Chuyển vị lượng tử với trạng thái hai Mode kết hợp đối xứng và trạng thái hai Mode kết hợp phản đối xứng

Bài viết Chuyển vị lượng tử với trạng thái hai Mode kết hợp đối xứng và trạng thái hai Mode kết hợp phản đối xứng trình bày việc sử dụng trạng thái hai mode kết hợp đối xứng và hai mode kết hợp phản đối xứng làm nguồn rối lượng tử hai mode để chuyển vị lượng tử một trạng thái kết hợp. Đầu tiên, chúng tôi chỉ ra rằng trạng thái hai mode kết hợp đối xứng và hai mode kết hợp phản đối xứng bị đan rối theo, sử dụng nguồn rối này để chuyển vị một trạng thái kết hợp,... Mời các bạn cùng tham khảo.

CHUYỂN VỊ LƯỢNG TỬ VỚI TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP ĐỐI XỨNG VÀ TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP PHẢN ĐỐI XỨNG NGUYỄN ĐÌNH DŨNG - TRƯƠNG MINH ĐỨC Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế Tóm tắt: Trong báo này, sử dụng trạng thái hai mode kết hợp đối xứng hai mode kết hợp phản đối xứng làm nguồn rối lượng tử hai mode để chuyển vị lượng tử trạng thái kết hợp Đầu tiên, trạng thái hai mode kết hợp đối xứng hai mode kết hợp phản đối xứng bị đan rối theo [8] Tiếp theo, sử dụng nguồn rối để chuyển vị trạng thái kết hợp Cho thấy, trạng thái hai mode kết hợp đối xứng cho chuyển vị với độ trung thực 0.8 < Fav < 1, trạng thái hai mode kết hợp phản đối xứng khơng cho chuyển vị với độ trung thực Fav < 0.5 GIỚI THIỆU Sự truyền nhận thông tin cách tức thời dựa tính chất hạt vi mơ, bên gởi bên nhận chia sẻ với trạng thái rối lượng tử hai mode trở lên Cách truyền, nhận thông tin gọi chuyển vị lượng tử Mơ hình chuyển vị đưa Bennett [3], sau nhiều mơ hình khác đưa hình thức luận hàm Wigner [5], hình thức luận biên độ trực giao [6], trạng thái Fock [7] Sau đó, báo Janszky, Koniorczyk, Gabris đề cập phương thức đơn giản viết dạng trạng thái kết hợp Sau đó, báo Caves [4] thảo luận trình chuyển vị lượng tử với trạng thái Gauss Trong báo này, tổng quan lại trình chuyển vị lượng tử hình thức trạng thái kết hợp, từ trạng thái đo lường Bell [2], với độ trung thực trung bình tốn tử dịch chuyển đưa tường minh Hơn nữa, sử dụng trạng thái hai mode kết hợp đối xứng hai mode kết hợp phản đối xứng làm nguồn rối bên gửi bên nhận (là trạng thái phi Gauss) có dạng: |ψ ⟩ ab =√ ) ( ⟩ ⟩ ⟩ ⟩ |α a |β b + |β a |α b , 2(1 + x)1/2 Tạp chí Khoa học Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Huế ISSN 1859-1612, Số 04(24)/2012: tr 28-34 (1) CHUYỂN VỊ LƯỢNG TỬ VỚI TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP 29 ( ) ⟩ ⟩ ⟩ ⟩ |β − |β |α |α , (2) a b a b ab 2(1 − x)1/2 ⟩ ⟩ ⟨ ⟩ |α , |β trạng thái kết hợp, x = | α|β |2 = exp(−|α − β|2 ) Các trạng thái dùng làm nguồn rối để chuyển vị lượng tử trạng thái kết hợp theo mơ hình chuyển vị lượng tử biến liên tục theo H F Hofmann, T Ide, T Kobayashi [1] |ψ ⟩ =√ KHẢO SÁT TÍNH ĐAN RỐI TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP ĐỐI XỨNG VÀ HAI MODE KẾT HỢP PHẢN ĐỐI XỨNG Để thực trình chuyển vị lượng tử cho trạng thái hai mode kết hợp đối xứng đưa phương trình (1) hai mode phản kết hợp đối xứng đưa phương trình (2) Trước hết, trạng thái phải trạng thái rối lượng tử Thật vậy, áp dụng điều kiện đan rối cho hệ hai mode Hillery-Zubairy [9] ⟨Na Nb ⟩ − |⟨ab† ⟩|2 < Với trạng thái hai mode kết hợp đối xứng, tiến hành tính tốn ta kết { [ † ⟨Na Nb ⟩ − |⟨ab ⟩| = − (α∗ β − αβ ∗ )2 + 2x 4|αβ|2 − (αβ ∗ + α∗ β) 4(1 + x) } ] 2 2 2 × (|α| + |β| ) − x (|α| − |β| ) (3) (4) Nếu chọn αβ ∗ số thực dương, lúc biểu thức viết lại thành { } ( )2 ( ) † 2 2 ⟨Na Nb ⟩ − |⟨ab ⟩| = × − 4x|αβ| |α| − |β| − x |α| − |β| 4(1 + x)2 Vế phải phương trình số âm, điều đồng nghĩa với (3) thỏa mãn, trạng thái kết hợp hai mode kết hợp đối xứng trạng thái rối theo điều kiện rối Hillery-Zubairy Bây tiến hành tính toán tương tự cho trạng thái hai mode phản kết hợp đối xứng, ý với trường hợp αβ ∗ số thực dương, kết { } ( )2 ( ) 2 ⟨Na Nb ⟩ − |⟨ab† ⟩|2 = × 4x|αβ| |α| − |β| − x |α| − |β| 4(1 − x)2 = R(α, β) (5) Đặt |β| = n|α|, ⟨Na Nb ⟩ − |⟨ab† ⟩|2 = R(α) Trạng thái rối R(α) < Kết khảo sát R(α) theo Hình Trường hợp |β| = 0.5|α| ứng với đường liền nét |β| = 0.2|α| ứng với đường đứt nét khảo sát đồ thị cho ta thấy trạng thái trạng thái rối theo điều kiện Hillery-Zubairy với biên độ kết hợp bé 30 NGUYỄN ĐÌNH DŨNG - TRƯƠNG MINH ĐỨC 0.3 0.2 RΑ 0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.2 0.4 0.6 Α 0.8 1.0 Hình 1: Sự phụ thuộc R(α) theo |α| CHUYỂN VỊ LƯỢNG TỬ BIẾN LIÊN TỤC VỚI TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP ĐỐI XỨNG VÀ HAI MODE KẾT HỢP PHẢN ĐỐI XỨNG Chuyển vị lượng tử diễn trạng thái lượng tử đưa vào hệ thống gửi (Alice) chuyển giao cho hệ thống nhận (Bob) thông qua việc khai thác tính chất rối lượng tử Alice Bob Giả sử Alice Bob chia sẻ trạng thái rối lượng tử hai mode (trạng thái EPR) a b |ψ⟩ab = |Φ⟩a |Ψ⟩b , (6) mode a dành cho Alice mode b cho Bob, |Φ⟩a |Ψ⟩b chứa trạng thái kết hợp dạng |α⟩, trạng thái gốc ứng với mode c đưa vào Alice có dạng trạng thái kết hợp |ψ⟩in = |Ω⟩c (7) Trước gửi thông tin cho Bob, Alice thực phép tổ hợp ba mode |ψ⟩abc = |ψ⟩ab |ψ⟩in = |Φ⟩a |Ψ⟩b |Ω⟩c (8) Tiếp theo, Alice thực phép đo mức độ rối hai trạng