toán kinh tế
Đặc điểm của các biến số kinh tế
Các biến kinh tế nói chung thô ráp, không đơn giản và tròn trĩnh như những gì thường được dùng trong lí thuyết Các mối quan hệ qua lại giữa chúng và quan hệ với các lĩnh vực khác của xã hội như chính trị, văn hoá, quốc phòng, đối ngoại, lại càng phức tạp Điều đó làm cho việc mô tả các mô hình trở nên khó khăn, thường là không sát lắm so với thực tiễn Để có thể mô tả được chúng bằng ngôn ngữ của Toán học ta cần lý tưởng hoá chúng
bằng các quy ước nhất định
Trang 13của các biến, mục đích nghiên cứu, phân tích cũng như khả năng về ngôn ngữ dữ liệu liên quan mà các biến số kinh tế được phân loại như sau:
- Biến nội sinh (biến phụ thuộc) là đối tượng được xác định trực tiếp
hoặc gián tiếp bởi sự lựa chọn của các tác nhân Tổng quát hơn, biến nội sinh là các biến toán học được xác định bằng cách giải mô hình
- Biến ngoại sinh (biến độc lập) là các biến nằm ngoài sự điều khiển của các tác nhân trong mô hình Tổng quát hơn, biến ngoại sinh là các biến toán học được xác định bên ngoài phạm vi của mô hình kinh tế Biến ngoại sinh còn được gọi là các tham biến
Tuỳ vào từng mô hình cụ thể ta có thể xác định được biến nào là biến nội sinh và biến nào là biến ngoại sinh
1.3 Một số mô hình kinh tế cố điễn có dạng vi phân, sai phân 1.3.1 Mô hình Harod-Domar
Khi nghiên cứu sự tăng trưởng của một nền kinh tế, một trong những vân đề được quan tâm là xác định mối quan hệ giữa sự tăng trưởng và nhu cầu về vốn nếu biết được mối quan hệ này, ta có thể tính được nhu cầu đầu tư của nền kinh tế nhằm đảm bảo yêu cầu tăng trưởng đã dự kiến
Mô hình này coi đầu ra của bất kỳ một đơn vị kinh tế nào đó, dù là một công ty, một ngành cơng nghiệp hay tồn bộ nền kinh tế phụ thuộc vào tông số vốn đầu tư cho nó
Nếu gọi Y, là đầu ra (thu nhập quốc dân) trong giai đoạn £ còn s, là mức tích luỹ (tiết kiệm) thì
S,=sY,, t
trong đó s là một hằng số và được gọi là tỷ lệ tích luỹ trong GDP
Trang 141 =cŒ =Ỵ)›
trong đó c là một hằng số và được gọi là tỉ số gia tăng vốn - đầu rạ
Do tiết kiệm là nguồn gốc của đầu tư nên đầu tư luôn bằng tiết kiệm, tức là $ =1 Ta có mô hình tăng trưởng Harod - Domar 5, =sY, T=c%,-¥4) S,=1, Từ ba phương trình trên ta có c=Œ -†,¡)=sử (1.8)
Phương trình (1.8) là phương trình sai phân tuyến tính cấp một thuần nhất hệ số hằng Giải phương trình này ta tìm được
€
W,=(C—YN c—8
Tính ổn định theo thời gian phụ thuộc vào -“— Do e là tỉ số gia tăng vốn -
c-s
Trang 15
Vậy tỉ lệ tăng truéng la: g = —_
1.3.2 M6 hinh tang truéng kinh té Solow
Mô hình được đặt tên nhà kinh tế học Robert Solow Ông đã nghiên cứu mô hình dựa trên các đữ liệu thu thập ở Mỹ vào những năm 1950 đến năm 1970 Robert Solow đã được nhận giải thưởng Nobel về kinh tế năm 1986 do những đóng góp to lớn của ông về lí thuyết tăng trưởng
