tuyển chọn các bài toán phương trình hàm trong các đề thi học sinh giỏi

+ Đặc trưng của hàm:Như ta đã biết, phương trình hàm là một phương trình thông thường mà nghiệm của nó là hàm.. Để giải quyết tốt vấn đề này, cần phân biệt tính chất hàm với đặc trưng hà

1 1

0 là đa thức với các hệ số thực có a0  0 và thoả mãn đẳng thức sau: f x .f  2x2 f 2x3 x xR

Chứng minh rằng đa thức f x không có nghiệm số thực.

 Ta chứng tỏ rằng x0  0 không là nghiệm của f x , nghĩa là a n  f 0  0 Gọi k là

số chỉ lớn nhất sao cho a k 0 Lúc đó vế trái của (1) có dạng

n k

k n k n

n

k n k n k n

n k

n k n

a x

a

x a

x a x a x

a x

2 0

2 2

0 0

2

3 2

2

2

2

1

1 1

     

k n k n

n

k n k

n

x a x

a

x x a x

x a x

2 2

3 0

3 3

0 3

So sánh hai vế của (1) ta có

 

k n

x x

a x

k k n k n k

Từ hệ thức (1) suy ra nếu x0  0 mà f x0  0 thì f x k 0 k , nghĩa là f(x) bậc n,

không đồng nhất bằng 0 mà có vô số nghiệm thực khác nhau, dẫn đến mâu thuẫn.

Vậy đa thức f(x) không có nghiệm thực

Giải: Cho f :R R là hàm số từ tập R vào chính nó Tìm tất cả các hàm f như thế thoả mãn hai điều kiện: i) f(x f(y))y  f(x) x,yR

m f

x x

f x

f m

x f m

1

.Suy ra  

 1 1   1 .

2 1

1

x f m

f m

x x f m

f m

Bây giờ, cho x = 1, ta nhận được f 1 2  1 , do đó f 1   1

4/(Quảng Ninh) Cho f :R R là hàm số từ tập R vào chính nó Tìm tất cả các hàm f như thế thoả mãn hai điều kiện: i) f(x f(y)) y  f(x) x,yR

ii) ( ): 0 , là tập hợp hữu hạn.

Như vậy ta có f x  Đảo lại, dễ dàng thấy rằng hai hàm x f x  và x f x  thoả  x

mãn hai điều kiện đã cho

giải: Từ ĐK 1 với mọi r , f(rx) = rf(x) với mọi x (1)

Theo ĐK 2: N > 0: với mọi x

Theo ĐK 1, f(x) là hàm lẻ với mọi x (2)

Lấy , tồn tại số hữu tỉ dương sao cho

5/(Hưng Yên) Cho hàm số f: R  thỏa mãn:

1) f(x + y) = f(x) + f(y) với mọi x, y  R

2) f(x) bị chặn trên [0; 1]

3) f(1) = ;Tính f( )

6/ (Hà Nam) Tìm tất cả các hàm (ở đây ) thỏa mãn:

Bước 4) Chứng minh: nếu thì

Thật vậy với đặt trong (1) ta có

7/(Chuyên LHP) Tìm tất cả các đa thức với hệ số thực thỏa mãn:

8/(Bắc Ninh) Cho hai đa thức: và Gọi a là

nghiệm lớn nhất của P(x) và b là nghiệm nhỏ nhất của Q(x) Chứng minh rằng:

.

Vì suy ra Q(x) có 3 nghiệm và nghiệm

Số x được gọi là một cận trên của tập A nếu với mọi a A thì a x

Số x được gọi là một cận dưới của tập A nếu với mọi a A thì a xCận trên bé nhất (nếu có) của tập A được gọi là cận trên đúng của A và

kí hiệu là supA

9/ (Daklak 2010-2011) Tìm tất cả các hàm số f xác định trên tập R,lấy giá trị trong R và thỏa mãn

hệ thức f(x-y)+f(x.y)=f(x)-f(y)+f(x).f(y)

Cận dưới lớn nhất (nếu có) của tập A được gọi là cận dưới đúng của A

+ Đặc trưng của hàm:

