Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 23 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
23
Dung lượng
396,99 KB
Nội dung
LƯỢNGGIÁC
CHƯƠNG III: PHƯƠNGTRÌNHBẬC HAI VỚI CÁCHÀMSỐ LƯNG GIÁC
(
)
()
()
()
++= ≠
++= ≠
+== ≠
++=
2
2
2
2
asin u bsinu c 0 a 0
acos u bcosu c 0 a 0
atg u btgu c 0 a 0
a cot g u b cot gu c 0 a 0≠
Cách giải:
Đặt : hay với
tsinu=
tcosu=
t1
≤
(điều kiện ttgu=
uk
2
π
≠
+π
)
(điều kiện tcotgu=
uk
≠
π
)
Các phươngtrình trên thành:
2
at bt c 0
+
+=
Giải phươngtrình tìm được t, so với điều kiện để nhận nghiệm t.
Từ đó giải phươngtrìnhlượnggiác cơ bản tìm được u.
Bài 56: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối A, năm 2002)
Tìm các nghiệm trên
(
của phươngtrình
)
0, 2π
()
cos 3x sin 3x
5sinx 3 cos2x*
12sin2x
+
⎛⎞
+=+
⎜⎟
+
⎝⎠
Điều kiện:
1
sin 2x
2
≠−
Ta có:
(
)
(
)
33
sin 3x cos3x 3sin x 4 sin x 4 cos x 3cos x+= − + −
()
()
()
()
()()
33
22
3cosx sinx 4cos x sin x
cos x sin x 3 4 cos x cos x sin x sin x
cos x sin x 1 2sin 2x
=− − + −
⎡⎤
=− −+ + +
⎣⎦
=− +
Lúc đó: (*)
(
)
(
)
2
5 sin x cos x sin x 3 2cos x 1
⎡⎤
⇔+−=+
⎣⎦
−
1
do sin 2x
2
⎛⎞
≠−
⎜⎟
⎝⎠
2
2cos x 5cosx 2 0⇔−+=
()
1
cos x
2
cos x 2 loại
⎡
=
⎢
⇔
⎢
=
⎢
⎣
x
3
π
⇔=±+ πk2
(nhận do
31
sin 2x
22
=
±≠−
)
Do
(
)
x0,2∈π
nên
5
xx
33
π
π
=∨=
Bài 57: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối A, năm 2005)
Giải phương trình:
(
)
22
cos 3x.cos2x cos x 0 *−=
Ta có: (*)
1cos6x 1cos2x
.cos2x 0
22
++
⇔
−=
cos6x.cos2x 1 0⇔−=
(**)
Cách 1: (**)
()
3
4 cos 2x 3cos2x cos2x 1 0⇔− −=
=
42
4 cos 2x 3cos 2x 1 0⇔−−
()
2
2
cos 2x 1
1
cos 2x vô nghiệm
4
⎡
=
⎢
⇔
⎢
=−
⎢
⎣
()
sin 2x 0
k
2x k x k Z
2
⇔=
π
⇔=π⇔= ∈
Cách 2: (**)
()
1
cos8x cos4x 1 0
2
⇔+−=
()
2
cos 8x cos 4x 2 0
2cos 4x cos4x 3 0
cos4x 1
3
cos4x loại
2
⇔+−=
⇔+−
=
⎡
⎢
⇔
⎢
=−
⎣
=
()
k
4x k2 x k Z
2
π
⇔=π⇔= ∈
Cách 3: phươngtrìnhlượnggiác không mẫu mực:
(**) ⇔
cos6x cos2x 1
cos6x cos2x 1
==
⎡
⎢
==−
⎣
Cách 4:
+−=⇔+cos 8x cos 4x 2 0 cos8x cos 4x 2=
⇔
==cos 8x cos 4x 1
⇔
=cos 4x 1
Bài 58:
(Đề thi tuyển sinh Đại học khối D, năm 2005)
Giải phương trình:
44
3
cos x sin x cos x sin 3x 0
44
ππ
⎛⎞⎛ ⎞
++− −−
⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝ ⎠
2
=
Ta có:
(*)
()
2
22 22
13
sin x cos x 2sin x cos x sin 4x sin 2x 0
22
⎡⎤
π
⎛⎞
⇔+ − + −+−
⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦
2
=
[]
2
11 3
1 sin 2x cos 4x sin 2x 0
22 2
⇔− + − + − =
()
22
11 11
sin 2x 1 2sin 2x sin 2x 0
22 22
⇔− − − + − =
2
sin 2x sin 2x 2 0⇔+− =
()
sin 2x 1
sin 2x 2 loại
=
⎡
⇔
⎢
=−
⎣
π
⇔=+π∈
π
⇔=+π∈
2x k2 , k
2
xk,k
4
Bài 59: (Đề th ïc khối B, năm 2004) i tuyển sinh Đại ho
(
)(
−= −
2
5sinx 2 3 1 sinx tg x *
)
Giải phương trình:
Khi đó: (*)
cos x 0 sin x 1≠⇔ ≠±
Điều kiện:
()
2
2
sin x
5sinx 2 3 1 sinx
cos x
⇔−=−
()
2
2
sin x
5sinx 2 3 1 sinx
1sinx
⇔−=−
−
2
3sin x
5sinx 2
1sinx
⇔−=
+
2
2sin x 3sinx 2 0⇔+− =
()
()
1
sin x nhận do sin x 1
2
sin x 2 vô nghiệm
⎡
=≠
⎢
⇔
⎢
=−
⎢
⎣
±
()
5
xk2x k2k
66
ππ
⇔=+ π∨= + π ∈
Z
()
11
2sin 3x 2cos 3x *
sin x cos x
−= +
Bài 60: Giải phương trình:
Lúc đó: (*)
Điều kiện:
sin 2x 0≠
()
11
2sin3x cos3x
sin x cos x
⇔−=+
()
(
)
33
11
2 3 sin x cos x 4 sin x cos x
sin x cos x
⎡⎤
⇔+−+=+
⎣⎦
()
(
)
22
sin x cos x
2 sin x cos x 3 4 sin x sin x cos x cos x
sin x cos x
+
⎡⎤
⇔+ − − + =
⎣⎦
()
1
sinx cosx 2 8sinxcosx 0
sin x cos x
⎡⎤
⇔+ −+ − =
⎢⎥
⎣⎦
()
2
sin x cos x 4 sin 2x 2 0
sin 2x
⎡⎤
⇔+ − −
⎢⎥
⎣⎦
=
()
2
tgx 1
sin x cos x 0
nhận so với điều kiện
1
sin 2x 1 sin 2x
4sin 2x 2sin2x 2 0
2
=−
⎡
+=
⎡
⎢
⇔⇔
−
⎢
⎢
=∨ =
−−=
⎣
⎣
ππ π π
⇔ =− + π∨ = + π∨ =− + π∨ = + π ∈
7
x k 2x k2 2x k2 2x k2 , k
42 6 6
π
ππ
⇔ =± +π∨ =− +π∨ = +π ∈
7
xkxkxk,k
41212
(
)
()
+− −
=
+
2
cos x 2 sin x 3 22 cos x 1
1*
1sin2x
Bài 61: Giải phương trình:
sin 2x 1 x m
4
π
≠− ⇔ ≠− + π
Điều kiện:
Lúc đó:
(*)
2
2sinxcosx 3 2cosx 2cos x 1 1 sin2x⇔ + − −=+
2
2cos x 3 2cosx 2 0⇔− + =
()
⇔= =
2
cos x hay cos x 2 vô nghiệm
2
()
xk2
4
xk'2loạidiềukiện
4
π
⎡
=+ π
⎢
⇔
⎢
π
⎢
=− + π
⎢
⎣
xk2
4
⇔=+ π
π
Bài 62: Giải phương trình:
()
x3x x3x1
cosx.cos .cos sinxsin sin *
22 222
−=
Ta có: (*)
