Báo cáo nghiên cứu khoa học: " PHƯƠNG PHÁP CHUẨN NĂNG LƯỢNG VỚI CHÍNH QUY HOÁ CỦA BIẾN PHÂN TOÀN PHẦN CHO BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH HỆ SỐ TRONG PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC" pps

TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010 141 PHƯƠNG PHÁP CHUẨN NĂNG LƯỢNG VỚI CHÍNH QUY HOÁ CỦA BIẾN PHÂN TOÀN PHẦN CHO BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH HỆ SỐ TRONG PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC AN ENERGY NORM METHOD WITH THE TOTAL VARIATION REGULARIZATION FOR A COEFFICIENT IDENTIFICATION PROBLEM IN ELLIPTIC EQUATION. Trần Nhân Tâm Quyền Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng TÓM TẮT Xét bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic () ().() 0ux axux − ∆+ = với điều kiện biên thuần nhất. Trong bài báo này chúng ta sử dụng phương pháp chuẩn năng lượng để xác định hệ số phản ứng ()aax= từ những giá trị không chính xác của nghiệm u trên toàn miền. Hơn nữa, cho mục đích quan tâm đặc biệt đánh giá các hệ số không liên tục, chúng ta dùng phương pháp chỉnh với nửa chuẩn biến phân toàn phần thay cho phương pháp chỉnh Tikhonov truyền thống. Phương pháp chuẩn năng lượng đã được nghiên cứu gần đây cho bài toán đánh giá hệ số khuếch tán trong các phương trình elliptic (xem, [3, 6]). Tuy nhiên, chúng ta không thấy bất kỳ công trình nào nghiên cứu về phương pháp này cho bài toán đánh giá hệ số phản ứng. ABSTRACT Consider the Dirichlet problem for the elliptic equation () ().() 0ux axux − ∆+ = with the homogeneous boundary condition. In this paper, we use the energy norm method to identify the reaction coefficient ()aax= from imprecise values of a solution u in the whole domain. Furthermore, for the purpose of particular interest in estimating coefficients that are discontinuous, we use the regularization method with the total variation semi-norm instead of the traditional Tikhonov regularization. The energy norm method has recently been studied for the problem of estimating the diffusion coefficients in elliptic equations (see, [3,6]). However, there has been no investigation into this method for the problem of estimating reaction coefficients. 1. Đặt vấn đề Cho Ω là một miền bị chặn trong n  có biên ∂ Ω liên tục Lipschitz, 2 ()fL∈Ω và ( )aL ∞ ∈Ω. Chúng ta xét bài toán xác định hệ số () ( )aax L ∞ = ∈Ωtrong bài toán Dirichlet cho phương trình elipptic () ().() 0, , () () 0, , ux axux x E ux x −∆ + = ∈Ω ⎧ ⎨ = ∈∂Ω ⎩ giả sử u đã được cho trên toàn miền Ω . Để phát biểu một cách chính xác bài toán, TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010 142 chúng ta nhắc lại rằng một hàm 1 0 ()uH ∈ Ω được gọi là một nghiệm của hệ elliptic này nếu: 1 0 ,()u v auv fv v H ΩΩΩ ∇∇+ = ∀∈ Ω ∫∫∫ . (1) Nếu hệ số a thuộc vào tập { } ():0 () ,AaL aaxax ∞ = ∈Ω<≤ ≤ ∈Ωthì () E có duy nhất nghiệm và