Định lượng độ rối và viễn tải lượng tử với trạng thái thêm và bớt một photon lên hai mode kết hợp lẻ

Bài viết nghiên cứu tính chất đan rối và định lượng độ rối của trạng thái thêm và bớt một photon lên hai mode kết hợp lẻ bằng tiêu chuẩn Hillery-Zubairy bậc cao và tiêu chuẩn đồng quy Concurrence.

TẠP CHÍ KHOA HỌC - ĐẠI HỌC ĐỒNG NAI, SỐ 16 - 2020 ISSN 2354-1482 ĐỊNH LƯỢNG ĐỘ RỐI VÀ VIỄN TẢI LƯỢNG TỬ VỚI TRẠNG THÁI THÊM VÀ BỚT MỘT PHOTON LÊN HAI MODE KẾT HỢP LẺ Nguyễn Thị Phương Trinh1 Trương Minh Đức1 TÓM TẮT Trong báo này, chúng tơi nghiên cứu tính chất đan rối định lượng độ rối trạng thái thêm bớt photon lên hai mode kết hợp lẻ tiêu chuẩn Hillery-Zubairy bậc cao tiêu chuẩn đồng quy Concurrence Kết định lượng cho thấy, trạng thái thêm bớt photon lên hai mode kết hợp lẻ hoàn toàn đan rối chọn tham số trạng thái phù hợp theo hai tiêu chuẩn Bằng việc sử dụng trạng thái làm nguồn tài nguyên đan rối để thực viễn tải lượng tử trạng thái kết hợp, chúng tơi thấy q trình viễn tải lượng tử thành công chọn tham số phù hợp Từ khóa: Tiêu chuẩn đan rối Hillery - Zubairy bậc cao, tiêu chuẩn Concurrence, viễn tải lượng tử, độ trung thực trung bình trình viễn tải lượng tử Giới thiệu phi cổ điển Trong trình nghiên cứu, Trạng thái kết hợp  lần hai nhà khoa học Glauber [1] nhà khoa học thấy phương Sudarshan [2] đưa vào năm 1963 pháp quan trọng để tạo trạng thái khảo sát tính chất phi cổ điển việc thêm bớt chùm Laser Đó trạng thái tương ứng photon vào trạng thái vật lý Thông với thăng giáng lượng tử nhỏ suy qua mở ứng dụng từ hệ thức bất định Heisenberg Dựa kỹ thuật, công nghệ thông tin sở vào năm 1991, Agarwal lượng tử Trạng thái thêm bớt Tara đề xuất ý tưởng trạng thái photon lên hai mode kết hợp lẻ kết hợp thêm photon [3] đồng thời định nghĩa sau: chứng minh trạng thái    N  aˆ†  b ab   a  b   a  b , (1) aˆ† tốn tử sinh mode a , bˆ toán tử hủy mode b , N  hệ số chuẩn hóa: N   2      exp      *    *  1  x  *  *         cứu Tuy nhiên, việc định lượng độ rối viễn tải lượng tử với trạng thái thêm bớt photon lên hai mode kết hợp lẻ chưa đề cập đến Vì vậy, báo tiến hành định lượng độ rối viễn tải lượng tử Việc nghiên cứu trạng thái hai mode kết hợp số tác giả [4], [5] quan tâm, đặc biệt tính chất phi cổ điển trạng thái thêm bớt photon lên hai mode kết hợp lẻ tác giả Đỗ Thị Bé Hạnh [6] nghiên Trường Đại học Sư phạm – Đại học Huế Email: tmduc2009@gmail.com  135 (2) TẠP CHÍ KHOA HỌC - ĐẠI HỌC ĐỒNG NAI, SỐ 16 - 2020 ISSN 2354-1482 Vào năm 2006, Hillery Zubairy [7] kiểm tra vi phạm phương sai tích tốn tử sinh hủy photon bất đẳng thức mà Hillery Zubairy đưa đan rối hệ hai mode cho bởi: với trạng thái thêm bớt photon lên hai mode kết hợp lẻ Định lượng độ rối trạng thái thêm bớt photon lên hai mode kết hợp lẻ 2.1 Định lượng độ rối tiêu chuẩn đan rối Hillery-Zubairy