KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1.. Phương trình bậc hai: a.
Trang 1Vấn đề 3 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
I KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1 Phương trình bậc hai:
a Cho phương trình : ax2+bx c 0(a 0) (*)+ = ≠
2
b 4ac
∆ = −
∆ < 0 : (*) vô nghiệm
∆ = 0 : (*) có nghiệm kép x1 x2 b
2a
= = −
∆ > 0 : (*) Có 2 nghiệm phân biệt x1,2 b A
2a
− ±
=
b Định lý Viete : Nếu phương trình : ax2+bx c 0(a 0)+ = ≠
có 2 nghiệm 1 2 1 2
b
x x
a
x ,x thì :
c
x x
a
⎧ + = −
⎪⎪
⎨
⎪ + =
⎪⎩
2 Dấu của tam thức bậc hai : f(x) ax= 2+bx c(a 0)+ ≠
a Định lý thuận:
∆ < 0 : f(x) luôn cùng dấu với a⇔af(x) 0, x R> ∀ ∈
∆ = 0 : f(x) cùng dấu với a với mọi x b
2a
≠ − và f( b) 0
2a
− =
∆ > 0 : f(x) có 2 nghiệm phân biệt : x1<x2
Bảng xét dấu:
b Định lý đảo về dấu của tam thức: Cho tam thức
f(x) = ax2+bx c(a 0)+ ≠ và một số thực α
[ 1 2] 1 2
f(x)co ù2 nghiệm x x 0
x ,x af( ) 0
≤
⎧
∆ ≥
⎨ α > ⎨α∉⎪
3 Điều kiện để tam thức không đổi dấu trên R Cho f(x) ax= 2+bx c (a 0)+ ≠
a 0 f(x) 0, x R
0
>
⎧
> ∀ ∈ ⇔ ⎨∆ <
⎩
a 0 f(x) 0, x R
0
>
⎧
≥ ∀ ∈ ⇔ ⎨∆ ≤
⎩
a 0 f(x) 0, x R
0
<
⎧
< ∀ ∈ ⇔ ⎨∆ <
⎩
a 0 f(x) 0, x R
0
<
⎧
≤ ∀ ∈ ⇔ ⎨∆ ≤
⎩ Nếu chưa có a ≠ 0 thì ta phải xét trường hợp a = 0
4 So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với hai số cho trước
Cho phương trình : f(x) ax= 2+bx c 0(a 0)+ = ≠ và hai số , (α β α < β )
af( ) 0
α <
⎧
< α < β < ⇔ ⎨ β <
⎩
af( ) 0
α <
⎧
< α < < β ⇔ ⎨ β >
⎩
1 2 af( ) 0
af( ) 0
α <
⎧
α < < β < ⇔ ⎨ β >
⎩
x < α <x < β ∨ α <x < β <x ⇔ phương trình có 2 nghiệm phân biệt và chỉ có một nghiệm thuộc ( ; ) f( ).f( ) 0
a 0
α β <
⎧
α β ⇔ ⎨ ≠
⎩
Trang 2Phương trình có 2 nghiệm x ,x và 1 2 1 2
0 af( ) 0
x x af( ) 0
2
2
⎧
⎪
⎪∆ >
⎪
α >
⎪
⎪
α < < < β ⇔⎨ β >
⎪
⎪ − α >
⎪
⎪
− β <
⎪
⎩
II Các ví dụ:
Ví dụ 1:
Định m để phương trình : x2+2(m 3)x m 13 0− + − = có 2 nghiệm
1 2
x ,x và x x1 2−x12−x22 đạt giá trị lớn nhất
Giải
Ta có: ∆ =' (m 3)− 2−(m 13) m− = 2−7m 22 0+ > m∀ vì
49 88 0
∆ = − <
Định lý viete cho : 1 2
1 2
x x 2(m 3) 6 2m
x x m 13
+ = − − = −
⎧
⎩
x x x x x x (x x )
3x x (x x ) 3(m 13) (6 2m)
4m 27m 75 (4m 27m 75)
= − ⎜ − ⎟ + ⎜ ⎟ − ≤ ⎜ ⎟ −
max(x x x x ) 4 75
8
⎛ ⎞
− − = ⎜ ⎟ −
⎝ ⎠ khi m 27
8
=
Ví dụ 2:
Định m để phương trình : x2−2mx 2 m 0+ − = có 2 nghiệm x ,x và 1 2
