Đa tạp quán tính đối với một số lớp phương trình tiến hóa (tt)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI  BÙI XUÂN QUANG ĐA TẠP QUÁN TÍNH ĐỐI VỚI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA Chun ngành: Mã số: Phương trình vi phân tích phân 9.46.01.03 TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Hà Nội – 2020 Luận án hoàn thành Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Tập thể hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH Nguyễn Thiệu Huy TS Trần Thị Loan Phản biện 1: PGS.TS Khuất Văn Ninh Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Phản biện 2: PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Phản biện 3: PGS.TS Lê Văn Hiện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Trường họp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội vào hồi ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận án Thư viện Quốc gia, Hà Nội, Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Rất nhiều tượng tự nhiên kỹ thuật trình truyền nhiệt, trình phản ứng-khuếch tán, mơ hình cạnh tranh, thú-mồi với khuếch tán chéo, mơ tả phương trình đạo hàm riêng với điều kiện ban đầu điều kiện biên phù hợp Bằng cách chọn khơng gian hàm tốn tử tuyến tính thích hợp, phương trình đạo hàm riêng viết lại dạng phương trình tiến hóa khơng gian Banach Việc xem xét phương trình tiến hóa khơng gian trừu tượng cho phép sử dụng công cụ tìm hiểu vấn đề mang tính chất nghiệm Một vấn đề trung tâm lý thuyết hệ động lực vô hạn chiều khảo sát dáng điệu tiệm cận nghiệm thời gian vô lớn Đây việc làm quan trọng cho phép người ta hiểu sâu sắc trình biến đổi vật chất theo thời gian Từ đó, đưa ước lượng đánh giá quy mô hệ thống tương lai Bài toán nghiên cứu dáng điệu tiệm cận có bước đột phá lớn Foias C., Sell G.R & Temam R (1985) giới thiệu khái niệm đa tạp quán tính năm 1985 nghiên cứu phương trình Navier-Stokes Về khía cạnh tốn học, đa tạp quán tính đa tạp trơn (ít Lipschitz) hữu hạn chiều, bất biến dương, hút tốc độ mũ tất nghiệm phương trình tiến hóa điều kiện xét Tính chất cho phép sử dụng nguyên lí rút gọn để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình tiến hóa khơng gian vơ hạn chiều cách so sánh chúng với phương trình vi phân cảm sinh khơng gian hữu hạn chiều Do đó, đối tượng hữu ích việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận hệ động lực vô hạn chiều Nguyen T.H (2012) xây dựng điều kiện đủ tồn đa tạp quán tính phương trình tiến hóa   du + Au = f (t, u), t > s, dt (1)  u(s) = us tốn tử đạo hàm riêng tuyến tính A xác định dương, tự liên hợp không gian Hilbert tách vơ hạn chiều thỏa mãn điều kiện −A tốn tử sinh nửa nhóm, f số hạng phi tuyến có hệ số Lipschitz ϕ(t) (được gọi ϕ-Lipschitz ) với ϕ thuộc vào không gian hàm chấp nhận Những phân tích lý để tác giả chọn đề tài luận án “Đa tạp quán tính số lớp phương trình tiến hóa” 2.1 Tổng quan vấn đề nghiên cứu Lịch sử nghiên cứu – Sự tồn đa tạp quán tính Như nói, khái niệm đa tạp qn tính phương trình tiến hóa giới thiệu lần năm 1985 Foias C., Sell G.R & Temam R (1985) Kể từ đó, tồn đa tạp qn tính phương trình tiến hóa nghiên cứu cách hệ thống nhiều tác giả Chow S.N & Lu K (1988) xét phương trình tiến hóa tổng qt khơng gian Banach với số hạng phi tuyến bị chặn thuộc lớp C , tính chất hút cấp mũ đa tạp không chứng minh tập bị chặn không gian trạng thái Mallet-Paret J & Sell G.R (1988) giới thiệu nguyên lý trung bình khơng gian để chứng minh tồn đa tạp qn tính phương trình phản ứng-khuếch tán không gian nhiều chiều, điều kiện kẽ hở phổ không thỏa mãn Cũng vậy, Constantin P et al (1988, 1989) thực chứng minh hình học cho tồn đa tạp quán tính việc sử dụng khái niệm chặn phổ (spectral barrier), mà khái niệm nỗ lực để vượt qua điều kiện kẽ hở phổ Demengel E & Ghidaglia J.M (1991) thiết lập chứng minh cho trường hợp tốn tử tuyến tính tự liên hợp số hạng phi tuyến không bị chặn Debussche A & Temam R (1993) thiết lập chứng minh khác số hạng phi tuyến không thiết bị chặn, không gian Banach tổng quát, giả sử thuộc lớp C Các chứng minh tồn đa tạp qn tính trường hợp khơng tự liên hợp trích dẫn Debussche A & Temam R (1991) hay Sell G.R & You Y (1992) Một nghiên cứu đẹp đẽ tồn đa tạp qn tính qua tính chất nón thuộc Robinson J.C (1993) Mora X (1993) nghiên cứu đa tạp qn tính phương trình truyền sóng nửa tuyến tính tắt dần Khái niệm đa tạp quán tính mở rộng chứng minh tồn cho nhiều lớp phương trình tiến hóa ứng dụng, chẳng hạn đa tạp quán tính ngẫu nhiên Bensoussan A & Landoli F (1995) tồn đa tạp qn tính phương trình tiến hóa khơng ơtơnơm Koksch N & Siegmund S (2011), hay phương trình đạo hàm riêng có trễ (1998, 2001) Trong tất cơng trình kể trên, số hạng phi tuyến giả thiết liên tục Lipschitz Tuy nhiên, nói, nhiều q trình tiến hóa nảy sinh từ hệ thống phức tạp, điều khơng Trong hướng nghiên cứu tồn đa tạp, đa tạp qn tính phương trình tiến hóa khơng gian hàm chấp nhận hướng nghiên cứu nhằm mở rộng điều kiện áp đặt lên số hạng phi tuyến Năm 2012, sau cơng trình tính chấp nhận khơng gian hàm (xem Nguyen T.H (2006)) (xem thêm tổng quan Nguyen T.H (2016)), Nguyen T.H (2012) đưa nhánh nghiên cứu đa tạp quán tính lên bước tiến Như nói, tồn đa tạp qn tính chứng minh cho toán du + Au = f (u) với số hạng phi tuyến phụ thuộc vào trạng thái thỏa mãn điều kiện dt liên tục Lipschitz Nguyen T.H (2012) chứng minh tồn đa tạp quán tính số hạng phi tuyến hàm ϕ-Lipschitz – Mở rộng khái niệm đa tạp quán tính Người ta mở rộng khái niệm đa tạp quán tính Foias C., Sell G.R & Temam R (1985) thành số loại đa tạp quán tính khác, chẳng hạn đa tạp quán tính xấp xỉ, đa tạp qn tính có trễ đa tạp bất biến đa trị Theo dòng thời gian, có khái niệm đa tạp qn tính kiểu Nguyen T.H (2013) mà muốn nhấn mạnh, đa tạp qn tính chấp nhận E-lớp Đa tạp quán tính chấp nhận E-lớp cấu thành quỹ đạo nghiệm thuộc vào không gian hàm chấp nhận – Ứng dụng đa tạp quán tính Bên cạnh tồn đa tạp qn tính phương trình đạo hàm riêng cụ thể, đa tạp quán tính tìm thấy vai trị hữu ích cho ứng dụng phân ngành khác toán học Có thể kể đến kết nối đa tạp quán tính với phương pháp đa lưới Giải tích số Temam R (1990) hay cố gắng đa tạp qn tính để mơ tả tượng cuộn xoáy học