Phương pháp giải nhanh và tổng hợp các bài toán vuông pha trong chương trình vật lý 12

Trong chương trình Vật Lý 12 các nội dung của nhiều chương có gắn liền với hàm số điều hoà dạng sin hay cosin như các nội dung của chương dao động điều hoà, sóng cơ, dòng điện xoay chiều

A ĐẶT VẤN ĐỀ

Một trong các phương pháp kiểm tra và đánh giá hiện nay là sử dụng các bài tập trắc nghiệm khách quan Để đạt kết quả cao trong các kỳ thi, kiểm tra học sinh cần phải giải nhanh, giải chính xác các câu hỏi của đề bài

Trong chương trình Vật Lý 12 các nội dung của nhiều chương có gắn liền với hàm số điều hoà dạng sin (hay cosin) như các nội dung của chương dao động điều hoà, sóng cơ, dòng điện xoay chiều, sóng điện từ …Khi giải các bài tập ở các chương này đôi khi chúng ta gặp phải nhiều bài toán mà nếu không biết quy luật thì chúng ta phải mất nhiều thời gian mới giải xong Điều này là không phù hợp với làm một bài trắc nghiệm Những học sinh có lực học từ trung bình khá trở xuống sẽ khó tiếp thu được phương pháp giải những bài toán đó Việc đưa ra hệ thống bài tập với cách giải giống nhau “chùm bài tập cùng cách giải” sẽ giúp cho học sinh có cách nhìn tổng quát, dễ nhớ và vận dụng nhanh hơn

Để đồng nghiệp và học sinh tham khảo, tôi xin giới thiệu “Phương pháp giải nhanh và tổng hợp các bài toán vuông pha trong chương trình Vật lý 12” mà trong thời gian học tập, giảng dạy bản thân tôi đã rút ra được.

Ở đề tại này tôi xin hệ thống lại các bài tập về hai đại lượng vuông pha với nhau của cùng một dao động điều hòa thuộc các chương: dao động điều hoà, sóng cơ, dòng điện xoay chiều, sóng điện từ …và nêu ra một cách giải đơn giản cho những bài tập đó

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I CƠ SỞ LÝ THUYẾT:

Phương pháp chung giải hai đại lượng vuông pha với nhau của cùng

một dao động điều hòa:

Xét hai đại lượng của cùng một dao động điều vuông pha với nhau:

x1 = A1cos( t + ) (1)

và x2 = A2cos( t +  +

2



) = A2sin( t + ) (2)

Từ (1)

2

1

cos ( t ) x

A

   

 

; từ (2)

2

2

sin ( t ) x

A

 

Mà cos2( t + ) + sin2( t + ) = 1 nên ta có:

Công thức (*) là công thức xuyên suốt các bài toán về hai đại lượng vuông pha với nhau của cùng một dao động điều hòa Trong đó :

A1 là giá trị cực đại của đại lượng x1; A2 là giá trị cực đại của đại lượng x2

Vậy thì khi giải các bài tập, học sinh chỉ cần xác định hai đại lượng đó có vuông pha với nhau hay không để áp dụng công thức (*) Sau đây là các cặp đại lượng của cùng một dao động điều hòa dao động vuông pha với nhau:

I.1 Quan hệ giữa li độ, vận tốc và gia tốc trong dao động điều hòa

Nếu một vật dao động điều hòa theo phương trình : x Ac os( t  ) (1.1) Thì vận tốc v x '  Asin ( t + )   (1.2)

Gia tốc: a x ''   2Acos( t  ) (1.3)

Do hàm cos( t + ) và hàm sin( t + ) là hai hàm vuông pha với nhau

nên từ (1.1) và (1.2) suy ra hai đại lượng x và v vuông pha với nhau Khi đó:

2 2

max

1

 

 

  

 

    (1.4) hoặc :

1

   

   

    (1.5)

và từ (1.2) và (1.3) suy ra hai đại lượng v và a vuông pha với nhau Khi đó :

1

(1.4) hoặc :

    (1.5)

I.2 Quan hệ giữa hai li độ ở hai thời điểm hơn kém nhau một số lẻ lần một phần tư chu kỳ trong dao động điều hòa và tại một điểm mà sóng truyền qua

Xét một dao động điều hòa tại thời điểm t có li độ x1 = Acos( t + ), tại thời điểm t + (2k + 1)

4

T

( k  Z ; T là chu kỳ dao động) thì li độ của nó là :

1

(*)

x2 = Acos((t + (2k + 1)

