Phương trình hàm với một biến số

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG ĐẦU THANH PHONG PHƯƠNG TRÌNH HÀM VỚI MỘT BIẾN SỐ Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.40 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng – Năm 2011 2 Công trình ñược hoàn thành tại ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: TS. Lê Hoàng Trí Phản biện 1: TS. Nguyễn Ngọc Châu Phản biện 2: PGS. TS. Nguyễn Gia Định Luận văn sẽ ñược bảo vệ trước Hội ñồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 28 tháng 05 năm 2011 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng 3 MỞ ĐẦU 1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Phương trình hàm là một lĩnh vực quan trọng của giải tích. Bài toán giải phương trình hàm có lẽ là một trong những bài toán lâu ñời nhất của giải tích. Nhu cầu giải phương trình hàm xuất hiện ngay khi bắt ñầu có lý thuyết hàm số. Nhiều phương trình hàm xuất phát từ nhu cầu thực tế của Toán học hoặc của các ngành khoa học khác. Phương trình hàm cũng là một chuyên ñề quan trọng thuộc chương trình chuyên toán trong các trường THPT chuyên. Trong các kỳ thi olympic toán quốc gia và quốc tế, olympic toán khu vực, thường xuất hiện các dạng toán khác nhau có liên quan ñến phương trình hàm. Tuy nhiên, cho ñến nay, học sinh các lớp chuyên, lớp chọn còn biết rất ít các phương pháp chính thống ñể giải các phương trình hàm. Đặc biệt, hiện nay còn rất ít các cuốn sách về chuyên ñề phương trình hàm và ứng dụng của chúng [4]. Các dạng toán về phương trình hàm rất phong phú và ña dạng, bao gồm các loại phương trình tuyến tính và phi tuyến tính, phương trình một ẩn hàm và phương trình nhiều ẩn hàm, phương trình hàm với một biến số và phương trình hàm với hai hoặc nhiều biến số,… Các bài toán về phương trình hàm nói chung là các bài toán khó, phương trình hàm với một biến nói riêng lại càng khó hơn. Việc giải quyết các phương trình hàm với một biến số phức tạp hơn việc giải quyết các phương trình hàm có nhiều biến số gấp nhiều lần. Do ñó, ñể việc tiếp cận các phương trình hàm một biến ñược ñơn giản hơn, tôi chọn ñề tài: “Phương trình hàm với một biến số” nhằm nêu ra một số kĩ thuật và phương pháp cơ bản thường ñược sử dụng ñể giải quyết các bài toán phương trình hàm một biến số. 2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Luận văn tập trung nghiên cứu một số phương trình hàm một biến ñơn giản và phương pháp ñể giải quyết chúng. 3. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU Đối tượng nghiên cứu của luận văn là phương trình hàm một biến số. Phạm vi nghiên cứu của luận văn là một số phương trình hàm một biến cơ bản cùng với các phương pháp giải thông thường. 4 4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Luận văn cơ bản sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết, nghiên cứu các tài liệu liên quan ñể sưu tầm, chọn lọc, phân loại và nêu phương pháp giải và sáng tác bài toán liên quan. 5. Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI Luận văn cung cấp một tài liệu cơ bản về lý thuyết phương trình hàm một biến và một số bài tập cơ bản cũng như cách giải quyết, cho ta nhìn nhận nhất quán về các bài toán phương trình hàm một biến số. 6. CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN Luận văn gồm phần mở ñầu, 3 chương, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Chương 1. Lịch sử phát triển phương trình hàm. Chương 2. Kiến thức cơ bản. Chương 3. Phương trình hàm với một biến số. 5 Chương 1 - LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN PHƯƠNG TRÌNH HÀM 1.1. Giới thiệu Trong ñại số ở trường trung học, chúng ta tìm hiểu về phương trình ñại số liên quan ñến một hoặc nhiều ẩn là các số thực chưa biết. Phương trình hàm cũng giống như phương trình ñại số, tuy nhiên ẩn là một hoặc vài hàm số. Bài toán về phương trình hàm xuất hiện khá thường xuyên trong các cuộc thi toán. Vì vậy, luận văn này hi vọng sẽ là một tài liệu hữu ích cho những học sinh, sinh viên muốn giải quyết một số vấn ñề liên quan ñến phương trình hàm ở bậc phổ thông và ñại học. Trong chương này, ta chủ yếu xem xét ñôi nét về lịch sử phát triển của phương trình hàm trong sự phát triển chung của Toán học. 1.2. Nicole Oresme Các nhà toán học ñã làm việc với các phương trình hàm từ rất sớm. Ngay từ thế kỉ XIV, nhà toán học Nicole Oresme (1323 - 1382) ñã xác ñịnh hàm số bậc nhất như một nghiệm của phương trình hàm. Cụ thể, theo ngôn ngữ của toán học hiện ñại, ông ñã ñặt bài toán tìm hàm số ( ) f x thỏa mãn với mọi , ,x y z ∈  , ñôi một phân biệt, phương trình hàm sau ( ) ( ) ( ) ( ) f y f x y x z y f z f y − − = − − (1.1) Oresme ñã tìm ñược nghiệm ( ) f x a x b = + (1.2) với , a b là hằng số thực [4]. 1.3. Gregory của Saint-Vincent Trong vài trăm năm tiếp theo, phương trình hàm ñã ñược biết ñến nhiều hơn nhưng không có lý thuyết chung cho những phương trình loại ñó. Đáng chú ý trong số ñó, nhà toán học Gregory of Saint- Vincent (1584-1667), người ñi tiên phong về lí thuyết Logarithm ñã xét bài toán tính diện tích phần mặt phẳng giới hạn bởi các ñường 1 ; 1; ; 0y x x t t x = = = > Ông ñ ã kí hi ệ u di ệ n tích ñ ó là ( ) f t và ch ứ ng t ỏ ( ) f t th ỏ a mãn ph ươ ng trình hàm ( ) ( ) ( ) , ,f x f y f xy x y + + = ∀ ∈  . 6 Ngày nay thì ta biết ñó là hàm ( ) log a f x x= v ớ i 0, 1 a a> ≠ . Tuy nhiên, vi ệ c gi ả i và nghiên c ứ u nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình ( ) ( ) ( ) , , f x f y f xy x y + + = ∀ ∈  thì ph ả i ch ờ ñế n g ầ n 200 n ă m sau, nh ờ công c ủ a Augusstin-luois Cauchy (1789-1985) [4]. 1.4. Augustin-Louis Cauchy M ặ c dù ñị nh ngh ĩ a c ủ a Nicole Oresme v ề tuy ế n tính có th ể ñượ c hi ể u nh ư là m ộ t ví d ụ ñầ u tiên v ề m ộ t ph ươ ng trình hàm, nó không ñạ i di ệ n cho m ộ t ñ i ể m kh ở i ñầ u cho lý thuy ế t v ề ph ươ ng trình hàm. Các ch ủ ñề c ủ a ph ươ ng trình hàm ñượ c ñ ánh d ấ u m ộ t cá ch chí nh xá c h ơ n t ừ công vi ệ c c ủ a Augustin-Louis Cauchy. M ộ t trong nh ữ ng ph ươ ng trình hàm n ổ i ti ế ng mà ta hay g ọ i là ph ươ ng trình Cauchy có d ạ ng ( ) ( ) ( ) , , f x y f x f y x y+ = + ∀ ∈  . (1.3) Nghi ệ m : f →  c ủ a ph ươ ng trình (1.3) có d ạ ng ( ) f x a x= . Nghi ệ m : f →  và th ỏ a mãn thêm m ộ t s ố ñ i ề u ki ệ n ph ụ n ữ a c ũ ng có d ạ ng ( ) f x a x= . Ph ươ ng trình (1.3) tr ướ c ñ ó c ũ ng ñ ã ñượ c Carl Friedrich Gauss (1777-1855) và Legandre nghiên c ứ u khi tìm ra ñị nh lí c ơ b ả n c ủ a hình h ọ c x ạ ả nh và khi nghiên c ứ u ñị nh lu ậ t Gauss v ề phân b ố xác xu ấ t. G. Darbour c ũ ng ñ ã nghiên c ứ u ph ươ ng trình (1.3) và ch ỉ ra r ằ ng ch ỉ c ầ n ( ) f x ho ặ c liên t ụ c t ạ i m ộ t ñ i ể m, ho ặ c b ị ch ặ n trên (ho ặ c d ướ i) trên m ộ t kho ả ng ñủ nh ỏ thì nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình (1.3) v ẫ n là ( ) f x k x= . Sau ñ ó các nhà toán h ọ c còn ñư a ra nhi ề u h ạ n ch ế n ữ a, nh ư ng vi ệ c ch ỉ ra hàm s ố không liên t ụ c và th ỏ a ñ i ề u ki ệ n (1.3) mãi ñế n n ă m 1905 m ớ i ñượ c th ự c hi ệ n b ở i nhà toán h ọ c ng ườ i Đứ c Georg Hamel (1877-1954) v ớ i vi ệ c ñư a ra h ệ c ở s ở Hamel c ủ a t ậ p s ố th ự c  . Th ậ t b ấ t ng ờ là m ộ t trong nh ữ ng ph ươ ng trình hàm c ơ b ả n l ạ i có liên quan ch ặ t ch ẽ ñế n nh ị th ứ c Newton [4]. T ừ hàng th ế k ỷ tr ướ c Newton, các nhà toán h ọ c ñ ã bi ế t ñế n công th ứ c ( ) 1 2 2 1 1 1 1 . n n n n n n n x C x C x C x x − − + = + + + + + (1.4) ñ úng v ớ i m ọ i n∈  và v ớ i m ọ i x∈  , trong ñ ó các t ổ h ợ p k n C ñượ c xác ñị nh t ừ tam giác Pascal và ñượ c tính theo công th ứ c ( )( ) ( ) 1 2 . 1 ! i n n n n n i C i − − − + = . (1.5) 7 1.5. Việc tính toán Những người ñọc biết một số tính toán có thể tự hỏi tại sao phương trình hàm Cauchy ( ) ( ) ( ) f x y f x f y+ = + không thể ñược giải quyết bằng cách sử dụng phép lấy vi phân? Thay y c= , một hằng số, và lấy vi phân ñối với x , ta ñược ( ) ( ) ' ' f x c f x + = với mọi số thực c . Suy ra ' f là một hàm hằng và do ñó f là một hàm tuyến tính có dạng ( ) f x a x b = + . Đây là một kết quả ñúng. Tuy nhiên, một vấn ñề lớn ñặt ra là ta phải giả ñịnh rằng hàm f có thể lấy vi phân. Mặc dù có rất nhiều người ñã sử dụng giả ñịnh này như một ñiều tất nhiên, và ta sẽ chứng minh kết quả này. Cũng có các hàm số mà không có ñạo hàm tại một vài ñiểm, chẳng hạn hàm số ( ) f x x = có ñạo hàm tại mọi ñiểm nhưng không tồn tại ñạo hàm tại 0 x = . Trong toán cao cấp, không có gì là bất bình thường nếu ta xét các hàm số mà không có ñạo hàm tại bất kì giá trị x nào. Một ví dụ ñiển hình cho ñiều này là hàm số ( ) 1, 0, \ khi x f x khi x ∈  =  ∈     Hàm số này không liên tục tại bất kỳ giá trị x nào. Vì vậy, nó cũng không tồn tại ñạo hàm tại bất kỳ giá trị nào của x. Ta thậm chí còn có thể xây dựng ñược các hàm số liên tục nhưng không có ñạo hàm tại bất kỳ giá trị nào của x. Điểm có ích của vấn ñề này là chúng ta không cần loại bỏ các hàm số mà ta có thể tự ñộng giả ñịnh rằng ta có thể lấy vi phân ñối với hàm số f(x). Chúng ta có lí do ñể cho rằng các ñạo hàm tồn tại trong phương trình hàm tiếp theo. Tuy nhiên, các giả ñịnh như vậy nên ñược thực hiện ít nhằm loại bỏ chúng nếu chúng không thực sự cần thiết cho việc chứng minh các kết quả. 1.6. Jean d'Alembert Trong lịch sử, Jean d'Alembert (1717-1783) có thể ñược là tiền bối của Augustin-Louis Cauchy. Tuy nhiên, trong vấn ñề về phương trình hàm, nó có vẻ tự nhiên hơn khi xem xét ñóng góp của ông sau Cauchy. 