Ta tổng quát hĩa bài này bằng cách tính
f x( ) = 1+ x 1+ +(x 1) ... (3.63) Bình phương hai vế , ta thấy f x ph( ) ải thỏa mãn phương trình ( ) 2 ( )
1 1
f x = + x f x+
(3.64)
với f x( )≥ 0. Cho x =0 ta được f ( )0 =1. Tuy nhiên ta khơng thể
tính f ( )1 tương tự như vậy.
Phương trình này khơng giống bất kì phương trình nào trước đây. Làm thế nào để tìm ra nghiệm và làm sao ta cĩ thể bất kì nghiệm nào mà ta tìm ra thì đúng yêu cầu bài tốn? Ta cĩ thể dự đốn nghiệm và thử. Ta tìm một đa thức f x ( ) để giải bài này. Nếu f x là m( ) ột đa thức bậc n
thì vế trái của phương trình trên là một đa thức cĩ bậc 2n và vế phải của phương trình là một đa thức cĩ bậc n+1. Vì vậy, đa thức ta cần tìm phải cĩ bậc một. Cho f x( ) = ax+b ta cĩ ( )2 ( ) 1 ax b+ = + x a x+ +a b (3.65) hoặc 2 2 ( ) 2 2 ( ) 2 1 a x + ab x b+ = a x + +a b x+ (3.66)
Nếu phương trình này đúng với mọi x thì hệ số tương ứng của mỗi vế của phương trình phải bằng nhau. Từ đĩ suy ra a =1 và b =1.
Vì vậy f x( ) = +x 1 là một nghiệm. Nhưng nĩ cĩ thỏa phương trình ban đầu hay khơng? Tức là
x+ =1 1+ x 1+ +(x 1) ... (3.67) cĩ đúng hay khơng?
Ta cĩ thể chứng minh điều này là đúng.
KẾT LUẬN
Luận văn “Phương trình hàm với một biến số” đã đạt được các kết quả
sau:
1. Luận văn đã trình bày một cách khái quát lịch sử phát triển của phương trình hàm nĩi riêng trong sự phát triển chung của Tốn học. 2. Luận văn cũng đã nêu lên một số khái niệm liên quan đến các bài
tốn về phương trình hàm; Nêu một số kĩ thuật giải phương trình hàm
và một số bài tốn cơ bản cùng với cách phân tích đề bài để tìm lời
giải.
3. Luận văn trình bày một số phương pháp thường dùng trong việc
giải bài tốn phương trình hàm, từ đĩ cĩ thể giúp sáng tác ra các bài tập giải phương trình hàm khác.
4. Luận văn đã trình bày một vài phương pháp và kĩ thuật giải quyết
các bài tốn phương trình hàm một biến cơ bản như: phương trình
hàm Schroder, phương trình hàm Poincaré, phương trình hàm Abel, phương trình hàm Bottcher hay phương trình hàm giao hốn.
5. Ngồi ra luận văn cịn giới thiệu một số bài tốn trong các kì thi
tốn quốc gia, quốc tế cùng với hướng dẫn giải.
Tuy nhiên, do khuơn khổ của một luận văn thạc sĩ, vẫn cịn nhiều vấn