Phương pháp đại số giải phương trình schrodinger cho nguyên tử hydro trong từ trường với cường độ bất kỳ

HCM KHOA VẬT LÝ BÁO CÁO TỔNG KẾT Đề tài nghiên cứu khoa học và công nghệ cấp cơ sở PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER CHO NGUYÊN TỬ HYDRO TRONG TỪ TRƯỜNG VỚI CƯỜNG ĐỘ BẤ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HCM

KHOA VẬT LÝ

BÁO CÁO TỔNG KẾT

Đề tài nghiên cứu khoa học và công nghệ cấp cơ sở

PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER CHO NGUYÊN TỬ HYDRO TRONG TỪ TRƯỜNG VỚI CƯỜNG ĐỘ BẤT KỲ

Mã số: CS.2004.23.59

Chủ nhiệm đề tài: TSKH Lê Văn Hoàng

Bộ môn Vật lý lý thuyết, Khoa Vật lý, ĐHSP tp HCM

Công tác viên: Lê Trần Thế Duy

Khoa Vật lý: ĐHSP tp HCM

Thời gian thực hiện: tháng 5 năm 2003 đến tháng 5 năm 2004

2

Algebraic method for solving the Schrodinger equation of Hydrogen -like atom

in a magnetic field with arbitrary strength

Abst ract : The connection bet ween anharm oni c os cill ator and t wo dimensinal h ydrogenic donor st ates in a m agneti c fi eld i s est ablished vi a Levi-Ci vit a transfor mation that permits us to us e the operator m ethod for obt aining exact num eri cal s oluti ons (energy l evel s and wave functi ons ) for the l ast s ys t em New anal yt i cal solut ion is obt ained t oo for the ground st al e

-b y using the as ym pt otic -behavi our of wave functi o ns We also est a-bli sh t he basi s form ul ations t o extend the obtained result s bot h for t he cas e of three dimensional H ydrogen -like atom in a magnetic fi eld and the case of pres ence

of screening potenti al

Tóm tắt: Bằng phép biến đổi Levi-Civita mối liên hệ gi ữa bài toán tương tác điện tử lỗ trống trong từ trường với dao động tử điều hòa được xây dựng Trên cơ sở đó phương pháp toán tử được áp dụng để nhận được lời giải chí nh xác b ằng số (năng lượng và hàm sóng) cho bài toán nà y Nghiệm gi ải tích cũng được xây dựng cho trạng thái cơ bản dựa vào biểu hiện tiệm cận c ủa hàm sóng Ngoài ra chúng tôi còn xây dựng các công thức cơ bản cho việc phát triển các kết quả thu được cho trường hợp có thể màn ch ắn và trong trường hợp nguyên tử Hydro ba chiều trong từ trường

MỤC LỤC

I GIỚI THIỆU VẤN ĐỀ 4

II TRẠNG THÁI EXCITON NHƯ MÔ HÌNH NGUYÊN TỬ HYDRO 6

III PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH SCHRÖDINGER 10

IV NGHIỆM GIẢI TÍCH 18

V TRƯỜNG HỢP CÓ TÍNH ĐẾN THẾ MÀN CHẮN 21

VI PHÁT TRIỂN CHO NGUYÊN TỬ HYDRO BA CHIỀU: 22

VII KẾT LUẬN 23

VIII TÀI LIỆU THAM KHẢO 24

4

I GIỚI THIỆU VẤN ĐỀ

Nguyên tử Hydro trong từ trường là vấn đề rất cơ bản trong vật lý nguyên tử nói riêng và trong cơ học lượng tử nói chung Trong tất cả các sách giáo khoa về cơ học lượng tử, hiệu ứng Zeeman bình thường hay dị thường đã được nêu ra như một ví dụ kinh điển v ề bài toán chuyển động của điện tử trong trường Coulomb và từ trường đều [I] Tuy nhiên các công trình nghiên cứu về vấn đề này vẫn xuất hiện đều đặn cho đến hiện nay trên các tạp chí vật

lý hàng đầu của thế giới (ví dụ [2-10]) Điều này liên quan đến các phát kiến mới trong lĩnh vực vật lý học thiên thể, kỹ thuật đo đạ c quang phổ, vật lý các

hệ thấp chiều, công nghệ Nano, công nghệ vật liệu mới (xem bài tổng quan [11])