4

T

) + ) = Acos(t +  + k

2

T

+

4

T

) = Acos(t +  +

2



)

Ta thấy x1 và x2 vuông pha với nhau Vậy hai li độ ở hai thời điểm hơn kém nhau một số lẻ lần một phần tư chu kỳ thì vuông pha với nhau Khi đó:

   

   

    ( 2.1)

I.3 Quan hệ giữa hai li độ ở hai vị trí cách nhau một số lẻ lần một phần tư bước sóng trên cùng một phương truyền sóng tại cùng một thời điểm t

Giả sử phương trình sóng tại điểm A, ở thời điểm t là x1 = Acos(t + ) thì phương trình sóng tại điểm B trên cùng một phương truyền sóng cách A đoạn

là d = (2k + 1)

4



là: x2 = Acos(t +  2 d



 ) = Acos(t + 

2



 )

Ta thấy x1 và x2 vuông pha với nhau Vậy hai li độ ở hai vị trí cách nhau một

số lẻ lần một phần tư bước sóng trên cùng một phương truyền sóng tại cùng một thời điểm t thì vuông pha với nhau Khi đó:

   

   

    (3.1)

I.4 Quan hệ giữa từ thông và suất điện động trên một cuộn dây của máy phát điện

Khi máy phát điện hoạt động, giả sử từ thông qua mỗi vòng dây có phương trình:  = 0cos(t + ) (4.1) thì suất điện động qua cuộn dây gồm N vòng dây có phương trình: e = - N’t = N0sin(t + ) = E0sin(t + ) (4.2)

Từ (4.1) và (4.2) thấy  và e trên một cuộn dây vuông pha với nhau

Vậy:

1

e E





   

   

    (4.3) ; với E0 = N0

I.5 Mối quan hệ giữa cường độ dòng điện và điện áp hai đầu cuộn dây thuần cảm và hai đầu tụ điện

Điện áp hai đầu cuộn dây thuần cảm dao động điều hòa nhanh pha hơn dòng điện góc 900 Điện áp hai đầu tụ điện dao động điều hòa trễ pha hơn dòng điện góc 900 Vì thế theo công thức (*) ta có:

1

I U  (5.1) Trong đó: U0L I Z U0 L; 0C I Z0 C

I.6 Quan hệ giữa cường độ dòng điện trong cuộn dây với điện tích và điện áp trên tụ điện trong mạch dao động điện từ

Mạch dao động LC lý tưởng đang hoạt động, giả sử tại thời điểm t điện tích trên tụ có biểu thức: q Q c 0 os t (5.1) thì dòng điện qua cuộn dây:

0

' sin t

i q  Q  = - I0sint (5.2) ( với I0 = Q0) và điện áp giữa hai đầu tụ

điện: u = q

C = U0cost (5.3) ( với U0 = Q0

C )

từ (5.1) và (5.2) thấy q và i vuông pha với nhau nên:

1

   

   

   

(5.4) hay:

1



(5.5)

từ (5.1) và (5.3) thấy u và i vuông pha với nhau nên:

1

   

   

    (5.6)

I.7 Một số trường hợp khác

Trong khi giải bài tập nếu ta phát hiện được có hai đại lượng của cùng một dao động điều hòa mà vuông pha với nhau thì chúng ta hoàn toàn có thể áp dụng công thức (*) ở trên để giải, ví dụ như:

- Mạch điện gồm tụ điện nối tiếp với cuộn dây thuần cảm thì i vuông pha với u Khi đó:

1

I U  (7.1)

- Đoạn mạch điện gồm hai đoạn mạch AM và MB nối tiếp với nhau và điện áp hai đoạn mạch này vuông pha với nhau thì:

1

Trong đó: U0AM = I0 ZAM ; U0MB = I0.ZMB

- Li độ và vận tốc trong dao động điều hòa của con lắc đơn cũng vuông pha với nhau nên:

1

m

(7.3)

Trong đó: s = l .: li độ dài ; S0 = l.0: biên độ dài ; vmax = S0

…

II HỆ THỐNG CÁC BÀI TẬP ÁP DỤNG

Sau đây là hệ thống các bài tập mà hai đại lượng của cùng một dao động điều hòa vuông pha với nhau, nên ta chỉ cần áp dụng công thức tổng quát (*) đã nêu ở phần cơ sở lý thuyết để giải nhanh các bài tập

Bài 1: Một vật dao động điều hòa, ở thời điểm t1 vật có li độ x1 = 1cm, và có vận tốc v1= 30cm/s Đến thời điểm t2 vật có li độ x2 = 3cm và có vận tốc v2 = 10cm/s Hãy xác định biên độ, vận tốc cực đại và tần số góc của vật?

