Trong bài báo này, các tác giả nghiên cứu các tính chất nén tổng hai mode, nén hiệu hai mode, nén Hillery bậc cao, tính phản kết chùm bậc cao, tính chất đan rối và sự vi phạm bất đẳng thức CauchySchwarz của trạng thái hai mode kết hợp SU(1, 1) thêm một và bớt một photon lẻ.
CÁC TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN CỦA TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP SU (1,1) THÊM MỘT VÀ BỚT MỘT PHOTON LẺ PHAN THỊ TÂM TRƯƠNG MINH LÊ THỊ HỒNG THANH T rường Đại học Sư phạm, Đại học Huế T rường Đại học Quảng Nam ∗ Email: tmduc2009@gmail.com ĐỨC1,∗ , Tóm tắt: Trong báo này, chúng tơi nghiên cứu tính chất nén tổng hai mode, nén hiệu hai mode, nén Hillery bậc cao, tính phản kết chùm bậc cao, tính chất đan rối vi phạm bất đẳng thức CauchySchwarz trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) thêm bớt photon lẻ Chúng thu kết trạng thái thể tính nén tổng hai mode khơng thể tính nén hiệu hai mode Hơn nữa, trạng thái thể hoàn toàn tính nén Hillery bậc cao với k = 2, thể tính phản kết chùm bậc cao tùy theo giá trị l, p Ngoài ra, trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) thêm bớt photon lẻ vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz thể tính đan rối bậc n lẻ Từ khóa: Trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1), Tính chất phi cổ điển, Tính đan rối GIỚI THIỆU Ngày nay, lĩnh vực xử lí thơng tin truyền thông, trạng thái phi cổ điển tập trung nghiên cứu chúng có nhiều lợi ích tăng tốc độ truyền tin, tính bảo mật cao chống nhiễu Bên cạnh đó, trạng thái sở nghiên cứu áp dụng vào lĩnh vực như: lý thuyết chất rắn, quang lượng tử, thơng tin lượng tử máy tính lượng tử Thế phải làm để tín hiệu truyền tin có tính lọc lựa cao giảm thiểu tối đa tính nhiễu Trong thực nghiệm trạng thái hai mode SU (1, 1) tạo cơng nghệ trạng thái lượng tử Các tính chất phi cổ điển trạng thái hai mode SU (1, 1) khảo sát nghiên cứu Lê Đình Nhân [1] Trạng thái hai mode SU (1, 1) Perelomov [2] định nghĩa sau: |ϕ ab ˆ + − α∗ K ˆ − |q, = exp αK = (1 − |ξ|2 ) 1+q ∞ n=0 (n + q)! n!q! ab ξ n |n + q, n (1) ab , Tạp chí Khoa học, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế ISSN 1859-1612, Số 03(51)/2019: tr 82-91 Ngày nhận bài: 21/03/2019; Hoàn thành phản biện: 25/05/2019; Ngày nhận đăng: 05/06/2019 83 KHẢO SÁT TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN ξ = − tanh(θ/2) exp(−iϕ) với r, ϕ thực Với việc thêm bớt photon vào trạng thái |ϕ ab ta trạng thái phi cổ điển Vì vậy, đề xuất trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) thêm bớt photon lẻ có dạng |ψ ab = N (ˆ a† + ˆb)(|ϕ ab − |−ϕ ab ), (2) a ˆ† (ˆ a), ˆb† (ˆb) toán tử sinh (hủy) photon mode a mode b, |±ϕ trạng thái hai mode SU (1, 1) có