Tài liệu bật phương trình và hệ phương trình vô tỉ

Tài liệu bật phương trình và hệ phương trình vô tỉ

PHƯƠNG TRÌNH-BÂT PHƯƠNG TRÌNH-HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

A Phương trình - bất phương trình chứa căn thức

I Phương pháp biến đổi tương đương

1 Kiến thức cần nhớ:

2 1 2 1

2 1 2 1

1

n

n

2 Các dạng cơ bản:

* Dạng 1:

2 0

g x

f x g x

f x g x (Không cần đặt điều kiện f x 0)

* Dạng 2: f x g x xét 2 trường hợp:

0

g x

( ) 0

g x

* Dạng 3:

2

( ) 0 0

f x

Lưu ý: + g(x) thường là nhị thức bậc nhất (ax+b) nhưng có một số trường hợp g(x) là tam thức bậc hai

(ax2+bx+c), khi đó tuỳ theo từng bài ta có thể mạnh dạn đặt điều kiện cho g x 0 rồi bình phương 2 vế đưa phương trình bất phương trình về dạng quen thuộc

+ Chia đa thức tìm nghiệm: Phương trình 1 2

thì chia vế trái cho cho x– ta được 1 2

trình

* Phương trình bất phương trình bậc 3: Nếu nhẩm được 1 nghiệm thì việc giải theo hướng này là đúng, nếu không nhẩm được nghiệm thì ta có thể sử dụng phương pháp hàm số để giải tiếp và nếu phương pháp hàm

số không được nữa thì ta phải quay lại sử dụng phương pháp khác

* Phương trình bất phương trình bậc 4, lúc này ta phải nhẩm được 2 nghiệm thì việc giải phương trình theo hướng này mới đúng, còn nếu nhẩm được 1 nghiệm thì sử dụng như phương trình bất phương trình bậc 3

và nếu không ta phải chuyển sang hướng khác

Ví dụ 1: Giải phương trình: 2 x 1 x2 3 x 1 0(ĐH Khối D – 2006)

Biến đổi phương trình thành: 2

2x 1 x 3x 1 (*), đặt điều kiện rồi bình phương 2 vế ta được: 0

2 8 11

4

x x

x

x ta dễ dạng nhẩm được nghiệm x = 1 sau đó chia đa thức ta được:

(*) (x – 1)2(x2 – 4x + 2) = 0

4 x 1 2x 10 1 3 2 x , ĐK:

2

3

x

2

2

x hai vế (1) đều không

âm nên ta bình phương 2 vế: x3

– x2 – 5x – 3 0 x 3 x 12 0

b) Tương tự với 2 dạng: * f x g x * f x g x

Ví dụ 1: Giải bất phương trình 2

2x 6x 1 x 2 0 1 Giải

1 2x 6x 1 x 2 bất phương trình tương đương với hệ:

2

2

2

2 0

x x

Ví dụ 2: Tìm m để phương trình 2

Giải

* Nếu m < 2 phương trình vô nghiệm

* Nếu m 2 phương trình x2 2mx m2+4m 3=0 Phương trình này có =2m2 4m+3>0 với mọi m

Vậy với m 2 thì phương trình đã cho có nghiêm

Ví dụ 3: Tìm m để phương trình 2

2x mx 3 x 1 có hai nghiệm phân biệt

Giải:

2 4 0, (*)

x PT

x m x , phương trình (*) luôn có 2 nghiệm:

4

m

Chú ý: + x1 > 0, x2 < 0 vì x1 > x2 và a.c < 0 nên pt có 2 nghiệm trái dấu

+ Cách 1 thường dùng khi hệ số a luôn dương hoặc luôn âm

+ Cách 2: Đặt t = x + 1 suy ra x = t – 1, khi đó với x 1 t 0 (*) trở thành: 2

t m t (**) Để (*) có 2 nghiệm x 1thì (**) phải có 2 nghiệm t 0

Ví dụ 4: (ĐH Khối B – 2006) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt: 2

x pt

x m x để (1) có hai nghiệm thực phân biệt thì (2) có hai nghiệm lớn hơn hoặc

bằng 1

2hay

2

0

1

m

S

Chú ý : Cách 2: đặt 1

2

t x , khi đó để (2) có hai nghiệm lớn hơn hoặc bằng 1

2 thì 2

3 Các kỹ năng:

a Để bình phương 2 vế phương trình – bất phương trình thì một là ta biến đổi cho 2 vế không âm hai là đặt điều kiện cho 2 vế không âm

