Bài toán biên đối với một số lớp phương trình truyền sóng trong miền không trơn (tt)

B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI * NGUYN THANH TNG BI TON BIấN I VI MT S LP PHNG TRèNH TRUYN SểNG TRONG MIN KHễNG TRN Chuyờn ngnh: Phng trỡnh Vi phõn v Tớch phõn Mó s: 62 46 01 03 TểM TT LUN N TIN S TON HC H NI - 2017 Lun ỏn c hon thnh ti: Trng i hc S phm H Ni NGI HNG DN KHOA HC TS V Trng Lng GS TSKH Nguyn Mnh Hựng Phn bin 1: PGS.TS Nguyn Sinh By, Trng i hc Thng Mi Phn bin 2: GS.TSKH Nguyn Minh Trớ, Vin Toỏn hc Phn bin 3: PGS.TS Hong Quc Ton, Trng i hc KHTN-HQG H Ni Lun ỏn s c bo v trc Hi ng chm lun ỏn cp trng ti Trng i hc S phm H Ni vo hi gi phỳt ngy thỏng nm Cú th tỡm hiu lun ỏn ti Th vin Quc Gia, H Ni hoc Th vin Trng i hc S phm H Ni M U Lch s v lớ chn ti Cỏc bi toỏn biờn tuyn tớnh i vi phng trỡnh, h phng trỡnh o hm riờng cỏc vi biờn trn ó c cỏc nh toỏn hc nghiờn cu khỏ hon thin na u th k XX Cỏc bi toỏn biờn loi dng cỏc trn ó c G Fichera (1972), D Ginbarg v N Trudinger (1983), L C Evans (1998) nghiờn cu nh phộp phõn hoch n v a bi toỏn ang xột v bi toỏn ton khụng gian v na khụng gian Cỏc bi toỏn biờn khụng dng cỏc hỡnh tr vi ỏy l cú biờn trn c nghiờn cu nh phộp bin i Laplace hoc phộp bin i Fourier a v bi toỏn dng vi tham bin trn T gia th k XX, bi toỏn biờn tng quỏt i vi phng trỡnh elliptic vi biờn k d ó c nghiờn cu, cỏc kt qu quan trng v tớnh t ỳng ca bi toỏn cng nh tớnh trn v tim cn ca nghim vi cỏc im nún trờn biờn ó nhn c t cụng trỡnh ca V A Kondratiev (1977,1998) Tip theo, mt s nh toỏn hc nh P Grisvard (1985), M Dauge (1988), E V Frolove (1994), V A Kozlov, V G Mazya, J Rossmann (1997, 2001) V A Kozlov, V G Mazya (1988) ó da trờn cỏc phng phỏp ca V.A.Kondratev nghiờn cu cỏc bi toỏn biờn i vi cỏc h dng cỏc vi cỏc im k d trờn biờn Cho n nhng nm ca thp niờn 90 ca th k XX, bi cỏc phng phỏp nh l phộp bin i Fourier, phộp bin i Laplace cha mnh giỳp chỳng ta khng nh nhng kt qu quan trng ca cỏc bi toỏn khụng dng cỏc khụng trn Cui th k XX, nh phng phỏp ct thit din, bi toỏn khụng dng ó c xột trờn mt thit din nh l mt bi toỏn dng cỏc cụng trỡnh ca Nguyn Mnh Hựng cựng ng s Vi phng phỏp ny, bi toỏn khụng dng vi h s ph thuc thi gian ó c nghiờn cu, th hin tớnh t ỳng ca bi toỏn khụng dng bt k v biu din tim cn ca nghim gn im nún trờn biờn Cỏc kt qu v tớnh gii c, tớnh trn ca nghim suy rng theo bin thi gian i vi bi toỏn biờn ban u th nht, th hai cỏc tr vi ỏy l vi biờn bt k, ỏy l cha im nún, im gúc cng ó nhn c Biu din tim cn ca nghim gn im nún ca bi toỏn biờn tng quỏt i vi h hyperbolic tr vi ỏy l cha im nún cng ó nhn c sau ú Nhỡn li, cỏc kt qu t c ca cỏc bi toỏn khụng dng mi ch xột cỏc tr hu hn cú ỏy l khụng trn v trng hp vi ỏy l cha im khụng phi l im nún thỡ dỏng iu tim cn ca nghim gn im kỡ d l nh th no n c cho cỏc kt qu ca Nguyn Mnh Hựng cựng cỏc cng s (2004, 2005), ca V Trng Lng cựng cng s (2011) nhn c sau ú ó nghiờn cu bi toỏn khụng dng parabolic cỏc tr vụ hn Tớnh chớnh quy ca nghim ca bi toỏn biờn tng quỏt tr vụ hn vi ỏy cha im nún c Nguyn Mnh Hựng v Nguyn Thnh Anh (2008) a xột bi toỏn biờn ban u i vi h khụng dng parabolic cp hai tr hu hn vi