Phương trình, bất phương trình, hàm số mũ và hàm số lôgarit

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KHOA TỐN  KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Đề tài: PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LƠGARIT Giáo viên hƣớng dẫn : TS Nguyễn Ngọc Châu Sinh viên thực : Võ Thị Quỳnh Giao Lớp : 14ST Đà Nẵng, tháng năm 2018 GVHD: T.S Nguyễn Ngọc Châu MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài 2 Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng, phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc nghiên cứu CHƢƠNG I: CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ I Hàm số mũ II Hàm số lôgarit CHƢƠNG II: PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH HÀM SỐ MŨ .11 I Phương trình hàm số mũ 11 Phương pháp biến đổi tương đương đưa số 11 Phương pháp logarit hóa 12 Phương pháp đặt ẩn phụ 14 Phương pháp hàm số 23 Phương pháp đồ thị 37 SVTH: Võ Thị Quỳnh Giao GVHD: T.S Nguyễn Ngọc Châu Phương pháp điều kiện cần đủ 39 Phương pháp đánh giá 41 II Bất phương trình hàm số mũ 43 Phương pháp biển đổi tương đương 43 Phương pháp lơgarit hóa đưa số 46 Phương pháp đặt ẩn phụ 49 Phương pháp hàm số 54 Phương pháp điều kiện cần đủ 58 CHƢƠNG III: PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH HÀM SỐ LƠGARIT 62 I Phương trình hàm số lơgarit 62 Phương pháp đưa số 62 Phương pháp đặt ẩn phụ 64 Phương pháp hàm số 73 Phương pháp đồ thị 84 Phương pháp điều kiện cần đủ 86 Phương pháp đánh giá 88 II Bất phương trình hàm số lơgarit 89 Phương pháp biển đổi tương đương 89 SVTH: Võ Thị Quỳnh Giao GVHD: T.S Nguyễn Ngọc Châu Phương pháp đặt ẩn phụ 91 Phương pháp hàm số 96 Phương pháp đồ thị 101 Phương pháp điều kiện cần đủ 103 Phương pháp đánh giá 104 KẾT LUẬN 106 TÀI LIỆU THAM KHẢO 107 SVTH: Võ Thị Quỳnh Giao GVHD: T.S Nguyễn Ngọc Châu LỜI CẢM ƠN Đầu tiên em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy Nguyễn Ngọc Châu, người hướng dẫn tận tình để em hồn thành khóa luận Em xin gửi lời cảm ơn đến ban Giám hiệu trường Đại học Sư phạm - ĐH Đà Nẵng ban chủ nhiệm khoa Toán tạo điều kiện thuận lợi để khóa luận hồn thành thời gian quy định Em xin bày tỏ lịng biết ơn đến thầy khoa Tốn truyền đạt, dạy cho em kiến thức bổ ích quý báu suốt năm học đại học vừa qua Cuối em xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè - người cổ vũ động viên tạo nhiều điều kiện thuận lợi suốt thời gian em thực khóa luận SVTH: Võ Thị Quỳnh Giao Trang GVHD: T.S Nguyễn Ngọc Châu MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong chương trình tốn học bậc phổ thơng, phần phương trình, bất phương trình nội dung quan trọng, đưa vào giảng dạy từ bậc phổ thông sở Ở bậc phổ thông trung học, hai lớp hàm: Hàm số mũ, hàm số lôgarit hai hàm ngược có nhiều tính chất Do có nhiều cách giải khác cho lớp phương