Ví dụ 1: Giải bất phương trình: 5x 1 x 1 2x 4 (ĐH Khối A – 2005)

Vế phải không âm, nhưng vế trái chưa nhận xét được do đó ta phải biến đổi thành: 5x 1 x 1 2x 4 khi đó ta bình phương 2 vế rồi đưa về dạng cơ bản để giải

Giải

Điều kiện:

1

2 * 0

x

x

x

2

2

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x=0, 9

8

x

(Hãy tìm thêm cách giải khác)

Ví dụ 3: Tìm m để phương trình 2 2

2x mx x 4 0 có nghiệm

HD: Chuyển vế, đặt điều kiện, bình phương hai vế tìm được

2

1,2

16 2

x Kết hợp với điều kiện ta tìm

được |m| 4

b Chuyển về phương trình – bất phương trình tích:

- Đặt nhân tử chung, hằng đẳng thức

Lưu ý: Để sử dụng phương pháp này ta phải chú ý đến việc thêm, bớt, tách, phân tích

Ví dụ 4: Giải phương trình: x2 x 7 7

HD:

Bình phương hai vế

Dùng hằng đẳng thức a2

b2=0

Nghiệm 2, 1 29

2

Ví dụ 5: Giải các bất phương trình: a

2

x

x x

b x2 3x 2x2 3x 2 0

ĐS: a 1 x<8, b ; 1 2 3;

Ví dụ 6: (Khối B – 2007): Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số m, phương trình sau có hai

nghiệm thực phân biệt: 2

Giải: ĐK: x 2, do m > 0

) 2 ( , 32 6

2 2

4

m x

x

x x

m x

x

2 nghiệm phân biệt thì chỉ cần chứng minh phương trình (2) có một nghiệm khác 2

Thật vậy: đặt f x x3 6x2 32,x 2, ta có f(2) = 0, lim , ' 3 2 12 0, 2

nên f(x) là hàm liên tục trên 2; và đồng biến trên khoảng đó suy ra m 0 phương trình (2) luôn có

nghiệm x0 mà 2 < x0 <

Một số dạng chuyển thành tích:

-m

Ta biến đổi thành: (m ax b cx d) ax b cx d

Ví dụ: Giải phương trình: 4 1 3 2 3

5

x

Ví dụ: Giải phương trình: 3 3 3 2

Ví dụ: Giải phương trình: 4 4 3 2

Ví dụ: Giải phương trình: 2 3 2

3

c Chuyển về dạng: A 1 + A 2 + + A n = 0 với A i 0 1, i n khi đó pt tương đương với:

Ví dụ 1: Giải phương trình: 2

4x 3x 3 4x x 3 2 2x 1 HD: Phương trình tương đương 4x2 4x x 3 x 3 1 2 2x 1 2x 1 0 ĐS: x=1

Ví dụ 2: Giải phương trình: 2 2

Giải

2

d Sử dụng lập phương:

Với dạng tổng quát 3a 3b 3c ta lập phương hai vế và sử dụng hằng đẳng thức

3

a b a b ab a b khi đó phương trình tương đương với hệ

3 3

Giải hệ này ta có

nghiệm của phương trình

Ví dụ: Giải bất phương trình 3 x 1 3 x 2 32x 3 ĐS: 1; 2; 3

2

e Nếu bất phương trình chứa ẩn ở mẩu:

- TH1: Mẩu luôn dương hoặc luôn âm thì ta quy đồng khử mẩu:

Ví dụ 1: Giải bất phương trình:

2

x

Giải

2 2

4

5

x

x x

x

x

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: x 10 34

- TH2: Mẩu âm dương trên từng khoảng thì ta chia thành từng trường hợp:

Ví dụ 2: Giải các bất phương trình: a 2 2

2

51 2

1 1

x x

6

Bài tập

Bài 1: Giải các phương trình sau:

a x 2 x 1 x x 1 x2 x 0

HD: Bình phương 2 vế và biến đổi thành: 2x x2 x 4 x2 x x3 4x2 6x 4 0

(x 2)(2 x x x 2x 2) 0

b 4x2 5x 1 2 x2 x 1 9x 3 HD: Nhân lượng liên hợp

Bài 2: Giải bất phương trình sau: 1 2x 1 2x 2 x 2

HD: Cách 1: Đặt

16

t x x x Cách 2: Bình phương rồi đưa về dạng:A1+A2 = 0, với A1, A2 0

Bài 3: Giải phương trình 4 3 10 3x x 2 (HD: Bình phương hai lần ra phương trình bậc 4 đầy