Các giả thiết của mô hình Solow:
- Thời gian là liên tục
- Nền kinh tế đơn giản cùng với công nghệ không thay đổị - Không có sự tham gia của Chính phủ hoặc thương mại quốc tế - Mọi nhân tố sản xuất đều có việc làm
- Lực lượng lao động gia tăng theo tỉ lệ không đổi
L' n=—
- Giá trị ban đầu của vốn và lao động là Ko, Lo
- Hàm sản xuất dang tân cô dién (Ham Cobb-Douglas) Yứ) = F[K(), L()]= yK()“ Lự)"* Để đơn giản ta ký hiệu
Y=#K*L", trong đó K là vốn, r là lao động
Trang 16F (0,0) = F(K,0) = F(0,L) =0 - Sản xuất cận biên là đương oF at pla —— =G/ L“>0, 6K mK OF —=(l-a)7K°L“* >0 OL (l- @)yK - Sản xuât cận biên giảm, tức là = =(œ-1)ayÿK“?U"“ <0, = =(-a)(1- ø)zK“L“' <0 Xây dựng mô hình Đặt y ` là giá trị đầu ra trên một lao động Khi đó UKE | Ka hia 1 Kya _ pa PG = 1G" = "> (1.9) 1.9 mÌ= ye
trong đó ạ- Ấ là vốn trên một lao động L
Tại mọi thời điểm, đầu tư; = sy biéu thị tốc độ gia tăng vốn, nên ta có phương trình tích luỹ vốn
K=sY-„K
Trang 17K' R' y => = tn — +tn=s—-/”- K (> R R > R#'=sy—(ưn)R (1.10) Từ phương trình (1.9) và (1.10) ta được phương trình vi phân của mô hình Solow R'= s;R“ —(+n)R Đây là phương trình Bernoulli, ta có thể giải phương trình để tìm # theo 7.S,1,/M Phân tích mô hình
Từ phương trình vi phân của mô hình Solow ta thấy trạng thái 6n định
là khi có nguồn vốn &” thoả mãn phương trình
1
sy(R`)“~(n+/)R`=0— R` -( SY iz n+p
Khi đó dau ra 6n định trên một lao động là y" = (22) n+p
Như vậy sự ổn định đầu ra trên một lao động phụ thuộc vào tỉ lệ tiết kiệm, tỉ lệ gia tăng dân số va ti lệ trượt giá * a 2a-1 Taco ay = yie -_#- s1“ >0, Os nt+u l-a@ 2-1 dy" _ ey _ ( sy yr Ø5 9, ôm ôn n+ự l-ăn+p)*
Trường hợp đặc biệt: Mô hình sản xuất Cobb-Douglas
Ham sản xuất Cobb-Douglas chỉ sử dụng hai yếu tố đầu vào là vốn và lao động có dạng:
Trang 18trong đó Y la san lwong, 7 1a nang suat toàn bộ nhân tố, £ là lượng vốn, ¿ là lượng lao động và øz,/ lần lượt là hệ s6 co dan theo san lượng của vốn và lao động
Hệ số a,B la cố định và phụ thuộc vào công nghệ:
- Nếu z+/=1 thì hàm sản xuất có lợi tức không đổi theo qui mô
- Nếu z+/<1 thì hàm sản xuất có lợi tức giảm theo qui mô
- Nếu z+/>1 thì hàm sản xuất có lợi tức tăng theo qui mô Khi đó các yếu tố cơ bản trong mô hình được xác định như sau:
Tỉ lệ tiết kiệm s = = (S la tiét kiém)
Sản lượng trên một đơn vị lao động y= = hoặc „= S (với ở: là tỉ lệ khấu
&
hao)
Vốn trên một đơn vị lao dong x= 7
Trang 19CHUONG 2
VAI TRO CUA HE PHUONG TRINH VI PHAN VA SAI PHAN TRONG PHAN TIiCH KINH TE
2.1 Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một
Chúng ta nghiên cứu cách giải hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một qua ví dụ đơn giản sau đây Ví dụ Xét hệ phương trình vi phân x')+2ý)+2xữ) +5y() = 77 2.1) ý)+ xŒ)+4y() = 61 : Kí hiệu " II ve Oh y= | iI ue [ | = MÌ yt) y(t) 0 1 1 4 61 Lúc đó hệ (2.1) được viết đưới dạng Juụ + Mv= g, (2.2)
