Tính toán dao động uốn tự do đối xứng của cầu treo dây võng 3 nhịp bằng phương pháp giải tích - số

Bài viết trình bày phương pháp giải tích - số để tính toán dao động uốn tự do của cầu treo dây võng ba nhịp sau đó so sánh với các phương pháp gần đúng khác.

CHÀO MỪNG NGÀY THÀNH LẬP TRƯỜNG 01/04/2015 TÍNH TỐN DAO ĐỘNG UỐN TỰ DO ĐỐI XỨNG CỦA CẦU TREO DÂY VÕNG NHỊP BẰNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH - SỐ CALCULATING THE SYMMETRIC FREE BENDING VIBRATION OF THREE SPANS SUSPENSION BRIDGE BY ANALYTICAL - NUMERICAL METHOD ThS LÊ TÙNG ANH Khoa Cơng trình, Trường ĐHHH Việt Nam Tóm tắt Ưu điểm bật cầu treo dây võng khả vượt nhịp lớn, nhiên lại dễ ổn định Tần số dao động tự đóng vai trò quan trọng việc tính tốn ổn định động lực học cơng trình cầu nói chung cầu treo dây võng nói riêng Trong báo này, tác giả trình bày phương pháp giải tích - số để tính tốn dao động uốn tự cầu treo dây võng ba nhịp sau so sánh với phương pháp gần khác Abstract Outstanding advantage of suspension bridge is the ability to large span, but it easily leads to instability The free vibration frequency plays an important role in the calculation of general bridges dynamic stability and particular suspension bridge In this paper, the author presents the analytical - numerical method to calculate the free bending vibration of three spans suspension bridge then compares with other approximate methods Key words: free vibration, frequency, suspension bridges, analytical - numerical method Đặt vấn đề Trong tính tốn ổn định động lực học cơng trình f cầu, vấn đề quan trọng tính tốn dao động tự cầu Trên sở l1,q1,J1 l1,q1,J1 tính tốn dao động l,q,Jz tự do, tránh Hình Sơ đồ cầu treo dây võng nhịp tượng cộng hưởng tác dụng đoàn tải trọng di động tính tốn tiếp dao động cưỡng cầu Hiện nay, để tính toán tần số dao động tự thường thực theo phương pháp gần Ritz, Rayleigh…, dự án lớn có điều kiện thí nghiệm mơ hình vật lý Trong phạm vi báo này, tác giả nghiên cứu áp dụng phương pháp giải tích - số để tính tốn tần số dao động uốn tự đối xứng cho cầu treo dây võng nhịp (hình 1) Phần cuối báo ví dụ tính tốn mơ số, áp dụng cho cơng trình cầu treo dây võng Sau so sánh với kết tính tốn phương pháp gần khác, từ rút độ tin cậy phương pháp chương trình tính Mơ hình tính tốn phương trình vi phân dao động uốn Khảo sát tiết diện ngang dầm cứng cầu treo dây võng (hình 2) B Hg Hg y Sg z Sg η(x,t) S1 S2 φ(x,t) Hình Chuyển vị thẳng xoay tiết diện dầm Tạp chí Khoa học Công nghệ Hàng hải Số 42 – 04/2015 121 CHÀO MỪNG NGÀY THÀNH LẬP TRƯỜNG 01/04/2015 Khi hệ dao động ngồi ngoại lực (như lực gió…) tiết diện chịu tác dụng phản lực đàn hồi từ treo S(x) Do tiết diện dầm thực chuyển vị góc  phản lực xuất bên thành dầm cứng khác (S1 ≠ S2) lực căng ngang động dây cáp khác Ở trạng thái tĩnh dây cáp đối xứng, lực căng ngang tĩnh dây kí hiệu Hg Khi hệ dao động, lực căng ngang động dây cáp H1d H2d Phương trình dao động uốn cầu treo dây võng [3] viết đầy đủ sau: EJ z   ( x, t ) x    ( x, t ) q   ( x, t ) P  2H g  y ( x ) H d  P 2 g t x (1) Trong đó: EJ z - Độ cứng chống uốn tiết diện; q - Trọng lượng đơn vị dài hệ (gồm dầm cáp treo); H g - Lực căng ngang tĩnh, H g  ql / f [6], [7]; H d - Lực căng ngang động trung bình, H d   H1d  H 2d  / ; P P P - Lực cưỡng tác dụng lên tiết diện;  ( x, t ) - Chuyển vị tiết diện; y( x) - Hàm