Tổng hợp theo chuyên đề các đề thi HSG và chọn đội tuyển các tỉnh thành PHƯƠNG TRÌNH HÀM QUA CÁC KÌ THI Lưu Giang Nam Sinh viên K14, khoa Toán tin ĐH KHTN TPHCM I. Bài toán: Bài 1: Cho dãy số (x n ) ∞ n=1 thỏa mãn với x 1 = 1 và x n+1 = 5 √ x n + 11 − √ x n + 4 với mọi n nguyên dương. Chưng minh rằng dãy số (x n ) ∞ n=1 có giới hạn hữu hạn và tìm nó. Chuyên SPHN TST 2014 Bài 2: Cho dãy số (x n ) n≥0 xác định bởi x 0 = 0, x 1 = 3 và x n+1 = 7x n + 3 4 + 5x 2 n 2 vơi mọi số nguyên không âm n. a) Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy (x n ) n≥0 là số tự nhiên và x 2014 chia hết cho x 19 . b) Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương a sao cho với mọi số nguyên dương n, trong biểu diễn nhị phân của dãy số x an có ít nhất 46 2014 chữ số 1. Chuyên SPHN TST 2014 Bài 3: Cho dãy (a n ) thỏa : a 1 = 1; a 2 = 1 a n+2 = a n+1 + a n , ∀n ∈ N ∗ Tìm tất cả các số nguyên dương a và b với a < b thỏa mãn điều kiện a n − 2na n chia hết cho b vơi mọi n ≥ 1. Nguyễn Du TST 2014 Bài 4: Cho dãy số (x n ) được xác định như sau : x 1 = 1, x 2 = 2013, x n+2 = 4026x n+1 − x n , n = 1, 2, Chứng minh rằng x 2014 + 1 2014 là số chính phương. Thái Bình TST 2014 Bài 5: Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n ≥ 3, phương trình sau x n e −x = 1 , n ∈ N, n > 2 Có 1 nghiệm duy nhất x n trên đoạn [0; n]. Tìm lim x n . Thái Bình TST 2014 Trang 1 Tổng hợp theo chuyên đề các đề thi HSG và chọn đội tuyển các tỉnh thành Bài 6 : Cho dãy số (x n ) xác định bởi : x 1 = 1 x n+1 = n+1 n+2 x n + n 2 với n = 1, 2, 3 Tìm gới hạn: lim n→+∝ 3 √ x n 1 + n Chuyên Hùng Vương 2014 Bài 7: Cho dãy số thực (x n ) xác định bởi : x 1 = 1 x n+1 = x 2 n + 3x n + 1 Xét dãy (y n ) như sau :y n = n i=1 1 x i + 2 Tính lim y n . Chuyên Lương Thế Vinh 2014 Bài 8: Cho dãy số (x n ) được xác định bởi: x 1 = 1 2 ; x n+1 = 2014 + x n 2016 − x n với mọi n = 1, 2, a. Chứng minh rằng dãy (x n ) có giới hạn và tính giới hạn đó. b. Với mỗi số tự nhiên n ≥ 1, đặt y n = 1 2013n + 2015 n k=1 1 x k − 2014 . Tính lim y n . Hà Tỉnh 2014 Bài 9: Cho dãy (u n ) xác định bởi: u 1 = 1 u n+1 = 3u n − u 2 n + 1, n = 1, 2, 3 Tính lim n→+∞ 2u 2 n+1 + 3u 2 n u 2 n+1 + 2u n−1 . Đồng Nai 2014 Bài 10: Cho dãy số (u n ) được xác định bởi: u 1 = 2 u n+1 = u 2 n + u n , ∀n ∈ N ∗ a) Chứng minh rằng dãy (u n ) là dãy số tăng nhưng không bị chặn trên. b) Đặt x n = u 1 u 2 + u 2 u 3 + + u n u n+1 . ∀n ∈ N ∗ . Tìm lim x n . Long An 2014 Trang 2 Tổng hợp theo chuyên đề các đề thi HSG và chọn đội tuyển các tỉnh thành Bài 11: Tìm công thức tính số hạng tổng quát của dãy số (x n ) biết: x 1 = 2013 2014 , x n+1 = 1 4 + 2011x n (với mọi n > 0). Chứng minh dãy số (x n ) có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó. Đà Nẵng 2014 Bài 12: Cho dãy số (x n ), n = 0, 1, 2, xác định bởi x 0 = a , x n+1 = 1 + 1 x n +1 và a là số cho trước lớn hơn 1. Chứng minh rằng (x n ) có giới hạn. Chuyên Nguyễn Du , Đắk Lắk 2014 Bài 13:Cho a ∈ 0, 1 và dãy x n thỏa mãn x 1 = a+1 4 và x n+1 = x 2 n + a 4 . 1. Chứng minh dãy x n hội tụ. 2. Chứng minh rằng x n − b < 1 n với lim(x n ) = b. Đề thi chọn ĐT Quốc gia KHTN vòng 2, ngày 2 Bài 14:Cho dãy số {x n } ∞ n=0 cho bởi: x 1 = 1; x n+1 = 20 + 13 x n Chứng minh rằng dãy {x n } hội tụ và tìm lim x n . Đề thi chọn đội tuyển HSG QG tỉnh Hải Phòng năm học 2013-2014 Bài 15:Cho dãy số (u n ) +∞ n=1 thỏa mãn: i)u n + n u n = u n+1 ii)u 1 = α > 0 Tìm lim n→+∞ u n n . Chuyên Yên Bái Bài 16: Cho các dãy số (a n ) và (b n ) thõa mãn các điều kiện: a 1 = 1, b 1 = 2 thì: a n+1 = 1 + a n + a n b n b n , b n+1 = 1 + b n + a n b n a n Tính lim n→∞ a n √ n . ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG QUỐC GIA TỈNH QUẢNG TRỊ Bài 17: Cho dãy số (x n ) với x 1 = 5 2 và: x n+1 x 3 n − 12x n + 20n + 21 n + 1 Chứng minh dãy số có giới hạn và tìm giới hạn đó. Trang 3 Tổng hợp theo chuyên đề các đề thi HSG và chọn đội tuyển các tỉnh thành Chọn đội tuyển QG tỉnh Gia Lai 2014-2015 Bài 18: Cho dãy số (x n ) xác định bởi: x 0 = 2, x n+1 = 2x n + 1 x n + 2 ∀n ∈ N. Tìm công thức tổng quát của x n và tìm limx n . Đề thi Chọn Đội tuyển HSG Quốc Gia Quảng Nam 2014-2015 Bài 19: Cho 4028 số thực a 1 , a 2 , , a 2014 , b 1 , b 2 , , b 2014 . Xét dãy số (x n ) được xác định như sau: x n = 2014 i=1 [a i .n + b i ] , (n = 1, 2, ). Biết dãy số (x n ) lập thành một cấp số cộng. Chứng minh rằng 2014 i=1 a i là số nguyên ( với [a] là phần nguyên của số thực a) Bình Phước 2014 Bài 20: Cho dãy (u n ) xác định bởi: u 1 = 2015; u n+1 = u 2 n − 2014u n + 2014 ∀n ∈ N Chứng minh với mọi n nguyên dương các số u 1 , u 2 , u n đôi một nguyên tố cùng nhau. Hà Nội 2014 Bài 21: Cho dãy số (u n ) xác định bởi: u 1 = 1, u n +1 = 3u n + a, ∀n ∈ N, n ≥ 1 và a là số nguyên tố. Xét dãy (v n ) : v n = u n + b, b ∈ N. Tìm a và b sao cho (v n ) là một cấp số nhân. Từ đó tìm số hạng tổng quát của (v n ). Cà Mau 2014 Bài 22: Cho dãy số u n xác định: u 1 = 1 u n+1 = 5u n + Ku 2 n − 8 Tìm K nguyên dương sao cho mọi số hạng của dãy u n đều là số nguyên. Quốc học Huế 2014 Bài 23: Cho dãy số (x n ) xác định bởi: ln 1 + x 2 n + nx n = 1 với mọi n ∈ N∗. Tìm giới hạn lim n (1 − nx n ) x n II. Đáp án: Trang 4