hoặc J 'JựJ 'Mv=J 'g©lưKv=d, trong đó 7 là ma trận đơn vị K =J'A/ va d=J"'g
Chúng ta đi tìm nghiệm riêng của hệ (2.2) dưới dạng véc tơ có các toạ độ
Lal beth
không đổi
Trang 2045
3 3/77 1
= “all 33 = 8® 2.3
Để tìm nghiệm bù của hệ (2.2), tức là nghiệm thoả mãn JưMv=0 chung ta xét nghiệm có dạng: x()= me” Và y(t) =ne" Do đó: x(t) = mre" va ý() = nre” mre” m| og mre” mÌ „ 1= = re" Va v= = er nre” n nre” n Thay wu va v trong các công thức trên vào phương trình Ju + Mv = 0, ching ta co he oad) Ên =0œ© n crea)" | =0 n (2.4) n Để (2.4) có nghiệm không tầm thường, chúng ta phải có detJ + M)=0 (2.5)
Phương trình (2.5) được gọi là phương trình đặc trưng của hệ (2.2) và cho
phép tìm được các nghiệm z; cần thiết, từ đó có thể tính được các giá trị zn; và
Trang 21-1 -Il||m;
=0am, =A4,,n, =—-A, 1 1 jin,
với 4; là tham số có giá trị tuỳ chọn
Căn cứ các giá trị r„ m, và n, đã xác định được với ¡=I,2 như trên đây, Xx, me™ +m,e™ y ~ nt mẽ | Ye me” +n,e Nên nghiệm tông quát của (2.2) sẽ là [)-[ x|_[34é+4,e" +1 vw} Ly J |y| [-4et-4,e* 415] Hơn nữa, nếu xét điều kiện ban đầu x(0) = 6 và y(0) = 12 thi cdc tham s6 4, nghiệm bù của (2.2) có dạng và 4; sẽ nhận các giá trị thích hợp là: 4i = I và 4; = 2
Ngoài ra, với các giá trị tuỳ ý của các tham số 4, và 4; dễ thấy rằng các đường quỹ đạo thời gian x/) và y() đều hoặc hội tụ hoặc không hội tụ Trong ví dụ trên, do r; = -l; r; = -3 nên các đường này đều hội tụ về mức cân bằng ôn định động với x =I, y = 15
Phương pháp giải hệ phương trình vi phân tuyến tính tông quát cũng có
thể được trình bày trong ví dụ trên Ta có thể tự nghiên cứu công thức tìm
nghiệm bù và nghiệm tổng quát trong các trường hợp hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một có phương trình đặc trưng với các nghiệm thực phân biệt hay các nghiệm phức
2.2 Hệ phương trình sai phân tuyến tính cấp một
Để nghiên cứu cách giải hệ phương trình sai phân tuyến tính cấp một, chúng ta xét ví dụ sau đây:
Trang 22X,,,+6x,+9y, =4 | (2.6) mm Chúng ta đi tìm nghiệm riêng của hệ (2.6) dưới dạng [<] Imasy-4 [Pd fea ]_[x,]_[*|_ [7x+9y=4 “4 b, “GIF An #42] [| Ly] [rxry=0 |'*z yaa
Chú ý: Nếu cách tìm nghiệm riêng trên đây không cho ta đáp số thì
cần tìm nghiệm riêng dưới dạng: x, = &¡f và y, = kot
Để tìm nghiệm bù của (2.6), chúng ta xét dạng nghiệm sau: x, = mb' va y, = nb’ Lúc đó x„¡ = mb `” và y„.¡ = nb”T, Thay các biểu thức này vào hệ phương trình thuần nhất tương ứng với hệ (2.6): Ịn +6x,+9y, =0 Yi —X, = 0 ta sẽ thu được lu + 0, = (2.8) —m + bn = Dé hé co nghiém (m,n) khéng tam thuong, can xét điều kiện b+6 9 — D
đe | |9=z+e+sse sbebisa (2.9)
Phương trình (2.9) được gọi là phương trình đặc trưng của hệ (2.6) và cho phép tìm được ø=44, và m=-34,, với 4, là tham số tuỳ chọn Từ đó, có thể tìm được công thức tính nghiệm bù của (2.6)