dạng |±ϕ ab = (1 − |ξ| ) 1+q ∞ (n + q)! n!q! n=0 (±ξ)n |n + q, n ab ab (3) Trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) thêm bớt photon lẻ viết lại thông qua trạng thái Fock dạng |ψ × ab = N (1 − |ξ| ) √ 1+q ∞ n=0 n + q + 1|n + q + 1, n (n+q)! n!q! ab + √ [(1 − (−1)n ] ξ n n|n + q, n − ab (4) , N hệ số chuẩn hóa xác định 1+q ∞ N = (1 − |ξ| ) n=0 (n + q)! [(1 − (−1)n ]2 ξ n (2n + q + 1) n!q! −1 (5) Trong báo này, chúng tơi khảo sát tính chất phi cổ điển trạng thái thêm photon mode a bớt photon mode b vào trạng thái kết hợp hai mode SU (1, 1) lẻ TÍNH CHẤT NÉN TỔNG Chúng tơi sử dụng tiêu chuẩn nén tổng Hillery đưa [3] Toán tử nén tổng định nghĩa sau iφ †ˆ† Vˆφ = e a ˆ b + e−iφ a ˆˆb , (6) φ góc xác định hướng a ˆ†ˆbd ag mặt phẳng phức Một trạng thái thể tính nén tổng S = Vˆφ2 − Vˆφ − n ˆa + n ˆ b + < 0, (7) n ˆ a n ˆ b toán tử số hạt mode a b Độ nén cao S âm Đối với trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) thêm bớt photon lẻ, chúng 84 PHAN THỊ TÂM cs Hình 1: Sự phụ thuộc S vào r q cố định cos 2(ϕ + φ) = −1 Từ (đường liền) xuống ứng với q = 1, 2, 20 S 40 60 80 100 120 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 r thu tham số nén tổng dạng ∞ tanh2 r cos 2γ (n+q+2)! n!q! n=0 S= ∞ (n+q)! n!q! n=0 ∞ + n=0 (n+q)! n!q! [1 − (−1)n ] tanh2n r(2n + q + 1) [1 − (−1)n ] tanh2n r n(n + q + 1)2 + n(n − 1)(n + q) ∞ n=0 (n+q)! n!q! 2tanh r cos(θ + 2ϕ) n=0 ∞ n=0 ∞ cos φ + [1 − (−1)n ] tanh2n r(2n + q + 1) ∞ − [1 − (−1)n ] tanh2n r(2n + q + 3) n=0 ∞ n=0 (n+q)! n!q! (n+q)! n!q! (n+q+1)! n!q! (8) (n+q+2)! n!q! n [1 − (−1) ] tanh2n r2n [1 − (−1)n ] tanh2n r(2n + q + 1) [1 − (−1)n ] tanh2n rn n 2n [1 − (−1) ] r(2n + q + 1) Kết khảo sát cho thấy trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) thêm bớt photon lẻ có nén tổng Tính chất biểu rõ r lớn q cao (xem hình 1) TÍNH CHẤT NÉN HIỆU Tốn tử nén hiệu [3] định nghĩa sau ˆ φ = eiφ a W ˆˆb† + e−iφ a ˆ†ˆb (9) Một trạng thái thể tính nén hiệu ˆ2 − W ˆφ D= W φ − | n ˆa − n ˆ b | < (10) 85 KHẢO SÁT TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN Đối với thái hai mode kết hợp SU (1, 1) thêm bớt photon lẻ, thu tham số nén hiệu dạng ∞ (n+q+1)! (n−1)!q! [(1 − (−1)n ] tanh2n r(2n + q + 1) (n+q)! n!q! [(1 − (−1)n ] tanh2n r(2n + q + 1) D = n=0∞ n=0 ∞ + n=0 (n+q)! n!q! [(1 − (−1)n ] tanh2n r (n + 1)(n + q + 1)2 + n2 (n + q) (11) ∞ n=0 ∞ − n=0 (n+q)! n!q! (n+q)! n!q! n [(1 − (−1) ] tanh2n r(2n + q + 1) [(1 − (−1)n ] tanh2n r (n + q + 1)2 − n(1 + n − nq) ∞ n=0 (n+q)! n!q! [(1 − (−1)n ] tanh2n r(2n + q + 1) Dựa vào đồ thị ta thấy D dương với giá trị r q Do vậy, trạng thái hai Hình 2: Sự phụ thuộc D vào r q cố định cos 2(ϕ + φ) = −1 Từ (đường liền) lên ứng với q = 1, 2, 20 D 15 10 