Phương trình bậc bốn và các hệ thức hình học trong tứ giác hai tâm

35 3.1.2 Phương trình bậc bốn với nghiệm là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác trong tứ giác hai tâm... 3.1.3 Phương trình bậc bốn với nghiệm là các bán kínhđường tròn nội tiếp tam

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

PHẠM THỊ THU

PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN VÀ CÁC HỆ THỨC HÌNH HỌC TRONG TỨ GIÁC HAI TÂM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

PHẠM THỊ THU

PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN VÀ CÁC HỆ THỨC HÌNH HỌC TRONG TỨ GIÁC HAI TÂM

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS TS TẠ DUY PHƯỢNG

THÁI NGUYÊN - 2019

Mở đầu 2

1.1 Công thức nghiệm của phương trình bậc bốn 4

1.2 Các tính chất nghiệm của phương trình bậc bốn 5

1.3 Một số nhận xét về nghiệm của phương trình bậc bốn 12

2 Tứ giác hai tâm 13 2.1 Tứ giác lồi 13

2.2 Tứ giác nội tiếp 19

2.2.1 Các định nghĩa và tính chất 19

2.2.2 Diện tích tứ giác nội tiếp 22

2.2.3 Độ dài đường chéo của tứ giác nội tiếp 23

2.3 Tứ giác ngoại tiếp 24

2.3.1 Định nghĩa và tính chất 24

2.3.2 Diện tích tứ giác ngoại tiếp 24

2.4 Tứ giác hai tâm 25

2.4.1 Định nghĩa 25

2.4.2 Diện tích của tứ giác hai tâm 26

2.4.3 Tính chất 32

3 Phương trình bậc bốn với các hệ thức cho tứ giác hai tâm 35 3.1 Phương trình bậc bốn cho tứ giác hai tâm 35

3.1.1 Phương trình bậc bốn với nghiệm là các cạnh của tứ giác hai tâm 35

3.1.2 Phương trình bậc bốn với nghiệm là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác trong tứ giác hai tâm 37

3.1.3 Phương trình bậc bốn với nghiệm là các bán kính

đường tròn nội tiếp tam giác trong tứ giác hai tâm 41

3.1.4 Phương trình bậc bốn với nghiệm là sin của các góc

dBAC, dCAD, dACB

và dDCA 46

3.2 Các hệ thức hình học cho tứ giác hai tâm 47

3.3 Các hệ thức lượng giác cho tứ giác hai tâm 62

Trong luận văn này, ta sẽ sử dụng các kí hiệu sau đây:

1) ABCD là tứ giác lồi

2) A,B,C,D là các đỉnh hoặc các góc của tứ giác ABCD; E là giao điểmcủa AC và BD

3) AB = a,BC = b,CD = c,DA = d là các cạnh hoặc độ dài các cạnh của

tứ giác ABCD và AC = e,BD = f là các cạnh hoặc độ dài các cạnh đườngchéo của tứ giác ABCD

4) p = a+ b + c + d

2 là nửa chu vi của tứ giác ABCD

5) S là diện tích tứ giác ABCD

6) R,r tương ứng là bán kính (hoặc độ dài bán kính) đường tròn ngoại tiếp vànội tiếp của tứ giác ABCD

7) R1,R2,R3,R4 tương ứng là bán kính (hoặc độ dài bán kính) đường trònngoại tiếp của tam giác AEB,BEC,CED,DEA

8) r1,r2,r3,r4 tương ứng là bán kính (hoặc độ dài bán kính) đường tròn nộitiếp của tam giác AEB,BEC,CED,DEA

Dựa trên ý tưởng (xem [8]): Một tam giác hoàn toàn được xác định bởi ba yếu

tố độc lập (thí dụ, ba cạnh thỏa mãn bất đẳng thức tam giác, ba đường cao,sin của ba góc, ) nên ba yếu tố đó là nghiệm của một phương trình bậc ba(với các hệ số phụ thuộc vào ba yếu tố cơ bản: nửa chu vi p, bán kính đườngtròn ngoại tiếp R và bán kính đường tròn nội tiếp r Từ đó, sử dụng các tínhchất nghiệm của phương trình bậc ba, trong [1] và [2] đã phát biểu và chứngminh khoảng 700 hệ thức (đẳng thức và bất đẳng thức) trong tam giác, trong