()()
11
cos x cos2x cos x sin x cos2x cos x
22
1
2
⇔
++ −=
2
cos x.cos 2x cos x sin x cos 2x sin x cos x 1⇔++−=
cos x⇔+=−+
()
2
cos 2x cos x sin x 1 cos x sin x
()
(
)
cos 2x cos x sin x sin x sin x cos x⇔+=+
()( )
(
)
cos x sin x cos 2x sin x 0 * *⇔+ −=
()
()
2
cos x sin x 1 2sin x sin x 0⇔+ − −
=
2
cos x sin x
2sin x sinx 1 0
=−
⎡
⇔
⎢
+−=
⎣
tgx 1
sin x 1
1
sin x
2
⎡
⎢
=−
⎢
⇔=
⎢
⎢
=
⎢
⎣
−
()
xk
4
xk2 k
2
5
xk2x k2
66
π
⎡
=− + π
⎢
⎢
π
⎢
⇔=−+π ∈
⎢
⎢
ππ
⎢
=+ π∨= + π
⎢
⎣
Z
Cách khác: (**) tgx 1 cos2x sin x cos x
2
π
⎛⎞
⇔=−∨ = = −
⎜⎟
⎝⎠
(
)
3
4 cos x 3 2 sin 2x 8cos x *+= Bài 63: Giải phương trình:
Ta có: (*)
3
4 cos x 6 2 sin x cos x 8cos x 0
⇔
+− =
()
2
cos x 2cos x 3 2 sin x 4 0⇔+−
=
(
)
2
cos x 2 1 sin x 3 2 sin x 4 0
⎡⎤
⇔−+−
⎣⎦
=
2
cos x 0 2sin x 3 2 sin x 2 0⇔=∨ − +=
()
cos x 0
2
sin x
2
sin x 2 vô nghiệm
=
⎡
⎢
⎢
⇔=
⎢
⎢
=
⎢
⎣
2
x k sin x sin
22
ππ
⇔=+π∨ = =
4
()
3
xkxk2x k2k
24 4
ππ π
⇔=+π∨=+π∨= +π∈
Z
Bài 64
: Giải phương trình:
()
cos 2x cos 2x 4 sin x 22 1 sin x *
44
ππ
⎛⎞⎛⎞
++ −+ =+ −
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
()
(*)
()
2cos2x.cos 4sin x 22 1 sin x
4
π
⇔+=+−
(
)
(
)
()
2
2
21 2sin x 4 2sinx 22 0
2 2 sin x 4 2 sin x 2 0
⇔− ++ −−=
⇔−++=
()
⇔−++=
2
2sin x 22 1 sinx 2 0
()
⎡
⎢
si
=
⇔
⎢
=
⎢
⎣
n x 2 loại
1
sin x
2
ππ
⇔=+ π = + π∈
5
xk2hayx k2,k
66
Bài 65
(
)
()
+
2
g x 22 =+
2
3 cot sin x 2 3 2 cos x *
: Giải phươngtrình :
Điều kiện:
(*)
sin x 0 cos x 1≠⇔ ≠±
Chia hai vế (*) cho
2
sin x ta được:
()
2
42
cos x cos x
322232
sin x sin x
⇔+=+
và
sin x 0
≠
2
cos x
t
sin x
=
Đặt ta được phương trình:
()
2
3t 2 t 2−+ +2 3 2 0
2
t2t
3
=
⇔= ∨=
* Với
2
t
3
=
ta có:
2
cos x 2
3
sin x
=
()
()
(
co nhận 1
⎢
⎣
)
2
2
3cos x 2 1 cos x
2cos x 3cosx 2 0
cos x 2 loại
1
s x do cos x
2
⇔=−
⇔+−=
⎡
=−
⎢
⇔
⎢
=≠±
()
xk2k
3
π
⇔=±+ π∈
Z
* Với
t2= ta có:
=
2
cos x
2
sin x
()
()
()
⇔=−
⇔+−=
⎡
=−
⎢
⇔
⎢
=
≠±
⎢
⎣
π
⇔=±+ π∈xk2,k
2
2
cos x 2 1 cos x
2 cos x cos x 2 0
cos x 2 loại
2
cos x nhận do cos x 1
2
4
Bài 66
: Giải phương trình:
()
+−−
=
22