x +x đạt giá trị nhỏ nhất
Giải Phương trình có 2 nghiệm
' m (2 m) m m 2 0 m 2 m 1
⇔ ∆ = − − = + − ≥ ⇔ ≤ − ∨ ≥ Định lý viete: 1 2
1 2
x x 2m
x x 2 m
+ =
⎧
⎨ = −
⎩
x x (x x ) 2x x 4m 2(2 m) 4m 2m 4
Xét hàm số f(x) 4m= 2+2m 4− với m≤ − ∨2 m 1.≥
Ta có : f '(m) 8m 2 , f '(m) 0 m 1
4
F(-2) = 8 , f(1) = 2 BBT
Vậy Min (x12+x ) 222 = khi m = 1
Ví dụ 3:
Cho hàm số f(x) = 2x + m + log2 (mx2−2(m 2)x 2m 1)− + − (m là tham số)
Tìm tất cả các giá trị của m để f(x) xác định với mọi x
(ĐẠI HỌC CẦN THƠ – Khối D năm 2000) Giải
f(x) xác định ∀ ⇔ x mx2− 2(m 2)x 2m 1 0 − + − > ∀ x (1) m = 0 : (1) 4x 1 0 x 1
4
⇔ − > ⇔ > không thoả với x∀
Trang 3m 0 : (1) m 0 2
' (m 2) m(2m 1) 0
>
⎧⎪
∆ = − − − <
⎪⎩
2
m 1
m 4 m 1
m 3m 4 0
>
⎪
⇔⎨⎪⎩ + − > ⇔⎨ < − ∨ >⎩ ⇔ >
Ví dụ 4:
Tìm a để hai phương trình :
2
ax + + = và x 1 0 x2+ax 1 0+ = Có nghiệm chung
(ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN – Khối D năm 2000)
Giải Gọi x0 là nghiệm chung của 2 phương trình cho, ta có:
2
2
ax x 1 0 (1)
x ax 1 0 (2)
+ + =
+ + =
(1) – (2) : (a 1)x− 20+ −(1 a)x0=0
2
(a 1)x (a 1)x 0
⇔ − − − = ⇔(a 1)(x− 20−x ) 0 (*)0 =
Nếu a 1 0− = ⇔ = thì cả hai phương trình đã cho đều vô nghiệm a 1
Nếu a 1: (*)≠ ⇔x (x0 0− = ⇔1) 0 x0= ∨0 x0= 1
+ Với x0=0 : cả 2 phương trình đã cho đều vô nghiệm
+ Với x0= là nghiệm chung của hai phương trình đã cho, thì ta có: 1:
a 1 1 0+ + = ⇔ = − a 2
Vậy a = - 2 thì hai phương trình đã cho có nghiệm chung x = 1
Ví dụ 5:
Định m để phương trình : x2−2mx 5m 4 0+ − = có đúng một nghiệm
thuộc [ ]0,1
Giải
Ta xét các trường hợp sau:
Phương trình cho có nghiệm x = 1
Thế vào phương trình cho: 3m – 3 = 0⇔m 1=
Thế m = 1 vào phương trình cho: x2−2x 1 0+ = ⇔ = (kép) x 1
⇒ m = 1 nhận
5m – 4 = 0 m 4
5
⇔ = Thế m 4
5
= vào phương trình cho: x2 8x 0 x 8 0
− = ⇔⎜ − ⎟=
[ ] 8 [ ] 4
x 0 0,1 x 0,1 m
⇔ = ∈ ∨ = ∉ ⇒ = nhận
* Phương trình cho có đúng một nghiệm (0,1)∈ :
x 0 x 1 (1)
0 x 1 x (2)
0 x x 1 (3)
< < <
⎡
⎢
⇔⎢ < < <
⎢ < = <
⎣ (1) và (2) f(0).f(1) 0 (5m 4)(3m 3) 0 4 m 1
5
⇔ < ⇔ − − < ⇔ < < 2
' m 5m 4 0 m 1 m 4
0 m 1
2
⎧∆ = − + = ⎧ = ∨ =
⎪
⇔⎨ < = < ⇔⎨ < <⎩ ⇔ ∈∅
⎪⎩
Tóm lại: 4 m 1
5≤ ≤
Ví dụ 6 : Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình :
2
12 12x 6mx m 4 0
m
Với giá trị nào của m thì x13+x32 a) Đạt giá trị lớn nhất ?
b) Đạt giá trị nhỏ nhất ?