chất lỏng Temam R (1989) Luận án muốn nhấn mạnh đến ứng dụng đa tạp qn tính lý thuyết điều khiển tốn học 2.2 Các lớp phương trình tiến hóa luận án A Phương trình parabolic du(t) + Au(t) = f (t, u(t)) dt (2) B Phương trình đạo hàm riêng hàm (có trễ hữu hạn) du(t) + Au(t) = L(t)ut + g(t, ut ) dt (3) C Phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính ∂ F ut + AF ut = Φ(t, ut ) ∂t (4) Mục đích - Đối tượng Phạm vi nghiên cứu Mục đích luận án Nghiên cứu tồn đa tạp qn tính tốn điều khiển phản hồi hữu hạn chiều số lớp phương trình tiến hóa nửa tuyến tính mà phần tuyến tính tốn tử sinh nửa nhóm số hạng phi tuyến thỏa mãn điều kiện ϕ-Lipschitz, với ϕ thuộc vào khơng gian hàm chấp nhận được, mà không gian Lebesgue Lp , không gian Lorentz Lp,q nhiều không gian hàm khác thường gặp lý thuyết nội suy Đối tượng Đa tạp quán tính điều khiển phản hồi hữu hạn chiều lớp phương trình tiến hóa (3), (2) (4) không gian hàm chấp nhận Phạm vi nghiên cứu Trong luận án, nghiên cứu toán sau ◦ Nội dung Nghiên cứu tồn đa tạp quán tính phương trình tiến hóa nửa tuyến tính có dạng du(t) + Au(t) = f (t, u(t)) với −A toán tử quạt có dt kẽ hở phổ sinh nửa nhóm giải tích bị chặn, số hạng phi tuyến f (t, u) hàm ϕ-Lipschitz với ϕ thuộc không gian hàm chấp nhận ◦ Nội dung Nghiên cứu tính quy đa tạp quán tính áp dụng lý thuyết đa tạp quán tính vào toán điều khiển phản hồi hữu hạn chiều lớp phương trình phản ứng-khuếch tán ◦ Nội dung Nghiên cứu tồn đa tạp quán tính phương trình đạo hàm riêng hàm có trễ hữu hạn có dạng du(t) + Au(t) = L(t)ut + g(t, ut ) với −A tốn dt tử quạt có kẽ hở phổ sinh nửa nhóm giải tích bị chặn, L(t) tốn tử tuyến tính bị chặn, số hạng phi tuyến g(t, ut ) hàm ϕ-Lipschitz với ϕ thuộc không gian hàm chấp nhận Sau kết áp dụng nghiên cứu dáng điệu mơ hình Hutchinson với khuếch tán ◦ Nội dung Nghiên cứu tồn đa tạp qn tính phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính có dạng ∂(F∂tut ) + A(F ut ) = Φ(t, ut ) phần tuyến tính tốn tử xác định dương, tự liên hợp, có giải thức compact, tốn tử sai phân F tốn tử tuyến tính bị chặn số hạng phi tuyến Φ thỏa mãn điều kiện ϕ-Lipschitz Phương pháp nghiên cứu • Các đánh giá tốn tử tuyến tính: Sử dụng lý thuyết nửa nhóm, lý thuyết số mũ phân thứ tốn tử tuyến tính đóng (xác định) dương, lý thuyết nhiễu hệ động lực vơ hạn chiều • Các đánh giá số hạng phi tuyến: Sử dụng lý thuyết không gian hàm chấp nhận • Nghiên cứu tồn đa tạp quán tính/đa tạp quán tính chấp nhận được: Sử dụng phương pháp Lyapunov-Perron • Nghiên cứu tốn điều khiển phản hồi: Sử dụng giải tích hàm, phương pháp điểm bất động, lý thuyết điều khiển toán học Cấu trúc luận án Ngoài phần Lời cảm ơn, Mở đầu, Danh sách kí hiệu, Tài liệu tham khảo, Danh mục cơng trình khoa học liên quan đến luận án, Kết luận, Chỉ mục, luận án chia thành bốn chương sau: Chương Kiến thức chuẩn bị Chương Đa tạp quán tính lớp phương trình parabolic ứng dụng Chương Đa tạp quán tính lớp phương trình đạo hàm riêng hàm có trễ hữu hạn Chương Đa tạp quán tính lớp phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, trình bày số