đủ_nhẩm nghiệm (x=3) chia đa thức)

Bài 4: Giải phương trình 2 2

Bài 5: Giải phương trình 2

2x 6x 1 x 1 Bài 6: Giải các phương trình sau:

5

2

4

x

4

x

7 5x 3 3x 1 x 1 (HD:Bình phương rồi sử dụng dạng: A1+A2 = 0, với A1, A2 0)

Bài 7: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: m x m x m

Bài 8: Tìm m sao cho phương trình: 2

a Có nghiệm

b Có hai nghiệm phân biệt

Bài 9: Giải các bất phương trình sau:

a

2

3

x

b x2 3x 2 x2 6x 5 2x2 9x 7

c x2 x 2 x2 2x 3 x2 4x 5

Bài 10: Giải các phương trình:

1

3

x

c 4 x 3 1 4x 3

2

2 x 3 9x x 4

e 2x x2 x 1 4 3x 1 2x2 2x 6

II Phương pháp đặt ẩn phụ:

Ví dụ 1: Giải các phương trình: a 2 2

11 31

2

Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 2 2 2

Giải

Khi đó phương trình trở thành 2 2

t mt m t m Phương trình đã cho có nghiệm khi (*)

Ví dụ 3: Tìm m để bất phương trình: 2

BPT trở thành: m t 1 2 t2 0, 2

Khi đó ta có 2 2

1

t

m

t , với 1 t 2 Đặt

2 2 1

t

f t

t , dùng đồ thị ta tìm được 2

3

m

Dạng 2:

m f x g x n f x g x n f x g x p , đặt t f x g x , bình phương hai

vế để biểu diễn các đại lượng còn lại qua t

Ví dụ 1: Cho phương trình 3 x 6 x m 3 x 6 x

a Giải phương trình khi m=3

b Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm

Giải

Đặt: t 3 x 6 x t2 9 2 3 x 6 x * Áp dụng bất đẳng thức Cauchy

2 3 x 6 x 9 nên từ (*) ta có 3 t 3 2

Phương trình đã cho trở thành t2

2t 9= 2m (1)

a Với m=3 (1) t2

2t 3 t =3 Thay vào (*) ta được x= 3, x=6

b PT đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (1) có nghiệm t 3; 3 2 Xét hàm số 2

3; 3 2

t , ta thấy f(t) là một hàm đb nên: 6 f(3) f t f 3 2 9 6 2 với t 3; 3 2 Do vậy

(1) có nghiệm t 3; 3 2 khi và chỉ khi 6 2 9 6 2 6 2 9 3

2

Chú ý: Để tìm miền giá trị của t ta có 2 cách thương dùng như sau:

Cách 1: dùng BĐT như bài trên 2: dùng pp hàm số ( xem phần PP hàm số )

Ví dụ 2: Giải phương trình x335 x3 x 335 x3 30

3

t

t ĐS: x=2, x=3

7x 7 7x 6 2 49x 7x 42 181 14x

Dạng 3:

F f x g x , trong đó F(t) là một phương trình đẳng cấp bậc k

TH1: Kiểm tra nghiệm với g x 0

TH2: Giả sử g x 0 chia hai vế phương trình cho g k x và đặt n

f x t

g x

Ví dụ 1: Giải phương trình 3 2

ĐK: x 1 5 x3 1 2 x2 2 5 x 1 x2 x 1 2 x2 x 1 2 x 1

1

x

x x Phương trình trở thành 2

2

2

t

t Với t=2: Phương trình đã cho vô nghiệm

Với 1

2

t : Phương trình đã cho có nghiệm 5 37

2

Ví dụ 2: Giải phương trình 2 2

5x 14x 9 x x 20 5 x 1 Giải

ĐK: x 5 2 2 2 2

4

x phương trình trở thành

2

Với t = 1: Phương trình đã cho có nghiệm 5 61 5, 5 61 5

Với 3

2

t : Phương trình đã cho có nghiệm 8 5, 7 5

5

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: 5 61, 8

2

Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 4 2

HD: ĐK x 1 Xét hai trường hợp x = 1 và x ≠ 1, Chia hai vế phương trình cho 4 2

1

x đặt

1

x

t

3

m

Dạng 4: (Đặt ẩn phụ không triệt để)

0

af x g x f x h x Đặt t f x , khi đó phương trình trở thành at2 g x t h x 0

2 1 x x 2x 1 x 2x 1

HD

(Phương pháp này có thể áp dụng cho các phương trình, bất phương trình lượng giác, mũ, logrit,… rất hay!)