Như ta đã biết, phương trình hàm là một phương trình thông thường

mà nghiệm của nó là hàm Để giải quyết tốt vấn đề này, cần phân biệt tính chất hàm với đặc trưng hàm Những tính chất quan trắc được từ đại số sang hàm số được gọi là những đặc trưng hàm

* Hàm tuyến tính f(x) = ax, khi đó f(x + y) = f(x) + f(y)

Vậy đặc trưng hàm là f(x + y) = f(x) + f(y), với mọi x, y

* Hàm bậc nhất f(x) = ax + b, khi đó

Đến đây thì ta có thể nêu ra câu hỏi là: Những hàm nào có tính chất

Giải quyết tốt vấn đề đó chính là dẫn đến phương trình hàm Vậy phương trình hàm là phương trình sinh bởi đặctrưng hàm cho trước

Hoàn toàn tương tự ta có thể tìm được các đặc trưng của các hàm số

5 Hàm đơ n đ iệu

+ Hàm số f(x) được gọi là tăng trên khoảng (a,b) nếu:

Với mọi x1, x2 (a,b), x1 x2 f(x1) f(x2)

+ Hàm số f(x) được gọi là giảm trên khoảng (a,b) nếu:

Với mọi x1, x2 (a,b), x1 x2 f(x1) f(x2)

Sử dụng tính liên tục của hàm số có 3 con đường chính:

- Xây dựng biến từ N đến R.

- Chứng minh hàm số là hàng số.

Với r R, tồn tại dãy với thoã mãn Khi đó do tính liên tục nên ta có: f(r) = f(limrn) = limf (rn) = lim(rn + 1) = limrn + 1 = r + 1 Vậy f(x) = x + 1, Thử lại thấy đúng.

Thử lại thấy đúng

Bài3 (Sử dụng phương trình hàm Côsi) - VMO năm 2006 (bảng B)

Tìm liên tục trên R thoã mãn f(x-y).f(y-z).f(z-x) + 8 = 0.

+ Cho y = z =0, , từ (a) ta đựoc g(x) = g(-x) (b)

Từ (*) và (b) ta suy ra g(x-y) + g(y-z) = -g(z-x) = -g(x-z) = g(x-y+y-z)

(**) Vì f liên tục trên R nên g(x) cũng liên tục trên R Từ (**) , theo phương trình hàm Côsi ta được g(x) = ax f(x)

= -2 eax = -2.bx

(với b = ea >0) Thử lại ta thấy đúng

II Ph ươ ng pháp2 : Sử dụng tính chất nghiệm của một đa thức

Tìm P(x) với hệ số thực thoã mãn đẳng thức:

(Giải bài toán này tương tự như bài 1)

Tương tự như trên nếu ta xét:

Ta nhận thấy vế trái của biểu thức dưới dấu f là bậc nhất: x; x-1 vế phải là bậc hai x2 Vậy f(x) phải có dạng: f(x) = ax2 + bx + c

Khi đó (1) trở thành:

2(ax2 + bx + c) + a(x-1)2 + b(x-1) + c = x2 do đó:

3ax2 + (b-2a)x + a + b + 3c = x2

Đồng nhất các hệ số, ta thu được:

Vậy

Thử lại ta thấy hiển nhiên f(x) thoã mãn điều kiện bài toán

Công việc còn lại ta phải chứng minh mọi hàm số khác f(x) sẽ không thoã mãn điều kiện bài toán

Thật vậy giả sử còn có hàm số g(x) khác f(x) thoã mãn điều kiện bài toán

Do g(x) thoã mãn điều kiện bài toán nên:

2g(x) + g(1-x) = x2

Thay x bởi x ta được: 2g(x ) + g(1-x ) = x 2

3a = 1

b - 2a = 0

a + b + 3c = 0

Thay x bởi 1-x0 ta được 2g(1-x0) + g(x0) = (1-x0)2

Từ hai hệ thức này ta được: g(x0) = = f(x0)

Điều này mâu thuẫn với f(x0) g(x0)

Vậy phương trình có nghệm duy nhất là

Ta viết phương trình đã cho dưới dạng f(f(x)) - f(x) = x (1)

Vế phải của phương trình là một hàm số tuyến tính

Vì vậy ta nên giả sử rằng hàm số cần tìm có dạng: f(x) = ax + b

Hiển nhiên hai hàm số này thoã mãn điều kiện bài toán.