Các số liệu đo đạc quang phổ từ các sao lùn trắng [12], nơi mà từ trường rất lớn, lên đến cờ 10l0

testla, cần những nghi ên cứu l ý t hu yết về

chuyển động nguyên tử trong từ trường cực mạnh Việc tạo ra các hệ thấp chiều trong công nghệ vật liệu mới (khí điện từ hai chiều trong bán dẫn nhiều lớp GaAs/AIGaAs, ống carbon kích cỡ nano [13 -14]) đòi hỏi giải quyết bài toán trạng thái kích thích exiton trong trường từ như một hệ hai chiểu Đặt biệt khi mà kích cỡ cấu trúc vật chất ở mức nano thì tương tác Coulomb trở nên có thể so sánh được với năng lượng từ trường Lúc này không thể sử dụng

l ý th u yết nhi ễu loạn tru yền thống cho bài toán nà y đượ c, mặt dù không ít công trình vẫn sử dụng gần đúng trong đó trường từ được xem là rất mạnh so với tương tác Coulomb (ví dụ[15]) Nhu c ầu về phương pháp tính toán mới đáp ứng cho bài toán này vì vậy rất lớn Công trình này có mục đích là xây dựng phương pháp đại số cho các tính toán liên quan đến bài toán nguyên tử hydro trong từ trường đều với cường độ bất kỳ

Phương pháp đại số được xây dựng còn liên quan đến sự phát triển của các công cụ tính toán dựa trên biểu tượng trong thập niên gần đây Khởi đầu

là ngôn ngữ Reduee được biên soạn cho các tính toán phức tạp và đồ sộ trong vật lý năng lượng cao, bước phát triển tiếp theo là Mable và hiện nay, thế hệ thứ ba là Matlav và đặc biệt là Mathematica [16] Đây là một trong ngôn ngữ lập trình bậc cao cho phép ta thiết lập các tính toán giữa các biểu thức, đặt biệt là các tính toán đồ sộ và lập đi lập lại Matheinatica cho phép ta đ ịnh nghĩa các phép toán trên các đối tượng không có t ính giao hoán và vì vậy rất thuận tiện cho việc lập các quy tắc tính toán đại số Như vậy ta

có thể cho m á y tính làm một phần các công việc của nhà nghi ên cứu chứ

không đơn thuần là xử lý các số liệu bằng số cuối cùng Đề tài cấp cơ sở này

là một phần trong công trình nghiên cứu của tác giả: tự động hóa các tính toán vật lý nguyên tử (xem công trình tổng quan mới nhất của tác giả về đề tài này [17]) Với phạm vi của một đề tài cấp cơ sở, bài toán vật lý cụ thể đưa ra giải quyết là trạng thái Exiton của khí điện tử hai chiều tạo ra trong

hệ bán dẫn nhiều lớp GaAs/AlGaAs với sự có mặt của từ trường đều

Cơ sở quan trọng của phương pháp đại số sử dụng trong công trình này

là mối liên hệ giữa bài toán nguyên tử đồng dạng Hydrô hai chiều với bài toán dao động tử điều hòa [18-19] Chính nhờ phép biến đổi Levi-Civita [18]

mà phương t rình S chr odinger cho dao động t ử đi ều hòa có thể chu yển về

phương trình này cho nguyên tử đồng dạng Hydro hai chiều Như vậy bài toán nguyên tử Hydro hai chiều trong từ trường có thể đưa về bài toán dao động từ phi điều hòa Từ đây biểu diễn biến động lực qua các toán tử sinh

hủ y Dirac có thể được áp dụng một cách thuận t iện cho bài toán đang xét Cân nhắc lại là với bài toán dao động tử điều hòa chúng ta có thể tìm thấy trong hầu hết các sách giáo khoa về cơ học lượng tử, trong đó có một phương

pháp giải bằng cách đưa về dạng biểu diễn thông qua các toán tử sinh hủy mà

trạng thái cơ bản chính là trạng thái chân không, còn các trạng thái kích thích ứng với tác dụng của toán tử sinh lên hàm chân không Biểu diễn toán

tử sinh hủy của bài toán Hydro trong từ trường cho phép ta ứng dụng phương pháp toán tử [20] để giải phương trình Schrodinger Phương pháp toán tử này