ỏy l a giỏc Vi nhng kt qu quan trng ca bi toỏn giỏ tr biờn ban u i vi phng trỡnh elliptic ca cỏc nh khoa hc V A Kondratiev, V G Mazya v B A Plamenevskii t c cỏc tr khụng trn khỏc nh vi im nún, vi ỏy l a giỏc , ó cú mt s cụng trỡnh ca Nguyn Mnh Hựng cựng cỏc cng s t c v tớnh nht nghim, tớnh chớnh quy, biu din tim cn nghim gn im k d (im nún, im lựi) c bit, tớnh trn ca nghim suy rng theo bin thi gian ca bi toỏn giỏ tr biờn ban u th nht i vi phng trỡnh hyperbolic bc cao tr vụ hn vi biờn bt k ca Nguyn Mnh Hựng (2007), cụng trỡnh ca Bựi Trng Kim (2008), s tn ti nht ca nghim suy rng ca bi toỏn hn hp th nht i vi phng trỡnh hyperbolic cp cao tr khụng trn vụ hn ó c khng nh Phng trỡnh truyn súng phi tuyn vi cu trỳc tt dn trờn trn bt k m ú l h n hi vi cu trỳc tt dn ó c nhiu nh toỏn hc v ngoi nc quan tõm, nghiờn cu khong bn thp k tr li õy c bit quan tõm ti kt qu ca Fan, Li v chen (2013) ó thu c s tn ti ca nghim mm cỏc khụng gian Banach vi hng s tt dn v hm phi tuyn f l hm Lipschitz theo bin th hai Nm 2014, Fan v Gao ó thu c biu din tim cn ca nghim ca h n hi vi cu trỳc tt dn khụng gian Banach Trc nhng kt qu t c t nu b sung hng t nhiu phi tuyn vo phng trỡnh hyperbolic na tuyn tớnh xột tr khụng trn vụ hn thỡ tớnh gii c ca bi toỏn nh th no; Thay vỡ vi im nún, im lựi, im gúc l vi cnh thỡ tớnh gii c, tớnh chớnh quy ca nghim theo bin thi gian ca bi toỏn biờn ban u i vi phng trỡnh hyperbolic s khớa cnh khỏc, cỏch tip cn gii quyt bi toỏn biờn ban u i vi phng trỡnh hyperbolic cú cnh cú ging nh cỏch tip cn ca cựng bi toỏn cú im lựi, im nún khụng Thờm na, quỏ trỡnh nghiờn cu v h n hi i vi cu trỳc tt dn, chỳng tụi nhn thy rng cỏc kt qu t c v s tn ti, tớnh phõn ró ca nghim mm ca bi toỏn mi ch t c i vi lp hm phi tuyn cú tớnh cht Lipschitz, cỏc toỏn t phng trỡnh xột trờn trn Chớnh t nhng nờu trờn, dn chỳng tụi vo nghiờn cu bi toỏn biờn i vi mt s lp phng trỡnh truyn súng khụng trn Trong ú chỳng tụi nghiờn cu s tn ti nghim yu ton cc, nghim yu a phng ca bi toỏn giỏ tr biờn ban u i vi phng trỡnh hyperbolic na tuyn tớnh cỏc tr khụng trn, cỏc cú cnh Hn na, chỳng tụi nghiờn cu nghim mm phõn ró theo tc m ca bi toỏn giỏ tr ban u khụng a phng i vi phng trỡnh vi phõn cp hai phi tuyn khụng gian Banach vi cu trỳc tt dn trờn trn v khụng trn Tng quan nghiờn cu Nh ó cp mc Lớ chn ti, vic nghiờn cu tớnh t ỳng, tớnh trn ca nghim theo c bin thi gian, bin khụng gian, biu din tim cn ca nghim ca bi toỏn biờn ban u i vi phng trỡnh hyperbolic phi tuyn cỏc khụng trn núi chung, hỡnh tr khụng trn vụ hn, cú cnh núi riờng l mt rt khú v hin rt c quan tõm Song song cựng ny, vic nghiờn cu s tn ti nghim mm, cỏc tớnh cht ca nghim mm ca phng trỡnh vi tớch phõn vi cu trỳc tt dn, bc phõn s bi vic ng dng cỏc cụng c ca gii tớch cng rt c quan tõm Chỳng tụi im qua mt s kt qu tiờu biu theo hng nghiờn cu ny Mt nhng kt qu ỏng c chỳ ý ú l s tn ti nghim hay khụng tn ti nghim ton cc ó c kho sỏt bi J L Lions (1969), D H Sattinger (1968, 1975), H A Levine (1974), M Can (1997), B Zheng (2004) Trong cụng trỡnh ca mỡnh, J L Lions ó a s tn ti nghim hỡnh tr hu hn vi ỏy bt k bi phng phỏp compact v k thut Faedo-Galerkin