biểu diễn hình dạng dây cáp trạng thái tĩnh với quan hệ: y( x)  q / H g Phương trình dao động uốn tự nhận P  : EJ z ( x, t ) x q g ( x, t ) t 2 ( x, t ) 2H g x q Hg P Hd (2) P Sử dụng phương pháp tách biến, đặt:  ( x , t )  X ( x )T (t ) H d  H d T (t ) (3) Thay biểu thức (2) vào (1) ta phương trình biên độ: EJ z X IV q X g 2H g X q Hg Hd (4) Phương trình (4) có nghiệm tổng qt dạng: X  C1 sin 2 x  C2 cos 2 x  C3sh1x  C4ch1x  đó: 1 , 2 - Các hệ số phụ thuộc 1      k ; 2 gH d (5)  Hg q ,  , H g , EJ z , xác định sau:      k ;k  q gEJ z ;  Hg EJ z Để xác định số tích phân Ci , trước tiên xét nhịp sau xét tất nhịp Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Hàng hải Số 42 – 04/2015 122 CHÀO MỪNG NGÀY THÀNH LẬP TRƯỜNG 01/04/2015 2.1 Nhịp Từ (5) ta có giá trị đạo hàm sau: X   2C1 cos 2 x  2C2 sin 2 x  1C3ch1x  1C4 sh1x 2 2 3 3 4 4 X   2 C1 sin 2 x  2 C2 cos 2 x  1 C3 sh1x  1 C4ch1x (6) X   2 C1 cos 2 x  2 C2 sin 2 x  1 C3ch1x  1 C4 sh1x X IV  2 C1 sin 2 x  2 C2 cos 2 x  1 C3sh1x  1 C4ch1x Sử dụng điều kiện biên: X (0) X    C2  C4  gH d  Hg X (0) X (l ) X (l ) ta có hệ phương trình sau: 0 X   0  2 C2  1 C4  2 (7) X  l   C1 sin 2l  C2 cos 2l  C3 sh1l  C4ch1l  gH d  Hg 0 X   l   2 C1 sin 2l  2 C2 cos 2l  1 C3 sh1l  1 C4ch1l  2 2 Từ (7) ta biểu diễn số tích phân Ci theo H d sau: C1   gH d  Z gH d Z  2 l gH d Z  1l gH d Z  (8) tg th ; C2   ; C3  ; C4  2  H g 2Z  H g 2Z  H g 2Z  H g 2Z đó: Z  4  k  2    2  1   2  Mặt khác ta có quan hệ H d X sau: Hd  qEc Fc l  Xdx Lc H g (9) đó: Lc - Chiều dài dây cáp hai trụ; Ec Fc - Độ cứng kéo dây cáp Thay số Ci vào (5) biểu thức X thay vào (9), sau thực tích phân chia cho H d , rút gọn phương trình tần số:  lZ  Z 1 Z 1 tg 2l  Z 1 Z 1 th 1l  Lc 2  l Hg Z ( Z  1)  Ec Fc 32 2qf (10) Để giải phương trình (6) tìm tần số dao động, tác giả sử dụng phương pháp lặp Newton Raphson Sau xác định hàm dao động riêng sau: X  H d  Z  cos2  0, 5l  x  Z  ch1  0, 5l  x    1    l ( Z  1) H g  2Z cos  0,52l  2Z ch  0, 51l   32 f 2 Tạp chí Khoa học Công nghệ Hàng hải Số 42 – 04/2015 (11) 123 CHÀO MỪNG NGÀY THÀNH LẬP TRƯỜNG 01/04/2015 2.2 Tất nhịp Tương tự nhịp giữa, xét tồn nhịp ta có quan hệ sau: Hd  qEc Fc  l  l1   Xdx   X1dx   Lc H g  0  (12) đó: Lc - Chiều dài tồn dây cáp Đối với nhịp có hàm dao động riêng đối xứng dạng (11) (chú ý nhịp bên cần thay  , Z , f , l 1 , Z1 , f1 , l1 ) Nếu độ cứng trọng lượng riêng nhịp sau có:   1 ; Z  Z1 Đặt   l1 / l (do   f1 / f ), từ phương trình tần số có dạng:  lZ (1   )  2l   2l  tg  2tg  2  Z 1  Z 1 L  l 1l   1l c th  th     Ec Fc 32 Z 1  Z 1 Hg Z ( Z  1)  (13) 2qf Tính tốn mơ số Ví dụ tính tốn cầu treo dây võng Cửa Đại, tỉnh Quảng Nam [2] xây dựng mơ hình với sơ đồ cầu dài 650m gồm nhịp 150m+350m+150m hình 3, tiết diện dầm khơng đổi thể hình Các thơng số sau: q = q1 = 102,91kN/m; Ec = 1,9.108kN/m2; Fc = 80,12cm2; Hg = 45,03.103kN; E = 2,1.108kN/m2; Jz = J1 = 0,1401.102m4; L’c = 668m; f = 35m +81.598 m +81.598 m 35000 1500 2000 +41.970 m 2500 4000 +8.756m +40.100 m 2000 2000 2000 MNCN 18.80M 5000 6000 +7.817m +9.956 m 1100 4000 MNTN 16.80M 6000 1100 1000 +40.100 m 4000 +35.736 m 2000 +7.927 m 14000 5000 +7.927 m 3500 3500 14000   - 31.244 m Dặ KI N1 GI NGCHầ M D22.7x28.0m- L = 40 m -42.073 m -42.073m M3 Hình Mơ hình dự án cầu treo dây võng Cửa Đại, Quảng Nam 16500/2 1800 250 2000 15X480 10500/2 