Phương trình, bất phương trình hàm số mũ và hàm số lôgarit

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG PHYLABOUD INPANH PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số : 60.46.40 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng – Năm 2012 2 Công trình ñược hoàn thành tại ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: TS.NGUYỄN NGỌC CHÂU Phản biện 1: TS. Cao Văn Nuôi Phản biện 2: PGS. TS. Nguyễn Gia Định Luận văn sẽ ñược bảo vệ trước Hội ñồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ toán học họp tại Đại học Đà Nẵng, vào ngày… tháng …… năm ……. Có thể tìm hiểu tại: - Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng 3 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn ñề tài: Phương trình, bất phương trình là một trong những nội dung cơ bản và quan trọng của chương trình toán bậc trung học phổ thông. Đặc biệt các phương trình, bất phương trình hàm số mũ và hàm số lôgarit là một nội dung hay nhưng cũng khá khó ñối với học sinh và thường xuất hiện trong các ñề thi ñại học, thi học sinh giỏi. Hiện nay, Nước cộng hòa Dân chủ Nhân dân (CHDCND) Lào ñang ñặc biệt quan tâm phát triển nền giáo dục. Trong chương trình môn toán bậc trung học phổ thông của nước CHDCND Lào, nội dung phương trình hàm số mũ và hàm số lôgarit ñược ñưa vào giảng dạy từ lớp 10. Tuy nhiên các tài liệu phục vụ cho học tập và giảng dạy về phương trình, bất phương trình hàm số mũ và hàm số lôgarit chưa nhiều. Là một sinh viên Lào, với mục ñích tìm hiểu các phương pháp giải phương trình, bất phương trình hàm số mũ và hàm số lôgarit và hệ thống một số lớp bài toán thuộc dạng này, tôi chọn ñề tài luận văn thạc sĩ của mình là "phương trình, bất phương trình hàm số mũ và hàm số lôgarit" 2. Mục ñích và nhiệm vụ nghiên cứu: - Các phương pháp giải phương trình, bất phương trình hàm số mũ và hàm số lôgarit. - Hệ thống một số lớp bài toán về phương trình, bất phương trình hàm số mũ và hàm số lôgarit. 4 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: - Các phương trình, bất phương trình hàm số mũ và hàm số lôgarit. - Các bài toán về phương trình, bất phương trình hàm số mũ và hàm số lôgarit thuộc chương trình phổ thông trung học. 4. Phương pháp nghiên cứu: - Thu thập, phân tích, khảo sát, tổng hợp các tài liệu, sách giáo khoa, có liên quan ñến phương trình, bất phương trình hàm số mũ, hàm số lôgarit. - Trao ñổi, thảo luận với giáo viên hướng dẫn ñể thực hiện ñề tài. 5. Cấu trúc của luận văn: Nội dung của luận văn ñược chia thành 3 chương Chương 1. Hàm số mũ và hàm số lôgarit Chương này nhắc lại một cách sơ lượt hàm số mũ, hàm số lôgarit cùng những tính chất của chúng. Các chi tiết liên quan có thể xem trong các tài liệu Chương2. Phương trình, bất phương trình hàm số mũ Chương này trình bài một số phương pháp giải phương trình, bất phương trình hàm số mũ cùng một số thí dụ minh họa. Chương3. Phương trình, bất phương trình hàm số lôgarit Chương này trình bài một số phương pháp giải phương trình, bất phương trình hàm số lôgarit cùng một số thí dụ minh họa. 5 CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT Chương này nhắc lại một cách sơ lượt hàm số mũ, hàm số lôgarit cùng những tính chất của chúng. Các chi tiết liên quan có thể xem trong các tài liệu [1], [4], [5] và [9]. 