một số lớp phương trình hàm với cặp đối số biến đổi

Hội thảo Khoa học: Các chuyên đề chuyên Toán bồi dưỡng học sinh giỏi, Hà Nội 26-27/03/2012 Một số lớp phương trình hàm với cặp đối số biến đổi Nguyễn Văn Mậu, ĐHKHTN, ĐHQGHN Phạm Thị Nhàn, Sở GD và ĐT Quảng Ninh Tóm tắt nội dung Báo cáo này viết về phương trình hàm với đối số biến đổi trong lớp hàm thực hai biến với đối số biến đổi là các dạng đối hợp và song đối hợp. Dựa vào các đặc trưng của toán tử đại số, cho phép ta tìm nghiệm tường minh của lớp các phương trình hàm dạng f(x, y) ±f(2p −x, y) ±f(x, 2q −y) + f(2p − x, 2q − y) = h(x, y), (x, y) ∈ Ω, (1) trong đó điểm (p, q) là tâm đối xứng của tập Ω ⊂ R × R, h(x, y) là hàm đã biết. Trong phần áp dụng, khảo sát hai lớp phương trình dạng f(xy) ± f ((1 − x)y ± f (x(1 − y)) + f ((1 − x)(1 − y)) = h(xy), ∀x, y ∈ (0, 1). và f(x + y) ± f (−x + y) ± f (x − y) + f(−x − y)) = h(x + y), ∀x, y ∈ (−1, 1) đã được đề cập trong [1]-[4]. 1 Hàm cộng tính và song cộng tính Trong mục này sẽ giới thiệu tổng quan về lớp phương trình hàm Cauchy và các lớp hàm cộng tính phi tuyến (xem [1]-[2]). Có lẽ A.M. Legendre là người đầu tiên đã tìm được nghiệm của phương trình hàm Cauchy f(x + y) = f (x) + f(y), ∀x, y ∈ R. Trong cuốn sách của Kuczma (1985) đã trình bày rất chi tiết các tính chất của lớp hàm cộng tính. Tiếp theo, lớp hàm cộng tính cũng được đề cập nhiều trong các cuốn sách của Acze’l (1966), Acze’l (1987), Acze’l và Dhombres (1989), và Smital (1988). Nghiệm tổng quát của nhiều phương trình hàm hai hay nhiều biến có thể biểu diễn thông qua các hàm cộng tính, lũy thừa, logarit hay mũ. 1.1 Về lớp hàm cộng tính liên tục Trong mục này, ta định nghĩa hàm cộng tính và khảo sát dáng điệu của chúng theo các giả thiết về tính trơn khác nhau chẳng hạn như tính đo được, tính liên tục, tính khả vi, tính đơn điệu, Định nghĩa 1. Một hàm f : R → R, với R là tập số thực, được gọi là một hàm cộng tính khi và chỉ nó thỏa phương trình hàm Cauchy f(x + y) = f (x) + f(y), ∀x, y ∈ R. (2) Phương trình hàm (2) được xét đầu tiên bởi A.M. Legendre (1791) và C.F. Gauss (1809) nhưng A.L. Cauchy (1821) mới là người đầu tiên tìm thấy nghiệm tổng quát của nó. Phương trình (2) có một vị trí đặc biệt trong toán học. Nó được gặp ở hầu hết tất cả các ngành học của toán như là sự khởi đầu của các phép tính đối với hàm số. Định nghĩa 2. Một hàm f : R → R được gọi là tuyến tính khi và chỉ khi nó có dạng f(x) = ax ∀x ∈ R, với a là hằng số tùy ý. Đồ thị của một hàm tuyến tính f(x) = ax là một đường thẳng (không thẳng đứng) đi qua gốc tọa độ và do đó nó được gọi là tuyến tính. Câu hỏi được đặt ra là ngoài hàm tuyến tính trên thì còn có hàm cộng tính nào khác nữa không? Ta dễ dàng chỉ ra rằng chỉ có các hàm cộng tính liên tục mới là tuyến tính. Điều này đã được Cauchy đưa ra vào năm (1821). Định lý 1. Cho f : R → R là một hàm cộng tính liên tục. Thế thì f là tuyến