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 r mode kết hợp SU (1, 1) thêm bớt photon lẻ khơng thể tính chất nén hiệu (xem hình 2) TÍNH CHẤT NÉN HILLERY BẬC CAO Để tiện khảo sát đưa tham số nén Hk (φ) sau Hk (φ) = V Xab,k (φ) − ˆ Fab (k) Nén kiểu Hillary [3] phương sai biên độ trực giao xuất Hk (φ) < (12) 86 PHAN THỊ TÂM cs Hình 3: Sự phụ thuộc H2 (φ) vào r q cố định cos 2(ϕ+φ) = −1 Từ (đường liền) xuống ứng với q = 1, 2, Bây giờ, khảo sát trường hợp cụ thể k = Chúng thu tham số nén sau: H2 (φ) = ∞ (n+q+2)! (1 − (−1)n ) tanh2n r (2n + n=0 n!q! ∞ (n+q)! n 2n n=0 n!q! (1 − (−1) ) r (2n + q + 1) ∞ (n+q)! n 2n n!q! (1 − (−1) ) r n=0 3tanh2 r cos 2γ + ∞ n=0 q + 3) × (n + q + 1) (n + q + 2) (n+q)! n!q! n 2n (1 − (−1) ) r (2n + q + 1) (2n + q + 3) + (n + q + 1) (n + q + 2) (n + 1) + 4n2 (n + q + 1) + (n + 1) (n + 2) (n + q + 1) + n2 (n + 1) + (n + q + 1) ∞ (n+q)! n!q! n=0 − ∞ n=0 (1 − (−1)n ) tanh2n r × n (n + q) (n + q − 1) (n+q)! n!q! (1 − (−1)n ) tanh2n r (2n + q + 1) + 4n(n + q + 1)2 + 4n (n − 1) (n + q) + (n − 1) n (n + q + 1) + (n − 1) (n − 2) n − ∞ (n+q+2)! n 2n 2tanh r cos(φ + 2ϕ) n=0 n!q! (1 − (−1) ) r ∞ (n+q)! (1 − (−1)n ) tanh2n r (2n + q + 1) n=0 + − n!q! ∞ (n+q+1)! cos φ n=0 (n−1)!q! (1 − (−1)n ) tanh2n r ∞ (n+q)! n 2n n=0 n!q! (1 − (−1) ) r (2n + q + 1) ∞ (n+q)! n=0 n!q! (1 − (−1)n ) tanh2n r (n + q + 1)2 + n (3n + 2q) ∞ (n+q)! n=0 n!q! (1 − (−1)n ) tanh2n r (2n + q + 1) − (13) Kết khảo sát cho thấy trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) thêm bớt photon lẻ có nén Hillery ứng với trường hợp k = Tính chất biểu rõ r > 0, q lớn mức độ nén Hillery tăng lên (xem hình 3) 87 KHẢO SÁT TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN TÍNH CHẤT PHẢN KẾT CHÙM VÀ SỰ VI PHẠM BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHYSCHWARZ 5.1 Tính chất phản kết chùm Tiêu chuẩn cho tồn tính phản kết chùm trạng thái hai mode viết dạng sau [4] (l+1) (p−1) n ˆb n ˆa R(l, p) = (l) (p) n ˆa n ˆb (p−1) (l+1) n ˆb + n ˆa (p) (l) − < (14) + n ˆa n ˆb Sau tính tốn giá trị trung bình tốn tử trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) thêm bớt photon lẻ, kết sau ∞ (n+q)! n!q! n=0 R(l, p) = ∞ n=0 × + (n+q)! n!q! [1 − (−1)n ] ξ 2n (2n + q + 1) (n + q)!n! (n + q + 1)!n!(n + q + 1) + (n + q − l + 1)!(n − p)! (n + q − l)!(n − p + 1)! (n + q)!n! (n + q + 1)!n!(n + q + 1) + (n + q − p + 1)!(n − l − 2)! (n + q − p + 2)!(n − l − 1)! (15) ∞ × n=0 ∞ n=0 × [1 − (−1)n ] ξ 2n (n+q)! n!q! (n+q)! n!q! [1 − (−1)n ] ξ 2n [1 − (−1)n ] ξ 2n (2n + q + 1) (n + q)!n! (n + q + 1)!n!(n + q + 1) + (n + q − l)!(n − p − 1)! (n + q − l)!(n − p)! (n + q + 1)!n!(n + q + 1) (n + q)!n! + + (n + q − p)!(n − l − 1)! (n + q − p + 1)!