trình, bất phương trình hàm số mũ, hàm số lôgarit Việc rèn luyện kỹ giải phương trình, bất phương trình cần thiết người dạy người học Là sinh viên ngành sư phạm Toán, giáo viên Tốn tương lai, tơi chọn đề tài cho khóa luận tốt nghiệp là: “Phương trình, bất phương trình hàm số mũ hàm số logarit” Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu hệ thống phương pháp giải phương trình, bất phương trình, ví dụ minh họa - Nghiên cứu tính chất hàm số vận dụng vào việc giải phương trình, bất phương trình Đối tượng, phạm vi nghiên cứu - Phương trình, bất phương trình hàm số mũ, hàm số lơgarit thuộc chương trình phổ thơng - Các phương pháp giải phương trình, bất phương trình hàm số mũ hàm số lơgarit Phương pháp nghiên cứu - Thu thập, hệ thống tài liệu liên quan đến đề tài khóa luận, đặc biệt tài liệu phương trình, bất phương trình hàm số mũ hàm số lơgarit - Phân tích, xử lý tài liệu thu thập để thực khóa luận - Trao đổi, thảo luận với thầy hướng dẫn chuyên gia SVTH: Võ Thị Quỳnh Giao Trang GVHD: T.S Nguyễn Ngọc Châu Cấu trúc nghiên cứu Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung khóa luận gồm chương: Chương 1: Các kiến thức sở Chương nhắc lại số kiến thức hàm số mũ, hàm số lôgarit tính chất, kết liên quan để làm sở cho chương sau Chương 2: Phương trình, bất phương trình hàm số mũ Chương trình bày phương pháp giải phương trình, bất phương trình hàm số mũ ví dụ minh họa Chương 3: Phương trình, bất phương trình hàm số lơgarit Chương trình bày phương pháp giải phương trình, bất phương trình hàm số lơgarit ví dụ minh họa SVTH: Võ Thị Quỳnh Giao Trang GVHD: T.S Nguyễn Ngọc Châu CHƢƠNG I: CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ Chương nhắc lại số kiến thức hàm số mũ, hàm số lơgarit tính chất, kết liên quan để làm sở cho chương sau I Hàm số mũ Định nghĩa Hàm số xác định cơng thức , số dương khác , gọi hàm số mũ số Số gọi số hàm số mũ Miền xác định hàm số mũ toàn trục số, tức khoảng Tính chất hàm số mũ - Hàm số liên tục điểm - Miền giá trị hàm số - Hàm số giảm tăng Bảng biến thiên đồ thị hàm số mũ Bảng biến thiên hàm số mũ SVTH: Võ Thị Quỳnh Giao Trang GVHD: T.S Nguyễn Ngọc Châu Bảng biến thiên cho ta hình dạng tổng quát đồ thị hàm số mũ hai trường hợp Đồ thị hàm số mũ: Đồ thị hàm số Đồ thị hàm số với với Nhận xét: + Đồ thị hàm số qua + Đồ thị hàm số mũ ln ln phía trục hồnh x + Các hàm số 1   có đồ thị đối xứng qua trục tung a Mệnh đề Cho số thực dương khác số thực tùy ý, ta có: a) b) SVTH: Võ Thị Quỳnh Giao Trang GVHD: T.S Nguyễn Ngọc Châu c) d) e) ( ) f) Nếu , , g) Nếu h) i) , Nếu + + II Hàm số lôgarit Định nghĩa Cho số thực thừa với số mũ Lôgarit số số số Ký hiệu lôgarit số mà lũy Vậy Định nghĩa Ta biết hàm số mũ hàm số đơn điệu xác định tồn tập số thực, tức khoảng có tập giá trị Cho số Do có hàm số ngược, xác định khoảng có tập