8 Năm 1769, khi nghiên cứu ñịnh luật tổng hợp lực theo quy tắc hình bình hành, ông ñã xét phương trình ( ) ( ) ( ) ( ) 2g x y g x y g x g y + + − = (1.6) với 0 2y x π ≤ ≤ ≤ . Phương trình (1.6) là bây giờ ñược gọi là phương trình d’Alembert. Yêu cầu ñược ñưa ra là tìm tất cả các hàm số :g →   thỏa mãn phương trình (1.6). Ở ñây, chúng ta gặp phải một khó khăn lớn hơn trong việc phân tích tìm lời giải so với phương trình Cauchy. Phương trình này làm ta liên tưởng ñến các tính chất của hàm số lượng giác. Xét các hàm số lượng giác ñơn giản ta thấy hàm số ( ) ( ) osg x c x = thỏa mãn nhưng hàm số ( ) ( ) sing x x = thì lại không thỏa. Câu hỏi ñặt ra là liệu có còn các nghiệm khác không? Và người ta ñã chỉ ra các nghiệm ñó có dạng ( ) cosaxg x b = với việc chọn các hằng số ,a b phù hợp. Tuy nhiên, thay 0x y = = vào phương trình (1.6) ta ñược ( ) ( ) 2 0 0g g = , suy ra ( ) 0 0g = hoặc ( ) 0 1g = lần lượt tương ứng với trường hợp 0b = và 1b = . Với a là một hằng số tùy ý, nếu ( ) g x là một nghiệm bất kì của phương trình (1.6) thì ( ) g ax cũng là một nghiệm. Như vậy, nghiệm ban ñầu có thể mở rộng thành ( ) ( ) osax ; 0g x c g x = = Người ta lại tự hỏi, ngoài các nghiệm trên thì có nghiệm nào khác không? Câu trả lời là có. Năm 1821, Cauchy ñã giải ñược phương trình hàm trên với ñiều kiện ( ) g x là hàm liên tục và ñược nghiệm là ( ) ( ) ( ) ax ax 0 ; osax ; 2 e e g x g x c g x − + = = = (1.7) 1.7. Charles Babbage M ộ t ñặ c tính mà c ả hai ph ươ ng trình hàm Cauchy và d'Alembert's có chung là trong ph ươ ng trình có m ặ t hai bi ế n, kí hi ệ u là x và y. L ớ p các ph ươ ng trình hàm ch ứ a m ộ t bi ế n s ố ñ ã ñượ c nhà toán h ọ c ng ườ i Anh Charles Babbage (1791-1871) nghiên c ứ u và ñạ t ñượ c nhi ề u k ế t qu ả to l ớ n. N ă m 1815, trong b ả n báo cáo trình bày tr ướ c H ộ i Hoàng Gia London (Royal Society of London) Charles Babbage ñ ã xây d ự ng 9 và nghiên c ứ u bài toán xác ñị nh hàm s ố ( ) f x th ỏ a mãn ñ i ề u ki ệ n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 , , , , ., 0 n F x f x f x f x f x α α α   =   (1.8) trong ñ ó 1 , , ., n F α α là các hàm s ố cho tr ướ c. Charles Babbage ñ ã xét m ộ t s ố tr ườ ng h ợ p ñặ c bi ệ t c ủ a các hàm s ố ( ) , i F x α . Tr ườ ng h ợ p ñầ u tiên ñượ c xét ñế n là bài toán xác ñị nh t ấ t c ả các hàm s ố ( ) f x th ỏ a mãn ph ươ ng trình ( ) ( ) f x f x α =     (1.9) v ớ i ( ) x α là hàm s ố ñ ã cho. Charles Babbage ñ ã ch ỉ ra r ằ ng ñố i v ớ i m ộ t s ố d ạ ng c ủ a hàm s ố ,f α ph ươ ng trình hàm (1.9) có th ể có vô s ố nghi ệ m. Ngoài ra, n ế u 0 f là m ộ t nghi ệ m riêng c ủ a ph ươ ng trình (1.9) thì t ấ t c ả các hàm s ố có d ạ ng ( ) ( ) 0 f x f x σ =     (1.10) trong ñ ó σ là hàm s ố tùy ý, c ũ ng th ỏ a mãn ñ i ề u ki ệ n (1.9). Tuy nhiên, ñ ó ch ư a ph ả i là t ấ t c ả các nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình (1.9). Chú ý r ằ ng hàm s ố ( ) f x ñượ c g ọ i là hàm s ố ñố i h ợ p khi và ch ỉ khi 1 f f − ≡ hay ( ) ( ) f f x x = v ớ i m ọ i f x D ∈ . Ví d ụ ñơ n gi ả n nh ấ t v ề hàm s ố ñố i h ợ p là x x −a và 1 x x − a . H ọ nghi ệ m t