Phương pháp đại số giải phương trình schrodinger cho nguyên tử hydro trong từ trường với cường độ bất kỳ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP HCM KHOA VẬT LÝ BÁO CÁO TỔNG KẾT Đề tài nghiên cứu khoa học công nghệ cấp sở PHƢƠNG PHÁP ĐẠI SỐ GIẢI PHƢƠNG TRÌNH SCHRODINGER CHO NGUYÊN TỬ HYDRO TRONG TỪ TRƢỜNG VỚI CƢỜNG ĐỘ BẤT KỲ Mã số: CS.2004.23.59 Chủ nhiệm đề tài: TSKH Lê Văn Hoàng Bộ môn Vật lý lý thuyết, Khoa Vật lý, ĐHSP HCM Công tác viên: Lê Trần Thế Duy Khoa Vật lý: ĐHSP HCM Thời gian thực hiện: tháng năm 2003 đến tháng năm 2004 Algebraic method for solving the Schrodinger equation of Hydrogen-like atom in a magnetic field with arbitrary strength Abstract: The connection between anharmonic oscillator and two dimensinal hydrogenic donor states in a magnetic field is established via Levi-Civita transfor mation that permits us to use the operator method for obtaining exact numerical solutions (energy levels and wave functions) for the last s ystem New anal ytical solution is obtained too for the ground stale by using the asymptotic behaviour of wave functio ns We also establish the basis formulations to extend the obtained results both for the case of three dimensional Hydrogen -like atom in a magnetic field and the case of presence of screening potential Tóm tắt: Bằng phép biến đổi Levi -Civita mối liên hệ gi ữa toán tƣơng tác điện tử l ỗ trống từ trƣờng với dao động tử điều hòa đƣợc xây dựng Trên sở phƣơng pháp toán tử đƣợc áp dụng để nhận đƣợc lời giải xác số (năng lƣợng hàm sóng) cho toán Nghiệm giải tích đƣợc xây dựng cho trạng thái dựa vào biểu tiệm cận c hàm sóng Ngoài xây dựng công thức cho việc phát triển kết thu đƣợc cho trƣờng hợp ch ắn trƣờng hợp nguyên tử Hydro ba chiều từ trƣờng MỤC LỤC I GIỚI THIỆU VẤN ĐỀ II TRẠNG THÁI EXCITON NHƢ MÔ HÌNH NGUYÊN TỬ HYDRO III PHƢƠNG PHÁP TOÁN TỬ GIẢI PHƢƠNG TRÌNH SCHRÖDINGER 10 IV NGHIỆM GIẢI TÍCH 18 V TRƢỜNG HỢP CÓ TÍNH ĐẾN THẾ MÀN CHẮN 21 VI PHÁT TRIỂN CHO NGUYÊN TỬ HYDRO BA CHIỀU: 22 VII KẾT LUẬN 23 VIII TÀI LIỆU THAM KHẢO 24 I GIỚI THIỆU VẤN ĐỀ Nguyên tử Hydro từ trƣờng vấn đề vật l ý nguyên tử nói riêng học lƣợng tử nói chung Trong tất sách giáo khoa học lƣợng tử, hiệu ứng Zeeman bình thƣờng hay dị thƣờng đƣợc nêu nhƣ ví dụ kinh điển v ề toán chuyển động điện tử trƣờng Coulomb từ trƣờng [I] Tuy nhiên công trình nghiên cứu vấn đề xuất đặn tạp chí vật lý hàng