được xây dựng từ những năm 80 và đã chứng tỏ hiệu quả trong rất nhiều bài

toán vật lý nguyên tử (xem ví dụ [ 21]) Các nét cơ bản của phương pháp sẽ được trình bày thông qua bài toán cụ thể trong phần III của đề tài Trong phần IV sẽ phát triển phương pháp toán tử để nhận được nghiệm giải tích cho bài toán với độ chính xác ổn định trong toàn miền biến đồi từ trườ ng Phần V

và phần VI dành để trình bày các bước cơ bản để sử dụng kết quả thu được cho trường hợp có tính đến thế màn chắn và để phát triển cho trường hợp ba chiều Phần kết luận dành để trình bày các kết quả thu được và nêu hướng

phát triển của đề tài

6

II TRẠNG THÁI EXCITON NHƯ MÔ HÌNH NGUYÊN TỬ HYDRO

Một trong những hướng nghiên cứu quan trọng trong việc chế tạo vật liệu mới với các tính chất định sẵn là vấn đề tạo ra các hệ thấp chiều Trong mối liên quan đó, bài toán chuyển động của khí điện tử trong cấu trúc tinh thể hai chiều được nghiên cứu rộng rãi ở những năm gần đây [7 -10, 22-24] Trong các nghiên cứu này, được sử dụng nhiều nhất là loại tinh thể nhiều lớp bán dẫn, trong đó vùng chứa GaAs hoạt động như là hố thế năng trong khi vùng AlxGax -1 As (x 045) đóng vai t rò các bức t ường thế Những t hành t ựu mới trong kỹ thuật cấy tinh thể hiện nay cho phép tạo ra các lớp bán dẫn GaAs rất mỏng, đủ để khí điện tử chuyển động trong hố thế có thể được mô

tả với giới hạn hai chiều [8] Nhiều hiện tượng v ật lý mới liên tục được phát hiện liên quan đến chuyển động của khí điện tử hai chiều trong từ trường [23-24] Vì vậ y một trong n hững bài toán đượ c quan t âm rất nhi ều cho đến hiện nay và có ứng dụng thực tiễn là chuyển động khí điện tử hai chiều trên mặt phẳng x-y, trong đó điện tử dẫn tương tác Coulomb với lỗ trống, trong từ trường với véctơ cường độ hướng theo chiều z

Phương trình Schrodinger: Bỏ qua tương t ác giữa các điện t ử, phương trình Schrodinger cho trạng thái liên kết điện tử -lỗ trống trong từ trường được vi ết như sau:

/ 2h22 ,

đơn vị độ dài l à bán kính Bohr hi ệu

dụng a* = h 2 / e 2 m* Cườ ng độ từ t rường không t hứ ngu yê n được xác định

bằng biểu thức  = hc / 2R* , t rong đó c= B/m*c là t ần số chu yển động xoá y

ốc với B là cường độ từ trường, Để đánh giá độ lớn tương đối của từ trường

so với tương tác Coulomb ta đưa ra phép so sánh như sau Thang năng lượng

từ trường được đặc trưng bởi giá trị hc = heB/ m *c t rong khi thang năng lượng tương tác Coulomb được đặc trưng bởi hằng số Rydberg hiệu dụng

R* Như vậy hệ số so sánh giữa hai thang năng lượng là  = hc/2R* Từ đây ta có thể gọi từ trường yếu ứng với giá trị  << 1 và từ trường mạnh ứng với  >> 1

Trong phần lớn các thí nghiệm với việc sử dụng chất bán dẫn GaAs/AlxGa1-x As

và từ trường ở điều kiện phòng thí nghiệm thì hai thang năng lượng sẽ nằm trong vùng so sánh được với nhau Nói khác hơn, ngay từ đầu cho đến bây giờ đối tượng đang được nghiên cứu rộng rãi [7-10] là trường hợp trường có giá trị trung bình  l Như vậy, để mô tả các thí nghiệm thực tế, xuất hiện nhu cầu giải phương trình Schrodinger (l)-(2) cho miền biến đổi giá trị  rộng hơn, không chỉ giới hạn trong miền từ trường yếu Rõ ràng là các phương pháp truyền thống trên cơ sở sử dụng lý thuyết nhiễu loạn khó có thể sử dụng trực tiếp

