Bài báo này nghiên cứu tính chất đan rối và định lượng độ rối của trạng thái hai mode kết hợp SU(1, 1) thêm một và bớt một photon lẻ bằng sử dụng tiêu chuẩn đan rối Hillery-Zubairy và tiêu chuẩn Độ đồng quy. Kết quả khảo sát cho thấy trạng thái hai mode kết hợp SU(1, 1) thêm một và bớt một photon lẻ là một trạng thái đan rối mạnh.
ĐỊNH LƯỢNG ĐỘ RỐI VÀ VIỄN TẢI LƯỢNG TỬ VỚI TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP SU (1, 1) THÊM MỘT VÀ BỚT MỘT PHOTON LẺ NGUYỄN THỊ THU HẰNG1 TRƯƠNG MINH ĐỨC1,∗ , HỒ SỸ CHƯƠNG2,∗∗ Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế Trường Đại học Đồng Nai ∗ Email: tmduc2009@gmail.com ∗∗ Email: hosichuong@gmail.com Tóm tắt: Bài báo nghiên cứu tính chất đan rối định lượng độ rối trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) thêm bớt photon lẻ sử dụng tiêu chuẩn đan rối Hillery-Zubairy tiêu chuẩn Độ đồng quy Kết khảo sát cho thấy trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) thêm bớt photon lẻ trạng thái đan rối mạnh Khi sử dụng trạng thái để viễn tải lượng tử trạng thái kết hợp, chúng tơi nhận thấy q trình viễn tải lượng tử thành công với độ trung thực Fav trình viễn tải thỏa mãn điều kiện 0, ≤ Fav ≤ Từ khóa: Trạng thái hai mode kết hợp, Tính chất đan rối, Viễn tải lượng tử GIỚI THIỆU Ngày nay, thời đại công nghệ thông tin bước phát triển cao số hóa tất liệu thơng tin, ln chuyển mạnh mẽ kết nối tất lại với Thế nên, vấn đề làm để truyền tín hiệu xa mà đảm bảo tính lọc lựa cao giảm thăng giáng đến mức thấp vấn đề cấp thiết cho nhà vật lý lý thuyết thực nghiệm Trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) định nghĩa sau [1] |ϕ ab = |ξ, q ab = (1 − |ξ|2 ) 1+q ∞ n=0 (n + q)! n!q! 1/2 ξ n |n + q, n ab , (1) ξ = − tanh(θ/2) exp(−iϕ); (θ/2) = r với θ bé Khi cho toán tử (ˆ a† + ˆb) tác dụng lên trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) cho trạng thái mới, Tạp chí Khoa học, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế ISSN 1859-1612, Số 03(51)/2019: tr 73-81 Ngày nhận bài: 15/05/2019; Hoàn thành phản biện: 20/06/2019; Ngày nhận đăng: 25/06/2019 74 NGUYỄN THỊ THU HẰNG cs trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) thêm bớt photon lẻ, định nghĩa dạng |ψ ab =N a ˆ† + ˆb (|ϕ − |−ϕ ab ab ) , (2) N hệ số chuẩn hóa Khi biểu diễn qua trạng thái Fock, trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) thêm bớt photon lẻ đưa sau: |ψ 1+q 2 ab =N − |ξ| ∞ n=0 × (n + q)! n!q! n + q + 1|n + q + 1, n [1 − (−1)n ] ξ n (3) ab + √ n|n + q, n − ab Đặt m = n = 2k + thực chuẩn hóa hệ số chuẩn hóa ∞ 1+q N = − |ξ| k=0 (2k + q + 1)! |ξ|2(2k+1) (4k + q + 3) (2k + 1)!q! − 12 (4) Từ đó, trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) thêm bớt photon lẻ viết lại |ψ ab 1+q − |ξ| = ∞ (2k + q + 1)! |ξ|2(2k+1) (4k + q + 3) (2k + 1)!q! k=0 × − |ξ| 1+q ∞ k=0 × (2k + q + 1)! (2k + 1)!q! − 21 (5) ξ (2k+1) 2k + q + 2|2k + q + a |2k + b + √ 2k + 1|2k + q + a |2k b Trong báo này, chúng tơi tiến hành khảo sát tính đan rối trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) thêm bớt photon lẻ Tiếp theo tiến hành viễn tải lượng tử trạng thái kết