MẸ -34,(-3)' -34,t(-3)'
Trang 23x) Fx) [ex] [734030 3.4030! +
hehe eet)
Dé thay, trong ví dụ này, do ø, =, =-3 nên các đường quỹ đạo thời gian x, và y, đều phân kì và có dạng dao động tuần hoàn khuyếch đạị Trong
trường hợp tông quát, các đường quỹ đạo thời gian của các biến kinh tế x, và
+, luôn đồng thời hoặc hội tụ hoặc phân kì
Phương pháp giải trên đây có thể được trình bày dưới dạng các phương trình ma trận như sau:
Trước hết hệ (2.6) được viết dưới dạng:
Trang 24Thay vào phương trình (2.10) chúng ta thu được orn) =ọ (2.11) n Để (2.11) có nghiệm không tầm thường, cần xét điều kiện sau b+6 9 n)70299)280+9=0 ; — D det(bI + K) = ast © b=b, =-3 (2.12)
Phương trình ø”+6»+9=0 được gọi là phương trình đặc trưng Từ đây ta cũng có ø=4,và m=-34,, với 4, là tham số tuỳ chọn và nghiệm tổng quát của (2.10) là
' "m f°) - [Hi - ~34,(-3) —3⁄4,/(-—3) +2
MOL WS Ly) | 4 ay + 4-3)! t2
Chú ý: Trong trường hợp phương trình đặc trưng có nghiệm là các số
thực phân biệt (hay là các số phức), chúng ta vẫn có thể dễ đàng viết được
Trang 25CHUONG 3
UNG DUNG Li THUYET ON DINH VAO GIAI MOT SO BAI TOAN KINH TE
3.1 Giới thiệu và xây dựng mô hình 3.1.1 Lập mô hình di cư lao động
Ta quy ước chung các địa phương nông thôn của một quốc gia nào đó là
“vùng nông thôn”, và ký hiệu là vùng Q, Cac thanh phó, thị xã của quốc gia
đó gọi là “vùng thành thị”, ký hiệu là Q, Nói chung giữa hai vùng kinh tế
này của bất kỳ quốc gia nào cũng có sự khác biệt, các ưu thế thường là nghiêng về phía vùng thành thị Điều này được thể hiện bằng những điều kiện xác định trong mô hình Việc luân chuyến cư dân (chủ yếu là lực lượng lao động) giữa hai vùng này thường diễn ra liên tục hoặc theo thời vụ Đó là một quá trình đa dạng, khó kiểm soát một cách cụ thể mà chỉ có thể nói về những nét cơ bản nhất, tổng quan nhất mang tính quy luật chung Nhu cầu về nhân lực và nhu cầu về thu nhập bằng lao động luôn là những yếu tố gây nên những biến động về lượng lao động Nói cách khác, sự biến động của lượng lao động chủ yếu được gây ra bởi sự chênh lệch về “tỷ số vốn - lao động” giữa hai vùng trên Sự dịch chuyên lao động, được gây ra bởi nguyên nhân này gọi là sự “đi cư lao động” Ngoài ra, trong thực tế, hoặc thường xuyên hoặc theo thời vụ vẫn tồn tại một lượng lao động dịch chuyển qua lại giữa hai vùng với một tỷ lệ nào đó của sự khác nhau về lượng lao động trên hai vùng Ta gọi sự dịch chuyển dạng này là sự “khuếch tán lao động” Khơng phải tồn bộ sự khác biệt đều chuyên hoá thành di cư hay khuếch tán lực lượng lao
động mà chỉ một tỷ lệ nào đó của sự sai khác này được chuyển hoá thành sự dịch chuyển, gọi các tỷ lệ đó là các hệ số Có thể khái quát một cách không
Trang 26tán mang tính ngẫu nhiên nhiều hơn, thường diễn ra theo thời vụ Để tìm hiểu cách xây dựng mô hình ta đưa vào một số ký hiệu sau:
Lạ; Lị tương ứng là lượng lao động ở vùng nông thôn; vùng thành thị Ko: Kị tương ứng là lượng vốn ở vùng nông thôn; vùng thành thị
Ro; Rị tương ứng là tỷ lệ vốn — lao động ở vùng nông thôn; vùng thành thị, dành cho lao động Y;; Y¡ tương ứng là lượng sản phẩm lao động ở vùng nông thôn, vùng thành thị Xị; Xi tương ứng là lượng chỉ phí ở cùng nông thôn, vùng thành thị khi sử dụng hết lượng lao động Lấy hàm sản xuất là hàm Cobb-Douglass Y,=y,K” 1}, với trường hợp đặc biệt ø, + =1 =0,1) Ham chi phi
X,=öY,+e£,L, =ðy,Kf“LƑ +e,L, VỚI 0< ổ, <1;£, >0
Các đại lượng „¿ K¿ R¿ Y¿ x, đều là hàm số của biến thời gian ứ
L,=L,0),K, =K,0).R, = R,@),Y, =Y,(),X, =X,0)
Trang 28[4° =-pyR, + v RO -e, -[ăL, - L,)- b(R, - Ry) + Ly + b(R, -— R,) + Lis |“ =-M,R, +v,R" — 6, -[ăL, -1,) + b(R, - R,) +L, —b(R, - Ry) + ae “2” = ăL,-L,)-b(R, - R,) +L, + b(R, -R,)+L,, [=e = ăL, —L,)-b(R, — Ry) +L, —b(R, - RR) + Lỵ
Trong hệ phương trình trên z„ là chỉ phí cho một đơn vị lao động (chẳng
hạn là trung bình lương của một nhân công), nó rất bé, không đáng kể so với
“ là tốc độ thay đối tý số vốn trên lao động của toàn xã hộị Vậy trong hệ í phương trình trên có thể bỏ bớt số hạng «, ở về phảị Tương tự, cũng có thể bo «,, ta di đến hệ {dR ,(t aw R ai 2a ay Ry + vy RS = [ăL, = £4) = b(R, = Ry) + Ly + (Ry = Rị) + ĐT, | o aR) _ ay P Ry + y,R; +v,RO —[ăL, - L,) hi + (KR, - R,) +L, -b(R, - Ry) +L ye ¬ ¬ ` dLy( | 3 ) =< ăL, - L,)- b(R, - Ry) + Ly + (Ry - RB) + L,, | dL JF = ats = 2) BCR, ~ Ry) Ly = BR, ~ Ry) + Ly t
Trong mô hình nay:
a, la số mũ trong hàm sản xuất trên khu vực ¡, giả thiết 0< ứ, <ứ, <1 „, là hệ số chỉ độ sụt giảm vốn ở khu vực ¡, giả thiết 0< „ < <œ
Trang 29Ta ky hiộu
ô <4 khi (0< R<đ),
- |0 &hi (< R<0)
G = (Ry; Ry; Ly) :0< Ry, R, <,0<L, <1}
Moi điểm thuộc miền này có các thành phần toạ độ đều dương Thuật ngữ “điểm cân bằng dương” dùng để chỉ một điểm cân bằng thuộc miền G của hệ
Trường hợp đặc biệt, khi không có sự chuyển dịch lao động giữa các vùng (a=b=0)ta có hệ đơn giản hơn: aR ,(t) ng acc a, dR (t) a, PO = aR eR, al (t) _ 4 dt db (t) | Điểm cân bằng tìm được = HoRy + VoRo® = 0, Ho = 1 — wR, + VR =0 + Nhận xét: ¡) Hệ cuối có duy nhất một điểm cân bằng đương với hai thành phần toạ độ đầu là „ Chị? rr =f Hy “h
Giả thiết (3.2) cho ta thấy, khi không có sự chuyên dịch lao động thì tỷ lệ vốn ~ lao động ở trạng thái cân bằng ở thành phố là thực sự cao hơn ở nông thôn
ii) Điểm cân bằng (z„:z,) là ơn định tồn cục, tức là “„(/)—› ø„ và R,() —>ø, khi
Trang 301 yo R,(t) = (ce may 4 Yo )9, My 1 Vv, R(t) = (Ce + 2D), 1 Cho ;-›« thì Ryứ) — ( 9) =z,VÀ R0) — CĐ) =a, Ho 1
3.1.2 Một vài hệ thức quan trọng của mô hình
Ta viết hệ phương trình vi phân (3.1) một cách ngắn gọn hơn và tìm cách đưa