1.1. Hàm số mũ 1.1.1. Định nghĩa Hàm số xác ñịnh bởi công thức = x y a , trong ñó a là một số dương khác 1, ñược gọi là hàm số mũ cơ số a . Số 0 1< ≠a gọi là cơ số của hàm số mũ. Miền xác ñịnh của hàm số mũ là toàn bộ trục số, tức là khoảng ( ) ,−∞ + ∞ . 1.1.2. Tính chất của hàm số mũ a) Hàm số = x y a liên tục tại mọi ñiểm 0 =x x . b) Miền giá trị của hàm số = x y a là ( ) 0, + ∞ . c) Hàm số = x y a tăng khi 1 >a và giảm khi 0 1 < <a . 1.1.3. Bảng biến thiên và ñồ thị của hàm số mũ Bảng biến thiên của hàm số mũ 6 1 >a 0 1 < <a x −∞ 0 +∞ x −∞ 0 +∞ +∞ +∞ y 1 y 1 0 0 Đồ thị của hàm số mũ Bảng biến thiên ở trên cho ta hình dạng tổng quát của ñồ thị hàm số mũ trong hai trường hợp 1 > a và 0 1 < < a Đồ thị hàm số = x y a với 1 > a Đồ thị hàm số = x y a với 0 1 < < a 1.1.4. Mệnh ñề Cho , a b là hai số thực dương khác 1, và , x y là những số thực tùy ý. Ta có a) . + = x y x y a a a 7 b) − = x x y y a a a c) ( ) = y x xy a a d) ( ) = x x x ab a b e)   =     x x x a a b b f) Nếu 1 >a , thì >x y ⇔ > x y a a g) Nếu 0 1 < <a , thì >x y ⇔ < x y a a h) = x y a a ⇔ =x y i) Nếu 0 < <b a , thì  0 >x ⇔ < x x b a  0 <x ⇔ > x x b a 1.2. Hàm số lôgarit 1.2.1. Định nghĩa Cho số 0 >a và 1 ≠a . Lôgarit cơ số a của số 0 >b là một số c mà lũy thừa của a với số mũ c thì bằng b . Ký hiệu lôgarit cơ số a của b là log a b Vậy log = a c b ⇔ = c a b 1.2.2. Định nghĩa Cho số 0 >a và 1 ≠a . Ta ñã biết hàm số mũ = x y a là một hàm số ñơn ñiệu xác ñịnh trên toàn bộ tập số thực, tức là khoảng 8 ( ) , −∞ + ∞ và có tập giá trị là ( ) 0, + ∞ . Do ñó nó có hàm số ngược, xác ñịnh trên khoảng ( ) 0, + ∞ và có tập giá trị là ( ) , −∞ +∞ Để tìm công thức của hàm số ngược này ta xuất phát từ công thức của hàm số mũ = x y a , rồi biểu thị x qua y . Theo ñịnh nghĩa của lôgarit, ta có log = a x y Thay thế các kí hiệu của x và y cho nhau, ta ñược hàm số log = a y x là hàm số ngược của hàm số mũ = x y a . Hàm số ngược này ñược gọi là hàm số lôgarit cơ số a . Như vậy ta có ñịnh nghĩa sau Cho số 0 >a , 1 ≠a , hàm số lôgarit theo cơ số a xác ñịnh với mọi giá trị dương của biến số x và cho bởi công thức log = a y x 1.2.3. Tính chất của hàm số lôgarit Căn cứ vào các tính chất của hàm số mũ = x y a và từ chỗ hàm số log = a y x là hàm số ngược của hàm số = x y a , ta suy ra các tính chất sau ñây của hàm số lôgarit a) Hàm số log = a y x ( ) 0, 1 > ≠x a là hàm số xác ñịnh và liên tục tại mọi ñiểm 0 0 >x , và khi 1 =x