đầu giới (ví dụ [2-10]) Điều liên quan đến phát kiến lĩnh vực vật l ý học thiên thể, kỹ thuật đo đạ c quang phổ, vật l ý hệ thấp chiều, công nghệ Nano, công nghệ vật liệu (xem tổng quan [11]) Các số liệu đo đạ c quang phổ từ lùn trắng [12], nơi mà từ trƣờng lớn, lên đến cờ 10 l0 testla, cần nghiên cứu lý thuyết chuyển động nguyên tử từ trƣờng cực mạnh Việc tạo hệ thấp chiều công nghệ vật liệu (khí điện từ hai chiều bán dẫn nhiều lớp GaAs/AIGaAs, ống carbon kích cỡ nano [13 -14]) đòi hỏi giải toán trạng thái kích thích exiton trƣờng từ nhƣ hệ hai chiểu Đặt biệt mà kích cỡ cấu trúc vật chất mức nano tƣơng tác Coulomb trở nên so sánh đƣợc với lƣợng từ trƣờng Lúc sử dụng lý thuyết nhiễu loạn truyền thống cho toán đƣợc, mặt dù không công trình sử dụng gần trƣờng từ đƣợc xem mạnh so với tƣơng tác Coulomb (ví dụ[15]) Nhu c ầu phƣơng pháp tính toán đáp ứng cho toán lớn Công trình có mục đích xây dựng phƣơng pháp đ ại số cho tính toán liên quan đến toán nguyên tử hydro từ trƣờng với cƣờng độ Phƣơng pháp đại số đƣợc xây dựng liên quan đến phát triển công cụ tính toán dựa biểu tƣợng thập niên gần Khởi đầu ngôn ngữ Reduee đƣợc biên soạn cho tính toán phức tạp đồ sộ vật l ý lƣợng cao , bƣớc phát triển Mable nay, hệ thứ ba Matlav đặc biệt Mathematica [16] Đây ngôn ngữ lập trình bậc cao cho phép ta thiết lập tính toán biểu thức, đặt biệt tính toán đồ sộ lập lập lại Matheinatica cho phép ta đ ịnh nghĩa phép toán đối tƣợng t ính giao hoán thuận tiện cho việc lập quy tắc tính toán đại số Nhƣ ta cho máy tính làm phần công việc nhà nghiên cứu không đơn xử l ý số liệu số cuối Đề tài cấp sở phần công trình nghiên cứu tác giả: tự động hóa tính toán vật l ý nguyên tử (xem công trình tổng quan tác giả đề tài [17]) Với phạm vi đề tài cấp sở, toán vật l ý cụ thể đƣa giải trạng thái Exiton khí điện tử hai chiều tạo hệ bán dẫn nhiều lớp GaAs/AlGaAs với có mặt từ trƣờng Cơ sở quan trọng phƣơng pháp đại số sử dụng công trình mối liên hệ toán nguyên tử đồng dạng Hydrô hai chiều với toán dao động tử điều hòa [18 -19] Chính nhờ phép biến đổi Levi -Civita [18] mà phƣơng trình Schrodinger cho dao động tử điều hòa chuyển phƣơng trình cho nguyên tử đồng dạng Hydro hai chiều Nhƣ toán nguyên tử Hydro hai chiều từ trƣờng đƣa toán dao động từ phi ều hòa Từ biểu diễn biến động lực qua toán tử sinh hủy Dirac đƣợc áp dụng cách thuận tiện cho toán xét Cân nhắc lại