ổ ng quát c ủ a ph ươ ng trình (1.9) trong tr ườ ng h ợ p ( ) x α là hàm ñố i h ợ p là ( ) ( ) ,f x x x τ α =     (1.12) trong ñ ó ( ) ,u v τ là hàm s ố ñố i x ứ ng ñố i v ớ i , u v tùy ý. (Có ngh ĩ a là ( ) ( ) , , u v v u τ τ = v ớ i m ọ i ( ) , u v D τ ∈ ). M ở r ộ ng c ủ a bài toán này là tìm nghi ệ m c ủ a hai ho ặ c nhi ề u h ơ n hai ph ươ ng trình hàm cùng lúc, ch ẳ ng h ạ n ( ) ( ) ( ) ( ) , f x f x f x f x α β = =         (1.13) trong ñ ó các hàm s ố ( ) ( ) , x x α β cho tr ướ c. Charles Babbage c ũ ng ñ ã nghiên c ứ u ph ươ ng trình hàm ñố i h ợ p b ậ c n , ñ ó là ph ươ ng trình hàm có d ạ ng ( ) ( ) ( ) 2 , , , ., 0 n F x f x f x f x   =   (1.14) trong ñ ó, F là hàm s ố cho tr ướ c, f là hàm s ố c ầ n tìm, và ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 , , .f x f f x f x f f x   = =      10 Trong tr ườ ng h ợ p này, F ñ ã bi ế t, ta c ầ n tìm t ấ t c ả các hàm s ố f sao cho ph ươ ng trình (1.14) th ỏ a mãn v ớ i m ọ i s ố th ự c x. Ch ẳ ng h ạ n, m ộ t nghi ệ m ( ) f x c ủ a ph ươ ng trình ( ) n f x x= là m ộ t nghi ệ m l ặ p b ậ c n c ủ a hàm s ố ñồ ng nh ấ t x x a . Trong tr ườ ng h ợ p riêng, ta nh ậ n th ấ y r ằ ng m ộ t nghi ệ m l ặ p b ậ c hai c ủ a hàm s ố ñồ ng nh ấ t là m ộ t l ũ y th ừ a. Babbage chú ý r ằ ng, n ế u ( ) ,u v τ là m ộ t hàm s ố ph ả n ñố i x ứ ng b ấ t kì c ủ a ,u v thì b ấ t kì l ũ y th ừ a nào c ủ a ( ) f x ñề u th ỏ a mãn ph ươ ng trình ( ) , 0x f x τ =    (1.15) S ử d ụ ng cách nh ư v ậ y, Babbage nh ậ n th ấ y m ộ t ph ươ ng pháp có th ể t ổ ng quát cho các tr ườ ng h ợ p khác. N ế u ( ) f x là m ộ t hàm ñố i h ợ p thì ( ) ( ) { } 1 g x f x φ φ − =     (1.16) c ũ ng s ẽ là hàm ñố i h ợ p v ớ i b ấ t kì song ánh φ nào. Bài t ậ p 12 trong báo cáo c ủ a Babbage yêu c ầ u gi ả i ph ươ ng trình ( ) ( ) 2 f x x α = (1.17) v ớ i ( ) x α là hàm s ố b ấ t kì cho tr ướ c. Gi ả s ử ta tìm ñượ c nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình có d ạ ng ( ) ( ) { } 1 f x x φ β φ − =     Trong ñ ó β là m ộ t hàm s ố b ấ t kì cho tr ướ c mà không ph ả i là hàm ñố i h ợ p tr ừ khi ( ) x x α = và ( ) x φ là m ộ t song ánh ñ ã ñượ c xác ñị nh. Khi ñ ó ( ) ( ) ( ) { } 2 1 2 x f x x α φ β φ − = =     Đ i ề u này suy ra ( ) x φ là m ộ t nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình hàm ( ) ( ) 2 x x φ α β φ =        (1.18) Lo ạ i ph ươ ng trình này ñượ c g ọ i là ph ươ ng trình liên h ợ p. 1.8. Các cuộc thi toán và giải trí toán học Ch ủ ñề v ề ph ươ ng trình hàm c ũ ng th ườ ng ñượ c tìm th ấ y trong các cu ộ c thi toán c ũ ng nh ư trong các câu ñố trong gi ả i trí Toán h ọ c. Ví d ụ 1.6. (Cu ộ c thi Putnam l ầ n th ứ 4, bài t ậ p B14(i)). Hãy ch ỉ ra các nghi ệ m ( ) f t c ủ a ph ươ ng trình ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1f x y f x y f x f y+ − = + −        . tuyến tính, phương trình một ẩn hàm và phương trình nhiều ẩn hàm, phương trình hàm với một biến số và phương trình hàm với hai hoặc nhiều biến số, … Các bài. của luận văn là phương trình hàm một biến số. Phạm vi nghiên cứu của luận văn là một số phương trình hàm một biến cơ bản cùng với các phương pháp giải