Bài tập

Giải các phương trình sau:

4 2x x 1 1 1 3 x 1

x , ĐS: 1 5

2

Dạng 5: (Đặt ẩn phụ với hàm lượng giác)

Khi giải các phương trình, bất phương trình lượng giác chúng ta thường tìm mọi cách đặt ẩn phụ để chuyển về phương trình, bất phương trình đại số Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp cách là ngược lại tỏ ra khá hiệu quả, bằng những tính chất của hàm lượng giác ta sẽ đưa các bài toán đại số về bài toán lượng giác và giải quyết bài toán lượng giác này

Lưu ý vài tính chất cơ bản:

* sina 1, cos a 1 * sin2a cos2a 1

* 1 tan2 12

cos

a

2

2

1

1 cot

sin

a

a

Ví dụ 1: Giải phương trình 2 2

1 1 x 2x

Giải

ĐK x 1 Đặt x cos ,t t 0; Khi đó phương trình trở thành

1 1 cos t 2 cos t 2 sin t sint 1 0 Ta tìm được: sin 1

2

t Khi đó

2

Nhận xét: * Nếu bài toán có tập xác định u x a Ta có thể nghĩ đến cách đặt sin , ;

2 2

u x a t t

hoặc đặt u x acos ,t t 0;

* Nếu u x 0;a ta có thể đặt sin2 , 0;

2

HD: Đặt x cos ,t t 0; dưa về phương trình lượng giác sint cost 1 sin cost t 2 sin cost t Để gải

phương trình này ta lại đặt u sint cos ,t u 2

Ví dụ 3: Giải phương trình 2 3

4 2

Dạng 6: (Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình)

* Khi gặp phương trình có dạng F f x ,n a f x ,m b f x 0

Đặt u n a f x , v m b f x Khi đó ta được hệ phương trình sau: , 0

F u v

u v a b Giải hệ này tìm u, v rồi ta lại tìm x Khi tìm x ta chỉ giải một trong hai phương trình u n a f x hoặc v m b f x

Ví dụ 1: Giải phương trình: 3 x 6 x 3 3 x 6 x ĐS: x 0, x 3

Ví dụ 3: Giải phương trình: 4x 417 x 3 ĐS: x 1, x 16

Ví dụ 4: Giải phương trình: 3 2 3 2

3

Ví dụ 5: Giải phương trình: 3 x 1 3x 3 32, đặt u 3 x 1,v 3x 3, pt trở thành:

3

2 2

u v

Ví dụ 6: Giải phương trình: 3 1 1

1

,

Ví dụ 7: Với giá trị nào của a thì phương trình: 31 x 31 x acó nghiệm

1 ,

2

a u v uv

u v a TH1: a = 0 hệ phương trình vô nghiệm

TH2: a 0, hệ phương trình trở thành 1 2 2

3

u v a

a

Hệ có nghiệm khi S2 4P 0 0 a 2 Vậy phương trình có nghiệm khi 0 a 2

* Khi gặp phương trình có dạng n n

Đặt t f x , y n af x b ta có hệ

n

n

t b ay

y b at

2

2

x

Giải

ĐK x 3 2 3 2 1 2 2 1 1

x

2

2

1 1 2 1 1 2

Giải thêm chút nữa

Chú ý: bài này không thể sử dụng phương pháp bình phương vì không nhẩm được nghiệm, nên ta phải biến đổi

để xuất hiện những biểu thức giống nhau và từ đó ta đặt ẩn phụ

Chú ý: Bài này có thể sử dụng phương pháp bình phương

Bài tập:

Bài 1: Giải các phương trình sau:

2

Bài 2: Giải cácbất phương trình sau:

2

4

x

Bài 3: Giải các phương trình sau:

5

2

4

x

III Phương pháp hàm số

Các tính chất:

Tính chất 1: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=k (k R) có không quá một nghiệm trong khoảng (a;b)

Tính chất 2: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì u, v (a,b) ta có ( ) f u f v u v

Tính chất 3: Nếu hàm f tăng và g là hàm hằng hoặc giảm trong khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=g(x) có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b)

Định lý Lagrange: Cho hàm số F(x) liên tục trên đoạn [a;b] và tồn tại F'(x) trên khoảng (a;b) thì

b

a

b a Khi áp dụng giải phương trình: nếu có F(b) – F(a) = 0 thì

c a b F c F x có nghiệm thuộc (a;b)