thoả mãn bất đẳng thức 1 2 () () 1 || || || || , L H uf α Ω Ω ≤ (2) ở đây hằng số 0 α > phụ thuộc vào cận dưới a của tập A và hằng số được xuất hiện trong bất đẳng thức Poincaré – Friedrichs (xem, [7]). Do đó, chúng ta xác định được toán tử phi tuyến từ hệ số đến nghiệm 1 0 :()()UA L H ∞ ⊂Ω→Ω mà ánh xạ mỗi ()aAL ∞ ∈⊂ Ωtới một nghiệm 1 0 () ( )Ua H ∈ Ω của ()E . Bài toán ngược khi đó được phát biểu như sau: Cho 1 0 () ( )uUa H = ∈Ω, tìm aA ∈ . Chúng ta sẽ ký hiệu gradient của ()Uatương ứng với biến x bởi ()Ua∇ và đạo hàm Fréchet của ()Ua tương ứng với a bởi '( )Ua. Như chúng ta đã biết rằng (xem, [4, 8]) ánh xạ U khả vi Fréchet mọi cấp trên A . Cho mỗi ( ) hL ∞ ∈Ω, đạo hàm 1 0 '( ) ( )Uah H ∈ Ω là nghiệm duy nhất của phương trình biến phân 1 0 '() '() (), ( )Uahv aUahv hUav v H ΩΩ Ω ∇∇+ =− ∀∈Ω ∫∫∫ . (3) Hơn nữa, 12 2 () () () 1 '( ) , ( ) HLL Uah f h h L α ∞ ∞ ΩΩΩ ≤∀∈Ω . (4) 2. Hàm mục tiêu lồi và chính quy hoá Phương pháp tiêu chuẩn để xác định a từ đo đạc 1 ()zH ∈ Ω của nghiệm ( )Ualà phương pháp bình phương tối thiểu (xem, [2]), nghĩa là tìm a như nghiệm cực tiểu của phiến hàm 1 2 () || ( ) || H Ua z Ω − trên tập chấp nhận được nào đó ad AA ∅ ≠⊂. Thay vì vậy chúng ta sử dụng phương pháp chuẩn năng lượng phụ thuộc ,a một hàm 22 1 (): | ( () )| ( () ) 2 aJa Uaz aUaz Ω =∇ −+ − ∫ a . (5) Định lý 1. Hàm mục tiêu ()Ja là lồi trên tập lồi A . Chứng minh. Ta có, với mọi ( )hL ∞ ∈Ω và aA ∈ , TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010 143 2 2 1 '() ( () ) '() ( () ) '()( () ) 2 Jah hUa z Uah Ua z aUahUa z ΩΩ Ω =−+∇∇−+ − ∫∫ ∫ . Dùng (1) và (3) ta được 2 2 2 22 1 '() ( () ) '() ( () ) '()( () ) 2 1 (() ) ()(() ) 2 11 () . 22 Jah hUa z Uah Ua z aUahUa z hUaz hUaUaz hU a hz ΩΩ Ω ΩΩ ΩΩ =−+∇∇−+ − =−− − =− + ∫∫ ∫ ∫∫ ∫∫ Do đó, 1 22 2 () ''( )( , ) '( ) ( ) | '() | '() min(1, ) '( ) 0. H Jahh hUahUa Uah aU ah aUah Ω ΩΩ Ω =− =∇ + ≥≥ ∫ ∫∫ Điều này suy ra rằng hàm ( )Ja là lồi trên A . Bài toán elliptic ngược xác định hệ số ()aax = bằng phương pháp chính quy hoá, sử dụng chuẩn năng lượng với phạt biến phân toàn phần là tìm nghiệm của bài toán tối ưu min ( ) | |, ad Ja a trêna A ρ Ω +∇ ∈ ∫ (P) với 0 ρ > là tham số chính quy hoá và ( ) ad AATV = ΩI . Ở đây ( )TV Ω là không gian Banach của các hàm có biến phân toàn phần bị chặn (xem, [1, 5]). Theo Định lý 1, vì ()Jalà lồi nên hàm mục tiêu trong bài toán (P) cũng lồi. 3. Sự tồn tại của nghiệm tối ưu Trong phần này chúng ta sẽ chứng minh bài toán (P) có nghiệm. Kết quả sau đây có thể được tìm thấy trong Giusti [5], trang 7 - 17. Bổ đề 1. (i) Với mọi dãy bị chặn () () n aTV⊂Ω, tồn tại một dãy con () m a của nó và một hàm ()aTV∈Ω sao cho () m a hội tụ về a trong 1 ()L Ω -chuẩn. (ii) Nếu () () n aTV⊂Ω và () n a hội tụ về a trong 1 ()L Ω -chuẩn thì ||liminf| | nn aa ΩΩ ∇≤ ∇ ∫∫ . Bổ đề 2. Cho () n a là dãy bị chặn trong ()L ∞ Ω và () n a hội tụ về 0 trong 