bài toán biên dạng tuần hoàn với toán tử thuần nhất dương cho phương trình hàm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ____________ Huỳnh Thị Bình BÀI TOÁN BIÊN DẠNG TUẦN HOÀN VỚI TOÁN TỬ THUẦN NHẤT DƯƠNG CHO PHƯƠNG TRÌNH HÀM Chuyên ngành : Toán Giải Tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS. TS. NGUYỄN ANH TUẤN Thành phố Hồ Chí Minh - 2008 LỜI CẢM ƠN Trước hết, cho tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy NGUYỄN ANH TUẤN, Khoa Toán – Tin học Trường Đại học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh đã dành thời gian và công sức tận tình hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin gởi lời cảm ơn đến các quý Thầy Cô trong Hội đồng chấm luận văn đã dành thời gian đọc và đóng góp ý kiến giúp cho bài luận văn của tôi được hoàn chỉnh hơn. Cho tôi gởi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu Trường Đại học Sư Phạm TP.Hồ Chí Minh, Phòng KHCN Sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa Toán và quý thầy cô đã tham gia giảng dạy tôi trong suốt khóa học qua. Cuối cùng tôi xin cảm ơn sự giúp đỡ tận tình cũng như những lời động viên của Ban giám hiệu và đồng nghiệp Trường THPT Lộc Thanh đã dành cho tôi trong suốt thời gian tôi tham gia khóa học này. Trong quá trình viết luận văn này, khó tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất m ong nhận được những ý kiến đóng góp của bạn đọc . Tôi xin chân thành cảm ơn. MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Lý thuyết bài toán biên cho phương trình vi phân thường ra đời từ thế kỷ 18 như một công cụ để giải quyết các bài toán vật lý, cơ học. Tuy nhiên cho đến nay nó vẫn còn phát triển mạnh nhờ các ứng dụng rộng rãi và to lớn trong các lónh vực của cuộc sống như vật lý, cơ học, kỹ thuật, nông nghiệp, kinh tế và sinh học… Chính vì thế việc tiếp tục nghiên cứu và mở rộng các phạm vi ứng dụng của nó là cần thiết và cấp bách. Bài tốn biên cho phương trình vi phân thường với điều kiện biên dạng tuần hồn đã được nghiên cứu từ lâu và đến nay vẫn tiếp tục được nghiên cứu. Tuy nhiên việc nghiên cứu bài tốn biên dạng tuần hồn cho phương trình hàm và từ đó áp dụng cho phương trình vi phân đối số chậm thực sự được phát triển mạnh trong nhưng năm gần đây. 2. Mục đích nghiên cứu Trong luận văn này, chúng tơi tiếp tục mở rộng các kết quả của các tác giả I.Kiguradze, A.Lomatidtaze, B.Puza, Robert Hakl trong các cơng trình [1],[2],[3],… 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Trong luận văn này, chúng tơi nghiên cứu điều kiện đủ cho tính giải được của bài tốn biên dạng tuần hồn cho phương trình vi phân hàm với vế phải là tốn tử thuần nhất dương. 4. Ý nghĩa k hoa học và thực tiễn Luận văn là tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên sau đại học có quan tâm nghiên cứu về tính giải được của bài tốn biên dạng tuần hồn cho phương trình vi phân hàm với vế phải là toán tử thuần nhất dương. 