phương pháp giải tích của hàm tổng

Góp nhặt trên onluyentoan.vn 1 Nội dung 1.1 Bài toán 1 Tính tích phân I = b  a f (x) dx Phương pháp giải  Phân tích f (x) = k 1 f 1 (x) ± k 2 f 2 (x) ± ··· ± k n f n (x) Trong đó: k i ∈ R ∗ và f i (x)  i = 1; n  là các hàm số có thể lấy nguyên hàm bằng các phương pháp quen thuộc như đổi biến số hoặc từng phần.  Ta viết: I = b  a f (x) dx = k 1 b  a f 1 (x)dx ± k 2 b  a f 2 (x) dx ± ··· ± k n b  a f n (x) dx Dấu hiệu  Biểu thức dưới dấu tích phân xuất hiện với nhiều loại hàm số khác nhau. Ví dụ 1 (D-05)Tính tích phân I = π 2  0  e sin x + cos x  cos xdx Giải • Phân tích  e sin x + cos x  cos x = e sin x cos x + cos 2 x = e sin x cos x + 1 + cos 2x 2 • Khi đó: I = π 2  0 e sin x cos xdx + π 2  0  1 2 + 1 2 cos 2x  dx • Vậy I = e sin x    π 2 0 + 1 2  x + sin 2x 2     π 2 0 = (e − 1) + 1 2  π 2 − 0  = e + π 4 − 1 Gv: Nguyễn Anh Tuấn Trang 1 Trường THPT Lê Quảng Chí Góp nhặt trên onluyentoan.vn • Đáp số I = e + π 4 − 1 Ví dụ 2 (A-09)Tính tích phân I = π 2  0  cos 3 x − 1  cos 2 xdx Giải • Phân tích  cos 3 x − 1  cos 2 x = cos 4 x. cos x − cos 2 x =  1 − sin 2 x  2 . cos x − 1 + cos 2x 2 • Khi đó: I = π 2  0   1 − sin 2 x  2 . cos x − 1 + cos 2x 2  dx = π 2  0  1 − sin 2 x  2 . cos xdx − π 2  0 1 + cos 2x 2 dx =  sin x − 2 3 sin 3 x + 1 5 sin 5 x     π 2 0 − 1 2  x + sin 2x 2     π 2 0 = 1 − 2 3 + 1 5 − π 4 = 8 15 − π 4 • Đáp số I = 8 15 − π 4 Ví dụ 3 Tính tích phân I = e  1  e x + (1 + ln 2 x) √ ln x x 2  xdx Giải • Phân tích  e x + (1 + ln 2 x) √ ln x x 2  x = e x .x + (1 + ln 2 x). √ ln x x Gv: Nguyễn Anh Tuấn Trang 2 Trường THPT Lê Quảng Chí Góp nhặt trên onluyentoan.vn • Ta có: I 1 = e  1 e x .xdx = (e x .x)    e 1 −  e 1 e x dx = e.e e − e − e x    e 1 = e.e e − e − (e e − e) = e e (e − 1) I 2 = e  1 (1 + ln 2 x). √ ln x x dx = 1  0 2  1 + t 4  t 2 dt = 2 1  0  t 2 + t 6  dt = 2  t 3 3 + t 7 7     1 0 = 2  1 3 + 1 7  = 20 21 • Vậy I = I 1 + I 2 = e e (e − 1) + 20 21 • Đáp số I = e e (e − 1) + 20 21 Ví dụ 4 Tính tích phân I = 3  1 1 + x(2 ln x − 1) x(x + 1) 2 dx Giải • Phân tích 1 + x(2 ln x − 1) x(x + 1) 2 = 1 x(x + 1) 2 + 2 ln x (x + 1) 2 − 1 (x + 1) 2 = 1 x(x + 1) − 2 (x + 1) 2 + 2 ln x (x + 1) 2 • Vậy I = 3  1 1 x(x + 1) dx − 2 3  1 1 (x + 1) 2 dx + 2 3  1 ln x (x + 1) 2 dx = I 1 − 2I 2 + 2I 3 • I 1 = 3  1 1 x(x + 1) dx = 3  1  1 x − 1 x + 1  dx = ln     x x + 1          3 1 = ln 3 4 − ln 1 2 = ln 3 2 • I 2 = 3  1 1 (x + 1) 2 dx = −  1 x + 1     3 1 = − 1 4 + 1 2 = 1 4 Gv: Nguyễn Anh Tuấn Trang 3 Trường THPT Lê Quảng Chí Góp nhặt