kiến thức chuẩn bị cho luận án Đầu tiên số kết nửa nhóm tốn tử tốn tử sinh chúng Tiếp đến chúng tơi trình bày tốn tử tuyến tính xác định dương có phổ rời rạc toán tử quạt, đặc biệt kết đánh giá nhị phân nửa nhóm sinh chúng nhấn mạnh Các kết tính hyperbolic nửa nhóm, Định lí Ánh xạ phổ, Định lí Nhiễu bị chặn dáng điệu phổ giải thức tác động nhiễu nhỏ liệt kê Phần cuối chương kiến thức không gian hàm chấp nhận 1.1 Nửa nhóm tốn tử Trong mục chúng tơi trình bày khái niệm sở nửa nhóm tốn tử tốn tử sinh chúng Tài liệu tham khảo Engel K.J & Nagel R (2000) (xem thêm C.T Anh & T.Đ Kế (2016)) 1.2 1.2.1 Tốn tử tuyến tính Tốn tử xác định dương có phổ rời rạc GIẢ THIẾT A Cho X không gian Hilbert tách giả sử A tốn tử tuyến tính đóng X Giả sử A toán tử tự liên hợp với phổ rời rạc X thỏa mãn < λ1 λ2 λk λj có bội hữu hạn, lim λk = ∞ (1.1) (1.2) k→∞ Giả sử {ek }k sở trực chuẩn X tương ứng với giá trị riêng toán tử A, nghĩa Aek = λk ek Giả sử λn λn+1 hai giá trị riêng liên tiếp khác thỏa mãn λn < λn+1 Gọi P phép chiếu trực giao lên không gian vector span{e1 , e2 , , en } sinh n vector riêng toán tử A 1.2.2 Toán tử quạt Nửa nhóm giải tích Tốn tử quạt nửa nhóm giải tích cơng cụ quan trọng nghiên cứu toán parabolic trừu tượng Phần dành để nhắc lại số khái niệm tốn tử quạt nửa nhóm giải tích Trong Chương Chương luận án này, xét số lớp phương trình tiến hóa có phần tuyến tính tốn tử quạt theo định nghĩa sau Định nghĩa 1.1 Giả sử X không gian Banach Một tốn tử tuyến tính B : X ⊃ D(B) → X gọi toán tử quạt (1) B tốn tử tuyến tính đóng có tập xác định trù mật X; (2) Tồn số thực ω ∈ R, σ ∈ 0, π2 M cho ρ(B) ⊃ Σσ+ π2 ,ω := z ∈ C : | arg(z − ω)| < σ + π ,z=ω (tập hợp Σσ+ π2 ,ω gọi quạt) giải thức toán tử B thỏa mãn M |λ − ω| R(λ, B) với λ ∈ Σσ+ π2 ,ω (1.3) Trong luận án này, chứng minh tồn đa tạp qn tính, chúng tơi sử dụng lớp cụ thể toán tử quạt đặt giả thiết sau đây: GIẢ THIẾT B Giả sử A tốn tử tuyến tính đóng khơng gian Banach X thỏa mãn −A toán tử quạt kiểu (σ, ω) với σ ∈ 0, π2 ω < Giả sử phổ σ(−A) thỏa mãn σ(−A) = σu (−A) ∪ σc (−A) ⊂ C− với ωu < ωc < ω < 0, ωu := sup{Re λ : λ ∈ σu (−A)}, ωc := inf{Re λ : λ ∈ σc (−A)} (1.4) σc (−A) tập hợp compact Dưới Giả thiết B ta chọn số κ µ thỏa mãn ωu < κ < µ < ωc < (1.5) Gọi P phép chiếu Riesz liên quan đến tập hợp σc (−A) xác định P = 2πi R(λ, −A)dλ, (1.6) + + đường cong quy đóng chứa ρ(−A), bao quanh phần phổ σc (−A) định hướng ngược chiều kim đồng hồ Bây giờ, ta phát biểu chứng minh số tính chất, gọi đánh giá nhị phân nửa nhóm giải tích e−tA t Mệnh đề 1.2 Giả sử κ < µ < số thực chọn (1.5) Với β > ta có đánh giá nhị phân sau đây: e−tA P β −tA A e P e−tA (I − P ) Aβ e−tA (I − P ) M1 e−µ|t| với t ∈ R, (1.7) −µ|t| với t ∈ R, (1.8) M2 e M eκt N κt e tβ với t 0, (1.9) với t > (1.10) Chúng kết thúc mục việc trình bày định nghĩa hàm Green, mà có vai trị quan trọng công thức biểu diễn nghiệm đủ tốt chương sau Giả sử tốn tử tuyến tính A thỏa mãn Giả thiết A Giả thiết B Khi đó, ta định nghĩa hàm Green e−(t−τ )A (I − P ) với t > τ, G(t, τ ) := (1.11) −e−(t−τ )A P với t τ 1.2.3 Kết bổ trợ Mục