Giải:

Do x và v vuông pha với nhau nên:

2 2

max

1

 

 

  

 

    Đặt X = 2

1

A ; Y = 2

max

1

thay số từ giả thiết ta được hệ phương trình:

2

30 1







max

1

10 10

1000

Y











Tần số góc: v max

A

  = 10 rad/s

Bài 2: Một con lắc đơn dao động điều hòa, vào thời điểm ban đầu t0 vật nặng có

li độ  = 0,02rad và có vận tốc v = 40 2 cm/s đang dao động theo chiều dương của quỹ đạo Đến thời điểm t1 vật có li độ 1 = 0,02 2 rad và có vận tốc v1 =

40cm/s Cho chiều dài của con lắc là l = 1m Viết phương trình dao động và tính

vận tốc cực đại của vật?

Giải:

Do  và v vuông pha với nhau nên:

1

v v





Đặt X = 2

0

1

 ; Y = 2

max

1

v

và thay số từ giả thiết ta được hệ:

2

(0,02 2)

0,02 40 2

40 1

1

Y





2500 3 1 4800

X Y







 

 



0

max

3

50

40 3 /

rad













Tần số góc : ax ax





  = 20rad/s

Theo giả thiết : khi t = 0 ta có  = 0,02rad và v > 0



1 os

0,3 3

sin 0

c 









 





(rad)

Vậy phương trình dao động có dạng:   0,02 3 os(20c t 0,3 )  rad (cm)

Bài 3: Một lò xo có độ cứng k = 50N/m, mang vật nặng m thực hiện dao động

điều hòa Khi vận tốc của vật bằng v1 = 20 cm/s thì có gia tốc a1= 5 m/s2 Còn khi vận tốc của vật bằng v2 = 10 cm/s thì gia tốc của vật bằng a2 = 2 2m/s2 Tính biên độ dao động và năng lượng toàn phần của vật

Giải:

Do v và a vuông pha với nhau nên ta có:

1

Đặt X = 2

max

1

v ; Y = 2

max

1

a và thay số từ giả thiết ta được hệ:  

 

2 2

2 2







ax ax

100

0,3 / 9

9

m m

Y













 



mà: ax 2

ax

m m













2 ax ax

m m

v A a

  = 0,03m = 3cm

Năng lượng : 1 2

2

E KA = 0,0225 (J)

Bài 4: Một vật nhỏ đang dao động điều hòa với chu kì T = 1s Tại thời điểm t1

nào đó, li độ của vật là -2cm Tại thời điểm t2 = t1 + 0,25 (s) thì li độ của vật là

5 cm Xác định giá trị vận tốc của vật tại thời điểm t2

Giải:

Dễ thấy t2 = t1 +

4

T

theo mục I.2 thì x1 và x2 vuông pha với nhau, nên:

   

   

   = 3cm

Mặt khác, x và v cũng vuông pha với nhau nên:

2 2

max

1

 

 

  

 

hay:

   

   

   

2 2

A

  = 4 cm/s

Bài 5: Trên một sợi dây đàn hồi có hai điểm A, B cách nhau một phần tư bước

sóng Tại thời điểm t, phần tử sợi dây ở A và B có li độ tương ứng là 0,5 mm và

0,866 mm(0,86 3

2

 ), phần tử sợi dây ở A đang đi xuống còn ở B đang đi lên Coi biên độ sóng không đổi Xác định biên độ sóng?

Giải

Do A và B cách nhau một phần tư bước sóng, theo mục I.3 thì xA và xB vuông

pha với nhau Ta có:

1

   

   

A x x = 1mm

Bài 6: Một khung dây dẫn quay đều quanh trục xx’ với tốc độ 150 vòng/phút trong một từ trường đều có cảm ứng từ B 

vuông góc với trục quay xx’ của khung Ở một thời điểm nào đó từ thông gửi qua khung dây là 4 Wb thì suất điện động cảm ứng trong khung dây bằng 15 V Xác định từ thông cực đại gửi qua khung dây?

Giải

Theo mục I.4 thì suất điện động e và từ thông  vuông pha với nhau nên ta có:

1

e

E





   

   

   

; với E0 = 0: suất điện động cực đại qua khung

0: từ thông cực đại qua khung

Tần số góc:  = 150 vòng/phút = 5 rad/s

Thay số từ giải thiết được:

1



   

2 2

0

15 4 5







 

  = 5 Wb

Bài 7: Cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L Đặt vào hai đầu cuộn dây điện áp

xoay chiều u U c 0 os100 t (v) Tại thời điểm t = t1 điện áp tức thời và cường độ dòng điện tức thời có giá trị lần lượt u 1 60V; i 1 2A Đến thời điểm t2 thì

u  V; i 2 1A Tìm L và điện áp hiệu dụng hai đầu cuộn dây?