Trong phng trỡnh ca bi toỏn, ụng ó xột toỏn t L = v hng t phi tuyn f (x, t, u) = |u|p u Trc nhng kt qu t c ca V A Kondratev, V A Konzlov, V Mazya, J Rossmann i vi phng trỡnh elliptic cỏc khụng trn: nh nún, trn tng mnh, lựi, nh din, nún cú cnh, a din S dng kt qu ca bi toỏn ph liờn kt vi phng trỡnh elliptic tng quỏt cỏc cú cnh, s tn ti nht nghim, tớnh trn ca nghim ó c khng nh khụng gian L2 Sobolev cú trng, khụng gian Hăolder cú trng ó c kho sỏt Nguyn Mnh Hựng cựng cỏc ng s ó t c mt s kt qu ỏng k v tớnh trn ca nghim theo bin thi gian ca phng trỡnh hyperbolic cp hai n u aij (x, t) + a(x, t) utt (t) = f (x, t), (x, t) ì (0, ), x x i j i,j=1 u(x, 0) = 0, x ut (x, 0) = 0, (x, t) ì (0, ) u(x, t) = 0, tr vụ hn vi ỏy khụng trn (2007); i vi bi toỏn hn hp xột vi h phng trỡnh hyperbolic mnh cp cao tr khụng trn vụ hn nh phng phỏp xp x Galerkin, thnh phn v phi l f (x, t), kt qu t c l s tn ti nht nghim suy rng; bng phng phỏp xp x biờn, s tn ti nht v tớnh trn ca nghim theo bin thi gian ca bi toỏn giỏ tr biờn i vi h phng trỡnh hyperbolic tr khụng trn vi ỏy l lựi (2006, 2008); Bi vic ỏp dng phng phỏp xp x Galerkin, chuyn qua bi toỏn elliptic trờn cha im nún, tớnh gii c nht, tớnh chớnh quy, biu din tim cn ca nghim gn im nún ó t c i vi bi toỏn giỏ tr biờn ban u i vi phng trỡnh hyperbolic cp cao (2013) (1) a (x, t) u(t) = f (x, t), utt (t) + (x, t) Q, ||,||m Bj u = 0, u(x, 0) = ut (x, 0) = 0, trờn S, j = 1, ã ã ã , m, x G Khi nghiờn cu bi toỏn giỏ tr biờn ban u i vi phng vi phõn cp hai khụng gian Banach vi cu trỳc tt dn, cỏc kt qu t c i vi toỏn t n hi, toỏn t tt dn, tớnh cht ca na nhúm sinh bi h n hi cựng cu trỳc tt dn, s tn ti nghim, biu din tim cn ca nghim cng ó c khng nh G Chen v D L Russell (1982) ó t c mt s kt qu v h thc liờn h gia cỏc toỏn t n hi A v tt dn B ca h utt (t) + But (t) + Au(t) = 0, u(0) = x0 , t>0 ut (0) = y0 Cỏc kt qu tip theo m ú ỏng quan tõm l cụng trỡnh ca H Fan, Y Li v P chen (2013) p dng lý thuyt na nhúm cỏc toỏn t v nh lý im bt ng, hai nh khoa hc Fan v Li ó thu c s tn ti ca nghim mm cỏc khụng gian Banach ca h n hi vi cu trỳc tt dn vi hm phi tuyn f (t, p) l hm Lipschitz theo bin th hai u (t) + Au (t) + A2 u(t) = f (t, u(t)), < t < T, tt t (ESSD) u(0) = x0 , ut (0) = y0 Da trờn kt qu ca lý thuyt na nhúm n nh m, H Fan v F Gao ó thu c biu din tim cn ca nghim mm ca h n hi tuyn tớnh vi cu trỳc tt dn v h (ESSD) Qua vic tip nhn v nhng kt qu ó nờu trờn, cho chỳng tụi thy rng cũn nhiu cn nghiờn cu i vi cỏc bi toỏn giỏ tr biờn ban u i vi phng trỡnh hyperbolic phi tuyn cỏc tr khụng trn vụ hn, cỏc cú cnh v bi toỏn giỏ tr ban u i vi phng trỡnh vi phõn cp hai khụng gian Banach vi cu trỳc tt dn, mt dng tru tng ca phng trỡnh truyn súng vi cu trỳc tt dn Chớnh bi cỏch nhỡn nhn ny, chỳng tụi quan tõm nghiờn cu ti nhng : S tn ti nht nghim yu trờn [0, +) ca bi toỏn giỏ tr biờn ban u th nht i vi phng trỡnh hyperbolic phi tuyn bc cao tr khụng trn vụ hn vi thnh phn nhiu phi tuyn S tn ti nht nghim yu trờn [0, T ] (0 < T < +) ca bi toỏn giỏ tr biờn ban u i vi phng trỡnh hyperbolic cp hai phi tuyn mt s cú cnh S tn ti nghim mm phõn ró theo tc m ca bi toỏn giỏ tr biờn ban u khụng a phng i vi phng trỡnh vi phõn cp hai phi tuyn vi cu trỳc tt dn trờn trn v khụng trn Mc ớch, i tng v phm vi nghiờn cu Chỳng tụi nghiờn cu s tn ti, tớnh nht, nghim yu trờn [0, +) cỏc khụng gian Sobolev cú trng ca bi toỏn biờn ban u i vi cỏc phng trỡnh hyperbolic na tuyn tớnh cp cao cỏc tr khụng trn; nghiờn cu s tn ti nht nghim yu, tớnh chớnh quy theo bin thi gian ca nghim yu trờn [0, T ] (0 < T < +) ca bi toỏn biờn ban u i vi phng trỡnh hyperbolic cp hai na tuyn tớnh cú cnh, nún cú cnh Thờm na, chỳng tụi nghiờn cu s tn ti nghim mm phõn ró theo tc m ca bi toỏn giỏ tr biờn ban u khụng a phng i vi phng trỡnh vi phõn cp hai na tuyn tớnh vi cu trỳc tt dn trờn trn v khụng trn cú im nún trờn biờn Phng phỏp nghiờn cu Trong lun ỏn, chỳng tụi s dng phng phỏp Galerkin, cỏc nh lý nhỳng, ỏp dng phng phỏp im bt ng, chuyn qua bi toỏn tuyn tớnh v ỏp dng mt s kt qu v toỏn t sinh t bi toỏn elliptic kỡ d p dng o khụng compact, phng phỏp im bt ng i vi ỏnh x nộn Kt qu ca lun ỏn S tn ti nht nghim yu trờn [0, ) ca bi toỏn biờn ban u i vi phng trỡnh hyperbolic na tuyn tớnh cp cao tr khụng trn S tn ti nht v tớnh chớnh quy ca nghim yu trờn on [0, T ] khụng gian Sobolev cú trng ca bi toỏn biờn ban u i vi phng trỡnh hyperbolic na tuyn tớnh cp hai cú cnh v nún cú cnh S tn ti v tớnh phõn ró theo tc m ca nghim mm ca bi toỏn giỏ tr ban u khụng a phng i vi phng trỡnh vi phõn cp hai na tuyn tớnh khụng gian Banach vi cu trỳc tt dn trờn trn v khụng trn, thnh phn phi tuyn phng trỡnh c xột n thuc lp hm cú giỏ tr khụng gian Banach liờn tc b chn Cỏc kt qu ca lun ỏn l mi, cú ý ngha khoa hc, v gúp phn vo vic hon thin cỏc kt qu thu c trc ú ca bi toỏn biờn i vi phng trỡnh truyn súng trờn mt s khụng trn Cu trỳc ca lun ỏn Lun ỏn gm chng: Chng 1: Mt s kin thc chun b Chng 2: Bi toỏn biờn ban u i vi phng trỡnh hyperbolic na tuyn tớnh tr khụng trn Chng 3: Bi toỏn Dirichlet-Cauchy i vi phng trỡnh hyperbolic na tuyn tớnh cỏc a din Chng 4: Phng trỡnh truyn súng na tuyn tớnh vi cu trỳc tt dn Chng MT S KIN THC CHUN B 1.1 Khụng gian cỏc hm, hi t yu, nh lý nhỳng Trong mc ny, chỳng tụi gii thiu mt s khụng gian hm; hi t yu v cỏc nh lý nhỳng ỏp dng cỏc khụng gian Sobolev 1.2 Mt s bt ng thc Gagliardo-Nirenberg, Cauchy, Young, Hăolder, Gronwall 1.3 Mt s kin thc cn bn v lớ thuyt toỏn t Cỏc kin thc cn bn v lớ thuyt toỏn t b chn c chỳng tụi nhc li mc ny 1.4 Mt s b nhỳng cú cnh, bi toỏn Dirichlet i vi phng trỡnh elliptic cp hai a din Min cú cnh v mt s b nhỳng Thờm na, xột bi toỏn Dirichlet i vi phng trỡnh elliptic cp hai 1.5 Mt s b nhỳng v bi toỏn Dirichlet i vi h elliptic mnh nún cú cnh Min nún cú cnh v mt s b nhỳng B nhỳng ng vi bi toỏn Dirichlet 1.6 Mt s kin thc cn bn v lớ thuyt na nhúm cỏc toỏn t tuyn tớnh b chn Trong mc ny, chỳng tụi nhc li mt s nh ngha, tớnh cht ca na nhúm toỏn t tuyn tớnh b chn v mt s na nhúm quan trng 1.7 Mt s kin thc cn bn v o khụng compact v ỏnh x nộn Cỏc khỏi nim v tớnh cht ca o khụng compact c chỳng tụi nhc li, ú o khụng compact Hausdorff v nh lý v im bt ng ca ỏnh x nộn ng vi o khụng compact c cp 10 m (), vi mi t Khụng gian Sobolev Hm,1 (Q) tha vi mi u H