dành để liệt hai kết bổ trợ nhiễu nửa nhóm dáng điệu phổ giải thức toán tử tuyến tính tác động nhiễu nhỏ Kết dùng Chương nghiên cứu tốn tử tuyến tính mơ hình cạnh tranh Định lí 1.3 (Định lí Nhiễu bị chặn) Giả sử A tốn tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh etA t không gian Banach X thỏa mãn etA M eωt với t 0, với ω ∈ R M Nếu B ∈ L(X) C := B + A với sinh nửa nhóm liên tục mạnh (S(t))t M e(ω+M S(t) D(C) := D(A) thỏa mãn B )t với t Định lí 1.4 Giả sử V không gian Banach, A ∈ L(V ) G tập mở phủ tập phổ σ(A) Khi tồn δ-lân cận Uδ (A) A cho σ(X) ⊂ G với X ∈ Uδ (A) Hơn nữa, với ε > 0, tồn δ cho R(λ, X) − R(λ, A) < ε với X ∈ Uδ (A) λ ∈ / G 1.3 Không gian hàm chấp nhận Không gian hàm chấp nhận Kí hiệu B λ đại số Borel độ đo Lebesgue đường thẳng thực R Không gian L1,loc (R) hàm số nhận giá trị thực khả tích địa phương R (đồng hàm λ-hầu khắp nơi) trở thành không gian Fréchet với nửa chuẩn pn (f ) = Jn |f (t)|dt Jn = [n, n + 1] với n ∈ Z (xem Massera J.L & Schăaffer J.J (1966)) tin trỡnh bày, ánh xạ h : J → X từ khoảng J ⊆ R vào không gian Banach X đo (tương ứng, đo mạnh) ta viết h ∈ Mea(J, X) (tương ứng, h ∈ SMea(J, X)) Định nghĩa 1.5 Không gian vector E bao gồm hàm thực đo theo nghĩa Borel (R, B, λ) (đồng hàm λ-hầu khắp nơi) gọi không gian hàm Banach (R, B, λ) (1) E dàn Banach với chuẩn · E , tức (E, · E ) không gian Banach, ϕ ∈ E, ψ hàm thực đo Borel cho |ψ(·)| ψ ∈ E ψ E ϕ |ϕ(·)| λ-hầu khắp nơi E (2) Hàm đặc trưng χA thuộc không gian E với A ∈ B có độ đo hữu hạn sup χ[t,t+1] E < ∞, t∈R inf χ[t,t+1] t∈R E > (3) E → L1,loc (R), tức là, với nửa chuẩn pn L1,loc (R), tồn số dương βpn cho pn (f ) βpn f E với f ∈ E Tiếp theo giới thiệu khái niệm chấp nhận không gian hàm định nghĩa sau đây: Định nghĩa 1.6 Không gian hàm Banach E gọi không gian hàm chấp nhận (hoặc đầy đủ không gian hàm Banach chấp nhận được) điều kiện sau thỏa mãn: (1) Tồn số M cho với tập hợp compact [a, b] ⊂ R ta có b M (b − a) ϕ χ[a,b] E |ϕ(t)|dt a E với ϕ ∈ E (1.12) (2) Với ϕ ∈ E hàm t Λ1 ϕ(t) = ϕ(τ )dτ (1.13) t−1 thuộc E (3) Không gian E Tτ+ -bất biến Tτ− -bất biến, Tτ+ Tτ− định nghĩa sau với τ ∈ R: Tτ+ ϕ(t) := ϕ(t − τ ) với t ∈ R, (1.14) Tτ− ϕ(t) với t ∈ R (1.15) := ϕ(t + τ ) Hơn nữa, tồn số N1 N2 cho Tτ+ N1 Tτ− N2 với τ ∈ R Phương trình tiến hóa với hệ số Lipschitz thuộc vào không gian hàm chấp nhận Xét tốn Cauchy phương trình tiến hóa   dy + Ay = f (t, y), t > s, dt (1.16)  y(s) = ys , s ∈ R, có phần tuyến tính tốn tử sinh nửa nhóm khơng gian Banach Hilber (X, · ) (tùy tình cụ thể chương) Giả sử (F, · F ) không gian hàm xác định phụ thuộc vào khơng gian X lũy thừa phân thứ Aβ Để thiết lập đa tạp qn tính phương trình tiến hóa, bên cạnh giả thiết tốn tử tuyến tính A, ta cần tính chất ϕ-Lipschitz số hạng phi tuyến f Trong định nghĩa sau chúng tơi định nghĩa tính chất ϕ-Lipschitz cách tổng quát, tình cụ thể thảo luận sau Định nghĩa 1.7 Cho E không gian hàm chấp nhận R ϕ hàm dương thuộc E Khi đó, hàm f : R × F → X gọi ϕ-Lipschitz f thỏa mãn tính chất: (1) f (t, y) ϕ(t) (1 + y (2) f (t, y1 ) − f (t, y2 ) F) với t ∈ R hầu khắp