BÀI TOÁN 7 ĐỊNH LÍ VIÉT CHO PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA BẬC BỐN VÀ CÁC ỨNG DỤNG potx

BÀI TOÁN 7 ĐỊNH LÍ VIÉT CHO PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA BẬC BỐN VÀ CÁC ỨNG DỤNG I.. Giải phương trình khi biết tính chất của các nghiệm Ta thực hiện các bước: Bước 1: Dựa vào định lí Viét ta

BÀI TOÁN 7 ĐỊNH LÍ VIÉT CHO PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA

BẬC BỐN VÀ CÁC ỨNG DỤNG

I HỆ THỨC VIÉT

1 HỆ THỨC VIÉT CHO PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA

ax bx cxd  a có ba nghiệm x x x1, 2, 3 Khi đó:

1 2 3

3

3

c

a d

x x x

a















 





1 2 3

b

a c

a d

x x x

a



   













 





2 HỆ THỨC VIÉT CHO PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN

ax bx cx dx e  a có bốn nghiệm x x x x1, 2, 3, 4

Khi đó:

1 2 3 4

b

a

c

a d

x x x x x x x x x x x x

a e

x x x x

a

















II CÁC ỨNG DỤNG

1 Giải phương trình khi biết tính chất của các nghiệm

Ta thực hiện các bước:

Bước 1: Dựa vào định lí Viét ta xác định được một nghiệm x0của phương

trình

Bước 2: Lựa chon một trong hai hướng:

Hướng 1: Nếu phương trình không chứa tham số, biến đổi phương

trình về dạng xx0  g x  0 các nghiệm Hướng 2: nếu phương trình chứa tham số, thay xx0 vào phương

trình tham số

Bước 3 Thử lại và kết luận

VD1: Giải phương trình 12x  4x  17x  6 0

Biết rằng trong số các nghiệm có hai nghiệm có tích bằng -1

Giải:

Giả sử phương trình có ba nghiệm x x x1, 2, 3 và x x  1. 3 1 Khi đó:

x x x    x   x 

Viết lại phương trình về dạng:

2

1 2

3

3 2

x x

x









 



  

 



Vậy phương trình có ba nghiệm phân biệt 1, 2, 3

x x x

VD2: Xác định m để phương trình : x3 m 1x2  x 2m 0 (1)

Có ba nghiệm phân biệt, biết rằng trong số các nghiệm có hai nghiệm đối nhau

Giải:

Giả sử phương trình có ba nghiệm x x x1, 2, 3 vàx1x3  0 Khi đó:

x x x m  x m thay vào (1), ta được:

 3   2  

m  m x  m  m m thay vào (1), ta được:

1

2 3

1

1

x

x







  



thỏa mãn x1x3  0

Vậy m = 1 thỏa mãn điều kiện đầu bài

2 Tính giá trị của biểu thức đối xứng giữa các nghiệm

Ta thực hiện các bước:

Bước 1: Thiết lập hệ thức Viét giữa các nghiệm của phương trình (I)

Bước 2: Biểu diễn điều kiện K thông qua (I)

Chú ý: Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm của phương trình là biểu thức

có giá trị không thay đổi khi ta hoán vị các nghiệm

2 2

2

a



 1 2 3

VD: Giả sử phương trình: 3 2

2x x m 0 có ba nghiệm phân biệt x x x1, 2, 3

Tính tổng 2 2 2

x x x

Giải:

Theo giả thiết, ta có:

1 2 3

1 2 0

2

m

x x x













Khi đó:

1 2

4

x x x  x x x  x x x x x x 

3 Tìm tham số để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện K

Bài toán thường được giải bằng phương pháp điều kiện cần và đủ Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Điều kiện cần: Giả sử phương trình có ba nghiệm, khi đó ta có

được hệ thức Viét giữa các nghiệm (I)

Bước 2: Biểu diễn điều kiện K thông qua (I)  điều kiện cho tham số

Bước 3: Điều kiện đủ:

VD: Xác định m để phương trình : 3 2

x  mx  x m 

Có ba nghiệm phân biệt x x x1, 2, 3, thỏa mãn 2 2 2

x x x 

Giải:

Điều kiện cần:

Giả sử phương trình có ba nghiệm phân biệt x x x1, 2, 3,khi đó:

1 2 3

3

3

3 2

x x x x x x

  









Khi đó:

15 x x x  x x x  2 x x x x x x  9m  6

2

Điều kiện đủ:

Viết lại phương trình về dạng

2

2

1

x







Ta phải chứng minh với m 1 thì g(x) có hai nghiệm phân biệt khác 1, tức

là chứng minh:

 

2

 







luôn đúng với m 1

Vậy, m 1 thỏa mãn điều kiện đầu bài

4 Phương trình bậc ba có ba nghiệm lập thành cấp số cộng

Để tìm điều kiện của tham số sao cho phương trình

ax bx cxd  a (1)

có ba nghiệm x x x1, 2, 3 lập thành cấp số cộng, ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Điều kiện cần:

Giả sử phương trình có ba nghiệm lập thành cấp số cộng, khi đó:

x x  x

3

          thay vào (1), ta được:

0

2b 9abc 27a d 0

    (2)

Đó chính là điều kiện cần để (1) có ba nghiệm lập thành cấp số cộng

Bước 2: Điều kiện đủ:

Từ (2) suy ra phương trình có nghiệm 2

3

b x

a

  Khi đó:

2 2

             

 x x x1, 2, 3 lập thành cấp số cộng

Vậy điều kiện cần và đủ để (1) có ba nghiệm lập thành cấp số cộng là

2b  9abc 27a d  0

Chú ý: Với bài toán một tham số m, trong điều kiện đủ ta có thể khẳng

định bằng việc chỉ ra nghiệm cụ thể của phương trình Hãy nhớ điều này rất

quan trọng bởi khi đó ta còn phải khẳng định phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt

VD: Xác định m để phương trình

x  x  x m  (1)

có ba nghiệm lập thành cấp số cộng

Giải:

Điều kiện cần:

Giả sử phương trình có ba nghiệm lập thành cấp số cộng, khi đó:

x x  x (*)

x x x   x   x  thay vào (1), ta được:

11 m 0 m 11

Đó chính là điều kiện cần để (1) có ba nghiệm lập thành cấp số cộng

Điều kiện đủ:

Với m = 11, ta được:

1

2 3

1 12

1 12

x

x

  





 



thỏa mãn (

*)

Vậy với m = 11 thỏa điều kiện đầu bài

5 Phương trình bậc ba có ba nghiệm lập thành cấp số nhân

Để tìm điều kiện của tham số sao cho phương trình

ax bx cxd  a (1)

có ba nghiệm x x x1, 2, 3 lập thành cấp số nhân, ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Điều kiện cần:

Giả sử phương trình có ba nghiệm lập thành cấp số nhân, khi đó:

2

x x  x

b

a

   

2

       thay vào (1), ta được:

0

Đó chính là điều kiện cần để (1) có ba nghiệm lập thành cấp số nhân

Bước 2: Điều kiện đủ:

Từ (2) suy ra phương trình có nghiệmx2 c

b

  Khi đó:

2

   

         

   

Vậy điều kiện cần và đủ để (1) có ba nghiệm lập thành cấp số nhân là

ac b d

Chú ý: Với bài toán một tham số m, trong điều kiện đủ ta có thể khẳng

định bằng việc chỉ ra nghiệm cụ thể của phương trình Hãy nhớ điều này rất quan trọng bởi khi đó ta còn phải khẳng định phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt

VD: Xác định m để phương trình

x  x  m x m  (1)

có ba nghiệm lập thành cấp số nhân

Giải:

Điều kiện cần:

Giả sử phương trình có ba nghiệm lập thành cấp số nhân, khi đó:

2

x x  x

x x x  

2

x x x x x x m  x x x x x m

2

1 1

2

m x



Thay vào (1), ta được:

2

1

4

m

m

 





  



Đó chính là điều kiện cần để (1) có ba nghiệm lập thành cấp số nhân

Điều kiện đủ:

 Với m = -1 ta được:

  3 2 0

2

x

x





 



không thỏa mãn

 Với m = 3, ta được:

x  x  x   x x   , không thỏa mãn

 Với m = -5, ta được:

x  x  x   x x   , không thỏa mãn

Vậy không tồn tại m thỏa mãn điều kiện đầu bài

6 Ứng dụng giải hệ phương trình

Đây là ứng dụng để giải phương trình 3 hoặc 4 ẩn, bằng cách sử dụng định lí Viét, bằng việc chuyển hệ đã cho về một trong hai dạng:

Dạng 1:

x y z A

xy yz zx B

xyz C

  







 



(I)

Khi đó x, y, z là nghiệm của phương trình:

u Au Bu C  (1)

Áp dụng các phương pháp đã biết đối với phương trình bậc ba để giải (1)

Dạng 2:

xyz xyt xzt yzt C

xyzt D

   













Khi đó x, y, z, t là nghiệm của phương trình:

u Au Bu CuD (2)

Áp dụng các phương pháp đã biết đối với phương trình bậc bốn để giải (2)

VD1: Giải hệ phương trình:

2 1 2

x y z

xy yz zx

xyz

   





   



 



(I)

Giải:

Ta có x, y, z là nghiệm của phương trình:

u  u   u  u u  u   u u u 

1& 1& 2 1& 2 & 1 1

1& 1& 2 1

1& 2 & 1 2

2 & 1& 1

2 & 1& 1

u

u

u













    



  





Vậy hệ có 6 bộ nghiệm

VD2: Giải hệ phương trình:

1

7 1 6

xyz xyt xzt yzt

xyzt

    













(I)

Giải:

Ta có x, y, z là nghiệm của phương trình:

1 2 1 3

u

u

u

u













  



 



Vậy hệ có 24 bộ nghiệm

III BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ:

Bài 1 CMR nếu x x x x1, 2, 3, 4 là các nghiệm của phương trình :

0

ax bx  c

thì

1 2 3 4

0

c

x x x x

a











Bài 2 Xác định a, b để phương trình:

3

0

x ax b 

có ba nghiệm x x x1, 2, 3 lập thành cấp số cộng

Bài 3 Cho phương trình

x ax bx c 

có ba nghiệm phân biệt x x x1, 2, 3 CMR các nghiệm đó lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi: 3

2a  9ab 27c 0

Bài 4 Giải phương trình:

Biết rằng phương trình có 4 nghiệm x x x x1, 2, 3, 4 thỏa mãn x1x2 x3x4

Bài 5 Giải phương trình:

Biết rằng phương trình có hai nghiệm trái dấu nhưng bằng nhau về giá trị tuyệt đối

Bài 6 Giải các hệ phương trình:

a)

2 6 2

0

x y z

xyz

x

   













 



b)

2 6 6 1

z

   











 