m () , ut L 0, ; L2 () , gm tt c cỏc hm u tha u L 0, ; H utt L 0, ; H m () vi chun u Hm,1 (Q) = u m () L 0,;H + ut L 0,;L2 () + utt L 0,;H m () Tng t, thay vỡ xột t [0, ) ta xột t [0, T ] (0 < T < ), ta cú khụng gian Sobolev Hm,1 (QT ) vi chun u Hm,1 (QT ) nh ngha 2.1 Vi mi h L2 0, ; L2 () , hm u Hm,1 (Q) c gi l nghim yu ton cc ca bi toỏn (2.3)-(2.5) nu u(x, 0) = 0, ut (x, 0) = 0, x v ng thc F (ã, t, u, Du, ã ã ã , Dm1 u), D v utt (t), v + B[u(t), v; t] + 0||m1 = h(ã, t), v (2.10) m () v hu khp t [0, +) Thay vỡ t [0, ) tha vi tt c v H ta xột t [0, T ] (0 < T < ), ta núi u Hm,1 (QT ) l nghim yu a phng ca bi toỏn (2.3)-(2.5) 2.2 S tn ti v tớnh nht ca nghim yu a phng nh lý 2.2 Vi mi h L2 0, T ; L2 () , bi toỏn (2.3)(2.5) cú nghim yu a phng u Hm,1 (QT ) v tn ti hng s C > c lp vi u, h cho u Hm,1 (QT ) C 1+ h L2 (0,T ;L2 ()) (2.32) nh lý 2.3 Vi mi h L2 0, T ; L2 () , bi toỏn (2.3)(2.5) cú nht nghim yu a phng u Hm,1 (QT ) 2.3 S tn v tớnh nht ca nghim yu ton cc nh lý 2.4 Vi mi h L2 0, ; L2 () , bi toỏn (2.3)(2.5) cú nht nghim yu ton cc u Hm,1 (Q) 11 Chng BI TON DIRICHLET-CAUCHY I VI PHNG TRèNH HYPERBOLIC NA TUYN TNH TRONG CC MIN A DIN 3.1 Bi toỏn Dirichlet-Cauchy i vi phng trỡnh hyperbolic na tuyn tớnh cú cnh 3.1.1 M u Cho l b chn Rn (n > 2) vi biờn bao gm hai (n 1)phng , giao theo (n 2)phng l0 l a Ta xột bi toỏn sau: utt + L(x, t, )u = f (x, t, u, Du) + h(x, t), u(x, 0) = 0, ut (x, 0) = 0, (x, t) QT , x (3.4) (3.5) u|ST = 0, (3.6) õy L l toỏn t o hm riờng cp hai phõn k; f, h l cỏc hm ó cho nh ngha 3.1 Hm u(x, t) gi l nghim yu ca bi toỏn (3.4)(3.6) trờn () , ut L2 0, T ; L2 () , utt L2 0, T ; H () [0, T ] nu u L2 0, T ; H ng thi u(x, 0) = 0, ut (x, 0) = 0, x v ng thc utt (t), v + B[u(t), v; t] = f (ã, t, u, Du), v + h(ã, t), v () v hu khp t [0, T ] õy B l dng song ỳng vi tt c v H tuyn tớnh ng vi L 3.1.2 Bi toỏn tuyn tớnh a S tn ti nghim ca bi toỏn tuyn tớnh Khi f (x, t, u, Du) trờn QT , ta cú bi toỏn sau: utt + L(x, t, )u = h(x, t), (x, t) QT , (3.7) u(x, 0) = 0, x (3.8) u|ST = ut (x, 0) = 0, (3.9) Hm u(x, t) c gi l nghim yu ca bi toỏn (3.7)(3.9) trờn [0, T ] nu () , ut L2 0, T ; L2 () , utt L2 0, T ; H () ng u L2 0, T ; H 12 thi u(x, 0) = 0, ut (x, 0) = 0, x v utt (t), v + B[u(t), v; t] = h(ã, t), v (3.10) () v vi hu khp t [0, T ] tha vi tt c v H nh lý 3.1 Nu h C 0, T ; L2 () thỡ bi toỏn (3.7)(3.9) cú nht (), t [0, T ] tha nghim yu u(t) H t u(t) () H + ut (t) L2 () C h(s) L2 () , t (0, T ], (3.11) vi C l hng s dng ph thuc vo , T v cỏc h s ca toỏn t L b Tớnh trn ca nghim yu theo bin thi gian ca bi toỏn tuyn tớnh nh lý 3.2 Cho k N, htj C [0, T ]; L2 () , j = 0, 1, ã ã ã , k Khi ú bi toỏn (3.7)(3.9) cú nghim yu u tha () , j = 0, 1, ã ã ã , k, utj C 0, T ; H k (3.39) t k utj (t) () H L2 () + utk+1 C j=0 htj (s) L2 () ds (3.40) j=0 vi t [0, T ] Ta núi rng hm u thuc Hak , k nu u j=0 C (j) 0, T ; Hakj () Vi mi u Hak v vi mi t [0, T ], ta nh ngha cỏc chun sau k u(t) Hak () k = utj (t) Hakj () v u j=0 Hak = utj j=0 C [0,T ];Hakj () nh lý 3.3 Cho k N, k v gi thit rng htj C 0, T ; Hakj () , j k 1, htj (x, 0) = 0, j k v k + a < , a [0, 1] k Khi ú nghim