Thời gian gần đây, nhiều tác giả quan tâm đến việc giải phương trình (l) -(2) cho toàn miền biến đổi cường độ từ trường bằng các phương pháp khác nhau Trong

số đó cần kể đến là phương pháp biến phân, phương pháp phân tích theo chu ỗi 1 /N với N là số chiều của không gian, phương pháp đánh giá xấp xỉ hai điểm Pade [7-10] Tuy nhiên, theo quan điểm của tác giả thì vấn đề này còn cần được nghiên cứu triệt

để hơn nữa Vì vậy, trong công trình này ở phần III chúng tôi sẽ đưa ra lời giải chính xác phương trình (l)-(2) bằng phương pháp toán tử (OM) Phương pháp này được đưa

ra đầu tiên trong công trình [20] như là một phương pháp không nhiễu loạn giải phương trình Schrodinger, cho phép xét các bài toán cơ học lượng tử với cường độ trường ngoài có giá trị bất kỳ và đã được sử dụng hiệu quả cho một loạt các bài toán trong nhiều lĩnh vực khác nhau của lý thuyết nguyên tử, vật lý chất rắn, lý thuyết trường lượng tử (xem bài viết tổng quan [21]) Việc sử dụng phương pháp toán tử giải phương trình (l)-(2) còn chỉ ra một thế mạnh nữa Đó là phương pháp này không những cho phép tìm giá trị năng lượng mà còn có thể xây dựng hàm sóng của hệ trong toàn miền thay đổi tham số từ trường

Mối liên hệ với bài toán dao động tử phi điều hòa hai chiều Bài toán (I)-(2) sẽ trở thành đơn giản hơn nhiều qua cách biếu diễn mới, được đưa ra trong công trình [19]

𝜓 𝑥, 𝑦 |𝜑(𝑥, 𝑦) = 𝑑𝑥𝑑𝑦𝜓 𝑥, 𝑦 𝜑 𝑥, 𝑦 = 𝑑𝑢𝑑𝑣4(𝑢 2 + 𝑣 2 )𝜓(𝑢, 𝑣)𝜑(𝑢, 𝑣) (4)

Sự xuất hiện trọng số 4(u2

+ v2) t rong (4) dẫn đến hệ quả: nếu  là toán tử hermit trong không gian (x,y) thì sẽ tương ứng với à = 4(u2

+ v2) Â

là toán tử hermite trong không gian (u,v)

Như vậy, để bảo toàn tính hermit của Hamiltonian khi chuyển về không gian (u,v), phương trình ( 1 ) cần viết lại như sau:

𝑟 𝐻 − 𝐸 𝜓 𝑟 = 0 Sau phép biến đổi Levi-Civita, phương trình này có dạng:

(uv) Như vậy từ bài toán chuyển động của điện tử trong điện từ trường phức tạp ta đã đưa về bài toán đơn giản và được nghiên cứu nhiều trong cơ học

lượng tử

Trong phương trình (5)-(6), năng lượng E chỉ đóng vai trò tham số Vì vậy để có

dạng phương trình tìm trị riêng ta viết lại (5) như sau :

với Z đóng vai trò trị riêng của phương trình Schrodinger (5’)-(6) Sau khi giải phương trình này ta tìm được Z như một hàm phụ thuộc vào tham số E Vì giá trị của Z luôn bằng đơn vị nên phương trình:

cho ta nghiệm chính xác E

Để tìm nghiệm hoàn chỉnh của một phương trình động học chúng ta cần xác định các bất biến của hệ Trong trường hợp phương trình (5') ta dễ dàng kiểm chứng rằng toán tử hình chiếu mô men xung lượng lên trục z: 𝑳 𝒛 giao hoán với Hamiltonian (6) Điều này tương ứng với việc hình chiếu mô-men quỹ đạo là đại lượng bảo toàn với chuyển động trong trường Coulomb và trường từ Như vậy hàm sóng cần tìm thỏa mãn phương trình

