Định lượng độ rối và viễn tải lượng tử với trạng thái hai mode kết hợp SU(1, 1) thêm một và bớt một photon

Bài viết nghiên cứu tính đan rối, định lượng độ rối và viễn tải lượng tử với trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm một và bớt một photon.

ĐỊNH LƯỢNG ĐỘ RỐI VÀ VIỄN TẢI LƯỢNG TỬ VỚI TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP SU (1, 1) THÊM MỘT VÀ BỚT MỘT PHOTON HOÀNG THỊ THÚY DUNG1 TRƯƠNG MINH ĐỨC1 , TRẦN QUANG ĐẠT2 Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế Phân hiệu trường Đại học GTVT TPHCM Tóm tắt: Trong báo này, chúng tơi nghiên cứu tính đan rối, định lượng độ rối viễn tải lượng tử với trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm bớt photon Kết thu trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm bớt photon thể tính đan rối theo tiêu chuẩn đan rối Hillery-Zubairy Ngồi ra, trạng thái thể tính chất đan rối cao theo tiêu chuẩn định lượng độ rối Độ đồng quy Khi sử dụng trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm bớt photon làm nguồn đan rối để viễn tải trạng thái kết hợp, chúng tơi nhận thấy q trình viễn tải thành cơng với độ trung thực trung bình Fav thỏa mãn điều kiện viễn tải Fav ≥ 0.5 Từ khóa: Trạng thái hai mode kết hợp, Tính chất đan rối, Viễn tải lượng tử GIỚI THIỆU Ngày nay, với phát triển mạnh mẽ khoa học kỹ thuật, lĩnh vực công nghệ thông tin, làm để truyền tín hiệu xa mà đảm bảo tính lọc lựa cao giảm thăng giáng đến mức thấp vấn đề cấp thiết cho nhà vật lý lý thuyết thực nghiệm Trong đó, rối lượng tử viễn tải lượng tử nguồn tài nguyên có giá trị đáp ứng cho yêu cầu Trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) định nghĩa sau [1] |ϕ ab = |ξ, q ab = (1 − |ξ|2 ) 1+q ∞ n=0 (n + q)! n!q! 1/2 ξ n |n + q, n ab , (1) ξ = − tanh(θ/2) exp(−iϕ); (θ/2) = r với θ bé Từ (1), đưa trạng thái phi cổ điển cách thêm bớt photon lên trạng thái hai mode Tạp chí Khoa học, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế ISSN 1859-1612, Số 03(51)/2019: tr 64-72 Ngày nhận bài: 15/03/2019; Hoàn thành phản biện: 14/05/2019; Ngày nhận đăng: 25/05/2019 65 ĐỊNH LƯỢNG ĐỘ RỐI VÀ VIỄN TẢI LƯỢNG TỬ kết hợp SU(1,1) sau: |ψab = N (a+ + b)|ξ, q ab , (2) N hệ số chuẩn hóa Khi khai triển thông qua trạng thái Fock, hệ số chuẩn hóa N có dạng N = − |ξ|2 1+q − 21 1+q − 12 1+q − 12 ∞ − 21 (n + q)! 2n |ξ| (2n + q + 1) n!q! n=0 + − |ξ|2 ∞ (n + q − 1)! 2n (n + q) |ξ| (n − 1)!q! ξ∗ − 21 n=1 + − |ξ| ∞ (n + q)! 2n ∗ |ξ| ξ (n + q + 1) n!q! − 12 n=0 Trong báo này, tiến hành khảo sát tính đan rối trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm bớt photon Sau tiến hành viễn tải lượng tử trạng thái kết hợp với trạng thái đánh giá thành công q trình viễn tải thơng qua độ trung thực trung bình Các kết thu biện luận chi tiết phần kết luận NGHIÊN CỨU TÍNH ĐAN RỐI VÀ ĐỊNH LƯỢNG ĐỘ RỐI Chúng sử dụng tiêu chuẩn đan rối Hillery-Zubairy [2] để nghiên cứu tính đan rối trạng thái hai mode kết hợp SU (1,1) thêm bớt photon Theo tiêu chuẩn đan rối Hillery-Zubairy, trạng thái gọi