đó có nhiều hệ thức mới

Câu hỏi đặt ra là: Ý tưởng trên có thể mở rộng cho tứ giác lồi?-Để xác địnhmột tứ giác lồi bất kì cần năm yếu tố, thí dụ, bốn cạnh và một đường chéo Vậychỉ với tứ giác đặc biệt thì bốn cạnh của nó mới là nghiệm của một phương

trình bậc bốn Đó chính là tứ giác hai tâm-tứ giác vừa nội tiếp được trong một

đường tròn, vừa ngoại tiếp một đường tròn (khác) Điều này đã được chỉ ratrong [6] và [9] Sau đó, dựa trên tính chất nghiệm của phương trình bậc bốn,trong [3] và [4] đã phát biểu và chứng minh khoảng 100 hệ thức hình học cho

tứ giác hai tâm Điều này cho một cách nhìn hệ thống về các hệ thức trong tứgiác hai tâm

Ngoài các hệ thức hình học, trong [1] và [2] đã chứng mình vài trăm hệ thứclượng giác trong tam giác Câu hỏi tự nhiên đặt ra là: Có thể phát biểu vàchứng minh các hệ thức lượng giác cho tứ giác hai tâm?-Điều này chưa đượcthể hiện trong [3] và [4]

Luận văn có mục đích trình bày các hệ thức hình học cho tứ giác hai tâm như

là hệ quả từ các tính chất của phương trình bậc bốn, chủ yếu dựa trên [4] và[10], có chỉnh sửa, bổ sung, cấu trúc lại [4] trong tham chiếu với các tài liệukhác Ngoài ra, trong Luận văn cũng bước đầu phát hiện và chứng minh các

hệ thức lượng giác cho tứ giác hai tâm

Trong quá trình học tập và làm luận văn, từ bài giảng của các giáo sư,tiến sĩ đang công tác tại Viện Toán học, Trường Đại học khoa học - Đại họcThái Nguyên, tôi đã trau dồi thêm rất nhiều kiến thức để nâng cao trình độcủa mình Từ đáy lòng mình, tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới tất cả cácthầy, cô.

Tôi xin chân thành cám ơn Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo Khoa học

và Quan hệ quốc tế, Khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học, Đại học TháiNguyên đã quan tâm và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập tại trường

Dưới sự hướng dẫn của PGS TS Tạ Duy Phượng, tôi đã phần nào họcđược phương pháp thu thập và xử lí thông tin, và tập dượt nghiên cứu Xinđược cám ơn Thày hướng dẫn Đồng thời, tôi cũng xin chân thành cám ơnThạc sĩ Hoàng Minh Quân, giáo viên Toán trường Trung học Phổ thông NgọcTảo, Phúc Thọ, Hà Nội, đã cho phép sử dụng bản thảo [4] và cung cấp một

số tài liệu để viết luận văn này

Nhân dịp này tôi xin chân thành cảm ơn đồng nghiệp, bạn bè và giađình đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ, động viên để tôi hoàn thành luận văn này

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2019

Tác giả

Phạm Thị Thu

Phương trình bậc bốn và các tính chất

nghiệm

1.1 Công thức nghiệm của phương trình bậc bốn

Nói chung, các sách giáo khoa và sách tham khảo môn toán thường khôngtrình bày phương pháp tìm nghiệm của phương trình bậc bốn Mục này trìnhbày cách giải phương trình bậc bốn

Xét phương trình bậc bốn

x4+ ax3+ bx2+ cx + d = 0 (1.1)Phương trình (1.1) có thể viết dưới dạng sau

x4+ ax3 = −bx2− cx − d,hay



x2+ax2

4 , ta được phươngtrình



y+y2

4 =

x2+ax2



y+y2

x2+ax

2 +y2

4 − d (1.3)

Ta sẽ chọn y để vế phải của phương trình (1.3) là bình phương của tổng Để

vế phải của phương trình (1.3) là bình phương của tổng thì

y3− by2+ (ac − 4d)y − [d(a2− 4b) − dy] = 0 (1.4)