𝑳 𝒛𝚿 𝒖, 𝒗 = 𝒎𝚿(𝒖, 𝒗) (8)

Với 𝑳 𝒛= 𝒖 𝝏

𝝏𝒗− 𝒗 𝝏

𝝏𝒖 được viết trong không gian (u,v) và trị giá riêng của nó

sẽ tìm được các phần tiếp theo như sau: m = 0 ± 1, ± 2,… Dựa vào đây, chúng ta sẽ giải phương trình ( 5 * ) cùng với điều kiện (8) Ngoài ra, chúng ta có thể thay thế toán tử Lz bằng trị riêng của nó trong các phương trình tương ứng

10

III PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

SCHRÖDINGER Phương phá p l uận: Nhìn chung (5) -(6) l à dạng phương t rình

Schrodinger cho chuyển động điện tử trong trường Coulomb và trường từ, Ham iltonian có t h ể viết dướ i dạng tổ ng quát sau:

𝐻 = 𝑇 + 𝑉 𝐶+ 𝑉 𝑀Trường hợp trường từ yếu <<1 dựa vào l ý thu yết nhi ễu l oạn người t a

chọn 𝐻𝑜 = 𝑇 + 𝑉 𝐶 Còn tương tác từ trường 𝑉 𝑀 có thể xem như nhi ễu loạn Vì bài toán chu yển động t rong t rường C oul omb có nghi ệm chính xác ta có thể tìm nghiệm riêng của 𝐻𝑜 và s au đó dung l ý thu yết nhiễu l oạn đ ể tí nh các bổ chỉ nh bậc cao Tươ ng t ự như v ậ y, t rong t rư ờ ng hợp từ t rư ờng m ạnh 𝛾 ≫

1 người ta chọn 𝐻𝑜 = 𝑇 + 𝑉 𝑀 còn nhiễu loạn sẽ l à 𝑉 𝐶 Trường hợp khó nhất là khi t ừ t rư ờng không m ạnh cũng không y ếu 𝛾 ≈ 1 Lúc này phương pháp chủ yếu là biến phân và vì phương pháp này chỉ hiệu quả cho trạng thái cơ bản cho nên để sử dụng cho các trạng thái kích thích thấp cũng đòi hỏi những cải tiến đáng kể [8 -10] Ý tưởng chủ yếu của phương pháp toán tử là làm sao tách Hamiltonian thành hai phần:

𝐻 = 𝐻 𝑜+ 𝑉 I

Sao cho: 1) 𝐻𝑜 chứa một phần tươ ng tác C oulomb và một phần tương t ác t ừ

(2) 𝐻𝑜 có trị riêng chính xác

(3) 𝑉 “đủ nhỏ” để có thể xem như là nhi ễu loạn với mọi giá trị 𝛾

Chúng ta sẽ thực hiện các ý tưởng trên qua việc giải phương trình (5') (6) bằng phương pháp toán tử Ta cần thực hiện các bước sau

-Bước một: Trước hết chúng ta chuyển phương trình (5') -(6) từ biểu

diễn tọa độ (u,v) qua biểu diễn bằng các toán tử sinh hủy Các toán tử này được định nghĩa bằng các

biểu thức:

trong đó tọa độ phức được định nghĩa 𝜉 = 𝑢 + 𝑖𝑣 𝜉′ = 𝑢 − 𝑖𝑣 Dễ dàng ki ểm chứng các

toán tử sinh hủy (9) thỏa mãn hệ thức giao hoán

(các gi ao hoán t ử khác b ằng không) Kh i định nghĩ a các toán t ử sinh hủ y (9) chúng ta đưa vào m ột tham số t ự do 𝜔 (𝜔 > 0) Tham số này tạm thời chưa xác định và chúng ta sẽ thấy ở phần tiếp theo rằng việc đưa tham số tự do này vào sơ đồ OM là để tối ưu hóa tốc độ hội tụ của quá trình tính toán Sau phép biến đổi (9), phương trình (5’)-(6) có dạng