tính, nghĩa là f (x) = ax ở đây a là một hằng số tùy ý. Để ý rằng, tính liên tục của f suy ra f cũng là khả tích. Tính khả tích của f đã làm hàm cộng tính f trở thành tuyến tính. Do đó mọi hàm cộng tính khả tích cũng là tuyến tính. Định nghĩa 3. Hàm f : R → R được gọi là khả tích địa phương khi và chỉ khi nó là khả tích trên mọi đoạn hữu hạn. Ta có kết luận rằng mọi ánh xạ cộng tính khả tích địa phương cũng là tuyến tính. Ta nêu một chứng minh ngắn gọn bằng cách sử dụng cách chứng chính quy của Shapiro (1973). Giả thiết f là hàm cộng tính khả tích địa phương. Từ đó f (x + y) = f (x) + f(y) đúng ∀x, y ∈ R. Từ điều này và sử dụng tính khả tích địa phương của f, ta có yf (x) = y  0 f(x)dz = y  0 [f(x + z) − f(z)] dz = x+y  x f(u)du − y  0 f(z)dz = x+y  0 f(u)du − x  0 f(u)du − y  0 f(u)du. 2 Vế phải của phương trình trên là bất biến khi hoán đổi x và y, nghĩa là yf (x) = xf(y), ∀x ∈ R. Do đó, với x = 0, ta thu được f(x) x = a, với a là hằng số tùy ý. Từ đây suy ra f(x) = ax, ∀x ∈ R \{0}. Vì f là cộng tính, ta biết rằng f(0) = 0. Kết hợp hai điều trên, ta kết luận f là hàm tuyến tính trong R. Mặc dù chứng minh trên là rất vắn tắt và được suy ra bằng cách chỉ vận dụng các tính toán thông thường, nhưng nó chưa làm sáng tỏ vấn đề liên quan giữa tính cộng tính và tính tuyến tính. Tiếp theo, ta sẽ trình bày một chứng minh khác, nó giúp ta hiểu dáng điệu của hàm cộng tính nhiều hơn. Trước tiên, ta bắt đầu với định nghĩa sau đây. Định nghĩa 4. Hàm f : R → R được gọi là thuần nhất hữu tỉ khi và chỉ khi f(rx) = rf (x), ∀x ∈ R, r ∈ Q. (3) Định lý dưới đây chứng tỏ rằng hàm cộng tính là thuần nhất hữu tỉ. Định lý 2. Cho f : R → R là một hàm cộng tính . Thế thì f là thuần nhất hữu tỉ. Hơn nữa, f là tuyến tính trên tập số hữu tỉ Q. Chứng minh. Cho x = 0 = y ở (2) ta thấy rằng f (0) = f (0) + f (0) và do đó f(0) = 0. (4) Thế y = −x ở (2) và sử dụng (4) , ta thấy rằng f là một hàm lẻ trong R, nghĩa là f(−x) = −f (x), ∀x ∈ R. (5) Như vậy, ta chỉ ra rằng một hàm cộng tính là 0 tại gốc và nó là hàm lẻ. Tiếp theo ta sẽ chỉ ra rằng một hàm cộng tính là thuần nhất hữu tỉ. Với x tùy ý, f(2x) = f (x + x) = f (x) + f(x) = 2f (x). Từ đó f(3x) = f (2x + x) = f (2x) + f(x) = 2f (x) + f(x) = 3f (x); vì vậy trường hợp tổng quát (sử dụng phép quy nạp) f(nx) = nf (x) (6) với mọi n nguyên dương. Nếu n nguyên âm, thì −n là một số nguyên dương và bởi (6) và (5) , ta có f(nx) = f (−(−n)x) = −f(−nx) = −(−n)f(x) = nf (x). 3 Như vậy, ta đã chứng tỏ f(nx) = nf (x) với mọi số nguyên n và ∀x ∈ R. Tiếp theo, cho r là một số hữu tỉ tùy ý, ta có r = k l với k là một số nguyên và l là một số tự nhiên. Ngoài ra, kx = l(rx). Sử dụng tính nguyên thuần nhất của f, ta có được kf(x) = f(kx) = f(l(rx)) = lf(rx) nghĩa là f(rx) = k l f(x) = rf(x). Do đó, f là thuần nhất hữu tỉ. Ngoài ra, cho x = 1 trong phương trình trên và đặt a = f(1), ta thấy rằng f(r) = ar, ∀r ∈ Q. Từ đó, f là tuyến tính trên tập các số hữu tỉ.  