trên onluyentoan.vn • I 3 = 3  1 ln x (x + 1) 2 dx = −  ln x x + 1     3 1 + 3  1 1 x(x + 1) dx = − ln 3 4 +I 1 = 3 4 ln 3−ln 2 • Do đó: I = ln 3 2 − 1 2 + 3 2 ln 3 − 2 ln 2 = − 1 2 + 5 2 ln 3 − 3 ln 2. • Đáp số: I = − 1 2 + 5 2 ln 3 − 3 ln 2 1.2 Bài toán 2 Tính tích phân I = b  a f (x) g (x) dx Phương pháp 1  Phân tích: f (x) g (x) = k (x) + h (x) g (x)  Khi đó: I = b  a f (x) g (x) dx = b  a  k (x) + h (x) g (x)  dx = b  a k (x) dx + b  a h (x) g (x) dx Nhận xét Ví dụ 5(A-2010) Tính tích phân I = 2  0 x 2 + e x + 2x 2 e x 1 + 2e x dx Giải • Phân tích: x 2 + e x + 2x 2 e x = x 2 (1 + 2e x ) + e x • Khi đó: I = 2  0  x 2 + e x 1 + 2e x  dx = x 3 3    2 0 + 1 2 2  0 d(1 + 2e x ) 1 + 2e x = 8 3 + 1 2 ln |1 + 2e x |    2 0 = 8 3 + 1 2 ln 1 + 2e 2 3 Gv: Nguyễn Anh Tuấn Trang 4 Trường THPT Lê Quảng Chí Góp nhặt trên onluyentoan.vn • Đáp số I = 8 3 + 1 2 ln 1 + 2e 2 3 Ví dụ 6 Tính tích phân I = 1  0 1 + (2 + x)xe 2x 1 + xe x dx Giải • Viết lại tích phân cần tính như sau: I = 1  0 (xe x + 1) 2 + 2e x (xe x + 1) − 2e x (x + 1) 1 + xe x dx = 1  0 (xe x + 1 + 2e x )dx − 2 1  0 e x (x + 1) 1 + xe x dx = (x + 2e x )     1 0 + 1  0 xd(e x ) − 2 1  0 d(1 + xe x ) 1 + xe x = 2e − 1 + xe x     1 0 − 1  0 e x dx − 2 ln |1 + xe x |     1 0 = 2e − 2 ln(e + 1) • Đáp số: I = 2e −2 ln(e + 1) Gv: Nguyễn Anh Tuấn Trang 5 Trường THPT Lê Quảng Chí Góp nhặt trên onluyentoan.vn Phương pháp 2  Phân tích: f (x) g (x) = g ′ (x) g (x) + f (x) − g ′ (x) g (x)  Khi đó: I = b  a f (x) g (x) dx = b  a g ′ (x) g (x) dx + b  a f (x) − g ′ (x) g (x) dx Nhận xét Quy trình giải toán cho phương pháp 2  Chọn g(x) và tính g ′ (x).  Xác định f (x) − g ′ (x).  Viết tích phân cần tính dưới dạng: I = b  a f (x) g (x) dx = b  a g ′ (x) g (x) dx + b  a f (x) − g ′ (x) g (x) dx  Tính tích phân: I 1 = b  a g ′ (x) g (x) dx = ln |g(x)|    b a = ln |g(b)| − ln |g(a)| = ln    g(b) g(a)     Tính tích phân: I 2 = b  a f (x) − g ′ (x) g (x) dx  Vậy: I = I 1 + I 2 .  Gv: Nguyễn Anh Tuấn Trang 6 Trường THPT Lê Quảng Chí Góp nhặt trên onluyentoan.vn Ví dụ 7(A-2011) Tính tích phân I = π 4  0 x sin x + (x + 1) cos x x sin x + cos x dx Giải Lời giải 1 • Phân tích: x sin x + (x + 1) cos x = (x sin x + cos x) + x cos x • Khi đó, ta có: I = π 4  0 dx + π 4  0 x cos x x sin x + cos x dx = x    π 4 0 + ln |x sin x + cos x|    π 4 0 = π 4 + ln    √ 2π 8 + √ 2 2    • Đáp số: I = π 4 + ln  √ 2π 8 + √ 2 2  Lời giải 2 • Đặt f(x) = x sin x + (x + 1) cos x g(x) = x sin x + cos x • Ta có: g ′ (x) = (x sin x + cos x) ′ = sin x + x cos x − sin x = x