phương pháp giải phương trình hàm

Giỏo viờn: Nguyn Tn t 1 PHNG TRèNH HM Ti liu ging dy lp 10 Toỏn 2011-2012 I. nh ngha Phng trỡnh hm l phng trỡnh m n l cỏc hm s, gii phng trỡnh hm tc l tỡm cỏc hm s cha bit ú. Cu trỳc c bn ca mt phng trỡnh hm gm ba phn chớnh: * Min xỏc nh v min giỏ tr. * Phng trỡnh hoc h phng trỡnh hm. * Mt s iu kin b sung (tng, gim, n iu, b chn, liờn tc, kh vi,). Ngi ta phõn loi phng trỡnh hm theo hai yu t chớnh: min giỏ tr v s bin t do. II. Phõn loi v phng phỏp gii phng trỡnh hm 1) Phõn loi Cú th chia thnh cỏc loi phng trỡnh hm nh sau: * Phng trỡnh hm trờn , , , Ơ Â Ô Ă , * Phng trỡnh hm mt bin t do, hai bin t do, * Phng trỡnh hm trờn lp hm n iu, lp hm liờn tc, lp hm a thc, 2) Phng phỏp Trong cỏc trng hp n gin, phng trỡnh hm cú th gii bng phộp th thu c thụng tin hoc phng trỡnh b sung. Vi cỏc phng trỡnh hm xỏc nh trờn Ơ Â Ô Ă , , , , ta cn hiu rừ cu trỳc ca cỏc tp ny tỡm cỏch tip cn. u tiờn, ta tớnh cỏc giỏ tr c bit nh ( ) ( ) 0 1 f , f , sau ú dựng qui np tớnh ( ) Ơ f n ,n ẻ , v tip theo l 1 f n ổ ử ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ . Sau ú dựng cu trỳc ca Ô tỡm ( ) f x nu cn. Vớ d 1. Tỡm tt c cỏc hm Ă Ă f : đ tha ( ) ( ) ( ) ( ) 1 f x f y xy f x f y , x, y - = + - " Gii Gi s tn ti cỏc hm s ( ) f x tha phng trỡnh ó cho. t y x = , ta c: ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 0 1 0 1 f x x f x f x x f x f x x ộ = + ờ - + - = - = ờ = - ờ ở Th li thy c hai hm s trờn u tha. Vớ d 2. Tỡm tt c cỏc hm Ơ Ơ * * f : đ tha ( ) 2 2 f = ( ) ( ) ( ) Ơ * f mn f m .f n , m,n = " ẻ ( ) ( ) f m f n , m n < " < Gii Mt trong nhng cụng c quan trng ta thng s dng khi gii cỏc bi toỏn trờn Ơ * l nguyờn lớ qui np. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 f f . f .f f = = ị = ( ) ( ) ( ) ( ) 4 2 2 2 2 2 2 4 f f . f .f . = = = = . Ta cú ( ) ( ) ( ) 2 2 3 4 4 f f f = < < = . Do ( ) 3 f l s nguyờn dng nờn ( ) 3 3 f = Giỏo viờn: Nguyn Tn t 2 Tng t ( ) 6 6 f = suy ra ( ) 5 5 f = . Ta chng minh ( ) f n n = bng qui np. Gi s ng thc ỳng vi n k : = ( ) f k k = . Xột 1 n k = + . Nu n chn thỡ ( ) ( ) 1 1 1 2 2 1 2 2 k k f k f .f . k ổ ử ổ ử + + ữ ữ ỗ ỗ + = = = + ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ố ứ ố ứ . Nu n l thỡ 1 n + chn v ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 