thì 0 =y b) Miền giá trị của hàm số log = a y x là ( ) , −∞ + ∞ c) Khi 1 >a hàm số log = a y x là một hàm số tăng, còn khi 0 1 < <a hàm số log = a y x giảm 9 x x 0 1 1>a 0 1< <a y 0 1 y 1.2.4. Bảng biến thiên và ñồ thị của hàm số lôgarit Bảng biến thiên của hàm số log = a y x 1 >a 0 1 < <a x 0 1 +∞ x 0 1 +∞ +∞ +∞ log = a y x 0 log = a y x 0 −∞ −∞ Đồ thị của hàm số log = a y x Bảng biến thiên ở trên cho ta hình dạng tổng quát của ñồ thị hàm số lôgarit trong hai trường hợp 1 >a và 0 1 < <a 1.2.5. Định nghĩa Lôgarit cơ số 10 của một số dương x ñược gọi là lôgarit thập phân của x và ký hiệu là log x hoặc lg x 10 1.2.6. Số e và lôgarit tự nhiên Ta biết số e là 1 lim 1 →∞   +     x x x , 2,718281 . ≈e Lôgarit cơ số e của một số dương x ñược gọi là lôgarit tự nhiên ( hay lôgarit Nê – pe) của số x , và ký hiệu ln x 1.2.7. Tính chất của lôgarit a) Một số công thức cơ bản Với 0 1 < ≠a , ta có log 1 0 = a , log 1 = a a log = b a a b , b∀ ∈  log = a b a b , 0 ∀ >b Với 0 1 < ≠a , và , 0 >b c , ta có ( ) log log log = + a a a bc b c log log log   = −     a a a b b c c log log α α = a a b b log log = b b c a a c , 1 ≠b , 1 ≠c Khi 1 >a thì log log > a a b c ⇔ >b c Khi 0 1 < <a thì log log > a a b c ⇔ <b c log log = a a b c ⇔ =b c b) Công thức ñổi cơ số Với , a b là 2 số dương khác 1, và c là một số dương, ta có 11 ( )( ) log log log = a b a b c c ( )( ) log log 1 = a b b a 1 log log α α = a a c c , 0 α ∀ ≠ 12 CHƯƠNG 2. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH HÀM SỐ MŨ Chương này trình bày một số phương pháp giải phương trình, bất phương trình hàm số mũ cùng một số thí dụ minh họa. 2.1. Phương pháp giải phương trình hàm số mũ 2.1.1. Phương pháp ñưa về cùng một cơ số ( ) ( ) 0, 1  =   > ≠   f x g x a a a a ( ) ( ) ⇔ =f x g x a) Quy trình của phương pháp Bước 1 : Đặt ñiều kiện (nếu có) ñể phương trình ñược xác ñịnh. Bước 2 : Biến ñổi các hàm số mũ có trong phương trình về cùng một cơ số. Bước 3 : Sử dụng tính ñơn ñiệu của hàm số mũ ñể giải. b) Thí dụ minh họa: Giải phương trình sau 5 17 7 3 32 0,25.128 + + − − = x x x x Bước 1: Điều kiện của phương trình: 3, 7≠ ≠ x x Bước 2 : Phương trình ⇔ ( ) ( ) 5 5 7 17 2 7 3 2 2 . 2 + + − − − = x x x x ⇔ ( ) 5 125 3 5 5 7 2 2 + − + − = x x x x Bước 3 : Phương trình ⇔ ( ) 5 5 5 125 7 3 + + = − − x x x x ⇔ ( )( ) ( )( ) 5 5 3 5 25 7+ − = + −x x x x 13 ⇔ 16 160 0− =x ⇔ 10=x thỏa ñiều kiện Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 10=x . 2.1.2. Phương pháp lôgarit hóa ( ) ( ) log 0 1, 0  =  ⇔ =  < ≠ >   f x a a b f x b a b a) Quy trình của phương pháp Bước 1 : Đặt ñiều kiện ( nếu có ) ñể phương trình ñược xác ñịnh Bước 2 : Biến ñổi phương trình về dạng ( ) = f x a b hoặc ( ) ( ) = f x g x a b . Lấy lôgarit hai vế, tách ẩn số ra khỏi số mũ của hàm lũy thừa Bước 3 : Giải phương trình thu ñược b) Thí dụ minh họa: Giải phương trình sau 1 1 2 . 