bậc cao aˆ maˆmbˆ†nbˆn  aˆmbˆ†n † (3) Để thuận tiện cho việc định lượng đưa vào tham số đan rối R dạng: H RH  aˆ maˆmbˆ†nbˆn  aˆmbˆ†n † Một trạng thái xem lại giá trị RH  điều có   [   2(m 1)      2m  1   2(n 1)      2m  1 ]  (m  m   m  *  * )    2(m 1) 2(m 1)  [  2n  2n  2(n 1) 2(m 1)   x (*(m 1)  m 1 *n n     *(m 1)m 1 *n  n )]     *  * [  x   (4) nghĩa trạng thái khơng đan rối Trong trạng thái thêm bớt photon lên hai mode kết hợp lẻ tham số đan rối viết dạng: trạng thái đan rối RH  , ngược RH (m, n )  N   *m  x (2m  1)  2m  2n    m  *(n 1)n 1   *m m  *(n 1)  n 1   *(m 1) 2n  2m   m 1  *(n 1)n 1 2m 2(n 1)  2m 2(n 1)      *(m 1)m 1 *(n 1)  n 1      x  *m  m  *(n 1)n 1   *m m  *(n 1)  n 1    N            *  m( m 1  *    m  m  *n   *n  m  2  x        m  *n   *n  m    *  m  *n   m  *n  *      m m  *n   m  *n x *(n 1)  *(n 1) 136  (m 1)    )     *  *  m  TẠP CHÍ KHOA HỌC - ĐẠI HỌC ĐỒNG NAI, SỐ 16 - 2020 ISSN 2354-1482 2   m  *n   *n  m  m  *n   m  *n x            * * *n m m *n m *n m *n             m      x    m(    m 1  *(n 1)  *(n 1)  (m |1)    ) (5) (1) (2) (3) Hình 1: Đồ thị khảo sát phụ thuộc tham số RH(2,2) vào biên độ kết hợp rb trường hợp (đường (1)), ra=1,5rb (đường (2)) Để thuận tiện cho việc khảo sát q trình đan rối, chúng tơi chọn thông (đường (3)) khảo sát  rb  , a  2b b   / Kết khảo sát tính đan số   exp(ia ) ,   rb exp(ib ) rối trạng thái thêm hai bớt photon lên hai mode kết hợp cho đồ thị hình khảo sát biểu thức (5) theo biên độ rb pha dao động b với điều kiện (1) (3) (2) Hình 2: Đồ thị khảo sát phụ thuộc tham số RH(4,4) vào biên độ kết hợp rb trường hợp (đường (1)), (đường (2)) (đường (3)) Từ đồ thị trên, ta thấy giá trị cao Đặc biệt mức độ đan rối ngày tham số RH luôn âm, tức mạnh , rb tăng trạng thái thêm bớt photon lên hai mode kết hợp lẻ hoàn toàn đan rối theo tiêu chuẩn Hillery Zubairy bậc 2.2 Định lượng độ rối tiêu chuẩn đồng quy Concurrence 137 TẠP CHÍ KHOA HỌC - ĐẠI HỌC ĐỒNG NAI, SỐ 16 - 2020 Để định lượng độ rối trạng thái thêm bớt photon lên hai mode kết hợp lẻ ta cịn định lượng  ab ISSN 2354-1482 tiêu chuẩn đồng quy Concurrence [8], [9] Cho trạng thái hai mode a b:      a b   N hệ số chuẩn hóa; 𝜇, 𝛾 số phức;  a a ,   a b , (6)  ,  b b trạng thái chuẩn hóa hai mode a b Độ đồng quy định nghĩa sau: C  P1  a  2    1  P1  1  P2     * *     Re( P1P2 )   , P2  a b   Trạng thái  b , ab (7) xem đan rối C  cực đại đan rối C  Ngoài độ đồng quy C xác định biểu thức sau: C   2 1  x 1  4   1  x    N '2   , x  1  4    N' (8) với N '   2    Re   Kết khảo sát tính đan rối trạng thái thêm bớt photon lên hai mode kết hợp lẻ tiêu chuẩn Concurrence thể qua đồ thị hình (2) (1) (3) Hình 3: Đồ thị định lượng độ rối trạng thái thêm bớt photon lên hai mode kết hợp lẻ tiêu chuẩn Concurrence ( ứng với đường (3), ứng với đường (1), ứng với đường (2)) 138 TẠP CHÍ KHOA HỌC - ĐẠI HỌC ĐỒNG NAI, SỐ 16 - 2020 Nhìn vào đồ thị hình 3, ta thấy ta thấy độ đồng quy C có giá trị từ đến Vì trạng thái thêm bớt photon lên hai mode kết hợp lẻ trạng thái đan rối thỏa mãn tiêu chuẩn Concurrence Quá trình viễn tải lượng tử với trạng thái thêm bớt photon lên hai mode kết hợp lẻ  ab 3.1 Khảo sát trình viễn tải lượng tử với trạng thái thêm bớt photon lên hai mode kết hợp lẻ Trạng thái thêm bớt photon lên hai mode kết hợp lẻ biểu diễn theo trạng thái Fock có dạng:       N , exp     [ (n  1) n  1, m ab + m n, m  ab abc  N ,  ab ] tải trạng thái kết hợp  c tương ứng với mode c đưa vào Alice Tại nơi gửi thông tin, Alice thực việc tổ hợp trạng thái   trở ab c thành trạng thái ba mode có dạng: 2        n  m   exp       n ,m 0 n ! m !   tin mức độ đan rối ab  c (10)  m n, m  ab   c đo hình thành nên trạng thái rối phức hợp, trạng thái Bell Trạng thái Bell biểu diễn qua trạng thái Fock sau: Tiếp theo, Alice dùng phép đo Bell tổ hợp hai mode a c để đo thông ab ab (9) mode a đưa tới Allice mode b đưa tới Bob, trạng thái viễn   (n  1)(n  2) n  2, m      n  m    n ,m 0 n !m !    m  m 1, n  n m, n Đây trạng thái rối hai mode, trạng thái sử dụng làm nguồn đan rối để viễn tải lượng tử trạng thái kết hợp Theo mô hình viễn tải Agarwal Gábris, bên gởi thơng tin Alice bên nhận thông tin Bob Trạng thái thêm bớt photon lên hai mode kết hợp lẻ có hai mode a b ,  ISSN 2354-1482  c dựa hai mode a c Phép B(X , P ) ca   139   Dˆ (2A) k, k k 0 c ac (11) TẠP CHÍ KHOA HỌC - ĐẠI HỌC ĐỒNG NAI, SỐ 16 - 2020 ISSN 2354-1482 Khi phép đo tổ hợp hoàn thành, trạng thái sụp đổ Do Bob Alice chia sẻ trạng thái rối nên Bob có trạng thái sau:  B 2         N , exp            2 n  m exp A*   A * exp    2A      n ,m  n !m !  n 1 m 1     2A m b    2A n b  n ! m! m n m n    2A m  b    2A n  m! n!   (12)     hệ số điều khiển mà Bob dùng để hoàn thiện độ trung thực trình viễn tải Trạng thái cuối thu trình viễn tải là: Bây giờ, bên Bob tồn trạng thái ứng với mode b chứa thông tin mode c Bob thực phép dịch ˆ(g 2A) để xây dựng lại trạng chuyển D thái viễn tải ban đầu  , với g c 2        n  m   N ,  exp    n out  ,m  n ! m !      2  exp A*   A * exp    2A     n 1 m 1   2A Dˆ(g 2A) m    2A Dˆ(g 2A) n     b b m!  n! n m m n    2A Dˆ(g 2A) n    2A Dˆ(g 2A) m  b  m! n!   Đến thời điểm này, q trình viễn tải hồn thành để đánh giá mức độ thành cơng q tình viễn tải phải dựa vào độ trung thực trung bình Fav (13)     trình viễn tải Với Fav  0.5 giới hạn viễn tải cổ điển Quá trình viễn tải thành công 0.5  Fav  Một trình viễn tải đánh giá hồn hảo đạt Fav  Độ trung 3.2 Độ trung bình Fav Độ trung thực trung bình Fav thực trung bình trình viễn tải xác định sau: dùng để xác định thành công 140 TẠP CHÍ KHOA HỌC - ĐẠI HỌC ĐỒNG NAI, SỐ 16 - 2020 Fav     in out ISSN 2354-1482 d 2A (14) Để xác định Fav ta tính: in   out 2        n  m   N , exp         n ,m 0 n ! m !    