(n − l)! −1 − Khảo sát với giá trị cụ thể l = 3, p = đồ thị cho thấy trạng thái khảo sát mang tính chất phản kết chùm Tính phản kết chùm tăng hay giảm tùy thuộc vào giá trị r q (xem hình 4) 5.2 Sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Để khảo sát vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz [5] trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) thêm bớt photon lẻ, chúng tơi tính tốn biểu thức sau: a ˆ†2 a ˆ2 I= ˆb†2ˆb2 a ˆ†ˆb†ˆbˆ a − (16) 88 PHAN THỊ TÂM cs 0.0 R 3,1 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 r Hình 4: Sự phụ thuộc Rab (3, 1) vào r q = 1, 2, cố định cos 2(ϕ + φ) = −1 Đường biểu diễn tham số theo thứ tự tương ứng với đường màu đỏ, đường màu xanh, màu đen Bằng cách tính trung bình trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) thêm bớt photon lẻ, thu kết sau: (1 − |ξ|2 ) I= ∞ n=0 1+q ∞ (n+q)! n!q! [(1 n=0 (n+q)! n!q! − (−1)n ]2 tanh2n r [1 − (−1)n ] tanh2n r(2n + q + 1) × (n + q + 1)2 (n + q) + n(n + q)(n + q − 1) 1+q ∞ (n+q)! n 2n n!q! [(1 − (−1) ] r × {n(n − 1)(n n=0 ∞ (n+q)! [1 − (−1)n ] tanh2n r(2n + q + 1) n!q! n=0 ∞ 1+q (n+q)! n 2n 2n |ξ|2 ) n!q! [(1 − (−1) ] r n=0 (1 − |ξ|2 ) × (1 − × ∞ n=0 (n+q)! n!q! + q − 1)} (17) [1 − (−1)n ] tanh2n r(2n + q + 1) −1 × (n + q + 1) (n + 1) + n(n + q)(n − 1) − Sự phụ thuộc I vào r q, đường biểu diễn cho ta mức độ vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz theo biên độ kết hợp r q nhận giá trị khác nhau, q = tương ứng đường màu đỏ, q = tương ứng đường màu xanh, q = tương ứng đường màu đen Đồ thị cho thấy I < với giá trị q r Vậy, trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) thêm bớt photon lẻ vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz (xem hình 5) 89 KHẢO SÁT TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN 0.4 Hình 5: Sự phụ thuộc I vào r q Từ (đường liền) lên ứng với q = 1, 2, 0.5 I 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 r TÍNH CHẤT ĐAN RỐI Theo Hillery-Zubairy [6], trạng thái hai mode thỏa mãn điều kiện sau kết luận trạng thái bị đan rối a ˆmˆbn > a ˆ†m a ˆm ˆb†nˆbn (18) Từ (18) m = n trị trung bình vế trái biểu thức ứng với trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) thêm bớt photon lẻ không, vế trái ln khơng âm Do khơng có rối trường hợp Chúng xét trường hợp m = n, ta đặt n = 2k, (k > 0), bất đẳng thức (18) viết lại sau: a ˆ2kˆb2k > a ˆ†2k a ˆ2k ˆb†2kˆb2k (19) Đặt RH = a ˆ†2k a ˆ2k ˆb†2kˆb2k − a ˆ2kˆb2k (20) Trạng thái đan rối RH < Cụ thể với (k = 1), ta tính tốn cho trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) thêm bớt photon lẻ có dạng sau: ∞ n=0 RH = ∞ (n+q)! n!q! (n+q)! n!q! n=0 [(1 − (−1)n ] tanh2n r [1 − (−1)n ] tanh2n r(2n + q + 1) (n + q + 1)2 (n + q) + n(n + q)(n + q − 1) ∞ × n=0 (n+q)! n!q! [(1 − (−1)n ] tanh2n r × {n(n − 1)(2n + q − 1)} ∞ n=0 − ∞ (n+q+2)! n!q! n=0 ∞ (n+q)! n!q! n=0 [1 − (−1)n ] tanh2n r(2n + q + 1) n 2n [(1 − (−1) ] r (n+q)! n!q! n 2n ξ2 2 (2n + q + 3) [1 − (−1) ] r(2n + q + 1) (21) 90 PHAN THỊ TÂM cs Hình 6: Sự phụ thuộc RH vào r q Từ (đường liền) lên ứng với q = 1, 3, RH C 8000 6000 4000 2000 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 r Hình biểu diễn phụ thuộc RH vào r với giá trị q khác RH > với r Vậy, trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) thêm bớt photon lẻ không thỏa mãn điều kiện đan rối Hillery-Zubairy Với m = n lẻ, ta đặt m = n = 2k + 1, k = 0, 1, 2, 3, Cụ thể k = ta có kết tính toán cho trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) thêm bớt photon lẻ có dạng sau: RH = a ˆ† a ˆ ˆb†ˆb − a ˆˆb (22) Tính trị trung bình trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) thêm bớt photon lẻ, chúng tơi có kết ∞ RH = n=0 (n+q)! n!q! [(1 − (−1)n ] tanh2n r (n + q + 1)2 + n(n + q) ∞ n=0 ∞ × (n+q)! n!q! n=0 ∞ n=0 ∞ − (n+q)! n!q! n=0 [(1 − (−1)n ] tanh2n r {n(2n + q)} (23) (n+q)! n!q! n [1 − (−1) (n+q+1)! n!q! ∞ [1 − (−1)n ] tanh2n r(2n + q + 1) n=0 ] ξ 2n (2n + q + 1) [(1 − (−1)n ] tanh2n r (n+q)! n!q! n 2 ξ (n + q + 2) + n 2n [1 − (−1) ] r(2n + q + 1) Hình cho thấy phụ thuộc RH vào r với giá trị q khác RH > với r > 0, Mặc khác, đường cong xuống thể độ đan rối tăng Điều có ý nghĩa chênh lệch số photon hai mode lớn tính đan rối hai mode trạng thái thể rõ Trạng thái hai mode kết hợp SU (1,1) thêm bớt photon lẻ thể tính đan rối 91 KHẢO SÁT TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN Hình 7: Sự phụ thuộc RH vào r q Từ trên(đường liền) xuống ứng với q = 1, 3, RH L 20 40 60 80 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 r KẾT LUẬN Trong báo này, sử dụng điều kiện nén tổng hai mode, nén hiệu hai mode nén Hillery bậc cao, đưa tham số nén tổng hai mode, nén hiệu hai mode nén Hillery bậc cao Qua khảo sát, thu trạng thái hai mode kết hợp SU (1,1) thêm bớt photon lẻ thể tính chất nén tổng không nén hiệu Đối với trường hợp nén tổng hai mode, mức độ nén tổng tăng biên độ kết hợp r chênh lệch photon q tăng Ngoài ra, trạng thái hoàn toàn thể tính nén Hillery bậc cao với k = Tiếp theo, áp dụng tiêu chuẩn phản kết chùm cho trường hợp hai mode để tiến hành khảo sát tính chất phản kết chùm bậc cao trạng thái hai mode kết hợp SU (1,1) thêm bớt photon lẻ Kết khảo sát cho thấy trạng thái thể tính phản kết chùm mạnh, yếu tùy thuộc vào biên độ kết hợp r Thêm vào đó, chúng tơi sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz để khảo sát trạng thái hai mode kết hợp SU (1,1) thêm bớt photon lẻ kết thu bất đẳng thức Cauchy-Schwarz