k k f k f f k ổ ử ổ ử + + ữ ữ ỗ ỗ + = = = + ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ố ứ ố ứ . M ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 1 k f k f k f k k f k k = Ê + Ê + = + ị + = + Theo nguyờn lớ qui np ta cú ( ) Ơ * f n n, n = " ẻ . Trong li gii trờn ta s dng hai tớnh cht quan trng l th t trờn Ơ * v phng phỏp qui np toỏn hc. Tớnh cht ( ) ( ) 1 1 k f k k f k k - < < + ị = l mt tớnh cht rt quan trng ó c s dng. II. Mt s phng phỏp gii cỏc phng trỡnh hm 1. Phng phỏp t n ph Xột phng trỡnh hm s dng: f( j (x)) = g(x), trong ú j (x), g(x) l nhng hm s bin s thc ó bit. Trong mt s trng hp nu t j (x) = t, ta cú th gii ra x = y (t). Khi ú th vo phng trỡnh ó cho ta cú ta cú f(t) = g( y (t)), t ú ta cú hm s f(x) = g( y (x)). Tuy nhiờn nhiu khi vn khụng hon ton n gin. Trong trng hp ú cn s dng cỏc phộp bin i thớch hp , c gng a phng trỡnh ó cho v dng: f( j (x)) = h( j (x)). Khi ú hm s cn tỡm s cú dng: f(x) = h(x). Hm f(x) sau khi tỡm c ta cn phi tin hnh th li ri a ra kt lun nghim ca phng trỡnh. Dng 1: Phng trỡnh cú dng ( ) ( ) f( x ) =g x (1) Cỏch gii: t ( ) t = x (2) Nu phng trỡnh (2) d gii v cho biu thc nghim n gin ( ) 1 x t j - = , ri th vo (1) ta cú: ( ) ( ) ( ) f t g x - = 1 . Nu phng trỡnh (2) khú gii v cho biu thc nghim phc tp thỡ ta tỡm cỏch bin i a (1) v dng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f( x ) =g x f x g x ị = . Chỳ ý: Cỏc phng phỏp núi trờn thng s dng gii cỏc bi toỏn n gin nht v phng trỡnh hm s. Vỡ cỏch gii l iu kin cn, nờn sau khi gii xong ta phi th li xem hm s tỡm c cú tha cỏc yờu cu khụng. Vớ d 3. Tỡm hm s f(x) bit 1 3, 1. 1 x f x x x + ổ ử = + ạ ỗ ữ - ố ứ Gii t 1 1 x t x + = - 1 1 t x t + ị = - , 1 x " ạ . Giỏo viờn: Nguyn Tn t 3 T (1) ta suy ra f(t) = 1 1 t t + - + 3 = 4 2 1 t t - - ị f(x) = 4 2 1 x x - - Th li ta thy f(x) tho yờu cu bi toỏn. Vy hm s cn tỡm l ( ) 4 2 , 1 1 x f x x x - = ạ - . Vớ d 4. Tỡm f(x) bit 0 3 3 1 1 f(x + ) = x + ,x . x x ạ Gii Vỡ t 1 t = x + x cho biu thc nghim x theo t phc tp nờn ta bin i gi thit v dng: f(x + 1 x ) = (x + 1 x ) 3 3(x + 1 x ) (*) T (*) ( ) 3 3 f x x x ị = - , x 2. Th li thy f(x) tho yờu cu bi. Vy hm s cn tỡm l ( ) 3 3 , 2 f x x x x = - . Vớ d 5. Tỡm hm { } Ă Ă 2 f : \ đ tha 2 2 1 2 1 1 x f x x, x . x ổ + ử ữ ỗ = + ạ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ - Gii t 2 1 1 x t x + = - . Do tp xỏc nh ca hm f nờn { } Ă 2 t \ ẻ . Ta c ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 3 3 2 2 2 2 2 2 2 t t t t x f t x x , t . t t t t + ổ + ử ổ + ử - ữ ữ ỗ ỗ = ị = + = + = ạ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ố ứ ố ứ - - - - Th li thy ỳng. Vy ( ) ( ) 2 2 3 3 2 2 x f x , x . x - = ạ - Nhn xột: Khi t t phi chỳ ý min giỏ tr x f x D t D ẻ è . Trong vớ d trờn, nu hm Ă Ă f : đ thỡ cú vụ s hm f dng ( ) ( ) 2 2 3 3 2 2 2 x , x x f x a, x ỡ ù - ù ạ ù ù - = ớ ù ù = ù ù ợ . Vớ d 6. Tỡm hm ( ] ( ] Ă 1 0 1 f : ; ; -Ơ - ẩ đ tha ( ) 2 2 1 1 1 f x x x x , x . - - = + - Gii t ( ) 2 2 2 2 0 1 1 1 x t t x x x x t x x t ỡ - ù ù ù = - - - = - ớ ù - = - ù ù ợ 2 1 2 x t t x t ỡ ù ù ù ù ớ + ù = ù ù ù ợ . H cú nghim x 2 1 1 0 1 2 t t t t t ộ Ê - + ờ ờ < Ê ờ ở ( ] ( ] 1 0 1 t ; ; ị ẻ -Ơ - ẩ . Vy min giỏ tr ( ] ( ] 1 1 0 1 f x t D ; ; = = -Ơ - ẩ . Vi ( ) 2 2 1 1 1 1t x x x x f t t t = - - ị + - = ị = . Th li thy ỳng. Vy ( ) 1 f x . x = Giỏo viờn: Nguyn Tn t 4 Vớ d 7. Cho hm s ( ) Ă 0 f : ; +Ơ đ tha ( ) 4 4 1 2 0 4 f tan x tan x , x ; . tan x ổ ử ữ ỗ = + " ẻ ữ ỗ ữ ố ứ Chng minh ( ) ( ) f sin x f cos x , x ; ổ ử ữ ỗ + " ẻ ữ ỗ ữ ố ứ 196 0 2 Gii t 2 0 t tan x, t = > 2 2 2 1 1 tan x t tan x t tan x tan x ị = ị = - - 2 2 4 2 2 2 4 4 1 4 1 2 2 2 tan x tan x t tan x t tan x ổ ử ữ ỗ ị = + - ị + = + + ữ ỗ ữ ỗ ố ứ Khi ú: 4 4 2 4 16 16 1 2 tan x t t tan x + + = + Hm s tr thnh ( ) 4 2 16 16 2 0 f t , t . t t = + + > Nh vy ( ) ( ) 4 4 2 2 16 16 16 16 4 f sin x f cosx sin x co s x sin x co s x + = + + + + ( ) ( ) 2 2 2 2 2 8 4 16 16 4 16 16 4 2 2 16 8 16 4 4 196 f sin x f cosx . sin x cos x sin x sin x cos x sin x . . ị + + + = + + + + = ng thc xy ra khi 4 x . = Vớ d 8. Tỡm hm s ( ) f x tha ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 cos , , 1 0 1 2 2 f x y f x y f x y x y f f p ỡ + + - = " ù ớ ổ ử = = ỗ ữ ù ố ứ ợ Gii Trong (1) cho 0, x y t = = , ta cú: ( ) ( ) 2cos f t f t t + - = (3) Trong (1) cho , 2 2 x t y p p = + = , ta cú: ( ) ( ) 0 f t f t p + + = (4) Trong (1) cho , 2 2 x y t p p = = + , ta cú: ( ) ( ) 2sin f t f t t p + + - = - (5) Cng hai v ca (3) v (4) ri tr cho (5), ta c: ( ) cos sin f t t t = + (6) Th li ta thy hm s xỏc nh (6) tha