thái |ψ⟩ab |ψ⟩in hai mode a c trạng thái biên độ trực giao Bell [2], kết đo chứa √ biến phức A = (X + iP )/ Kênh thông tin cổ điển gửi tới Bob chứa giá trị biến phức này, bit chứa giá trị X bit chứa giá trị P Chúng tơi viết lại tính chất trạng thái Bell theo [9] sau ˆ (A) ⊗ D ˆ (−A∗ )|B(0, 0)⟩12 = D(2A) ˆ |B(X, P )⟩12 = D ⊗ |B(0, 0)⟩12 , ⟨ ψ|B(0, 0)⟩12 = τˆ|ψ⟩1 , ⟨ ⟨ ⟨ ˆ† ˆ τ † = ψ ∗ |D(−2A), 12 B(X, P )|ψ⟩2 = ψ|D (2A)ˆ (9) (10) ˆ D(α) = exp(αˆ a† − α∗ a ˆ) toán tử dịch chuyển τˆ toán tử liên hợp phức ∗ định nghĩa τˆ|ψ⟩ = |ψ ⟩ Việc thực phép đo hai mode a c việc lấy tích CHUYỂN VỊ LƯỢNG TỬ VỚI TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP 31 ⟨ trạng thái tương ứng ca B(X, P )| ⊗ |ψ⟩abc , sau đo, trạng thái ba mode sụp đổ, Bob rối với Alice nên Bob có trạng thái (khơng chuẩn hóa) theo mode lại b, sử dụng (8) (10) ta có ⟨ ⟨ ˆ |ψ⟩b = ca B(X, P )|Φ⟩a |Ψ⟩b |Ω⟩c = c Φ∗ |D(−2A)|Ω⟩ c |Ψ⟩b (11) Đây phiên trạng thái gốc ban đầu, chưa phải thức phép đo khơng hồn tồn bên Alice Chúng tơi viết lại (11) sau |ψ⟩b = Tˆ(A)|Ψ⟩b , (12) ⟨ ˆ Tˆ(A) = c Φ∗ |D(−2A)|Ω⟩ c tốn tử chuyển vị, tính chất tốn tử chuyển vị đưa [1] dạng trạng thái Fock Tốn tử chuyển vị khơng xác định tính chất trạng thái lượng tử sau đo mà cho biết phân bố xác suất kết đo mức độ rối Alice P (A) = ||ψ⟩b |2 = |Tˆ(A)|Ψ⟩b |2 (13) Cuối cùng, nhận kết đo P X (trong A) từ Alice, Bob nghịch đảo dịch chuyển để thu trạng thái gốc ban đầu, kết trình trạng thái có dạng |ψ⟩out = √ 1 ˆ ˆ D(β)|ψ⟩ D(β) Tˆ(A)|Ψ⟩b , b = √ P (A) P (A) (14) β = 2gA, g hệ số Bob dùng để hoàn thiện độ trung thực chuyển vị Với chuyển vị trạng thái đơn mode, độ trung thực định nghĩa chồng chập trạng thái vào trạng thái [1] ⟨ F (A) = |in ψ|ψ⟩out |2 = ⟨ ˆ Tˆ(A)|Ψ⟩b |2 |in ψ|D(β) P (A) (15) Dựa vào độ trung thực, ta đánh giá mức độ thành cơng q trình chuyển vị Quá trình chuyển vị với giới hạn chuyển vị F = 0.5 Do rối không hồn hảo Alice Bob, phép đo khơng hồn tồn Alice nên thực tế F (A) ln bé 1.0 Do người ta đưa vào độ trung thực trung bình Fav ∫ ∫ ⟨ ˆ Fav = d2 AP (A)F (A) = d2 A|in ψ|D(β) Tˆ(A)|Ψ⟩b |2 (16) Nếu Fav < 0.67 cho phép mô tả biến ẩn định xứ Bây sử dụng mơ hình chuyển vị lượng tử để khảo sát trình chuyển vị lượng tử với nguồn rối trạng thái hai mode kết hợp đối xứng hai mode kết hợp phản đối xứng Thật vậy, trạng thái hai mode kết hợp đối xứng trạng thái rối lượng tử hai mode thỏa mãn điều kiện rối Hillery-Zubairy Trạng thái sử dụng làm trạng thái rối 32 NGUYỄN ĐÌNH DŨNG - TRƯƠNG MINH ĐỨC chia sẻ Alice Bob Khi thơng tin mã hóa trạng thái kết hợp ⟩ chuyển vị |γ c , kết