đan rối thỏa mãn bất đẳng thức sau a ˆ† m (ˆ a)m ˆb† n ˆb n (ˆ a)m ˆb† < n (3) Sử dụng tiêu chuẩn (3), đặt m = n = l để thuận lợi cho việc nghiên cứu đưa vào tham số đan rối R1 dạng l R1 = a ˆ† (ˆ a)l ˆb† l ˆb l − (ˆ a)l ˆb† l (4) Khi đó, theo bất đẳng thức (3) ta thấy trạng thái đan rối thỏa mãn R1 < R1 âm mức độ đan rối tăng Chúng tơi thực tính tốn đại lượng biểu thức (4) để thuận tiện cho việc khảo sát đặt ϕ = 0, θ = 2r, với θ bé, ta ξ = − r Sau thay ξ = − r vào biểu thức (4) ta thu kết ∞ 2 (1+q) R1 = N (1 − (tanh r) ) n=0 (n + q)! (tanh r)2n n!q! 66 HOÀNG THỊ THÚY DUNG cs l l × (n + q + 1) (n + − j) j=1 ∞ (1+q) + N (1 − (tanh r)2 ) n=0 l (n + q)! 2(tanh r)2n (− r) n!q! l × (n + q + 1) (n + − j) j=1 ∞ (1+q) n=1 l (n + q + − j) j=1 + N (1 − (tanh r)2 ) ×n (n + q + − j) j=1 (n + q)! (tanh r)2n n!q! l (n − j) j=1 (n + q + − j) (5) j=1 R1 108 108 108 108 0.0 0.5 1.0 r 1.5 2.0 Hình 1: Sự phụ thuộc tham số đan rối R1 vào r với giá trị q = 1, 2, Các giá trị q chọn theo thứ tự tương ứng với đường liền nét, đường chấm chấm đường đứt nét Đồ thị biểu diễn phụ thuộc tham số đan rối R1 vào r, với nằm đoạn ≤ r ≤ 2, với q = ứng với đường liền nét, q = ứng với đường chấm chấm, q = ứng với đường đứt nét Chúng ta nhận thấy rằng, q tăng giá trị R1 âm, điều chứng tỏ trạng thái rối Hơn nữa, đường cong có dạng xuống cho thấy mức độ đan rối tăng mạnh r tăng Tuy nhiên, với giá trị bé biên độ kết hợp có vùng nhỏ chưa đan rối Có thể nói, tiêu chuẩn đan rối Hillery-Zubairy tập trung vào việc không chia tách hệ đa mode theo phương diện "số photon" Các kết khảo sát thể trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm bớt photon có đan rối theo phương diện Vậy trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm bớt photon trạng thái đan rối theo tiêu chuẩn đan rối Hillery-Zubairy bậc cao, nên trạng thái làm nguồn rối cho trình viễn tải lượng tử trạng thái kết hợp Tuy nhiên, độ rối đánh giá thơng qua tiêu chuẩn đan rối Hillery-Zubairy cần thiết phải kiểm tra lại kết thu lần phương pháp khác độc lập với cách Vì lý đó, chúng tơi định lượng độ rối tiêu chuẩn Độ đồng quy Theo tiêu chuẩn Độ đồng quy [3], ta có trạng thái hai mode 67 ĐỊNH LƯỢNG ĐỘ RỐI VÀ VIỄN TẢI LƯỢNG TỬ a b đưa dạng |Ψ ab = N [µ |η a |γ b + υ |ζ a |δ b ] , (6) N hệ số chuẩn hóa; µ, υ số phức; ζ, η , γ , δ trạng thái chuẩn hóa hai mode a b Từ đó, ta định nghĩa độ đồng quy 2|µ||υ| C= (1 − |P1 |)((1 − |P2 |) |µ|2 + |υ|2 + Re(µ∗ υP1 P2 ∗ ) , (7) P1 = a η|ζ a , P2 = b δ|γ b Trạng thái |Ψ ab đan rối C > đạt giá trị đan rối cực đại C = Khi áp dụng cho trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm bớt photon, ta thu độ đồng quy có dạng C= √ √ 2| N1 || N2 | (1 − |P1 |) N1 + N2 , (8) ∞ N1 = (1 − |ξ|2 )1+q n=0 ∞ N2 = (1 − |ξ|2 )1+q n=0 (n + q)! |ξ|2n (n + q + 1), n!q! (n + q)! |ξ|2n n, n!q! ∞ P1 = √ (n + q)! (n + q − 1)! (1 − |ξ|2 )1+q n!q! (n − 1)!q! N1 N2 n=0 n(n + q)ξ n ξ ∗(n−1) 1.0 0.8 C 0.6 0.4 0.2 0.0 0.0 0.2 0.4 0.6 r 0.8 1.0 1.2 Hình 2: Sự phụ thuộc độ đồng quy C vào r với