5. Cấu trúc luận văn Nội dung của luận văn gồm hai chương: Trong chương I, chúng tôi nghiên cứu điều kiện đủ cho tính giải được của bài toán biên dạng tuần hoàn cho phương trình vi phân hàm với vế phải là toán tử thuần nhất dương, nghĩa là bài toán : ( ) ( , )( ) ( )( )   ut Huut Qut (0.1) () () ()ua ub hu    (0.2) trong đó            :,; ,; ,;H C ab R C ab R L ab R là toán tử liên tục, thuần nhất dương không giảm đối với biến thứ nhất và không tăng đối với biến thứ hai.        :,; ,;QC ab R L ab R ,     :,;hC ab R R là toán tử liên tục thoả điều kiệnCarathéodory,   0,1  . Chương II, gồm hai phần. Trong phần 1 ta xét các tính chất của các tập  , ab V    ,   , ab V  ,     , ab W  ,   , ab W    (xem định nghĩa 0.1 – 0.4 được giới thiệu trong phần sau), và thiết lập các điều kiện cần và đủ cho các bao hàm  , ab HV   ,   , ab HV   ,   , ab HW     và  , ab HW     . (0.3) Trong phần 2, ta cũng xét các bao hàm (0.3) trong trường hợp đặc biệt của toán tử H với H được định nghĩa:            12 ,max:Huv t pt us t s t              12 max :gt vs t s t   với hkn   ,tab (0.4) trong đó  ,,; p gLabR     , , ii    ab M (1,2)i  và 121 2 () (), () ()ttt t   với hầu khắp nơi   ,tab DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU  N : Tập hợp các số tự nhiên.  R : Tập hợp các số thực.      0, , ,0   RR.      11 , 22 x xx x xx    .     ,;CabR là không gian Banach của các ánh xạ liên tục   :,uab R trên ;ab     với chuẩn     max ( ) : , C uuttab.             ,; ,; :() , ,CabD u CabR ut Dt ab   trong đó DR .     ,;  CabD với DR là tập hợp các ánh xạ liên tục tuyệt đối   :,uab D .     ,; L ab R là không gian Banach của những hàm   :, p ab R khả tích Lebesgue trên ;ab     với chuẩn  b L a p psds  .              , ; , ; : vôùi t a,b hknLabD pLabR pt D   trong đó DR .  ab M là tập hợp các hàm đo được     :, ,ab ab   .  ab H là tập hợp các toán tử liên tục            :,; ,; ,;H C ab R C ab R L ab R thỏa các điều kiện sau: 1. Với mọi     ,, , ;uvw C ab R , ta có: Nếu    ut vt với   ,tab thì     ,, H uw t H vw t với hầu khắp nơi   ,tab . Nếu    ut vt với   ,tab thì     ,, H wu t H wv t với hầu khắp nơi   ,tab . 2. Với mọi          ,,;,;uv CabR CabR và hằng số 0   , ta có        ,, H uvt Huvt    với hầu khắp nơi   ,tab .  ab K là tập hợp các toán tử liên tục        :,; ,;F C ab R L ab R thỏa mãn điều kiện Carathéodory, nghĩa là : Với mỗi 0r  , tồn tại    ,; r qLabR   sao cho:   r Fv t q t với hkn   ,tab ,   ,;vCabR    , C vr .   ,;Kab AB    ,trong đó AR,  B R là tập hợp các ánh xạ :,fabA B    thỏa mãn điều kiện Carathéodory, nghĩa là: .     ., : , f xab B là hàm đo được với mỗi x A  , .  ,. : f tAB là liên tục hầu khắp nơi với mọi   ,tab và với mỗi 0r  , tồn tại     ,; r qLabR   sao cho:   , r f tx q t với hkn   ,tab , x A  , x r  .  ab F K là toán tử Volterra nếu với mọi   ,cab ,    ,,;uv C ab R thỏa:   ut vt với   ,tac thì         Fu t Fv t với hkn   ,tac . Trong luận văn này, ta đưa ra các khái niệm sau:  Định nghĩa 0.1 Ta nói rằng toán tử ab H  H thuộc vào tập   , ab V    nếu với mỗi hàm      ,,uCabR thỏa:    ,0ut Hu t   với hầu khắp nơi   ,tab và    0ua ub (0.5) Thì ta có:  0ut  với   ,tab .  