hợp với trạng thái đánh giá thành công trình viễn tải thơng qua độ trung thực trung bình Các kết thu biện luận chi tiết phần kết luận NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT ĐAN RỐI VÀ ĐỊNH LƯỢNG ĐỘ RỐI Nghiên cứu tính đan rối trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) thêm bớt photon lẻ theo tiêu chuẩn đan rối Hillery-Zubairy [2], [3] Theo đó, Hillery Zubairy đưa điều kiện đan rối dạng bất đẳng thức a ˆ† m (ˆ a)m ˆb† n ˆb n (ˆ a)m ˆb < n (6) Một trạng thái gọi đan rối bất đẳng thức thỏa mãn Sử dụng tiêu chuẩn đặt m = n = 2k + = l, sau chúng tơi đưa vào tham số đan rối R1 dạng l R1 = a ˆ† (ˆ a)l ˆb† l ˆb l − (ˆ a)l ˆb l (7) 75 ĐỊNH LƯỢNG ĐỘ RỐI VÀ VIỄN TẢI LƯỢNG TỬ Một trạng thái gọi đan rối R1 < R1 âm mức độ đan rối tăng, ngược lại R1 ≥ trạng thái khơng rối Thực tính tốn đại lượng biểu thức R1 đặt ψ = 0, γ = 2r, ≤ r ≤ π, ta ξ = − r Thay vào biểu thức (7) thu kết R1 =4|N | ∞ 1+q − |ξ| n=0 l (n + q)! |ξ|2n [1 − (−1)n ] n!q! l × (n + q + 1) (n − j + 1) + n j=1 (n − j) j=1 l (n + q − j + 2) +n j=1 − 4|N | l × (n + q + 1) − |ξ| (n + q − j + 1) j=1 ∞ 1+q n=0 (n + q)! |ξ|2n [1 − (−1)n ] ξ l n!q! l × n+q+1 n+q+1−l (n − j + 1) + l √ n+1 n+1−l (n + q − j + 2) j=1 2 l (n − j + 2) j=1 (8) l j=1 √ (n + q − j + 1) j=1 Kết nghiên cứu phụ thuộc mức độ đan rối R1 theo r cho hình 0 -1 R1 (×1013 ) R1 (×105 ) -2 -4 -6 0.0 -2 -3 -4 -5 0.5 1.0 1.5 r 2.0 2.5 3.0 Hình 1: Sự phụ thuộc tham số đan rối R1 vào r q với k thuộc khoảng giá trị (0;2), từ (đường liền) xuống ứng với giá trị q = 1, q = 2, q = -6 0.0 0.5 1.0 1.5 r 2.0 2.5 3.0 Hình 2: Sự phụ thuộc tham số đan rối R1 vào r q với k thuộc khoảng giá trị (0;3), từ (đường liền) xuống ứng với giá trị q = 6, q = 7, q = hình Sự thuộc tham số đan rối R1 vào r xét khoảng khoảng ≤ r ≤ π, tương ứng với k thuộc khoảng giá trị (0; 2) ta xét hình 1, (hay n, m thuộc khoảng giá trị (0; 5) n = m = 2k + 1) với k thuộc khoảng giá trị (0; 3) (n, m thuộc khoảng giá trị (0; 7)) hình 2, giá trị q khảo sát q = 1, q = 2, q = (hình 1) 76 NGUYỄN THỊ THU HẰNG cs q = 6, q = 7, q = (hình 2) Từ hai đồ thị biểu diễn, nhận thấy rằng, q tăng k tăng ((m, n) tăng) giá trị R1 âm, điều chứng tỏ trạng thái rối Từ chúng tơi kết luận rằng, trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) thêm bớt photon lẻ phụ thuộc vào tham số k q, giá trị tham số k q lớn mức độ đan rối lớn ngược lại Vậy trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) thêm bớt photon lẻ trạng thái rối hoàn toàn (khi ta xét giá trị tham số k q phù hợp) theo tiêu chuẩn đan rối Hillery-Zubairy, nên trạng thái làm nguồn rối cho q trình viễn tải lượng tử Ở đây, độ rối đánh giá thông qua tiêu chuẩn đan rối Hillery-Zubairy điều kiện đủ cần thiết phải kiểm tra lại kết thu lần phương pháp độc lập với cách Chính thế, chúng tơi thực khảo sát hiệu ứng đan rối tiêu chuẩn đan rối khác, mà tiêu chuẩn Độ đồng quy Theo tiêu chuẩn Độ đồng quy [4], chúng tơi có trạng thái hai mode a b đưa dạng |Ψ ab = N [µ |η a |γ b + υ |ζ a |δ b ] , (9) N hệ số chuẩn hóa; µ, υ số phức; ζ, η , γ , δ trạng thái chuẩn hóa hai mode a b Từ đó, chúng tơi định nghĩa