Vì (1.4) là phương trình bậc ba nên có ít nhất một nghiệm thực (Phương phápgiải và công thức nghiệm của phương trình bậc ba có thể xem trong [2], trang47-52) Ta chỉ cần chọn một nghiệm thực y0 nào đó của phương trình (1.4) vàthay y0 vào vế phải của phương trình (1.3) Khi ấy phương trình (1.3) đượcviết lại như sau



x2+ax

2 +y02

2

= (αx + β )2.Điều này tương đương với

x2+ax

2 +y0

2 = αx + β ,hoặc

x2+ax

2 +y0

2 = −αx − β Giải hai phương trình trên ta tìm được nghiệm của phương trình bậc bốn (1.1)

x1,2 = −12

1

1.2 Các tính chất nghiệm của phương trình bậc bốn

Ngoài định lí Viète về tính chất nghiệm của đa thức, mục này trình bày 18tính chất nghiệm của phương trình bậc bốn, cần thiết cho chứng minh các hệ

thức trong chương 3.

Định lí 1.2.1 (Định lí Viète về nghiệm của phương trình bậc bốn) Phương

+ ax3+ bx2+ cx + d = 0 có bốn nghiệm x1,x2,x3,x4 thỏa mãn các tính chất sau:

Từ bốn tính chất trên và sử dụng các tính chất đối xứng của nghiệm, ta suy

ra được khá nhiều các hệ thức liên hệ giữa bốn nghiệm của phương trình bậcbốn với các hệ số của phương trình, rất có lợi cho nghiên cứu phương trìnhbậc bốn và trong chứng minh các hệ thức trong tứ giác

Tính chất 1.2.5

T5= 1x1 + 1x2 + 1x3+ 1x4 = −dc

Chứng minh.

T5 = 1

x1+ 1

x2 + 1x3 + 1x4 = x1x2x3+ x1x2x4+ x1x3x4+ x2x3x4

T4 = −c

d.

=(x1+ x2+ x3+ x4)

1x1 + 1x2 + 1x3+ 1x4

1.3 Một số nhận xét về nghiệm của phương trình bậc bốn

Cho phương trình bậc bốn x4

+ ax3+ bx2+ cx + d = 0 có bốn nghiệm làx1,x2,x3,x4 Khi đó chúng ta có một số nhận xét sau

Nhận xét 1.3.1 Nếu x1,x2,x3,x4 là bốn nghiệm của phương trình (1.1) thì1

dt+1

Chứng minh Thay x =1

t vào phương trình (1.1) ta có điều phải chứng minh

Nhận xét 1.3.2 Nếu x1,x2,x3,x4 là bốn nghiệm của phương trình (1.1) thì

x21,x22,x23,x24 là bốn nghiệm của phương trình

t4− (a2− 2b)t3+ (b2− 2ac + 2d)t2− (c2− 2bd)t + d2 = 0 (1.6)

Chứng minh Từ các Tính chất (1.2.4), (1.2.6), (1.2.10) và (1.2.11) ta được

điều phải chứng minh

Nhận xét 1.3.3 Nếu x1,x2,x3,x4 là bốn nghiệm của phương trình (1.1) thìx1x2x3,x1x2x4,x1x3x4,x2x3x4 là bốn nghiệm của phương trình

1x32x33x34= d3

.Theo định lí Viète về nghiệm của phương trình bậc bốn, ta có điều phảichứng minh

Tứ giác hai tâm

E

θ

Gọi E là giao điểm của AC và BD Ta có

S=SAEB+ SBEC+ SCED+ SDEA

=1

2AE.EB sinθ + 1

2BE.EC sin(1800− θ ) +12CE.ED sinθ

Định lí 2.1.2 (Định lí Bretschneider) Cho tứ giác lồi bất kì ABCD có độ dài

các cạnh AB = a,BC = b,CD = c,DA = d Khi ấy diện tích ABCD được tính theo công thức

, (2.2)trong đó A và C là hai góc đối diện

Áp dụng Định lí hàm số cosin cho tam giác ABD,BDC ta có

a2+ d2− 2ad cosA = DB2 = b2+ c2− 2bccosC,

4 =(ad)2+ (bc)2− 2abcd cos(A +C)

=(ad + bc)2− 2abcd − 2abcd cos(A +C)