yu u ca bi toỏn (3.7)(3.9) thuc Ha v t u(t) Hak () C h(s) ds, Hak1 () t (0, T ] (3.56) 13 3.1.3 Bi toỏn na tuyn tớnh B 3.1 Cho vi C (ki ) 0, T ; Halki () , i = 1, ã ã ã , m, õy l, ki l n m + s nguyờn dng tha l + a + 1, k1 l 1, ki n , i = 2, ã ã ã , m Gi thit rng cỏc a ch s i (i = 1, ã ã ã , m) l1 m m n ki |i | l tha |1 | l k1 1, |i | l ki , v i=1 i=1 Khi ú m D1 v1 ã ã ã Dm vm L2 () vi lki () Ha (3.67) i=1 Hm f (x, t, v1 , ã ã ã , vn+1 ) thuc lp C (k),1 (QT ì Rn+1 ) nu f C (k) (QT ì Rn+1 ) v D f (x, t, ã) l hm liờn tc Lipschitz a phng theo n + bin v1 , ã ã ã , vn+1 , vi mi (x, t) QT , || k Cho f C (k),1 (QT ì Rn+1 ) v vi mi hng s b 0, ta kớ hiu sup |D f (x, t, v1 , ã ã ã , vn+1 )|, M (b) = max sup ||k (x,t)QT |vi |Cb õy C l hng s dng ó cho n B 3.2 Cho k a + , f C (k),1 (QT ì Rn+1 ) v cho cỏc hm u1 , u2 k+1 tha bt ng thc Ha max t[0,T ],i{1,2} ui (t) Hak+1 b, (3.69) vi b l hng s khụng õm t Fi (x, t) = f (x, t, ui , Dui ), i = 1, Khi ú (i) Fi Hak , i = 1, v tn ti hng s dng C cho vi mi t (0, T ), bt ng thc sau tha Fi (t) Hak CM (b) + ui (t) k Hak+1 , i = 1, 2; (3.70) (ii) Tn ti hng s K(b) > cho vi mi t (0, T ), ta cú F1 (t) F2 (t) Hak K(b) u1 (t) u2 (t) Hak+1 (3.71) n nh lý 3.4 Cho k a+ , k+1a < , a [0, 1] v cho h Hak1 , f (k1),1 n+1 C (Q ìR ) tha htj (x, 0) = 0, ftj (x, 0, v, v1 ) = 0, j k2 Khi ú bi toỏn (3.4)(3.6) cú nht nghim u Hak v u Hak C(1 + h õy C l hng s c lp vi u Hak1 ), (3.72) 14 3.2 Bi toỏn Dirichlet-Cauchy i vi phng trỡnh hyperbolic na tuyn tớnh nún cú cnh 3.2.1 M u Cho K= x R3 : x |x| l mt nún b chn cú nh ti gc ta Gi thit rng biờn K bao gm nh x = 0, cỏc cnh (cỏc na ng thng) M1 , ã ã ã , Md xut phỏt t nh, cỏc mt nhn (lp C ) , ã ã ã , d v l mt kiu a giỏc nm trờn mt cu n v S tõm ti gc, cú cỏc nh l giao im ca Mk , k = 1, ã ã ã , d vi S v cỏc cnh l k = k S , k = 1, ã ã ã , d Cho < T < , t d KT = K ì (0, T ), KT = i ì (0, T ) Ta xột bi toỏn: i=1 utt (x, t) + L(x, t, )u = f (x, t, u) + h(x, t), u(x, 0) = 0, (x, t) KT , xK ut (x, 0) = 0, u|KT = 0, (3.79) (3.80) (3.81) ú f v h l cỏc hm ó cho nh ngha 3.2 Hm u(x, t) gi l nghim yu ca (3.79)(3.81) trờn [0, T ] (K) , ut L2 0, T ; L2 (K) , utt L2 0, T ; H (K) nu u L2 0, T ; H cho u(x, 0) = ut (x, 0) = 0, x K v ng thc utt (t), v + B u, v; t = f (t, u(t)), v + h(t), v , (3.82) (K) v hu khp t [0, T ] tha vi mi v H 3.2.2 Bi toỏn tuyn tớnh a S tn ti nht nghim yu ca bi toỏn tuyn tớnh Khi f (x, t, u) trờn KT , ta cú bi toỏn: utt (x, t) + L(x, t, )u = h(x, t), (x, t) KT , (3.83) u(x, 0) = 0, xK (3.84) u|KT = ut (x, 0) = 0, (3.85) Hm u(x, t) c gi l nghim yu ca bi toỏn (3.83)(3.85) trờn [0, T ] nu u L2 0, T ; H (K) , ut L2 0, T ; L2 (K) , utt L2 0, T ; H (K) 15 cho u(x, 0) = 0, ut (x, 0) = v ng thc utt (t), v + B[u(t), v; t] = h(t), v (3.86) (K) v hu khp t [0, T ] tha vi tt c v H nh lý 3.5 Vi mi h C 0, T ; L2 (K) v gi thit rng cỏc h s ca toỏn t L tha sup {|aij (x, t)|, |bi (x, t)|, |c(x, t)| : (x, t) KT } à, = const 1i,jn Khi ú bi toỏn (3.83)(3.85) cú nht nghim yu u(t), t [0, T ] tha t u(t) (K) H + ut (t) L2 (K) C h(s) L2 (K) ds, (3.87) vi t (0, T ] õy C l hng s dng ch ph thuc vo K, T v cỏc h s hm ca