với toán dao động tử điều hòa tìm thấy hầu hết sách giáo khoa học lƣợng tử, có phƣơng pháp giải cách đƣa dạng biểu diễn thông qua toán tử sinh hủy mà trạng thái trạng thái chân không, trạng thái kích thích ứng với tác dụng toán tử sinh lên hàm chân không Biểu diễn toán tử sinh hủy toán Hydro từ trƣờng cho phép ta ứng dụng phƣơng pháp toán tử [20] để giải phƣơng trình Schrodinger Phƣơng pháp toán tử nà y đƣợc xây dựng từ năm 80 chứng tỏ hiệu nhiều toán vật l ý nguyên tử (xem ví dụ [ 21]) Các nét phƣơng pháp đƣợc trình bày thông qua toán cụ thể phần III đề tài Trong phần IV phát triển phƣơng pháp toán tử để nhận đƣợc nghiệm giải tích cho toán với độ xác ổn định toàn miền biến đồi từ trƣờ ng Phần V phần VI dành để trình bày bƣớc để sử dụng kết thu đƣợc cho trƣờng hợp có tính đến chắn để phát triển cho trƣờng hợp ba chiều Phần kết luận dành để trình bày kết thu đƣợc nêu hƣớng phát triển đề tài II TRẠNG THÁI EXCITON NHƢ MÔ HÌNH NGUYÊN TỬ HYDRO Một hƣớng nghiên cứu quan trọng việc chế tạo vật liệu với tính chất định sẵn vấn đề tạo hệ thấp chiều Trong mối liên quan đó, toán chuyển động khí điện tử cấu trúc tinh thể hai chiều đƣợc nghiên cứu rộng rãi năm gần [7 -10, 22-24] Trong nghiên cứu này, đƣợc sử dụng nhiều loại tinh thể nhiều lớp bán dẫn, vùng ch ứa GaAs hoạt động nhƣ hố vùng Al x Ga x - 1As (x 045) đóng vai trò tƣờng Những thành tựu kỹ thuật cấy tinh thể cho phép tạo lớp bán dẫn GaAs mỏng, đủ để khí điện tử chuyển động hố đƣợc mô tả với giới hạn hai chiều [8] Nhiều tƣợng v ật l ý liên tục đƣợc phát liên quan đến chuyển động khí điện tử hai chiều từ trƣờng [23-24] Vì n hững toán đƣợc quan tâm nhiều có ứng dụng thực tiễn chuyển động khí điện tử hai chiều mặt phẳng x-y, điện tử dẫn tƣơng tác Coulomb với lỗ trống, từ trƣờng với véctơ cƣờng độ hƣớng theo chiều z Phƣơng trình Schrodinger: Bỏ qua tƣơng tác điện tử, phƣơng trình Schrodinger cho trạng thái liên kết điện tử -lỗ trống từ trƣờng đƣợc viết nhƣ sau:  H (r)  E(r) (1) 1        1 H      iy  x      x  y2    x y   y x  r  2 (2) hệ đơn vị nguyên tử Ký hiệu m * ,  lần lƣợt khối lƣợng hiệu dụng điện tử số điện môi, đơn vị lƣợng làhằng số Rydberg hiệu dụng R* = m* e / 2h  , đơn vị độ dài bán kính Bohr hiệu dụng a* =  h / e m* Cƣờng độ từ trƣờng không thứ nguyên đƣợc xác định biểu thức  = h  c /2R*,  c = B/m*c tần số chuyển động xoáy ốc với B cƣờng độ từ trƣờng, Để đánh giá độ lớn