giá trị Để tìm biểu thức hàm số ngược ta xuất phát từ công thức hàm số mũ , biểu thị qua Theo định nghĩa lơgarit, ta có hàm số hàm số ngược hàm số mũ SVTH: Võ Thị Quỳnh Giao Trang GVHD: T.S Nguyễn Ngọc Châu Ví dụ 75: Giải bất phương trình: Giải: Bước Điều kiện: Bước Biến đổi phương trình dạng: Đặt , phương trình trở thành: Đặt Bước Ta có [ Vậy { [ { { [ [ { { { * Vậy tập nghiệm bất phương trình 2.3 Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ - Dạng Sử dụng hai ẩn phụ cho hai biểu thức lơgarit bất phương trình khéo léo biến đổi bất phương trình thành bất phương trình tích, lưu ý: { [ { SVTH: Võ Thị Quỳnh Giao { [ { Trang 93 GVHD: T.S Nguyễn Ngọc Châu Ví dụ 76: Giải bất phương trình: Giải: Bước Điều kiện: Bước Đặt { Phương trình viết lại dạng: Bước { [ { + Với { { + Với{ { { [ { { [ { Vậy tập nghiệm bất phương trình { } Ví dụ 77: Giải bất phương trình: Bước Điều kiện { Bước Biến đổi bất phương trình làm xuất ẩn phụ ( SVTH: Võ Thị Quỳnh Giao ) Trang 94 GVHD: T.S Nguyễn Ngọc Châu Đặt ẩn phụ: { Khi bất phương trình trở thành: Bước { [ { { [ { { { [ { [ { * Vậy tập nghiệm bất phương trình 2.4 Phương pháp dùng ẩn phụ - Dạng Phương pháp dùng ẩn phụ - Dạng phương pháp dùng ẩn phụ chuyển bất phương trình mũ thành hệ phương trình với k ẩn phụ Bằng việc sử dụng từ hai ẩn phụ trở lên ta đưa việc giải bất phương trình việc xét hệ, đó: + Bất phương trình thứ có từ phương trình đầu + Bất phương trình thứ k-1 có từ việc đánh giá mối liên hệ đại lượng tương ứng Trong trường hợp đặc biệt việc sử dụng ẩn phụ chuyển bất phương trình lôgarit thành hệ với ẩn phụ ẩn x SVTH: Võ Thị Quỳnh Giao Trang 95 GVHD: T.S Nguyễn Ngọc Châu *Ví dụ minh họa Ví dụ 78: [1] Tìm để bất phương trình sau có nghiệm: | ( )| | ( )| Giải: Đặt { ( ) ( ) ( Suy ra: ) ( ) ( ) Khi bất phương trình chuyển thành hệ: { Vậy với | | | | { | | | | , bất phương trình có nghiệm Phương pháp hàm số 3.1 Sử dụng tính chất đơn điệu hàm số a Quy trình phương pháp - Bước Đặt điều kiện có nghĩa cho bất phương trình - Bước Chuyển bất phương trình dạng - Bước Xét hàm số Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu (giả sử đồng biến) - Bước Nhận xét: + Với , bất phương trình vơ nghiệm + Với , bất phương trình nghiệm SVTH: Võ Thị Quỳnh Giao Trang 96 GVHD: T.S Nguyễn Ngọc Châu Vậy nghiệm bất phương trình b Ví dụ minh họa (√ Ví dụ 79: Giải bất phương trình: ) Giải: Bước Phương trình có tập xác định Bước Đặt Và √ Vậy √ √ trở thành: { { √ ( ) Phương trình √ ( ) ( ) ( ) có dạng: √ ( ) Bước Xét hàm số ( ) , xác định Nhận xét rằng: √ + Hàm số ( ) hàm nghịch biến + Hàm só ( ) hàm nghịch biến Do hàm số √ ( ) ( ) hàm nghịch biến Bước + Với SVTH: Võ Thị Quỳnh Giao , bất phương trình vơ nghiệm Trang 97 GVHD: T.S Nguyễn Ngọc Châu , bất phương trình nghiệm + Với (Nghiệm thỏa mãn ) Vậy tập nghiệm bất phương trình