Bước hai: Ta tách Hamiltonia ở phương trình (11) thành hai thành phần như sau:

𝐻 = 𝐻 𝑜 + 𝛽𝑉 Trong đó Hamiltonian 𝐻𝑜 chỉ chứa thành phần giao hoán với các toán tử 𝑎 +𝑎 và

𝑏 +𝑏

Còn 𝑉 = 𝐻 − 𝐻 𝑜 có th ể xem như toán tử "nhi ễu lo ạn" Nghi ệm gần đúng

bậc zero của phương trình ( 1 1 ) chính là nghiệm riêng chính xác của toán tử

𝐻𝑜 , còn các bổ

12

chính bậc cao hơn ta có thể tính theo chuỗi của toán tử 𝛽𝑉 dựa vào lý thuyết nhi ễu lo ạn Thừa s ố 𝛽 đưa vào trước toán tử 𝑉 trong (12) để chỉ rằng toán tử

nà y "nhỏ" hơn toán tử 𝐻𝑜 một b ậc; t a gọ i l à tham s ố nhiễu lo ạn và trong k ết

quả cuối cùng t a s ẽ cho 𝛽 = 1 Chúng ta có thể chọn tham số 0) sao cho

được thỏa mãn, đây chính là điều kiện để phương pháp lý thuyết nhiễu loạn

có t hể s ử dụng hi ệu qu ả Nghĩa là tham s ố t ự do 𝜔 được chọn sao cho việc tách Hamiltonian ra hai thành phần như (12) là có ý nghĩa

Bước ba: Tìm nghiệm gần đúng bậc zero bằng cách giảiphương trình

Dễ dàng nhận thấy rằng nghiệm riêng của 𝐻𝑜 cũng l à nghiệm ri êng của các toán tử 𝑎 +𝑎 và 𝑏 +𝑏 Hay nói khác hơn nghiệm của (14) là hàm song của dao động từ điều hòa hai chiều với các véc tơ trạng thái có dạng chuẩn hóa như sau:

|𝑛(𝑚) = 1

𝑛−𝑚 !(𝑛+𝑚 ) 𝑎 + 𝑛−𝑚 𝑏 + 𝑛+𝑚|0(𝜔) (17)

Thỏa mãn yêu cầu của chúng ta với n = 0, 1, 2… là số lượng từ chính và là số lượng

tử từ - n ≤ m ≤ n Để sử dụng trong các tính toán cụ thể ta có thể chứng minh các công thức

sau:

Dựa vào các hệ thức giao hoán (10) và các phương trình định nghĩa trạng thái chân

không (16) Thế vec tơ trạng thái (17) vào (11) đồng thời bỏ các thành phần không giao hoán với toán tử trung hòa trong phương trình (11), từ điều kiện 𝑍(𝑜) 𝐸𝑛𝑚(0) = 1 ta thu được biểu thức để xác định năng lượng riêng tương ứng:

Tham số 𝜔 trong biểu thức năng lượng có thể xác định từ điều kiện:

Tiêu chí để chọn giá trị 𝜔 theo phương pháp toán tử đã được thảo luận trong một loạt các công trình (xem [25] và đã chỉ ra rằng điều kiện (2) cho ta kết quả tương đối chính xác ở gần đúng bậc zero đối với nhiều bài toán khác nhau Với bài toán chúng ta đang xét, điều kiện (2) dẫn tới phương trình để xác định 𝜔 như sau:

Phương trình (21) có một nghiệm thực dương Thế nghiệm thực dương này vào (19)

ta có thể tìm được nghiệm giải tích gần đúng cho bài toán đang xét Để minh họa cho sự hính xác lời giải ở gần đúng bậc thấp của OM, trong bảng 1 đưa ra kết quả 𝐸𝑛𝑚 𝑜 𝛾 + ∆𝐸𝑛𝑚 2 (𝛾)

và so sánh với lời giải chính xác OM cho trạng thái cơ bản và một vài trạng thái kích thích

Ở đây ta ký hiệu các mức năng lượng như sau: ns - ứng với m=0, np+

 m = 1; np-  m = 2;

nd-  m = -2;… Đối với các trạng