2  exp A*   A * exp    2A     n 1     2A  | Dˆ(g 2A) m b  n ! m 1    2A  | Dˆ(g 2A) n b m! n m    2A  | Dˆ(g 2A) m  b n!  m n 1 ˆ    2A  | D(g 2A) n  b   m!   (15) Thay (15) vào (14) ta thu độ trung thực trung bình sau: Fav  |   |2 2d A  N 2 ,  2  exp         2 n  m *l  * p  exp    2A    g 2A     n ,m,l , p  n ! m !l ! p !  in n 1    2A  *  g 2A*    m *  2A*    g 2A l 1 p    2A    g 2A   2A   g 2A    2A    g 2A l   2A   g 2A    2A    g 2A m   2A   g 2A    2A    g 2A mp   2A   g 2A    2A    g 2A m   2A   g 2A    2A    g 2A n 1 p   2A n 1  out * n 1 n * * * * * * m  g 2A* * n n * m m 1 m 1 141 * * * * m 1 l * * m * * * p 1 l p l 1 * * * p 1 l 1 p l p 1 p 1 l * * TẠP CHÍ KHOA HỌC - ĐẠI HỌC ĐỒNG NAI, SỐ 16 - 2020 ISSN 2354-1482     2A    g 2A   2A   g 2A    2A    g 2A p   2A   g 2A    2A    g 2A    2A   g 2A    2A    g 2A l   2A   g 2A    2A    g 2A n   2A   g 2A    2A    g 2A np   2A   g 2A    2A    g 2A n   2A   g 2A    2A    g 2A nl   2A   g 2A    2A    g 2A d A m 1 ml   2A  *  g 2A* n m 1 * m * m 1 * m 1 m 1 * m * * * m * * m * * * p l p 1 p 1 l p l 1 * * * * * n 1 * n 1 p l p 1 p 1 l * * n 1 l 1 * * p * l 1 2 2 2   exp      exp         n m *l * p  n 1        exp 2    *m  *  2A*      A A        n ,m ,l , p  n ! m ! l ! p ! Fav   n 1 p   2A n 1 l   2A    *m      2A    m   2A    2A     2A    m   2A    2A    2A      2A    2A   l * n ml   2A  *(m 1) n m 1 m 1 l   2A n 1 *   p n l 1 * l * * * p  *m  *  2A* *(m 1) n p 1 m 1 l 1  *n m nl   2A  *(n 1) * *(m 1) *m p 1 * l 1 * * l m 1 * * p m l 1 * * * * l p 142 * *(n 1) m p 1 l 1 *n *(n 1) * l 1 p 1 * * * l 1 p p p 1 * *  l    2A     2A    n   2A    2A     2A    n   2A    2A    2A   d   2A  *n  *  2A*  p 1    2A np   2A  *(n 1) m   *m  *  2A*  p 1    2A mp   2A  *(m 1) p   2A (16) khiển độ trung thực trung bình Chọn trường hợp g = thực bước biến đổi, ta thu biểu thức độ trung thực trung bình có dạng: Biểu thức (16) cho biết độ trung thực trung bình dạng tổng quát, với g hệ số điều khiển Bob dùng để hồn thiện độ trung thực q trình viễn tải, nên ta chọn g để điều N ,  n l 1 l 1 * * n 1 * m * * n * p * * n * * * l p l l 1 * p p 1 l (17) TẠP CHÍ KHOA HỌC - ĐẠI HỌC ĐỒNG NAI, SỐ 16 - 2020 ISSN 2354-1482 Thực phép biến đổi ta thu được: 2 2 2   Fav  N , exp      exp        n n 2     m * p *m p    m  * p  *n  p 1          *   p  (n  1)     n !m ! p ! n !m ! p ! n ,m , p        *n 1 *n l 1    n  m * l  *n  *m  l n  m *l     n  1  l      n ! m !l ! n ! m !l ! n ,m ,l    2 l l p p    m * p *m 1     m  * p  *m 1         m  mp       m !l ! p ! m !l ! p ! m ,l , p    l l 1  p l m * l * p *m 1    p  m  * l  * p  *(m 1)          m ml       m !l ! p ! m !l ! p ! m ,l , p    p p 1  n m *m * p *n  n  m  *(m 1)  * p  *n           (m  1)      n !m ! p ! n !m ! p ! n ,m , p    l 2m l 1  n 2m *l *n  n   *l  *n               *l  (m  1)    n ! m !l ! n ! m !l ! n ,m ,l     p p  n l 1 *l * p *n 1    n  l  *l  * p  *n 1            n np    n !l ! p ! n !l ! p ! n ,l , p      p    2p l l  n p *l *n 1    n  *l  *n 1           (18)   n  nl     n !l ! p ! n !l ! p ! n ,l , p        Để thuận lợi cho việc khảo sát, khảo sát   theo  với      k  , từ độ trung thực trung bình viết lại dạng: 143 TẠP CHÍ KHOA HỌC - ĐẠI HỌC ĐỒNG NAI, SỐ 16 - 2020 Fav  ISSN 2354-1482 exp(   2k  ) 2 2 2[   k   2k  exp(   k  )  (k *2  k 2  1)(1  exp(   k  ))] 2n     2n 2m  p ( ) (k  )2m 2 p 1 *   k     (n  1)  p      n,m, p 0  n ! m ! p ! n !m ! p !    n l  n l  2m n l  (k  )2m n l    (k  )    n  1  n ! m !l ! l   n ! m ! l ! n ,m ,l    2l 2l   2m 2 p 1   (k  )2m 2 p 1   (k  )     m  mp    m !l ! p ! m !l ! p ! m ,l , p    p l 1  p l 1    (k  )2m  p l 1 (k  )2m  p l 2      m ml    m !l ! p ! m !l ! p ! m ,l , p    m n m n        (k  )m n 2 p (k  )m n 2 p 1   (m  1)     p   n !m ! p ! n !m ! p ! n ,m , p    n l  n l  2m n l   (k  )2m n l 1 *    (k  )    (m  1)  k l    n ! m !l ! n ! m !l ! n ,m ,l    n l  n l   (k  )n l 2 p (k  )n l 2 p 2      n np    n !l ! p ! n !l ! p ! n ,l , p    (19) n l n l     (k  )n l 2 p 1 (k  )n l 2 p 1        nk   nl     n !l ! p ! n !l ! p ! n ,l , p         thể hình Từ đồ thị hình cho ta thấy giá trị k Chúng khảo sát phụ thuộc Fav vào biên độ kết hợp  theo đưa vào phù hợp Fav nằm biểu thức (19) để đánh giá trình viễn tải lượng tử với nguồn rối trạng thái thêm bớt photon lên hai mode kết hợp lẻ Kết khảo sát khoảng 0.5  Fav  tức q trình viễn tải thành cơng 144 TẠP CHÍ KHOA HỌC - ĐẠI HỌC ĐỒNG NAI, SỐ 16 - 2020 ISSN 2354-1482 (1) (2) (3) Hình 4: Sự phụ thuộc độ trung thực trung bình với giá trị ứng với đường (3); vào biên độ kết hợp ứng với đường (1); ứng với đường (2) hợp với nguồn rối trạng thái thêm bớt photon lên hai mode kết hợp lẻ đánh giá thành cơng q trình viễn tải thơng qua độ trung thực trung bình trình viễn tải Kết cho thấy q trình viễn tải thành cơng với độ trung thực trung bình trình viễn tải nằm khoảng 0.5  Fav  Kết luận Trong báo này, sử dụng tiêu chuẩn đan rối HilleryZubairy bậc cao tiêu chuẩn đồng quy Concurrence để khảo sát tính đan rối trạng thái thêm bớt photon lên hai mode kết hợp lẻ sử dụng trạng thái làm nguồn rối để thực viễn tải lượng tử trạng thái kết hợp Các kết thu sau: Thứ nhất, trạng thái thêm bớt photon lên hai mode kết hợp lẻ trạng thái đan rối theo tiêu chuẩn Hillery-Zubairy bậc cao tiêu chuẩn đồng quy Concurrence Khi xác định tham số trạng thái phù hợp trạng thái trạng thái đan rối hồn tồn sử dụng chúng nguồn tài nguyên đan rối để viễn tải lượng tử Thứ hai, thực trình viễn tải lượng tử trạng