giá trị q = ứng với đường liền nét, q = ứng với đường đứt nét Sự phụ thuộc độ đồng quy C theo biên độ kết hợp r thể hình Nhìn vào đồ thị hình ta thấy độ đồng quy C có giá trị khoảng từ đến Vì trạng 68 HOÀNG THỊ THÚY DUNG cs thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm bớt photon trạng thái đan rối thỏa mãn tiêu chuẩn Độ đồng quy Khi r lớn C gần với 1, tính chất đan rối thể rõ r cao Có điều thú vị kết khảo sát so sánh tiêu chuẩn với tiêu chuẩn Hillery-Zubairy Thứ nhất, q tăng C giảm khơng đáng kể (trong miền r lớn) nên tăng lên tham số q làm giảm biểu tính chất đan rối theo tiêu chuẩn độ đồng quy Thứ hai, r nhỏ, trạng thái xét không biểu tính đan rối theo tiêu chuẩn KHẢO SÁT QUÁ TRÌNH VIỄN TẢI LƯỢNG TỬ Trạng thái hai mode kết hợp SU (1,1) thêm bớt photon trạng thái đan rối nên sử dụng cho q trình viễn tải lượng tử trạng thái kết hợp Theo mơ hình viễn tải Agarwal Gasbris [4], bên gửi thông tin Alice bên nhận thông tin Bob Trạng thái mode kết hợp SU(1,1) thêm bớt photon có hai mode a b, mode a đưa tới Alice mode b đưa tới Bob, trạng thái viễn tải trạng thái kết hợp |γ c tương ứng với mode c đưa vào Alice Tại nơi gởi thông tin, Alice thực việc tổ hợp trạng thái |γ c |Ψ ab trở thành trạng thái mode dạng |Ψ abc = |Ψ ab |γ c = N − |ξ|2 + N − |ξ|2 1+q ξ n n + q + |n + q + 1, n 1+q √ ξ n n |n + q, n − ab |γ c ab |γ c (9) Tiếp theo Alice thực phép đo trạng thái Bell tổ hợp mode a c để đo thông tin mức độ đan rối |γ c |Ψ ab dựa mode a c Trạng thái Bell biểu diễn qua trạng thái Fock sau ∞ |B (X, P ) ac =√ Dc (2A) |k, k Π k=0 ac (10) Khi phép đo tổ hợp hồn thành, trạng thái tích |Ψ abc chuyển sang trạng thái Do Bob Alice chia trạng thái đan rối nên Bob có trạng thái sau biến đổi sau: |Ψ B 1+q = √ N (1 − |ξ|2 )( ) exp (A∗ γ − Aγ ∗ ) exp − |γ − 2A|2 π ∞ × n=0 (n + q)! n!q! ξn n+q+1 (|γ − 2A|)n+q+1 (n + q + 1)! |n b 1+q + √ N (1 − |ξ|2 )( ) exp (A∗ γ − Aγ ∗ ) exp − |γ − 2A|2 π ∞ × n=0 (n + q)! n!q! √ (|γ − 2A|)n+q ξn n |n − b (n + q)! (11) 69 ĐỊNH LƯỢNG ĐỘ RỐI VÀ VIỄN TẢI LƯỢNG TỬ Bây giờ, bên Bob tồn trạng thái tương ứng với mode b chứa thông tin mode c ˆ (gβ) để xây dựng lại trạng thái viễn tải ban đầu Bob thực phép dịch chuyển D |γ c , với g hệ số điều khiển mà Bob dùng để hồn thiện độ trung thực q trình viễn tải Từ đó, trạng thái cuối thu trình viễn tải |Ψ out 1+q = √ N (1 − |ξ|2 )( ) exp (A∗ γ − Aγ ∗ ) exp − |γ − 2A|2 π ∞ × n=0 (n + q)! n!q! ξn n+q+1 (|γ − 2A|)n+q+1 ˆ D (g2A) |n (n + q + 1)! b 1+q + √ N (1 − |ξ|2 )( ) exp (A∗ γ − Aγ ∗ ) exp − |γ − 2A|2 π ∞ × n=0 (n + q)! n!q! √ (|γ − 2A|)n+q ˆ (g2A) |n − ξn n D b (n + q)! (12) Đến thời điểm q trình viễn tải hồn thành để đánh giá mức độ thành công trình viễn tải phải dựa vào độ trung thực trung bình Fav | γ|Ψ Fav = 2 out | d A (13) Thực tính tốn chúng tơi có | γ|Ψ ∞ × n=0 out | 1+q = √ N (1 − |ξ|2 )( ) exp (A∗ γ − Aγ ∗ ) exp − |γ − 2A|2 π (n + q)! n!q! ξ n n+q+1 (|γ − 2A|)n+q+1 (n + q + 1)! ˆ (g2A) n γD b 1+q + √ N (1 − |ξ|2 )( ) exp (A∗ γ − Aγ ∗ ) exp − |γ − 2A|2 π ∞ × n=0 (n + q)! n!q! ξ n√ n (|γ − 2A|)n+q (n + q)! ˆ (g2A) n − γD b Từ ta suy γ|Ψ ∗ out 1+q = √ N (1 − |ξ|2 )( ) exp − |γ − 2A|2 + |γ − g2A|2 π ∞ ∗ ∗ × exp [(g − 1)(γA − γ A)] m=0 g2A)m (m + q)! m!q! ξ ∗m m+q+1 (|γ ∗ − 2A∗ |)m+q+1 (γ − √ m! (m + q + 1)! 