iu kin. Vớ d 9. Tỡm hm s ( ) f x xỏc nh vi mi x tha ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 4 , , 1 1 2 2 x y f x y x y f x y xy x y x y f ỡ - + - + - = - " ù ớ = ù ợ Gii Trong (1) thay 1, x t y t = + = : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 4 4 2 2 1 2 1 2 1 1 f t t t t f t t t + = + + + + = + + + T ú suy ra: ( ) ( ) ( ) 2 3 1 3 f x x x x x= + = + Giỏo viờn: Nguyn Tn t 5 Th li ta thy hm s xỏc nh (3) tha yờu cu. Vớ d 10. Tỡm : đ Ă Ă f sao cho: 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 4 .( ), ,x y f x y x y f x y xy x y x y - + - + - = - " ẻ Ă Gii t 2 2 u v x u x y v x y u v y + ỡ = ù = + ỡ ù ị ớ ớ = - - ợ ù = ù ợ 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , 0 f u f v vf u uf v u v uv u v u v u v ị - = - ị - = - " ạ Cho v = 1 ta cú: 2 2 ( ) (1) 1 , 0 1 f u f u u u - = - " ạ 3 ( ) , 0 f u u au u ị = + " ạ (a = f(1) 1) Cho x = y = 0 ta cú 2f(0) = 0 do ú f(0) = 0 Kt lun 3 ( ) ,f x x ax x = + " ẻ Ă Vớ d 11. Tỡm hm ( ) ( ) 0 0 f : ; ; +Ơ đ +Ơ tha ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 xf xf y f f y , x; y ; . = " ẻ +Ơ Gii Cho 1 y = , ta cú ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 xf xf f f = . Cho ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 x f f f = ị = . ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1xf xf f xf x ị = ị = . t ( ) 1 t x.f = ( ) ( ) ( ) 1 1 f a f t ,a f t t ị = = = . Vỡ ( ) ( ) 1 0 f ; ẻ +Ơ nờn min giỏ tr ( ) ( ) 0 0 x ; t ; ẻ +Ơ ẻ +Ơ . Vy ( ) a f x x = . Th li tha yờu cu. BI TP Bi 1. Tỡm hm s f(x) bit Ă 2 f(x + 1) = x + 2x + 3, x . ẻ Gii t t = x + 1. Gii ra x = t 1 ri th vo phng trỡnh ó cho ta c: 2 2 2 f(t) = g(t - 1) = (t -1) + 2(t - 1) + 3 = t + 2 f(x) = x + 2 ị Th li ta thy f(x) tho yờu cu bi toỏn. Vy hm s cn tỡm l: f(x) = x 2 + 2. Bi 2. Xỏc nh f(x) khi bit: a) 3 1 1 2 2 x x f x x + + ổ ử = ỗ ữ + + ố ứ ( 1, 2 x x " ạ ạ - ) b) ( ) sin 3 f x x = - Gii a) t 3 1 2 1 ( 3) 2 3 x t t x t x t + - = ị = ạ + - 1 2 2 3 4 x t x t + + ị = + - ( ) 2 3 4 t f t t + ị = - Vy f(x) = 2 3 4 x x + - . Giỏo viờn: Nguyn Tn t 6 b) t sin arcsin t x x t = ị = Do ú: f(t) = arcsin t 3 f(x) = arcsinx 3. Bi 3. Tỡm hm { } Ă Ă 2 3 3 f : \ ; đ tha 3 1 1 2 1 2 1 x x f , x ; x . x x ổ ử - + ữ ỗ = ạ - ạ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ + - Gii t 3 1 2 x t x - = + . Min giỏ tr { } Ă 2 1 2 3 3 x ; t \ ; ạ- = 2 1 3 t x t + ị = - . Khi ú ( ) 4 3 2 t f t t + = - . Th li tha yờu cu bi. Vy ( ) 4 3 2 x f x . x + = - Bi 4. Tỡm hm f(x) nu bit: a) 2 2 2 , 0. a a f x x x x x ổ ử + = + " ạ ỗ ữ ố ứ b) ( ) 2 1 1 , 1. f x x x + = + " - c) 2 1 1 1 f x x ổ ử + = - ỗ ữ ố ứ Gii a) t 2 2 2 2 2 a a t x x t a x x = + ị + = - , 0 x " ạ Do ú: ( ) 2 2 f t t a = - . Vy: ( ) 2 2 f x x a = - . b) t ( ) 2 2 2 2 1 1 1 , 1 t x x t x t x = + ị = - ị = - - Do ú: ( ) ( ) 2 2 2 4 2 1 1 1 2 2 f t x t t t = + = + - = - + Vy ( ) 4 2 2 2 f x x x = - + c) t 1 , 0 t x x x = + ạ 1 , 1. 1 x t t ị = ạ - Do ú ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 1 1 t t f t t t - + = - = - - . Vy ( ) ( ) 2 2 2 1 x x f x x - + = - . Bi 5. Tỡm hm s f(x) bit 2 f(cosx) = sin x + 2 . (1) Gii Nu t t = cosx gii phng trỡnh ny vi n x s cho ta nghim phc tp vỡ vy ta bin i: sin 2 x = 1 cos 2 x . Ta a (1) v dng f(cosx) = 3 cos 2 x ị f(x) = 3 x 2 ; x ẻ [-1;1]. Th li thy f(x) tho yờu cu bi toỏn. Vy f(x) = f(x) = 3 x 2 l hm s cn tỡm. Bi 6. Tỡm tt c cỏc hm s ( ) f x ly giỏ tr nguyờn v xỏc nh trờn tp hp cỏc s nguyờn sao cho ( ) ( ) ( ) 3 2 f x f f x x - = vi mi s nguyờn x . Gii Hm s ( ) f x x = tha món iu kin ca bi toỏn. Giỏo viờn: Nguyn Tn t 7 Cho ( ) f x l mt hm s tha iu kin bi. t ( ) ( ) g x f x x = - Khi ú ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 2 f x f f x x f x f f x f x x g f x g x - = - = - = T ú ta c: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 n n g x g f x g f f x g f f f x ổ ử ỗ ữ = = = = ỗ ữ ố ứ 1442443 Vỡ ( ) ( ) ( ) n g f f f x ổ ử ỗ ữ ẻ ỗ ữ ố ứ  1442443 nờn ( ) 2 , , n g x n x " " ẻ M  . iu ny ch xy ra khi ( ) 0 g x = . Vy ( ) f x x = l nghim duy nht ca bi toỏn. Bi 7. Tỡm hm f(x) bit: a/ 3 2 2, 1. 1 x f x x x - ổ ử = + ạ ỗ ữ - ố ứ b/ ( ) cos cos3 , . f x x x Ă = ẻ c/ 3 3 1 1 , 0. f x x x x x ổ ử - = - ạ ỗ ữ ố ứ d/ 2 1 1 f x x . x ổ ử ữ ỗ = + + ữ ỗ ữ ỗ ố ứ Bi 8. Tỡm 1 0 x f ,x x ổ + ử ữ ỗ ạ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ bit 2 2 1 1 f x . x ổ ử ữ ỗ = - ữ ỗ ữ ỗ ố ứ + Bi 9. Tỡm hm f(x) bit 4 2 2 1 . 