Giải Điều kiện để phương trình cho có nghiệm
2
12
m
⇔ ∆ = − ⎜ − + ⎟≥
2
48
m
Với điều kiện đó, x1 và x2 là 2 nghiệm của phương trình, ta có :
Trang 41 2
2
m
x x
2
x x (x x ) 3x x (x x )
3
2
2
m 3 m .1 m 4 12 m 3 f(m)
=⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ − + ⎟= − =
2
1 3
f '(m) 0, m 0,
2 2m
= + > ∀ ≠ vậy hàm số luôn tăng trong hai đoạn
2 3, 2
⎡− − ⎤
⎣ ⎦ và 2,2 3⎡⎣ ⎤⎦
Ta có :
1 f( 2 3) f( 2)
4 f( 2 3) f(2 3) 1
f(2) f(2 3)
4
⎫
− < − = − ⎪⎪⇒ − <
⎬
⎪
= <
⎪⎭
Vậy 3 3
x +x đạt giá trị nhỏ nhất ứng với m= −2 3 và đạt giá trị lớn
nhất ứng với m 2 3=
Ví dụ 7 :
Định m để phương trình sau có nghiệm thuộc ,3
2 2
π
⎛ π⎞
cos2x (2m 1)cosx m 1 0− + + + =
Giải Đặt t = cosx, vì x ,3 t [ 1,0)
2 2
π
∈⎜ π ⇒ ∈ −⎟
cos2x 2 cos x 1 2t= − = − 1
Phương trình cho ⇔2t2− −1 (2m 1)t m 1 0+ + + =
2
2t (2m 1)t m 0
(2m 1) 8m (2m 1) 0
[ )
2m 1 2m 1
4 2m 1 2m 1 1
+ + −
⎢
⇔ ⎢
+ − −
⎢⎣
Vậy để nghiệm t∈ −[ 1,0)⇔ − ≤1 m 0<
Ví dụ 8 : Định m để phương trình:
2 (m 5)x− −2mx m 4 0 (*)+ − = Có một nghiệm nhỏ hơn 1 và một nghiệm lớn hơn 2
Giải Đặt f(x) (m 5)x= − 2−2mx m 4+ − Gọi x1 , x2 là 2 nghiệm của (*), ta có :
x1 < 1 < 2 < x2 af(1) 0 (m 5)( 9) 0 m 5
5 m 24 af(2) 0 (m 5)(m 24) 0 5 m 24
< − − < >
< − − < < <
Ví dụ 9 : Định m để phương trình có nghiệm :
2 2
x x
+ + − ⎜ + ⎟+ =
Giải
= + ⇒ = + + ⇒ + = − Điều kiện t 2≥
Phương trình cho ⇔t2− + −2 (1 3m)t 3m 0+ = 2
t (1 3m)t 3m 2 0 (a b c 0)
t 1 không thoả t 2
t 3m 2
⇔ ⎢
= −
⎢⎣
Để phương trình có nghiệm :
3m 2 2 3m 2 2
3m 2 2
− ≥
⎡
⇔ − ≥ ⇔ ⎢ − ≤ −
⎣
4 m 3
m 0
⎡ ≥
⎢
⇔⎢
≤
⎢⎣
Trang 5III BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
3.1 Cho hai phương trình : x2− +x m 0 (1)=
2
x −3x m 0 (2)+ = Với những giá trị nào của m, thì phương trình (2) có một nghiệm khác
0, gấp 2 lần một nghiệm của phương trình (1)
3.2 Cho hai phương trình : x2+3x 2s 0+ =
2
x +6x 5s 0+ = Tìm tất cả các giá trị của s để mỗi phương trình đều có 2 nghiệm phân
biệt, và giữa 2 nghiệm của phương trình này có đúng một nghiệm của