4sin 2x 6sin x 9 3cos2x
0*
cos x
Điều kiện:
Lúc đó:
(*) =
≠cos x 0
22
4sin 2x 6sin x 9 3cos2x 0⇔+−−
()
()
2
2
4 1 cos 2x 3 1 cos2x 9 3cos 2x 0
4cos 2x 6cos2x 2 0
1
cos2x 1 cos2x
2
⇔− +− −− =
⇔++=
⇔=−∨=−
22
1
2cos x 1 1 2cos x 1
2
⇔ − =− ∨ − =−
()
()
()
cos x 0 loại diều kiện
1
cos x nhận do cos x 0
2
2
xk2x
3
⇔=±+ π∨ k2kZ
3
⎡
=
⎢
⇔
⎢
=± ≠
ππ
=± + π ∈
⎢
⎣
()
12
fx sinx sin3x sin5x
35
=+ +
Bài 67: Cho
()
f' x 0
=
Giải phương trình:
Ta có:
=
()
f' x 0=
()( )
()()
32
cos x cos3x 2cos5x 0
cos x cos5x cos 3x cos5x 0
2cos3xcos2x 2cos4xcosx 0
4 cos x 3cos x cos2x 2cos 2x 1 cos x 0
⇔+ + =
⇔+++=
⇔+=
⇔− + −
()
()
⎡⎤
⇔−+−
⎣⎦
⎡
⎡⎤
+− + −=
⎣⎦
⇔
⎢
=
⎢
⎣
⎡
−−=
⇔
⎢
=
⎣
±
⇔= ∨=
22
2
2
4 cos x 3 cos 2x 2 cos 2x 1 cos x 0
2 1 cos 2x 3 cos 2x 2 cos 2x 1 0
cos x 0
4cos 2x cos2x 1 0
cos x 0
117
cos 2x cos x 0
8
=
()
117 117
cos2x cos cos2x cos cosx 0
8
8
xkxkxkkZ
222
+−
⇔= =α∨= =β∨=
αβπ
⇔=±+π∨=±+π∨=+π∈
()
88 2
17
sin x cos x cos 2x *
16
+=
Bài 68: Giải phương trình:
Ta có:
()
()
2
88 44 44
2
2
22 22 4
2
24
24
sin x cos x sin x cos x 2sin x cos x
1
sin x cos x 2sin x cos x sin 2x
8
11
1sin2x sin2x
28
1
1sin2x sin2x
8
+= + −
⎡⎤
=+− −
⎢⎥
⎣⎦
⎛⎞
=− −
⎜⎟
⎝⎠
=− +
Do đó:
()
()
()
()
()()
⎛⎞
⇔− + =−
⎜⎟
⎝⎠
⇔+−=
⎡
=−
⎢
⇔⇔−
⎢
=
⎢
=
π
⇔=⇔=+ ∈
24 2
42
2
2
1
* 16 1 sin 2x sin 2x 17 1 sin 2x
8
2sin 2x sin 2x 1 0
sin 2x 1 loại
11
1cos4x
1
22
sin 2x
cos 4x 0 x 2k 1 , k Z
8
Bài 69
⎣
2
()
3
5x x
sin 5cos x.sin *
22
=
: Giải phương trình:
Nhận xét thấy:
x
cos 0 x k2 cos x 1
2
=⇔=π+ π⇔ =−
Thay vào (*) ta được:
π
⎛⎞ ⎛
+π=− +π
⎜⎟ ⎜
⎝⎠ ⎝
5
sin 5k 5.sin k
22
π
⎞
⎟
⎠
, không thỏa k
∀
x
cos
2
Do không là nghiệm của (*) nên:
()
⇔=
2
5x x x x
* sin .cos 5 cos x.sin cos
22 22
và
x
cos 0
2
≠
()
3
15
sin 3x sin 2x cos x.sin x
22
⇔+=
và
≠
x
cos 0
và
2
33
3sin x 4 sin x 2sin x cos x 5cos x.sin x⇔− + =
≠
x
cos 0
2
23
x
cos 0
2
34sinx2cosx 5cosxsinx 0
⎧
≠
⎪
⇔
⎨
⎪
−+=∨
⎩
=
32
x
cos 0
2
x
5cos x 4cos x 2cosx 1 0 sin 0
2
⎧
≠
⎪
⎪
⇔
⎨
⎪
−−+=∨
⎪
⎩
=
()
()
2
cos x 1
x
cos x 1 5cos x cos x 1 0 sin 0
2
≠−
⎧
⎪
⇔
⎨
−