1 x x f x x + ổ ử = ỗ ữ + ố ứ DNG 2: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 a x f u x b x f v x w x + = T phng trỡnh (1), t n ph ( ) ( ) = u x v t thu thờm mt phng trỡnh ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 a x f u x b x f v x w x    + = Kt hp (1) v (2), ta gii h tỡm ( ) ( ) f u x hoc ( ) ( ) f v x ri tr li dng trờn. Vớ d 1. Tỡm hm s f(x) bit 1 1 2 , 0,1. - ổ ử ổ ử + = ạ ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ x f f x x x x (1) Gii t 1 1 1 - = ị = - x t x x t t , ( t ạ 0,1) Thỡ (1) 1 1 2 1 t t f f t t t - ổ ử ổ ử + = ỗ ữ ỗ ữ - ố ứ ố ứ , t ạ 0,1 (2) T (1) v (2) ta c h: 1 1 2 1 1 1 2 x x f f x x x x f f x x x ỡ - ổ ử ổ ử + = ỗ ữ ỗ ữ ù - ù ố ứ ố ứ ớ - ổ ử ổ ử ù + = ỗ ữ ỗ ữ ù ố ứ ố ứ ợ Gii h trờn ta c ( ) ( ) 2 1 2 3 2 3 3( 1) 3 1 x x x f f x x x x x - - ổ ử = ị = ỗ ữ - - ố ứ Giáo viên: Nguyễn Tấn Đạt 8 Thử lại thấy f(x) thoả yêu cầu đề bài. Vậy hàm số cần tìm là ( ) ( ) 2 3 3 1 x f x x x - = - . Ví dụ 2. Tìm tất cả các hàm f(x) thoả: a) x x f f x, x , x x x æ ö æ + ö - ÷ ÷ ç ç + = ¹ ¹ - ÷ ÷ ç ç ÷ ç ÷ ç è ø è ø - + 1 2 2 2 1 2 1 . b) ( ) x f x f x, x x æ - ö ÷ ç - + = - ¹ ÷ ç ÷ ç è ø - 1 1 1 3 1 2 1 2 2 . Giải a) ( ) 1 2 2 2 1 1 2 1 x x f f x, x , x x x æ ö æ + ö - ÷ ÷ ç ç + = ¹ ¹ - ÷ ÷ ç ç ÷ ç ÷ ç è ø è ø - + Cách 1: Đặt 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 2 x t x t x t, t , t , t x t x t + - - + = Þ = - ¹ - Þ = ¹ - ¹ - + + - ( ) 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 t t x x f f t f f x, x , x t t x x æ ö æ ö - æ + ö - æ + ö ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç Þ + = - Þ + = - ¹ - ¹ ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø è ø è ø + - + - Từ (1) và (2): ( ) ( ) 1 2 2 2 1 2 1 4 5 1 3 3 1 1 2 2 1 2 1 x x f f x x x x x f x f x x x x x f f x x x ì æ ö æ + ö - ï ÷ ÷ ï ç ç + = ÷ ÷ ï ç ç ÷ ç ÷ ç è ø è øï æ ö - + - + ï ÷ ç Þ = - Þ = í ÷ ç ÷ ç ï è ø æ ö + - æ + ö - ï ÷ ÷ ç ç + = - ï ÷ ÷ ç ç ÷ ç ÷ ç ï è ø è ø - + ï î Cách 2: Đặt ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 x t t x x t x t + + = ¹ Þ = ¹ - - ( ) ( ) 1 2 1 2 1 1 t f t f t t t æ ö + ÷ ç Þ + = ¹ ÷ ç ÷ ç è ø - . Đặt ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 1 2 0 0 2 1 1 1 u u u t t u f f u t u u u u + æ ö + ÷ ç = ¹ Þ = ¹ Þ + = = ÷ ç ÷ ç è ø - - Ta có hệ: ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 4 5 1 1 2 3 3 2 1 x f x f x x x f x x x f f x x x ì æ ö + ï ÷ ï ç + = ÷ ï ç ÷ ç è ø ï + - ï Þ = í ï æ ö + - + ï ÷ ç + = ï ÷ ç ÷ ç ï è ø - ï î b) ( ) x f x f x x æ - ö ÷ ç - + = - ÷ ç ÷ ç è ø - 1 1 3 1 2 1 2 (1) Đặt 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 x y y y x x x y y - - = - Þ = Þ - = - - - 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 x y y y x x x y y - - Þ = - Þ = Þ - = - - - 1 1 1 1 1 1 3 ( 1) , 3 ( 1) , 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 y x f f y y f f x x y y x x æ ö - - - - æ ö Þ - - = " ¹ Þ - - = " ¹ ç ÷ ç ÷ - - - - è ø è ø Giáo viên: Nguyễn Tấn Đạt 9 1 1 ( 1) 3 1 2 , 1 2 2 3 8 ( 1) 1 2 1 2 1 1 1 3 ( 1) , 1 2 2 1 2 1 3 1 1 3 1 ( 1) 1 2 , ( ) 1 2 , 8 2 1 2 8 2 1 2 x f x f x x x f x x x x f f x x x x f x x x f x x x x x ì - æ ö - - = - " ¹ ç ÷ ï - ï è ø Þ Þ - - = - + í - - - æ ö ï Þ - - = " ¹ ç ÷ ï - - è ø î æ ö æ ö Þ - = - + + " ¹ Þ = + + " ¹ ç ÷ ç ÷ - + è ø è ø Ví dụ 3. Tìm tất cả các hàm f(x) thoả mãn điều kiện: ( ) 3 3 , 1. 1 1 1 x x f f x x x x - + æ ö æ ö + = ¹ ç ÷ ç ÷ + - è ø è ø Giải Cách 1: Đặt 3 3 3 3 , 1 1 1 1 1 + - + - = Þ = Þ = ¹ ± - + - + x t t x x t t x t t x ( ) ( ) ( ) 3 3 1 , 1 2 1 1 t t f t f t t t - + æ ö Þ + = ¹ ç ÷ + - è ø Đặt 3 3 3 3 , 1 1 1 1 1 - + + - = Þ = Þ = ¹ ± + - - + t u t u u t u t u t u ( ) ( ) ( ) 3 3 2 , 1 3 1 1 u u f f u u u u + - æ ö Þ + = ¹ ç ÷ - + è ø Từ (2) và (3): 2 2 3 3 3 3 2 6 1 1 1 1 1 x x x x x f f x x x x x - + + - + æ ö æ ö - = - = ç ÷ ç ÷ + - - + - è ø è ø (4) Từ (1) và (4), ta có: 2 2 2 2 3 3 2 6 1 1 1 3 3 1 1 2 3 3 1 1 x x x f f x x x x x x f x x x x f f x x x ì - + + æ ö æ ö - = ç ÷ ç ÷ ï + - - - + ï è ø è ø æ ö Þ = + í ç ÷ + - - + è ø æ ö æ ö ï + = ç ÷ ç ÷ ï + - è ø è ø î Giải hệ trên ta được: ( ) 2 4 1 2 x x f x x = - - Cách 2: Đặt 3 1 x t x - = + 3 1 t x t + Þ = - 3 3 1 1 x t x t + - Þ = - + (1) ( ) 3 3 1 1 t t f t f t t - + æ ö Û + = ç ÷ + - è ø (2) Đặt 3 1 t u t - = + 3 1 u t u + Þ = - 3 3 1 1 t u t u + - Þ = - + (2) Û ( ) 3 3 1 1 u u f f u u u + - æ ö + = ç ÷ - + è ø (3) Kết hợp (2) và (3) ta có hệ: ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 1 1 3 3 3 3 2 6 4 1 1 1 1 1 3 3 1 1 x x f x f x x x x x x x f f x x x x x x x f f x x x ì - + æ ö + = ç ÷ ï + - - + + - + ï è ø æ ö æ ö Þ - = - = í ç ÷ ç ÷ + - - + - + - è ø è ø æ ö ï + = ç ÷ ï - + è ø î Từ (1) và (4), ta có: Giỏo viờn: Nguyn Tn t 10 2 2 2 2 3 3 2 6 1 1 1 3 3 1 1 2 3 3 1 1 x x x f f x x x x x x f x x x x f f x x x ỡ - + + ổ ử ổ ử - = ỗ ữ ỗ ữ ù + - - - + ù ố ứ ố ứ ổ ử ị = + ớ ỗ ữ + - - + ố ứ ổ ử ổ ử ù + = ỗ ữ ỗ ữ ù + - ố ứ ố ứ ợ Gii h trờn ta c: ( ) 2 4 1 2 x x f x x = - - . Th li thy f(x) tho yờu cu bi toỏn. Vy hm s cn tỡm l ( ) 2 4 1 2 x x f x x = - - . Vớ d 4. Tỡm tt c cỏc hm f(x) tho: ( ) 1 1 1 , 0. 1 f x f x x x x ổ ử + = + - ạ ỗ ữ - ố ứ Gii t 1 1 1 - = ị = - t t x x t . Theo bi: ( ) ( ) 2 1 1 3 1 1 1 1 t t t t t f f t t t t t t - - - + ổ ử + = + - = ỗ ữ - - ố ứ ( ) ( ) 2 1 3 1 1 x x x f f x x x x - - + ổ ử ị + = ỗ ữ - ố ứ Ly phng trỡnh ó cho tr phng trỡnh ny, ta c: 1 1 1 . 1 1 x f f x x x x - ổ ử ổ ử - = - ỗ ữ ỗ ữ - - ố ứ ố ứ t 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 t x t x x x t x t x x - - = ị = ị = = = - - - - - . Th vo phng trỡnh trờn, ta c: ( ) 1 1 1 1 f t f t t t ổ ử - = - + - ỗ ữ - ố ứ Ta cú h: ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 f x f x x x f x f x x x ỡ ổ ử + = + - ỗ ữ ù - ù ố ứ ớ ổ ử ù - = - + - ỗ ữ ù - ố ứ ợ . Gii h: ( ) 1 . x f x x - = BI TP Bi 1. Tỡm tt c cỏc hm f(x) tho món iu kin: ( ) 1 2 , 0. f x f x x x ổ ử + = ạ ỗ ữ ố ứ Gii t 1 1 = ị = t x x t , ta c: ( ) 1 1 2f f t t t ổ ử + = ỗ ữ ố ứ . Ta cú h ( ) ( ) 1 2 1 1 2 f x f x x f x f x x ỡ ổ ử + = ỗ ữ ù ù ố ứ ớ ổ ử ù + = ỗ ữ ù ố ứ ợ Gii h, ta c: ( ) 2 2 . 3 x f x x - = Bi 2. Tỡm hm s :f đ Ă Ă tha ( ) ( ) 2 ,f x x f x x = + - " ẻ Ă . Gii Khụng tn ti vỡ ( ) ( ) 2 f x f x x - - = . V trỏi l hm chn, v phi l hm s l. Bi 3. Tỡm tt c cỏc hm f v g tho món cỏc phng trỡnh: ( ) ( ) 2 1 2 2 1 2 f x g x x + + + = v 1 1 x x f g x x x ổ ử ổ ử + = ỗ ữ ỗ ữ - - ố ứ ố ứ . Tấn Đạt 8 Thử lại thấy f(x) thoả yêu cầu đề bài. Vậy hàm số cần tìm là ( ) ( ) 2 3 3 1 x f x x x - = - . Ví dụ 2. Tìm tất cả các hàm f(x) thoả: a) x x f f x, x , x x x æ ö æ + ö - ÷ ÷ ç ç +. ç ÷ - + è ø è ø Ví dụ 3. Tìm tất cả các hàm f(x) thoả mãn điều kiện: ( ) 3 3 , 1. 1 1 1 x x f f x x x x - + æ ö æ ö + = ¹ ç ÷ ç ÷ + - è ø è ø Giải Cách 1: Đặt 3 3 3 3 , 1 1 1 1 1 + -. 3. Tìm các hàm số ( ) ( ) , f x g x xác định với mọi x thỏa: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 6 2 2 15 , 1 2 2 5 4 2 2 x f x g x x f g x x + ì + + + = ï ï í + æ ö ï + + = + ç ÷ ï è ø î Giải Đặt 2 6