tƣơng đối từ trƣờng so với tƣơng tác Coulomb ta đƣa phép so sánh nhƣ sau Thang lƣợng từ trƣờng đƣợc đặc trƣng giá trị h  c = heB/ m*c thang lƣợng tƣơng tác Coulomb đƣợc đặc trƣng số R ydberg hiệu dụng R* Nhƣ hệ số so sánh hai thang lƣợng  = h  c /2R* Từ ta gọi từ trƣờng yếu ứng với giá trị  > Trong phần lớn thí nghiệm với việc sử dụng chất bán dẫn GaAs/ AlxGa1-x As từ trƣờng điều kiện phòng thí nghiệm hai thang lƣợng nằm vùng so sánh đƣợc với Nói khác hơn, từ đầu đối tƣợng đƣợc nghiên cứu rộng rãi [7-10] trƣờng hợp trƣờng có giá trị trung bình  l Nhƣ vậy, để mô tả thí nghiệm thực tế, xuất nhu cầu giải phƣơng trình Schrodinger (l)-(2) cho miền biến đổi giá trị  rộng hơn, không giới hạn miền từ trƣờng yếu Rõ ràng phƣơng pháp truyền thống sở sử dụng lý thuyết nhiễu loạn khó sử dụng trực tiếp Thời gian gần đây, nhiều tác giả quan tâm đến việc giải phƣơng trình (l) -(2) cho toàn miền biến đổi cƣờng độ từ trƣờng phƣơng pháp khác Trong số cần kể đến phƣơng pháp biến phân, phƣơng pháp phân tích theo chu ỗi /N với N số chiều không gian, phƣơng pháp đánh giá xấp xỉ hai điểm Pade [7-10] Tuy nhiên, theo quan điểm tác giả vấn đề cần đƣợc nghiên cứu triệt để Vì vậy, công trình phần III đƣa lời giải xác phƣơng trình (l)-(2) phƣơng pháp toán tử (OM) Phƣơng pháp đƣợc đƣa công trình [20] nhƣ phƣơng pháp không nhiễu loạn giải phƣơng trình Schrodinger, cho phép xét toán học lƣợng tử với cƣờng độ trƣờng có giá trị đƣợc sử dụng hiệu cho loạt toán nhiều lĩnh vực khác lý thuyết nguyên tử, vật lý chất rắn, lý thuyết trƣờng lƣợng tử (xem viết tổng quan [21]) Việc sử dụng phƣơng pháp toán tử giải phƣơng trình (l)-(2) mạnh Đó phƣơng pháp cho phép tìm giá trị lƣợng mà có th ể xây dựng hàm sóng hệ toàn miền thay đổi tham số từ trƣờng Mối liên hệ với toán dao động tử phi điều hòa hai chiều Bài toán (I)-(2) trở thành đơn giản nhiều qua cách biếu diễn mới, đƣợc đƣa công trình [19] Thật vậy, qua phép biến đổi Levi -Civita [18]: 𝑥 = 𝑢2 − 𝑣 (3) 𝑦 = 2𝑢𝑣 Ta có dxdy=4(u + v )dudv, r= 𝑥 + 𝑦 = 𝑢2 + 𝑣 Từ suy tích vô hƣớng vectơ trạng thái không gian (x,y) liên quan đến tích vô hƣớng vectơ trạng thái không gian (u,v) thông qua biểu thức liên hệ sau: 𝜓 𝑥, 𝑦 |𝜑(𝑥, 𝑦) = 𝑑𝑥𝑑𝑦𝜓 𝑥, 𝑦 𝜑 𝑥, 𝑦 = 𝑑𝑢𝑑𝑣4(𝑢2 + 𝑣 )𝜓(𝑢, 𝑣)𝜑(𝑢, 𝑣) (4) 2 Sự xuất trọng số 4(u + v ) (4) dẫn đến hệ quả:  toán tử hermit không gian (x,y) tƣơng ứng với à = 4(u + v )  toán tử hermite không gian (u,v) Nhƣ vậy, để bảo toàn tính hermit Hamiltonian chuyển không gian (u,v), phƣơng trình ( ) cần viết l ại nhƣ sau: 𝑟 𝐻−𝐸 𝜓 𝑟 =0 Sau phép biến đổi Levi -Civita, phƣơng trình có dạng: 𝐻 𝜓 𝑢, 𝑣 = 𝜓(𝑢, 𝑣) (5) với Hamiltonian 𝐻 = −8 𝛿2 𝛿2 𝛾 + 𝛿𝑣 − 𝐸 + 𝐿2 𝛿𝑢 𝛾 𝑢2 + 𝑣 + (𝑢2 + 𝑣 )3 (6) hermit không gian (u,v) Dễ dàng nhận thấy (6) có dạng toán tử Hamilton cho toán dao dộng tử phi điều hòa không gian hai chiều (uv) Nhƣ từ toán chuyển động điện tử điện từ trƣờng phức tạp ta đƣa toán đơn giản đƣợc nghiên cứu nhiều học lƣợng tử Trong phƣơng trình (5) -(6), lƣợng E đóng vai trò tham số Vì để có dạng phƣơng trình tìm trị riêng ta viết lại (5) nhƣ sau : 𝑯𝝍 𝒖, 𝒗 = 𝒁 𝝍 (𝒖, 𝒗) (5) với Z đóng vai trò trị riêng phƣơng trình Schrodinger (5’)-(6) Sau giải phƣơng trình ta tìm đƣợc Z nhƣ hàm phụ thuộc vào tham số E Vì giá trị Z đơn vị nên phƣơng trình: Z(E) = (7) cho ta nghiệm xác E Để tìm nghiệm hoàn chỉnh phƣơng trình động học cần xác định bất biến hệ Trong trƣờng hợp phƣơng trình (5') ta dễ dàng kiểm chứng toán tử hình chiếu mô men xung lƣợng lên trục z: 𝑳𝒛 giao hoán với Hamiltonian (6) Điều tƣơng ứng với việc hình chiếu mô-men quỹ đạo đại lƣợng bảo toàn với chuyển động trƣờng Coulomb trƣờng từ Nhƣ hàm sóng cần tìm thỏa mãn phƣơng trình 𝑳𝒛 𝚿 𝒖, 𝒗 = 𝒎𝚿(𝒖, 𝒗) (8) 𝝏 𝝏 Với 𝑳𝒛 = 𝒖 𝝏𝒗 − 𝒗 𝝏𝒖 đƣợc viết không gian (u,v) trị giá riêng tìm đƣợc phần nhƣ sau: m = ± 1, ± 2,… Dựa vào đây, giải phƣơng trình ( * ) với điều kiện (8) Ngoài ra, thay toán tử L z trị riêng phƣơng trình tƣơng ứng III PHƢƠNG PHÁP TOÁN TỬ GIẢI PHƢƠNG TRÌNH SCHRÖDINGER P h ƣơ n g p h p l u ậ n : Nhìn chung (5) -(6) dạng phƣơng trình Schrodinger cho chuyển động điện tử trƣờng Coulomb trƣờng từ, Hamiltonian có th ể viết dƣới dạng tổ ng quát sau: 𝐻 = 𝑇 + 𝑉𝐶 + 𝑉𝑀 Trƣờng hợp trƣờng từ yếu  > |𝑬𝒏𝒎 | để xác định tham số 𝝎 Ở (22) (𝟐) ∆𝑬𝒏𝒎 = 𝟐𝝎 +𝒙 𝒌= 𝒎 𝒌≠𝒏 𝟐𝒏+𝟏 𝑯𝒏𝒌 𝟐 /𝑯𝒌𝒌 bố bậc hai (𝟏) vào lƣợng (bố bậc ∆𝑬𝒏𝒎 = ) với yếu tố ma trận đƣợc đƣa công thức (26) Bảng 1: So sánh lượng gần bậc hai OM với giá trị xác Cần ý biểu thức yếu tố ma trận (26) có chứa số hạng lƣợng ta cần thay số hạng giá trị lƣợng gần bậc zero (19) Điều kiện (22) nâng cao đáng kể độ xác kết Cũng bảng ta thấy rằng: miền từ trƣờng yếu trung bình kết thu đƣợc OM gần bậc hai xác nhiên với cƣờng độ từ trƣờng cực lớn độ xác giảm đáng kể Trong phƣơng pháp biến phân đƣa công trình [8] cho kết với độ xác trƣờng yếu trƣờng từ mạnh nhƣ Do vậy, để