=(ad + bc)2− 2abcd(cos(A +C) + 1)

=(ad + bc)2− 4abcdcos(A +C) + 12

=(ad + bc)2− 4abcd cos2



A+C2



Từ đó ta có

16S2 =4(ad + bc)2− (a2+ d2− b2− c2)2− 16abcd cos2



A+C2



=16(p − a)(p − b)(p − c)(p − d) − 16abcd cos2



A+C2



Suy ra

S2= (p − a)(p − b)(p − c)(p − d) − abcd cos2



A+C2



S=

s(p − a)(p − b)(p − c)(p − d) − abcd.cos2



A+C2



Vậy công thức Bretschneider được chứng minh

Định lí 2.1.2’ (Định lí Bretschneider dưới ngôn ngữ độ dài cạnh và đường

chéo) Cho tứ giác lồi bất kì ABCD có độ dài các cạnh AB = a,BC = b,CD =

c, DA= d và độ dài hai đường chéo AC = e, BD = f Khi đó diện tích tứ giác

S= 14

p4e2f2− (a2

16S2= 4e2f2sin2θ = 4e2f2(1 − cos2θ ) = 4e2f2− (2e f cosθ )2

Kí hiệu AE = e1,EC = e2,BE = f1,ED = f2 Khi ấy theo định lí hàm sốcosin ta có

a2= AE2+ EB2− 2AE.EB.cosθ = e21+ f12− 2e1f1cosθ ,

b2 = BE2+ EC2− 2BE.EC.cosθ′= f12+ e22− 2e2f1cosθ′,

c2 = CE2+ ED2− 2CE.ED.cosθ = e22+ f22− 2e2f2cosθ ,

d2= DE2+ EA2− 2DE.EA.cosθ′= f22+ e21− 2e1f2cosθ′

Suy ra

2e f cosθ = 2(e1+ e2)( f1+ f2) cos θ

= 2e1f1cosθ − 2e1f2cosθ′− 2e2f1cosθ′+ 2e2f2cosθ

= −a2+ e21+ f12+ d2− e21− f22+ b2− f12− e22− c2+ e22+ f22

Từ đó ta có

S= 14

q4e2f2− (a2

Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB,BC,CD,DA

Đặt MP = m,NQ = n, áp dụng định lí đường trung tuyến cho các tam giác

ACD, BCD, PAB, ta có

PA2= 2(d

2+ e2) − c2

PB2= 2(b

2+ f2) − c2

m2= PM2= 2(PA

2+ PB2) − AB24

=2



2(d2+ e2) − c2

2+ f2) − c24



− a24

ND2 = 2(c

2+ f2) − b2

n2= NQ2= 2(NA

2+ ND2) − AD24

=2



2(a2+ e2) − b2

2+ f2) − b24



− d24

(a2− b2+ c2− d2)2 = 4(m2− n2)2 (2.7)

Từ (2.4), ta có

S= 14

q4e2f2− (a2− b2+ c2

− d2)2

.Kết hợp (2.4) và (2.7), ta có

S= 12

q

e2f2− (m2

− n2)2

2.2 Tứ giác nội tiếp

2.2.1 Các định nghĩa và tính chất

Định nghĩa 2.2.1 Tứ giác lồi ABCD có bốn đỉnh A,B,C, D nằm trên đường

tròn (O) được gọi là tứ giác nội tiếp.

Dưới đây là các điều kiện cần và đủ để tứ giác lồi ABCD là tứ giác nội tiếp là

Tính chất 2.2.1 Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O;R) khi và chỉ khi

Tính chất 2.2.4 Giả sử tứ giác ABCD có hai đường thẳng chứa hai cạnh

Suy ra, tam giác KBD và tam giác KCA đồng dạng Do đó, ta có

Tính chất 2.2.5 Tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại I Khi đó

điều kiện cần và đủ để tứ giác ABCD nội tiếp là IA.IC = IB.ID

Tính chất 2.2.6 (Đường thẳng Simson) Tứ giác ABCD nội tiếp khi và chỉ

khi chân ba đường cao hạ từ một đỉnh của tứ giác xuống ba đường thẳng chứa

ba cạnh tạo bởi ba đỉnh còn lại là thẳng hàng

Chứng minh Gọi M,N, P tương ứng là chân các đường cao hạ từ đỉnh Dxuống các cạnh AB,AC,BC