+−=∨ =
⎪
⎩
≠−
⎧
⎪
⎡
⎪
⎢
=
⎪
⎢
⎪
⇔
−+
⎨
⎢
=
=α
⎪
⎢
⎪
⎢
−−
⎪
⎢
=
=β
⎣
⎩
cos x 1
cos x 1
121
cos x cos
10
1
cos
10
⎪
⎢
12
cos x
(
)
⇔= π =±α+ π =±β+ π ∈xk2hayx k2hayx k2,kZ
(
)
(
)
2
sin 2x cot gx tg2x 4 cos x *+= Bài 70: Giải phương trình:
iều kiện: và
cos 2x 1
Đ
0
cos2x 0≠ sin x 0 cos 2x
≠
⇔≠∧≠
Ta có:
cos x sin 2x
cot gx tg2x
sin x cos 2x
+= +
cos2x cos x sin 2xsin x
sin x cos 2x
cos x
sin x cos 2x
+
=
=
2
cos x
2sinx.cosx 4cos x
sin x cos 2x
⎛⎞
⇔=
⎜⎟
⎝⎠
Lúc đó: (*)
() ()
()
()
⇔=
⇔+= +
⇔+= =
⇔=−∨= ≠ ≠
2
2
cos x
2cos x
cos 2x
cos2x 1 2cos2x cos2x 1
cos 2x 1 0 hay 1 2 cos 2x
1
cos 2x 1 cos 2x nhận do cos 2x 0 và cos 2x 1
2
π
⇔=π+π∨=±+π∈
ππ
⇔=+π∨=±+π∈
2x k2 2x k2 , k
3
xkx k,k
Bài 71
26
()
2
6x 8x
2cos 1 3cos *
55
+=
: Giải phương trình:
⎛⎞⎛ ⎞
⇔
++=
⎜⎟⎜
⎝⎠⎝
2
12x 4x
1 cos 1 3 2 cos 1
55
Ta có : (*)
−
⎟
⎠
⎛⎞
⇔
+−=
⎜⎟
⎝⎠
32
4x 4x 4x
2 4 cos 3cos 3 2 cos 1
55 5
−
Đặt
()
4
t cos x điều kiện t 1
5
=≤
Ta có phươngtrình :
()
()
()
32
32
2
4t 3t 2 6t 3
4t⇔ 6t 3t 5 0
t 1 4t 2t 5 0
121 121
t1t t lọai
44
−+= −
−−+=
⇔− −−=
−+
⇔=∨= ∨=
Vậy
()
•=⇔=π
π
⇔= ∈
4x 4x
cos 1 2k
55
5k
xk
2
Z
()
()
4x 1 21
cos cos với 0 2
54
4x
2
5
55
x,Z
42
−
•= =α<α<π
⇔=±α+π
απ
⇔=± + ∈
l
l
l
Bài 72
()
3
tg x tgx 1 *
4
π
⎛⎞
−=−
⎜⎟
⎝⎠
: Giải phươngtrình
tx x t
44
π
π
=− ⇔= +
Đặt
3
1tgt
tg t tg t 1 1 với cost 0 tgt 1
41tgt
π+
⎛⎞
=+−= − ≠∧
⎜⎟
−
⎝⎠
(*) thành :
≠
⇔=
−
3
2tgt
tg t
1tgt
()
)
()
()
(
34
32
2
tg t tg t 2tgt
tgt tg t tg t 2 0
t 1 tg t 2tgt 2 0
tgt 0 tgt 1 nhận so đi àu kiện
tk t k,k
4
⇔−=
⇔−+=
+−+=
⇔=∨=−
π
⇔=π∨=− +π∈
¢
Vậy (*)
tgt tg
⇔
e
[...]... tgx 1 − tgx Khi cos2x ≠ 0 thì : (*) ⇔ sin 4 2x + cos4 2x = cos4 4x ⇔ 1 − 2 sin 2 2x cos2 2x = cos4 4x 1 ⇔ 1 − sin 2 4x = cos4 4x 2 1 ⇔ 1 − (1 − cos2 4x ) = cos4 4x 2 ⇔ 2 cos4 4x − cos2 4x − 1 = 0 ⎡ cos2 4x = 1 ⇔⎢ 2 ⇔ 1 − sin 2 4x = 1 ⎢ cos 4x = − 1 ( vô nghiệm ) ⎢ ⎣ 2 ⇔ sin 4x = 0 ⇔ 2 sin 2x cos 2x = 0 ⇔ sin 2x = 0 ( do cos 2x ≠ 0 ) π ⇔ 2x = kπ, k ∈¢ ⇔ x = k , k ∈¢ 2 1 2 − 2 (1 + cot g2x cot gx ) = 0... cos 2x r/ 2 cos2 2 x s/ cos x + tg = 1 2 t/ 3tg2x − 4tg3x = tg 2 3x.tg2x u/ cos x.cos 4x + cos 2x.cos 3x + cos2 4x = v/ cos2 x + cos2 2x + cos2 3x + cos2 4x = w/ sin 4x = tgx 3 2 3 2 13 cos2 2x 8 ⎛ 3π x ⎞ 1 ⎛ π 3x ⎞ y/ sin ⎜ − ⎟ = sin ⎜ + ⎟ ⎝ 10 2 ⎠ 2 ⎝ 10 2 ⎠ sin6 x + cos6 x = a sin 2x (1) a/ Giả i phươngtrình khi a = 1 x/ cos6 x + sin6 x = 2 (ĐS : a ≥ b/ Tìm a để (1) có nghiệ m 3 Cho phương trình. .. Khi gặ p phươngtrình lượ n g giác dạ n g R(tgx, cotgx, sin2x, cos2x, tg2x) vớ i R hà m hữ u tỷ thì đặ t t = tgx 2t 2t 1 − t2 , sin 2x = , cos 2x = Lú c đó tg2x = 1 − t2 1 + t2 1 + t2 Bà i 76 : (Để thi tuyển sinh Đại họ c khối A, năm 20 03) Giả i phươngtrình cos 2x 1 cot gx − 1 = + sin2 x − sin 2x ( *) 1 + tgx 2 Điề u kiệ n : sin 2x ≠ 0 và tgx ≠ −1 Đặt t = tgx thì (*) thà nh : 1 − t2 2 1 1 + t 2 + 1 ⎡1... ) sin x 3 2 − 2 cos x − 2 sin 2 x − 1 1 − sin 2x 4 e/ 4 cos x + 3 2 sin 2x = 8 cos x 1 1 2 + = f/ cos x sin 2x sin 4x π⎞ ⎛ g/ sin 2x + 2 sin ⎜ x − ⎟ = 1 4⎠ ⎝ =1 π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ 2 ( 2 sin x − 1) = 4 ( sin x − 1) − cos ⎜ 2x + ⎟ − sin ⎜ 2x + ⎟ 4⎠ 4⎠ ⎝ ⎝ 4x = cos2 x k/ cos 3 x l/ tg cos x + sin 2x = 0 2 h/ m/ 1 + 3tgx = 2sin 2x n/ cot gx = tgx + 2tg2x 3x 4x + 1 = 3 cos p/ 2 cos2 5 5 2 q/ 3 cos 4x − 2 cos 3x =... − 1 2t −1 = ⎢ ⎥ t 1+t 2 1 + t2 ⎦ 2 1 + t2 ⇔ 1−t 1 − t 1 2t 2 t = + − ( do t ≠ −1) 2 22 1+t 1 + t2 t 1+t 1 − t t 2 − 2t + 1 (1 − t ) ⇔ = = t 1 + t2 1 + t2 2 ⇔ ( 1 − t ) (1 + t 2 ) = ( 1 − t ) t 2 ⎡ t = 1 ( nhận do t ≠ −1) ⎡1 − t = 0 ⇔⎢ ⇔⎢ 22 ⎣1 + t = (1 − t ) t ⎢2t − t + 1 = 0 ( vô nghiệm ) ⎣ π Vậ y (*) ⇔ tgx = 1 ⇔ x = + kπ ( nhận do sin 2x = 1 ≠ 0) 4 Bà i 77 : Giải phương trình: sin 2x + 2tgx... thàn h : 2t + 2t = 3 1 + t2 ⇔ 2t + ( 2t − 3) (1 + t 2 ) = 0 ⇔ 2t 3 − 3t 2 + 4t − 3 = 0 ⇔ ( t − 1) ( 2t 2 − t + 3) = 0 ⎡t = 1 ⇔⎢ 2 ⎣2t − t + 3 = 0 ( vô nghiệm ) π Vậy (*) ⇔ tgx = 1 ⇔ x = + kπ ( k ∈ Z ) 4 Bà i 78 : Giả i phươngtrình cot gx − tgx + 4 sin 2x = 2 ( *) sin 2x Điề u kiệ n : sin 2x ≠ 0 2t do sin 2x ≠ 0 nên t ≠ 0 1 + t2 1 8t 1 + t2 1 = = +t (*) thà n h : − t + t 1 + t2 t t 8t ⇔ = 2t 1 + t2 4 ⇔... 