toỏn t L b Tớnh trn ca nghim yu theo bin thi gian ca bi toỏn tuyn tớnh Sau õy ta s dng cỏc gi thit: (T1 ) Gi s tn ti hng s > cho sup {|aijts (x, t)|, |bits (x, t)|, |cts (x, t)| : (x, t) KT , s = 0, 1, 2} 1i,jn (T2 ) Gi s R, = (1 , ã ã ã , d ) Rd cho , k [0, 1], k = 1, ã ã ã , d (T3 ) Gi s rng di úng cỏc s thc nm gia hai ng thng = 21 v = 12 khụng cha cỏc giỏ tr riờng ca toỏn t pencil U(, t), t (k) (k) [0, T ] v + < k < , k = 1, ã ã ã , d nh lý 3.6 Cho m N, htk C [0, T ]; L2 (K) , k = 0, 1, ã ã ã , m v gi s (T1 ) tha Khi ú bi toỏn (3.83)(3.85) cú nghim yu u(t), t [0, T ] tha (K) , k = 0, 1, ã, m, t [0, T ], utk C 0, T ; H m m utk (t) k=0 (K) H + utm+1 L2 (K) C t htk (s) k=0 (3.88) L2 (K) ds (3.89) 16 Mt hm u thuc khụng gian l H, l nu u j=0 lj C (j) 0, T ; V, (K) Vi mi l u H, v vi mi t [0, T ], ta nh ngha cỏc chun sau k l u(t) l,, = utj (t) j=0 lj V, (K) v u l H, = utj lj (K)) C(0,T ;V, j=0 nh lý 3.7 Gi s (T1 ), (T2 ), (T3 ) cựng cỏc iu kin sau tha (KT ), k = 0, 1, (i) htk V, (ii) h(x, 0) = (K) l nghim yu trờn [0, T ] ca (3.83)(3.85) thỡ u H Nu u(t) H , v t u(t) 2,, C h(s) 1,, ds, t [0, T ] (3.90) 3.2.3 Bi toỏn na tuyn tớnh i vi hm f : R3 ì [0, +) ì R R, (x, t, p) f (x, t, p), ta ký hiu f f f ft (x, t, p) = (x, t, p); fx (x, t, p) = (x, t, p); fp (x, t, p) = (x, t, p) Vi t x p hng s [0, 2], ta núi rng hm f (x, t, u) tha iu kin (F) nu cỏc iu kin sau ng thi xy |fx (x, t, p)| C|p|+1 ; (3.100) |ft (x, t, p)| C|p|+1 ; (3.101) |fp (x, t, p)| C(1 + |p| ); (3.102) |f (x, t, p) f (x, t, q)| C(|p| + |q| )|p q|; (3.103) |fx (x, t, p) fx (x, t, q)| C(|p| + |q| )|p q|; (3.104) |ft (x, t, p) ft (x, t, q)| C(|p| + |q| )|p q|; (3.105) |fp (x, t, p) fp (x, t, q)| C(|p|1 + |q|1 )|p q| (3.106) B 3.3 Cho [0, 2], gi thit (T2 ), (F) tha v f (x, 0, 0) = 2 R, t Fi (t) = Khi ú vi mi u1 , u2 H, cho max ui H, t[0,T ],i{1,2} f x, t, ui (t) , i = 1, thỡ 17 (a) Fi H, , i = 1, v tn ti hng s C > c lp vi u1 , u2 cho vi mi t [0, T ], i = 1, 2, ta cú Fi (t) 1,, C ui (t) 2 (K) V, + ui (t) 2(+1) (K) V, (3.108) (b) Tn ti hng s CR > ph thuc R cho vi t [0, T ], ta cú F1 (t) F2 (t) 1,, CR u1 (t) u2 (t) 2,, (3.109) nh lý 3.8 Cho [0, 2], gi s (T1 ), (T2 ), (T3 ), (F) tha v h L2 0, T ; H, , htk V, (KT ), k = 0, 1, 2; f (x, 0, 0) = 0, h(x, 0) = Khi ú bi toỏn (3.79)(3.81) cú nht nghim yu u H, trờn [0, ], < T v u 2 H, C 1+ h ) L2 (0,T ;H, , (3.127) õy C l hng s dng khụng ph thuc u B 3.4 Cho g : [0, +) [0, +) l hm khụng gim v tn ti > cho g|[0,] C ([0, ]), g(0) = g (0) = Khi ú tn ti < < ph thuc s b > no ú v l nht tha b + M g(x) > x, vi x < , (3.133) b + M g(x) < x, vi < x < (3.134) vi b nh nh lý 3.9 Gi s cỏc gi thit nh lý 3.8 tha Khi ú bi toỏn (3.79)(3.81) cú nht nghim yu u H, trờn [0, T ] v u(t) 2,, C 1+ h õy C l hng s c lp vi u ) L2 (0,T ;H, , t (0, T ], 18 Chng PHNG TRèNH TRUYN SểNG NA TUYN TNH VI CU TRC TT DN 4.1 Thit lp bi toỏn Cho (X, ã ) l khụng gian Banach, chỳng ta xột phng trỡnh truyn súng na tuyn tớnh vi cu trỳc tt dn gm cỏc iu kin ban u khụng a phng cú dng sau utt (t) + Aut (t) + A2 u(t) = f (t, u(t)), u(0) + g(u) = x0 , t>0 ut (0) + h(u) = y0 , (4.8) (4.9) õy A : D(A) X X l