Định lý Rôn: Nếu hàm số y=f(x) lồi hoăc lõm trên miền D thì phương trình f(x)=0 sẽ không có quá hai nghiệm thuộc D

Từ các tính chất trên ta có 3 phương án biến đổi như sau:

Phương án 1: Biến đổi phương trình về dạng: f(x) = k, nhẩm một nghiệm rồi chứng minh f(x) đồng biến

(nghịch biến) suy ra phương trình có nghiệm duy nhất

Phương án 2: Biến đổi phương trình về dạng: f(x) = g(x), nhẩm một nghiệm rồi dùng lập luận khẳng định f(x)

đồng biến còn g(x) nghịch biến hoặc hàm hằng suy ra phương trình có nghiệm duy nhất

Phương án 3: Biến đổi phương trình về dạng: f(u) = f(v) chứng minh f(x) đơn điệu khi đó ta có: u = v

Ví dụ: Giải phương trình: 4x 1 4x2 1 1

2

x Đặt f x 4x 1 4x2 1 Miền xác định: 1

2

x , '

2

0

x

f x

Do đó hàm số đồng biến với 1

2

x , nên phương trình nếu có nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất Thấy 1

2

x là nghiệm của phương trình

Đối với phương trình chứa tham số ta thực hiện như sau:

Xét phương trình f(x,m) = g(m), (1)

B1: Lập luận số nghiệm phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị (C ): y = f(x,m) và đường thẳng

d: y = g(m)

B2: Lập bảng biến thiên cho hàm số y = f(x,m)

B3: Kết luận: * phương trình có nghiệm: min , max ,

x D f x m g m x D f x m

* phương trình có k nghiệm: d cắt (C) tại k điểm

* phương trình vô nghiệm khi: d không cắt (C )

Ví dụ 1: Tìm m để phương trình: x2 x 1 x2 x 1 mcó nghiệm

TXĐ: R

'

y

Mặt khác: f’(0) = 1 > 0 suy ra y’ > 0 nên hàm số đồng biến

Giới hạn:

2

2

x

x

BBT: x

1

Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 1 < m < 1

Chú ý: Trong bài toán trên nếu không thực hiện việc xác định giới hạn hàm số, rất có thể chúng ta ngộ nhận tập

giá trị của hàm số là R và dẩn đến việc kết luận sai lầm rằng phương trình có nghiệm với mọi m Do đó việc tìm

giới hạn trong bài toán khảo sát là rất cần thiết để tìm ra tập giá trị

Ví dụ 2: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: mx x 3 m 1, ĐK: x 3

1

x

'

'

x y và f(3) = 1

2

BBT:

1

2

0

4

Giải: ĐK: 0 x 4

( 12) 5 4

pt x x x x x m xét hs y f x (x x x 12) 5 x 4 x Miền xác

định: D 0; 4

Nhận xét: Hàm số h x x x x 12 đồng biến trên D

Hàm số g x 5 x 4 x đồng biến trên D

Suy ra y = f(x) = h(x).g(x) là hàm đồng biến trên D Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi

Giải: Phương trình được viết lại dưới dạng:

2

3 1

x

m x

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của (C):

2

3 1

x y x

và đường thẳng: y = m

Lập BBT :

1

1 KL: m 1 m 10: phương trình vô nghiệm

1 m 1hoặc m 10: phương trình có nghiệm duy nhất

1 m 10: phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Giải: ĐK: 1 x 3 Đặt t x 1 3 x , lập BBT của t(x) với 1 x 3 ta có 2 t 2

Khi đó phương trình (1) trở thành: 1

2t

2

+ t + 1 = m, lập bảng biến thiên của hàm số vế trái với 2 t 2 từ

đó kết luận: 1 m 2

Bài tập:

Bài 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x 9 x x2 9x m

Bài 2 Giải các phương trình sau:

B Hệ phương trình - hệ bất phương trình chứa căn

1 Phương pháp biến đổi tương đương:

Ta thực hiện theo các bước sau:

B1: Đặt điều kiện (nếu có)

B2: Biến đổi về phương trình – bất phương trình hệ phương trình đơn giản mà ta đã biết cách giải bằng cách: thế, khử biến

B3: Kết luận (chú ý điều kiện và sự biến đổi tương đương hay hệ quả)

Giải

Điều kiện: 2

2

x

y