nó về một hệ phương trình vi — tích phân thuận lợi cho việc đánh giá nghiệm sau nàỵ Do lực lượng lao động của toàn xã hội là không đổi (1) + 1,0) =1, 1 là một hằng số) Không mắt tông quát, ta lẫy / = 1 Vậy trong hệ (3.1)đặt P0)= (Œ0}:R,0):10)) dR, dR dL FPO) =O BOAO), Ta có hệ 4 — pụp) dt Hay dR, =-4,R, tv, RO -[a+0(R, -R,), -2a+dlR, on -R,)L, R, (a) dt L, aR a R, 3.3 eR, +R —[a+0(R, -R,), -Qa+b[R, -R, PL, } () (3.3) | at 1-L, |
—* -a+b(R,-R,), -(2a+b]R, —R,)L, (e)
Phương trình (3.3.c) là phương trình vi phân tuyến tính cấp một đối với r„ Giải phương trình này:
a =a+b(R,-R,), -(2a +b|R, —R,|)Lỵ
Xét phương trình thuần nhất:
Trang 31tp Ý oe [n= [eat bik Ro har —b [IR,(Œ)=Rạ (Œ)|dz © LŒ)= e g9 L, (0) Sử dụng công thức nghiệm Cauchy, ta được: =b[IRị()-Rạ()dr L(t) = ete 9 10) +{emes, 1 2573 b@G)—R.G), bs (3.4) Tương tự, giải phương trình dL, a -(2a + DIR, — Ry|L, +a + B(R, - Ry), ta được =b|IRị (z)~Rạ(£)ld+ MÌ R,(2)-Ry\dz L(t)=e"e * L,(0) + [ ee [a + B(R,(s)— R,(s)), Jas - (3.5) Từ phương trình (3.3.c) ta có: dL “Ta +b(R, ~R,), -a + BỊR, — Ñ,|)L, d L, 1
2 qin bad= T= FL a+ BR, Ri) -(2a + b|R, — Rụ|)L„ ]- Khi đó ta đưa được phương trình (3.3.a) về dạng
aR a a
"m = —MyRy + vy Ro" ~Cyla Lạ) -
Đây là phương trình Bernoulli đối với 2 Phuong trinh này được viết lại như
Trang 32tức = Mu + R 0 a = Có TRĐV)Ñ, d si Dat p,()=R,(t)'* =R,()”, khi dé ta duge d Py =P My + IL) Py + Boro (3.6) Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp một, trước hết ta xét phương trình thuần nhất: 0 d Po =p, — By “(in Ly) - Po at
Nghiệm tổng quát của phương trình này
Ăt) = e Pott õBolin Lo 1)-In Lo], Lo (0) fo = cu one) e Ma trận nghiệm cơ bản aye ofa Cc ®Œ,s)= cué
mine fiona oF «Biff as} (3.7)
Trang 33Khi a =0 hé (3.3) tré thanh
dR a R
Gi Hoo + vos" — [UR y =R,), BIR, ~ Rollo,
aR ge BR +R ~[B(Ro =Ry), ~ BIR, ~ Rolly TT: a R (3.9)
dL
Tee b(R, =R)), BIR, ~ Ro|bo-
Viết ngắn gọn hệ (3.9) “P_ F(P)-
dt
Dinh lí 3.1 Hệ (3.9) không có điểm cân bằng đương
Ching minh: Gia str (2,; R,; L„) là một điểm cân bằng của hệ (3.9) Khi đó ta có hệ phương trình 1 aR 0 Ry =()* =n, Yo ato 9, › P dt = MyRy + v Ro" =9, ° , aR, a Vị v2 ——=0, & $TO/,R,+v,R“' =0, & +R¿=(C—)”=n, dt R=R y= P tho Do ho R,=R, dt
Hệ này vô nghiệm do z„ < z, Vậy hệ (3.9) không có điểm cân bằng dương 3.2.2 Tính hút về điểm biên của nghiệm
Khi hệ số khuếch tán lao động œ=0 thì hệ (3.3) trở thành hệ (3.9) Ta khảo
sát đáng điệu nghiệm của hệ nàỵ
Định lí 3.2 Mỗi nghiệm P/) của hệ (3.9), xuất phát từ điểm (0ø đều
dần tới một điểm biên P = (z;: z,; 0) của tập khi ¿ —› œ, trong đó z„ e (;;z,) là
nghiệm dương duy nhất của phương trình (an 14 Ry)
— wR, +v Rj? +b(r, -— R,)R, =0
Trang 35R, No Ri-Ro Ro (Hinh 3.1) Goi n, (Hinh 3.1) 1a doan đường cong có phương trình R=R,+ , -vR,”), R.>n Ta thấy:
- Đường cong n, có vị trí nằm phía trên đường phân giác R, = R,
