Ba phương pháp đại số giải phương trình hàm

Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm Huỳnh Thanh Luân Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân Huỳnh Thanh Luân Trang 1 LI NểI U Tht khú m phõn bit mt cỏch rch rũi gia cỏc loi toỏn: i s, Gii tớch, S hc, Hỡnh hc cng nh T hp. Tuy nhiờn, nu ủ ý trong thi gian qua, cỏc bi toỏn thi hc sinh gii cỏc cp núi chung thỡ hu nh bi toỏn thuc loi no ủu tn ti mt li gii thuc loi tng ng cho nú. Vỡ vy, nu nm ủc ý ny thỡ vic ủnh hng tỡm li gii ca thớ sinh cng d dng hn. Trờn tinh thn ủú, Tụi cng ủó chia cỏc phng phỏp gii phng trỡnh hm ra thnh ba dng: Phng phỏp ủi s, Phng phỏp gii tớch v Phng phỏp s hc. Trong sỏng kin kinh nghim ln ny, Tụi la chn ba phng phỏp tng ủi ph bin ca ủi s ủ gii thiu ủú l: Chn giỏ tr ủc bit ca ủi s; Lp phng trỡnh, h phng trỡnh ủ gii v Vn dng tớnh ủn ỏnh, ton ỏnh ca hm s cng nh vic xem tp xỏc ủnh, tp giỏ tr ca hm s mt khớa cnh khỏc. Theo Tụi, ủi vi mt hc sinh gii, vic trỡnh by li li gii ca mt bi toỏn khi ủó bit cỏch gii khụng phi l vn ủ khú. Vỡ vy, ủ bi vit khụng quỏ di Tụi ch ủa ra cỏch phõn tớch tỡm li gii m khụng trỡnh by li gii chi tit. Mc dự rt nghiờm tỳc, c gng trong quỏ trỡnh lm sỏng kin kinh nghim ny nhng khú trỏnh khi thiu sút rt mong s gúp ý ca ủng nghip. Pleiku, Thỏng 03 nm 2011. Ngi vit. Hunh Thanh Luõn. Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm Huỳnh Thanh Luân Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân Huỳnh Thanh Luân Trang 2 NI DUNG CC PHNG PHP Phng phỏp I: CHN GI TR C BIT CA I S. Trc tiờn hóy xem cỏch tỡm li gii ca cỏc bi toỏn sau: Bi toỏn 1: Tỡm hm s ( ) : 0; , f + tha món ủiu kin sau: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 3 3 , , 0 f f xy f x f f y f x y y x = = + > (1) Phõn tớch tỡm li gii: Trong tớnh ch t ủ cho cú ch a phộp toỏn nhõn v th ng gi a hai ủ i s nờn ta s th ch n m t ủ i s b ng ủ n v c a phộp nhõn. Ch n 1 y = ta ủ c m t tớnh ch t c a hm: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 1 , 0 f x f f x f f x x = + > (2) Nh v y ta cú nhu c u tớnh ( ) ( ) 3 , 1 f f . T tớnh cht (2) ca hm s, khi chn ủi s ln lt l 3 v 1 ta ủ c: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 1 . 3 1 1 . 3 1 f f f f f f f f = + = + T ủ ú ta tớnh ủ c ( ) ( ) 1 1 3 2 f f = = . Do ủ ú tớnh ch t (2) tr thnh: ( ) ( ) ( ) 1 1 3 3 , 0 , 0 2 2 f x f x f x f f x x x x = + > = > (3) Theo tớnh ch t (3) thỡ tớnh cht (1) ca hm s tr thnh: Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm Huỳnh Thanh Luân Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân Huỳnh Thanh Luân Trang 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 , , 0 2 2 2 , , 0 f xy f x f y x y f xy f x f y x y = > = > (4) nhỡn cho d ta ủt ( ) ( ) ( ) 0; 2 , 0 x f x x + = > g: ;g . Khi ủú hm ( ) y g x = cú cỏc tớnh cht sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , 0 3 , 0 1 3 1 g xy g x g y x y g g x x x g g = > = > = = Ta cú: ( ) ( ) ( ) 2 3 3 . , 0 1 , 0 1, 0 g x g x g x g x x g x x x x = > = > = > Vỡ hm nhõn tớnh luụn nh n giỏ tr khụng õm. n ủ õy ta ủ ó tỡm ra l i gi i cho bi toỏn. Lu ý: Dự hm ( ) y g x = nhõn tớnh nh ng ta khụng suy