Ví dụ 80: Giải bất phương trình: { số, VT VP đồng biến có có nghiệm là: Vậy , bất phương trình vơ nghiệm + Với , bất phương trình nghiệm + Với Vậy bất phương trình có tập nghiệm Ví dụ 81: Giải bất phương trình: (√ ) () Giải: Bước Điều kiện: * Bước SVTH: Võ Thị Quỳnh Giao Trang 98 GVHD: T.S Nguyễn Ngọc Châu √ Đặt Khi suy ra: () có dạng: ( ) Bước Xét hàm số Xét tính đơn điệu hàm số: + Miền xác định + Đạo hàm: Suy hàm số tăng Bước Mặt khác √ Vậy * √ √ √ {[ Vậy bất phương trình có tập nghiệm √ [ ( √ ) ( √ ) 3.2 Sử dụng giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số Ta thường sử dụng giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số với bất phương trình có chứa tham số có dạng: a Quy trình phương pháp SVTH: Võ Thị Quỳnh Giao Trang 99 GVHD: T.S Nguyễn Ngọc Châu - Bước Đặt điều kiện có nghĩa cho bất phương trình - Bước Xét hàm số : + Tìm miền xác định D + Tính đạo hàm , giải phương trình + Lập bảng biến thiên hàm số Bước Kết luận: - + Bất phương trình có nghiệm + Bất phương trình nghiệm với x Tương tự cho bất phương trình với kết luận: + Bất phương trình có nghiệm + Bất phương trình nghiệm với x b Ví dụ minh họa Ví dụ 82: Xác định để bất phương trình: nghiệm Giải: Bước Phương trình có tập xác định Bước Viết lại phương trình dạng Bước Xét hàm số - Xác định - Đạo hàm: SVTH: Võ Thị Quỳnh Giao Trang 100 GVHD: T.S Nguyễn Ngọc Châu - Giới hạn: - Bảng biến thiên: x y’ y Bước Biện luận: , bất phương trình nghiệm Với Phương pháp đồ thị Với bất phương trình lơgarit chứa tham số sử dụng phương pháp đồ thị thường thực bước sau: a Quy trình phương pháp - Bước Sử dụng phép biến đổi tương đương, biến đổi bất phương trình hệ (gọi hệ - ) bất phương trình đại số Bước Xét hệ trục tọa độ + Biểu diễn điểm thỏa mãn bất phương trình Giả sử tập + Xác định miền + Chiếu vng góc tập lên trục , giả sử Bước Khi đó: + Để hệ vô nghiệm SVTH: Võ Thị Quỳnh Giao Trang 101 GVHD: T.S Nguyễn Ngọc Châu + Để hệ có nghiệm + Để hệ có nghiệm đường thẳng cắt tập điểm b Ví dụ minh họa Ví dụ 83: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: Giải: Biến đổi bất phương trình tương đương với: { { { Xét hệ tọa độ vng góc , điểm thỏa mãn biểu diễn miền gạch hình SVTH: Võ Thị Quỳnh Giao Trang 102 GVHD: T.S Nguyễn Ngọc Châu có nghiệm Vậy hệ có nghiệm Phương pháp điều kiện cần đủ Phương pháp điều kiện cần đủ thường tỏ hiệu cho dạng tốn: Tìm điều kiện tham số để: Dạng Bất phương tình có nghiệm Dạng Bất phương trình nghiệm với Dạng Bất phương trình tương đương với phương trình bất phương trình khác a Quy trình phương pháp - Bước Đặt điều kiện để biểu thức bất phương trình có nghĩa - Bước Tìm điều cần cho yêu cầu tốn dựa vào: + Tính đối xứng phương trình + Lựa chọn điểm thuận lợi + Đánh giá - Bước Kiểm tra điều kiện đủ b Ví dụ minh họa Ví dụ 84: Tìm điều kiện để bất phương