(do R, > 1, > My —%Ro” >0=> R, > Ry)
- Doc theo mat cong n, x(0,1) thanh phần thứ nhất của trường véc tơ
F£) là triệt tiêu ( “#s = 0), dR dt
Trang 36aR R
So = Ry + vyRM + [b(R, — Ry)L, |-2 = 0
dt L,
> —MyRy + Vy Ry® + B(R, — RyRy = 0
> —MyR, + VoRy +b(R, - Ry) =0
1 4,
SR=R, _ —wш")
Day là phương trình mặt cong n, x (0,1) với Rị > Rọ
Bỗ đề 3.1 Thành phần thứ nhất của trường véc tơ #(?) của hệ (3.9) triệt tiêu trên mặt $; và mặt trụ n, x(0,1) Thanh phần này mang dấu đương trên miền z°x(01), mang dấu âm trên miền z;°x(0A) Trên miền É°thành
phần này dương phía trên mit So, và âm phía duéi mat 5»
Ching minh Ta co He — otrén nạ x(0,1) (đã được chứng minh ở trên) t o =0 trên mặt %; được chứng minh như sau: t (Ry ~ RK), Ly=— 0 — 8y +vụj + ĐỊÑ, — Ry) aha RoR © Củ +vụÑ, J1, —b(R, — R.), +b|R, — Rj|L, = 0 % ® <>TdyRy +v,Rộ" — [b(R, —R), —ÄR, — |1, ]Ê* =0 0 Ho 29 dt Vậy “8 _ trên mặt S) Day 1a điều cần chứng minh dt ne qk AR, yn sk a sk t0
Xét dâu của Hon mién £” x(0,1) va mién £{° x (0,1) i › 3 Phương trình thứ nhất của hệ (3.9) được viết lại
L, dR _
Trang 37Khi ñ, > R,, ta có
L, aR,
R, dt = bla, = Ry |= My + ¥ Ro” L :
- Nếu (Rp; 21) En, thi Fao (vì về phải của phương trình bằng 0)
- Néu (Ro; Rị) € ES thi a >oø (vì về phải của phương trình dương)
- Nếu (Rp; 21) € E thi = <o (vì về phải của phương trình âm)
Khi R, < Ro, taco
L, dR -
Rod 7 Hot MoRo” ih + B(Ry ~ Ry =D - 0
Néu (Ro; Ri) € E” thi Ry > rp, do đó — uy +vạR“U <0 = ta 0 t
Vậy “° „ ọ trên miền £;" và A <o trên miền Z‡”, dt ;
Xét dấu của oe trén mién £ t aR, Khi (Ro; Ri) Â Eđ thi HR, -R,|-24, +R," > 0 Do d6 “ cing dau véi ¬ ) BIR, — Ry |— My + Vo Ro” 0 aR, >0 t
- Néu (Ro; Ri; Lo) nam phia trén Sy thi
- Néu (Rp; Ri; Lo) nằm phía dưới 5 thì a <0
Xét mặt cong thứ hai S;, sao cho dọc theo nó thành phần thứ hai của trường véc tơ F(?) triệt tiêu, được xác định bởi phương trình
Trang 39Bỗ đề 3.2 Thành phần toạ độ thứ hai của trường F(?) của hệ (3.9) triệt tiêu trên mặt s,và mặt trụ ø,x(0J) Thành phần này đương trên miền Ẻ) x(0,)và âm trên miền ES? x(0,1)) Còn trên miền thành phần này là dương ở phía dưới mặt 5, và âm ở phía trên mặt s,
Chứng mỉnh Ta có “= 0 trên mặt s, (chứng minh tương tự bổ đề
t 3.1)
Từ phương trình thứ hai của hệ (3.9) ta có
1-L, aR, Ra = =H, + VR," +d(Ry-R,) — (OR, - R= 4, +R," Lỵ (3.10)
1
1, ak» AR ˆ ok sk
Xét dâu của ` trên miên £ƒ° x(0,I) và miên #ø°' x(0,1) i 2
Trang 40Do (Ro; Ri) € E} nén - 4, +v,R/2% >0> B(R,-R,)- 4, +v,R,")>0
Khi đó ta viết lại (3.10)
Ly dR Ran — [b0R, - Rạ)— #4 + v,R,U [Eỵ My +R = -(L, -——~ _) *B(R, = Ry) = 4, + YR k š Am x , aR, - Nêu (Rp; Ri; Lo) nam phia trén mat S, thi 4 <0 It
- Néu (Rp; Ri; Lp) nm phia dui mat_ 5, thi ạ >0
Xét mặt cong thứ ba 7 được cho bởi phương trình
L(0) =y(Ry3R,) =~ (=v (RoR) BIR, -R,| [1 khi RB, < Rỵ b(R, - R,), i khi R, > Rạ, 2 "=