nơi với y ∈ F, ϕ(t) y1 − y2 F với t ∈ R hầu khắp nơi với y1 , y2 ∈ F Trong mơ hình ứng dụng, tính chất ϕ-Lipschitz thường xảy địa phương, tức điều kiện Định nghĩa 1.7 hình cầu BR tâm gốc tọa độ bán kính R Ta có kỹ thuật sau để chuyển tính chất tính chất ϕ-Lipschitz địa phương tồn cục Giả sử f hàm ϕ-Lipschitz địa phương hình cầu BR , χ(s) hàm Một nghiệm phương trình (2.2) hàm số đo mạnh u(t) xác định khoảng J nhận giá trị không gian Xβ thỏa mãn phương trình (2.2) với t, s ∈ J Nghiệm u phương trình (2.2) gọi nghiệm đủ tốt phương trình (2.1) Định nghĩa 2.1 Một đa tạp qn tính phương trình (2.2) họ đa tạp Lipschitz M = Mt t∈R X thỏa mãn với Mt đồ thị ánh xạ Lipschitz Φt : P X → (I − P )Xβ , tức Mt = {x + Φt x : x ∈ P X} với t ∈ R thỏa mãn điều kiện sau đây: (1) Hằng số Lipschitz ánh xạ Φt độc lập với thời gian t, tức có số C khơng phụ thuộc thời gian t thỏa mãn Aβ (Φt x1 − Φt x2 ) C Aβ (x1 − x2 ) (2.3) (2) Tồn số γ > cho x0 ∈ Mt0 tồn nghiệm u(t) phương trình (2.2) (−∞, t0 ] thỏa mãn u(t0 ) = x0 esssup e−γ(t0 −t) Aβ u(t) < ∞ (2.4) t t0 (3) Đa tạp M = Mt t∈R bất biến dương phương trình tích phân (2.2) Tức là, nghiệm x(t) với t s phương trình (2.2) thỏa mãn xs ∈ Ms x(t) ∈ Mt với t s (4) Đa tạp M = Mt t∈R hút cấp mũ tất nghiệm phương trình (2.2), tức với nghiệm u(·) phương trình (2.2) với s ∈ R cố định, tồn số dương H thỏa mãn distXβ (u(t), Mt ) He−γ(t−s) với t s, (2.5) với γ số dương thỏa mãn (2.4) distXβ kí hiệu nửa khoảng cách Hausdorff sinh chuẩn Xβ Để đặt toán cho chương này, bắt đầu việc nhắc lại kết Nguyen T.H (2012) tồn đa tạp qn tính phương trình parabolic (2.1) tốn tử đạo hàm riêng tuyến tính A xác định dương, tự liên hợp không gian Hilbert tách vô hạn chiều số hạng phi tuyến thỏa mãn điều kiện ϕ-Lipschitz với ϕ thuộc vào không gian hàm chấp nhận Kết phát biểu định lí : Định lí 2.2 (xem Nguyen T.H (2012)) Cho tốn tử A thỏa mãn Giả thiết A ϕ thuộc vào không gian hàm chấp nhận E Cho f hàm ϕ-Lipschitz thỏa mãn Giả thiết C Giả sử λn < λn+1 hai giá trị riêng khác toán tử A thỏa mãn k n∗ , 15 (2.28) n∗ ∈ N cho Định lí 2.2 thỏa mãn Chọn số thực xj xi cho √ ˜h h , (2.29) 1/2 1/2 4λn0 2λm ˜ n − 4hλ 2 − 2hλm (2.30) Bây ta định nghĩa ánh xạ g : R × Z2 → Z1 APn0 (CPm )−1 + W t, Pn0 (CPm )−1 y − g(t, y) = (Pn B)−1 r − Pn f t, (CPm )−1 y (2.31) với y ∈ Z2 t ∈ R Bởi Bổ đề 2.7, ta có g ánh xạ Lipschitz tồn cục với hệ số Lipschitz Lip(g) ξ(t), (2.32) ξ(t) := (λn0 + ς1 (t) + ϕ(t)) với t ∈ R 2.5.5 Đa tạp quán tính hệ vịng kín Với luật điều khiển phản hồi g xác định (2.31) ta viết hệ điều khiển (2.18) dạng vịng kín du + Au = f (t, u) + Bg(t, Cu) (2.33) dt Cùng với hệ vịng kín, ta xét phương trình parabolic phụ trợ dv + Av = Pm f (t, Pm v) + Pm Bg(t, CPm v) dt (2.34) Chú ý số hạng phi tuyến hai phương trình parabolic có hệ số Lipschitz nhỏ η(t) := ϕ(t) + ξ(t) với t ∈ R Chúng ta mong muốn điều kiện thích hợp, phương trình parabolic (2.33) (2.34) có đa tạp quán tính Áp dụng Định lí 2.2 cho phương trình parabolic t (2.33) (2.34), ta có, n∗ đủ lớn chuẩn Λ1 η ∞ = supt∈R t−1 η(τ )dτ đủ nhỏ, tồn đa tạp quán tính M = Mt t∈R