hoàn tồn bị vi phạm Cuối chúng tơi khảo sát tính chất đan rối trạng thái hai mode kết hợp SU (1,1) thêm bớt photon lẻ tiêu chuẩn đan rối Hillery-Zubairy Kết khảo sát tiêu chuẩn đan rối Hillery-Zubairy trạng thái đan rối bậc n lẻ giá trị biên độ kết hợp r lớn giá trị xác định LỜI CẢM ƠN Nghiên cứu tài trợ Quỹ Phát triển khoa học công nghệ Quốc gia (NAFOSTED) đề tài mã số 103.01-2018.361 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lê Đình Nhân (2013), Khảo sát tính chất phi cổ điển trạng thái hai mode SU(1,1), Luận văn Thạc sĩ Vật lí, Đại học Sư phạm Huế [2] Perelomov A.M (1972), "Coherent states for arbitrary Lie groups", Commun Math Phys, 26, pp 222 - 236 [3] Hillery M (1989), “Sum and diffrence squeezing of the electromagnetic field”, Phys Rev A, 45, pp 3147 - 3155 92 PHAN THỊ TÂM cs [4] Lee C T (1990), "Many- photon anti-bunching in generlized pair coherent states", Physical Review A, 41, pp 1569 - 1575 [5] Glauber R J (1963), “Coherent anh Incoherent States of Radiation Field”, Phys Rev, 96(2), 131, pp 2766 - 2768 [6] Hillery M and Zubairy M S (2006), "Entanglement conditions for two - mode states: Applications", Phys Rev A, 74(3), pp 032333-1 - 032333-7 Title: THE NONCLASSICAL PROPERTIES OF THE ONE-PHOTON-ADDED AND ONE-PHOTON-SUBTRACTED TWO-MODE ODD SU (1,1) COHERENT STATE Abstract: In the paper, we consider the nonclassical properties of the one-photon-added and one-photon-subtracted two-mode odd SU (1,1) coherent state such as two-mode sum squeezing, two-mode difference squeezing, higher-order Hillery squeezing, higher-order antibunching, entanglement and the violation of the Cauchy-Schwarz inequality The results show that this state exhibits two-mode sum squeezing but does not exhibit two-mode difference squeezing The higher-order Hillery squeezing appears in k = and the antibunching exists depending on the variables l, p We also show that this state violates the Cauchy-Schwarz inequality and becomes entangled state when the order n is odd Keywords: Coherent states, Non-classical properties, Squeezing states ... n!q! −1 (5) Trong báo này, khảo sát tính chất phi cổ điển trạng thái thêm photon mode a bớt photon mode b vào trạng thái kết hợp hai mode SU (1, 1) lẻ TÍNH CHẤT NÉN TỔNG Chúng tơi sử dụng tiêu... SÁT TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN ξ = − tanh(θ/2) exp(−iϕ) với r, ϕ thực Với việc thêm bớt photon vào trạng thái |ϕ ab ta trạng thái phi cổ điển Vì vậy, chúng tơi đề xuất trạng thái hai mode kết hợp SU. .. sát trạng thái hai mode kết hợp SU (1,1) thêm bớt photon lẻ kết thu bất đẳng thức Cauchy-Schwarz hoàn toàn bị vi phạm Cuối chúng tơi khảo sát tính chất đan rối trạng thái hai mode kết hợp SU (1,1)