ra ủ c l hm l y th a vỡ ta ch a cú tớnh liờn t c c a nú. Bi toỏn 2: Tỡm hm s : , f th a ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 , ,f x y x yf x f y x y = + (1) Phõn tớch tỡm li gii: T tớnh ch t c a hm s m ủ cho ta s ngh ủ n vi c th ch n hai ủ i s b ng nhau. Khi ủ ú ta ủ c tớnh ch t sau. ( ) ( ) 2 0 ,f f x x x = (2) Nh v y ta cú nhu c u tớnh ( ) 0 f . Theo tớnh ch t (2) ta cú: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 0 0 1 0 0 f f f f = = = hoặc ( ) 1: 0 0 TH f = Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm Huỳnh Thanh Luân Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân Huỳnh Thanh Luân Trang 4 T tớnh cht (2) ta ủc ( ) , . f x x x = ( ) 2: 0 1 TH f = Theo tớnh cht (2) thỡ vi mi s thc bt k x thỡ ( ) 2 1 f x x = t c ( ) 1. f x x = Ta c n l u ý r ng k t qu ta tỡm ủ c trờn ch a xỏc ủ nh hm s vỡ v i m i ph n t no ủ ú c a t p xỏc ủ nh ta v n ch a xỏc ủ nh ủ c nh c a nú. Khi g p tr ng h p ny ta gi i quy t nh sau: u tiờn ta th xem hai hm s ( ) ( ) 1, 1, f x x x f x x x = + = cú phi l nghim ca phng trỡnh hay khụng. Nu chỳng l nghim thỡ ta s ủi chng minh hoc ( ) 1,f x x x = + hoc ( ) 1,f x x x = bng phn chng. Tc gi s tn ti hai s , a b sao cho ( ) ( ) 1 1 f a a f b b = + = r i ủ i tỡm mõu thu n. Cũn n u th y hm s no khụng ph i l nghi m thỡ ta s ch ng minh khụng x y ra tr ng h p t ng ng. Vớ d trong bi ny hm ( ) 1,f x x x = khụng l nghi m nờn ta s ch ng minh ( ) 1,f x x x b ng ph n ch ng. Th t v y, gi s ( ) : 1 t f t t = ta cú: T tớnh ch t (1) ch n 0 x t y = = thỡ ta ủ c ( ) 2 2 1 f t t = + , cũn ch n 0 x y t = = thỡ ta l i cú ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 4 1 f t t f t t t t t = + = + = + . Suy ra 2 2 1 4 1 0 t t t t + = + = Nh v y : ( ) 1 0 0 1 f = = (mõu thu n). n ủ õy ta ủ ó tỡm ra l i gi i cho bi toỏn. Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm Huỳnh Thanh Luân Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân Huỳnh Thanh Luân Trang 5 Bi toỏn 3: Tỡm hm s : , f th a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 , ,f x y f x f x y yf y x y + = + + (1) Phõn tớch tỡm li gii: T tớnh ch t c a hm s m ủ cho ta s ngh ủ n vi c th ch n hai ủ i s ủ i nhau. Khi ủ ú ta ủ c cỏc tớnh ch t sau. Trong (1) n u ch n x t y t = = v i t b t k thỡ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 ,f f t f t tf t t = . (2) Cũn n u ch n x t y t = = v i t b t k thỡ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 ,f f t f t tf t t = + (3) T ủ ú suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) , , 0 tf t tf t t f t f t t = = (4) V do ủú cỏc tớnh cht (2), (3) ủc vit li. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 , 0 f f t tf t t = + (5) Ta cn tớnh ( ) 0 f . Vỡ tớnh cht (5) ch ủỳng vi 0 t nờn ủ tớnh ( ) 0 f ta s bi n ủ i (5) nh sau. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 0 , 0 0 , 0 0 0 2 4 4 t t t f t f t f t f = = V do ủ ú v i m i s th c b t k 0 t thỡ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 0 f t f t tf t f t t = = + = n ủõy, ging nh ủó lu ý phn trc ta s th v nhn thy c hai hm ( ) ( ) 0, ,f x x f x x x = = và ủu l nghim ca phng trỡnh nờn ta s ch n cỏch chng minh sau. Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm Huỳnh Thanh Luân Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân Huỳnh Thanh Luân Trang 6 Gi s ( ) ( ) 0 0: f a ab f b b = = . Theo tớnh cht (1) nu chn x a y b = = thỡ ta cú ( ) ( ) ( ) 2 2 0 f a b b f a b a b + = + = + v do ủ ú ( ) 2 2 2 a b b a b b a b a b b + = + = = + = C ng l i t (1) n u ch n 2 x b y a b = = = thỡ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 2 3 3 0 3 3 3 0 f b f b f b bf b b bf b f b b f b b b b b = = = = = = >< Bi toỏn ủ ó tỡm ủ c l i gi i. Bi toỏn 4: Tỡm hm s : , f th a ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 , ,f f x y f x y yf x x y + = + (1) Phõn tớch tỡm li gii: Do trong tớnh ch t c a hm m gi thi t cho cú d ng vi phõn c p 2 ( ) ( ) { } f f x y + nờn ta th ch n ủ i s sao cho hai s h ng ( ) ( ) f f x y + v ( ) 2 f x y tri t tiờu. Ta th y ( ) ( ) 2 2 1 2 f x y x y y x f x + = = , nờn v i t l m t s th c tựy ý theo tớnh ch t (1) ch n ( ) 2 1 2 x t y x f x = = ta ủc Ba ph−¬ng ph¸p ®¹i sè gi¶i ph−¬ng tr×nh hµm Huúnh Thanh Lu©n Huúnh Thanh Lu©nHuúnh Thanh Lu©n Huúnh Thanh Lu©n Trang 7 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 2 0 f t t f t f t f t t =    − = ⇒    =   Cách giải quyết khi gặp tình huống này ta ñã biết. Giả sử: ( ) ( ) 2 0 0: f a ab f b b =   ∃ ≠  =   . T ừ tính ch ấ t (1) c ủ a hàm s ố *) N ế u ch ọ n x a y b =   =  thì có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 f f a b f a b bf a + = − + ( ) 2 2 0 f a b b ⇒ − = ≠ ( ) ( ) 2 2 2 f a b a b ⇒ − = − ( ) 2 2 2 2 2 a b b a b ⇒ − = → = T ứ c ta có tính ch ấ t sau: N ế u ( ) ( ) 2 0 0 ab f a f b b  ≠  =   =  thì 2 2 a b = (2) *) N ế u ch ọ n 2 x a y b =   =  thì có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 8 f f a b f a b bf a + = − + ( ) 2 0 f b ⇒ = Suy ra ( ) ( ) ( ) 2 . 2 0 2 0 b b f b f b b  ≠  =   =  theo (2) ta có ( ) 2 1 2 2 . 2 b b b = ⇒ = Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm Huỳnh Thanh Luân Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân Huỳnh Thanh Luân Trang 8 Nh vy ta li ủc tớnh cht mi ca hm s ủó cho ( ) 2 1 1 1 2 2 4 1 0, 2 f f x x = = = . *) C ng l i t (1) n u ch n 1 2 0 x y = = thỡ ( ) 1 1 1 0 2 4 2 f f = >< =f Bi toỏn ủ ó tỡm ủ c l i gi i. Bi toỏn 5: Tỡm hm s : , f th a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ,f f x y f x f y f x f y xy x y = + (1) Phõn tớch tỡm li gii: Cng cú nhn xột tng t bi toỏn 4, tuy nhiờn vi gi thit ny Ta khụng chn ủc giỏ tr ca ủi s lm cho hai s hng no ủú trit tiờu ủc nờn Ta ch cú th chn ủ xut hin cỏc s hng ủc bit, ri sau ủú tỡm cỏch tớnh giỏ tr hm tng ng ủ chuyn v dng vi phõn cp 1. Chn hai ủi s bng nhau: ( ) ( ) ( ) 2 2 0 ,f f f x x x = . (2) C n tớnh ( ) 0 f . t ( ) 0 f a = Ta ghi li tớnh cht (2) ( ) ( ) 2 2 ,f a f x x x = (3) T tớnh cht (3) ta cú: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 *) 0 , 0 *) 2 x f a a f x x a x a x a f a a a a a a a = = = = = = = = Ta d ủ oỏn r ng 0 a = . Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm Huỳnh Thanh Luân Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân Huỳnh Thanh Luân Trang 9 Cng li t (3), ( ) 2 2 2 4 2 x a f a a a = = , cn tớnh ( ) 2 f a . Vỡ ( ) ( ) ( ) 2 f a f f a = nờn t (1) ta chn 0 x a y = = . Khi ủ ú, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 0 0 f f a f a f f a f f a a a a = + = + Suy ra ( ) 2 2 3 4 2 0 0 2 a a a a a a a a + = + = = = . Nh v y, (3) ủ c vi t l i, v i m i s th c x b t k thỡ ( ) ( ) ( ) 2 2 f x x f x x f x x = = = . Cỏch x lý tớnh ch t ny ủ ó t ng ủ i quen thu c. Do ta nh n th y hm ( ) ,f x x x = khụng l nghim ca phng trỡnh nờn Ta lm theo hng. Gi s ( ) 0 0 0 : . x f x x = T (1) cú: ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 *) . 0 0 *) x x f x x y x f x f x y x = = = = = = Suy ra ( ) 0 0 0 0 x x x = = . V i nh ng tớnh ch t ủ ó tỡm ra thỡ ta cú th tỡm ủ c l i gi i cho bi toỏn. Tng kt: M t cỏch t ng t nh vi c bi n ủ i khi gi i Phng trỡnh s m Ta ủ ó quen thu c, nh m chuy n ủ i u ki n c a gi thi t thnh cỏc ủ i u ki n ủ n gi n h n, thỡ trong gi i Phng trỡnh hm , vi c l a ch n cỏc bi n s phự h p v i m c ủ ớch t tớnh ch t c a hm m ủ cho Ta thu ủ c cỏc tớnh ch t khỏc c a hm ủ n gi n h n m cú l i trong vi c tỡm ra hm s . Ba ph−¬ng ph¸p ®¹i sè gi¶i ph−¬ng tr×nh hµm Huúnh Thanh Lu©n Huúnh Thanh Lu©nHuúnh Thanh Lu©n Huúnh Thanh Lu©n Trang 10 Hai ñịnh hướng chính cho Ta chọn ñối số, một là: chọn ñối số sao cho xuất hiện các giá trị hàm có thể tính ñược; hai là: xuất hiện các số hạng có thể triệt tiêu nhau. Lưu ý rằng việc lựa chọn phải có tính kế thừa, tức là việc chọn ñối số sau phải lưu ý dùng kết quả ñã chọn trước. [...]... ) = 1 a , f (1) = f ( y) f ( y) ủõy ta kớ hi u a = f (1) Nh v y cu i cựng ta tớnh ủ c Trang 20 Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm f ( y) a f = f ( x) f ( y) Huỳnh Thanh Luân , x, y > 0 f ( x) a Suy ra f ( x ) = , x > 0 Bi toỏn ủó tỡm ra l i gi i x Trang 21 Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm M TS Bi toỏn 15: Tỡm hm s BI T P T Huỳnh Thanh Luân LUY N f : , th a xf ( y ) + yf ( x )... a f ( x3 y 3 ) = x 2 f ( x ) y 2 f ( y ) , x, y (1) Phõn tớch tỡm l i gi i: Tr c tiờn ta s dựng phng phỏp I ủ chuy n tớnh ch t c a hm m ủ cho thnh cỏc tớnh ch t d dựng Trang 11 Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm Huỳnh Thanh Luân Trong (1), y = 0 f ( x 3 ) = x 2 f ( x ) , x v do ủú tớnh ch t (1) cng cú th vi t f ( x 3 y 3 ) = f ( x 3 ) f ( y 3 ) , x, y hay f ( x y ) = f ( x ) f (... + f ( x + 1) 3 3 3 3 = ( x 1) f ( x 1) + ( x + 1) f ( x + 1) 2 2 = ( x 1) f ( x ) f (1) + ( x + 1) f ( x ) + f (1) = ( 2 x 2 + 2 ) f ( x ) + 4 xf (1) , x 2 2 Trang 12 Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm Huỳnh Thanh Luân T ủú ta cú: 2 x 2 f ( x ) + 6 f ( x ) = ( 2 x 2 + 2 ) f ( x ) + 4 xf (1) , x f ( x ) = f (1) x, x Ta ủó tỡm ủ c l i gi i cho bi toỏn Lu ý: Vi c l a ch n bi... a, b xỏc ủ nh giỏ tr c a hm t i a, b ta thay nú vo l p h ủ gi i Lu ý dựng ủ nh lý Viete x = a a 2 f ( a ) + f ( b ) = 2a a 4 2 4 x = b b f ( b ) + f ( a ) = 2b b Trang 13 Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm Huỳnh Thanh Luân H cú D = Dx = Dy nờn nghi m c a h chớnh l nghi m c a phng trỡnh f ( a ) = , a 2 f ( a ) + f ( b ) = 2a a 4 4 2 f ( b ) = 2a a a Bi toỏn ủó tỡm ủ c l... n hon chu k n0 = 2 nờn ta khụng thu 2x 5 xn+1 = n ,n 1 xn 2 ủ c tớnh ch t m i c a hm t vi c ủ i bi n Lỳc ny ta c n h ng ủ ng th c hi n nhiờn sau: a+b=0 a = 1 [ a b] 2 Trang 14 Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm Huỳnh Thanh Luân Do ủú, 2x 5 g + g ( x ) = 0, x 2 x2 1 2x 5 g ( x) = g ( x) g + , x 2 2 x2 Ta s ch ng minh 1 2x 5 g ( x) = g ( x) g + , x 2 2 x2 1... a ủ tỡm cõu tr l i Bi toỏn 10: Tỡm hm s f : \ {1;0} , th a ( ) f ( ( x ) ) + f ( ( x ) ) + f ( x ) = 0, x 1;0 , trong ủú ( x ) = 1 , x 1 x +1 Phõn tớch tỡm l i gi i: Trang 15 Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm Cng tng t nh bi toỏn 9, dóy s tng ng Huỳnh Thanh Luân x1 = x 1 l ủõy xn+1 = ( xn ) , n 1 tu n hon chu k n0 = 3 , nờn Ta cng khụng gi i bi ny b ng phng phỏp l p h Hóy dựng... g ( x ) g ( ( x ) ) g ( ( x ) ) , x 1;0 3 trong ủú y = g ( x ) l hm s tựy ý xỏc ủ nh trờn \ {1;0} Hóy ch ng minh ủi u tng ủng th hai ủ hi u cỏch ch n h ng ủ ng th c Trang 16 Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm Huỳnh Thanh Luân Phng phỏp III: V N D NG TNH N NH, TON NH C A HM S ; VI T L I T P XC NH, T P GI TR C A HM S D I D NG KHC Trong lo i ny ta s tỡm nh ng tớnh ch t c a hm m cú th tr... Hai th c m c ủú s ủ c gi i quy t n u hm l ton ỏnh V i s th c y b t k ta c n tỡm x : f ( x ) = y s d ng ủ c gi thi t c a bi toỏn ta s tỡm x hai d ng D ng 1: x = f ( ) + Trang 17 Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm Huỳnh Thanh Luân Khi ủú ta cú f ( x ) = f ( f ( ) + ) = 2 + f ( f ( ) ) 2 + f ( f ( ) ) = y Cần chọn , : f ( ) = 0 y f (0) = Hay , d ng ny khụng ch n ủ c 2 =... ủ c f ( f ( y ) ) = y, y (2) Hm s cú tớnh ch t (2) d dng ch ng minh l m t song ỏnh Xột s a : f ( a ) = 0 (tớnh ton ỏnh c a hm s ) T (1) Ta cú: x = 0 *) f ( 0 ) = a y=a Trang 18 Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm Huỳnh Thanh Luân x = a *) f ( a 2 + a ) = 0 = f ( a ) a 2 + a = a a = 0 y = 0 *) y = 0 f ( x 2 ) = xf ( x ) , x Suy ra, v i m i s th c x thỡ f ( x 2 ) = xf ( x ) = f ( f (... ( y ) f ( y ) ) = 2 f ( f ( x ) f ( y )) + f ( x ) f ( y ) + f ( y ) = 2 f ( f ( x ) f ( y )) + f ( x ) Nh v y yờu c u ủ t ra l ph i tớnh f ( f ( x ) f ( y ) ) Ta cú: Trang 19 Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm Huỳnh Thanh Luân f ( f ( x ) f ( y )) = 2 f ( f ( x )) + f ( x ) + f ( y ) Yờu c u ti p theo l tớnh f ( f ( x ) ) Trong (1) v i vi c ch n x f ( y ) = 0 ta ủ c f ( 0 ) = 2 f ( . lựa chọn phải có tính kế thừa, tức là việc chọn ñối số sau phải lưu ý dùng kết quả ñã chọn trước. Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm Huỳnh Thanh Luân Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân Huỳnh. ca ủng nghip. Pleiku, Thỏng 03 nm 2011. Ngi vit. Hunh Thanh Luõn. Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm Huỳnh Thanh Luân Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân Huỳnh Thanh Luân Trang. > (3) Theo tớnh ch t (3) thỡ tớnh cht (1) ca hm s tr thnh: Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm Huỳnh Thanh Luân Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân Huỳnh Thanh Luân Trang