Giải:

Vì dòng điện qua cuộn dây thuần cảm dao động điều hòa trễ pha 900 so với hiệu

điện thế, nên ta có:

1

   

   

   

Đặt: X = 2

0

1

I và Y = 2

0

1

U và thay số từ giả thiết bài toán, ta được hệ phương trình:

 

2

2 2

60 2 1







1 3 1 10800

X Y







 

 



0 0

3

60

60 3 L

Z I

 







0,6

L

Z

Bài 8: Đặt vào hai đầu tụ điện điện áp xoay chiều có tần số f = 50Hz Ở thời

điểm t1 điện áp tức thời hai đầu tụ và cường độ dòng điện tức thời qua tụ có giá

trị lần lượt u1 = 100(V); i1 = 1,41A  2A Ở thời điểm t2 có u2 =141(V)  100 2

V; i2 = 1A Tính điện dung của tụ, điện áp và cường độ hiệu dụng của dòng điện qua mạch

Giải

Vì dòng điện qua tụ điện dao động điều hòa nhanh pha 900 so với hiệu điện thế,

nên ta có:

1

   

   

   

Đặt: X = 2

0

1

I ; Y = 2

0

1

U và thay số từ giả thiết bài toán, ta được hệ phương trình:

 

2

2 2

100 2 1







1 3 1 30000

X Y







 

 



4

0 0

100



 





Bài 9:Mạch dao động LC lí tưởng, C = 2pF, đang hoạt động Tại thời điểm t1

thấy điện áp hai đầu tụ và cường độ dòng điện qua cuộn dây có giá trị lần lượt:

u1 = 1mV và i1 = 1,41A; Đến thời điểm t2 thì các giá trị trên lần lượt: u2 = 1,41

mV và i2 = 1A Tính tần số dao động riêng, năng lượng toàn phần của mạch?

Giải

Do điện áp hai đầu tụ và cường độ dòng điện qua cuộn dây vuông pha với nhau, nên ta có:

1

   

   

    Đặt X = 2

0

1

U ; Y = 2

0

1

I và thay số từ giả thiết bài toán,

ta được hệ phương trình:  

 

2

3 0

0

1

3

X











Năng lượng mạch dao động: 2 18

0

1



Mà:

2

0

W

CU

I

Vậy tần số dao động riêng của mạch là:

7

1 25.10 2

f



Bài 10: Đoạn mạch xoay chiều AB chứa 3 linh kiện R, L, C Đoạn AM chứa L,

MN chứa R và NB chứa C R = 50Ω, ZL = 50 3Ω, ZC = 50 3

3 Ω Khi uAN = 80

3V thì uMB = 60V Xác định giá trị cực đại của uAB?

Giải

Ta có:

1 0 2 2

60

tan

3

R

R



















chứng tỏ uAN vuông pha với uMB nên ta có:

2 2

Giá trị cực đại của uAB là: U0AB = I0 R2  (Z L Z C) 2 = 50 7 V

C KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM

Được sự đồng ý của Nhà trường và tổ chuyên môn, tôi đã tiến hành kiểm tra khả năng làm bài trắc nghiệm với 10 câu hỏi thuộc bài toán vuông pha ( nội dung bài kiểm tra xem phần phụ lục) cho 24 học sinh lớp 12A1 và 24 học sinh lớp 12A2 ( hai nhóm học sinh thuộc hai lớp này có lực học tương đương) lần lượt vào hai tiết sinh hoạt 15 phút đầu giờ ngày 22 và 23/1/2012 Đối với lớp 12A1, có áp dụng phương pháp của SKKN: trước khi làm bài tôi có hướng dẫn cho học sinh là trong một dao động điều hòa, nếu có hai đại lượng x1 và x2

vuông pha với nhau thì chúng quan hệ với nhau theo công thức:

i 0

U

R

UL

UC

UAN

UMB

1

2

Trong đó :

A1 là giá trị cực đại của đại lượng x1; A2 là giá trị cực đại của đại lượng x2

Ví dụ như x và v trong dao động điều hòa vuông pha với nhau nên áp dụng CT (*) ta có :

2 2

max

1

 

 

  

 