250 250 LớP PHủ MặT CầU BÊTÔNG NHựA DàY 7CM I=1.5% 400 400 400 812 200 307 780 250 2000 15X480 250 1800 300 I=1.5% 2500 2365 900 1465 16500/2 10500/2 250 300 614 6X5 00 594 3700 200 8X657 8X657 11700/2 11700/2 594 3700 19100 Hình Tiết diện dầm cầu điển hình Trong ví dụ này, tác giả sử dụng phần mềm Matlab để tính tốn tần số dao động tự ω theo phương pháp giải tích - số, phương pháp Ritz [1], [3] phương pháp Rayleigh [1], [3] Sau lập bảng so sánh kết tính tốn theo phương pháp kết tính tốn theo phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) cách sử dụng phần mềm Sap 2000 (hình 5) Hình Mơ hình cầu Sap2000 Tạp chí Khoa học Công nghệ Hàng hải Số 42 – 04/2015 124 CHÀO MỪNG NGÀY THÀNH LẬP TRƯỜNG 01/04/2015 Bảng So sánh kết tính tốn theo phương pháp Tần số tự (rad/s) Phương pháp giải tích – số Phương pháp Ritz Phương pháp Rayleigh Phương pháp PTHH ω1 1,926 2,213 2,235 2,018 Kết luận Mục đích báo trình bày phương pháp giải tích - số để tính tốn dao động uốn tự đối xứng cầu treo dây võng nhịp sau so sánh với số phương pháp gần khác Phương pháp đặc biệt thích hợp với việc lập trình tính tốn máy tính Từ bảng cho thấy kết tính tốn theo phương pháp giải tích xác phương pháp Ritz, Rayleigh cho giá trị gần với kết tính theo phương pháp PTHH (sai số 4,56%) Chương trình tính thiết lập cho kết tính tốn phù hợp tốt với kết tính tốn phần mềm Sap 2000, điều khẳng định đắn độ tin cậy chương trình tính Như vậy, thiết kế sơ cầu treo dây võng nên áp dụng phương pháp giải tích - số để tính toán hợp lý phương pháp Ritz, Rayleigh thường áp dụng Hướng phát triển tiếp báo nghiên cứu tính tốn dao động uốn - xoắn cầu treo dây võng phương pháp nêu TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phạm Khắc Hùng, Đào Trọng Long, Lê Văn Quý, Lều Thọ Trình, Ổn định động lực học cơng trình, NXB ĐH&THCN, Hà Nội, 1974 [2] Lê Văn Lạc, Nguyễn Văn Mỹ, Đặng Phước Tồn, Lập trình tính tốn cầu treo dây võng dầm cứng nhịp, Đại học Bách khoa Đà Nẵng, Đà Nẵng [3] Nguyễn Văn Tỉnh, Cơ sở tính dao động cơng trình, NXB KH&KT, Hà Nội, 1987 [4] Nguyễn Viết Trung, Hoàng Hà, Thiết kế cầu treo dây võng, NXB GTVT, Hà Nội, 2003 [5] T Hayashikawa, N Watanabe, Dynamic behavior of suspension bridge under moving loads, Hokkaido University, Hokkaido, Japan, 1982 [6] T Huynh, P Thoft Christensen, Suspension bridge flutter for girders with separate control flaps, Journal of Bridge Engineering, Vol 6, pp 168-175, 2001 [7] S R K Nielsen, T Huynh, Vibration theory, Vol 7A Special Structures: Aerodynamics of suspension bridges, ISSN 1395-8232 U9902, Aalborg University, Denmark, 1999 Người phản biện: PGS.TS Hà Xuân Chuẩn; TS Hoàng Mạnh Cường Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Hàng hải Số 42 – 04/2015 125 ... Phương pháp PTHH ω1 1,926 2,2 13 2, 235 2,018 Kết luận Mục đích báo trình bày phương pháp giải tích - số để tính tốn dao động uốn tự đối xứng cầu treo dây võng nhịp sau so sánh với số phương pháp. .. treo dây võng nên áp dụng phương pháp giải tích - số để tính toán hợp lý phương pháp Ritz, Rayleigh thường áp dụng Hướng phát triển tiếp báo nghiên cứu tính tốn dao động uốn - xoắn cầu treo dây. .. ngang động dây cáp khác Ở trạng thái tĩnh dây cáp đối xứng, lực căng ngang tĩnh dây kí hiệu Hg Khi hệ dao động, lực căng ngang động dây cáp H1d H2d Phương trình dao động uốn cầu treo dây võng [3]