có thề thu đƣợc kết tƣơng đối xác cách đặn toàn miền thay đổi từ trƣờng gần bậc thấp, ta cần xét đến biểu tiệm cận hàm sóng từ trƣờng lớn 𝜸 ≫ 𝟏 nghĩa ta cần đƣa thêm vào hàm sóng thừa số: 𝒆−∝(𝒙 𝟐 +𝒚𝟐 ) 14 Với a tham số biến phân Lời giải nhƣ ta thảo luận phần IV, phần bƣớc bốn đƣa sơ đồ OM sở lý thuyếtt nhiễu loạn để tìm lời giải số với độ xác cho trƣớc Bƣớc 4: Phƣơng pháp toán tử tìm nghiệm số Vì vectơ trạng thái (17) tạo thành hàm số sở đầy đủ nên lời giải xác hàm sóng viết dƣới dạng chuỗi c ác vectơ trạng thái nhƣ sau: |𝚿𝒏(𝒎) = 𝒏 𝒎) + 𝟏 𝒌=𝒎,𝒌≠𝒏 𝑪𝒌 |𝒌(𝒎) (23) Với hệ số thực Ck )k = |m|, |m| + 1,…; k ≠ 𝑛) Đem (23) vào phƣơng trình (11) sau so sánh hệ số trƣớc vec tơ trạng thái với nhau, ta đƣợc hệ phƣơng trình: +𝒙 𝒌=𝒎,𝒌≠𝒏 𝑪𝒌 𝜷𝑯𝒏𝒌 𝐻𝑛 )𝐶1 = 𝜷𝑯𝒎 + +𝒙 𝒌=𝒎,𝒌≠𝒏 𝑪𝒌 𝜷𝑯𝒋𝒌 Zn = 𝐻𝑚 + (Zn )j = |m|, |m| + 1,…; j ≠ 𝒏 (25) Ở yếu tố ma trận 𝑯𝒌𝒋 (k≠ 𝒋) (2$) – (25) ta đƣa tham số nhiễu loạn 𝜷 vào Điều dựa sở 𝑯𝒌𝒌 = (𝑯𝟎 )kk với k, 𝑯𝒌𝒋 = 𝑽𝒌𝒋 với k≠ 𝒋 Hamiltonian (12) hệ số 𝜷 có trƣớc thành phần toán tử nhiễu loạn Bằng phép biến đổi đại số dựa vào công thức (18), yếu tố ma trận toán tử 𝑯 chuyển đổi trạng thái (17) dễ dàng tính đƣợc nhƣ sau: 𝜔 2𝐸 + 𝑚𝑦 𝛾2 𝐻𝑚 = − 2𝑛 + + (2𝑛 + 1)(5𝑛2 + 5𝑛 + − 3𝑚2 ) 4𝜔 32𝜔 𝐻𝑛.𝑚 −1 𝜔 2𝐸 + 𝑚𝑦 3𝛾 = − − + (5𝑛2 + 10𝑛 + − 3𝑚2 ) 4𝜔 64𝜔 3𝛾 𝐻𝑛.𝑚 = 64𝜔 2𝑛 + 𝛾2 𝐻𝑛.𝑚 ,2 = 64𝜔 𝑛+2 − 𝑚2 (𝑛 + 1)2 − 𝑚2 (𝑛 + 1)2 − 𝑚2 (𝑛 + 3)2 − 𝑚2 15 (𝑛 + 1)2 − 𝑚2 (26) Dựa vào tính đối xứng 𝐻𝑛𝑘 = 𝐻𝑘𝑛 , ta tính đƣợc tất yếu tố ma trận khác không lại Bây ta giải hệ phƣơng trình (24)-(25) cách phân tích theo chuỗi tham số nhiễu loạn 𝛽 (𝑜) 𝑍𝑛 = 𝑍𝑛 + −(𝑜) C1 = 𝐶1 + (𝑥) +𝑥 𝑥 𝑥−1 𝛽 ∆𝑍𝑛 (27) (𝑥) +𝑥 𝑥 (j= 𝑥−1 𝛽 ∆𝐶𝑗 |m|, |m|+1,…; j≠ n) (28) Thế (27)-(28) vào (24) – (25), sau tách so sánh hệ số theo bậc 𝛽 𝑥 với nhau, ta thu đƣợc: (0) (1) (0) (𝑥−1) 𝑛+3 𝑘=|𝑚 |𝑘≠𝑛 ∆𝐶𝑘 (0) 𝐻𝑗𝑛 𝑍𝑛 − 𝐻𝑗𝑖 𝑍𝑛 = 𝐻𝑚 ; ∆𝑍𝑛 = ; ∆𝑍𝑛 = Với: ∆𝐶1+ 𝑥 = +(0) 𝐶𝑗 =0; 𝑖−3 𝑘=𝑛𝑖 ,𝑘≠𝑛,𝑘≠𝑗 +(1) ∆𝐶𝑗 𝐻𝑗𝑘 (0) 𝑍𝑛 −𝐻𝑖𝑗 = − ∆𝐶𝑘+ 𝑥−1 − 𝑥 −𝑖−1 𝑥−1 ∆𝑍𝑛 𝑖=1 𝑍𝑛 −𝐻𝑖𝑗 𝐻 𝑛𝑘 (𝑠 ≥ 2) (29) ∆𝐶𝑗 ; (𝑠 ≥ 2) (30) (0) Từ (29) ta suy đƣợc lƣợng 𝐸𝑛𝑚 gần bậc zero nhƣ kết (19) Hệ thức truy toán (29) 930) cho phép ta xác định giá trị riêng hàm sóng bậc gần (s) (cho 𝛽 = 1): (𝑠) (𝑘) (𝑥) +(𝑘) 𝑍𝑛 = 𝐻𝑛𝑚 + 𝑥𝑘=2 ∆𝑍𝑛 ; 𝐶𝑘 = 𝑥𝑘=1 ∆𝐶𝑘 (𝑘) Với bậc gần s 𝑍𝑛 vào phƣơng trình (7) ta tìm giá trị lƣợng (𝑥) 𝐸𝑛𝑚 tƣơng ứng Chú ý phƣơng trình (7) đa nghiệm chọn giá trị thực theo quy trình sau Với trƣờng hợp  = 0, 7) với điều kiện (29) phƣơng trình đơn giản có nghiệm thực E Với ≠0, trƣớc tiên ta chọn dãy số: <  <  [...]