Thuận: Giả sử tứ giác ABCD nội tiếp, ta sẽ chứng minh M,N,P thẳng hàng

Áp dụng tính chất góc ngoài tại đỉnh A của tam giác ABD, ta có

[MAD= dABD+ dADB

Mặt khác sđBCD=⌢ 1

2sđBD⌢ (góc nội tiếp) nên

[MAD= dBCD= 1800− dDAB (1)

Tứ giác ANDM nội tiếp đường tròn đường kính AD, ta có

[ANM= [ADM= 900− [MND= 900− [MAD (2)

Tứ giác NPCD nội tiếp đường tròn đường kính CD, ta có

d

Từ (1),(2),(3) suy ra [ANM= dPNC

Do đó [ANM và dPNC là hai góc đối đỉnh hay M,N,P thẳng hàng

Đảo: Giả sử M,N,P thẳng hàng, ta sẽ chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp.Thật vậy, ta có

[DNM+ [DNP= 1800,

mà tứ giác DNPC nội tiếp nên [DNP+ dDCP= 1800.Do đó

Tính chất 2.2.7 (Định lí Ptolemy) Tứ giác ABCD nội tiếp khi và chỉ khi

AC.BD= AB.CD + AD.BC

Giả sử ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn.

Lấy điểm K trên AC sao cho dABK = dCBD Mặt khác, ta có

AK.BD= AB.CD và CK.BD = BC.DA

Cộng các vế của hai đẳng thức trên ta được:

AK.BD+CK.BD = AB.CD + BC.DA,hay

(AK +CK).BD = AB.CD + BC.DA

Mà AK +CK = AC, nên AC.BD = AB.CD + BC.DA (điều phải chứng minh)

2.2.2 Diện tích tứ giác nội tiếp

Định lí 2.2.2 (Định lí Brahmagupta) Cho tứ giác ABCD nội tiếp, có độ dài

các cạnh AB = a, BC = b, CD = c, DA = d Khi đó diện tích của tứ giác là

S=p

(p − a)(p − b)(p − c)(p − d) (2.7)Định lí Brahmagupta là hệ quả của Định lí Bretschneider đã được chứng minh

ở trên (xem công thức (2.2))

2.2.3 Độ dài đường chéo của tứ giác nội tiếp

Định lí 2.2.3 Cho tứ giác ABCD nội tiếp, có độ dài các cạnh AB = a,BC =b,CD= c, DA = d Khi đó hai đường chéo của tứ giác là e, f thỏa mãn

Áp dụng định lí hàm số cosin ta có

e2= a2+ b2− 2abcosB,hay

cde2= cd(a2+ b2) − 2abcd cosB

Mặt khác,

e2= c2+ d2− 2cd cos D = c2+ d2− 2cd cosB,hay

abe2= ab(c2+ d2) − 2abcd cosB

Từ đó ta có

(ab + cd)e2 = cd(a2+ b2) + ab(c2+ d2)

= ac(ad + bc) + bd(ad + bc) = (ad + bc)(ac + bd)

Suy ra

e2 = (ac + bd)(ad + bc)

ab+ cd .

Định nghĩa 2.3.1 Tứ giác ABCD được gọi là tứ giác ngoại tiếp đường tròn

(I) nếu đường tròn (I) tiếp xúc với tất cả bốn cạnh của tứ giác

Tính chất 2.3.1 Tứ giác ABCD ngoại tiếp khi và chỉ khi tổng các cạnh đối

bằng nhau, tức là AB +CD = BC + DA

Tính chất 2.3.2 Tứ giác ABCD có các tia AD và BC cắt nhau ở E; các tia

AB, DC cắt nhau ở F Khi đó các điều kiện sau là tương đương

i) Tứ giác ABCD ngoại tiếp

ii) BE + BF = DE + DF

iii) FA +CE = EA +CF

2.3.2 Diện tích tứ giác ngoại tiếp

Tứ giác ngoại tiếp ABCD có độ dài các cạnh AB = a, BC = b, CD = c, DA = dthì diên tích tứ giác là