Từ điều kiện (3) cho n = 0 ta được b = 1

Vậy f(n) = -n + 1

Hiển nhiên hàm số nầy thoã mãn điều kiện bài toán

Ta phải chứng minh f(n) = -n + 1 là hàm số duy nhất thoã mãn điều kiện bài toán

Thật vậy giả sử tồn tại hàm g(n) khác f(n) cũng thoã mãn điều kiện bàitoán

Chứng minh tương tự ta cũng có f(n) = g(n) với mọi n nguyên âm

Vậy: f(n) = -n + 1 là nhgiệm duy nhất

Từ đó ta tính được f(2009) = - 2008, f(-2010) = - 2011

Chọn v = 1 ta có:

Cho x = y = 0 ta có 2f(0) = 0 do đó f(0) = 0

Tìm các hàm số f: R R nếu:

Đáp số:

Bài3:

Tìm tất cả cá c đa thức P(x) R[x] sao cho :

P(x + y) = P(x) + P(y) = 3xy(x + y),

hay

(2)

Thay x bởi x3 ta được

(3)

Từ (2) và (3) ta suy ra: ,

thay vào (2) suy ra: Vậy:

VI.Ph ươ ng pháp 6 : Sử dụng phương pháp sai phân để giải phương trình hàm a.Lí thuyết: +) Khái niệm dãy số: Dãy số là một hàm của đối số tự nhiên:

Vì

+) Đ ịnh nghĩa sai phân :

Xét hàm x(n) = x0

Sai phân cấp 1 của hàm xn là:

Sai phân cấp 2 của hàm xn là:

Sai phân cấp k của hàm xn là:

+) Các tính chất của sai phân:

* Sai phân các cấp đều được biểu thị qua các hàm số

* Sai phân có tính chất tuyến tính:

-2

Vậy do đó xn là đa thức bậc hai:

Để tính a, b, c ta đưa vào 3 giá trị đầu x0 = 1, x1 = -1, x2 = -1 sau đó ta giải hệ phương trình ta nhận được: a = 1, b = -3, c = 1

Chú ý: Đối với phương pháp sai phân, ta có một số khác nữa như

phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất, phương trình sai

phân phi tuyến và có cả một hệ thống phương pháp giải quyết để

tuyến tính hoá phương trình sai phân Song liên quan đến phương trình trong bài viết này, chỉ nhắc lại phương trình sai phân tuyến tính đơn giản nhất (chưa xét đến phương trình sai phân tuyến tính có nghiệm phức)

c Áp dụng đ ối với ph ươ ng trình hàm :

Bài1:

Tìm hám số thoã mãn điều kiện:

f(f(x)) = 3f(x) - 2x,

Giải Thay x bởi f(x) ta được: f(f(fx))) = 3f(f(x)) - 2f(x),

,

Hay

Đặt:

Ta được phương trình sai phân:

Phương trình đặc trưng là:

Ta suy nghĩ như sau:

Từ giả thiết ta suy ra c = c + 2 do đó c =

Vì vậy ta coi 2 như là f(1) ta được: f(x + 1) = f(x) + f(1) (*)

Như vậy ta đã chuyển phép cộng ra phép cộng Dựa vào đặc trưng hàm, ta phải tìm a:

Trong đó f(x) = ax Từ giả thiết ta được

Vậy g(x) là hàm tuần hoàn với chu kỳ 1

Vậy: f(x) = 2x + g(x) với g(x) là hàm tuần hoàn với chu kỳ 1

Nhận xét: Qua bài toán 1 ta có thể tổng quát lên thành bài toán như

Vậy đặt: f(x) = 1 + g(x), thay vào (1) ta được phương trình:

Từ đặc trưng hàm chuyển phép cộng về phép nhân, ta thấy phải sử dụng hàm mũ:

Nên ta có:

Vậy ta đặt: thay vào (2) ta được: h(x + 1) =h(x),

Vậy h(x) là hàm tuần hoàn với chu kỳ 1

Nhận xét:

Từ bài này ta đưa đến bài toán tổng quát là:

TQ: Tìm hàm số f(x) sao cho

f(x + a) = bf(x) + c, , a,b,c tuỳ ý, b>0, b khác 1

( Với loại này được chuyển về hàm tuần hoàn)

Còn: f(x + a) = bf(x) + c, , a,b,c tuỳ ý, b<0, b khác 1 được chuyển về hàm phản tuần hoàn

+) Nếu t > 0 đặt thay vào (3) ta có

Đến đây ta đưa về ví dụ hàm tuần hoàn nhân tính

+) Nếu t < 0 đặt thay vào (3) ta được

+ Nếu a = 0 bài toán bình thường

+ Nếu a = 1 chẳng hạn xét bài toán sau:

*) Tìm f(x) sao cho: f(2x + 1) = f(x) - 2, (1)

Thay vào (2) ta có: Đến đây bài toán trở nên đơn giản

VIII Ph ươ ng pháp 8 Phương pháp sử dụng hệ đếm

Ta quy ước ghi m =(b i b i-1 …b 1 ) k nghĩa là trong hệ đếm cơ số k thì m =

+ Với n = 1, 2, 3, 4 dể kiểm tra (*) đúng

+ Giả sử (*)đúng cho k < n Ta sẽ chứng minh (*)đúng cho n (với

Thật vậy, ta xét các khả năng sau:

* Nếu n chẵn, n = 2m Giả sử m = (bibi-1…b1)2, khi đó n = 2m = (bibi-1…b10)2

f(n) = f((bibi-1…b10)2) = f(2m) = f(m) = f((bibi-1…b1)2) = (b1b2…bi)2 = = (0b1b2…bi)2 suy ra (*)đúng

* Nếu n lẻ và n = 4m + 1 Giả sử m = (bibi-1…b1)2, khi đó n = (bib

i-1…b101)2

f(n) = f((bibi-1…b101)2) = f(4m + 1) = 2.f(2m + 1) - f(2m) =

2.f((bibi-1…b11)2) - f((b1b2…bi)2 ) = (10)2.(1b1b2…bi)2 - (b1b2…bi)2 = (1b1b2…bi0)2 - (b1b2…bi)2 =

Vậy (*)đúng và hàm f được xác định như (*)>

Bài 2.(Trích đề thi Trung Quốc)

a) f(1) = 1 (1)b) f(2n) < 6f(n) (2) c) 3f(n)f(2n+1) = f(2n)(3f(n) + 1), (3)

Vì f(n) nên (3f(n),3f(n) + 1) = 1 Từ (3) suy ra 3f(n)\f(2n) Kết hợp với (2) suy ra f(2n) = 3f(n) và f(2n+1) = 3f(n) + 1,

Thử một số giá trị ta thấy f(n) được xác định như sau:

"Với n = (b1b2…bi)2 thì f(n) = (b1b2…bi)3, " (*) Ta chứng minh(*) bằng phương pháp quy nạp

+ Với n = 1, 2, 3, 4 thì hiển nhiên (*)đúng

+ Giả sử (*)đúng cho k<n (với n 4) Ta chứng minh (*)đúng cho n Giả sử m = (c1c2…cj)2

1.4 Xác định mọi nghiệm liên tục tại 0 của phương trình hàm

Bài 14 Cho hàm số y =f(x) xác định và liên tục trên R , thỏa điều kiện:

f(f(x)) = f(x) +x ; x R Tìm hai hàm số như vậy.

Bài 15 Cho hàm số f(x) thỏa mãn

f(x+y)+f(x-y) -2f(x).f(1+y) = 2xy(3y- x) ; x,y R;

Bài 16 Cho hàm số f: N→N sao cho f(f(n)) = n +2 ,n N Hãy xác định f(n) ,

Bài 17 Xác định hàm số g(x) biết rằng (x-1)g(x) + g( ) = , x≠0;1