trình √ nghiệm với Giải: Biến đổi bất phương trình tương đương với: √ SVTH: Võ Thị Quỳnh Giao Trang 103 GVHD: T.S Nguyễn Ngọc Châu Để nghiệm với nghiệm với / *Điều kiện cần: Giả sử nghiệm với nghiệm Khi Đó điều kiện cần để bất phương trình nghiệm với *Điều kiện đủ: Giả sử , đó: Áp dụng BĐT Côsi cho vế trái, ta được: √ Biến đổi vế phải dạng: Suy ra: √ Vậy với bất phương trình nghiệm với Phương pháp đánh giá Đối với nhiều bất phương trình, ta giải cách đánh giá dựa trên: + Tam thức bậc hai + Tính chất hàm mũ + Các bất đẳng thức như: Cơsi, bunhiacơpxki, + Tính chất giá trị tuyệt đối … SVTH: Võ Thị Quỳnh Giao Trang 104 GVHD: T.S Nguyễn Ngọc Châu Ta nhanh chóng nghiệm bất phương trình Ví dụ 85: [Đại học Đà Nẵng, 1995] Cho Chứng minh: √ √ √ ( ) Giải: Bình phương hai vế: ( ) √ √ Theo BĐT Côsi: √ Cũng theo BĐT Cơsi: ( Từ có nên: ) √ , suy điều phải chứng minh SVTH: Võ Thị Quỳnh Giao Trang 105 GVHD: T.S Nguyễn Ngọc Châu KẾT LUẬN Khóa luận: “Phương trình, bất phương trình hàm số mũ hàm số lơgarit” hồn thành mục tiêu nhiệm vụ đề ra, cụ thể thực vấn đề sau: 1) Hệ thống trình bày số cách giải phương trình, bất phương trình hàm số mũ, hàm số lôgarit 2) Đối với phương pháp giải có nhiều ví dụ minh họa rõ ràng Hy vọng phương pháp giải phương trình, bất phương trình trình bày khóa luận cịn tiếp tục hoàn thiện mở rộng cho lớp phương trình bất phương trình khác SVTH: Võ Thị Quỳnh Giao Trang 106 GVHD: T.S Nguyễn Ngọc Châu TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lê Hồng Đức, Phương pháp giải toán đại số, NXB Đại học sư phạm [2] Lê Hồng Đức, Phương pháp giải tốn mũ – lơgarit, NXB Hà Nội [3] Trần Văn Hạo, Đại số 10 NXB Giáo dục Việt Nam [4] Trần Văn Hạo, Đại số giải tích 11, NXB Giáo dục Việt Nam [5] Trần Văn Hạo, Giải tích 12, NXB Giáo dục Việt Nam [6] Hoàng Kỳ (1978), Đại số sơ cấp, NXB Giáo dục [7] Huỳnh Công Thái, Phân loại hướng dẫn giải tốn phương trình mũ - lơgarit dạng hệ phương trình đại số, NXB Hà Nội [8] Vũ Dương Thụy (1996), Bài tập đại số sơ cấp, NXB Giáo dục [9] Nguyễn Đình Trí (1999), Tốn học cao cấp (tập 2), NXB giáo dục [10] Bùi Quang Trường, Những dạng tốn điển hình đề thi tuyển sinh đại học cao đẳng (tập 4), NXB Hà Nội SVTH: Võ Thị Quỳnh Giao Trang 107 ... lại số kiến thức hàm số mũ, hàm số lơgarit tính chất, kết liên quan để làm sở cho chương sau I Hàm số mũ Định nghĩa Hàm số xác định cơng thức , số dương khác , gọi hàm số mũ số Số gọi số hàm số. .. số mũ Miền xác định hàm số mũ tồn trục số, tức khoảng Tính chất hàm số mũ - Hàm số liên tục điểm - Miền giá trị hàm số - Hàm số giảm tăng Bảng biến thiên đồ thị hàm số mũ Bảng biến thiên hàm. .. phương trình, bất phương trình hàm số mũ ví dụ minh họa Chương 3: Phương trình, bất phương trình hàm số lơgarit Chương trình bày phương pháp giải phương trình, bất phương trình hàm số lơgarit ví