Bây giờ ta trình bày chứng minh thứ hai của Định lí 2. Cho f là hàm cộng tính và liên tục trên tập số thực. Với số thực tùy ý x thì luôn tồn tại một dãy {r n } các số hữu tỉ với r n → x. Do f là cộng tính, theo Định lí 1.2, f là tuyến tính trên tập số hữu tỉ. Nghĩa là f(r n ) = ar n , ∀n Bây giờ sử dụng tính liên tục của f, ta có f(x) = f  lim n→∞ r n  = lim n→∞ f  r n  = lim n→∞ ar n = ax. Dễ thấy rằng Định lý 3. Nếu một hàm cộng tính liên tục tại một điểm, thì nó liên tục tại mọi điểm. 1.2 Lớp hàm cộng tính không liên tục Trong mục trước, ta đã chứng tỏ rằng lớp hàm cộng tính liên tục là tuyến tính. Thậm chí nếu ta làm yếu điều kiện liên tục thành liên tục tại một điểm, lớp hàm cộng tính vẫn tuyến tính. Trong nhiều năm qua sự tồn tại của lớp hàm cộng tính gián đoạn vẫn còn là một vấn đề mở. Các nhà toán học không chứng minh được rằng mọi hàm cộng tính là liên tục hay chỉ ra một phản ví dụ về một hàm cộng tính gián đoạn. Năm 1905, nhà toán học Đức G. Hamel, người đầu tiên đã thành công trong việc chứng minh rằng tồn tại các hàm cộng tính gián đoạn. Bây giờ ta bắt đầu tìm hiểu về lớp hàm cộng tính phi tuyến. Trước tiên, ta chỉ ra rằng lớp hàm cộng tính phi tuyến phô diễn một dáng điệu rất kì lạ. 4 Định nghĩa 5. Đồ thị của một hàm f : R → R là tập G = {(x, y)|x ∈ R, y = f (x)}. Dễ dàng thấy rằng đồ thị của hàm f : R → R là tập con của không gian R 2 . Định lý 4. Đồ thị của mọi hàm cộng tính phi tuyến f : R → R là trù mật khắp nơi trong không gian R 2 . Chứng minh. Đồ thị G của hàm f được cho bởi G = {(x, y)|x ∈ R, y = f (x)}. Chọn một số khác không x 1 trong R. Từ f là một ánh xạ cộng tính phi tuyến, với mọi hằng số m, có sự tồn tại một số thực khác không x 2 sao cho f  x 1  x 1 = f  x 2  x 2 , theo cách khác viết m = f(x 1 ) x 1 và giả sử x 1 = x, ta sẽ có f(x) = mx với mọi x = 0, và từ f(0) = 0 điều này kéo theo f là tuyến tính trái với giả thiết của ta rằng f là phi tuyến. Suy ra      x 1 f(x 1 ) x 2 f(x 2 )      = 0, vì vậy các vectơ X 1 = (x 1 , f (x 1 )) và X 2 = (x 2 , f (x 2 )) là độc lập tuyến tính và vì vậy chúng trải rộng toàn bộ không gian R 2 . Điều này có nghĩa rằng với mọi vectơ X = (x, f (x)) tồn tại các số thực r 1 và r 2 sao cho X = r 1 X 1 + r 2 X 2 . Nếu ta chỉ thừa nhận các số hữu tỉ ρ 1 , ρ 2 thế thì, bằngphép chọn thích hợp, ta có thể có với ρ 1 X 1 + ρ 2 X 2 tùy ý đóng đối với bất kỳ không gian vectơ X (do tập hợp số hữu tỉ Q là trù mật trong tập số thực R và do đó Q 2 là trù mật trong R 2 ). Bây giờ, ρ 1 X 1 + ρ 2 X 2 = ρ 1  x 1 , f (x 1 )  + ρ 2  x 2 , f (x 2 )  =  ρ 1 x 1 + ρ 2 x 2 , ρ 1 f(x 1 ) + ρ 2 f(x 2 )  =  ρ 1 x 1 + ρ 2 x 2 , f (ρ 1 x 1 + ρ 2 x 2 )  . Vì vậy, tập  G = (x, y)|x = ρ 1 x 1 + rho 2 x 2 , y = f (ρ 1 x 1 + rho 2 x 2 ), ρ 1 , ρ 2 ∈ Q là trù mật khắp nơi trong R 2 . Từ đó  G ⊂ G, 5 đồ thị G của hàm cộng tính phi tuyến f