... thể sẽ công bố trong những công trình kế tiếp VII KẾT LUẬN Nhƣ vậy trong công trình này, bằng phƣơng pháp toán tử chúng tôi đã đƣa ra đƣợc lời giải chính xác bằng số cho bài toán nguyên tử hydro hai chiều trong từ trƣờng đều với cƣờng độ bất kỳ không nhũng cho trạng thái cơ bản mà cả cho các trạng thái kích thích Ở đây lời giải chính xác bao gồm cả năng lƣợng và hàm sóng, còn bài toán Hydro hai chiều... đƣa phƣơng trình Schrodinger cho nguyên tử Hydro b a chiều về bài toán dao động từ hai chiều phức Mối liên hệ này đƣợc nghiên cứu rất nhiều (xem công trình [30] và trích dẫn trong đó) và chúng ta có thể ứng dụng để đƣa bài toán nguyên tử hydro trong từ trƣờng về bài toán dao động tử phi điều hòa Tiếp the o việc sử dụng phƣơng pháp toán tử hoàn toàn tƣơng tự nhƣ đã nêu trong phần III của công trình này... 60-73 Phương pháp toán tử cho bài toán tương tác điện tử - lỗ trống của khí điện tử hai chiều với sự có mặt của từ trường và thế màn chắn 26 Bộ Giáo dục và Đào đào tạo Trƣờng Đại Học Sƣ phạm TP.HCM Cộng hòa xã Hội Chủ Nghĩa Việt Nam Độc Lập - Tự Do - Hạnh Phúc BÁO CÁO KINH PHÍ Đề tài nghiên cứu khoa học và công nghệ cấp c ơ sở PHƢƠNG PHÁP ĐẠI SỐ GIẢI PHƢƠNG TRÌNH SCHRÖDINGER CHO NGUYÊN TỬ HYDRO. .. khó khăn nguyên tắc nào và sẽ đƣợc khảo sát cụ thể trong những công trình tiếp theo VI PHÁT TRIỂN CHO NGUYÊN TỬ HYDRO BA CHIỀU: Nhƣ chúng ta đã thấy trong các phần trên, việc sử dụng hiệu quả phƣơng pháp đại số cho bài toán chính là nhờ phép biến đổi Le vi-Civita tạo ra mối liên hệ giữa bài toán nguyên tử hydro hai chiều và bài toán dao động tử điều hòa Câu hỏi đƣợc đặt ra là có thể phát triển cho bài... vào hàm sóng thừa số: 𝒆−∝(𝒙 𝟐 +𝒚𝟐 ) 14 Với a là tham số biến phân Lời giải nhƣ thế ta sẽ thảo luận ở phần IV, trong phần tiếp theo ở bƣớc bốn chúng ta sẽ đƣa ra sơ đồ OM trên cơ sở lý thuyếtt nhiễu loạn để tìm lời giải bằng số với độ chính xác cho trƣớc bất kỳ Bƣớc 4: Phƣơng pháp toán tử tìm nghiệm hằng số Vì các vectơ trạng thái (17) tạo thành một bộ hàm số cơ sở đầy đủ nên lời giải chính xác của... (34) và (35) ta thu đƣợc hai phƣơng trình: Dùng để xác xác định hai tham số x,  (36)-(37)-(38) là biểu thức giải tích cho năng lƣợng của exciton trong từ trƣờng ở trạng thái cơ bản Giải bằng số các phƣơng trình trên và so sánh với kết quả chính xác bằng