tuyển tập các đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 9 tham khảo bồi dưỡng thi (5)

ĐỀ THI CHỌN HSG VÒNG HUYỆN LỚP 9 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 150 phút(không kể thời gian giao đề) Bài 1(6 điểm). Chứng minh rằng: a. S = 2 1 + 2 2 + 2 3 + …+ 2 2010 chia hết cho 3 b. a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 ≥ a(b + c + d + e) với mọi a, b, c, d, e c. Với mọi số tự nhiên n thì: (n + 2011 2010 )(n + 2010 2011 ) chia hết cho 2 Bài 2(4 điểm). Cho hàm số 96 22 +−+= xxxy a. Tìm tập xác định của hàm số b. Rút gọn y c. Vẽ đồ thi hàm số d. Tìm giá trị nhỏ nhất của y và các giá trị tương ứng của x Bài 3(4 điểm). a. Tìm mọi x, y, z trong phương trình sau: )27(105632 −−=−−+−− zyyxx b. Giải hệ phương trình: 1 2 9 1 4 2 x y x y  − + + =   − = +   Bài 4(3 điểm). Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD), M và N là trung điểm của hai đường chéo BD và AC. Chứng minh: a. Các tứ giác AMNB và DMNC là những hình thang cân. b. BM 2 = AM 2 + MN.AB Bài 5(3 điểm). Cho hai tiếp tuyến AB và AC của nữa đường tròn(O) (B, C là hai tiếp điểm). Qua điểm X của cung nhỏ BC kẻ tiếp tuyến đến đường tròn này nó cắt AB và AC theo thứ tự tại M và N. Chứng minh rằng chu vi tam giác AMN và góc MON không phụ thuộc vào việc chọn điểm X trên cung nhỏ BC. Hết ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN Bài Nội dung Điểm Bài 1 Câu a (2 đ) Câu b (2 đ) Câu c (2 đ) Chứng minh rằng:S = 2 1 + 2 2 + 2 3 + …+ 2 2010 chia hết cho 3 Ta có: S = 2 1 + 2 2 + 2 3 + …+ 2 2010 = (2 1 + 2 2 ) + (2 3 + 2 4 ) + … + (2 2009 + 2 2010 ) = 2(1 + 2) + 2 3 (1 + 2) + …. + 2 2009 (1 + 2) = (1 + 2) (2 + 2 3 + …. + 2 2009 ) = 3 (2 + 2 3 + …. + 2 2009 ) M 3 Vậy S = 2 1 + 2 2 + 2 3 + …+ 2 2010 chia hết cho 3 Chứng minh rằng: a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 ≥ a(b + c + d + e) ∀ a, b, c, d, e Ta có: a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 ≥ a(b + c + d + e) ⇔ a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 – a(b + c + d + e) ≥ 0 ⇔ a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 – ab – ac – ad – ae ≥ 0 ⇔ ( 2 4 a – ab + b 2 ) + ( 2 4 a – ac + c 2 ) + ( 2 4 a – ad + d 2 ) + ( 2 4 a – ae + e 2 ) ≥ 0 ⇔ ( 2 a – b ) 2 + ( 2 a – c ) 2 +( 2 a – d ) 2 +( 2 a – e ) 2 ≥ 0 (bđt này đúng ∀ a,b,c,d,e) Vậy a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 ≥ a(b + c + d + e) với mọi a, b, c, d, e Chứng minh rằng: Với mọi số tự nhiên n thì: (n + 2011 2010 ) (n + 2010 2011 ) chia hết cho 2 * Nếu n là số chẵn thì (n + 2010 2011 ) là số chẵn ⇒ (n + 2011 2010 ) (n + 2010 2011 ) là số chẵn ⇒ (n + 2011 2010 ) (n + 2010 2011 ) chia hết cho 2 * Nếu n là số lẻ thì (n + 2011 2010 ) là số chẵn ⇒ (n + 2011 2010 ) (n + 2010 2011 ) là số chẵn ⇒ (n + 2011 2010 ) (n + 2010 2011 ) chia hết cho 2 Vậy với mọi số tự nhiên n thì: (n + 2011 2010 ) (n + 2010 2011 ) chia hết cho 2 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,75 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 Bài 2 Câu a (0,75đ) Câu b Cho hàm số 96 22 +−+= xxxy Tìm tập xác định của hàm số y có nghĩa 2 2 0 6 9 0 x x x  ≥  ⇔  − + ≥   2 2 0 ( 3) 0 x x  ≥  ⇔  − ≥   x R ⇔ ∈ Rút gọn y 0,75 . ĐỀ THI CHỌN HSG VÒNG HUYỆN LỚP 9 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 150 phút(không kể thời gian giao đề) Bài 1(6 điểm). Chứng minh rằng: a. S = 2 1 . chia hết cho 2 Bài 2(4 điểm). Cho hàm số 96 22 +−+= xxxy a. Tìm tập xác định của hàm số b. Rút gọn y c. Vẽ đồ thi hàm số d. Tìm giá trị nhỏ nhất của y và các giá trị tương ứng của x Bài 3(4 điểm) (2 3 + 2 4 ) + … + (2 20 09 + 2 2010 ) = 2(1 + 2) + 2 3 (1 + 2) + …. + 2 20 09 (1 + 2) = (1 + 2) (2 + 2 3 + …. + 2 20 09 ) = 3 (2 + 2 3 + …. + 2 20 09 ) M 3 Vậy S = 2 1 + 2 2