cũng trù mật trong R 2 (đây là điều cần chứng minh)  Đồ thị của một hàm liên tục cộng tính là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ. Đồ thị của một hàm cộng tính phi tuyến là trù mật trong không gian. Tiếp theo, ta làm quen với khái niệm cơ sỏ Hamel để xây dựng một hàm cộng tính gián đoạn. Cho tập hợp thoả mãn điều kiện S = {x ∈ R|s = u + v √ 2 + w √ 3, u, v, w ∈ Q, } tập mà các phần tử là tổ hợp tuyến tính hữu tỉ của 1, √ 2, √ 3. Hơn nữa tập sinh bởi tổ hợp hữu tỉ này là duy nhất. Nghĩa là nếu một phần tử s ∈ S có hai tổ hợp tuyến tính hữu tỉ khác nhau, chẳng hạn, s = u + v √ 2 + w √ 3 = u  + v  √ 2 + w  √ 3 thì u = u  , v = v  và w = w  . Để chứng tỏ điều này, ta chú ý rằng giả thiết này kéo theo (u − u  ) + (v − v  ) √ 2 + (w + w  ) √ 3 = 0. Đặt a = (u − u  ), b = (v − v  ) và c = w − w  , ta thấy rằng biểu thức trên quy về a + b √ 2 + c √ 3 = 0. Tiếp theo, ta chỉ ra rằng a = 0 = b = c. Biểu thức trên cho b √ 2 + c √ 3 = −a và bình phương hai vế, ta có 2bc √ 6 = a 2 − 2b 2 − 3c 2 . Từ đây suy ra b hoặc c là 0; Trường hợp khác, ta chia hai vế cho 2bc và có √ 6 = a 2 − 2b 2 − 3c 2 2bc cho ta sự mâu thuẫn rằng √ 6 là một số vô tỉ. Nếu b = 0, thì ta có a + c √ 3 = 0; điều này kéo theo c = 0 (nếu ngược lại thì √ 3 = − a c , là một số hữu tỉ trái với thực tế rằng √ 3 là một số vô tỉ). Tương tự nếu c = 0, ta được b = 0. Như vậy cả b và c đều bằng không. Từ đó lập tức có được a = 0. Nếu đặt B =  1, √ 2, √ 3  thì mỗi phần tử của S là một tổ hợp tuyến tính duy nhất của các phần tử của B. Tập B được gọi là một cơ sở Hamel đối với tập S. Về mặt hình thức, một cơ sở Hamel cũng được định nghĩa tương tự. 6 Định nghĩa 6. Giả sử S là một tập các số thực và B là một tập con của S. Thế thì B được gọi là một cơ sở Hamel của S nếu mọi phần tử của S là một tổ hợp tuyến tính hữu tỉ (hữu hạn) duy nhất của B. Nếu S là tập các số thực, thì sử dụng tiên đề chọn ( hoặc bằng phép quy nạp siêu hạn) nó có thể chỉ ra rằng một cơ sở Hamel B đối với R tồn tại. Nhận xét rằng, có một mối liên hệ chặt chẽ giữa các hàm cộng tính và cơ sở Hamel. Để diễn tả một hàm cộng tính thì chỉ cần cho các giá trị trên một cơ sở Hamel là đủ, và các giá trị đó có thể phân bố tùy ý. Điều này là nội dung của hai định lí tiếp theo. Định lý 5. Giả sử B là một cơ sở Hamel đối với R. Nếu hai hàm cộng tính có giá trị giống nhau tại mỗi phần tử của B, thì chúng bằng nhau. Chứng minh. : Giả sử f 1 và f 2 là hai hàm cộng tính có giá trị giống nhau tại mỗi phần tử của B. Thế thì f 1 − f 2 là cộng tính. Giả sử dối với ta kí hiệu f = f 1 − f 2 . Giả sử x là số thực tùy ý. Thế thì có các số b 1 , b 2 , . . . b n trong B và các số hữu tỉ r 1 , r 2 , . . . r n sao cho x = r 1 b 1 + r 2 b 2 + ··· + r n b n . Từ đó f 1 (x) − f 2 (x) = f (x) = f(r 1 b 1 + r 2 b 2 + ··· + r n b n ) = f(r 1 b 1 ) + f(r 2 b 2 ) + ···+ f(r n b n ) = r 1 f(b 1 ) + r 2 f(b 2 ) + ···+ r n f(b n ) = r 1 [f 1 (b 1 ) − f 2 (b 1 )] + r 2 [f 1 (b 2 ) − f 2 (b 2 )] + ···+ r n [f 1 (b n ) − f 2 (b n )] = 0 Như vậy, ta có f 1 = f 2 và ta thu được điều phải chứng minh.  