Độ đồng quy sau: C= 2|µ||υ| (1 − |P1 |)((1 − |P2 |) |µ|2 + |υ|2 + Re(µ∗ υP1 P2 ∗ ) , (10) Khi áp dụng cho trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm bớt photon lẻ, thu Độ đồng quy có dạng C= |µ| |υ| , |µ|2 + |υ|2 ∞ |µ| = n=0 ∞ |υ| = n=0 (n + q)! [1 − (−1)n ]2 tanh2 r (n + q + 1) n!q! (n + q)! [1 − (−1)n ]2 tanh2 r.n n!q! − 12 ; (11) − 12 Chúng tơi có đồ thị khảo sát đan rối trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) thêm bớt photon lẻ đan rối theo tiêu chuẩn Độ đồng quy hình hình Đồ thị hình 3, hình 4, cho thấy giá trị r tăng từ đến π/3 Độ đồng quy tăng nhanh sau r > π/3 độ đồng quy gần bảo hòa với giá trị Độ đồng quy cực đại tiến đến gần Như vậy, trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) thêm bớt photon lẻ trạng thái đan rối hồn tồn Do đó, trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) thêm bớt photon lẻ sử dụng nguồn tài nguyên đan rối để thực trình viễn tải lượng tử 77 ĐỊNH LƯỢNG ĐỘ RỐI VÀ VIỄN TẢI LƯỢNG TỬ 0.8 0.8 0.6 0.6 C 1.0 C 1.0 0.4 0.4 0.2 0.2 0.0 0.0 0.5 1.0 1.5 r 2.0 2.5 0.0 0.0 3.0 Hình 3: Sự phụ thuộc Độ đồng quy C vào r q với k thuộc khoảng giá trị (0;2), từ (đường liền) lên ứng với giá trị q = 1, q = 2, q = 0.5 1.0 1.5 r 2.0 2.5 3.0 Hình 4: Sự phụ thuộc Độ đồng quy C vào r q với k thuộc khoảng giá trị (0;3), từ (đường liền) lên ứng với giá trị q = 6, q = 7, q = KHẢO SÁT QUÁ TRÌNH VIỄN TẢI LƯỢNG TỬ Theo mơ hình viễn tải Agarwal Gasbris [5], bên gửi thông tin Alice bên nhận thông tin Bob Trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) thêm bớt photon lẻ có hai mode a b, mode a đưa tới Alice mode b đưa tới Bob, trạng thái viễn tải trạng thái kết hợp |γ c tương ứng với mode c đưa vào Alice Tại nơi gởi thông tin, Alice thực việc tổ hợp trạng thái |γ c |ψ ab trở thành trạng thái mode có dạng |ψ abc =|ψ ab |γ c =N − |ξ| 1+q ∞ n=0 × (n + q)! n!q! [1 − (−1)n ] ξ n n + q + 1|n + q + a |n b + √ n|n + q a |n − (12) b |γ c Tiếp theo Alice thực phép đo trạng thái Bell tổ hợp mode a c để đo thông tin mức độ đan rối |γ c |ψ ab dựa mode a c Trạng thái Bell biểu diễn qua trạng thái Fock sau |B (X, P ) ac =√ π ∞ Dc (2A) |k, k k=0 ac (13) 78 NGUYỄN THỊ THU HẰNG cs Khi phép đo tổ hợp hoàn thành, trạng thái tích |ψ abc sụp đổ Do Bob Alice chia trạng thái đan rối nên Bob có trạng thái sau |ψ abc,B =ca B (X, P ) | ψ = √ N − |ξ|2 π abc 1+q ∞ ∞ (n + q)! n!q! n=0 k=0 [1 − (−1)n ] ξ n (14) n + q + 1ca k, k| Dc† (2A) |n + q + a |n b |γ × √ + nca k, k| Dc† (2A) |n + q a |n − b |γ c c Lúc này, bên Bob tồn trạng thái tương ứng với mode b chứa thông tin mode c ˆ (gβ) để xây dựng lại trạng thái viễn tải ban đầu Bob thực phép dịch chuyển D |γ c với g hệ số điều khiển mà Bob dùng để hồn thiện độ trung thực q trình viễn tải Trạng thái cuối thu trình viễn tải |ψ abc,out ˆ (g2A) |ψ =D abc,B 1+q 2 = √ N − |ξ|2 π e−Aγ ∗ +A∗ γ e− |γ−2A| ∞ n=0 n+q+1 × (|γ − 2A|) (n + q + 1)! ˆ (g2A) |n n + q + 1.D 1/2 (n + q)! n!q! b + [1 − (−1)n ] ξ n (|γ − 2A|)n+q √ ˆ n.D (g2A) |n − (n + q)! (15) Bây giờ, chúng tơi phải dựa vào độ trung thực trung bình Fav để đánh giá mức độ thành cơng q trình viễn tải lượng