3sin 4 2x + sin 2 2x − 1 = 0 22 ⎡ 2 ⎢sin x = − 3 ( lọai ) ⇔⎢ ⎢sin 2 x = 1 ( nhận do ≠ 0 ) ⎢ 2 ⎣ 1 1 (1 − cos 4x ) = 22 ⇔ cos 4x = 0 π ⇔ 4x = + kπ 2 π kπ ⇔ x = + ( k ∈ Z) 8 4 ⇔ Bà i 75 : Giả i phươngtrình 5 sin 8 x + cos8 x = 2 sin10 x + cos10 x + cos 2x ( *) 4 ( ) Ta có : (*) 5 cos 2x 4 5 ⇔ sin 8 x (1 − 2 sin 2 x ) − cos8 x ( −1 + 2 cos2 x ) = cos 2x 4 5 ⇔ sin 8 x.cos 2x − cos8 x cos 2x = cos 2x 4... i 80 : Cho phươngtrình cos 2x − ( 2m + 1) cos x + m + 1 = 0 ( * ) a/ Giả i phươngtrình khi m = 3 2 ⎛ π 3π ⎞ b/ Tìm m để (*) có nghiệ m trê n ⎜ , ⎟ 22 ⎠ 2 Ta có (*) 2 cos x − ( 2m + 1) cos x + m = 0 ⎧t = cos x ([ t ] ≤ 1) ⎪ ⇔⎨ 2 ⎪2t − ( 2m + 1) t + m = 0 ⎩ ⎧ t = cos x ([ t ] ≤ 1) ⎪ ⇔⎨ 1 ⎪t = ∨ t = m ⎩ 2 3 a/ Khi m = , phươngtrình thành 2 1 3 cos x = ∨ cos x = ( loại ) 22 π ⇔ x = ± + k2π ( k ∈ Z... a > 5 Bà i 86 : Cho phươngtrình : cos4x = cos 2 3x + asin 2 x (*) a/ Giả i phương trì nh khi a = 1 ⎛ π ⎞ b/ Tìm a để (*) có nghiệ m trê n ⎜ 0, ⎟ ⎝ 12 ⎠ 1 a Ta có : ( *) ⇔ cos 4x = (1 + cos 6x ) + (1 − cos 2x ) 2 22 3 ⇔ 22 cos 2x − 1 = 1 + 4 cos 2x − 3 cos 2x + a (1 − cos 2x ) ( ) ⎧t = cos 2x ( t ≤ 1) ⎪ ⇔⎨ 2 3 2 2t − 1 = 1 + 4t − 3t + a (1 − t ) ⎩ ⎧t = cos 2x ( t ≤ 1) ⎪ ⇔⎨ 3 2 ⎪−4t + 4t + 3t − 3... 8 4 2 x − 3x + 2 < 0 (1) ⇔ 4 sin x cos x ( cos4 x − sin 4 x ) = sin2 4x + m ⇔ 2 sin 2x ( cos2 x − sin2 x )( cos2 x + sin 2 x ) = sin 2 4x + m ⇔ 2 sin 2x.cos 2x = sin 2 4x + m ⇔ sin 2 4x − sin 4x + m = 0 (1) a/ x = π là nghiệ m củ a (1) ⇒ sin2 4π − sin 4π + m = 0 ⇒m = 0 Lú c đó (1) ⇔ sin 4x (1 − sin 4x ) = 0 ⇔ sin 4x = 0 ∨ sin 4x = 1 π + k2π 2 kπ π kπ ⇔x = ∨x= + ( k ∈ Z) 4 8 2 ⎧t = x2 ≥ 0 ⎧t = x2 ≥ .
sin 2x 0 và tgx 1≠≠
2
2
2
22
1t
111t12t
1t
11.
t1t21t21t
−
⎡⎤
−
+
−= + − −
⎢⎥
+++
⎣⎦
()
()
()
()
()
()
()
()
2
222
2
22
2
2
2
2
2t t
dot1
t 2 t 1t
t
t1t1t
1t1t.
2
=
[]
2
11 3
1 sin 2x cos 4x sin 2x 0
22 2
⇔− + − + − =
()
22
11 11
sin 2x 1 2sin 2x sin 2x 0
22 22
⇔− − − + − =
2
sin 2x sin 2x 2 0⇔+− =
()
sin 2x