3 . 5 40 − + = x x x Bước 1 : Điều kiện của phương trình: 0≥x Bước 2 : Phương trình 1 2 . . 3 . 5 . 5 40 3 ⇔ = x x x 3 2 . 3 . 5 . 40 5 ⇔ = x x x 30 30 30 24 log 30 log 24 ⇔ = ⇔ = x x 30 log 24⇔ = x 14 Bước 3 : Phương trình 2 30 log 24⇔ = x Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 2 30 log 24= x . 2.1.3. Phương pháp ñặt ẩn phụ Khi trong phương trình hàm số mũ có các số hạng, hoặc các biểu thức có quan hệ với nhau, chẳng hạn như: giống nhau, ñối nhau, lượng liên hiệp nhau, nghịch ñảo nhau . . . thì người ta thường ñặt ẩn phụ ñể giải, và gọi là giải phương trình bằng phương pháp ñặt ẩn phụ. a) Quy trình của phương pháp Bước 1 : Đặt ñiều kiện (nếu có) ñể phương trình ñược xác ñịnh. Bước 2 : Biến ñổi phương trình ñể làm xuất hiện ẩn phụ. Chọn ẩn phụ, ñặt ñiều kiện cho ẩn phụ, biểu diễn phương trình qua ẩn phụ. Bước 3 : Giải phương trình theo ẩn phụ. Thay giá trị của ẩn phụ vừa tìm ñược rồi giải phương trình theo ẩn chính ban ñầu. b) Thí dụ minh họa: Giải phương trình sau 4 2.6 3.9− = x x x Bước 1 : Phương trình xác ñịnh với mọi x Bước 2 : Chia 2 vế của phương trình cho 4 x , ta ñược 6 9 1 2 . 3 . 4 4 − = x x x x 2 3 3 3 2 1 0 2 2       ⇔ + − =               x x Đặt 3 2   =     x t , ñiều kiện 0> t , phương trình trở thành 15 2 3 2 1 0+ − = t t Bước 3 : Phương trình = 1 loaïi 1 3 t t −   ⇔  =   3 2 3 1 1 log 2 3 3     = = ⇒ =         x t x Vậy phương trình có nghiệm 3 2 1 log 3   =     x . 2.2. Phương pháp giải bất phương trình hàm số mũ Phương pháp giải bất phương trình hàm số mũ cũng tương tự như giải phương trình hàm số mũ 2.2.1. Phương pháp ñưa về cùng một cơ số ( ) ( ) 1>    ≥   f x g x a a a ( ) ( ) ⇔ ≥f x g x ( ) ( ) 0 1< <    ≥   f x g x a a a ( ) ( ) ⇔ ≤f x g x a) Quy trình của phương pháp Bước 1 : Đặt ñiều kiện (nếu có) ñể bất phương trình ñược xác ñịnh. Bước 2 : Biến ñổi các hàm số mũ có trong bất phương trình về cùng một cơ số. Bước 3 : Sử dụng tính ñơn ñiệu của hàm số mũ ñể giải. 16 b) Thí dụ minh họa: Giải bất phương trình sau 2 1 2 1 2 2 − − ≤ x x x Bước 1: Điều kiện của bất phương trình là 0≤x hoặc 2≥x Bước 2 : Bất phương trình ⇔ 2 2 1 2 2 − − − ≤ x x x Bước 3 : Bất phương trình ⇔ 2 2 1− − ≤ −x x x ⇔ 2 2 1− ≥ −x x x ( ) 2 2 2 1 0 2 0 1 0 2 1  − ≤    − ≥  ⇔  − >      − ≥ −    x x x x x x x 2⇔ ≥x thỏa ñiều kiện Vậy nghiệm của bất phương trình là mọi 2≥x . 2.2.2. Phương pháp lôgarit hóa ( ) ( ) ( ) 1 log 0 1 0 log  >     <   <    ⇔   < < >        >    f x a a a f x b a b a b f x b 17 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 coù nghóa 0, 1 log 0, 0 1 log f x a a b f x b a a b f x b b a f x b  ≤         > >    > ⇔   >     > < <     <     a) Quy trình của phương pháp Bước 1 : Đặt ñiều kiện ( nếu có ) ñể bất phương trình ñược xác ñịnh Bước 2 : Biến ñổi bất phương trình về dạng ( ) < f x a b , hoặc ( ) > f x a b , hoặc ( ) ( ) < f x g x a b . Lấy lôgarit hai vế, tách ẩn số ra khỏi số mũ của hàm lũy thừa Bước 3 : Giải bất phương trình thu ñược b) Thí dụ minh họa: Giải bất phương trình sau 3 . 