1+q + √ N (1 − |ξ|2 )( ) exp − |γ − 2A|2 + |γ − g2A|2 π × (14) 70 HỒNG THỊ THÚY DUNG cs ∞ ∗ (m + q)! m!q! ∗ × exp [(g − 1)(γA − γ A)] m=0 × (|γ ∗ − 2A∗ |)m+q (γ − g2A)m−1 (m − 1)! (m + q)! √ ξ ∗m m (15) Từ chúng tơi tính độ trung thực trung bình Fav sau: ∞ (1+q) Fav = 4N (1 − (tanh r) ) exp(−|γ| ) n=0 × (tanh r)2n (n + q + 1) |γ|2n n! (1+q) + 4N (1 − (tanh r) ) ∞ exp(−|γ| ) n=0 × 2(n + q + 1) |γ|2n n! (n + q)! n!q! (tanh r)2n (− r) ∞ (1+q) (n + q)! n!q! + 4N (1 − (tanh r) ) exp(−|γ| ) n=1 (n + q)! |γ|2(n−1) (tanh r)2n n n!q! (n − 1)! (16) 1.0 Fav 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0.0 0.2 0.4 0.6 r 0.8 1.0 Hình 3: Sự phụ thuộc độ trung thực trung bình Fav vào r với giá trị q = 2, 4, ứng với γ = 1.47 Các giá trị q chọn theo thứ tự tương ứng với đường liền nét, đường chấm chấm đường đứt nét Sự phụ thuộc độ trung thực trung bình Fav vào biên độ kết hợp r thể hình Dựa vào đồ thị, ứng với giá trị γ = thấy rằng: q = (ứng với đường liền nét), q trình viễn tải thành cơng với khoảng viễn tải 0.2 ≤ r ≤ 0.9; q = (ứng với đường đường chấm chấm), trình viễn tải thành công với khoảng viễn tải 0.2 ≤ r ≤ 0.75; q = (ứng với đường đứt nét), trình viễn tải thành công với khoảng viễn tải 0.2 ≤ r ≤ 0.7 Như vậy, q tăng khoảng viễn tải hẹp dần Ngồi ra, độ trung thực trung bình cực đại gần 0.8 Bây giờ, ta xét trường hợp cụ thể với giá trị q = (trường hợp có khoảng giá trị r lớn nhất) Đồ thị biểu diễn phụ thuộc 71 ĐỊNH LƯỢNG ĐỘ RỐI VÀ VIỄN TẢI LƯỢNG TỬ độ trung thực trung bình Fav vào biên độ kết hợp r cho hình Đồ thị cho thấy ứng với giá trị q = 2, γ = 1.45 độ trung thực trung bình cực đại đạt gần 0.8; γ = 1.50 độ trung thực trung bình cực đại đạt gần 0.75; γ = 1.99 độ trung thực trung bình cực đại đạt 0.5 Khi tiếp tục tăng giá trị γ lên độ trung thực trung bình đạt 0.5 nên trình viễn tải không thành công Như vậy, thấy q trình viễn tải thành cơng ứng với giá trị γ 1.45 ≤ γ ≤ 1.99 1.0 Fav 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0.0 0.5 1.0 1.5 r Hình 4: Sự phụ thuộc độ trung thực trung bình Fav vào r với giá trị q = ứng với γ = 1.45, γ = 1.50, γ = 1.99 Các giá trị γ chọn theo thứ tự tương ứng với đường liền nét, đường chấm chấm đường đứt nét KẾT LUẬN Trong báo này, chúng tơi tiến hành nghiên cứu tính đan rối trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) thêm bớt photon tiêu chuẩn đan rối HilleryZubairy Qua trình nghiên cứu cho thấy trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) thêm bớt photon trạng thái đan rối theo tiêu chuẩn Hillery-Zubairy bậc cao Mặt khác, tiến hành định lượng độ rối tiêu chuẩn độ đồng quy nhằm khẳng định lại lẫn trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) thêm bớt photon trạng thái rối Khi xem xét trạng thái trạng thái rối chúng tơi