cos x • Và f(x) − g ′ (x) = x sin x + (x + 1) cos x − x cos x = x sin x + cos x • Khi đó, tích phân cần tính được viết lại như sau: I = π 4  0  x cos x x sin x + cos x + x sin x + cos x x sin x + cos x  dx = π 4  0 x cos x x sin x + cos x dx + π 4  0 dx = π 4 + ln  √ 2π 8 + √ 2 2  Gv: Nguyễn Anh Tuấn Trang 7 Trường THPT Lê Quảng Chí Góp nhặt trên onluyentoan.vn Ví dụ 8 Tính tích phân I = 1  0 3xe x + e x + 2 xe x + 1 dx Giải • Ta có: (xe x + 1) ′ = e x + x.e x • Khi đó, tích phân cần tính được viết lại như sau: I = 1  0  e x + xe x xe x + 1 + 3xe x + e x + 2 − e x − xe x xe x + 1  dx = 1  0  e x + xe x xe x + 1 + 2  dx = ln |xe x + 1|    1 0 + 2x    1 0 = ln(e + 1) + 2. • Đáp số: I = ln(e + 1) + 2 Ví dụ 9 Tính tích phân I = 2  1 (x + 2)(1 + 2xe x ) + 1 x(1 + xe x ) dx. Giải • Ta có: [x(1 + xe x )] ′ = 1 + 2xe x + x 2 e x • Suy ra: (x+2)(1+2xe x )+1−(1+2xe x +x 2 e x ) = x 2 e x +2xe x +x+2 = (1+xe x )(x+2) • Vậy I = 2  1 1 + 2xe x + x 2 e x x(1 + xe x ) dx + 2  1 x + 2 x dx = ln |x(1 + xe x )|    2 1 + (x + 2 ln |x|)    2 1 = ln(2 + 4e 2 ) − ln(1 + e) + 1 + 2 ln 2 = ln 8 + 16e 2 1 + e + 1 Gv: Nguyễn Anh Tuấn Trang 8 Trường THPT Lê Quảng Chí Góp nhặt trên onluyentoan.vn • Đáp số: I = ln 8 + 16e 2 1 + e + 1 Ví dụ 10 Tính tích phân I = e 2  e 2 + (2 + ln 2 x) ln x x 2 . ln 2 x dx Giải • Đặt f(x) = 2 + (2 + ln 2 x) ln x g(x) = x ln x • Ta có: g ′ (x) = (x ln x) ′ = ln x + 1 • Khi đó: f(x) −g ′ (x) = 2 + (2 + ln 2 x) ln x − ln x − 1 = ln 3 x + ln x + 1 • Vậy: I = e 2  e  ln x + 1 x 2 ln 2 x + ln 3 x + ln x + 1 x 2 ln 2 x  dx = 2 e 2  e ln x + 1 x 2 ln 2 x dx + e 2  e ln x x 2 dx = 2I 1 + I 2 • Với I 1 = e 2  e ln x + 1 x 2 ln 2 x dx = 2e 2  e du u 2 = − 1 u    2e 2 e = 1 e − 1 2e 2 = 2 e − 1 2e 2 • Với I 2 = e 2  e ln x x 2 dx = − ln x x    e 2 e + e 2  e 1 x 2 dx = −  ln e 2 e 2 − 1 e  − 1 x    e 2 e = 1 e − 2 e 2 + 1 e − 1 e 2 = 2e − 3 e 2 • Vậy: I = 2. 2e − 1 2e 2 + 2e − 3 e 2 = 4e − 4 e 2 • Đáp số: I = 4e − 4 e 2 Gv: Nguyễn Anh Tuấn Trang 9 Trường THPT Lê Quảng Chí Góp nhặt trên onluyentoan.vn Ví dụ 11 Tính tích phân I = e  1 (x 3 + 1) ln x + 2x 2 + 1 2 + x ln x dx Giải • Ta có: (2 + x ln x) ′ = 1 + ln x • Khi đó: (x 3 + 1) ln x + 2x 2 + 1 − 1 − ln x = x 3 ln x + 2x 2 = x 2 (x ln x + 2) • Do đó: I = e  1 1 + ln x 2 + x ln x dx + e  1 x 2 dx = ln |2 + x ln x|    e 1 + x 3 3    e 1 = ln(e + 2) − ln 2 + e 3 − 1 3 = ln e + 2 2 + e 3 − 1 3 • Đáp số: I = ln e + 2 2 + e 3 − 1 3 Ví dụ 12 Tính tích phân I = π 2  0 (x 2 − 1) sin 2 x + x (cos x + sin 2x) + 1 x sin x + cos x dx Giải • Xét (x sin x + cos x) ′ = sin x + x cos x − sin x = x cos x • Khi đó, ta có: (x 2 − 1) sin 2 x + x(cos x + sin 2x) + 1 − x cos x = (x 2 − 1) sin 2 x + x sin 2x + 1 = x 2 sin 2 x + 2x sin x cos x + cos 2 x = (x sin x + cos x) 2 Gv: Nguyễn Anh Tuấn Trang 10 Trường THPT Lê Quảng Chí [...]