1 ()L Ω -chuẩn. Khi đó 0, n auv n Ω →→∞ ∫ TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010 144 với mọi u và v thuộc 2 ()L Ω . Chứng minh. Bởi định nghĩa của limsup và giả thiết rằng ( ) n a hội tụ về 0 trong 1 ()L Ω -chuẩn, tồn tại một dãy con ( ) m a của nó mà hội tụ về 0 hầu khắp nơi trên Ω và lim sup | | lim | | nn mm auv a uv ΩΩ = ∫∫ Áp dụng Bổ đề Fatou ta có lim sup lim | | lim sup | | 0. nn m m mm auv a uv auv ΩΩ Ω ≤ ≤ = ∫∫ ∫ Bây giờ chúng ta phát biểu kết quả chính cho mục này. Định lý 2. Bài toán tối ưu (P) có một nghiệm. Chứng minh. Lấy ( ) n a là dãy infimum cho (P), nghĩa là () | | inf () | |, . ad nnaA Ja a Ja a n ρρ ∈ ΩΩ +∇→ +∇→∞ ∫∫ Từ đây suy ra rằng dãy ( ) n a bị chặn trong ( )TV Ω -chuẩn. Bởi Bổ đề 1, tồn tại một dãy con ( ) m a của nó và hàm ()aTV ∈ Ω sao cho ( ) m a hội tụ về a trong 1 ()L Ω - chuẩn và ||liminf| | mm aa ΩΩ ∇≤ ∇ ∫∫ . Vì ( ) m aA⊂ nên aA ∈ , và do đó ( ) ad aA ATV ∈ =ΩI . Ta có, từ (1) và (2), 1 0 () () , () mmm Ua v aUa v fv v H ΩΩΩ ∇∇+ =∀∈Ω ∫∫∫ và 1 2 () () 1 || ( ) || || || mL H Ua f α Ω Ω ≤ . (6) Bất đẳng thức cuối cùng suy ra rằng dãy ( ( )) m Ua là bị chặn trong không gian Hilbert 1 ()H Ω do đó nó có một dãy con, được sử dụng cùng ký hiệu, sao cho dãy (( )) m Ua hội tụ yếu về θ trong 1 ()H Ω . Ta có, với mọi 1 0 ()vH ∈ Ω , () () ( )() (( ) ) (( ) ). mmm mm mm Ua v aUa v v av a aUa v Ua v aUa v θθ θ θ ΩΩΩΩΩ ΩΩ ∇∇+ −∇∇−=− +∇ − ∇+ − ∫∫∫∫∫ ∫∫ Vì ( ( )) m Ua hội tụ yếu về θ trong 1 ()H Ω -chuẩn nên (( ) ) (( ) ) 0, . mm Ua v aUa v m θθ ΩΩ ∇−∇+ −→→∞ ∫∫ (7) Ngoài ra, TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010 145 11 22 22 ( ) ( ) |( )|| ( )| |( )|| | mm m m m aaUav aaUa aav ΩΩ Ω ⎛⎞⎛⎞ −≤− − ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠ ∫∫ ∫ và dùng định nghĩa của tập A , công thức (6) ta được 1 2 1 2 2 () () |( )|| ( )| 2 ( ) 2 || || . mm m H L aaUa aUa a f α Ω Ω Ω ⎛⎞ −≤ ⎜⎟ ⎝⎠ ≤ ∫ Một áp dụng của Bổ đề 2 suy ra rằng ()()0. mm aaUav Ω −→ ∫ (8) Từ các đẳng thức (7) và (8) ta được () () , mmm Ua v aUa v v avm θθ ΩΩΩΩ ∇∇+ →∇∇− →∞ ∫∫∫∫ (9) với mọi 1 0 ()vH∈Ω. Suy ra từ (9) và (6) rằng 1 0 ,()vav fvvH θθ ΩΩΩ ∇∇+ = ∀∈ Ω ∫∫∫ . Điều này có nghĩa là ( )Ua θ = và dãy ( ( )) m Ua có một dãy con hội tụ yếu về ()Ua trong 1 ()H Ω . Ngoài ra, vì 1 0 ()H Ω là không gian con đóng của không gian Hilbert 1 ()H Ω do đó chúng ta có sự phân tích trực giao 11 1 00 () () ()HHH ⊥ Ω =Ω⊕Ω. Chọn 1 0 ()yH∈Ω và 1 0 ()tH ⊥ ∈Ω sao cho zyt = + . Ta có 22 2 2 22 22 11 |(() )| (() ) |(() )| (() ) 22 1 |(() )| (( ) ) 2 (( ) ) (( ) ) 1 || . 2 mmm m mm mmm mmm m Ua z a Ua z Ua y t a Ua y t Ua y a Ua y Ua y t a Ua yt tat ΩΩ Ω Ω Ω ∇−+ −=∇−−+ −− =∇ −+ − −∇ −∇+ − +∇+ ∫∫ ∫ ∫ ∫ Ta có 2 11 |(( ) )| (( ) ) (( ) ) 22 1 (() ), , 2 mmm m Ua y a Ua y fUa y fUa y m ΩΩ Ω ∇−+ −= − →−→∞ ∫∫ ∫ TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010 146 bởi (1) và sự kiện rằng dãy ( ( )) m Ua hội tụ yếu về ()Uatrong 1 ()H Ω . Với lý do tương tự ta cũng có (( ) ) (() ) , . m Ua y t Ua y tm ΩΩ ∇−∇→∇−∇→∞ ∫∫ Ngoài ra, chứng minh tương tự như trên ta cũng có (( ) ) (() ) mm aUa yt aUa yt ΩΩ −→ − ∫∫ và 22 22 11 || || , . 22 m tat tatm ΩΩ ∇+ → ∇+ →∞ ∫∫ Do đó, 22 22 22 11 lim | ( ( ) ) | ( ( ) ) ( ( ) ) 22 (() ) (() ) 1 || 2 1 |(() )| (() ). 2 mmmm Ua z a Ua z fUa y Ua y t aUa yt tat Ua z aUa z ΩΩ Ω Ω Ω ∇−+ −= − −∇ −∇+ − +∇+ =∇ −+ − ∫∫ ∫ ∫ ∫ (10) Bây giờ, ta có, 22 22 2 2 1 |(() )| (() ) | | 2 1 lim | ( ( ) ) | ( ( ) ) | | 2 1 lim | ( ( ) ) | ( ( ) ) liminf | | 2 1 lim inf | ( ( ) ) | ( ( ) ) | | 2 inf ( ) | | ad mmmm mmmm mm mmmm m aA Ua z aUa z a Ua z a Ua z a Ua z a Ua z a Ua z a Ua z a Ja a ρ ρ ρ ρ ρ ΩΩ ΩΩ ΩΩ ΩΩ ∈ Ω ∇−+ −+∇ =∇−+−+∇ ≤∇−+−+ ∇ ⎛⎞ =∇−+−+∇ ⎜⎟ ⎝⎠ =+∇ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ . ∫ Điều này có nghĩa a là nghiệm của bài toán (P). Định lý đã được chứng minh. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. H. Attouch, G. Buttazzo, G. Michaille, Variational analysis in Sobolev and BV spaces, SIAM, 2006, 634 p. [2]. G. Chavent, Nonlinear Least Squares for Inverse Problems. Theoretical Foundations and Step-by-Step Guide for Applications, Scientific Computation. Springer, New York, 2009, 360 p. TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010 147 [3] Z. Chen and J Zou, “An augmented Lagrangian method for identifying discontinuous parameters in elliptic systems” SIAM J. Control And Optim 3(37), 1999, 892 – 910. [4]. F. Colonius and K. Kunisch, “Output least squares stability in elliptic systems”, Alpp. Math. Optim., 19, 1989, 33 – 63. [5]. E. Giusti, Minimal surfaces and functions of boubded variation, Vol. 80, Birkhauser - Boston, 1984, 240 p. [6]. M.S. Gockenbach and A A. Khan, “An abstract framework for elliptic inverse problems: Part 1, An output least squares approach”, Math. And Mechanics Of Solids, 12, 2007, 259 – 276. [7]. O. A. Ladyzhenskaya, The boundary value problems of mathematical physics, Springer – Verlag, 1984, 322 p. [8]. T. N. T. Quyen, “Some properties of mapping from coefficients to solutions for elliptic equations”, J. of scie. and tech., Da Nang Univ., 3(32), 2009, 104 – 111. . TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010 141 PHƯƠNG PHÁP CHUẨN NĂNG LƯỢNG VỚI CHÍNH QUY HOÁ CỦA BIẾN PHÂN TOÀN PHẦN CHO BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH HỆ SỐ TRONG PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC. dùng phương pháp chỉnh với nửa chuẩn biến phân toàn phần thay cho phương pháp chỉnh Tikhonov truyền thống. Phương pháp chuẩn năng lượng đã được nghiên cứu gần đây cho bài toán đánh giá hệ số. là lồi trên A . Bài toán elliptic ngược xác định hệ số ()aax = bằng phương pháp chính quy hoá, sử dụng chuẩn năng lượng với phạt biến phân toàn phần là tìm nghiệm của bài toán tối ưu min