Định nghĩa 0.2 Ta nói rằng toán tử ab H  H thuộc vào tập     , ab V nếu với mỗi hàm      ,,uCabR thỏa:    ,0ut Hu t   với hầu khắp nơi   ,tab và    0ua ub (0.6) Thì ta có  0ut  với   ,tab .  Định nghĩa 0.3 Ta nói rằng toán tử ab H  H thuộc vào tập  , ab W    nếu với mỗi   0,1   ,    ,;  yCabR và mỗi      ,,,uv C ab R thỏa:          ,,u t Hyu t v t Hyv t    với hầu khắp nơi   ,tab (0.7) và         ua ub va vb (0.8) Thì ta có     ut vt với (0.9)  Định nghĩa 0.4 Ta nói rằng toán tử ab H  H thuộc vào tập    , ab W nếu với mỗi   0,1   ,    ,;  yCabR và mỗi hàm      ,,,uv C ab R thỏa (0.7), (0.8) thì ta có (0.9). Chương 1: CÁC ĐỊNH LÝ VỀ SỰ TỒN TẠI NGHIỆM Trong các kết quả sau, ta luôn giả thiết     ,,qKab RR   và thỏa mãn điều kiện:     1 lim , 0 b x a qsxds x (1.1) Xét bài toán : ( ) ( , )( ) ( )( )   ut Huut Qut (0.1) () () ()ua ub hu    (0.2) 1.1 . Các định lý Sau đây là các kết quả về sự tồn tại nghiệm của bài toán (0.1), (0.2): Định lý 1.1.1 Cho    ,, ab ab HV W      và nếu tồn tại cR   sao cho với mọi    ,,vCabR   , ta có các bất đẳng thức:      ,0 C qt v Qv t với hkn   ,tab và  0chv  Thì bài toán (0.1), (0.2) có ít nhất một nghiệm không dương. Định lý 1.1.2 Cho    ,, ab ab HV W      và nếu tồn tại cR   sao cho với mọi    ,,vCabR   , ta có các bất đẳng thức:   0, C Qv t qt v với hầu khắp nơi   ,tab và  0 hv c Thì bài toán (0.1), (0.2) có ít nhất một nghiệm không âm. Định lý 1.1.3 Cho    ,, ab ab HV V      và   , ab HW     hoặc  , ab HW   . Hơn nữa nếu tồn tại cR   sao cho với mọi     ,,vCabR , ta có các bất đẳng thức:   , C Qv t qt v với hầu khắp nơi   ,tab và  hv c Thì bài toán (0.1), (0.2) có ít nhất một nghiệm . Hơn nữa :  Nếu  0hv ,     0Qv t  hầu khắp nơi trên   ,ab và với mọi      ,,vCabR (1.1.1) Thì bài toán (0.1), (0.2) có ít nhất một nghiệm không dương.  Nếu  0hv ,     0Qv t hầu khắp nơi trên   ,ab , và với mọi      ,,vCabR (1.1.2) Thì bài toán (0.1), (0.2) có ít nhất một nghiệm không âm. Để chứng minh các định lí trên, trước hết ta cần chứng minh các bổ đề bổ trợ sau: 1.2. Các bổ đề bổ trợ Trước hết ta nhắc lại một kết quả của I.Kiguradze và B.Puza trong [6]: Bổ đề 1.2.1 Cho  F K ab , cR , nếu tồn tại một số 0   sao cho với mọi   0,1   và mọi hàm     ,;uCabR thỏa :      ut Fu t    với hkn   ,tab ,   ua ub c    (1.2.1) ta đều có C u   (1.2.2) Khi đó bài toán      ut Fu t   ,     ua ub c    có ít nhất một nghiệm. Áp dụng bổ đề trên, ta có kết quả sau: Bổ đề 1.2.2 Cho ab H  H và nếu với mọi   0,1   , bài toán          0, , 0ut H u t ua ub    (1.2.3) chỉ có nghiệm tầm thường. Khi đó với mỗi      0,1 , , ; y CabR   ,    0 ,;qLabR và cR , bài toán        0 ,ut Hyu t qt    ,     ua ub c    có ít nhất một nghiệm. Chứng minh: Cho       0,1 , , ;yCabR   ,     0 ,;qLabR và cR  cố định Đặt          0 ,Fv