Định lý 6. Giả sử B là một cơ sở Hamel đối với R. Giả sử g : B → R là một hàm tùy ý xác định trên B. Thế thì tồn tại một hàm cộng tính f : R → R sao cho f(b) = g(b) với mọi b ∈ B. Chứng minh. Với mỗi số thực x có thể tìm được b 1 , b 2 , . . . , b n trong B và các số hữu tỉ r 1 , r 2 , . . . r n sao cho x = r 1 b 1 + r 2 b 2 + ··· + r n b n . Việc xác định f(x) trở thành r 1 g(b 1 ) + r 2 g(b 2 ) + ···+ r n g(b n ). Biểu thức này xác định f(x) với mọi x. Định nghĩa này là duy nhất, đối với mỗi x, việc chọn b 1 , b 2 , . . . , b n , r 1 , r 2 , . . . r n là duy nhất, không kể đến thứ tự các số b i và r i được chọn. Đối với mỗi b ∈ B, ta có f (b) = g(b) bởi cách xác định của f. Tiếp theo, ta sẽ chỉ ra rằng f là cộng tính trên số thực. Giả sử x và y là hai số thực tùy ý. Thế thì x = r 1 a 1 + r 2 a 2 + ··· + r n a n 7 y = s 1 b 1 + s 2 b 2 + ··· + s m b m , với r 1 , r 2 , . . . r n , s 1 , s 2 , . . . s m là các số hữu tỉ và a 1 , a 2 , . . . , a n , b 1 , b 2 , . . . , b m là các phần tư của cơ sở Hamel B. Hai tập {a 1 , a 2 , . . . , a n } và {b 1 , b 2 , . . . , b m } có thể có nhừng phần tử chung. Giả sử hợp của hai tập đó là {c 1 , c 2 , . . . , c l }. Thế thì l ≤ m + n, và x = u 1 c 1 + u 2 c 2 + ··· + u l c l y = v 1 c 1 + v 2 c 2 + ··· + v l c l , ở đây u 1 , u 2 , . . . u l , v 1 , v 2 , . . . v l là các số hữu tỉ, và không đồng thời bằng không. Bây giờ x + y = (u 1 + v 1 )c 1 + (u 2 + v 2 )c 2 + ··· + (u l + v l )c l và f(x + y) = f((u 1 + v 1 )c 1 + (u 2 + v 2 )c 2 + ··· + (u l + v l )c l ) = (u 1 + v 1 )g(c 1 ) + (u 2 + v 2 )g(c 2 ) + ···+ (u l + v l )g(c l ) = [u 1 g(c 1 ) + u 2 g(c 2 ) + ···+ u l g(c l )] + [v 1 g(c 1 v 2 g(c 2 ) + ···+ v l g(c l )] = f (x) + f(y) Do đó f là cộng tính trên tập các số thực R. Đây là điều cần chứng minh.  Với sự góp mặt của một cơ sở Hamel, tiếp theo ta xây dựng một hàm cộng tính phi tuyến. Giả sử B là cơ sở Hamel đối với tập các số thực R. Giả sử b ∈ B là phần tử tùy ý của B. Đặt g(x) =  0 nếu x ∈ B \ {b} 1 nếu x = b. Theo định lí trên thì tồn tại một hàm cộng tính f : R → R với f (x) = g(x) đối với mỗi x ∈ B . Chú ý rằng f ở đây có thể không tuyến tính đối với x ∈ B và x = b, ta có 0 = f(x) x = f(b) b . Do đó f là một hàm cộng tính phi tuyến. Phần cuối của mục này ta ghi nhớ chú ý sau đây. Hiện tại, không có ví dụ cụ thể về một cở Hamel đã biết, ta chỉ biết rằng nó tồn tại. Đồ thị của một hàm cộng tính gián đoạn là không dễ để vẽ như tập {f(x)|x ∈ R} là trù mật trong R. 1.3 Tiêu chuẩn khác đối với tính chất tuyến tính Ta đã biết rằng, đồ thị của một hàm cộng tính phi tuyến f là trù mất trong không gian. Nghĩa là, mọi đường tròn chứa một điểm, (x, y) sao cho y = f(x). ta cũng thấy rằng một hàm