N = Nt t∈R , tương ứng, hai phương trình parabolic (2.33) (2.34) Khi phương trình parabolic (2.33) (2.34) có đa tạp qn tính, dạng qn tính khơng gian hữu hạn chiều Pn X dp + Ap = Pn f (t, p + Φt (p)) + Pn Bg(t, C(p + Φt (p))), dt dρ + Aρ = Pn f (t, Pm (ρ + Ψt (ρ))) + Pn Bg(t, CPm (ρ + Ψt (ρ))) dt (2.35) (2.36) Do vậy, dạng quán tính phương trình parabolic phụ trợ (2.34) dẫn đến dρ + A(Pn − Pn0 )ρ = W (t, Pn0 ρ), dt 16 (2.37) Liên quan dạng quán tính (2.35), ta viết thành dp + A(Pn − Pn0 )p = W (t, Pn0 p) + ε(t, p), dt (2.38) số hạng ε(t, p) coi sai số cho ε(t, p) = Pn f (t, p + Φt (p)) + Pn Bg(t, C(p + Φt (p))) −Pn f (t, p + Pm Ψt (p)) − Pn Bg(t, C(p + Pm Ψt (p))) Ta có Lip(ε) = ϕ(t) + ξ(t) := η(t) Bằng việc sử dụng đánh giá nhị phân kết hợp với tính chấp nhận khơng gian hàm, ta nhận đánh giá ε(t, p) η(t) 1/2 λm Dε(t, p) với p ∈ Pn X, (c1 + c2 p ) L(Pn X) c3 η(t) 1/2 c4 + λm ν/2 λm với p ∈ Pn X, (2.39) (2.40) số ci cho ci = ci (n0 , n, Λ1 ϕ ∞, c4 = c4 (n0 , n, Λ1 ϕ2 ∞, Λ1 ς1 ∞) , Λ1 ς2 với i = 1, 2, 3, ∞ , ν) Chúng tổng kết kiện định lí sau đây: Định lí 2.8 Xét hệ vịng hở (2.15) Giả sử phương trình vi phân thường khơng ơtơnơm (2.25) cho với n0 ∈ N hàm phi tuyến W thỏa mãn điều kiện (2.22) (2.23) Nếu luật phản hồi g = g(t, y) cho (2.31), hệ vịng kín (2.33) có đa tạp qn tính mà (2.38) có sai số thỏa mãn đánh giá (2.39) (2.40) Định lí 2.9 Giả sử giả thiết Định lí 2.8 xảy Giả sử tồn α > 0, r0 > cho hàm phi tuyến W thỏa mãn điều kiện ((W (t, z), z)) −α z với z r0 , dòng dz n0 cảm sinh dt = W (t, z) với z hạn chế đến hình cầu Br0 := {z ∈ Pn0 X : z r0 } ổn định cấu trúc Nếu luật phản hồi g = g(t, y) cho (2.31) với số tự nhiên m chọn đủ lớn, động lực thời gian dài dạng qn tính (2.38) hệ vịng kín (2.33) chứa hình cầu Brn0 = {p ∈ Pn X : p r0 } dòng tương ứng hạn chế lên hình cầu Brn0 tương đương tơpơ với dòng cho (2.37) 17 Chương ĐA TẠP QUÁN TÍNH ĐỐI VỚI MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG HÀM CĨ TRỄ HỮU HẠN Trong chương này, chúng tơi chứng minh tồn đa tạp quán tính phương trình đạo hàm riêng hàm có trễ hữu hạn du + Au = L(t)ut + g(t, ut ) tốn tử đạo dt hàm riêng A dương cho −A toán tử quạt với kẽ hở đủ lớn tập phổ, ánh xạ t → L(t) nhận giá trị toán tử, biến thời điểm thành tốn tử tuyến tính bị chặn, g ánh xạ phi tuyến thỏa mãn điều kiện ϕ-Lipschitz, tức g(t, ψ) ϕ(t) + |ψ| Cβ g(t, ψ) − g(t, φ) ϕ(t)|ψ − φ| Cβ với Cβ := C [−h, 0], D(Aβ ) Ở đây, L(·) ϕ giả thiết thuộc vào không gian hàm chấp nhận Ký hiệu ut hàm lịch sử xác định ut (θ) := u(t + θ) với θ ∈ [−h, 0], h > số cố định Phương pháp chương dựa vào phương trình Lyapunov-Perron, lý thuyết nửa nhóm giải tích, kết hợp với tính chất chấp nhận không gian hàm Nội dung chương viết theo cơng trình [1] Danh mục cơng trình khoa học liên quan đến luận án 3.1 Đặt tốn Được gợi ý từ phương trình Hutchinson với khuếch tán, xét lớp phương trình đạo hàm riêng hàm có trễ hữu hạn có dạng   du(t) + Au(t) = L(t)u + g(t, u ), t > s, t t (3.1) dt  us = φ ∈ Cβ Thay cho phương trình đạo hàm riêng hàm (3.1) ta xét phương trình tích phân t u(t) = e−(t−s)A