t H yu t q t   với hkn   ,tab Theo bổ đề 1.2.1, ta chỉ cần chứng minh rằng với mọi  0,1   và mọi hàm      ,;uCabR là nghiệm của bài toán (1.2.1) thì ta có đánh giá (1.2.2). Giả sử ngược lại với mỗi nN  , tồn tại   0,1 n   và hàm     ,; n uCabR sao cho:         0 , nn n ut Hyu t qt      với   ,tab hkn (1.2.4) thỏa điều kiện biên     nnn ua ub c    (1.2.5) và n C un (1.2.6) Khi đó, đặt    n n n C ut vt u  với   ,tab , 1,2,  n (1.2.7) [...]...   a, b  , với mọi v  C  a, b  ; R  , h  v   0 với mọi v  C  a, b  ; R  Thì bài toán (0.1), (0.2) có ít nhất một nghiệm không âm Bổ đề 1.2.7  Cho H  Vab   ;   , c  R và  Q  v  t   q t , v C  với hkn t   a, b , v  C  a, b; R  h  v   c với v  C  a, b  ; R   (1.2.35) (1.2.36) Khi đó tồn tại một số   0 sao cho với mọi    0,1 và mọi hàm u  C  a,...  R sao cho với mọi v  C  a, b  , R   q  t, v C   Q  v  t  với hkn t   a, b và c  h  v  Nên theo bổ đề 1.2.7, tồn tại số   0 sao cho với mọi    0;1 và mọi hàm u  C  a, b ; R  thỏa (1.2.24), ta có đánh giá (1.2.2) Mặt khác do Q  v  t   0 với hkn t   a, b  , v  C  a, b  , R  và h  v   0 với v  C  a, b  , R  Cho nên theo bổ đề 1.2.5 bài toán (0.1),... nên ta có với mọi    0,1 , bài toán (1.2.3) chỉ có nghiệm tầm thường  Theo bổ đề 1.2.2 và (1.2.27) và do H  Wab   ;   nên bài toán (1.2.29) có duy nhất nghiệm Hơn nữa do (1.2.25), (1.2.26) nên: u  t     y  H  y, u  t     y  H  0, u  t  C C , u  a   u  b   0  Do H  Wab   ;   nên u  t   0 với t   a, b  (1.2.30) Gọi  là toán tử xác định như sau: với mỗi...  , v  C  a, b  , R  , và h  v   0 với v  C  a, b  , R  Cho nên theo bổ đề 1.2.6 bài toán (0.1),(0.2) có ít nhất một nghiệm không âm □ Chứng minh định lý 1.1.3 :   Ta giả sử H  Wab   ,   Trường hợp H  Wab   ,   , ta chứng minh hoàn toàn tương tự Để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán (0.1), (0.2) ta chỉ cần chứng minh bài toán : u   t    H  u, u  t  , u  a...  với hkn t   a, b   Vì H  Vab  ,   nên u  t   0 với t   a, b  (1.3.8) Từ (1.3.7) , (1.3.8) suy ra u  0 Hơn nữa Nếu (1.1.1) thỏa thì theo định lí 1, bài toán (0.1) , (0.2) có ít nhất 1 nghiệm không dương Nếu (1.1.2) thỏa , ta xét bài toán sau : u  t   H  u, u  t   Q  u   t  , u  a   u  b   h  u  (1.3.9) Theo phần đầu của định lí, tồn tại nghiệm u của bài toán. .. b  ; R  (1.2.25) (1.2.26) Thì bài toán (0.1), (0.2) có ít nhất một nghiệm không dương Chứng minh: 1  s   s   2     0  Đặt nÕu 0  s   nÕu  . tôi nghiên cứu điều kiện đủ cho tính giải được của bài toán biên dạng tuần hoàn cho phương trình vi phân hàm với vế phải là toán tử thuần nhất dương, nghĩa là bài toán : ( ) ( , )( ) ( )(. Bình BÀI TOÁN BIÊN DẠNG TUẦN HOÀN VỚI TOÁN TỬ THUẦN NHẤT DƯƠNG CHO PHƯƠNG TRÌNH HÀM Chuyên ngành : Toán Giải Tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC . học có quan tâm nghiên cứu về tính giải được của bài tốn biên dạng tuần hồn cho phương trình vi phân hàm với vế phải là toán tử thuần nhất dương. 5. Cấu trúc luận văn Nội dung của luận