cộng tính f trở thành tuyến tính khi f liên tục. Có thể làm yếu điều kiện liên tục thành liên tục tại một điểm và vẫn có f trở thành tuyến tính. Trong mục này, ta trình bày một số điều kiện tựa chính quy để một hàm cộng tính trở thành tuyến tính. 8 Định lý 7. Nếu một hàm cộng tính f là bị chặn một phía hoặc đơn điệu, thì nó là tuyến tính. Chứng minh. Giả sử f không tuyến tính. Thế thì đồ thị của f là trù mật trong mặt phẳng. Vì f bị chặn trên, đối với hàng số M hàm cộng tính f thoả mãn f(x) ≤ M, x ∈ R, và đồ thị của f trừ ra tập A = {x ∈ R|f (x) > M}. Do đó nó không thể trù mật trên mặt phẳng điều này là mâu thuẫn. Vì ngược với điều giả sử của ta , nên f là tuyến tính. Phần còn lại của định lí có thể được thiết lập trong một phương pháp đơn giản.  Định nghĩa 7. Hàm f được gọi là nhân tính khi và chỉ khi f(xy) = f(x)f (y) với mọi x và y. Định lý 8. Nếu một hàm cộng tính f cũng là nhân tính thì nó là tuyến tính. 2 Hàm cộng tính với cặp biến thực và biến phức Trong mục này, đầu tiên ta trình bày một số kết quả liên quan đến hàm cộng tính trên mặt phẳng R 2 và sau đó tìm hiểu lớp hàm giá trị phức trên mặt phẳng phức. ta bắt đầu mục này với kết quả dưới đây. Định lý 9. Nếu f : R 2 → R là cộng tính trên mặt phẳng R 2 , thế thì tồn tại các hàm cộng tính A 1 , A 2 : R → R sao cho f(x 1 , x 2 ) = A 1 (x 1 ) + A 2 (x 2 ), ∀x 1 , x 2 ∈ R. (7) Chứng minh. Giả sử x = (x 1 , x 2 ) và y = (y 1 , y 2 ) là hai điểm tùy ý trong mặt phẳng. Tính cộng tính của f cho ta f(x + y) = f (x) + f(y) nghĩa là f(x 1 + y 1 , x 2 + y 2 ) = f (x 1 , x 2 ) + f(y 1 , y 2 ). ta đặt A 1 (x 1 ) = f (x 1 , 0) và A 2 (x 2 ) = f (0, x 2 ) và xác nhận A 1 , A 2 là cộng tính. Điều này có thể thấy được từ A 1 (x 1 + y 1 ) = f(x 1 + y 1 , 0) = f(x 1 + y 1 , 0 + 0) = f(x 1 , 0) + f(y 1 , 0) = A 1 (x 1 ) + A 1 (y 1 ). Từ đó A 1 là cộng tính trên R. Tương tự cũng có thể chỉ ra rằng A 2 là cộng tính trên R. Tiếp theo cúng ta chứng tỏ rằng f là một sự chồng lên của A 1 , A 2 . Chú ý rằng (x 1 , x 2 ) = (x 1 , 0) + (x 2 , 0) và f(x 1 , x 2 ) = f (x 1 , 0) + f(0, x 2 ) = A 1 (x 1 ) + A 2 (x 2 ). 9 Biểu thức này hoàn thành việc chứng minh định lí.  Định lí dưới đây bắt nguồn từ các kết quả trên. Định lý 10. Nếu f : R 2 → R là một hàm cộng tính liên tục trên mặt phẳng R 2 thì tồn tại các hằng số c 1 , c 2 sao cho f(x 1 , x 2 ) = c 1 x 1 + c 2 x 2 , ∀x 1 , x 2 ∈ R. (8) Kết quả này có thể được làm mạnh hơn nữa bằng việc làm yếu tính liên tục của f : R 2 → R. Bổ đề 1. Nếu một hàm cộng tính f : R 2 → R là liên tục với mỗi giá trị cụ thể , thì nó là liên tục điểm. Chứng minh. Từ hàm f : R 2 → R là cộng tính, ta có f(x, y) = A 1 (x) + A 2 (y) với mọi x, y ∈ R. Vì f tuyến tính với mỗi giá trị cụ thể, ta thấy rằng A 1 , A 2 là liên tục. Do đó lim x→x 0 A 1 (x) = A + 1(x 0 ) và lim y→y 0 A 2 (y) = A 2 (y 0 ) Để chỉ ra f là liên tục điểm, ta tính lim (x,y)→(x 0 ,y 0 ) f(x, y) = lim (x,y)→(x 0 ,y 0 ) [A 1 (x) + A 2 (y)] = lim x→x 0 A 1 (x) + lim y→y 0 A 2 (y) = A 1 (x 0 ) + A 2 (y 0 ) = f (x 0 , y 0 ). Từ đây chỉ ra rằng f là liên tục điểm. Định lí được chứng minh.  