thái kết tương ứng trạng thái có biên độ bé Tuy nhiên, độ trung thực trình viễn tải chưa ổn định phụ thuộc vào tham số đưa vào, độ trung thực trung bình tiến gần đến chọn giá trị tham số     k  Trong khuôn khổ báo này, dừng lại việc khảo sát tính đan rối viễn tải lượng tử với trạng thái thêm bớt photon lên hai mode kết hợp lẻ Chúng tiếp tục mở rộng nghiên cứu họ trạng thái thêm bớt photon phi cổ điển hai mode khác thời gian tới TÀI LIỆU THAM KHẢO Glauber R J (1963), Phys Rev Lett, 131, 2766 Sudarshan E C G (1963), Phys Rev Lett, 10, 277 Agarwal G S and Tara K (1991), Phys Rev A, 43, 492 145 TẠP CHÍ KHOA HỌC - ĐẠI HỌC ĐỒNG NAI, SỐ 16 - 2020 ISSN 2354-1482 Nguyễn Văn Phong (2016), “Nghiên cứu tính đan rối viễn tải lượng tử với trạng thái hai mode kết hợp SU(2) lẻ”, Luận văn Thạc sĩ Vật lý, trường Đại học Sư phạm Huế Nguyễn Thị Phương Ni (2017), “Định lượng độ rối viễn tải lượng tử với trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(2) chẵn”, Luận văn Thạc sĩ Vật lý, trường Đại học Sư phạm Huế Đỗ Thị Bé Hạnh (2017), “Nghiên cứu tính chất phi cổ điển trạng thái thêm bớt photon lên hai mode kết hợp lẻ”, Luận văn Thạc sĩ Vật lý, trường Đại học Sư phạm Huế Hillery M and Zubairy M S (2006), Phys Rev A, 74(3), 032333 Wootters W K (1998), Phys Rev Lett, 80, 2245 Võ Tình (2012), Bài giảng Quang học lượng tử, trường Đại học Sư phạm Huế INVESTIGATING ENTANGLEMENT AND QUANTUM TELEPORTATION WITH SINGLE-PHOTON ADDED AND SUBTRACTED TWO-MODE ODD COHERENT STATES ABSTRACT In this paper, we investigate entanglement property of single-photon-added and single-photon-subtracted two-mode odd coherent states The obtained results show that this state is entangled satisfying higher-order Hillery-Zubairy entangled and Concurrence conditions This state is used as an entangled resource for quantum teleportation of a coherent state From the results of the average fidelity, it is shown that teleportation process is successful when the fidelity reaches the value of 0.5  Fav  Keywords: Hillery-Zubairy criterion, Concurrence teleportation, the average fidelity of teleportation process condition, quantum (Received: 11/6/2018, Revised: 9/7/2018, Accepted for publication: 13/7/2018) 146 ... đến Vì trạng thái thêm bớt photon lên hai mode kết hợp lẻ trạng thái đan rối thỏa mãn tiêu chuẩn Concurrence Quá trình viễn tải lượng tử với trạng thái thêm bớt photon lên hai mode kết hợp lẻ ... đan rối trạng thái thêm bớt photon lên hai mode kết hợp lẻ sử dụng trạng thái làm nguồn rối để thực viễn tải lượng tử trạng thái kết hợp Các kết thu sau: Thứ nhất, trạng thái thêm bớt photon lên. ..  ab 3.1 Khảo sát trình viễn tải lượng tử với trạng thái thêm bớt photon lên hai mode kết hợp lẻ Trạng thái thêm bớt photon lên hai mode kết hợp lẻ biểu diễn theo trạng thái Fock có dạng:  