tính tốn cho ta trạng thái Bob ⟩ ⟩ ˆ |ψ out = D(χ)|ψ , (17) B với χ = 2gA |ψ ⟩ B { [ ] ⟩ |α|2 |γ − 2A|2 = N |β b exp − − + α(γ − 2A) 2 ]} [ ⟩ |β|2 |γ − 2A|2 − + β(γ − 2A) , + |α b exp − 2 (18) √ với N = 2/ 2π(1 + x)1/2 Độ trung thực chuyển vị { } ∫ ∫ [ ] 2 2 2 exp − (k − l) + (l − 1) |α| + 4l|α|(g + 1)rcosφ − 4(1 + g )r Fav = (1 + x)π { [ ] [ ] × exp − 4|α|rcosφ(g + k) + exp − 4|α|rcosφ(gk + 1) } [ ] [ ] + 2cos 2r|α|(g + 1)(k − 1)sinφ × exp − 2r|α|(g + 1)(k + 1)cosφ rdrdφ, (19) với |β| = k|α|, |γ| = l|α|, A = reiφ , χ = 2gA ta ý tới độ lớn biên độ kết hợp |α|, |β|, |γ| Sự phụ thuộc Fav vào biên độ |α| hệ số điều khiển g biểu diễn Hình Hình 1.0 1.0 0.8 (1) 0.8 (1) 0.6 Fav Fav 0.6 0.4 0.4 (3) 0.2 0.2 0.0 (2) (2) Α (3) 0.0 Α Hình 2: Sự phụ thuộc Fav theo |α| g với giá trị k = 1, l = 1, g = 0.5 với đường (1), k = 2, l = 2, g = 0.5 ứng với đường (2) k = 2, l = 3, g = 0.5 ứng với đường (3) Hình 3: Sự phụ thuộc Fav theo |α| g với giá trị k = 1, l = 1, g = với đường (1), k = 1, l = 1.4, g = ứng với đường (2) k = 1.5, l = 2, g = ứng với đường (3) Kết cho thấy trạng thái hai mode kết hợp đối xứng có độ trung thực giảm mức độ rối tăng, giá trị g biên độ kết hợp lớn CHUYỂN VỊ LƯỢNG TỬ VỚI TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP 33 độ trung thực lại nhỏ, việc chuyển vị dễ dàng biên độ trạng thái kết hợp khơng chênh lệch nhiều Qua đồ thị ta thấy rằng, việc cho phép mơ tả biến ẩn định xứ hay không tùy thuộc vào biến điều khiển g biên độ kết hợp Tương tự trạng thái hai mode kết hợp đối xứng, trạng thái hai mode kết hợp phản đối xứng trạng thái rối theo điều kiện Hillery Zubairy với biên độ kết hợp bé Tính tốn tương tự trạng thái hai mode kết hợp đối xứng, độ trung thực chuyển vị { } ∫ ∫ [ ] 2 2 Fav = exp − (k − l) + (l − 1) α + 4lα(g + 1)rcosφ − 4(1 + g )r 2π(1 − x) { [ ] [ ] × exp − 4αrcosφ(g + k) + exp − 4αrcosφ(gk + 1) } [ ] [ ] − 2cos 2rα(g + 1)(k − 1)sinφ × exp − 2rα(g + 1)(k + 1)cosφ rdrdφ, (20) với |β| = k|α|, |γ| = l|α| Kết khảo sát Fav theo |α| thể Hình 1.0 0.8 Fav 0.6 (1) 0.4 0.2 (2) 0.0 (3) Α Hình 4: Sự phụ thuộc Fav theo |α| với giá trị k = 0.5, l = 1, g = ứng với đường (1) đồ thị, k = 0.5, l = 2, g = ứng với đường (2) k = 1.5, l = 2, g = ứng với đường (3) Dựa vào đồ thị kết khảo sát khác cho thấy trạng thái có độ trung thực cực đại theo độ lớn biên độ kết hợp Fav = 0.5, điều có ý nghĩa sử dụng trạng thái hai mode kết hợp phản đối xứng theo giá trị biên độ để chuyển vị khơng thích hợp KẾT LUẬN Như vậy, sử dụng mơ hình chuyển vị lượng tử [1] chúng tơi tính tốn q trình chuyển vị