Mặt khác, ta có

S= SABC+ SACD= 1

2ab sin B+1

2cd sin Dnên

4S= 2ab sin B + 2cd sin D (2)Lại có

a2+ b2− 2abcosB = e2= c2+ d2− 2cd cosDhay

a2+ b2− c2− d2 = 2ab cos B − 2cd cosD (3)

Từ (2) và (3) đem bình phương hai vế cộng lại, ta được

16S2+ (a2+ b2− c2− d2)2 = 4a2b2+ 4c2d2− 8abcd cos(B + D),hay

16S2 =4a2b2+ 4c2d2− (a2+ b2− c2− d2)2− 8abcd cos(B + D)

=(2ab + 2cd)2− (a2+ b2− c2− d2)2− 8abcd(1 + cos(B + D))

=16(p − a)(p − b)(p − c)(p − d) − 8abcd(1 + cos(B + D))

Tứ giác ABCD vừa nội tiếp được đường tròn (O) và vừa ngoại tiếp được đường

tròn tâm (I) thì tứ giác ABCD được gọi là tứ giác hai tâm.

2.4.2 Diện tích của tứ giác hai tâm

Định lí 2.4.1 Tứ giác ABCD có độ dài các cạnh AB = a, BC = b, CD = c,

DA= d thì diện tích tứ giác là

Chứng minh 1 Vì ABCD là tứ giác ngoại tiếp nên ta có (2.8) Mặt khác,

ABCDcũng là tứ giác nội tiếp nên ta có B+ D

2 = 900.Vậy theo (2.8) ta có abcd = S2

a2− 2ab + b2= c2− 2cd + d2 (2.11)Lấy (2.10) trừ (2.11), sau đó đem chia cho 2, ta được

ab(1 − cosB) = cd(1 − cosD) (2.12)

Tứ giác ABCD nội tiếp nên ta có cosB = −cosD Khi đó (2.12) được viết lạithành

(ab + cd) cos B = ab − cd (2.13)Diện tích S của tứ giác ABCD thỏa mãn

với θ là góc giữa hai đường chéo nhìn cạnh a và c.

Chứng minh Theo Tính chất 2.2.7, Tính chất 2.3.1 và công thức (2.3’) của

1+b

2+ d2− (a2+ c2)2e f

− (a − c)2 = (b + d)

2

− (b − d)2(a + c)2

− (a − c)2 = 4bd

4ac = bd

ac.

ab = cotD

2.Chứng minh tương tự, ta cũng có

tanA

2 =

rbc

ad = cotC

2.

Định lí 2.4.2 Tứ giác hai tâm ABCD với I là tâm đường tròn nội tiếp có diện

tích được tính theo công thức

Vì tứ giác ABCD nội tiếp nên có A +C = B + D = 1800.

tanB

sin B



Bổ đề 2.4 (Zhang Yun)

sin A sin B= r

2+ r +√

4R2+ r2

Chứng minh Xem Zhang Yun, [11] hoặc [3].

Định lí 2.4.3 Cho tứ giác hai tâm ABCD có R,r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp và θ là góc giữa hai đường chéo AC,BD Khi đó diện tích tứ giác là

Mặt khác h1+ h2≤ e nên S ≤ e f2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi AC ⊥ BD.

Vì tứ giác ABCD nội tiếp nên e ≤ 2R, f ≤ 2R Do đó S ≤e f2 ≤ 2R.2R2 = 2R2

rr

Từ tâm I của đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD, kẻ IE ⊥ AB,IF ⊥ BC,IG ⊥

CD, IH ⊥ DA Ta có IE = IF = IG = IH = r, và đặt độ dài các tiếp tuyếnnhư trên hình vẽ

Tứ giác ABCD ngoại tiếp nên bB= 2α, bD= 2β hay bB+ bD= 2α + 2β

Mặt khác, tứ giác ABCD nội tiếp nên 2α + 2β = π Vì vậy α + β = π

2, hay

Diện tích tứ giác ABCD bằng

Hệ quả 2.4.4 (Bất đẳng thức Fejes Toth)

ad sin A+ bc sinC = 2S; ab sin B + dc sin D = 2S

Vì ABCD là tứ giác nội tiếp nên ta có sinA = sinC, sinB = sinD Do đó