toỏn t tuyn tớnh úng, l hng s ó cho, x0 D(A), y0 X v g, h, f l cỏc hm ó cho nh ngha 4.1 Mt hm u C([0, T ]; X) c gi l nghim mm ca bi toỏn (4.8)(4.9) trờn [0, T ] nu t u(t) = S2 (t) x0 g(u) + S2 (t s)S1 (s)v0 ds t s S2 (t s)S1 (s )f , u( ) d ds, (4.16) + 0 vi bt k t [0, T ], õy v0 = y0 h(u) + A x0 g(u) 4.2 S tn ti nghim mm ca bi toỏn Gi thit rng (A) Toỏn t A sinh C0 na nhúm liờn tc chun {T (t)}t0 trờn khụng gian Banach X (G) Hm g : C [0, T ]; X D(A) c xỏc nh bi cỏc iu kin: (i) g l hm liờn tc v tn ti hm g : R+ R+ l hm khụng gim cho g(u) D(A) g ( u C ), u C([0, T ]; X) (4.17) 19 (ii) Tn ti cỏc hng s khụng õm g , g cho vi mi b chn C([0, T ]; X), (g()) g T (), (4.18) (Ag()) g T () (4.19) (H) Hm h : C([0, T ]; X) X tha cỏc iu kin sau (i) Tn ti h : R+ R+ l hm liờn tc, khụng gim cho h(u) X h ( u C ), u C([0, T ]; X), (4.20) (ii) Tn ti hng s dng h cho h() h T (), (4.21) vi tt c cỏc b chn C([0, T ]; X) (F) Hm phi tuyn f : R+ ì X X tha (i) f ã, v l hm o c i vi mi v X, f (t, ã) liờn tc hu khp i vi t [0, T ] v f t, v X m(t)f ( v X ), (4.22) vi tt c v X, t [0, T ], õy m L1 ([0, T ]), f : R+ R+ l hm liờn tc, khụng gim (ii) Nu {T (t)}t0 khụng l na nhúm compact thỡ tn ti hm f : R+ R+ tha f L1 (0, T ) v f (t, ) f (t) T (), (4.23) vi tt c cỏc b chn X t S1 (t) = T (1 t), S2 (t) = T (2 t), + = , = 1, < < Ta kớ hiu BR = {u C := C([0, T ]; X) : u C R}, õy R l s thc dng ó c chn Ta thy rng BR l úng, li, b chn ca 20 C([0, T ]; X) Ta nh ngha toỏn t nghim F : BR C nh sau: t F (u)(t) = S2 (t)(x0 g(u)) + S2 (t s)S1 (s)v0 ds t s S2 (t s)S1 (s )f , u( ) d ds, (4.24) + 0 vi mi u BR v vi mi t [0, T ] t M = sup S2 (t) L(X) , T t[0,T ] t[0,T ] t S2 (t s)S1 (s ) t[0,T ] L(X) ds, s T = sup T = S2 (t s)S1 (s) = sup L(X) m( )d ds 0, nu na nhúm {T (t)}t0 l compact, t s sup S2 (t s)S1 (s ) L(X) f ( )d ds, cỏc trng hp khỏc t[0,T ] 0 B 4.1 Gi s (A), (G), (H), (F) tha v nu M g (n) + (h (n) + g (n))T + f (n)T < n n thỡ luụn tn ti s thc dng R cho F (BR ) BR lim inf (4.25) B 4.2 Gi s cỏc gi thit ca B 4.1 tha Khi ú T F (D) M g + h + g )T + 8T T (D), (4.31) vi tt c cỏc b chn D BR nh lý 4.1 Gi s cỏc gi thit ca B 4.2 c tha v l := M g + 4(h + g )|T + 8T < (4.41) Khi ú bi toỏn (4.8)-(4.9) cú ớt nht mt nghim trờn [0, T ] 4.3 S tn ti nghim mm phõn ró ca bi toỏn Ta xột toỏn t nghim F trờn sau: BCR () = BR v BC(R+ ; X) : sup et v(t) tR+ X , 21 õy BR l hỡnh cu úng BC(R+ ; X) cú tõm ti gc, bỏn kớnh R; v l cỏc s thc dng s c la chn sau Trong mc ny ta s dng cỏc gi thit: (A ) Toỏn t A l phn t sinh ca C0 na nhúm liờn tc chun {T (t)}t0 cho T (t) L(X) Cet , t 0, õy C, l cỏc hng s dng (G ) Gi thit (G) tha vi bt k T > (H ) Gi thit (H) tha vi bt k T > (F ) Gi thit (F) tha vi f (r) = r, f L (R+ ) v m L1loc (R+ ) cho s e(1 )(s ) m( )d < + K = sup s0 Ta t t M = sup S2 (t) L(X) , tR+ t = S2 (t s)S1 (s ) L(X) ds, s = sup tR+ S2 (t s)S1 (s) = sup tR+ L(X) m( )d ds 0, nu na nhúm {T (t)}t0 l compact, t s sup tR+ S2 (t s)S1 (s ) L(X) f ( )d ds, cỏc trng hp khỏc 0 Trong cỏc phỏt biu v chng minh di õy, ta luụn chn (0, ] l c nh B 4.3 Gi s (A ), (G ), (H ), (F ) tha v nu lim inf M g (n) + h (n) + g (n) + < 1, n n KC v