Theo kết quả này, có thể thay tính tuyến tính ở các hàm cộng tính giá trị thực trên mặt phẳng bằng giả thiết tính liên tục ở mỗi biến. Ngoài ra có thể mở rộng Định lí 9 đối với các hàm cộng tính trên R n . Định lý 11. Nếu f : R n → R là một hàm cộng tính liên tục trên R n , thì tồn tại các hằng số c 1 , c 2 , . . . , c n sao cho f(x 1 , x 2 , . . . , x n ) = c 1 x 1 + c 2 x 2 + ··· + c n x n ∀x 1 , x 2 , . . . , x n ∈ R. (9) Trong phần còn lại của mục này, ta khảo sát lớp hàm cộng tính giá trị phức trên mặt phẳng phức. Ta bỏ qua phần giới thiệu tóm lược về hệ thống số phức. Các số có dạng a + b √ −1, với a, b ∈ R được gọi là số phức. Ở đầu thế kỷ 16, Cardano (1501-1576) đã làm việc với các số phức trong việc giải phương trình bậc hai và bậc ba. Đến thế kỷ 18, Euler đã xét các hàm với lũy thừa là số phức và đã khảo sát các tính chất của chúng. 10 [...]... (bk , bj ) 4 Biểu diễn một số lớp hàm hai biến với phép phản xạ Ta sẽ mô tả một số lớp hàm hai biến với phép phản xạ Cụ thể là ta xét hàm hai biến đối xứng qua điểm (p, q) Định nghĩa 9 Cho tập Ω := P × Q ⊂ R × R và điểm (p, q) là tâm đối xứng của nó Hàm f (x, y) xác định trên Ω được gọi là chẵn-chẵn (hoặc chẵn theo cặp biến) đối với điểm (p, q) khi và chỉ khi f (2p − x, y) = f (x, y) và f (x, 2q − y)... A(1), với A là một hàm cộng tính trên số thực, thì nó thoả mãn phương trình hàm (101)7) Nếu f được giả thiết liên tục (hoặc đo được), thế thì Daroczy và Jarai (1979) đã chỉ ra rằng f (x) = 4ax − a, với a là hằng số tùy ý Tiếp theo, Makasa (1993) đã đưa ra vấn đề tiếp theo tại "Thirtieth International Symposium" trên các phương trình hàm: Tìm tất cả các hàm f : (0, 1) → R thỏa mãn phương trình hàm (1 − x... , sj là hữu tỉ trong khi bj là các phần tử của một cơ sở Hamel B và αkj tùy ý phụ thuộc vào bk và bj Chứng minh Cho B là một cơ sở Hamel đối với tập số thực R Thế thì, mỗi số thực x có thể biểu diễn n x= rk b k (24) k=1 với bk ∈ R và với hệ số hữu tỉ rk Tương tự, bất kỳ số thực y khác, cũng có thể biểu diễn n s j bj y= (25) k=1 với bj ∈ R và với hệ số hữu tỉ sj Vì f là song cộng tính f (x1 + x2... y)] 4 5 (54) Phương trình hàm trong lớp hàm hai biến với đối hợp Trong mục này, ta giải các phương trình hàm sau f (x, y) + f (2p − x, y) + f (x, 2q − y) + f (2p − x, 2q − y) = h(x, y), ∀(x, y) ∈ Ω (55) và f (x, y) − f (2p − x, y) − f (x, 2q − y) + f (2p − x, 2q − y) = h(x, y), ∀(x, y) ∈ Ω, (56) trong đó (p, q) là tâm đối xứng của tập Ω ⊂ R × R, h(x, y) cho trước Ký hiệu X là tập tất cả các hàm xác định... đúng với mọi số hữu tỉ Lí luận giống như trên với biến thứ hai và vì vậy ta có với mọi số hữu tỉ r và mọi số thực x, y f (rx, y) = rf (x, y) = f (x, ry) (34) Từ đây do (26), (27), (28) và (34), ta thu được m n f (x, y) = f k=1 n m = rk bk , m n s j bj = j=1 r k f bk , k=1 n m rk sj f (bk , bj ) = k=1 j=1 s j bj j=1 rk sj αkj , k=1 j=1 ở đây αkj = f (bk , bj ) 4 Biểu diễn một số lớp hàm hai biến với. .. biểu một số bài toán mở về tìm các hàm số Những vấn đề đó và một số vấn đề về tính cộng tính đã được Sahoo (1995) đưa ra Vấn đề thứ nhất là tìm tất cả các hàm f : (0, 1) → R thỏa mãn phương trình hàm f (xy) + f (x(1 − y)) + f (y(1 − x)) + f ((1 − x)(1 − y)) = 0 (101) ∀x, y ∈ (0, 1) Vấn đề này được xem như một vấn đề mở đặt ra ở Ebanks, Sahoo và Sander (1990) Chú ý rằng khi f (x) = 4A(x) − A(1), với. .. là: Tìm tất cả các hàm f : (0, 1) → R thỏa mãn phương trình hàm f (xy) + f ((1 − x)(1 − y)) = f (x(1 − y)) + f (y(1 − x)), ∀x, y ∈ (0, 1) (103) Daroczy và Jarai (1979) cũng đã tìm được nghiệm đo được của phương trình hàm này Họ đã chỉ ra rằng bất kỳ nghiệm đo được của (103) là có dạng f (x) = ax2 −ax+b log x+c, với a, b và c là các hằng số tùy ý Phương trình (103) xuất hiện như một vấn đề được đưa... định lí 3 Hàm song cộng tính Trong mục này của chương, ta nghiên cứu các hàm song cộng tính ta bắt đầu mục này với định nghĩa dưới đây về hàm song cộng tính Định nghĩa 8 Một hàm f : R2 → R được gọi là song cộng tính khi và chỉ khi nó là tuyến tính với mỗi biến, nghĩa là f (x + y, z) = f (x, z) + f (y, z) (14) f (x, y + z) = f (x, y) + f (x, z) (15) với mọi x, y, z ∈ R 12 Nếu m là một hằng số và ta định... thấy rằng k cũng cộng tính và do đó nó tuyến tính Do vậy k(x) = my với m là hằng số tùy ý Kết hợp với (19) ta có được f (x, y) = mxy (22) ∀x, y ∈ R, x = 0 Nếu x = 0, thì từ (15) , ta thấy rằng f (0, y) = 0 và do đó (22) đúng với ∀x, y ∈ R Ở định lí tiếp theo, ta trình bày một biểu diễn tổng quát đối với hàm song cộng tính trong các số hạng của cơ sở Hamel 13 Định lý 16 Mọi ánh xạ song cộng tính f :... Mọi hàm hai biến f (x, y) là lẻ-lẻ đối với điểm (p, q), tức là f (2p − x, y) = −f (x, y) and f (x, 2q − y) = −f (x, y), ∀(x, y) ∈ Ω (49) đều có dạng 1 f (x, y) = [g(x, y) − g(2p − x, y) − g(x, 2q − y) + g(2p − x, 2q − y)] 4 (50) Bây giờ ta xét trường hợp riêng đối với hàm f (x, y) xác định trong tập Ω0 = (0, 1) × 1 (0, 1) và là chẵn-chẵn đối với điểm 0, 2 Khi đó định lý 21 có dạng 17 Hệ quả 2 Mọi hàm . 26-27/03/2012 Một số lớp phương trình hàm với cặp đối số biến đổi Nguyễn Văn Mậu, ĐHKHTN, ĐHQGHN Phạm Thị Nhàn, Sở GD và ĐT Quảng Ninh Tóm tắt nội dung Báo cáo này viết về phương trình hàm với đối số biến. đổi trong lớp hàm thực hai biến với đối số biến đổi là các dạng đối hợp và song đối hợp. Dựa vào các đặc trưng của toán tử đại số, cho phép ta tìm nghiệm tường minh của lớp các phương trình hàm. α kj = f(b k , b j )  4 Biểu diễn một số lớp hàm hai biến với phép phản xạ Ta sẽ mô tả một số lớp hàm hai biến với phép phản xạ. Cụ thể là ta xét hàm hai biến đối xứng qua điểm (p, q). Định nghĩa