sử dụng làm nguồn rối để xây dựng mơ hình viễn tải lượng tử; sau đánh giá mức độ thành cơng q trình viễn tải thơng qua độ trung thực trung bình Fav Kết cho thấy trình viễn tải lượng tử thành công, đường biểu diễn cho thấy độ trung thực trung bình Fav phụ thuộc vào giá trị tham số đưa vào Kết lần khẳng định mối liên quan chặt chẽ việc đánh giá độ đan rối thành công trình viễn tải lượng tử LỜI CẢM ƠN Nghiên cứu tài trợ Quỹ Phát triển khoa học công nghệ Quốc gia (NAFOSTED) đề tài mã số 103.01-2018.361 72 HOÀNG THỊ THÚY DUNG cs TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Perelomov A M (1972), “Coherent states for arbitrary Lie groups”, Communications in Mathematical Physics, 26, 3, pp 222 - 236 [2] Hillery M., and Zubairy M S (2006), “Entanglement conditions for two- mode states”, Physical Review Letters, 96, 5, pp 050503-1 - 050503-7 [3] Jiani Wu, Shiyou Liu, Liyun Hu, Jiehui Huang, Zhenglu Duan and Yinghua Ji (2015), “Improving entanglement of even entangled coherent states by a coherent superposition of photon subtraction and addition”, Journal of the Optical Society of America B, 32, 11, pp 2299-1 - 2299-9 [4] G S and Biswas A (2005), “Inseparability inequalities for higher oder moments for bipartite systems”, New Journal of Physics, 7, 1, pp 211-1 - 211-8 [5] Duc T M, Noh J (2008), “Higher-order propepties of photonadded coherent states”, Optics communications, 281, pp 2842-2848 Title: QUANTITATIVE MEASURES OF ENTANGLEMENT AND QUANTUM TELEPORTATION OF THE ONE-PHOTON-ADDED AND ONE-PHOTON-SUBTRACTED TWO-MODE SU (1,1) COHERENT STATE Abstract: In this paper, we consider the entanglement properties of the one-photon-added and one-photon-subtracted two-mode SU (1,1) coherent state By applying the HilleryZubairy and the Concurrence entanglement criteria, we conclude that the one-photonadded and one-photon-subtracted two-mode SU (1,1) coherent state is absolutely entangled states Then, these state is used as an entangled resource for teleportation of a coherent state to assess the efficiency of the process via the average fidelity Fav From the results of the average fidelity, we show that the teleportation process is successful when the average fidelity satisfies the condition Fav ≥ 0.5 Keywords: Two-mode coherent state, entanglement, quantum teleportation  ... diện "số photon" Các kết khảo sát thể trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1 ) thêm bớt photon có đan rối theo phương diện Vậy trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1 ) thêm bớt photon trạng thái đan rối theo... thái hai mode kết hợp SU(1,1 ) thêm bớt photon Sau tiến hành viễn tải lượng tử trạng thái kết hợp với trạng thái đánh giá thành cơng q trình viễn tải thơng qua độ trung thực trung bình Các kết thu... đan rối trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) thêm bớt photon tiêu chuẩn đan rối HilleryZubairy Qua trình nghiên cứu cho chúng tơi thấy trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) thêm bớt photon trạng