    Hoặc v và a trong dao động điều hòa cũng vuông

pha với nhau nên áp dụng công thức (*) ta được :

1

Cả hai nhóm tôi đều yêu cầu các em làm bài tối đa là 15 phút, em nào xong trước thì nộp bài để thầy chấm cả tốc độ làm bài

Kết quả như sau:

của nhóm

Điểm bình quân/ HS

Tổng thời gian làm bài của nhóm

Thời gian làm bài/ HS 12A1

Có sử dụng phương pháp của

SKKN

12A2

Không sử dụng

phương pháp của

SKKN

Qua theo dõi các em làm bài, do lớp 12A1 được hướng dẫn phương pháp giải nhanh các bài tập trắc nghiệm nên các em làm bài rất nhanh Hầu hết các em chỉ cần nhận dạng đó là bài toán vuông pha và chỉ cần nhập dữ liệu vào máy tính cầm tay là cho kết quả, hầu như các em không phải nháp trên giấy Đối với lớp 12A2, do chưa được hướng dẫn cách giải nhanh dạng bài toán này nên nhiều em giải chưa xong trong vòng 15 phút đồng hồ và giải còn sai đáp số ở một số câu

D KẾT LUẬN

Như vậy từ tính chất của hàm số lượng giác (sin2x + cos2x = 1), tính chất vuông pha giữa hai dao động điều hòa cùng tần số, ta có thể lập nên hệ thống các bài tập thuộc các chương dao động cơ, sóng cơ, dao động và sóng điện từ, dòng điện xoay chiều có cùng cách giải và chỉ sử dụng có một công thức tổng quát giúp học sinh giải các bài tập trắc nghiệm được nhanh hơn, chính xác hơn,

ôn tập tổng quát hơn và dễ nhớ hơn

Trong giới hạn về thời gian và trình độ của người viết nên nội dung của bài viết chắc rằng còn có những tồn tại nhất định … rất mong được sự góp ý của Tổ chuyên môn, Hội đồng xét duyệt để có thể hoàn thiện đề tài này nhằm phục vụ cho công tác dạy và học của bộ môn ngày càng tốt hơn

Chân thành cảm ơn!

XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Hoằng Hóa, ngày 15 tháng 5 năm 2013

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác

Lê Vĩ Nhân

PHỤ LỤC

ĐỀ KIỂM TRA 15 PHÚT

Câu 1: Một vật dao động điều hòa, ở thời điểm t1 vật có li độ x1 = 1cm, và có vận tốc v1= 20cm/s Đến thời điểm t2 vật có li độ x2 = 2cm và có vận tốc v2 = 10cm/s Tần số số góc của vật có giá trị là

A 10 rad/s B 10 rad/s C 2 rad/s D 2 rad/s.

Câu 2: Một con lắc đơn dao động điều hòa, vào thời điểm ban đầu t0 vật nặng có

li độ s = 2cm và có vận tốc 40 2 cm/s đang dao động theo chiều dương của quỹ đạo Đến thời điểm t1 vật có li độ s1 = 2 2 cm và có vận tốc v1 = 40cm/s Phương trình dao động của vật nặng là

A x 2 2 cos(20t 0,3 )  cm B x 2 3 cos(20t 0,3 )  cm

C x 2 2 cos(20 t 0,3 )  cm D x 2 3 cos(20 t 0,3 )  cm

Câu 3: Trên một sợi dây đàn hồi có hai điểm A, B cách nhau một phần tư bước

sóng Tại thời điểm t, phần tử sợi dây ở A và B có li độ tương ứng là 0,5 mm và

0,866 mm(0,86 3

2

 ), phần tử sợi dây ở A đang đi xuống còn ở B đang đi lên Coi biên độ sóng không đổi Sóng này có biên độ là

A 1,73 mm B 0,86 mm C 1,2 mm D 1 mm.

Câu 4: Một vật nhỏ đang dao động điều hòa với chu kì T = 1s Tại thời điểm t1

nào đó, tốc độ của vật là 2 cm/s Tại thời điểm t2 = t1 + 1,25 (s) thì tốc độ của vật là 4  2 cm/s Khoảng cách của vật tới vị trí cân bằng tại thời điểm t2 là

A 2 2 cm B 2 cm C 1 cm D 2cm

Câu 5: Biểu thức của điện tích, trong mạch dao động LC lý tưởng, là

t)(C)

.

q 2 10  7 cos( 2 10 4

 thì dòng điện trong mạch là:

A 3 3 ( mA ). B 3 ( mA ). C 2(mA) D.

).

mA

(

3

.

2