8 72 x x x+ < Bước 1 : Bất phương trình xác ñịnh 0x ∀ ≥ Bước 2 : Lấy lôgarit cơ số 3 hai vế, ta ñược ( ) 3 3 3 log 3 log 8 log 72 x x x + + < ( ) 2 3 3 log 8 log 3 . 8x x x⇔ + + < Bước 3 : ( ) 2 3 3 log 8 2 log 8x x x ⇔ + + < + 18 ( ) ( ) ( )( ) 2 3 3 3 3 1 log 8 2 log 8 0 1 2 log 8 0 2 log 8 1 x x x x x ⇔ + + − − < ⇔ − + + < ⇔ − − < < 0 1x ⇒ ≤ < 0 1x ⇒ ≤ < thỏa ñiều kiện Vậy nghiệm của bất phương trình là [ ) 0, 1x ∀ ∈ . 2.2.3. Phương pháp ñặt ẩn phụ Khi trong bất phương trình hàm số mũ có các số hạng, hoặc các biểu thức có quan hệ với nhau, chẳng hạn như: giống nhau, ñối nhau, lượng liên hiệp nhau, nghịch ñảo nhau . . . thì người ta thường ñặt ẩn phụ ñể giải, và gọi là giải bất phương trình bằng phương pháp ẩn phụ. a) Quy trình của phương pháp Bước 1 : Đặt ñiều kiện (nếu có) ñể bất phương trình ñược xác ñịnh. Bước 2 : Biến ñổi bất phương trình ñể làm xuất hiện ẩn phụ. Chọn ẩn phụ, ñặt ñiều kiện cho ẩn phụ, biểu diễn bất phương trình qua ẩn phụ. Bước 3 : Giải bất phương trình theo ẩn phụ. Thay giá trị của ẩn phụ vừa tìm ñược rồi giải bất phương trình theo ẩn chính ban ñầu. b) Thí dụ minh họa: Giải bất phương trình sau 2 4 4 3 8 . 3 9 . 9 0 + + + − − > x x x x Bước 1: Điều kiện của bất phương trình 4 ≥ − x 19 Bc 2 : Chia v bt phng trỡnh cho 4 2 4 9 3 + + = x x , ta ủc ( ) 2 4 4 3 8 . 3 9 0 + + > x x x x t 4 3 + = x x t , ủiu kin 0 > t , bt phng trỡnh tr thnh: 2 8 9 0 > t t 1 khoõng thoỷa ủieu kieọn 9 t t < > Bc 3 : 4 2 3 9 3 + = > = x x t 2 4 2 4 2 2 0 4 4 4 + > + < > + < + x x x x x x x x 2 2 2 0 5 0 5 > > < > > x x x x x x 5 >x tha ủiu kin Vy nghim ca bt phng trỡnh l 5 >x . 20 CHNG 3. PHNG TRèNH, BT PHNG TRèNH HM S LễGARIT Chng ny trỡnh bi mt s phng phỏp gii phng trỡnh, bt phng trỡnh hm s lụgarit cựng mt s thớ d minh ha. 3.1. Mt s phng phỏp gii phng trỡnh hm s lụgarit 3.1.1. Phng phỏp ủa v cựng mt c s ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 log 0 1 log log 0 < = = < = = > a b a a a f x b f x a a f x g x f x g x a) Quy trỡnh ca phng phỏp Bc 1 : t ủiu kin (nu cú) ủ phng trỡnh ủc xỏc ủnh. Bc 2 : Bin ủi cỏc hm s lụgarit cú trong phng trỡnh v cựng mt c s. Bc 3 : S dng tớnh ủn ủiu ca hm s lụgarit ủ gii. b) Thớ d minh ha: Gii phng trỡnh sau ( ) ( ) 1 2 1 2 log 4 4 log 2 3 x x x + + = Bc 1 : iu kin ca phng trỡnh 1 3 2 3 0 2 2 x x+ > > Bc 2 : Phng trỡnh ( ) ( ) 1 1 2 2 2 log 4 4 log 2 log 2 3 x x x + + = . phương trình, bất phương trình hàm số mũ và hàm số lôgarit. - Các bài toán về phương trình, bất phương trình hàm số mũ và hàm số lôgarit thuộc chương trình. trình hàm số mũ và hàm số lôgarit. - Hệ thống một số lớp bài toán về phương trình, bất phương trình hàm số mũ và hàm số lôgarit. 4 3. Đối tượng và phạm