tử ĐỘ TRUNG THỰC TRUNG BÌNH CỦA QUÁ TRÌNH VIỄN TẢI LƯỢNG TỬ Tiêu chuẩn thành cơng q trình viễn tải lượng tử xác định qua độ trung thực trung bình Fav xác định qua biểu thức sau Fav = = in,ab ψ|ψ γ|ψ ab,out ab,out d2 A (16) d2 A Q trình viễn tải thành cơng thỏa mãn điều kiện 12 ≤ Fav ≤ Đối với trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) thêm bớt photon lẻ Fav có dạng Fav =8|N | − |−tanhr| 1+q ∞ exp −|2r| n=0 (n + q)! n!q! 2n × [1 − (−1)n ] |−tanhr|2n |2r| n! (2n + q + 1) , b 79 ĐỊNH LƯỢNG ĐỘ RỐI VÀ VIỄN TẢI LƯỢNG TỬ N hệ số chuẩn hóa Để kết luận cho q trình viễn tải lượng tử với nguồn rối trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) thêm bớt photon lẻ, khảo sát phụ thuộc độ trung thực trung bình Fav vào r theo biểu thức (3.23) Kết khảo sát độ trung thực trung bình Fav theo r cho hình 1.0 0.8 Fav 0.6 0.4 0.2 0.0 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 r Hình 5: Khảo sát độ trung thực trung bình Fav theo r với giá trị q k khác nhau, từ (đường liền nét đậm) xuống tương ứng với q = với k = (0; 2) k = (0; 5) , q = với k = (0; 2) k = (0; 5) Từ hình vẽ chúng tơi thấy đường liền nét đậm (q = 6) đường liền nét nhạt (q = 7) cho ta giá trị độ trung thực trung bình bị giảm giá trị tham số q tăng lên giá trị k = (0; 2) Tương tự, đường biễn diễn đứt nét nhạt (q = 6) đứt nét đậm (q = 7) tương ứng giá trị k khảo sát nằm khoảng (0; 5), thu kết tương tự Bây xét thay đổi giá trị k khoảng giá trị cho (0; 2) (0; 5), thấy ta tăng giá trị k giảm giá trị q độ trung thực trung bình tăng theo, ngược lại Một trạng thái đan rối sử dụng vào trình viễn tải cho ta kết độ trung thực trung bình Fav có giá trị nằm khoảng 0, ≤ Fav ≤ trạng thái trạng thái đan rối sử dụng viễn tải lượng tử Xét giá trị r nằm khoảng 0, 25 đến π/6 độ lớn Fav thỏa mãn điều kiện 0, ≤ Fav ≤ Nhưng thay đổi giá trị q k dẫn đến thay đổi r nên giá trị Fav thay đổi theo Do vậy, chúng tơi hồn tồn thay đổi giá trị k q phù hợp để thực trình viễn tải lượng tử cho trường hợp trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) thêm bớt photon lẻ Vậy q trình viễn tải lượng tử thành cơng, kết mong đợi Kết lần khẳng định mối quan hệ chặt chẽ mức độ đan rối nguồn rối mức độ thành cơng q trình viễn tải lượng tử 80 NGUYỄN THỊ THU HẰNG cs KẾT LUẬN Trong báo này, đầu tiên, chúng tơi tiến hành nghiên cứu tính chất đan rối định lượng độ rối trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) thêm bớt photon lẻ hai tiêu chuẩn đan rối Hillery-Zubairy tiêu chuẩn Độ đồng quy Cả hai tiêu chuẩn cho kết khẳng định trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) thêm bớt photon lẻ trạng thái rối hoàn toàn Tiếp theo, sử dụng trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) thêm bớt photon lẻ làm nguồn rối để xây dựng mơ hình viễn tải lượng tử trạng thái kết hợp đánh giá mức độ thành cơng q trình viễn tải thơng qua độ trung thực trung bình Fav Đồ thị cho thấy độ trung thực trung bình Fav phụ thuộc vào giá trị tham số đưa vào Chúng tơi thấy giá trị γ, q thay đổi độ trung thực trung bình thay đổi theo Chính thế, chúng tơi phải tính tốn chọn tham số phù hợp