phương trình kia
3.3 Chứng minh rằng nếu a a1 2≥2(b1+b )2 thì ít nhất một trong hai
phương trình
2
2
x a x b 0
x a x b 0
+ + = có nghiệm
3.4 Định m để phương trình : x2+hx3+x2+hx 1 0 (1)+ =
Có không ít hơn hai nghiệm âm khác nhau
3.5 Định m để phương trình 4x22 4 2ax2 1 a2 0
1 2x+ +x +1 x+ + − = có nghiệm
3.6 Định m để phương trình có nghiệm:
(x −2x 2)+ +2(3 m)(x− −2x 2) m+ + −6m 0=
3.7 Chứng minh phương trình sau có nghiệm:
a b c, m n,a,b,c 0 (1)
x m x n− + − = ≠ ≠
HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ
3.1 Điều kiện đồng thời có nghiệm của 2 phương trình cho là : 1
2
m
∆ = − ≥
⎧
⇔ ≤
⎨∆ = − ≥
⎩ Gọi x0≠ là 1 nghiệm của phương trình (1), nghiệm phương trình (2): 0 0
x 2x=
5 x
10
9
⎧ =
⎪⎩
3.2 Đặt f(x) x= 2+3x 2s,+ g(x) x= 2+6x 5s+ Mỗi phương trình đều có 2 nghiệm phân biệt và giữa 2 nghiệm của phương trình này có đúng một nghiệm của phương trình kia, ta phải có 1
0 g(x ).g(x ) 0
∆ >
⎧
⎨ <
⎩ với x1, x2 là nghiệm của phương trình f(x) = 0 8
s
0 s 1 9
9s(s 1) 0
⎧ <
⎪
⇔⎨ ⇔ < <
⎪ − <
⎩
3.3 ∆ =1 a12−4b , 1 ∆ =2 a22−4b2
1 2 a1 a2 4(b1 b ) 02
⇒ ∆ + ∆ = + − + ≥ (vì 2 2
a +a ≥2a a a a1 2≥2(b1+b )2 )
⇒ ít nhất 1 trong 2 phương trình đã cho phải có nghiệm
3.4 Nhận xét x = 0 không phải là nghiệm của (1) Đặt t x 1 h(x) x2 tx 1 0 (2)
x
= + ⇔ = − + = Điều kiện t 2≥ ⇔ ≥ ∨ ≤ − t 2 t 2 (2) nếu có nghiệm thì các nghiệm cùng dấu
Trang 6(1)
2
t 2
f(t) t ht 1 0
⎧ ≥
⎪
⇔ ⎨
= + − =
⎪⎩
f(t) có 2 nghiệm trái dấu YCBT f( 2) 0 h 3
2
⇔ − < ⇔ >
3.5 Đặt t 2x2
1 x
=
+ Điều kiện − ≤ ≤ 1 t 1
2
2
1 1 1
f(t) t at 1 a 0
1 2x x 1 x
− ≤ ≤
⎧⎪
+ + − = ⇔ ⎨
= + + − =
(1) có nghiệm
0 f( 1) 0 2
x f( 1)f(1) 0 f(1) 0 a 2
5 s
2
∆ ≥
⎧
⎪ − >
⎪⎪
⇔ − ≤ ∨⎨ > ⇔ < <
⎪
⎪− < <
⎪⎩
3.6 Đặt t x= 2−2x 2 (x+ = 2−2x 1) 1 (x 1)+ + = − 2+ ≥ 1 1
Phương trình cho trở thành: t2+2(3 m)t m− + 2−6m 0= t m
m 6
=
⎡
⇔ ⎢ −
⎣
m 6 1 m 7
3.7 (1)⇔f(x) c(x m)(x n) a (x n) b (x m) 0= − − − 2 − − 2 − =
f(m).f(n)= −a b (m n)− < ⇒ phương trình luôn luôn có phân biệt 0 và m,n≠