cho hai trạng thái kết hợp hai mode, trạng thái hai mode kết hợp đối xứng hai mode kết hợp phản đối xứng Kết cho thấy trạng thái hai mode kết hợp đối xứng cho 34 NGUYỄN ĐÌNH DŨNG - TRƯƠNG MINH ĐỨC chuyển vị cách hoàn hảo biên độ mode trạng thái với biên độ mode chuyển vị, biên độ mode trạng thái rối trạng thái chuyển vị khác nhau, q trình chuyển vị khó khăn Còn trạng thái hai mode kết hợp phản đối xứng khơng thích hợp cho việc chuyển vị lượng tử theo độ lớn biên độ kết hợp TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] H F Hofmann, T Ide, T Kobayashi (2000), Phys Rev A 62, 062304 [2] J Janszky, M Koniorczyk, A Gabris (2001), Phys Rev A 64, 034302 [3] C H Bennett, G Brassard, C Crepeau, R Jozsa, A Peres, and W K Wootters (1993), Phys Rev Lett 70, 1895 [4] C M Caves and K Wódkiewicz (2004),Phy Rev Lett 93, 040506 [5] S L Braunstein and H J Kimble (1998), Phy Rev Lett 80, 869 [6] G J Milburn and S L Braunstein (1999), Phys Rev A 60, 937 [7] S J van Enk (1999), Phys Rev A 60, 5095 [8] M Hillery and M S Zubairy (2006), Phys Rev A 74, 032333 Title: QUANTUM TELEPORTATION WITH SYMMETRIC TWO MODES COHERENT STATE AND ANTI-SYMMETRIC TWO MODES COHERENT STATE Abstract: In this paper, we use symmetric two mode coherent state and symmetric two mode coherent state as the entangled resource state to teleport a coherent state First, we show that symmetric two mode coherent state and asymmetric two mode coherent state are entangled Next, We use this entangled resource to teleport a coherent state The result shows, the symmetric two modes coherent state provides teleportation with fidelity about 0.8 < Fav < But, asymmetric two mode coherent state does not allow teleportation with fidelity Fav < 0.5 NGUYỄN ĐÌNH DŨNG Học viên Cao học, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế Email: dung.nguyendinh1986@gmail.com PGS TS TRƯƠNG MINH ĐỨC Khoa Vật lý, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế ... hình chuyển vị lượng tử để khảo sát trình chuyển vị lượng tử với nguồn rối trạng thái hai mode kết hợp đối xứng hai mode kết hợp phản đối xứng Thật vậy, trạng thái hai mode kết hợp đối xứng trạng. .. hai trạng thái kết hợp hai mode, trạng thái hai mode kết hợp đối xứng hai mode kết hợp phản đối xứng Kết cho thấy trạng thái hai mode kết hợp đối xứng cho 34 NGUYỄN ĐÌNH DŨNG - TRƯƠNG MINH ĐỨC chuyển. .. MODE KẾT HỢP ĐỐI XỨNG VÀ HAI MODE KẾT HỢP PHẢN ĐỐI XỨNG Để thực trình chuyển vị lượng tử cho trạng thái hai mode kết hợp đối xứng đưa phương trình (1) hai mode phản kết hợp đối xứng đưa phương trình