trình viễn tải lượng tử diễn thành công Trong báo này, giá trị khảo sát γ = 2r; 0, 25 < r < π6 , giá trị q xét 7, xét khoảng giá trị k từ (0; 2) đến khoảng giá trị (0; 5) trình viễn tải diễn thành cơng với độ trung thực trung bình nằm hoàn toàn vùng khảo sát viễn tải lượng tử Tuy nhiên, thơng số khác chọn cách phù hợp để thực trình viễn tải Kết lần khẳng định mối quan hệ chặt chẽ mức độ đan rối nguồn rối mức độ thành công trình viễn tải lượng tử LỜI CẢM ƠN Nghiên cứu tài trợ Bộ Giáo dục Đào tạo đề tài mã số B2019-DHH-12 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Perelomov A M (1972), “Coherent states for arbitrary Lie groups”, Communications in Mathematical Physics, 26, 3, pp 222 - 236 [2] Hillery M (1989), “Sum and diffrence squeezing of the electromagnetic field”, Phys Rev A, 45, pp 3147-3155 [3] Hillery M and Zubairy M S (2006), “Entanglement conditions for two- mode states”, Physical Review Letters, 96, 5, pp 050503-1 - 050503-7 [4] Jiani Wu, Shiyou Liu, Liyun Hu, Jiehui Huang, Zhenglu Duan and Yinghua Ji (2015), “Improving entanglement of even entangled coherent states by a coherent superposition of photon subtraction and addition”, Journal of the Optical Society of America B, 32, 11, pp 2299-1 - 2299-9 [5] Agarwal G S and Biswas A (2005), “Inseparability inequalities for higher oder moments for bipartite systems”, New Journal of Physics, 7, 1, pp 211-1 - 211-8 [6] Christopher C Gerru, Rainer Grobe (1996), “Two-mode SU (2) and SU (1, 1) Schrodinger cat states”, Journal of modern optics, vol.44, No.1, pp 41-53 ĐỊNH LƯỢNG ĐỘ RỐI VÀ VIỄN TẢI LƯỢNG TỬ 81 Title: QUALITATIVE MEASURES OF ENTANGLEMENT AND QUANTUM TELEPORTATION OF THE ONE-PHOTON-ADDED AND ONE-PHOTON-SUBTRACTED TWO-MODE ODD SU(1,1) COHERENT STATE Abstract: This paper considers the entanglement properties of the one-photon-added and one-photon-subtracted two-mode odd SU (1, 1) coherent state by using the Hillery-Zubairy and the Concurrence criteria We conclude that the one-photon-added and one-photonsubtracted two-mode odd SU (1, 1) coherent state is absolutely entangled state Therefore, this state is used as an entangled resource to teleport a coherent state We show that the efficiency of the teleportation process via the average fidelity Fav We realize that the teleportation process is successful when a maximum fidelity reaches the value of Fav = Keywords: Two-mode coherent state, entanglement, quantum teleportation ... (1, 1) thêm bớt photon lẻ trạng thái rối hồn tồn Tiếp theo, chúng tơi sử dụng trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) thêm bớt photon lẻ làm nguồn rối để xây dựng mơ hình viễn tải lượng tử trạng thái. .. rối trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) thêm bớt photon lẻ hai tiêu chuẩn đan rối Hillery-Zubairy tiêu chuẩn Độ đồng quy Cả hai tiêu chuẩn cho kết khẳng định trạng thái hai mode kết hợp SU (1,. .. hồn tồn Do đó, trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) thêm bớt photon lẻ sử dụng nguồn tài nguyên đan rối để thực trình viễn tải lượng tử 77 ĐỊNH LƯỢNG ĐỘ RỐI VÀ VIỄN TẢI LƯỢNG TỬ 0.8 0.8 0.6