u(s) + e−(t−ξ)A [L(ξ)uξ + g(ξ, uξ )]dξ (3.2) s với t s hầu khắp nơi Một nghiệm phương trình đạo hàm riêng hàm (3.2) hàm liên tục mạnh u(t) xác định khoảng J với giá trị Xβ := D(Aβ ) mà thỏa mãn (3.2) với t, s ∈ J Nghiệm u phương trình tích phân (3.2) gọi nghiệm đủ tốt phương trình đạo hàm riêng hàm (3.1) Giả sử toán tử A thỏa mãn Giả thiết B xét phép chiếu Riesz P xác định (1.6), xét toán tử P không gian trạng thái Cβ P φ = (P φ)(θ) := e−θA P φ(0), θ ∈ [−h, 0] φ = φ(θ) phần tử không gian hàm Cβ 18 (3.3) Định nghĩa 3.1 Đa tạp qn tính phương trình (3.1) họ đa tạp M = Mt Cβ có dạng Mt = p˜(θ) + Γt (˜ p(θ)) : p˜(θ) ∈ P Cβ ⊂ Cβ với t ∈ R t∈R (3.4) Γt ánh xạ từ P X vào (I − P ) Cβ , thỏa mãn tính chất sau: (1) Với t ∈ R, Mt đồ thị ánh xạ Lipschitz với hệ số Lipschitz Γt (·) không phụ thuộc vào t, tức là, tồn số C không phụ thuộc vào t cho |Γt (p1 ) − Γt (p2 )| Cβ C p1 − p2 Xβ (2) Tồn γ > cho với u0 ∈ Mt0 tồn tương ứng nghiệm u(t) phương trình (3.2) nửa đường thẳng (−∞, t0 ] thỏa mãn u(t0 ) = u0 sup e−γ(t0 −t) Aβ u(t) < ∞ (3.5) t t0 (3) Đa tạp M = Mt t∈R bất biến dương phương trình (3.2), tức là, u(t), t ∈ R nghiệm phương trình (3.2) thỏa mãn điều kiện us ∈ Ms sup |ut | Cβ < ∞ t s với s ∈ R ta có ut ∈ Mt với t ∈ R (4) Đa tạp M = Mt t∈R hút cấp mũ tất nghiệm phương trình tích phân (3.2), tức là, với nghiệm u(·) (3.2) s ∈ R cố định, tồn nghiệm ut ∈ Mt , tồn số dương H cho |ut − ut | Cβ He−γ(t−s) với t s (3.6) γ số xác định (3.5) 3.2 Phương trình Lyapunov-Perron Ta xây dựng nghiệm nửa đường thẳng (−∞, t0 ] phương trình (3.2) mà bị chặn hậu tỉ xích bổ đề sau đây: Bổ đề 3.2 Cho toán tử A thỏa mãn Giả thiết B g : R × Cβ → X ϕ-Lipschitz với ϕ thỏa mãn Giả thiết D Với điểm t0 ∈ R cố định, cho u(t) nghiệm phương trình tích phân (3.2) cho u(t) ∈ Xβ với t ∈ (−∞, t0 ], supt t0 eγ(t−t0 ) u(t) X < ∞ β γ = µ+κ Khi đó, với t ∈ (−∞, t0 ], nghiệm u(t) viết lại dạng u(t) = e−(t−t0 )A p + t0 G(t, τ ) L(τ )uτ + g(τ, uτ ) dτ, −∞ p ∈ P X G(t, τ ) hàm Green xác định (1.11) 19 (3.7) 3.3 Sự tồn tính nghiệm Với t0 ∈ R ta giới thiệu không gian Banach L− γ,t0 := γ(t−t0 ) v ∈ C (−∞, t0 ], D(Aβ ) : |v|− v(t) γ := sup e t t0 Xβ cho với u0 ∈ Mt0 có tương ứng nghiệm u(t) phương trình (4.2) nửa đường thẳng (−∞, t0 ] thỏa mãn u(t0 ) = u0 sup e−γ(t0 −t) Aβ u(t) < ∞ (4.4) t t0 (3) Đa tạp M = Mt t∈R F -bất biến dương phương trình (4.2), tức u(t), t ∈ R nghiệm phương trình (4.2) thỏa mãn điều kiện ut0 ∈ Mt0 supt t0 ut Cβ < ∞ với t0 ∈ R, ta có ut ∈ Mt với t ∈ R, ut xác định Bổ đề 4.2 với t0 thay t, tức ut (θ) := F ut−θ với θ ∈ [−h, 0] t ∈ R (4) Đa tạp M = Mt t∈R có tính chất F -hút cấp mũ tất nghiệm phương trình (4.2), tức với nghiệm u(·) (4.2) điểm cố định s ∈ R, tồn nghiệm ut ∈ Mt , tồn số dương H cho |ut − ut | Cβ He−γ(t−s) với t s, (4.5) với γ số xác định tính chất (4.4) 4.2 Phương trình Lyapunov-Perron Bổ đề 4.2 Giả sử toán tử A thỏa mãn Giả thiết A Φ : R × Cβ → X ϕ-Lipschitz với ϕ thỏa mãn Giả thiết D Với t0 ∈ R cố định, giả sử u(t) nghiệm phương trình tích phân (4.2) cho u(t) ∈ Xβ với t ∈ (−∞, t0 ] sup eγ(t−t0 ) u(t) t t0 γ = λn+1 +λn Xβ