... số : I = e − 3 ln(1 + ee+1 ) Gv: Nguyễn Anh Tuấn Trang 13 Trường THPT Lê Quảng Chí Góp nhặt trên onluyentoan.vn 2 Tài liệu tham khảo 1 Trần Văn Hạo, 2008 Giải tích 12, NXB Giáo Dục, Hà Nội 2 Trần Phương, 2006 Tuyển tập các chuyên đề và kỹ thuật tính tích phân, NXB Tri Thức, Hà Nội 3 Nguyễn Hữu Điển, 2001 LATEX tra cứu và soạn thảo, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội, Hà Nội 4 Tạp chí Toán học và tuổi trẻ 5... Ví dụ 13 Tính tích phân ln ∫2 I= 0 (x2 + 2)e2x + x2 (1 − ex ) − ex dx e2x − ex + 1 Giải • Xét (e2x − ex + 1)′ = 2e2x − ex • Khi đó: (x2 + 2)e2x + x2 (1 − ex ) − ex − (2e2x − ex ) = x2 e2x + x2 (1 − ex ) = x2 (e2x − ex + 1) • Do đó: ln ln ∫2 ∫2 2e2x − ex I= dx + x2 dx = ln |e2x − ex + 1| e2x − ex + 1 0 ln 2 0 x3 + 3 ln 2 0 ln3 2 = ln 3 + 3 0 • Đáp số: I = ln 3 + ln3 2 3 Ví dụ 14 Tính tích phân ∫e I=... = ln + − + ln 4(2 + ln 2) ln 2 2 e 2 + ln 2 e2 (e + 1)2 1 1 = ln + − 2 4 ln 2 (2 + ln 2) 2 e e = ln • Đáp số: I = ln 2 e2 (e + 1)2 1 1 + − (2 + ln 2)2 4 ln 2 2 e Ví dụ 15 Tính tích phân ∫e I= 1 − x(ex − 1) dx x(1 + xex ln x) 1 Giải • Đặt f (x) = 1 − x(ex − 1) g(x) = x(1 + xex ln x) Gv: Nguyễn Anh Tuấn Trang 12 Trường THPT Lê Quảng Chí Góp nhặt trên onluyentoan.vn • Xét g ′ (x) = [x(1 + xex ln x)]′ =... x dx x2 (x + ln x) ln x 2 Giải Gv: Nguyễn Anh Tuấn Trang 11 Trường THPT Lê Quảng Chí Góp nhặt trên onluyentoan.vn • Đặt f (x) = x2 (4 ln x + 1) + (2x + 1) ln2 x + 4x ln x g(x) = x2 (x + ln x) ln x • Xét g ′ (x) = [x2 (x+ln x) ln x]′ = (x3 ln x+x2 ln2 x)′ = 3x2 ln x+x2 +2x ln2 x+2x ln x • Khi đó: f (x) − g ′ (x) = x2 ln x + ln2 x + 2x ln x = (x2 + ln x + 2x) ln x • Do đó, tích phân cần tính được viết . 1 Tính tích phân I = b  a f (x) dx Phương pháp giải  Phân tích f (x) = k 1 f 1 (x) ± k 2 f 2 (x) ± ··· ± k n f n (x) Trong đó: k i ∈ R ∗ và f i (x)  i = 1; n  là các hàm số có thể lấy nguyên hàm. thức dưới dấu tích phân xuất hiện với nhiều loại hàm số khác nhau. Ví dụ 1 (D-05)Tính tích phân I = π 2  0  e sin x + cos x  cos xdx Giải • Phân tích  e sin x + cos x  cos x = e sin x cos x. 3 ln 2. • Đáp số: I = − 1 2 + 5 2 ln 3 − 3 ln 2 1.2 Bài toán 2 Tính tích phân I = b  a f (x) g (x) dx Phương pháp 1  Phân tích: f (x) g (x) = k (x) + h (x) g (x)  Khi đó: I = b  a f (x) g