số cho thấy độ chính xác của nghiệm giải tích của chúng ta là rất cao tro ng toàn miền biến đổi từ trƣờng 20 Nhƣ vậy trong phần này chúng ta đã đƣa ra... tiệm cận của hàm sóng để phát triển phƣơng pháp toán tử tìm nghiệm giải tích Kết quả cụ thể nhận đƣợc cho trạng thái cơ bản có độ chính xác cao trong toàn miền thay đổi từ trƣờng Các công thức cơ bản cho phép về nguyên tắc tìm nghiệm giải tích cho bất cứ trạng thái kích thích nào Lời giải cụ thể cho các trạng thái kích thích sẽ đƣợc đƣa ra trong các công trình nghiên cứu tiếp theo B ản g 3 S o sá... dạng mà toán tử sinh bên trái, toán tử hủy bên phải, thuận tiện cho các tính toán đại số Ta có Trên nguyên tắc, chúng ta có thể khảo sát phƣơng trình (33) bằng các phƣơng pháp khác nhau Trong phần tiếp theo sau phƣơng pháp toán tử sẽ đƣợc ứng dụng và nghiệm gần đúng bậc zero có th ể xem nhƣ là nghiệm giải tích cần tìm E(; α; ) Nghiệm này sẽ có độ chính xác đều trong toàn miền thay đổi từ trƣờng bởi... tuy nhiên với cƣờng độ từ trƣờng cực lớn độ chính xác này giảm đi đáng kể Trong khi đó phƣơng pháp biến phân đƣa ra trong công trình [8] cho kết quả với độ chính xác ở cả trƣờng yếu và trƣờng từ mạnh là nhƣ nhau Do vậy, để có thề thu đƣợc kết quả tƣơng đối chính xác một cách đều đặn trong toàn miền thay đổi từ trƣờng ở gần đúng bậc thấp, ta cần xét đến biểu hiện tiệm cận của hàm sóng khi từ trƣờng... bài toán nguyên tử Hydro ba chiều trong từ trƣờng hay không? Câu trả lời nằm trong phép biến đổi Kustaanheimo-Stiefel [28]: (39) 22 với 𝜎𝜆 𝜆 = 1, 2, 3 là các ma trận Pauli; tọa độ phức 𝜉1 với chỉ số chạy s = 1,2 đƣợc dùng do thu ận tiện trong ký hi ệu để mô tả không gian th ực 4 chiều Phép biến đổi (39), khác với nguyên gốc bởi ký hiệu phức này và bởi có đƣa thêm vào t ọa độ góc 𝜙 (xem thêm trong [29]), ... phƣơng pháp tính toán đáp ứng cho toán lớn Công trình có mục đích xây dựng phƣơng pháp đ ại số cho tính toán liên quan đến toán nguyên tử hydro từ trƣờng với cƣờng độ Phƣơng pháp đại số đƣợc... Nhƣ công trình này, phƣơng pháp toán tử đƣa đƣợc lời giải xác số cho toán nguyên tử hydro hai chiều từ trƣờng với cƣờng độ không nhũng cho trạng thái mà cho trạng thái kích thích Ở lời giải xác... phƣơng trình: Dùng để xác xác định hai tham số x,  (36)-(37)-(38) biểu thức giải tích cho lƣợng exciton từ trƣờng trạng thái Giải số phƣơng trình so sánh với kết xác số cho thấy độ xác nghiệm giải